Distribución de Bernouilli de parámetro p Distribución Binomial de parámetros n y p Distribución Uniforme discreta de parámetro N Distribución de Poisson Distribución Geométrica Distribución Binomial Negativa Distribución Hipergeométrica

Distribuciones unidimensionales discretas Estadística II Universidad de Salamanca

Curso 2011/2012

Distribuciones unidimensionales discretas

Distribución de Bernouilli de parámetro p Distribución Binomial de parámetros n y p Distribución Uniforme discreta de parámetro N Distribución de Poisson Distribución Geométrica Distribución Binomial Negativa Distribución Hipergeométrica

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Distribución de Bernouilli de parámetro p

2

Distribución Binomial de parámetros n y p

3

Distribución Uniforme discreta de parámetro N

4

Distribución de Poisson

5

Distribución Geométrica

6

Distribución Binomial Negativa

7

Distribución Hipergeométrica

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Distribución de Bernouilli de parámetro p Experimento de Bernouilli Es un experimento con sólo dos posibles resultados que son mutuamente excluyentes y exhaustivos Éxito, siendo p la probabilidad de éxito Fracaso, siendo q = 1 − p la probabilidad de fracaso Definición X ( X =

b(p)

1

si ocurre un éxito

P[X = 1] = p,

0

si ocurre un fracaso

P[X = 0] = 1 − p.

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Distribución de Bernouilli de parámetro p Función de probabilidad xi P[X = xi ]

0 1−p

1 p

fX (x) = P[X = x] = px (1 − p)1−x , para x = 0, 1 0≤p≤1 Características E(X ) = p Var (X ) = pq Distribuciones unidimensionales discretas

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Distribución Binomial de parámetros n y p Definición Número de éxitos en ‘n” experimentos independientes de Bernouilli con la misma probabilidad de éxito y de fracaso Éxito, siendo p la probabilidad de éxito Fracaso, siendo q = 1 − p la probabilidad de fracaso Definición X

B(n, p)

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Distribución Binomial de parámetros n y p Función de probabilidad   n x fX (x) = P[X = x] = p (1 − p)1−x , para x = 0, 1, . . . , n x 0≤p≤1 Características E(X ) = np Var (X ) = npq Distribuciones unidimensionales discretas

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Distribución Binomial de parámetros n y p

Números combinatorios

n n 0 = n =1 n 1




=

n n−1

n k




=

n n−k




=n




=

n! k !(n−k )!

=

n(n−1)...(n−k +1) k!

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Distribución Binomial de parámetros n y p Propiedades Sean {X1 , X2 , . . . , Xn } v.a.i.id Xi X =

n X

Xi

b(p) = B(1, p) ⇒ B(n, p)

i=1

Sean {X1 , X2 , . . . , Xm } v.a.i.id Xi m X i=1

Xi

B(

m X

B(ni , p) ⇒ ni , p)

i=1

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Distribución Binomial de parámetros n y p Propiedades Sean {X1 , X2 , . . . , Xm } v.a.i.id Xi m X

Xi

B(n, p) ⇒

B(m.n, p)

i=1

Sean X e Y dos v.a.d tal que X Y B(n, p − 1)⇒

B(n, p)

P[X = k ] = P[Y = n − k ]

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Distribución Uniforme discreta de parámetro N Definición Una v.a.d X es una uniforme discreta de parámetro N si toma N valores distintos {x1 , x2 , . . . , xn }, cada uno de ellos con la misma probabilidad Función de probabilidad fX (x) = P[X = x] =

1 para x = 1, 2, . . . , N y N = 1, 2, . . . N

Características E(X ) = Var (X )

N+1 2 2 = N 12−1 Distribuciones unidimensionales discretas

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Distribución de Poisson Definición Se realizan experimentos independientes de Bernoulli y se contabilizan los éxitos en un intervalo de tiempo determinado o en un espacio concreto λ es la media de ocurrencia de los éxitos X es el número de éxitos ocurridos en un intervalo de tiempo determinado o en un espacio concreto Definición X

P(λ) Distribuciones unidimensionales discretas

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Distribución de Poisson Función de probabilidad fX (x) = P[X = x] = e−λ

λx , para x = 0, 1, . . . , x!

λ>0 Características E(X ) = λ Var (X ) = λ

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Distribución de Poisson Propiedades P∞ λx x=0 x!

=1+

λ 1!

+

λ2 2!

+ . . . = eλ

Sean {X1 , X2 , . . . , Xn } v.a.i.id Xi n X

Xi

P(

i=1

n X

λi )

i=1

Sean {X1 , X2 , . . . , Xn } v.a.i.id Xi n X

P(λi ) ⇒

Xi

P(λ) ⇒

P(n.λ)

i=1 Distribuciones unidimensionales discretas

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Distribución de Poisson Propiedades Sean X e Y dos v.a.d.ind. tal que X X +Y X .n X +Y Y .n X +Y

P(λ) Y

P(λ)⇒

P(2.λ) 1 B(n, ) 2 1 B(n, ) 2

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Distribución de Poisson Propiedades Sean X e Y dos v.a.d.ind. tal que X X +Y

P(λ) Y

P(µ)⇒

P(λ + µ)

X .n X +Y

B(n,

λ ) λ+µ

Y .n X +Y

B(n,

µ ) λ+µ

Sean X e Y dos v.a.d.ind. tal que X Y B(x, p)⇒ Y P(λ.p) X =x

P(λ)

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Distribución Geométrica Definición Se realizan experimentos independientes de Bernoulli y se contabilizan los fracasos antes del primer éxito. Nos fija el ensayo en el que ocurre el éxito p es la probabilidad de éxito q es la probabilidad de fracaso X número de fracasos antes del primer éxito Definición X

G(p) Distribuciones unidimensionales discretas

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Distribución Geométrica Función de probabilidad fX (x) = P[X = x] = p q x = p (1 − p)x , para x = 0, 1, . . . , 0≤p≤1 Características E(X ) =

q p

Var (X ) =

q p2 Distribuciones unidimensionales discretas

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Distribución Geométrica Propiedades Suma infinita de una progresión geométrica: ∞ X

qk =

k =0

a1 1 1 = = 1−r 1−q p

siendo r = q y |r | < 1 Suma finita de una progresión geométrica: ∞ X k =0

qk =

a1 − an r 1 − q n+1 = 1−r p Distribuciones unidimensionales discretas

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Distribución Binomial Negativa Definición Se realizan experimentos independientes de Bernoulli y se contabilizan los fracasos antes del r-ésimo éxito. Nos fija el ensayo en el que ocurre el r-ésimo éxito p es la probabilidad de éxito q es la probabilidad de fracaso X número de fracasos antes del r-ésimo éxito Definición X

B(r , p) con r ≥ 2 Distribuciones unidimensionales discretas

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Distribución Binomial Negativa Función de probabilidad   x +r −1 r fX (x) = P[X = x] = p (1−p)x , para x = 0, 1, . . . , n x 0 50 y

n N

≤ 0, 1 X

H(N, n, p) ≈ X

B(n, p)

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