Probabilidad

DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD DISCRETA (PARTE 2) Copyright © 2010, 2007, 2004 Pearson Education, Inc. All Rights Reserved.

4.1 - 1

EJEMPLO

Calcular 𝜎 𝑦 𝜎 2 para una variable aleatoria discreta

Un investigador de un hospital interesa saber el número de veces que el paciente promedio postoperatorio llamará a la enfermera durante un turno de 12 horas. Para una muestra aleatoria de 50 pacientes, 2 nunca llamaron la enfermera, 11 llamaron una vez, 23 llamaron 2 veces, 9 llamaron 3 veces, 4 llamaron 4 veces y 1 llamó cinco veces.

a)¿Cuáles son los valores posibles para X?.

b) ¿Por qué esta situación se puede representar con distribución de probabilidad discreta (Debe dar dos razones)?

c) Construya la distribución de probabilidad.

Sea X = el número de veces que un paciente llama a la enfermera durante un turno de 12 horas, entonces, 6-2

EJEMPLO

Calcular 𝜎 𝑦 𝜎 2 para una variable aleatoria discreta

d) Calcule la media para X. Un investigador de un hospital interesa saber el número de veces que el paciente promedio postoperatorio llamará a la enfermera durante un turno de 12 horas. Para una muestra aleatoria de 50 pacientes, 2 nunca llamaron la enfermera, 11 llamaron una vez, 23 llamaron 2 veces, 9 llamaron 3 veces, 4 llamaron 4 veces y 1 llamó cinco veces. Sea X = el número de veces que un paciente llama a la enfermera durante un turno de 12 horas, entonces, 6-3

EJEMPLO 1ER ENSAYO

2ND ENSAYO

Construir una distribución de probabilidad binomial 3ER ENSAYO

4TO RESULTADO ENSAYO

No. de éxitos

De acuerdo con el Informe al Consumidor de Air Travel, sus aviones más grandes lograron un 50 % de vuelos a tiempo en Mayo de 2008. Suponer que se seleccionan 4 vuelos al azar en mayo del 2008 y X es el número de vuelos que estuvieron a tiempo. Construya una distribución de probabilidad para la variable aleatoria X usando un diagrama de árbol.

6-4

EJEMPLO

Construir una distribución de probabilidad binomial

Total de posibilidades: ___

___

___

___

= =

4TO 1ER 2ND 3ER ENSAYO ENSAYO ENSAYO ENSAYO

Xx

P(X) P(x)

0 1 2 3

4

6-5

La distribución de probabilidad binomial

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6-6

Criterios para un experimento de probabilidad binomial

Un experimento se dice que es un experimento binomial si 1. El experimento se lleva a cabo un número fijo de veces. Cada repetición del experimento se llama un ensayo. 2. Los ensayos son independientes. Esto significa que el resultado de un ensayo no afectará a los resultados de los otros ensayos. 3. Para cada ensayo, hay dos resultados mutuamente excluyentes: el éxito o el fracaso. 4. La probabilidad de éxito es fijo para cada ensayo del experimento. © 2010 Pearson Prentice Hall. All rights reserved

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Notación usada en la distribución de probabilidad binomial

• Número de ensayos independientes del experimento se denota n • Nombramos p la probabilidad de éxito en el experimento y 1 – p, la probabilidad de fracaso. • Si X es una variable aleatoria binomial que denota el número de éxitos en n pruebas independientes de un experimento binomial, entonces los valores posibles de x están entre 0,1,2, …, n. © 2010 Pearson Prentice Hall. All rights reserved

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EJEMPLO

Indique si el experimento es binomial o no

(a) Un jugador tira un dado justo 10 veces. X es el número de veces que sale el 7.

Solución: Determinaremos si las cuatro condiciones de un experimento binomial se cumplen en este experimento. 1. El experimento se lleva a cabo un número fijo de veces. 2. Los ensayos son independientes. 3. Sólo hay dos posibles resultados del experimento. 4. La probabilidad de éxito en cada ensayo es constante.

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EJEMPLO

Indique si el experimento es binomial o no

(b) En una clase de 30 estudiantes, 55% son mujeres. El instructor selecciona al azar a 4 estudiantes. Se registra el número X de mujeres que fueron seleccionadas. Solución: Determinaremos si las cuatro condiciones de un experimento binomial se cumplen en este experimento. 1. El experimento se lleva a cabo un número fijo de veces. 2. Los ensayos son independientes. 3. Sólo hay dos posibles resultados del experimento. 4. La probabilidad de éxito en cada ensayo es constante.

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EJEMPLO

Indique si el experimento es binomial o no

(c) Tomando en cuenta las 11 líneas aéreas más grandes en Estados Unidos, se determina que existe una probabilidad de 84.7% de que un vuelo salga a tiempo. Para determinar las razones para atrasos, un oficial de la FAA elige vuelos aleatoriamente hasta que encuentra 10 vuelos que NO estuvieron a tiempo. X representa el número total de vuelos que tuvo que seleccionar. Solución: Determinaremos si las cuatro condiciones de un experimento binomial se cumplen en este experimento. 1. El experimento se lleva a cabo un número fijo de veces. 2. Los ensayos son independientes. 3. Sólo hay dos posibles resultados del experimento. 4. La probabilidad de éxito en cada ensayo es constante. © 2010 Pearson Prentice Hall. All rights reserved

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Ejemplo Use la siguiente distribución de probabilidad para contestar las preguntas. a. P(x = 2) =

X

P(x)

0

0.22

1

0.08

2

b. P(x > 3) =

?

3

0.35

4

0.15

5

0.15

c. P(x ≠ 3) = d. P(x < 5) =

e. P(x es al menos 2) =

La distribución de probabilidad binomial usando un árbol En una escuela superior se ha determinado, que el 80% de los estudiantes ha copiado alguna tarea de otro alumno durante sus años de estudio en la Secundaria. Se eligen 3 estudiantes al azar. Sea C = Estudiante se copió. Suponiendo que cada elección es independiente de los anteriores, use un diagrama de árbol para construir una distribución de probabilidad para X = número de estudiantes seleccionados que se copiaron.

Solución:

La distribución de probabilidad binomial con fórmula La probabilidad de obtener x número de éxitos en n ensayos independientes en un experimento de probabilidad binomial es 𝑃 𝑥 = 𝑛𝐶𝑥 𝑝 𝑥 1 − 𝑝 𝑛−𝑥 donde x=0, 1, 2, …, n p es la probabilidad de éxito, 1 – p es la probabilidad del fracaso 𝑛 𝐶𝑥 es el número de combinaciones de n objetos tomando x a la vez.

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6-14

EJEMPLO Usar la probabilidad binomial Suponer que se ha determinado que 35% de las viviendas tienen al menos 3 automóviles.

(a) En una muestra aleatoria de 20 hogares con automóviles, ¿cuál es la probabilidad de que exactamente 5 tienen al menos 3 autos?

n = 20, x = 5, p = 0.35

𝑃 𝑥 = 𝑛𝐶𝑥 𝑝 𝑥 1 − 𝑝

𝑛−𝑥

Interpretación:

6-15

EXAMPLE

Constructing Binomial Probability Histograms

Construir una distribución de probabilidad binomial con n = 8 y p = 0.15. 𝑃 𝑥 = 𝑛𝐶𝑥 𝑝 𝑥 1 − 𝑝

𝑛−𝑥

X

P(X)

0 1 2 3 4 5 6 7 8

6-16

EJEMPLO Usar la probabilidad binomial (continuación) Suponer que se ha determinado que 35% de las viviendas tienen 3 o más automóviles. (b) En una muestra aleatoria de 20 hogares con automóviles, ¿cuál es la probabilidad de que menos de 4 tienen tres o más coches? ? 𝑃 𝑥 = 𝑛𝐶𝑥 𝑝 𝑥 1 − 𝑝 𝑛−𝑥

6-17

EJEMPLO Usar la probabilidad binomial (continuación) Suponer que se ha determinado que 35% de las viviendas tienen 3 o más automóviles.

(b) En una muestra aleatoria de 20 hogares con automóviles, cuál es la probabilidad de que al menos 4 tienen tres o más coches?

6-18

Media y desviación estándar de una variable Un experimento de probabilidad binomial, con n ensayos independientes y una probabilidad de éxito de p, tiene una media y una desviación estándar dada por las siguientes fórmulas

𝜇𝑥 = 𝑛𝑝

𝑦

𝜎𝑥 =

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𝑛𝑝(1 − 𝑝) .

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EJEMPLO

Hallar la media y la desviación estándar de una variable aleatorio binomial

Según informes de una compañía de automóviles, el 35% de los hogares tienen al menos 3 automóviles. En una muestra aleatoria simple de 400 hogares que tienen autos, determine la media y la desviación estándar de los hogares que tendrán al menos 3 autos.

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6-20

EXAMEN II – 2DO EJERCICIO PARA REPOSICIÓN

La siguiente tabla muestra la distribución de una muestra aleatoria de 111 individuos organizados por género y por la mano que utiliza cada uno para escribir.

Se denotan los eventos: M = el sujeto es mujer, H = el sujeto es hombre, D = el sujeto es diestro, Z =sujeto es zurdo. Calcule las siguientes probabilidades. Dé su respuesta como fracción. d) P(H ó Z) a) P(M) b) P(Z)

e) P(M|Z)

c) P(H y D)

f) P(D|M)