Distribuciones discretas y continuas 1.- La luz verde de un semáforo está encendida 15 s cada vez, el ámbar 5, y la roja 55 s. Suponiendo que las condiciones de tráfico inducen variaciones aleatorias en los tiempos de llegada de los automóviles, de formar que “llegar cuando el semáforo está verde” es un suceso aleatorio. Calcular la función de probabilidad de éxitos en 4 pruebas independientes. 2.- En un taller hay 10 máquinas iguales, se ha visto que una máquina determinada un día de cada 5 está averiada. a) Si es de 500 € la perdida diaria ocasionada por tener una máquina averiada, calcular la perdida media diaria. b) La probabilidad de que un cierto día no se encuentre ninguna máquina averiada. 3. Sabiendo que la probabilidad de que un estudiante de segundo de Topografía termine la carrera es 0.8, calcular: a) Probabilidad de que un grupo de 20 alumnos terminen 16. b) Si dividimos a los alumnos de segundo en grupos de 20, ¿cuál será el número medio de alumnos por grupo que terminarán la carrera? c) Varianza de la distribución. 4.- Al inspeccionar 100 juntas de soldaduras producidas por una máquina de soldar se encontraron 10 defectuosas. Al soldar 5 uniones, ¿cuál es la probabilidad de encontrar al menos una defectuosa? Calcular la media. 5.- Se supone que el n° de bacterias por mm3 de agua en un estanque es una variable aleatoria que sigue una distribución Poisson de parámetro λ = 1. ¿Cuál es la probabilidad de que no haya bacterias en 1 mm3 de agua? 6.- Se sabe que la probabilidad de que un alumno anote mal un dato en una medición es 0.0002, en una lista de 2000 datos. Determinar: A) El tipo de distribución. B) La probabilidad de que existan exactamente 4 datos incorrectos. C) El número medio de datos mal anotados. 7. Por un punto de una carretera pasan vehículos de acuerdo con la distribución de Poisson, a razón de seis vehículos por minuto. Hallar: A) Probabilidad de que transcurran 20 segundos y pase más de 5 vehículos. B) Si un peatón tarda 10 segundos en cruzar la carretera, calcular la probabilidad de que no pase ningún vehículo. 8.- El ordenador que realiza las 1000 nóminas de una empresa efectúa en cada una de ellas un redondeo al número entero más próximo. Se supone que el redondeo en el importe de cada nómina produce un error que sigue una distribución uniforme entre –0.5 y 0.5 euros. Calcular la probabilidad de que la suma del importe de 1000 nóminas tenga un error total entre –20 y 20 euros. 9.- Sabiendo que los errores de observación, X, de una determinada magnitud siguen una distribución N(0,1.5), calcular: a) Probabilidad de que al hacer una observación el error sea mayor que 0,5. b) El error x tal que P ( X < x ) = 0.95

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Distribuciones discretas y continuas 10.- Un proceso de fabricación tiene tres fases consecutivas de tal manera que la duración en minutos de cada una de ellas viene dada, respectivamente, por las siguientes variables aleatorias independientes: N(50,5), N(70,3) y N(80, 2 ). a) ¿Cuál es la duración total media del proceso? b)¿Cuál es la probabilidad de que el proceso tenga una duración total inferior a 215 minutos? c) Determinar con probabilidad del 0.97 el tiempo máximo que puede durar el proceso. 11.- Los cierres de triángulos de una red están normalmente distribuidos con media 1 y desviación típica 2. Calcular la probabilidad de que un cierre sea: a) mayor que 2. b) mayor que 1 y menor que 2. c) negativo. d) en valor absoluto menor que 1. 12.- Sabiendo que la demanda aleatoria de teodolitos durante un día en una fábrica sigue una distribución N(70,3), calcular: a) Probabilidad de vender más de 60 teodolitos. b) Número de teodolitos que debe fabricar cada día para satisfacer la demanda el 95% de los días. 13.- Se tiene una variable aleatoria X, de la que se conoce que sigue una distribución chicuadrado, con 3 grados de libertad. Se pide: a) La moda b) La mediana 14.- Una niña coge todos los días el autobús para ir al colegio en una parada que está frente a su casa. El tiempo de espera diaria es una variable aleatoria con distribución χ2n de media 5 minutos. a) ¿Cuál es la probabilidad de que el tiempo de espera sea inferior a 5 minutos? b) ¿Cuál es el tiempo de espera máxima con probabilidad 0,5? 15.- Cada una de las tres coordenadas de un punto P del espacio son v. a. con distribución N(0,1). Calcular: a) Probabilidad de que el cuadrado de la distancia de dicho punto al origen de coordenadas sea mayor que 0.35. b) Media del cuadrado de la distancia al origen. 16.- Se tiene una variable aleatoria X, de la que se conoce que sigue una distribución chicuadrado, con 6 grados de libertad. Se pide: a) Probabilidad de que la variable tome un valor inferior a 3. b) Probabilidad de que la variable tome un valor comprendido entre 4 y 5. c) El valor del primer cuartil. 17.- El peso medio de los estudiantes varones de una universidad es de 68 kg y la desviación típica es de 10 kg. Suponiendo que hay 500 y están distribuidos normalmente, hallar el número de estudiantes que: a) pesan entre 48 y 72 kg. b) más de 91kg.

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Distribuciones discretas y continuas c) exactamente 68 kg (Los pesos de los quinientos estudiantes fueron redondeados al entero más próximo). 18.- Una empresa decide otorgar un premio entre los distribuidores si venden trescientos veinte o más productos por día. El número de productos vendidos al día por los distribuidores A y B está normalmente distribuido de la forma siguiente: Distribuidor Media Varianza A 290 400 B 300 100 Se pide: a) ¿Qué porcentaje de los días obtendrá premio el distribuidor A? b) ¿Qué porcentaje de los días obtendrá premio el distribuidor B? c) Si se asocian los distribuidores A y B. ¿Qué porcentaje de los días obtendrían premio? 19.- Se sabe que una fábrica produce un 4 por mil de artículos defectuosos. Se piden cinco artículos a la fábrica. ¿Cuál es la probabilidad de que haya uno defectuoso? Y de que haya al menos uno defectuoso. 20.- Se supone que en un determinado país el número de individuos albinos sigue una distribución de Poisson de parámetro λ =5 . Calcular la probabilidad de que elegida una muestra de la citada población, se presenten los siguientes casos: a) Ningún individuo sea albino. b) Halla menos de dos individuos albinos. c) Al menos se encuentren 3 individuos albinos. 21.- La media del número de libros leídos al cabo de un año por los habitantes de una ciudad determinada es 15 y la desviación típica 2.5. Si la distribución se considera normal, calcular: a) Porcentaje de personas que leen menos de 11 libros al año. b) Porcentaje de personas que leen más de 20 libros al año. c) Porcentaje de personas que leen más de 7 libros y menos de 12 libros al año. d) Valores que hay que tomar a ambos lados de la media, y a igual distancia, para que el área correspondiente bajo la curva sea igual a 0.5. e) Número de libros que ha de leer, como mínimo, una persona para que esté situada entre el 80% de los que mayor número de libros leen al año. 22.- Sabiendo que la mortandad de las orugas a las 48 horas de aplicarles los insecticidas Actelic y Metoxidoro se distribuyen según N(28,4.5) y N(58,4.9) respectivamente. Se pide: a) Probabilidad de que mueran menos de 20 orugas en 48 horas al aplicarles Actelic. b) Probabilidad de que la diferencia de orugas muertas entre los dos grupos Metoxidoro y Actelic sea mayor que 40.

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Distribuciones discretas y continuas 23.- La función de densidad de una χ n de Pearson es f (x) =

x

n   2 −1   

( 2)

n 2 2Γ n

e

-

x 2

si x ≥ 0

a) Calcular la moda según los valores de n. b) Calcular la mediana para n=10. 24.- Una línea eléctrica se avería cuando la tensión T sobrepasa la capacidad C de la línea. Si la tensión sigue el modelo de una distribución N(100,20) y la capacidad según una distribución N(140,10), se pide: a) La probabilidad de que la tensión supere el valor de 150. b) El intervalo de valores alrededor de la media con el 95% de la distribución de la capacidad. c) La probabilidad de avería. 25.- En un proceso de fabricación de productos en vidrio ocurren defectos o burbujas. Se sabe que, en promedio, uno de cada 1000 de estos artículos tiene una o más burbujas. Para una muestra aleatoria de 8000 productos, se pide: a) Probabilidad de que tenga menos de siete artículos con burbujas. b) Mediana de la distribución. c) Varianza de la distribución. 26.- La altura en centímetros de los habitantes de una comunidad es una variable aleatoria X ≡ N(175,10) . Para ser admitido como militar se debe tener un altura entre 165 y 200 y para pertenecer al cuerpo de zapadores se exige además una altura mayor de 190 cm. Se pide: a) Probabilidad de que un habitante cualquiera sea soldado. b) Probabilidad de que un habitante cualquiera sea zapador. c) Probabilidad de que un soldado cualquiera sea zapador. d) El intervalo de valores alrededor de la media con el 95% de la distribución. 27.- El tiempo necesario para realizar un examen sigue una distribución normal de media 100 minutos y de desviación típica 10 minutos. Sabiendo que el examen empieza a las 11horas 30 minutos. Se pide: a) La probabilidad de que un alumno acabe antes de las 12h 30m. b) La probabilidad de que un alumno acabe después de las 13h. c) El tiempo máximo que debe fijar un profesor para que acaben el 90% de los alumnos. d) Si se examinan 10 alumnos, la probabilidad de que al menos uno de ellos acabe el examen antes de las 13h. 28.- Una prueba del examen de Estadística consiste en un cuestionario de 10 preguntas con tres posibles respuestas, solamente una de ellas correcta. Si contestamos a todas las preguntas de manera aleatoria, calcular: a) La probabilidad de aprobar, es decir, contestar correctamente, al menos 5 de las 10 preguntas. b) La probabilidad de no contestar bien a ninguna de ellas.

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Distribuciones discretas y continuas 29.- El contenido de una lata de refresco se distribuye normalmente con una media µ=33 cl y desviación típica σ=1cl. a) ¿Cuál es la probabilidad de que el contenido de una lata sea superior a 34 cl? b) Si tenemos 3 latas, ¡cuál es la probabilidad de que él contenido total sea inferior a 100 cl? c) ¿Qué contenido de refresco máximo le corresponde una probabilidad 0,68? 30.- Se tiene una variable aleatoria X, de la que se conoce que sigue una distribución chicuadrado, con 3 grados de libertad. Obtener la mediana. 31.- La probabilidad de que un alumno resuelva cualquier problema es 0,8. El examen consiste en resolver 7 problemas. Si contesta bien a 4 o más problemas aprueba, pero si contesta solamente a 3 problemas tiene la posibilidad de hacer un examen de repesca, calcular: a) La probabilidad de aprobar. b) La probabilidad de realizar un segundo examen. 32.- Un servidor de una pequeña red de ordenadores recibe una media de 7 accesos al minuto. Se pide: a) Calcular la probabilidad de que reciba más de 10 accesos en un minuto. b) Probabilidad de que en un minuto reciban exactamente 7 accesos. c) Varianza de la distribución. 33.- Sabiendo que la demanda diaria de un artículo X en una fábrica sigue una distribución N(600, 25), calcular: a. Probabilidad de vender menos de 550 artículos X en un determinado día. b. Número de artículos X que se debe fabricar para satisfacer la demanda el 90% de los días. c. Porcentaje de días que venderá 600 artículos X. 34.- Dada una distribución χ3 calcular el valor de la abscisa que corresponde al área sombreada del gráfico cuyo valor es 0,05: 2

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Distribuciones discretas y continuas 35.- Sabiendo que la probabilidad de que un estudiante de la ETSITGC termine la carrera es 0,7. Calcular: a) Probabilidad de que en un grupo de 10 alumnos terminen 7. b) Si empiezan la carrera un grupo de 10 alumnos, ¿cuál será el número medio de alumnos que terminarán la carrera? 36.- A un hospital llegan, de media, 1 persona por minuto. Calcular: a) Probabilidad de que no llegue ninguna persona en 1 minuto. b) Probabilidad de que lleguen al menos dos personas en un minuto. c) La mediana de la distribución número de personas que llegan en un minuto. d) Varianza de la distribución. 37.- Si el 5% de las piezas fabricadas por una determinada marca son defectuosas. En un lote de 20 piezas, calcular el número máximo de piezas defectuosas que se podrá garantizar con una probabilidad del 90%. 38.- Suponiendo que cada niño tiene una probabilidad de 0.49 de ser varón. Calcular la probabilidad de que una familia de 5 hijos: a) Tenga dos niños. b) Tenga al menos un niño. c) Tenga una niña. d) Tenga al menos una niña. 39.- La probabilidad de que un vehículo con más de 10 años pase con éxito la I.T.V. es de 4/5. a) Hallar la probabilidad de que exactamente dos de los siguientes 4 vehículos con más de diez años que se inspeccionen pasen la prueba con éxito. b) Hallar la probabilidad de que al menos pase la prueba un vehículo de los siguientes 4 vehículos con más de diez años. 40.- Por término medio se reciben tres accesos a una página web durante un minuto cualquiera, utilizar el modelo de Poisson para calcular la probabilidad de que en un minuto cualquiera: a) Nadie acceda a la página. b) Se reciban más de dos entradas en un minuto. 41.- El promedio de la frecuencia con la que llegan los coches a un determinado peaje es de cinco coches en 20 minutos. Calcular la probabilidad de que: a) No llegue ningún coche en un periodo de 20 minutos. b) Llegue solo un coche en un periodo de 20 minutos. 42.- Calcular la media y la varianza de una variable aleatoria binomial de parámetros n=15 y p=0.4, es decir X es B(15, 0.4). Calcular P ( µ − σ ≤ X < µ + σ ) .

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Distribuciones discretas y continuas 43.- La cantidad diaria de latas de refresco, despachado por una máquina ubicada en la sala de espera de un aeropuerto es una variable aleatoria con distribución uniforme en el intervalo [60, 100]. Calcular: a) Calcular la función de distribución. b) La probabilidad de que un día determinado la cantidad de latas de refresco despachadas por la máquina sea de más de 74 pero menos de 95 latas. c) La probabilidad de que un día determinado la máquina despache más de 75 latas. 44.- Un fabricante de acero cree que una de las máquinas de rolado está produciendo láminas de metal con espesores variables. El espesor es una variable aleatoria uniforme con valores entre 150 y 200 milímetros. Cualquier lámina que tenga menos de 160 milímetros de espesor deberá desecharse, pues no es aceptable por los compradores. a) Calcular el espesor medio y la desviación típica de las láminas. b) Representar la función de densidad y la de distribución. c) Calcular la proporción de láminas producidas por esta máquina que se desechan. 45.- El peso de un limón está distribuido según una distribución N(125, 10) en gramos. ¿Cuál es la probabilidad de que una caja con 50 limones pese menos de 6 kg? Si llenamos bolsas de ocho limones, ¿cuál es la probabilidad de que las bolsas pesen entre 975 y 1025 gramos? 46.- El consumo diario de una determinada marca de frigoríficos medido en kw/h, es una variable aleatoria normal. El 25% de los días consume menos de 2.25 kw/h, y el 80% de los días consume menos de 2.7 kw/h. ¿Cuál es la media y varianza del consumo diario del frigorífico? 47.- Al finalizar las pruebas de selectividad, uno de los tribunales comprobó que de 250 alumnos presentados, 200 obtuvieron una calificación inferior a 6. Supuesta normal la distribución de las calificaciones, con una desviación típica de 2.5, se pide: a) Calcular la media de las calificaciones. b) Si se considera suspenso a los que han obtenido una calificación inferior a 5, qué tanto por ciento de suspensos habrá habido. c) ¿Cuántos alumnos obtuvieron una nota igual a 6? 48.- El etíope Bekele, posee la mejor marca mundial y puede correr la prueba de los 2000 metros en un tiempo distribuido según una N(4:52.86, 0:03.00). Su contrincante el keniano S. Morir puede hacer esa misma distancia en un tiempo según una distribución N(4:55.72, 0:02.00). Bekele estableció la mejor marca mundial parando el crono en 4:49.99. a) ¿Qué probabilidad tenía de establecer dicha marca? b) ¿Cuál es la probabilidad de que Bekele ganase a S. Morir? c) ¿Cuál es la probabilidad de que ganase en caso de perder 3 segundos por hacer una mala salida? 49.- Un estudio demostró que los tiempos de vida de cierta clase de baterías de automóvil se distribuye normalmente con una media de 1248 días y una desviación típica de 185 días. Si el fabricante desea garantizar sus baterías por 36 meses, ¿qué porcentaje de baterías deberán ser cambiadas estando en vigor la garantía?

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Distribuciones discretas y continuas 50.- En una carrera de Fórmula 1, el consumo de combustible de un determinado vehículo sigue una distribución χ32 por vuelta. Cuando quedan 20 vueltas para el final de la carrera, entra el vehículo a repostar. ¿Cuál es la cantidad mínima de combustible que tiene que repostar para que la probabilidad de que acabe la carrera sea mayor de 0.95? 51.- Calcular las siguientes probabilidades P ( χ 221 > 13.24 ) P ( χ62 ≤ 1.55 ) . P ( χ92 > χ ) =0.05 P ( t 8 < 0.262 ) ;

P ( χ92 < χ ) =0.10

P ( 0.26 ≤ t10 < 0.879 ) ;

P ( 29.6 < χ 221 < 33.6 )

P ( 20.6 < χ 221 < χ ) =0.4

P ( t8 < t ) = 0.9;

P ( 0.26 ≤ t10 < t ) = 0.4

52.- La media del número de errores de ortografía por página es 3. Calcular la probabilidad de que: a) En una página existan exactamente dos errores. b) En una página existan al menos dos errores. c) En cinco páginas existan exactamente doce errores. 53.- Un examen consta de 4 problemas, la probabilidad de que un alumno resuelva bien cualquier problema es 0,8. a) Obtener la función de probabilidad de la variable aleatoria X=”número de problemas resueltos bien”. b) Hallar la probabilidad de realizar bien, al menos, dos problemas. c) ¿Cuál será la moda? 54.- La longitud L en milimitros de las piezas fabricadas en un proceso es una variable aleatoria que se distribuye según una N(10,0.1). Se pide: a) P(9.5 x ) = 0.05 ;

h) P ( χ 72 ≥ x ) = 0.975 ;

i) P ( χ 72 < x ) = 0.975

66.- Calcular el valor de p en las probabilidades siguientes: p ; b) P ( t 9 < −1) =p ; c) P ( t15 > 2.5 ) = p ; d) P ( t 7 > −2 ) =p a) P ( t 9 ≤ 0.3 ) =

p e) P ( 0.75 ≤ t10 < 1.25 ) = p ; f ) P ( t15 > 3.75 ) = p; g) P ( −1.75 ≤ t11 < 1.25 ) =

67.- Calcular el valor, x, de la variable que verifica: 0.90 ; b) P ( t 5 < x ) = 0.05 ; c) P ( t 5 ≥ x ) = 0.975 ; d) P ( t 5 < x ) = 0.975 ; a) P ( t 5 < x ) =

0.05 ; f) P ( x < t 5 < 1.75 ) = 0.045 ; e) P ( t 6 < x ) = 0.95 ; e) P ( − x < t 5 < x ) = 0.05 ; g) P ( t 6 ≥ x ) = 0.975 ; h) P ( − x < t 6 < x ) = 0.05 f) P ( t 6 < x ) =

68.- En un sondeo sobre la actitud de los clientes hacia un determinado producto se encuentra que hay un 70% de clientes que están a favor. Si se extrae una muestra aleatoria de 10 sujetos obtener las probabilidades siguientes: a) Que 3 clientes estén a favor. b) Que más de 3 clientes estén a favor. c) Que menos de 3 clientes estén a favor. d) Que como máximo 3 clientes estén a favor. e) Que como mínimo haya 6 clientes a favor.

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Distribuciones discretas y continuas f) Que estén a favor al menos el valor esperado de clientes que están a favor. g) Probabilidad de que estén en contra 4 o más clientes. h) ¿Qué cantidad de clientes le corresponde al percentil 85? 69.- El contenido de un bote de cerveza se distribuye normalmente con media 33 cl, y desviación estándar 3 cl. a) ¿Cuál es la probabilidad de que un bote determinado tenga más de 34 cl? b) ¿Cuál es la probabilidad de que un determinado bote tenga menos de 30 cl. c) En un envase de 6 botes ¿cuál es la probabilidad de que el contenido líquido total sea inferior a un litro y tres cuartos? 70.- Solo 24 de los 200 alumnos de una Escuela Técnica miden menos de 168 cm, si la estatura media de dichos alumnos es de 174 cm, ¿cuál es la varianza en las estaturas? 71.-La probabilidad de curación de un determinado tratamiento quirúrgico es 0.65. Se pide: a) Calcular la probabilidad de que en un grupo de 10 enfermos se curen la mitad. b) La probabilidad de que al menos se curen dos. c) Mediana. 72.- Las ventas mensuales de dos tiendas de ordenadores siguen distribuciones X ≡ N(120,8) e Y ≡ N(50,6). Calcular la probabilidad de que: a) La primera, X, venda 100 o más ordenadores. b) La segunda, Y, venda menos de 40 ordenadores. c) Entre ambas vendan entre 150 y 180 ordenadores. 73.- En un estudio sobre la preferencia de los clientes hacia una determinada marca X se ha obtenido que el 40% de los clientes tienen la marca X como su marca favorita. Si se extrae una muestra aleatoria de 8 sujetos obtener las probabilidades siguientes: a) Que 2 clientes tengan la marca X como su marca favorita. b) Que menos de 3 clientes tengan la marca X como su marca favorita. c) Que como máximo 3 clientes tengan la marca X como su marca favorita. d) Que como mínimo haya 5 clientes que tengan la marca X como su marca favorita. e) Calcular la media y varianza. 74.- El contenido de un bote de zumo se distribuye normalmente con media 33 cl, y desviación estándar 1 cl. a) ¿Cuál es la probabilidad de que un bote determinado tenga 1. Exactamente 33 cl? 2. Al menos 33.5 cl? 3. Menos de 32 cl? 4. Entre 32 y 34 cl? b) Calcular la cantidad de centilitros que le corresponde a los percentiles P95, P5 y la mediana. c) En un envase de 6 botes ¿cuál es la probabilidad de que el contenido líquido total sea inferior a un litro y tres cuartos?

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Distribuciones discretas y continuas 75.a) Calcular el valor de p en las probabilidades siguientes: 1) P   72  3   p ; 2) P 72  3  p ; 3) P 72  7  p ;









4) P  t 8  2   p ; 5) P  t 8  2   p ; 6) P  1  t 8  1  p

b) Calcular el valor, x, de la variable que verifica: 1) P   52  x   0.95 ; 2) P 52  x  0.05





3) P  t 6  x   0.1 ; 4) P  t 6  x   0.1

76.- Se ha realizado un examen de tipo test con un gran número de preguntas. Las puntuaciones finales del test se dan sobre 50 puntos (enteros del 0 al 50). Las puntuaciones finales en actas son redondeadas al entero más próximo a partir de las puntuaciones reales, esto es, obtienen 12, por ejemplo, los alumnos con nota en el intervalo [11.5, 12.5). Para aprobar el examen se exige una puntuación de 25. Si suponemos que las puntuaciones antes de ser redondeadas siguen una distribución normal de media 30 y varianza 25: a) ¿Qué puntuación máxima (no redondeada) delimita el 22% de las notas más bajas? b) ¿Qué puntuación mínima (no redondeada) delimita el 20% de las notas más altas? c) ¿Qué porcentaje de alumnos aparecerán en las actas de notas finales (redondeadas) con 25 puntos exactamente? d) ¿Cuál será el porcentaje de suspensos en actas (notas finales redondeadas)? 77.- En un parque eólico la distancia entre aerogeneradores situados linealmente sigue el modelo de una distribución N(150, 0.4) metros. Se pide: a) Calcular la probabilidad de que dos aerogeneradores vecinos: a1) Tengan una separación menor que 149. a2) Tengan una separación comprendida entre 149.5 y 149.9. a3) Tengan una separación mayor que 149.9. b) Cuartiles de la distribución. 78.- El tiempo en minutos que tarda un atleta en recorrer 100 metros sigue una distribución Normal, N(10,0.5). En una carrera por relevos de 4x100 metros, ¿cuál es la probabilidad de batir el record establecido en 37 minutos?

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Distribuciones discretas y continuas 1.- La luz verde de un semáforo está encendida 15 s cada vez, el ámbar 5, y la roja 55 s. Suponiendo que las condiciones de tráfico inducen variaciones aleatorias en los tiempos de llegada de los automóviles, de formar que “llegar cuando el semáforo está verde” es un suceso aleatorio. Calcular la función de probabilidad de éxitos en 4 pruebas independientes. Solución: La probabilidad de éxito llegar será: = p

15 1 = 15 + 5 + 55 5

En 4 pruebas tenemos una distribución B(4,1/5) k 4− k n   4 1   4  P(X = k) =  pk . qn−k =      k   k  5   5 

 4 1   4  P(X = 0) =      0 5   5 

4−0

 4 1   4  P(X = 1) =      1 5   5 

4 −1

 4 1   4  P(X = 2) =       2 5   5 

4− 2

 4 1   4  P(X = 3) =       3 5   5 

4 −3

0

1

2

3

≈ 0.4096

≈ 0.4096

≈ 0.1536

≈ 0.0256

 4 1  P(X = 4) =    ≈ 0.0016  4 5  4

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Distribuciones discretas y continuas 2.- En un taller hay 10 máquinas iguales, se ha visto que una máquina determinada un día de cada 5 está averiada. a) Si es de 500 € la perdida diaria ocasionada por tener una máquina averiada, calcular la perdida media diaria. b) La probabilidad de que un cierto día no se encuentre ninguna máquina averiada. Solución: Consideramos la variable aleatoria X=”número de máquinas averiadas en un día” Tenemos una distribución B(10,1/5) 10 − k

n  10   1   4  P(X = k) =  pk . qn−k =      k   k  5   5  k

a) Cuya media es 1 E[X]= np= 10 = 2 ⇒ Perdida igual a 2 por 500=1000€ 5 10 − 0

10   1   4  b) P(X = 0) =        0  5   5  0

≈ 0.1073741824

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Distribuciones discretas y continuas 3. Sabiendo que la probabilidad de que un estudiante de segundo de Topografía termine la carrera es 0.8, calcular: a) Probabilidad de que un grupo de 20 alumnos terminen 16. b) Si dividimos a los alumnos de segundo en grupos de 20, ¿cuál será el número medio de alumnos por grupo que terminarán la carrera? c) Varianza de la distribución. Solución: Consideramos la variable aleatoria X=”número de alumnos que terminan la carrera” Tenemos una distribución B(20,0.8) n   20  20 − k P(X = k) =  pk . qn−k =   0,8k (1 − 0,8 ) k  k  20  20 −16 a) P(X = 16) =   0,816 (1 − 0,8 ) ≈ 0,2181994019  16  b) Cuya media es E[X] =np =20 ⋅ 0,8 =16

c) Cuya varianza es V[X] = npq = 20 ⋅ 0,8 ⋅ 0, 2 = 3, 2

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Asignatura: CÁLCULO Y ESTADÍSTICA 15

Distribuciones discretas y continuas 4.- Al inspeccionar 100 juntas de soldaduras producidas por una máquina de soldar se encontraron 10 defectuosas. Al soldar 5 uniones, ¿cuál es la probabilidad de encontrar al menos una defectuosa? Calcular la media. Solución: Consideramos la variable aleatoria X=”número soldaduras defectuosas”, donde la probabilidad de encontrar una soldadura defectuosa es p = 10/100 = 0,1 Tenemos una distribución B(5,0.1) n  5 5− k P(X = k) =  pk . qn−k =   0,1k (1 − 0,1) k  k 5 5− 0 P ( X ≥ 1) =1 − P ( X < 1) =1 − P ( X =0 ) =1 −   0,10 (1 − 0,1) ≈ 0,40951 0

Cuya media es E[X] =np =⋅ 5 0,1 =0,5

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Asignatura: CÁLCULO Y ESTADÍSTICA 16

Distribuciones discretas y continuas 5.- Se supone que el n° de bacterias por mm3 de agua en un estanque es una variable aleatoria que sigue una distribución Poisson de parámetro λ = 1. ¿Cuál es la probabilidad de que no haya bacterias en 1 mm3 de agua? Solución: Llamamos X a la variable aleatoria " Número de bacterias en 1 mm3 de agua", su función de λ k −λ 1k −1 probabilidad es P(X = k) = e y para e si λ >0 . En nuestro caso: P(X = k) = k! k! 10 −1 1 P(X= 0)= e = e 0!

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Asignatura: CÁLCULO Y ESTADÍSTICA 17

Distribuciones discretas y continuas 6.- Se sabe que la probabilidad de que un alumno anote mal un dato en una medición es 0.0002, en una lista de 2000 datos. Determinar: A) El tipo de distribución. B) La probabilidad de que existan exactamente 4 datos incorrectos. C) El número medio de datos mal anotados. Solución: a) Puede ser una distribución binomial de parámetros n=2000 y p=0,0002 o bien una distribución de Poisson de media np=0,4; ya que se trata de una variable aleatoria discreta con dos situaciones éxito o fracaso. Puesto que np es inferior a 5 utilizaremos la distribución de Poisson (Ley de casos raros). b) Distribución de Poisson de parámetro λ=0,4, luego P(X = k) = cuatro datos incorrectos P(X = 4) =

0, 4k −0,4 y exactamente e k!

0, 44 −0,4 e ≈ 0,0007150080491 4!

c) Media: λ=np= 0,4

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Asignatura: CÁLCULO Y ESTADÍSTICA 18

Distribuciones discretas y continuas 7. Por un punto de una carretera pasan vehículos de acuerdo con la distribución de Poisson, a razón de seis vehículos por minuto. Hallar: A) Probabilidad de que transcurran 20 segundos y pase más de 5 vehículos. B) Si un peatón tarda 10 segundos en cruzar la carretera, calcular la probabilidad de que no pase ningún vehículo. Solución: Distribución de Poisson de parámetro λ=6 en 60 segundos, luego para 20 segundos la λ k −λ 2k −2 frecuencia de paso de vehículos es 2: P(X = k) = e = e k! k!

2k −2 e ≈ 0,01656360847 k = 0 k! 5

a) P(X > 5) =1 − P(X ≤ 5) =1 − ∑ b) Para 10 segundos λ=1

P(X= 0)=

10 −1 e ≈ 0,3678794411 0!

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Asignatura: CÁLCULO Y ESTADÍSTICA 19

Distribuciones discretas y continuas 8.- El ordenador que realiza las 1000 nóminas de una empresa efectúa en cada una de ellas un redondeo al número entero más próximo. Se supone que el redondeo en el importe de cada nómina produce un error que sigue una distribución uniforme entre –0.5 y 0.5 euros. Calcular la probabilidad de que la suma del importe de 1000 nóminas tenga un error total entre –20 y 20 euros. Solución: La distribución uniforme en el intervalo

[a, b]

tiene por función de densidad:

 0 si x < a  1 a+b  y varianza = f (x)  si a ≤ x ≤ b con media µ = 2  b-a 0 si b 2) =1 − P(X ≤ 2) =1-F(2) ≈ 0.3085375387

b) P(1 < X < 2)= P(X < 2) − P(X ≤ 1) =F(2)-F(1) ≈ 0.1914624612

c) P(X < 0) =F(0) ≈ 0.3085375387

d) P( X < 1) = P(−1 < X < 1) = P(X < 1) − P(X ≤ −1) = 2 P(X < 1) − 1 = 2F(1) − 1 ≈ 0.3413447460

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Asignatura: CÁLCULO Y ESTADÍSTICA 23

Distribuciones discretas y continuas 12.- Sabiendo que la demanda aleatoria de teodolitos durante un día en una fábrica sigue una distribución N(70,3), calcular: a) Probabilidad de vender más de 60 teodolitos. b) Número de teodolitos que debe fabricar cada día para satisfacer la demanda el 95% de los días. Solución: La variable aleatoria “número de teodolitos fabricados en un día” X ≡ N(70,3) cuya función de distribución es: 1 (t −µ )2

− 1 F(x)= P(X ≤ x)= ∫ e 2 −∞ σ 2π x

σ

2

1 (t − 70)2

− 1 dt = ∫ e 2 −∞ 3 2π x

32

dt

a) P(X > 60) = 1 − P(X ≤ 60) = 1 − F(60) ≈ 0.9995709396 b) P(X ≤ x) =0.95 ⇒ x = 74.93456095

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Asignatura: CÁLCULO Y ESTADÍSTICA 24

Distribuciones discretas y continuas 13.- Se tiene una variable aleatoria X, de la que se conoce que sigue una distribución chicuadrado, con 3 grados de libertad. Se pide: a) La moda b) La mediana Solución: X ≡ χ 2n =3

a) Buscaremos el máximo en la función de densidad #1: CHI_SQUARE(x, 3) d #2: ⎯⎯ CHI_SQUARE(x, 3) dx - x/2 - x/2 ⎛ √2·√x √2 ⎞ √2· #3:  ·⎜⎯⎯⎯⎯⎯ + ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎟ - ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ⎝ 2·√ 2·√·√x ⎠ 2·√·√x ⎛ - x/2 ⎞ d ⎜ - x/2 ⎛ √2·√x √2 ⎞ √2· ⎟ #4: ⎯⎯ ⎜ ·⎜⎯⎯⎯⎯⎯ + ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎟ - ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎟ dx ⎝ ⎝ 2·√ 2·√·√x ⎠ 2·√·√x ⎠ - x/2 - x/2 √2· √2·√x· #5: ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ - ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 4·√·√x 4·√ Resolviendo la ecuación f’(x)=0 #7: x = ∞ ∨ x = 1

(

)

b) F(M) = P χ 2n =3 < M = 0.5 ⇒ M = 2.365973889

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Asignatura: CÁLCULO Y ESTADÍSTICA 25

Distribuciones discretas y continuas 14.- Una niña coge todos los días el autobús para ir al colegio en una parada que está frente a su casa. El tiempo de espera diaria es una variable aleatoria con distribución χ 2n de media 5 minutos. a) ¿Cuál es la probabilidad de que el tiempo de espera sea inferior a 5 minutos? b) ¿Cuál es el tiempo de espera máxima con probabilidad 0,5? Solución:

0.5841198130 a) P ( χ 2n =5 < 5 ) = b) P ( χ 2n =5 < x ) = 0.5 ⇒ x = 4.351460337

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Asignatura: CÁLCULO Y ESTADÍSTICA 26

Distribuciones discretas y continuas 15.- Cada una de las tres coordenadas de un punto P del espacio son v. a. con distribución N(0,1). Calcular: a) Probabilidad de que el cuadrado de la distancia de dicho punto al origen de coordenadas sea mayor que 0.35. b) Media del cuadrado de la distancia al origen. Solución: Un punto P(X1,X2,X3) donde X i ≡ N(0,1) si calculamos

( d(O, P) )= 2

(

a) P χ

1 P (χ > 0,35 ) =−

2 2 = n 3= n 3

X12 + X 22 + X 32 ≡ χ 2n =3

> 0,35 ) =0.9503661173

b) E χ 2n =3  = n =3

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Asignatura: CÁLCULO Y ESTADÍSTICA 27

Distribuciones discretas y continuas 16.- Se tiene una variable aleatoria X, de la que se conoce que sigue una distribución chicuadrado, con 6 grados de libertad. Se pide: a) Probabilidad de que la variable tome un valor inferior a 3. b) Probabilidad de que la variable tome un valor comprendido entre 4 y 5. c) El valor del primer cuartil. Solución: X ≡ χ 2n =6

(

)

0.1911531694 a) P χ 2n =6 < 3 =

(

< 5) = P ( χ

(

)

b) P 4 < χ

< 5) − P ( χ

2 2 2 = n 6= n 6= n 6

< 4 ) = 0.1328633003

c) P χ 2n =6 < Q1 = 0.25 ⇒ Q1 = 3.454598784

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Asignatura: CÁLCULO Y ESTADÍSTICA 28

Distribuciones discretas y continuas 17.- El peso medio de los estudiantes varones de una universidad es de 68 kg y la desviación típica es de 10 kg. Suponiendo que hay 500 y están distribuidos normalmente, hallar el número de estudiantes que: a) pesan entre 48 y 72 kg. b) más de 91kg. c) exactamente 68 kg (Los pesos de los quinientos estudiantes fueron redondeados al entero más próximo). Solución:

La variable aleatoria “peso” X ≡ N(68,10) cuya función de distribución es: 1 (t −µ )2

− 1 F(x)= P(X ≤ x)= ∫ e 2 −∞ σ 2π x

σ

2

1 (t − 68)2

− 1 dt = ∫ e 2 −∞ 10 2π x

102

dt

a) P(48 < X < 72) = P(X < 72) − P(X ≤ 48) = F(72) − F(48) ≈ 0,6326716096 En una población de 500 estudiantes será: 500.(0,6326716096) aproximadamente 316 b) P(X > 91) = 1 − P(X ≤ 91) = 1 − F(91) = 1 − 0,9892758899 ≈ 0.01072411000 En una población de 500 estudiantes será: 500.( 0.01072411000) aproximadamente 5 c) P(X = 68) = 0 P(67,5 < X < 68,5)= P(X < 68,5) − P(X ≤ 67,5)= F(68,5) − F(67,5) ≈ 0.03987761167 En una población de 500 estudiantes será: 500.( 0.03987761167) aproximadamente 20

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Asignatura: CÁLCULO Y ESTADÍSTICA 29

Distribuciones discretas y continuas 18.- Una empresa decide otorgar un premio entre los distribuidores si venden trescientos veinte o más productos por día. El número de productos vendidos al día por los distribuidores A y B está normalmente distribuido de la forma siguiente: Distribuidor Media Varianza A 290 400 B 300 100 Se pide: a) ¿Qué porcentaje de los días obtendrá premio el distribuidor A? b) ¿Qué porcentaje de los días obtendrá premio el distribuidor B? c) Si se asocian los distribuidores A y B. ¿Qué porcentaje de los días obtendrían premio? Solución: La variable aleatoria “nº de productos distribuidor A” X ≡ N(290, 20) La variable aleatoria “nº de productos distribuidor B” Y ≡ N(300,10)

a) P(X > 320) = 1 − P(X ≤ 320) = 1 − F(320) = 1 − 0.9331927987 ≈ 0.06680720126 1, por tanto, el 6,68 por 100 de los días obtendrá premio el distribuidor A. b) P(Y > 320) = 1 − P(Y ≤ 320) = 1 − F(320) = 1 - 0.9772498680 ≈ 0.02275013194 , el 2,28 por 100 de los días obtiene premio el distribuidor B c) Si se asocian el número de productos vendidos al día tendrá de media 590, y desviación típica

σX + Y =

σ2X + σ2Y =

400 + 100 =

500

P(X + Y > 320) = 1 − P(X + Y ≤ 320) = 1 − F(320) = 1 - 0=1

Obtendrían premio el 100% de los días

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Asignatura: CÁLCULO Y ESTADÍSTICA 30

Distribuciones discretas y continuas 19.- Se sabe que una fábrica produce un 4 por mil de artículos defectuosos. Se piden cinco artículos a la fábrica. ¿Cuál es la probabilidad de que haya uno defectuoso? Y de que haya al menos uno defectuoso. Solución: Consideramos la variable aleatoria X=”articulo defectuoso”, donde la probabilidad es p = 4/1000 = 0,004 Tenemos una distribución B(5,0.004) n  5 5− k P(X = k) =  pk . qn−k =   0, 004k (1 − 0, 004 ) k  k

a) 5 5 −1 1 P (X = 1) =   0, 004 (1 − 0, 004 ) ≈ 0,01968191488 1 b) 5 5− 0 P ( X ≥ 1) =1 − P ( X < 1) =1 − P ( X =0 ) =1 −   0, 0040 (1 − 0, 004 ) =1 − 0,9965 ≈ 0 0,01984063872

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Asignatura: CÁLCULO Y ESTADÍSTICA 31

Distribuciones discretas y continuas 20.- Se supone que en un determinado país el número de individuos albinos sigue una distribución de Poisson de parámetro λ =5 . Calcular la probabilidad de que elegida una muestra de la citada población, se presenten los siguientes casos: a) Ningún individuo sea albino. b) Halla menos de dos individuos albinos. c) Al menos se encuentren 3 individuos albinos. Solución: Llamamos X a la variable aleatoria " Número de individuos albinos", su función de λ k −λ probabilidad es P(X = k) = e si λ >0 . k! 5k −5 En nuestro caso: P(X e y para = k) = k! a) P(X= 0) =

1 50 −5 e = 5 e 0!

b) P(X < 2) = P(X =0) + P(X =1) =

6 50 −5 51 −5 e + e = 6e −5 = 5 e 0! 1!

c) P(X ≥ 3) =1 − P(X < 3) =1 − ( P(X =0) + P(X =1) + P(X =2) ) =1 −

50 −5 51 −5 52 −5 37 e − e - e = 1- e −5 ≈ 0! 1! 2! 2

0,8753479805

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Distribuciones discretas y continuas 21.- La media del número de libros leídos al cabo de un año por los habitantes de una ciudad determinada es 15 y la desviación típica 2.5. Si la distribución se considera normal, calcular: a) Porcentaje de personas que leen menos de 11 libros al año. b) Porcentaje de personas que leen más de 20 libros al año. c) Porcentaje de personas que leen más de 7 libros y menos de 12 libros al año. d) Valores que hay que tomar a ambos lados de la media, y a igual distancia, para que el área correspondiente bajo la curva sea igual a 0.5. e) Número de libros que ha de leer, como mínimo, una persona para que esté situada entre el 80% de los que mayor número de libros leen al año. Solución: X − 15 La variable aleatoria “nº de libros” X ≡ N(15, 2.5) ⇒= Y ≡ N(0,1) 2.5 a) P(X < 11)= F(11) ≈ 0.05479929169 ⇒ 5, 48% b) P(X > 20) = 1 − P(X ≤ 20) = 1 − F(20) ≈ 0.02275013194 ⇒ 2, 28% c) P(7 < X < 12)= P(X < 12) − P(X ≤ 7) =F(12)-F(7) ≈ 0.1143825322 ⇒ 11,44% d) P(r < X < s) =0.5 ⇔ F ( s ) =0.75 ⇒ 16.6862 F(r) = 0, 25 ⇒ 13.3137 Los valores pedidos son: (13.3137,16.6862 )

e) P(X > x) =0.8 =− 1 P(X ≤ x) =− 1 F ( x ) ⇒ F ( x ) =0.2 ⇒ x = 12.89594691

13 libros

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Distribuciones discretas y continuas 22.- Sabiendo que la mortandad de las orugas a las 48 horas de aplicarles los insecticidas Actelic y Metoxidoro se distribuyen según N(28,4.5) y N(58,4.9) respectivamente. Se pide: a) Probabilidad de que mueran menos de 20 orugas en 48 horas al aplicarles Actelic. b) Probabilidad de que la diferencia de orugas muertas entre los dos grupos Metoxidoro y Actelic sea mayor que 40. Solución: Sea A la mortandad de las orugas con Actelic, N(28,4.5), cuya función de distribución es: 1 (t −µ )2

− 1 FA (x)= P(A ≤ x)= ∫ e 2 −∞ σ 2π x

σ

dt =

2

x

1

−∞

4.5 2π

∫

−

e

1 (t − 28)2 2 4.52

dt

Sea M la mortandad de las orugas con Metoxidoro, N(58,4.9), cuya función de distribución es: 1 (t −µ )2

− 1 FM (x)= P(M ≤ x)= ∫ e 2 −∞ σ 2π x

σ

2

dt=

x

1

−∞

4.9 2π

∫

−

e

1 (t −58)2 2 4.92

dt

a) Así pues: P ( A < 20= ) FA (20) ≈ 0.03772017980 b)

(

)

Ahora la distribución M − A ≡ N 58 − 28, 4.92 + 4.52 = N ( 30, 6.652818951)

P ( M − A > 40 ) = 1 − P ( M − A < 40 ) = 1 − F(40) ≈ 0.06640376476

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Distribuciones discretas y continuas 23.- La función de densidad de una χ n de Pearson es f (x) =

n   −1  

x 2 n

( 2)

2 Γ n 2

e

-

x 2

si x ≥ 0

a) Calcular la moda según los valores de n. b) Calcular la mediana para n=10. Solución: a) Para calcular la moda debemos obtener el máximo de la función de densidad n/2 - 1 - x/2 d x · ⎯⎯ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ #2: dx n/2 ⎛ n ⎞ 2 ·⎜⎯⎟ ⎝ 2 ⎠ - (n + 2)/2 - x/2 (n - 4)/2 2 · ·x ·(x - n + 2) - ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ #3: ⎛ n ⎞ ⎜⎯ - 1⎟! ⎝ 2 ⎠  n −4  −1   2 

x (x − n + 2)x f '(x) = e 2 =0 ⇒ x = n − 2, si n>2 n +2  n  2 2  − 1 ! 2     1/2 - 1 - x/2 x · ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ #6: 1/2 ⎛ 1 ⎞ 2 ·⎜⎯⎟ ⎝ 2 ⎠   - x/2  #7: ⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 2 

b) Para n=10

F(x) La mediana, x, es tal que=

#10:

#11:

x

f (t)dt ∫= 0

0,5

x ⌠ 4 - x/2 ⎮ x · ⎮ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ dx = 0.5 ⌡ 768 0 x = 9.341817498

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Asignatura: CÁLCULO Y ESTADÍSTICA 29

Distribuciones discretas y continuas 24.- Una línea eléctrica se avería cuando la tensión T sobrepasa la capacidad C de la línea. Si la tensión sigue el modelo de una distribución N(100,20) y la capacidad según una distribución N(140,10), se pide: a) La probabilidad de que la tensión supere el valor de 150. b) El intervalo de valores alrededor de la media con el 95% de la distribución de la capacidad. c) La probabilidad de avería. Solución: T ≡ N (100, 20 ) y C ≡ N (140,10 ) a) P(T > 150) = 1 − P(T ≤ 150) = 1 − FT (150) ≈ 0.006209665315 b) P(r < C < s) =0,95 ⇔ = FC ( s ) =P(C C ) =P ( T − C > 0 ) =− 1 P ( T − C < 0 ) =− 1 F(0) ≈ 0.03681913468

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Distribuciones discretas y continuas 25.- En un proceso de fabricación de productos en vidrio ocurren defectos o burbujas. Se sabe que, en promedio, uno de cada 1000 de estos artículos tiene una o más burbujas. Para una muestra aleatoria de 8000 productos, se pide: a) Probabilidad de que tenga menos de siete artículos con burbujas. b) Mediana de la distribución. c) Varianza de la distribución. Solución: Consideramos la variable aleatoria X=”número de artículos con burbujas” con p=0,001 y n=8000. Podemos considerar una distribución Binomial o una distribución de Poisson Para una distribución B(0.001,8000) n  8000  10 − k 10 − k k P(X = k) =   p k (= 1− p)   0, 001 (1 − 0, 001) k  k  a) P(X < 7) =

 8000  10 − k k ≈ 0, 31325207  0, 001 (1 − 0, 001) k =0  k  6

∑

b) F(M) = P(X ≤ M) =

 8000  10 − k k ≥ 0,5 ⇒ M = 8  0, 001 (1 − 0, 001) k =0  k  M

∑

c) Varianza=np(1-p)=8000 0,001 0,991=7.992 Otra forma de resolver el problema, dado que n es grande y p pequeño es con una Distribución de Poisson de parámetro λ=np=8: λ k −λ 8k −8 = k) = P(X e = e k! k! k 6 8 < 7) ∑ e −8 ≈ 0.3133742775 a) P(X= k = 0 k! b) F(M) = P(X ≤ M) =

8k −8 e ≥ 0,5 ⇒ M = 8 ∑ k = 0 k! M

c) La varianza coincide con la media λ=8.

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Asignatura: CÁLCULO Y ESTADÍSTICA 31

Distribuciones discretas y continuas 26.- La altura en centímetros de los habitantes de una comunidad es una variable aleatoria X ≡ N(175,10) . Para ser admitido como militar se debe tener un altura entre 165 y 200 y para pertenecer al cuerpo de zapadores se exige además una altura mayor de 190 cm. Se pide: a) Probabilidad de que un habitante cualquiera sea soldado. b) Probabilidad de que un habitante cualquiera sea zapador. c) Probabilidad de que un soldado cualquiera sea zapador. d) El intervalo de valores alrededor de la media con el 95% de la distribución. Solución: La variable aleatoria “altura” X ≡ N(175,10) a) P(165 < X < 200)= P(X < 200) − P(X ≤ 165)= F(200) − F(165) ≈ 0.8351350807 b) P(190 < X < 200)= P(X < 200) − P(X ≤ 190)= F(200) − F(190) ≈ 0.06059753595 c)

P(190 < X < 200) 0.06059753595 ≈ ≈ 0.07256016104 P(165 < X < 200) 0.8351350807

r = 155.4003602 F(r)= P(X < r)= 0.025 d) P(−r < X < = s) 0.95 ⇒  ⇒ F(s)= P(X < s)= 0.975 s = 194.5996397

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Asignatura: CÁLCULO Y ESTADÍSTICA 32

Distribuciones discretas y continuas 27.- El tiempo necesario para realizar un examen sigue una distribución normal de media 100 minutos y de desviación típica 10 minutos. Sabiendo que el examen empieza a las 11horas 30 minutos. Se pide: a) La probabilidad de que un alumno acabe antes de las 12h 30m. b) La probabilidad de que un alumno acabe después de las 13h. c) El tiempo máximo que debe fijar un profesor para que acaben el 90% de los alumnos. d) Si se examinan 10 alumnos, la probabilidad de que al menos uno de ellos acabe el examen antes de las 13h. Solución: La variable aleatoria “TIEMPO” X ≡ N(100,10) cuya función de distribución es: 1 (t −µ )2

− 1 F(x)= P(X ≤ x)= ∫ e 2 −∞ σ 2π x

σ

2

1 (t −100)2

− 1 dt = ∫ e 2 −∞ 10 2π x

102

dt

a) P(X < 60)= F(60) ≈ 3 10-5 b) P(X > 90) = 1 − P(X ≤ 90) = 1 − F(90) ≈ 0.8413447460 c) P(X ≤ t)= F(t)= 0,90 ⇒ t = 112.8155159 113 minutos a partir de las 11:30 horas resulta que el examen debe acabar a las 13h 23m d) P(que acabe al menos uno de los 10 antes de 90 minutos)= =1-P(que no acaben ninguno de los 10 antes de 90 minutos)= =1-P(los 10 acaben depués de 90 minutos)= =1-(P(uno acabe depués de 90 minutos))10= =1-P(X>90)10=1-(1-P(X 34) =

(

b) El contenido de las 3 latas: 3X = X + X + X ≡ N 99, 3

)

P(3X < 100) =F3X (100) ≈ 0.7181485691 c) P(X < x)= 0, 68 ⇒ x = 33.46769880

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Asignatura: CÁLCULO Y ESTADÍSTICA 35

Distribuciones discretas y continuas 30.- Se tiene una variable aleatoria X, de la que se conoce que sigue una distribución chicuadrado, con 3 grados de libertad. Obtener la mediana. Solución: X ≡ χ 2n =3

F(M) = P ( χ 2n =3 < M ) = 0.5 ⇒ M = 2.365973889

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Asignatura: CÁLCULO Y ESTADÍSTICA 36

Distribuciones discretas y continuas 31.- La probabilidad de que un alumno resuelva cualquier problema es 0,8. El examen consiste en resolver 7 problemas. Si contesta bien a 4 o más problemas aprueba, pero si contesta solamente a 3 problemas tiene la posibilidad de hacer un examen de repesca, calcular: a) La probabilidad de aprobar. b) La probabilidad de realizar un segundo examen. Solución: Consideramos la variable aleatoria X=”número de problemas resueltos bien” Tenemos una distribución B(7,0.8) n 7 n −k 7−k P(X = k) =   p k (1 − p )=   0.8k (1 − 0.8 ) k k 3 7 7−k a) P(X ≥ 4) =1 − P(X < 4) =∑   0.8k (1 − 0.8 ) ≈ 0.966656 k =0  k 

7 7 −3 b) P(X = 3) =   0.83 (1 − 0.8 ) ≈ 0.028672  3

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Asignatura: CÁLCULO Y ESTADÍSTICA 37

Distribuciones discretas y continuas 32.- Un servidor de una pequeña red de ordenadores recibe una media de 7 accesos al minuto. Se pide: a) Calcular la probabilidad de que reciba más de 10 accesos en un minuto. b) Probabilidad de que en un minuto reciban exactamente 7 accesos. c) Varianza de la distribución. Solución: λ k −λ 7 k −7 Distribución de Poisson de parámetro λ=7 en 1 minuto: P(X = k) = e = e k! k! 7 k −7 e ≈ 0.1695040627 k = 0 k! 9

a) P(X ≥ 10) = 1 − P(X < 10) = 1− ∑ = 7) = b) P(X

7 7 −7 e 7!

0.1490027796

c) La varianza coincide con la media λ=7.

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Asignatura: CÁLCULO Y ESTADÍSTICA 38

Distribuciones discretas y continuas 33.- Sabiendo que la demanda diaria de un artículo X en una fábrica sigue una distribución N(600, 25), calcular: a) Probabilidad de vender menos de 550 artículos X en un determinado día. b) Número de artículos X que se debe fabricar para satisfacer la demanda el 90% de los días. c) Porcentaje de días que venderá 600 artículos X. Solución: a. P(X ≤ 550)= F(550) ≈ 0,0227501. b. F(x)= P(X ≤ x)= 0,90 ⇒ x = 632.0387887 , luego se necesitan 633 artículos c. P(599,5 ≤ x ≤ 600,5)= P(x ≤ 600,5) − P(x < 599,5)= F(600,5) − F(599,5) ≈ 0,01595. Por tanto, el porcentaje de días que se vende 600 artículos será 1,6%

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Asignatura: CÁLCULO Y ESTADÍSTICA 39

Distribuciones discretas y continuas 34.- Dada una distribución χ3 calcular el valor de la abscisa que corresponde al área sombreada del gráfico cuyo valor es 0,05: 2

Solución: P (χ

2 = n 3

> x ) =0, 05= ⇒ F(x) =P ( χ 2n 3= ≤ x ) =− 1 P ( χ 2n 3 < x ) =0,95 ⇒ x = 7.814728021

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Asignatura: CÁLCULO Y ESTADÍSTICA 40

Distribuciones discretas y continuas 35.- Sabiendo que la probabilidad de que un estudiante de la ETSITGC termine la carrera es 0,7. Calcular: a) Probabilidad de que en un grupo de 10 alumnos terminen 7. b) Si empiezan la carrera un grupo de 10 alumnos, ¿cuál será el número medio de alumnos que terminarán la carrera? Solución: Consideramos la variable aleatoria X=”número de alumnos que terminan la carrera” Tenemos una distribución Binomial: B(10,0.7) n  10  10 − k P(X = k) =  pk . qn−k =   0, 7 k (1 − 0, 7 ) k  k

10  10 − 7 a) P(X = 7) =   0, 7 7 (1 − 0, 7 ) ≈ 0.266827932 7 b) Cuya media es

E[X] =np =10 ⋅ 0, 7 =7

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Asignatura: CÁLCULO Y ESTADÍSTICA 41

Distribuciones discretas y continuas 36.- A un hospital llegan, de media, 1 persona por minuto. Calcular: a) Probabilidad de que no llegue ninguna persona en 1 minuto. b) Probabilidad de que lleguen al menos dos personas en un minuto. c) La mediana de la distribución número de personas que llegan en un minuto. d) Varianza de la distribución. Solución: Distribución de Poisson de parámetro λ=1 en 1 minuto: P(X = k) = a) P(X= 0)=

λ k −λ 1k −1 e = e k! k!

10 −1 e ≈ 0.3678794411 0!

1k −1 e =1-2 e −1 ≈ 0.2642411176 k = 0 k! 1

b) P(X ≥ 2) =1 − P(X < 2) =1 − ∑ c) F(x) = P(X < x) = 0,5 ⇒ x = 1

d) La varianza coincide con la media λ=1.

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Asignatura: CÁLCULO Y ESTADÍSTICA 42

Distribuciones discretas y continuas 37.- Si el 5% de las piezas fabricadas por una determinada marca son defectuosas. En un lote de 20 piezas, calcular el número máximo de piezas defectuosas que se podrá garantizar con una probabilidad del 90%. Solución: Si X es el suceso “número de piezas defectuosas”, entonces X ≡ B ( n = 20, p = 0.05 ) .

0.9 . Debemos calcular P ( X ≤ m ) = m

Como en una distribución es binomial se verifica P ( X ≤ m ) =∑ P ( X =i ) =0.9 , entonces i =0

P ( X ≤ 1) = 0, 73583952 . P ( X ≤ 2) = 0,92451633 . Por tanto, podemos garantizar con una probabilidad mayor de 0.9 que hay como máximo 2 piezas defectuosas en el lote de 20 piezas. Con una probabilidad de 0,73583952 garantizaríamos que existen como máximo 1 pieza defectuosa. Así pues, el número máximo que podemos garantizar con una probabilidad de 0.9 es de dos piezas.

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Asignatura: CÁLCULO Y ESTADÍSTICA 43

Distribuciones discretas y continuas 38.- Suponiendo que cada niño tiene una probabilidad de 0.49 de ser varón. Calcular la probabilidad de que una familia de 5 hijos: a) Tenga dos niños. b) Tenga al menos un niño. c) Tenga una niña. d) Tenga al menos una niña. Solución: Si X es la variable aleatoria “número de hijos varones en una familia de cinco hijos”

X ≡ B(n = 5, p=0.49 ) . n Función de probabilidad P ( X = k= )   pk (1 − p)n −k k 5 a) P ( X = 2= )  ·0.4920.514 ≈ 0.318495  2 b) La probabilidad de tener al menos un niño es la probabilidad complementaria de no tener un niño. 5 P ( X ≥ 1) =1 − P ( X =0 ) =1 −  ·0.490 0.515 ≈ 0.965497 0 c) Que tenga una niña, significa que tiene 4 niños. 5 P (X = 4= )  ·0.4940.511 ≈ 0.318495  4 d) Que tenga al menos una niña, significa que no tenga más de cuatro niños. 5 P ( X ≤ 4 ) =− 1 P ( X > 4 ) =− 1 P ( X =5 ) =− 1  ·0.4950.510 ≈ 0.971752 5

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Asignatura: CÁLCULO Y ESTADÍSTICA 44

Distribuciones discretas y continuas 39.- La probabilidad de que un vehículo con más de 10 años pase con éxito la I.T.V. es de 4/5. a) Hallar la probabilidad de que exactamente dos de los siguientes 4 vehículos con más de diez años que se inspeccionen pasen la prueba con éxito. b) Hallar la probabilidad de que al menos pase la prueba un vehículo de los siguientes 4 vehículos con más de diez años. Solución: Sea A el suceso “el vehículo con más de diez años supera la prueba de I.T.V.”, entonces 4 1 P (A= ) = p ⇒ q =1 − p = y n=4 . Tenemos que X es el suceso “número de vehículos que 5 5 4  pasan con éxito la ITV”, entonces X ≡ B  n = 4, p =  . 5  n Función de probabilidad P ( X = k= )   pk (1 − p)n −k k

 4 4 1 x 2= a) P ( = )      ≈ 0.1536  2 5   5  2

2

b) Pasan la prueba al menos un vehículo si la pasan 1,2,3 o 4, es decir

 4  4   1  P ( X ≥ 1) =1 − P ( X < 1) =1 − P ( X =0 ) =1 −  ·    ≈ 0.9984 0  5   5  0

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4

Asignatura: CÁLCULO Y ESTADÍSTICA 45

Distribuciones discretas y continuas 40.- Por término medio se reciben tres accesos a una página web durante un minuto cualquiera, utilizar el modelo de Poisson para calcular la probabilidad de que en un minuto cualquiera: a) Nadie acceda a la página. b) Se reciban más de dos entradas en un minuto. Solución: Si X es el suceso “número accesos en un minuto”, entonces X ≡ P ( λ =3) . λ k −λ Función de probabilidad P ( X = k= e ) k! a) P (X = 0= )

30 −3 e ≈ 0.04978706836 0!

b)

P ( X > 2) = 1 − P(X ≤ 2) = 1 − F(2) = 1 − ( P(X =+ 0) P(X = 1) + P(X = 2) ) =  30  31 32 = 1 −  e −3 + e −3 + e −3  ≈ 0.5768099188 1! 2!   0!

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Asignatura: CÁLCULO Y ESTADÍSTICA 46

Distribuciones discretas y continuas 41.- El promedio de la frecuencia con la que llegan los coches a un determinado peaje es de cinco coches en 20 minutos. Calcular la probabilidad de que: c) No llegue ningún coche en un periodo de 20 minutos. d) Llegue solo un coche en un periodo de 20 minutos. Solución: Si X es el suceso “número coches en 20 minutos”, entonces X ≡ P ( λ =5 ) . λ k −λ Función de probabilidad P ( X = k= e ) k! a) P (X = 0= )

50 −5 e ≈ 0.006737946999 0!

P ( X= 1= )

51 −5 e ≈ 0.03368973499 1!

b)

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Asignatura: CÁLCULO Y ESTADÍSTICA 47

Distribuciones discretas y continuas 42.- Calcular la media y la varianza de una variable aleatoria binomial de parámetros n=15 y p=0.4, es decir X es B(15, 0.4). Calcular P ( µ − σ ≤ X < µ + σ ) . Solución: Se trata de X ≡ B ( n = 15, p = 0.4 ) . Para el cálculo de la media y varianza aplicamos las fórmulas estudiadas en la teoría = µ n·p = 6 = σ2 n·p·q = 3.6 ⇒ σ ≈ 1.9 Los valores de X comprendidos entre µ − σ ≤ X < µ + σ son los valores 5,6 y 7. Por tanto, n Función de probabilidad P ( X = k= )   pk (1 − p)n −k k 15  P ( X= 5= )   0.450.610 ≈ 0.185938 5  15  P (X = 6= )   0.460.69 ≈ 0.206598 6  15  P (X = 7= )   0.47 0.68 ≈ 0.177083 7 

5) + P ( X = 6) + P ( X = 7) = P (µ − σ ≤ X < µ + σ) = P ( X = 0.185938+0.206598+0.177083=0.569619.

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Asignatura: CÁLCULO Y ESTADÍSTICA 48

Distribuciones discretas y continuas 43.- La cantidad diaria de latas de refresco, despachado por una máquina ubicada en la sala de espera de un aeropuerto es una variable aleatoria con distribución uniforme en el intervalo [60, 100]. Calcular: a) Calcular la función de distribución. b) La probabilidad de que un día determinado la cantidad de latas de refresco despachadas por la máquina sea de más de 74 pero menos de 95 latas. c) La probabilidad de que un día determinado la máquina despache más de 75 latas. Solución: Sea X la variable aleatoria que representa el número de latas consumidas durante un día. X sigue una distribución uniforme de parámetros a=60 y b=100. 1 = k= La probabilidad de consumir k latas es P ( X ) 41

0 si x 29.6 ) − P ( χ 221 > 33.6 ) = =DISTR.CHI(29,6;21)-DISTR.CHI(33,6;21) = 0, 060352431

P ( χ92 >= χ ) 0.05 ⇒ = PRUEBA.CHI.INV ( 0, 05;9 ) ⇒

χ =16,9189776

P ( χ92 < χ= = ⇒ P ( χ92 > χ= ) 0.10 ) 0.9 ⇒ PRUEBA.CHI.INV ( 0,9; 9 ) ⇒ χ =4,16815904 P ( 20.6 < χ 221 < χ )= P ( χ 221 > 20.6 ) − P ( χ 221 > χ )= 0.4 ⇒ P ( χ 221 > χ )= P ( χ 221 > 20.6 ) − 0.4

=PRUEBA.CHI.INV (DISTR.CHI(20,6;21)-0,4;21)

χ =30, 4348006

P ( t 8 < 0.262 ) = P ( −0.262 < t 8 < 0.262 ) = 1 − 2P ( t 8 > 0.262 )

=1-DISTR.T(0,262;8;2) = 0,200058723 P ( 0.26 ≤ t10 < 0.879 ) =P ( t10 > 0.26 ) − P ( t10 > 0.879 ) =

=DISTR.T(0,26;10;1)-DISTR.T(0,879;10;1) = 0, 20005436

P ( t 8 < t ) = 0.9 ⇒ P ( t 8 > t ) = 0.1 ⇒ =DISTR.T.INV(0,1;8) = 1,859548033 P ( 0.26 ≤ t10 < t= ) P ( t10 > 0.26 ) − P ( t10 > t=) 0.4 ⇒ P ( t10 > t=) P ( t10 > 0.26 ) − 0.4

=DISTR.T(0,26;10;1)-0,4 = 0, 0000693007 ⇒ Hay que tener en cuenta las dos colas =DISTR.T.INV(2*0, 0000693007;10) = 5,964088322

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Asignatura: CÁLCULO Y ESTADÍSTICA 57

Distribuciones discretas y continuas 52.- La media del número de errores de ortografía por página es 3. Calcular la probabilidad de que: a) En una página existan exactamente dos errores. b) En una página existan al menos dos errores. c) En cinco páginas existan exactamente doce errores. Solución: Distribución de Poisson de parámetro λ=3 en 1 página: P(X = k) = a) P(X = 2) =

λ k −λ 3k −3 e = e k! k!

32 −3 e ≈ 0.2240418076 2!

3k −3 e ≈ 0.8008517265 k = 0 k! 1

b) P(X ≥ 2) =1 − P(X < 1) =1 − ∑

c) Distribución de Poisson de parámetro λ=5x3=15: P(Y = k) = P(Y = 12) =

λ k −λ 15k −15 e = e k! k!

1512 −15 e ≈ 0.08285923436 12!

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Asignatura: CÁLCULO Y ESTADÍSTICA 58

Distribuciones discretas y continuas 53.- Un examen consta de 4 problemas, la probabilidad de que un alumno resuelva bien cualquier problema es 0,8. a) Obtener la función de probabilidad de la variable aleatoria X=”número de problemas resueltos bien”. b) Hallar la probabilidad de realizar bien, al menos, dos problemas. c) ¿Cuál será la moda? Solución:

Tenemos una distribución B(4,0.8)

n 4 n −k 4− k P(X = k) =   p k (1 − p )=   0.8k (1 − 0.8 ) k k a)

 4 4−0 P(X = 0) =   0.80 (1 − 0.8 ) ≈ 0.0016 0  4 4 −1 P(X = 1) =   0.81 (1 − 0.8 ) ≈ 0.0256 1

 4 4− 2 P(X = 2) =   0.82 (1 − 0.8 ) ≈ 0.1536  2  4 4 −3 P(X = 3) =   0.83 (1 − 0.8 ) ≈ 0.4096  3  4 4− 4 P(X = 4) =   0.84 (1 − 0.8 ) ≈ 0.4096  4

1  4 4− k b) P(X ≥ 2) =1 − P(X < 1) =1 − ∑   0.8k (1 − 0.8 ) ≈ 0.9728 k =0  k 

c) Resulta una distribución bimodal {3,4}

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Asignatura: CÁLCULO Y ESTADÍSTICA 59

Distribuciones discretas y continuas 54.- La longitud L en milimitros de las piezas fabricadas en un proceso es una variable aleatoria que se distribuye según una N(10,0.1). Se pide: a) P(9.5 2) = 1 – F( 2 ) = 1 – 0.952777 = 0.047422. e) P(X ≥ 2) = 1 – P(X < 2) = 1 – F(1) = 0.191208. f) P(2 ≤ X≤ 5) = F( 5 ) – F( 1 ) = 0,99981566–0,80879214= 0.18979655. g) E[ X ] = λ = 16·0.05 = 0.8 ingresados con menos de 9 años. h) V[ X ] = λ = 0.8; = σ

0,8 ≈ 0.894427191 .

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Asignatura: CÁLCULO Y ESTADÍSTICA 64

Distribuciones discretas y continuas 59.- El tiempo en minutos de un viaje (ida y vuelta) de los camiones que transportan material hacia una obra de construcción en una carretera, está distribuido uniformemente en un intervalo de 50 a 70 minutos. a) Cuál es la probabilidad de que la duración del viaje sea mayor a 65 minutos? b) ¿Cuál es la probabilidad de que la duración del viaje sea menor a 65 minutos? c) ¿Cuál es la probabilidad de que la duración del viaje sea exactamente 65 minutos. d) ¿Cuál es la probabilidad de que la duración del viaje sea mayor a 65 minutos si se sabe que la duración del viaje es mayor que 55 minutos? e) Determinar el tiempo medio y la desviación estándar de la duración de los viajes. Solución La variable aleatoria X el tiempo en minutos de un viaje es una distribución uniforme de parámetros a= 50 y b= 70: U(50,70). 1 si 50 ≤ x ≤ 70  La función de densidad es f ( x ) =  20 = ⇒ F(x)  0 en el resto a) P ( X > 65 = )

∫

70

65

1 = dx 20

1 . 4

b) P ( X < 65 ) = P ( X ≤ 65 ) = F ( 65 ) = c) P (= X 65 = )

(

d) P X > 65

= µ e) Media:

∫

65

65

1 = dx 20

si x ≤ 50  0  x − 50  si 50 65 ) ∩ ( X > 55 ) ) P ( X > 65 ) 1 4 = = = = X > 55 P ( X > 55 ) P ( X > 55 ) 3 4

)

a + b 70 + 50 = = 2 2

Desviación estándar: = σ 2

1 . 3

60

(b − a) 12

2

=

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( 70 − 50 ) 12

2

=

400 ⇒= σ 12

10 3 3

Asignatura: CÁLCULO Y ESTADÍSTICA 65

Distribuciones discretas y continuas 60.- Un estudio de la DGT estima que el número de horas prácticas necesarias para la obtención del permiso de conducir sigue una distribución N(24, 3). a) ¿Qué probabilidad hay de obtener el permiso de conducir con menos de 20 horas de prácticas? b) ¿Cuántas horas de prácticas ha necesitado un conductor para obtener el permiso si el 68% de los conductores ha necesitado más horas que él? Si la autoescuela ingresa por alumno una parte fija en concepto de matrícula de 300 euros, más 25 euros por hora de práctica. c) Calcular el ingreso por alumno esperado. d) Calcular la desviación típica del ingreso por alumno. Solución Sea X la variable aleatoria X = “número de horas de práctica” necesarias para obtener el permiso de conducir, según el enunciado X ≈ N(24, 3) a) Calculamos P(X ≤ 20) = F(20) = 0,091211 b) Sea x0 el número de horas de prácticas que buscamos (percentil 32) Entonces calculamos el valor x0 de forma que P(X ≥ x0 ) = 0,68 ⇒ F(x0) = 0,32 ⇒ x0=22,5969 c) Para un alumno cualquiera, si X es el número de horas necesarias para obtener el permiso de conducir, el ingreso de la autoescuela será 300 € por matrícula más 25·X € por las horas de práctica, por tanto, el ingreso por alumno es I = 300 + 25·X €. El ingreso esperado es: E[ I ] = E[ 300 + 25X ] = 300 + 25·E[ X ] = 300 + 25·24 = 900 d) En primer lugar calculamos la varianza V[ I ] = V[ 300 + 25X] = 252·V[ X ] = 625·9 = 5625 Por tanto, la desviación típica es la raíz de 5625 = 75

U. D. de Matemáticas de la ETSITGC

Asignatura: CÁLCULO Y ESTADÍSTICA 66

Distribuciones discretas y continuas 61.- Para una distribución N(9, 2), calcular: a) El valor del percentil 60. b) El valor del primer cuartil. c) Valores centrales entre los que queda comprendido el 40% de las observaciones. Solución a) P(X < x60 ) = F(x60) = 0.6 ⇒ x60 = 9.5

b) P(X < x25 ) = F(x25) = 0.25 ⇒ x25 = 7.651

c) Los valores a y b tales que entre ellos queda el 40% de las observaciones son aquellos que P(X < a) = 0.3 y P(X < b) = 0.7, por tanto corresponden a los percentiles 30 y 70 respectivamente. P(X < a) = 0.3 ⇒ a = 7.9512 P(X < b) = 0.7 ⇒ b = 10.0488

P (a < X < b) = 0, 4

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Asignatura: CÁLCULO Y ESTADÍSTICA 67

Distribuciones discretas y continuas 62.- Las calificaciones de los 500 aspirantes presentados a una oposición, se distribuyen normalmente con media 6,5 y varianza 4. a) Calcular la probabilidad de que un aspirante obtenga más de 8 puntos. b) Calcular el porcentaje de aspirantes con calificaciones inferiores a 5 puntos. c) ¿Cuántos aspirantes obtuvieron calificaciones comprendidas entre 5 y 7.5. Solución: Sea X la variable aleatoria X = “calificaciones”, según el enunciado X ≡ N(6.5, 2) a) Se pide P(X > 8) = 1 – F(8) = 0.226627.

b) Se pide 100·P(X < 5) = 100*F(5) = 22,6627.

c) Se pide 500·P(5 < X < 7.5) = 500(0,691462 – 0,226627) = 500*0,464835 ≈ 232

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Asignatura: CÁLCULO Y ESTADÍSTICA 68

Distribuciones discretas y continuas 63.- De una distribución normal se conoce:

El percentil 70 es igual a 88 y 0.27 la probabilidad de que la variable tenga un valor inferior a 60. Hallar los parámetros que definen esta distribución normal. Solución: X −µ X ≡ N(µ, σ) ⇒= Z ≡ N(0,1) σ

88 − µ 88 − µ    88 − µ  = 0.5544 P ( X ≤ 88 ) = 0.7 ⇒ P  z ≤ =F  = 0.7 , por tanto,   σ σ    σ 

60 − µ 60 − µ    60 − µ  = −0.6128 = F = 0.27 , por tanto, P ( X ≤ 60 ) = 0.27 ⇒ P  z ≤   σ σ    σ 

Resolviendo el sistema de ecuaciones, se obtiene, µ ≈ 74.69 σ ≈ 24

U. D. de Matemáticas de la ETSITGC

Asignatura: CÁLCULO Y ESTADÍSTICA 69

Distribuciones discretas y continuas 64.- Calcular el valor de p en las probabilidades siguientes:

(

)

(

)

(

)

(

)

a) P χ 62 ≤ 4 =p ; b) P χ 62 > 3 =p ; c) P 3.5 ≤ χ 62 < 5.9 =p ; d) P χ 72 ≤ 4 =p Solución:

(

)

(

)

a) p= P χ 62 ≤ 4 = F(4)=

0.3233

b) p = P χ 62 > 3 = 1 − F(3) = 0.8088

(

)

(

)

(

)

c) p= P 3.5 ≤ χ 62 < 5.9 = P χ 62 < 5.9 − P χ 62 < 3.5 = F(5.9) − F(3.5)=

(

)

d) p= P χ 72 ≤ 4 = F(4)=

0.3095

0.22022

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Asignatura: CÁLCULO Y ESTADÍSTICA 70

Distribuciones discretas y continuas 65.- Calcular el valor, x, de la variable que verifica:

(

)

(

)

(

)

(

)

a) P χ 52 < x =0.90 ; b) P χ 52 > x =0.05 ; c) P χ 52 ≥ x =0.975 ; d) P χ 52 < x =0.975

(

)

(

)

(

)

e) P x < χ 52 < 5 =0.045 ; f) P χ 62 < x =0.95 ; g) P χ 62 > x =0.05 ;

(

)

h) P χ 72 ≥ x =0.975 ;

(

)

i) P χ 72 < x =0.975

Solución:

(

)

(

)

(

)

(

)

= 0.90 ⇒ x = 9.2364 a) P χ 52 < x= F(x) b) P χ 52 > x = 0.05 = 1 − F(x) ⇒ F(x) = 0.95 ⇒ x = 11.0705 c) P χ 52 ≥ x = 0.975 = 1 − F(x) ⇒ F(x) = 0.025 ⇒ x = 0.8312

= F(x) ⇒ x = 12.8325 d) P χ 52 < x= 0.975

(

)

(

)

(

)

5 0.045 ⇒ F(5) − F(x) = P χ 52 ≤ 5 − P χ 52 ≤= x 0.045 ⇒ e) P x < χ 52 x = 0.05 = 1 − F(x) ⇒ F(x) = 0.95 ⇒ x = 12, 5916 h) P χ 72 ≥ x = 0.975 = 1 − F(x) ⇒ F(x) = 0.025 ⇒ x = 1.68987

= F(x) ⇒ x = 16.0128 i) P χ 72 < x= 0.975

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Asignatura: CÁLCULO Y ESTADÍSTICA 71

Distribuciones discretas y continuas 66.- Calcular el valor de p en las probabilidades siguientes:

p ; b) P ( t 9 < −1) =p ; c) P ( t15 > 2.5 ) = p ; d) P ( t 7 > −2 ) =p a) P ( t 9 ≤ 0.3 ) =

e) P ( 0.75 ≤ t10 < 1.25 ) = p ; f ) P ( t15 > 3.75 ) = p; g) P ( −1.75 ≤ t11 < 1.25 ) = p Solución: a) p = P ( t 9 ≤ 0.3 ) = F(0.3) = . 0.6145

b) p= P ( t 9 < −1)= F( −1)=

0.1717

P ( t15 > 2.5 ) = 1 − P ( t15 ≤ 2.5 ) = 1 − F(2.5) = c) p = 0.0122

p P ( t 7 > −= 2 ) P ( t 7 ≤= 2 ) F(2) = d)=

0.9572

e) p= P ( 0.75 ≤ t10 < 1.25= ) P ( t10 ≤ 1.25 ) − P ( t10 < 0.75=) F(1.25) − F(0.75)=

0.1154

P ( t15 > 3.75 ) = 1 − P(t15 ≤ 3.75) = 1 − F(3.75) = f) p = 0.000965476

g) p= P ( −1.75 ≤ t11 < 1.25= ) P ( t11 < 1.25 ) − P ( t11 < −1.75=) F(1.25) − F(1.75)= 0.827419

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Asignatura: CÁLCULO Y ESTADÍSTICA 72

Distribuciones discretas y continuas 67.- Calcular el valor, x, de la variable que verifica:

0.90 ; b) P ( t 5 < x ) = 0.05 ; c) P ( t 5 ≥ x ) = 0.975 ; d) P ( t 5 < x ) = 0.975 ; a) P ( t 5 < x ) =

0.05 ; f) P ( x < t 5 < 1.75 ) = 0.045 ; e) P ( t 6 < x ) = 0.95 ; e) P ( − x < t 5 < x ) = 0.05 ; g) P ( t 6 ≥ x ) = 0.975 ; h) P ( − x < t 6 < x ) = 0.05 f) P ( t 6 < x ) = Solución:

a) P ( t 5 < x )= F(x)= 0.90 ⇒ x = 1.4759 b) P ( t 5 < x )= F(x)= 0.05 ⇒ x = −2.0150 c) P ( t 5 ≥ x= ) 0.975 ⇒ F(x)= P ( t 5 ≤ x=) 0.025 ⇒ x = −2.5706 d) P ( t 5 < x )= 0.975= F(x) ⇒ x = 2.5706

= F(x) − (1 − F(x)) = 2F(x) −= 1 0.05 ⇒ e) P ( − x < t 5 < x= ) F(x) − F(− x) x = 0.06591486

P ( t 5 < 1.75 ) − P ( t 5 ≤ x= f) P ( x < t 5 < 1.75 ) = ) F(1.75) − F(x)= 0.045 ⇒ F(x)= P ( t 5 < x )= F(1.75) − 0.0450.8847 ⇒ x = 1.3648 e) P ( t 6 < x )= F(x)= 0.95 ⇒

x = 1.94318

f) P ( t 6 < x )= F(x)= 0.05 ⇒ x = −1.94318 g) P ( t 6 ≥ x ) =1 − P(t 6 < x) =1 − F(x) =0.975 ⇒ x = −2.4469

0.05 x = 0.065374 h) P ( − x < t 6 < x ) =

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Asignatura: CÁLCULO Y ESTADÍSTICA 73

Distribuciones discretas y continuas 68.- En un sondeo sobre la actitud de los clientes hacia un determinado producto se encuentra que hay un 70% de clientes que están a favor. Si se extrae una muestra aleatoria de 10 sujetos obtener las probabilidades siguientes: a) Que 3 clientes estén a favor. b) Que más de 3 clientes estén a favor. c) Que menos de 3 clientes estén a favor. d) Que como máximo 3 clientes estén a favor. e) Que como mínimo haya 6 clientes a favor. f) Que estén a favor al menos el valor esperado de clientes que están a favor. g) Probabilidad de que estén en contra 4 o más clientes. h) ¿Qué cantidad de clientes le corresponde al percentil 85? Solución: X=”nº de clientes a favor” sigue una distribución binomial de parámetros n= 10 y p = 0.7, esto es X ≈ B(10,0.7). La función de probabilidad es:  10  P(X = k= )   0.7k 0.310−k  k  10  a) P ( X = 3= )   0.730.37 ≈ 0.009001692  3 3  10  b) P ( X > 3 ) =1 − P(X ≤ 3) =1 − F(3) =1 − ∑   0.7k 0.310− k ≈ 0.9894079215 k =0  k 

c) P ( X < 3 )= P ( X ≤ 2 )= F(2)=

2

k =0

d) P ( X ≤ 3 )= F(3)=

3

 10 

 10 

∑  k  0.7 0.3 

∑  k  0.7 0.3 k =0





k



10 − k

k

10 − k

≈ 0.0015903864

≈ 0.0105920784

5  10  e) P ( X ≥ 6 ) =1 − P ( X < 6 ) =1 − F(5) =1 − ∑   0.7k 0.310− k ≈ 0.8497316674 k =0  k  f) E[X]=np=7 6  10  P ( X ≥ 7 ) =1 − P ( X < 7 ) =1 − F(6) =1 − ∑   0.7k 0.310− k ≈ 0.6496107183 k =0  k  g) En contra 4 o más se corresponde con a favor 3 o menos d). h) F(x)=0.85, entonces x=8

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Asignatura: CÁLCULO Y ESTADÍSTICA 74

Distribuciones discretas y continuas 69.- El contenido de un bote de cerveza se distribuye normalmente con media 33 cl, y desviación estándar 3 cl. a) ¿Cuál es la probabilidad de que un bote determinado tenga más de 34 cl? b) ¿Cuál es la probabilidad de que un determinado bote tenga menos de 30 cl. c) En un envase de 6 botes ¿cuál es la probabilidad de que el contenido líquido total sea inferior a un litro y tres cuartos? Solución: Sea X la variable aleatoria X = “contenido de un bote de cerveza en cl”, X ≈ N(33, 3)

a) P ( X > 34 ) =− 1 P(X ≤ 34) =− 1 F(34) ≈ 0,3694

b) P ( X < 30 )= F(30) ≈ 0,1587

c) Consideramos la variable aleatoria Y=6X, que se distribuye según una Normal de media 6x33 y de varianza 6x9. = Y 6X ≈ N(198, 3 6)

P(Y < 175) = FY (175) ≈ 0,0009

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Asignatura: CÁLCULO Y ESTADÍSTICA 75

Distribuciones discretas y continuas 70.- Solo 24 de los 200 alumnos de una Escuela Técnica miden menos de 168 cm, si la estatura media de dichos alumnos es de 174 cm, ¿cuál es la varianza en las estaturas? Solución: X ≈ N(174, σ )= ⇒Z

P ( X ≤ 168 ) =

X − 174 ≈ N(0,1) σ

24 168 − 174    −6  ⇒ P Z ≤ =F   =0,12 , por tanto,  200 σ    σ 

−6 = -1.174986790 ⇒ σ = 5.106440388 σ

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Asignatura: CÁLCULO Y ESTADÍSTICA 76

Distribuciones discretas y continuas 71.- La probabilidad de curación de un determinado tratamiento quirúrgico es 0.65. Se pide: a) Calcular la probabilidad de que en un grupo de 10 enfermos se curen la mitad. b) La probabilidad de que al menos se curen dos. c) Mediana. Solución: Llamamos X a la variable aleatoria " Número de enfermos que se curan". Se trata de una variable aleatoria discreta con dos sucesos excluyentes: el enfermo se cura o no. Por tanto, corresponde con una distribución binomial y su función de probabilidad es: n = k) =   p k (1 − p) n − k P(X k 10  k n −k En nuestro caso: n=10 y p=0,65 ⇒ P(X = k) =   0, 65 (1 − 0, 65) k   10  5 n −5 a) P(X = 5) =   0, 65 (1 − 0, 65) ≈ 0,1535704107 5   b) P(X ≥ 2) =1 − P(X < 2) =1 − P(X =0) − P(X =1) =1 − F(1) ≈ 0,9994601128

c) La función de distribución: F(x)= P(X ≤ x)=

10  k n −k  0, 65 (1 − 0, 65) k =0   x

∑ k

La mediana, M, es tal que F(M)=0,5 k

F(k)

0

0,00002758547353

1

0,0005398871249

2

0,004821265211

3

0,02602428049

4

0,09493408017

5

0,2485044908

6

0,4861729836

7

0,7383926086

8

0,9140455617

9

0,9865372566

10

1

Dado que no hay un valor exacto de 0,5 se toma F(M)>0,5 y resulta M=7

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Asignatura: CÁLCULO Y ESTADÍSTICA 77

Distribuciones discretas y continuas 72.- Las ventas mensuales de dos tiendas de ordenadores siguen distribuciones X ≡ N(120,8) e Y ≡ N(50,6). Calcular la probabilidad de que: a) La primera, X, venda 100 o más ordenadores. b) La segunda, Y, venda menos de 40 ordenadores. c) Entre ambas vendan entre 150 y 180 ordenadores. Solución: X=“ventas mensuales en la tienda X” ≡ N(µ1 , σ1 ) =N(120,8) Y=“ventas mensuales en la tienda Y” ≡ N(µ 2 , σ 2 ) = N ( 50, 6 ) a) P ( X ≥ 100 ) = 1 − P(X < 100) = 1 − FX (100 ) ≈ 0,9937903346 b) P ( X < 40= ) FY ( 40 ) ≈ 0,04779035226 c) X + Y ≡ N(µ1 , σ1 ) + N(µ 2 , σ 2 = ) N(µ1 + µ 2 , σ12 + σ 2 2 = ) N (170, 10 ) P (150 < X + Y = < 180 ) FX + Y (180 ) − FX + Y (150) ≈ 0,8185946141

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Asignatura: CÁLCULO Y ESTADÍSTICA 78

Distribuciones discretas y continuas 73.- En un estudio sobre la preferencia de los clientes hacia una determinada marca X se ha obtenido que el 40% de los clientes tienen la marca X como su marca favorita. Si se extrae una muestra aleatoria de 8 sujetos obtener las probabilidades siguientes: a) Que 2 clientes tengan la marca X como su marca favorita. b) Que menos de 3 clientes tengan la marca X como su marca favorita. c) Que como máximo 3 clientes tengan la marca X como su marca favorita. d) Que como mínimo haya 5 clientes que tengan la marca X como su marca favorita. e) Calcular la media y varianza. Solución: Se trata de una variable aleatoria binomial de parámetros n = 8; p =0.4, es decir, B(8, 0,4). La función de probabilidad es: 8  P(X = k= )   0.4k 0.68−k k 8 a) P(X = 2) =   0.42 0.66 = 0.016796.  2

b) P(X < 3)= P(X ≤ 2)= F( 2)= c) P(X ≤ 3)= F(3)=

0.315394.

0.594086.

d) P(X ≥ 5) =1 − P ( X < 5) ) =1 − F( 4) =0.173670

µ E [ X= = e) = ] n·p

3.2

= σ 2 V [= X ] n·p·(1 −= p)

1.92

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Asignatura: CÁLCULO Y ESTADÍSTICA 79

Distribuciones discretas y continuas 74.- El contenido de un bote de zumo se distribuye normalmente con media 33 cl, y desviación estándar 1 cl. a) ¿Cuál es la probabilidad de que un bote determinado tenga 1. Exactamente 33 cl? 2. Al menos 33.5 cl? 3. Menos de 32 cl? 4. Entre 32 y 34 cl? b) Calcular la cantidad de centilitros que le corresponde a los percentiles P95, P5 y la mediana. c) En un envase de 6 botes ¿cuál es la probabilidad de que el contenido líquido total sea inferior a un litro y tres cuartos? Solución:

a) 1.

P (= X 33 = )

33

= ∫ f ( x ) dx

0

33

2.

P ( X ≥ 33.5 ) = 1 − P ( X < 33.5 ) = 1 − F ( 33.5 ) = 0.308537.

3.

P ( X < 32= ) F ( 32=)

4.

P ( 32 < X < 34 = ) F ( 34 ) − F ( 32=)

0.158655 . 0.682689 .

b)

P ( X ≤ x 0.95 ) = 0.95 ⇒ F ( x 0.95 ) = 0.95 ⇒ x 0.95 = 34.64 = P95 P ( X ≤ x 0.05 ) = 0.05 ⇒ F ( x 0.05 ) = 0.05 ⇒ x 0.05 = 31.35 = P5 P ( X ≤ x 0.5 ) = 0.5 ⇒ F ( x 0.5 ) = 0.5 ⇒ x 0.5 = 33 = Mediana

(

c) Sea B=6X la variable aleatoria contenido de 6 botes. B ≡ N 6·0.33,

) (

)

6·12 = N 1.98, 6 ,

portanto, calculamos

P ( B < 1.75= ) F (1.75=)

0.462595

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Asignatura: CÁLCULO Y ESTADÍSTICA 80

Distribuciones discretas y continuas 75.a) Calcular el valor de p en las probabilidades siguientes: 2) P ( χ 72 ≥ 3 ) =p ; 1) P ( χ 72 ≤ 3 ) =p;

3) P ( χ 72 ≤ 7 ) =p ;

p; p ; 6) P ( −1 < t 8 < 1) =p 4) P ( t 8 > 2 ) = 5) P ( t 8 < 2 ) = b) Calcular el valor, x, de la variable que verifica: 1) P ( χ 52 < x ) =0.95 ; 2) P χ 52 < x =0.05 3) P ( t 6 ≥ x ) = 0.1 ;

(

)

4) P ( t 6 < x ) = 0.1

Solución: a)

1) p= P ( χ 72 ≤ 3 )= F(3)=

0.114998

3) p= P ( χ 72 ≤ 7 )= F(7)=

0.5711201424

2) p = P ( χ 72 ≥ 3 ) = 1 − P ( χ 72 > 3 ) = 1 − F(3) = 0.885002

4) p =P ( t 8 > 2 ) =1 − P ( t 8 ≤ 2 ) =1 − F(2) =0.040258

5) p= P ( t 8 < 2 )= F(2)= 0.9597419

p P ( −1 < t 8 < 1= 6) = ) F(1) − F(−1)= F(1) − (1 − F(1))= 2F(1) −=1 b)

1) P ( χ 52 < x= = F(x) ⇒ ) 0.95

0.6534

x = 11.07

2) P ( χ 52 < x= = F(x) ⇒ x = 1.145476251 ) 0.05 3) P ( t 6 ≥ x ) =1 − P ( t 6 < x ) =1 − P ( − x < t 6 < x ) =0.1 =2 − 2F(x) ⇒ F(x) =0.95 ⇒ x = 1.94318

4) P ( t 6 < x ) = P( − x < t 6 < x) = F(x) − F( − x) = 2F(x) − 1 = 0.1 ⇒ F(x) = 0.55 ⇒ x = 0.1310757

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Asignatura: CÁLCULO Y ESTADÍSTICA 81

Distribuciones discretas y continuas 76.- Se ha realizado un examen de tipo test con un gran número de preguntas. Las puntuaciones finales del test se dan sobre 50 puntos (enteros del 0 al 50). Las puntuaciones finales en actas son redondeadas al entero más próximo a partir de las puntuaciones reales, esto es, obtienen 12, por ejemplo, los alumnos con nota en el intervalo [11.5, 12.5). Para aprobar el examen se exige una puntuación de 25. Si suponemos que las puntuaciones antes de ser redondeadas siguen una distribución normal de media 30 y varianza 25: a) ¿Qué puntuación máxima (no redondeada) delimita el 22% de las notas más bajas? b) ¿Qué puntuación mínima (no redondeada) delimita el 20% de las notas más altas? c) ¿Qué porcentaje de alumnos aparecerán en las actas de notas finales (redondeadas) con 25 puntos exactamente? d) ¿Cuál será el porcentaje de suspensos en actas (notas finales redondeadas)?

Solución La variable puntuación sigue una distribución N(30, 5) a) P ( X ≤ x )= 0.22 ⇒ F ( x )= 0.22 ⇒ x ≈ 26.14

b) P ( X ≥ x ) = 0.2 ⇒ P ( X ≤ x ) = 0.8 ⇒ F ( x ) = 0.8 ⇒ x ≈ 34.2

= .5 ) F ( 25.5 ) − F ( 24.5 ) ≈ 0.18406 − 0.13566 = 0.0484 , por tanto, c) P ( 24.5 ≤ X ≤ 25 4.84%

d) P ( X ≤ 24.5= ) F ( 24.5=) 0.13566 , por tanto, 13.56%

U. D. de Matemáticas de la ETSITGC

Asignatura: CÁLCULO Y ESTADÍSTICA 82

Distribuciones discretas y continuas 77.- En un parque eólico la distancia entre aerogeneradores situados linealmente sigue el modelo de una distribución N(150, 0.4) metros. Se pide: a) Calcular la probabilidad de que dos aerogeneradores vecinos: a1) Tengan una separación menor que 149. a2) Tengan una separación comprendida entre 149.5 y 149.9. a3) Tengan una separación mayor que 149.9. b) Cuartiles de la distribución. Solución: Si designamos con X a la variable aleatoria “distancia entre dos aerogeneradores vecinos”, se tiene: a1) P(X < 149) = F(149) ≈ 0.006210 a2) P(149.5 < X 149.9 ) = 1-P(149.9 < X) = 1 − F(149.9) ≈ 0.5987063256 b) Primer cuartil=Q1 F(Q1)=P(X2).

La gráfica de la función de densidad para n=3 grados de libertad:

Tiene su aplicación en la estimación de las características de una población con distribución normal mediante los llamados intervalos de confianza. Student fue el seudónimo de William Sealy GOSSET (1.876,1.937), el estadístico y químico que descubrió la forma de la distribución t mediante una combinación de trabajo matemático y trabajo empírico con números aleatorios, una aplicación temprana de lo que ahora se llama el método de MonteCarlo.

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Esperanza matemática La esperanza matemática es el valor medio teórico que resulta de sustituir las fi (frecuencias relativas) por las Pi (probabilidades), y que no es sino una media aritmética ponderada. Se acostumbra a definirlo como esperanza matemática de ganancias, es decir, la ganancia que teóricamente esperaba obtener un jugador frente a unas determinadas reglas de juego. Sea  una variable aleatoria, se define el operador E  como: n

E  =

 x P( X ) para una variable discreta y finita.

E  =

 x P( X ) para una variable discreta y no finita siempre que la serie sea

i 1 

i 1

i

i

i

i

convergente.  E  =  t. f ( t ). dt cuando la variable  es continua con función de densidad  f(x) y siempre que la integral sea absolutamente convergente.

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