DIVISIBILIDAD I.

Múltiplos y Divisores

1. MULTIPLOS Los múltiplos de 2 son 2·1 =2

2·2 =4

2·3 =6

2·4 =8

etc…

…

Es decir, el resultado de multiplicar 2 por cualquier número natural. Múltiplo de un número es el resultado de multiplicar ese número por cualquier número natural.

Ejemplos: 

Los múltiplos de 5 son 5 (5· 1) , 10 (5 · 2), 15 (5 · 3), 20 (5 · 4), 25, 30, 35…



Los múltiplos de 10 son 10, 100, 1000…



Los múltiplos de 3 son 3, 6, 9, 12, 15… Y también 33 (3 · 11)… Y 300 (3 · 100) … Y 3000…



8 no es múltiplo de 3, porque ningún número natural multiplicado por 3 es igual a 8.

2. DIVISORES Un número es divisor de otro cuando lo divide de manera exacta, cuando la división es exacta. Ejemplo: El número 36 tiene muchos divisores: 36 : 1 = 36.

1 es divisor de 36.

36 : 2 = 18

2 es también divisor de 36. 1

Los divisores de 36 son: 36 : 1 = 36

36 : 2 = 18

36 : 9 = 4

12 36 : 12

=3

II.

36 : 3 =

36 : 4 =

36 : 6 = 6

9 36 : 18

=2

36: 36 = 1

Reglas de Divisibilidad

Cuando trabajamos con números de 3 o más cifras (152, 475, 16.789…), es muy útil conocer reglas para saber cuáles son los divisores sin tener que efectuar todos los cálculos. Estas reglas se conocen como reglas de divisibilidad, y son:

2

Divisible por 2 si termina en cifra par

22, 24, 26, 28, 30

3

Divisible por 3 si la suma de sus cifras es múltiplo

111, 504… (1+1+1=3),

de 3

(5+0+4=9)

4

Divisible por 4 si termina en 00 o múltiplo de 4

100, 604…

5

Divisible por 5 si termina en 0 o en 5

395, 87.660…

6

Divisible por 6 si lo es por 2 y por 3

342 y (3+4+2=9)

7

Divisible por 7 si (el numero sin las unidades) –

2261…(226 - 1·2)=224.

unidades · 2 es 0 o múltiplo de 7

Repetimos: (22-4·2)=14 mult 7.

8

Divisible por 8 si sus 3 últimas cifras son 0 o

13.000, 1.016 … (16 = 8 x 2)

múltiplo de 8 9

Divisible por 9 si la suma de sus cifras es múltiplo

108 … (1+0+8=9)

de 9 10

Divisible por 10 si termina en 0

1.000, 1.000.000 …

11

Divisible por 11 si la diferencia entre la suma de

121… (1+1) – 2 = 0

las cifras que ocupan el lugar par y el lugar impar es 0 o múltiplo de 11 Hemos señalado las reglas más importantes en negrita.

2

III.

Números Primos y Compuestos. Descomposición en factores primos

Los números primos son divisibles por 1 y por ellos mismos. Tienen 2 divisores. 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17 y 19 son ejemplos de números primos. El 1 no es un número primo, porque sólo tiene 1 divisor. Los números compuestos son los que poseen más de 2 divisores. 6 es divisible por 1, 2, 3 y 6. Es un número compuesto. 8 es divisible por 1, 2, 4 y 8. Es un número compuesto. Los números compuestos se pueden expresar como producto de números primos. A esto lo llamamos descomposición en factores, factorial o en factores primos, o factorización. Para factorizar el número 1.500, probamos a dividirlo por los números primos. Empezamos por 2, que es el menor primo. Es divisible 2 veces por 2. 375 ya no es divisible por 2, pero sus cifras suman 3, así que lo es por 3. 125 no es divisible ni por 2 ni por 3, pero sí por 5. Y así sucesivamente.

IV.

Máximo Común Divisor y Mínimo Común Múltiplo

El MCD máximo común divisor de varios números es el mayor número que los divide a todos.

3

Ejemplo: El máximo común divisor de 18 y 30 es 6, que los divide a los dos (18 : 6 = 3 y 30 : 6 = 5). Hay otros números más pequeños que los dividen a los dos, como 2 y 3 (18:2=9 y 30:2=15); (18:3=6 y 30:3=10). El número 6 es el mayor de los divisores. Para calcular el MCD: 1. Se descompone cada número en factores primos 2. Se cogen los números comunes, elevados al exponente menor. Ejemplo: El MCD de 48 y 72.

48 = 24· 3 72 = 23 · 32 MCD = 23· 3 = 24

El mcm o mínimo común múltiplo es el múltiplo menor, común a varios números. Para calcularlo: 1. Se descompone cada número en factores primos. 2. Se cogen los números comunes y no comunes, elevados al mayor exponente.

Ejemplo: El mínimo común múltiplo de 48 y 72 es mcm = 24· 32 El máximo común divisor se utiliza en problemas en que queremos calcular el máximo número de grupos que se pueden formar, dividiendo entre el máximo común divisor. El mínimo común múltiplo se utiliza a menudo en problemas en que queremos calcular qué días y con qué frecuencia coincidirán personas que realizan actividades cada x días.

4

TEST 1. Son múltiplos de 11 a. 1, 11, 44. b. 11, 22, 33, 44, 65. c. 11, 22, 33, 43. d. 11, 22, 33, 44, 55.

2. Son divisores de 60: a. 2, 3, 5. b. 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 30 y 60. c. 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 30 y 60. d. 1,2,3,5.

3. 216 se puede descomponer en factores primos como: a. 23· 33 b. 22· 33. c. 23· 32. d. Ninguno de los anteriores.

4. ¿Cuáles de los siguientes números son divisibles por 3? a. 321, 609, 202. b. 321, 609, 111, 2.715. c. 609, 100, 202. d. 321, 202, 2.715.

5. 131 es … a. Un número primo. b. Divisible por 2. c. Divisible por 5. d. Un número compuesto.

5

6. Para construir un número compuesto, que no sea primo, se puede a. Multiplicar 1 por cualquier número. b. Multiplicar 1 por un número primo. c. Multiplicar 2 números cualquiera. d. Multiplicar 2 números distintos de 1.

7. El MCD máximo común divisor de 12, 15 y 60 es: a. 30. b. 12. c. 3. d. 5.

8. El mcm mínimo común múltiplo de 12, 15 y 60 es: a. 30. b. 12. c. 15. d. 60.

9. ¿Cuál es el máximo número de grupos exactos que podemos hacer con el mismo número de chicos y chicas, si hay 25 chicas y 30 chicos? ¿Por qué? a. 6 grupos de 4 chicas y 5 chicos cada uno. Porque 6 es el MCD. b. 5 grupos de 5 chicas y 6 chicos cada uno. Porque 5 es el MCD. c. 6 grupos de 4 chicas y 5 chicos cada uno, y sobra una chica. Porque 6 es el mcm. d. 5 grupos de 6 chicas y 5 chicos cada uno. Porque 5 es el MCD.

10. Juan y María van a comer a casa de sus abuelos cada 15 días. Sus primos Isabel y Luis van cada 21 días. Si este fin de semana coinciden, ¿cuántos días pasarán hasta que vuelvan a coincidir? ¿Por qué? a. 315 días. Porque 315 es el mcm. b. 315 días. Porque 315 es el MCD. c. 105 días. Porque 105 es el mcm. 6

d. 105 días. Porque 105 es el MCD.

7