RAZONES Y PROPORCIONES ( 7º Y 8º básicos )

El segmento AB mide 4 cm. A

B

El segmento CD mide 7 cm. C

D

Se puede comparar por “diferencia”, en cuyo caso, AB < CD y también por “cuociente” en que AB equivale a los 4 del segmento CD o bien los segmentos AB ∧ CD están en la 7 razón 4 es a 7 de sus medidas. Esto lo escribimos 4 o 4 : 7 o ( 4, 7) entonces, 7

Razón es una comparación por cuociente

Sus términos se llaman Antecedente y Consecuente. El consecuente debe ser siempre distinto de cero. PROPORCIONES.Recordemos que una expresión como 2, además de considerarla como una razón, 5 5 la podemos considerar como un número fraccionario y por lo tanto se podría amplificar ( o simplificar )

Ejemplo: 2 amplificado por 3 nos da 6 es decir 2 = 6 ; hemos obtenido una 5 15 5 15 Igualdad entre 2 razones Proporción es la igualdad entre dos razones. Una proporción la podemos escribir:∀ ∀ a, b. c , d ∈ R, b ≠ 0 ∧ d ≠ 0

a = c b d

a : b = c :

( a, b ) = ( c, d )

Toda razón tiene un cuociente, llamado valor de la razón a = K.- El valor de la b razón es sólo un número, por lo tanto es independiente de toda unidad en que estén expresados los términos de la razón.Los términos de una proporción se llaman Medios y Extremos.-

Extremo

Medio a = c b d

Medio

Extremo

Teorema fundamental: EN TODA PROPORCIÓN EL PRODUCTO DE LOS MEDIOS ES IGUAL AL PRODUCTO DE LOS EXTREMOS.-

a = c b d

⇔

a·d = b·c

PROPIEDADES DE LAS PROPORCIONES.1) En toda proporción la suma o diferencia de los antecedentes, es a la suma o diferencia de los consecuentes, como cada antecedente es a su consecuente. Si a b

=

a` también a + a` = a = a` b` b + b` b b`

2) Componer y descomponer una proporción.-

En toda proporción la suma o diferencia del antecedente y consecuente de la primera razón es a su antecedente o consecuente, como la suma o diferencia del antecedente y consecuente de la segunda razón es a su antecedente o consecuente. Componer ( + ) Descomponer ( - ) Si

_ _ _ _ a = a` también a + b = a´ + b` y a + b = a` + b b b` a a` b b`

2) En una proporción, un medio es igual al producto de los extremos dividido por el otro medio y un extremo es igual al producto de los medios dividido por el otro extremo.

Si a = c , también a = bc ; b = ad ; c = ad ; d = bc b d d c b a Cuarta proporcional.- de 3 cantidades a, b, y c se llama a un valor x que cumple la condición ( o Proporciòn Discontinua) a = c b x Tercera proporcional.-de dos cantidades a y b , es un valor x que cumple la condición: ( o Proporción continua ) a = b b x Media proporcional.- de dos cantidades a y b es un valor x que cumple la condición: a = x x b Serie de razones iguales.- Dada una serie de razones iguales.a = b = c = d =........................................ a` b` c` d` Se cumple que: la suma de todos los antecedentes es a la suma de todos los consecuentes, como un antecedente cualquiera es a su consecuente. a + b + c + d + ............................. = a = b = c = d = ........................... a` + b` + c` + d` + .............................. a` b` c` d` ................................. Razón Inversa.- La razón CD = 7 se dice que es inversa de la razón AB = 5 y viceversa. ` AB 5 CD 7 Segmentos proporcionales.- Si a los segmentos a y b corresponden los segmentos a` y b`de tal manera que a = a` se dice que son proporcionales.b b`

a b

à b`

Una proporción no altera.

Si nos damos a = c b d

1) Cambiando el orden de los medios o de los extremos Alternar una proporción.

d = c o bien b a

a = b c d

2) Cambiando el orden de los términos de cada razón.Invertir una proporción.-

b = d a c

3) Cambiando el orden de las razones. Permutar una proporción.-

c = a d b

CALCULO DEL TÉRMINO DESCONOCIDO DE UNA PROPORCION. Conociendo tres términos cualesquiera de una proporción, es siempre posible calcular el cuarto término, basándonos en las propiedades ya explicadas. Designemos por x el término desconocido de la proporción 3 : 4 = x : 28 Como el producto de los medios es igual al producto de los extremos, tenemos: 4·x =

3 · 28 o sea 4 · x = 84 . Por lo tanto, x = 21

Otro ejemplo: Calcular x en la proporción.-

3 : 5 4 6

=

7 : x 9

Solución 3 · x = 5 · 7 4 6 9 3 · x = 35 4 54 x = 35 : 3 54 4 x = 70 81

2 35 · 4 54 3 27

Ejercicios.Calcular el término desconocido en las siguientes proporciones: a) 12 : 15 = 26 : x

b) 3,6 : x = 54 : 17

16 ; 21 = 20 : x

x : 9,4 = 0 : 23

15 : 32 = x : 24

c) 5 : 2 = 4 : x

4,2 : 2,8 = x : 5

d)

2½ :

x

6 : 4 = x : 7

5 :

1¼

4 : 1 = 9 : x 3 6 2

x :

3¾

e) 4 : x = x : 9

2 : x = x : 8

x : 1 = 4 : x g) 1 : x = x : 3 3 4

f)

=

20¼ : x

1¼ : 4 ¾

= x : 6

=

2 : 1 /8

= x : 4

x : 24,5 = 2 : x

10 : x = x : 6 3 5 h) 0,1 : x = x : 0,4

7

x : 2 =

13/5

: x

x : 7,2 = 0,05 : x

1 : x = x : 9 4 16

0,5 : x = x : 0,2

i) ( 3 – x ) : 8 = ( 5 – x ) : 6

j) ( x + 8 ) : 4 = ( x + 3 ) : 9

k) ¿Por qué número se amplificó la primera razón para completar la proporción: 3 = 12 7

¿Cómo queda?

l) ¿Cuàl de estas dos expresiones es una proporción? 71 = 10 92 13

51 = 85 57 95

¿Por qué razón?

m) Si tenemos la igualdad 6 · 4 = 3 · 8 Escribe las 8 proporciones diferentes que pueden derivarse de ella.

m) Escribir una proporción cuyos elementos sean de la clase de las fracciones equivalentes a 2 3

PROBLEMAS SOBRE PROPORCIONES DIRECTAS.-

1) ¿Cuánto valen 850 ladrillos a $ 19.000 el mil?

2) Una gruesa de lápices ( 144 unidades ) cuesta $ 6.800 ¿Cuánto cuestan 450 lápices?

3) ¿Cuánto cuestan 4 camisetas a $ 16.000 la docena?

4) ¿Cuánto valen 75 sobres a $ 2.800 el ciento?

5) ¿Cuánto cuestan 27 duraznos a $ 480 la docena?

6) 1,5 m de género valen $ 4.500.¿Cuánto valen 2,5 m?

PROBLEMAS SOBRE PROPORCIONES INVERSAS.-

1) 7 obreros hacen un trabajo en 15 días.¿En qué tiempo lo harían 21 obreros en igualdad de condiciones?

2) 3 llaves llenan un estanque en 7 horas.¿En qué tiempo lo llenarían 5 llaves iguales?

3) 20 hombres concluyen una obra en 6 días. ¿En que tiempo lo terminarían 5 hombres?

4) 6 jóvenes tardan 8 días en hacer un trabajo.¿Cuánto tardaría un joven?

5) Un estanque se llena en 16 horas con un caudal de 15 litros por segundo. ¿Cuántos l/seg habría que echarle para que se llenara en 12 horas?

PROBLEMAS SOBRE PROPORCIONES DIRECTAS E INVERSAS.-

1)

5 m de elástico valen $ 800. ¿Cuánto valen 8 m del mismo elástico?

2) 3 litros de aceite valen 3.120. ¿Cuánto valen 4 litros?

3) Para hacer un trabajo en 4 días se ocupan 9 hombres.¿Cuántos hombres lo harían en un día?

4) 12 m de género valen $ 18.000.¿Cuántos m podré comprar con $ 45.000?

5) Los lados de un rectángulo están en la razón 1 : 2. Si el lado menor mide 2,3 cm. calcula la longitud del otro lado y el perímetro.

6) Con 18 kg de cemento se pueden preparar 100 kg de concreto. ¿Cuántas toneladas podemos preparar con una tonelada de cemento?

7) Un terreno de 250 m2 vale 3.750.000. ¿Cuánto costará otro terreno similar que mide 28 m de fondo por 10 m de ancho?

8) Una casa de 9,5 m de alto, proyecta una sombra de 12,4 m. ¿Qué altura tiene otra casa que a la misma hora proyecta una sombra de 39,75m?

PROPORCIONALIDAD COMPUESTA

Reconocemos un problema de proporcionalidad compuesta, si las razones involucradas son más de 2 o cuando las cantidades que varían son más de 2.Ejercicios de aplicación. Alimentar a 12 animales durante 8 días cuesta $ 8.000. ¿Cuánto costará alimentar a 15 animales durante 5 días? Planteo Animales

Días

12 15

8 5

Pesos 8.000 x Proceso

Considerar en forma separada las cantidades que contienen la incógnita, con las otras 2. I ( 1ª proporción )

II

( 2ª proporción )

III

( 3ª proporción)

12 15

= 8.000 x 8 = 5

Proporción Directa ( PD )

8.000 x

12 · 8 = 8.000 15 · 5 x Segunda parte del Proceso.Analizar que tipo de proporción es c/u de las encontradas ( PD ∨PI )

( 3ª parte del Proceso )

12 · 8 · x = 8.000 · 15 · 5 x = 8.000 · 15 · 5 = $ 6.250 12 · 8

La proporción buscada se obtiene al igualar la razón que contiene la incógnita, con el producto de las otras 2 razones.-

EJERCICIOS SOBRE PROPORCIONALIDAD COMPUESTA.

1) Se tienen 2 máquinas iguales para revelar fotos . Funcionando durante 5 horas revelan 1.200 fotos al día. ¿Cuántas fotos podrán revelar 6 máquinas iguales a la anterior, pero funcionando 7 horas?

2) 6 cajas de tarros de conservas de 8 tarros c/u valen $ 2.000 ¿Cuánto valen 10 cajas de12 tarros c/u?

3) 12 operarias confeccionan 192 abrigos en 20 días de 8 horas de trabajo. ¿Cuántas horas deben trabajar diariamente 18 mujeres para confeccionar 270 abrigos en 25 días?

DIVISIÓN EN PARTES PROPORCIONALES

1) Encontrar el valor de x e y en la proporción x : y = 3 : 4 si se sabe que x + y = 28´ x+y = 3+4 x 3

x + y = 28

28 x

=

7 3

12 + y = 28

x

=

28 · 3 7

y

x

=

12

y = 16

= 28 - 12

2) 2 números están en la razón 5 : 2 y su diferencia es 60.¿Cuáles son los números? x : y = 5 : 2 sea la proporción. x–y = 5–2 x 5

x–y

60 x

=

3 5

100 – y

x

=

60 · 5 3

-y

x

=

100

y

=

60

= 60

= - 40 /·-1

=

40

3) La suma de 2 números es 45 y están en la razón 2 : 7 ¿Cuáles son los números? x : y = 2 : 7

x+y = x 45 = x x

=

x

=

2+7 2 9 2 5 45 · 2 9 1 10

45 – 10 = 35 Los números son 35 y 10

4) Se sabe que x e y representan números directamente proporcionales. Si y = 10 cuando x = 5 ¿Cuánto vale x si y = 6? x = 5 = K = 1 y 10 2

x = 1 6 2 2x = 1·6 x

= 6 2

x

= 3

5) Se sabe que f y m representan números directamente proporcionales .Si f = 20 cuando m = 4 ¿Cuánto vale m si f = 50? f : m = 20 : 4

m = 50 · 4 20

50 : m = 20 : 4 m =

10

6) Determinar los valores de x, y, z si x : 3 = y : 5 = z : 2 sabiendo que x + y + z = 50

x = K 3 y = K 5

x = 3K

x = 3 · 5 = 15

y = 5K

y = 5 · 5 = 25 z =

z = K 2

z =

x+y+z 50 50 10 5

2 · 5 = 10

2K

= 10 K = 10 K = K = K Significado de K

Considerando las razones : 3 : 5 = 6 : 10 3 : 5 = 0,6

3 : 5 = 12 : 20 6 : 10 = 0,6

6 : 10 = 12 : 20 12 : 20 = 0,6

podemos observar que.

Este valor que se conserva en toda la serie de proporciones, se llama CONSTANTE DE PROPORCIONALIDAD y se designa por la letra K.-En ese caso la proporcionalidad es directa.

Ejercicios: 1) Dividir el número 100 en partes directamente proporcionales a 2, 3, 5.x = K 2

x = 2K

x = 2 · 10 = 20

y = K 3

y = 3K

y = 3 · 10 = 30

z = K z = 5K 5 x + y + z = 10K = 100

z = 5 · 10 = 50 100

K = 100 10 K = 10 2) Divide el número 360 en partes directamente proporcionales a los números 4, 2, 3. x = K 4

x = 4K

x = 4 · 40 = 160

y = K 2

y = 2K

y = 2 · 40 =

z = K z = 3K 3 x + y + z = 9K = 360

80

z = 3 · 40 = 120 360

K = 360 9 K = 40 3) Componer y descomponer a la vez.Se tiene la proporción x : y = m : n

y sabemos que: x – m = 10; y + n = 30;

y – n = 20. Se quiere conocer el valor de x + m. x = m y n

alternando medios tenemos x = y m n

De la segunda proporción podemos obtener: x + m = y + n Reemplazando por sus x–m y - n valores numéricos, queda x + m = 30 de donde x + m = 30 · 10 = 15 10 20 20

4) Gabriel y Tomás ahorraron entre ambos, $ 272.000.- La proporción en que efectuaron el ahorro fue la siguiente.

G = 14 T 20

Calcular cuánto ahorró cada uno.

G + T = 14 + 20 T 20 272.000 = T T =

34 = 17. 20 10 272.000 · 10

T

=

17 160.000

G

=

112.000

2.720.000 : 17 = 160.000 272.000 - 160.000 112.000

Si CG – GD = 18 5) Descomponer en la siguiente proporción: CG = 2 . GD 1 CG – GD = 2 - 1 GD 1 Luego, usando la regla de los productos cruzados tenemos = 1 18 GD 1 GD = 18 y CG = 36

6) Si tenemos los siguientes segmentos: OA = 8 cm; AB = 6 cm y OC + CD = 42 cm Calcular CD en la proporción OA + AB = AB 8 + 6 = 6

OA = OC AB CD

OC + CD CD 42 CD

14 = 42 6 CD 3 CD = 6 · 42 14 1

=

18

7) Calcular los ángulos de un triángulo que están en la razón α : β : γ = 2 : 3 : 7 α = β = γ 2 3 7

Componemos con respecto a α γ

α+β+γ = 2+3+7 α 2 180º α

=

12 2

Hacer los mismos cálculos α para β ∧ γ α

β

α

= 180º · 2 12 = 30º

GRAFICO DE PROPORCION DIRECTA.-

NºPanes Valor

$ 50

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

45 40 35 30 25 20 15 10 5 0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

5 10 15 20 25 30 35 40 45 50

Nº de panes

El gráfico de una Proporción Directa es una recta que pasa por el origen en un sistema de coordenadas. Esta recta nos permite calcular el precio de cualquier número de panes. Igualmente el número de panes es congruente a un precio determinado. Ejemplo: Como sabemos que para dibujar una recta sólo necesitamos 2 puntos de ella, así también nos bastan 2 valores de nuestro problema para determinar su recta. Si 3 m de género valen $ 300 ¿Cuánto valen 5 m de género? R.- 5 m de género valen $500. $

500

400

300

200

100

0

1

2

3

4

5

metr0s

GRAFICO DE PROPORCIONES INVERSAS Ancho

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Largo

96 48 32 24 19,2 16 13,7 12 10,6 9,6 K = 96

Largo 50

40

30

20

10

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9 Ancho

Este gráfico se refiere a los lados de un rectángulo cuya área está representada según la tabla. Ejercicios sobre proporciones.I Formar una proporción con los siguientes números: a) 1, 4, 5, 20

b) 30, 10, 9, 3

c) 2, 5, 6, 15

d) 3, 5, 9, 15

e) 18. 15, 6, 5

f ) 1, 5, 3, 15

II Verificar si los siguientes pares de razones forman una proporción.a) 1 : 2 y 3 : 6

b) 3 : 4 y 9 : 10

c) 5 : 2 y 25 : 10

d) 3 : 2 y 6 : 9

e) 4 : 3 y 16 : 15

f) 7 : 2 y 1 : 3

III Aplicando las propiedades de las proporciones, obtener 7 proporciones equivalentes a las siguientes: a : b = m : p ;

4 : 8 = 6 : 12

IV Determinar la 4ª proporcional en las proporciones que siguen: a) 6 = 15 18 x

b) 8 : 2 = 28 : x

c) 0,4 : 0,6 = 12 : x

V Determinar la Media proporcional entre las siguientes cantidades. a) 3 y 12

b) 15 y 25

c) 18 y 6

d) a y b

VI Calcular la 3ª Proporcional entre : a) 3 y 9

b) 8 y 5

c) 3 y 27

d) 25 y 4

VII Componer y descomponer comparando con el antecedente y el consecuente, los ejercicios de la pregunta I .-

O CConstrucción de la 3 proporcionalidad Geométrica.b

a

A

b

B P

ª

P C

1) Se traza OP y sobre él se copia el segmento de medida a determinando el punto A

x D

2) Sobre el mismo rayo y a partir del punto A, copiamos el segmento de medida b, determinando el pto. B .3) Se traza OQ y sobre él se copia el segmento de medida b det. el pto C.-

Q

4) Se traza AC y por B se traza la // a AC det. el pto. D sobre OQ. Luego CD = x

Tablas de valores.Al analizar una tabla de valores de magnitudes inversamente proporcionales, se observa que el producto entre ambas variables es constante a lo largo de toda la tabla. Ejemplo:

Problema.-

2 jardineros se demoran 6 días en hacer un jardín. Calculando, puedo llenar la siguiente tabla. Si me preguntan cuanto se demoran 4, 3, 6, etc jardineros, el calculo sería 2 jardineros demoran 6 días

2 = x 4 6

x = 2·6 4

x = 12 4

x = 3

4 jardineros demoran x dias Para todas las demás cantidades hacemos lo mismo y tenemos la siguiente tabla. Jardineros 2 4 3 6 5 7

Días 6 3 4 2 2,4 1,7

Producto 12 12 12 12 12 11,9......

Otro Ejemplo: Base 1 2 3 4 6 12 0,5 1,5

Altura 12 6 4 3 2 1 24 8

Area 12 m2 “ “ “ “ “ “ “

Nº de Alumnos Grupos Monto de c/ grupo 20 2 $ 80.000 10 4 $ 40.000 8 5 $ 32.000 5 8 $ 20.000 4 10 $ 16.000

Producto $ 160.000 $ 160.000 $ 160.000 $ 160.000 $ 160.000

m 72 24 14,4

M·n 72 72 72

n 1 3 0,5

p 0,5 4 5 6 10 1,5 20 36 45

q 360 45 36 30 18 12 19 5 4

P·q 180 “ “ “ “ “ “ “ “

GRAFICO DE SECTOR CIRCULAR.-

Se usa generalmente para representar porcentajes. Sabemos que una circunferencia corresponde a un arco de 360º, entonces el 1% corresponderá a 1 de 360º, es decir a un arco de 3,6º. Si queremos representar 100 por ejemplo un 14%, el arco correspondiente deberá medir 3,6º · 14 = 50,4º Si queremos representar un 33%, el arco correspondiente medirá 3,6 · 33 = 118,8º aproximadamente 119º. En estoscasos se aproxima generalmente al entero. Observa un ejemplo de interpretación gráfica. Problema.- En el siguiente círculo . 15º = - de 5% Representa un 50 % 75º= + de20% 180º = 50%

Representa – de 5% Representa + de ¼% 90º 90º

Representa ¼ %

USO PRÁCTICO DE LAS RAZONES Y PROPORCIONES.Cálculo del tanto por ciento de una cantidad. Def: El tanto por ciento expresa la razón entre los elementos de un par ordenado. ¿Cómo? Lo veremos con un ejemplo. ¿Que significa para ti el 18 por ciento? Supongamos que sobre una mesa hay 100 lápices y ponemos a un lado 18 de ellos. Otro ejemplo: Supongamos que nos dicen que en un gallinero, el 15 por ciento(%) de las aves deberá cambiarse de lugar porque están muy amontonadas.. Entonces hacemos grupos de 100 de ellas y de cada grupo apartamos 15 y las sacamos. En ambos casos existe una comparación entre 2 cantidades. En el primer caso se extraen 18 de 100 lápices lo que en expresión matemática escribimos 18 = 18 % 100 En el segundo caso de cada 100 aves se sacan 15 del gallinero lo que se expresa 15 = 15% 100 Ahora pasamos a la segunda etapa de nuestro tema con otros ejemplos: En un día muy lluvioso faltan muchos alumnos al colegio y el inspector al pasar la lista comprueba que la ausencia es del 25%. Pero ¿Qué significa esto? ¿Que de cada 100 alumnos faltan 25? Esto no se entiende porque no hay 100 alumnos.¿Y quién puede asegurar que de haber 100 alumnos, faltarían 25? Para afirmar que falta un 25% de los alumnos ha sido necesario comparar el número de alumnos ausentes con el número total de alumnos de cada curso. Como medio de comparación se ha empleado la razón entre esas dos cantidades, la cual es en promedio,

9 de cada 36 alumnos ( 9 es a 36)=. 9 Si simplificamos por 9, nos queda 1 36 4 ¿Como expresamos todo esto en porcentaje? Convirtiendo el denominador en 100, para lo cual tenemos que buscar un número que multiplicado por 4 nos dé 100. Ese Nº es 25 en este caso y amplificando por el, nos queda : 9 = 1 = 25 = 0,25 = 25% 36 4 100 Todo lo anterior es para que comprendan cómo se genera un porcentaje, lo que no significa que ustedes lo tengan que calcular así. La forma fácil es:

PARA CALCULAR CUALQUIER TANTO POR CIENTO DE UNA CANTIDAD, SE DIVIDE DICHA CANTIDAD POR 100 Y EL RESULTADO SE MULTIPLICA POR EL TANTO POR CIENTO PEDIDO. EJ: Calcular el 23% de 5.862.2º)58,62 · 23 = 1.348,26 Este es el resultado pedido.

1º) 5862 : 100 = 58,62

Como transformar diversas clases de números en tanto por ciento.1º) Fracción cuyo denominador es factor de 100. Se amplifica previamente la fracción, de manera que el denominador se convierta en 100. Ejemplo: Nos piden expresar en % la fracción 7 . tengo que pensar 20 por cuanto es 100 20 y amplifico la fracción por ese número, que es 5 y me queda 35 que es 35 % 100 2º) Fracción decimal o numero mixto decimal. Se multiplica el número por 100 y se obtiene el tanto por ciento. Ejemplo: Nos piden expresar en % la fracción decimal 0,87. La convierto en fracción común y me queda: 0,87 = 87 = queda 398,25 100

87 %. Si fuera el Nº 3,9825

3º) Expresión de un numero natural en tanto por ciento. Se convierte el número dado en fracción, dividiéndolo por 1 Ejemplo: Tomemos el Nº 3. Lo convertimos en fracción 3 y hacemos lo mismo que en el Nos queda 300 lo que corresponde a 300 % 1 100 4º) Como expresar una fracción común en tanto por ciento.

1º)

Se convierte la fracción común a fracción decimal dividiendo el numerador por el denominador y luego se procede como en el 2º) Ejemplo: Tomemos la fracción 5 . Hacemos la división 5 : 6 = 0,8333 = 83,33 % 6 Comprueba y recuerda las siguientes relaciones. ( Cálculo directo ) Para calcular el 1% de una cantidad, se divide dicha cantidad por 100. Para calcular el 10% de una cantidad, se divide la cantidad por 10 Para calcular el 20% de una cantidad, se divide la cantidad por 5 Para calcular el 25% de una cantidad, se divide la cantidad por 4 Para calcular el 50% de una cantidad, se divide la cantidad por 2 Para calcular el 75% de una cantidad, se calcula el 25% y eso se multiplica por 3 Desde luego el 100% de una cantidad, es la cantidad misma. El 200% es la cantidad dada multiplicada por 2 El 500% es la cantidad dada multiplicada por 5 etc, etc. Ejemplos resueltos: 1.- 4% de $ 1.600 = 16(que es el 1%) · 4(que es el % pedido) = $ 64 2.- 3,8% de 950 m =

9,5 m

· 3,8

3.- 5 ¾ % de 296 Km = 2,96 · 5,75 = 17,02

=

36,1 m

4.- 0,2 % de 8.500 libros = 85 · 0,2 = 17 libros 5.- ¾ % de 1.800 hectáreas =

18 · 0,75 = 13,5 há

Tantos por ciento que equivalen a fracciones sencillas: 10 % 20 %

=

10 = 1 100 10 = 10 % · 2

50 % = 5%

=

=

0,1

1 50 = 100 2 10 % : 2

Cuestionario: En una hoja aparte calcula y luego escribe los resultados: 1.- 1%, 2%, 3%, 5%, 12%, 200% de $ 700 2.- a) 3,6% 2,9% 1,2% de $ 6500; b) 0,6%; 0,1%; 0,05% de 280 gramos 3.- ¾ %,

1 ¾ %,

½%

¼% de 1120 litros

4.- 30% de 42; 10% de 73; 20% de 432; 5% de 900; 75% de 3.600; 3% de 1,23 6.- 11% de 720; 120% de 45: 19% de 320; 48% de 540: 27 ½% de12;

5.- 2½% de 36 ;

Cuando sea posible simplificar, debe hacerse. El modelo se muestra en a) recordando que “El producto de los medios = al producto de los extremos” Calcular el término desconocido en las siguientes proporciones: a) 12 : 15 = 26 : x 5 13 x = 15 · 26 = 65 = 32,5 12 2 4 2 16 ; 21 = 20 : x

b) 3,6 : x = 54 : 17 x = 17 15

x : 9,4 = 0 : 23

x = 26,25

x = 0

15 : 32 = x : 24

4,2 : 2,8 = x : 5

x = 11,25

x = 7,5

c) 5 : 2 = 4 : x

d)

x = 1,6

2½ :

x = 2,5 : x = x = 9,5

6 : 4 = x : 7

5 :

1,25

: 4,75

= x : 6

1,25 x = 24

x = 10,5 4 : 1 = 9 : x 1 3 6 2 x = 9 16

x :

3¾

3,75 x = 4

e) 4 : x = x : 9 x2 = 36 x = 6

f)

20¼ : x 20,25 x2 = 81

2 : x = x : 8 x2 = 16 x = 4 x : 1 = 4 : x x2 = 4 x = 2 g) 1 : x = x : 3 3 4 2 = x 1 x = 4

1¼

1¼ : 4 ¾

1

=

2 : 1 /8 7

1

1,875

= x : 4 x = 9

x : 24,5 = 2 : x x2 = 49 x = 7 h) 0,1 : x = x : 0,4 x2 = 0,04 x = 0,2 10 : x = x : 6 3 5 x2 = 4

x

= 2

x : 2 =

13/5

: x

1,6 x = 1,6 · 2 =3,2 2

x : 7,2 = 0,05 : x

x2 = 7,2 · 0,05 = 0,36 x = 0,6

x = 1,78

1 : x = x : 9 4 16 x2 = 1 · 9 = 9 4 16 64

0,5 : x = x : 0,2

x =

x2 = 0,5 ·0,2 = 0,1

3 8

i) ( 3 – x ) : 8 = ( 5 – x ) : 6 =

6( 3 – x ) = 18 - 6x = 8x - 6x = 2x = x =

x = 0,31.....

8( 5 – x ) 40 - 8x 40 - 18 22 11

j) ( x + 8 ) : 4 = ( x + 3 ) : 9 4( x + 3 ) = 9( x + 8 ) 4x + 12 = 9x + 72 12 - 72 = 9x - 4x - 60 = 5x - 12 = x n) ¿Por qué número se amplificó la primera razón para completar la proporción: 3 = 12 7

¿Cómo queda? Se amplifico por 4. Queda

3 = 12 7 28

o) ¿Cuàl de estas dos expresiones es una proporción? La segunda porque el producto De los extremos es igual al producto de los medios. 71 = 10 92 13

51 = 85 57 95

¿Por qué razón?

m) Si tenemos la igualdad 6 · 4 = 3 · 8 Escribe las 8 proporciones diferentes que pueden derivarse de ella.

6 6 8 8 4 4 3 3

: : : : : : : :

4 3 4 3 6 8 6 8

= = = = = = = =

3 4 3 4 8 6 8 6

: : : : : : : :

8 8 6 6 3 3 4 4

p) Escribir una proporción cuyos elementos sean de la clase de las fracciones equivalentes a 2 3 Clase 2 = 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18............. 3 6 9 12 15 18 21 24 27

Proporción perteneciente a esa clase:

6 9

=

16 24

Siempre que sea posible simplificar al resolver los problemas, debe hacerse. PROBLEMAS SOBRE PROPORCIONES DIRECTAS.-

7) ¿Cuánto valen 850 ladrillos a $ 19.000 el mil? 1.000 ladrillos valen $ 19.000 850 “ “ X 1.000 850

=

19.000 X

X = 850 · 19.000 1.000 X = $ 16.150

8) Una gruesa de lápices ( 144 unidades ) cuesta $ 6.800 ¿Cuánto cuestan 450 lápices? 50 425 144 lápices cuestan $ 6.800 X = 450 · 6.800 450 “ “ X 144 16 144 = 6.800 1 450 X X = $ 21.250

9) ¿Cuánto cuestan 4 camisetas a $ 16.000 la docena? 12 camisetas cuestan $ 16.000 En casos como este en que el Nº de camisetas 4 “ “ X es un tercio del valor del total, basta con dividir los $ 16.000 por 3, lo que nos da un valor de $ 5.333,3 para las 4 camisetas 10) ¿Cuánto valen 75 sobres a $ 2.800 el ciento? 100 sobres valen $ 2.800 75 “ “ X 100 = 2.800 75 X

X = 75 · 2.800 100 X = $ 2.100

11) ¿Cuánto cuestan 27 duraznos a $ 480 la docena? 40 12 duraznos valen $ 480 X = 27 · 480 27 “ “ X 12 12 = 480 1 27 X X = $ 1.080

12) 1,5 m de género valen $ 4.500.¿Cuánto valen 2,5 m? 5 1.500 1,5 m de género valen $ 4.500 X = 2,5 · 4.500 2,5 m “ “ X 1.5 3 1,5 = 4.500 1 2,5 X X = $ 7.500 Cuando hay decimales, se puede amplificar la fracción (en este caso por 10) para transformar esos decimales en enteros y trabajar en forma mas fáci

PROBLEMAS SOBRE PROPORCIONES INVERSAS.-

6) 7 obreros hacen un trabajo en 15 días.¿En qué tiempo lo harían 21 obreros en igualdad de condiciones? Debemos fijarnos en que más personas se demoran menos en hacer el mismo trabajo. 1 5 También en que en la proporción 7 obreros demoran 15 ds X = 7 · 15 la segunda fracción se da vuelta. 21 “ “ X “ 21 3 X 1 7 = 21 15 X = 5 días 7) 3 llaves llenan un estanque en 7 horas.¿En qué tiempo lo llenarían 5 llaves iguales? 3 llaves demoran 7 hrs 5 “ “ X “

X =

3 = 5

X = 4,2 horas.

X 7

7 · 3 5

=

21 5

8) 20 hombres concluyen una obra en 6 días. ¿En que tiempo lo terminarían 5 hombres? 4 20 hombres demoran 6 ds X = 20 · 6 5 “ “ X ds 5 1 20 = X X = 24 días 5 6

9) 6 jóvenes tardan 8 días en hacer un trabajo.¿Cuánto tardaría un joven? 6 jóvenes demoran 8 ds 1 jóven demorará X ds 6 = 1

X 8

X = 6 · 8 1 X =

48 días

10) Un estanque se llena en 16 horas con un caudal de 15 litros por segundo. ¿Cuántos l/seg habría que echarle para que se llenara en 12 horas? 4 5 16 horas demora con 15 l/seg X = 16 · 15 12 “ “ “ X l/seg 12 3 16 = X 1 12 15 X = 20 l/seg

PROBLEMAS SOBRE PROPORCIONES DIRECTAS E INVERSA Aquí se trata de descubrir cuál proporción es directa y cuál inversa y desarrollar el problema de acuerdo a su condición.

9)

5 m de elástico valen $ 800. ¿Cuánto valen 8 m del mismo elástico?

DIRECTA.-

Respuesta: $ 1.280

10) 3 litros de aceite valen 3.120. ¿Cuánto valen 4 litros? DIRECTA.-

Respuesta: $ 4.160I

11) Para hacer un trabajo en 4 días se ocupan 9 hombres.¿Cuántos hombres lo harían en un día? Para hacer el mismo trabajo en menos tiempo deben ocuparse más hombres. INVERSA.-

Respuesta: 36 hombres

12) 12 m de género valen $ 18.000.¿Cuántos m podré comprar con $ 45.000? DIRECTA.-

Respuesta.- 30 m

13) Los lados de un rectángulo están en la razón 1 : 2. Si el lado menor mide 2,3 cm. calcula la longitud del otro lado y el perímetro. 1 = 2,3 2 X X = 2 · 2,3

P = 2( a + b )

X = 4,6 cm

P = 2( 2,3 + 4,6 ) = 2( 6,9 )

P = 13,8 cm

14) Con 18 kg de cemento se pueden preparar 100 kg de concreto. ¿Cuántas toneladas podemos preparar con una tonelada de cemento? DIRECTA.-

Respuesta.- 5.5 Toneladas

15) Un terreno de 250 m2 vale 3.750.000. ¿Cuánto costará otro terreno similar que mide 28 m de fondo por 10 m de ancho? A = 280 m2

10m

250 m2 valen 3.750.000 280 m2 valen X 250 = 3.750.000 280 X

X = $ 4.200.000 DIRECTA

28 m

16) Una casa de 9,5 m de alto, proyecta una sombra de 12,4 m. ¿Qué altura tiene otra casa que a la misma hora proyecta una sombra de 39,75m? DIRECTA.-

Respuesta: 30,45 m de alto

EJERCICIOS SOBRE PROPORCIONALIDAD COMPUESTA. 4) Se tienen 2 máquinas iguales para revelar fotos . Funcionando durante 5 horas revelan 1.200 fotos al día. ¿Cuántas fotos podrán revelar 6 máquinas iguales a la anterior, pero funcionando 7 horas? 2 máquinas funcionan 5 h diarias revelan 1.200 fotos 6

“

2 maq 6 “

“

7

revelan 1.200 fotos “ X fotos

2 · 5 = 1.200 6 7 X

“

“

X

En 5 horas revelan 1200 fotos En 7 “ “ X fotos

2 · 5 · X = 6 · 7 · 1.200 X = 50.400 10 X = 5040 fotos

“

5) 6 cajas de tarros de conservas de 8 tarros c/u valen $ 2.000 ¿Cuánto valen 10 cajas de12 tarros c/u? 6 · 8 = 2.000 6 · 8 · x = 2000 · 10 · 12 6 cajas con 8 tarros c/u valen $ 2.000 10 · 12 x 10 “ “ 12 “ “ “ X X = 240.000 48 6 cajas valen $ 2.000 Si tienen 8 tarros c/u valen $ 2.000 10 “ “ X Si “ 12 “ “ “ X X = $ 5.000

6) 12 operarias confeccionan 192 abrigos en 20 días de 8 horas de trabajo. ¿Cuántas horas deben trabajar diariamente 18 mujeres para confeccionar 270 abrigos en 25 días? 12 personas confeccionan 192 abrigos en 20 días de 8 horas de trabajo 18 “ “ 270 “ “ 25 “ “ X “ “ “ 12 personas en 8 horas 18 “ X “

12 · 192 · 20 = 8 18 270 25 X

192 abrigos en 8 hrs 20 días con 8 hrs de trab 270 “ “ X “ 25 “ “ X “ “ trab 1 3 135 5 1 12 · 192 · 20 · X = 18 · 270 · 25 · 8 X = 18 · 270 · 25 ·8 12 · 192 · 20 2 96 4 32 4 X = 675 = 21 horas 32 GRAFICO DE PROPORCIONES INVERSAS

Ancho

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Largo

96 48 32 24 19,2 16 13,7 12 10,6 9,6 K = 96

Largo 50

40

30

20

10

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9 Ancho

Este gráfico se refiere a los lados de un rectángulo cuya área está representada según la tabla.

Ejercicios sobre proporciones.I Formar una proporción con los siguientes números: a) 1, 4, 5, 20 1 : 4 = 5 : 20 d) 3, 5, 9, 15 3 : 5 = 9 : 15

b) 30, 10, 9, 3 30 : 10 = 9 : 3 e) 18. 15, 6, 5 18 : 15 = 6 : 5

c) 2, 5, 6, 15 2 : 5 = 6 : 15 f ) 1, 5, 3, 15 1 : 5 = 3 : 15

II Verificar si los siguientes pares de razones forman una proporción.a) 1 : 2 y 3 : 6 si

b) 3 : 4 y 9 : 10 no

c) 5 : 2 y 25 : 10 si

d) 3 : 2 y 6 : 9 no

e) 4 : 3 y 16 : 15 no

f) 7 : 2 y 1 : 3

no

III Aplicando las propiedades de las proporciones, obtener 7 proporciones equivalentes a las siguientes: a : b a:m b:a b: p m:a m:p p:m p:b

= = = = = = = =

m:p; b :p p :m a :m p :b a :b b :a m:a

4:8 = 4: 6 = 8: 4 = 8 : 12 = 6: 4 = 6 : 12 = 12 : 8 = 12 : 6 =

6 : 12 8 : 12 12 : 6 4 : 6 12 : 8 4 : 8 6 : 4 8 : 4

IV Determinar la 4ª proporcional en las proporciones que siguen: a) 6 = 15 19 x

b) 8 : 2 = 28 : x

c) 0,4 : 0,6 = 12 : x

3 x = 15 · 18 = 45 6 1

1 7 3 x = 2 · 28 = 7 x = 6 · 12 = 18 8 4 2 1 1 V Determinar la Media proporcional entre las siguientes cantidades. a) 3 y 12 3 = x x 12

b) 15 y 25 15 = x x 25

c) 18 y 6 18 = x x 6

d) a y b a = x x b

VI Calcular la 3ª Proporcional entre : a) 3 y 9

b) 8 y 5

c) 3 y 27

d) 25 y 4

3 = 9 9 x

8 = 5 5 x

3 = 27 27 x

25 = 4 4 x

x = 27

x = 3,125

x = 243

x = 0,64

VII Componer y descomponer comparando con el antecedente y el consecuente, los ejercicios de la pregunta I .1 + 4 = 5 + 20 ; 30 – 10 = 9 – 3 ; 2 + 5 = 6 + 15 ; 3 + 5 = 9 + 15 4 20 30 9 2 6 3 9 O CConstrucción de la 3ª proporcionalidad Geométrica.b

a

A

b

B P

P C

1) Se traza OP y sobre él se copia el segmento de medida a determinando el punto A

x D

2) Sobre el mismo rayo y a partir del punto A, copiamos el segmento de medida b, determinando el pto. B .3) Se traza OQ y sobre él se copia el segmento de medida b det. el pto C.-

Q

4) Se traza AC y por B se traza la // a AC det. el pto. D sobre OQ. Luego CD = x

Cuestionario: En una hoja aparte calcula y luego escribe los resultados: 1.- 1%, 2%, 3%, 5%, 12%, 200% de $ 700 2.- a) 3,6% 2,9% 1,2% de $ 6500; b) 0,6%; 0,1%; 0,05% de 280 gramos 3.- ¾ %,

1 ¾ %,

½%

¼% de 1120 litros

4.- 30% de 42; 10% de 73; 20% de 432; 5% de 900; 75% de 3.600; 3% de 1,23 6.- 11% de 720; 120% de 45: 19% de 320; 48% de 540: 27 ½% de12; Solución del cuestionario: 1.- 7,

14,

21,

2.- a)

234,

188,5,

3.- 8,4,

19,6,

35,

7,3,

5.- 79,2,

54,

1.400.

78

5,6,

4.- 12,6,

84,

b) 1,68,

0,28, 0,14.

2,8. 86,4, 60,8,

45, 259,2,

2.700, 3,3,

0,9 0,0369.

5.- 2½% de 36 ;