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CAPITULO 6 PROYECTO DE ELEMENTOS DE TRANSMISIÓN FLEXIBLES División 1 Cálculo y selección de correas y cadenas. Cálculo de ejes flexibles

UTN-FRBB Cátedra: Elementos de Máquinas. Profesor: Dr. Ing. Marcelo Tulio Piovan

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1. Introducción En este capítulo se verá la forma de calcular, seleccionar o verificar correas, cadenas y distintos elementos flexibles de transmisión, además de analizar su mecánica básica. Los elementos de máquina elásticos como las correas, las cadenas y otros similares tienen por función transmitir movimiento y/o potencia entre distancias relativamente largas. Estos elementos se emplean frecuentemente como reemplazos naturales de los engranajes en las circunstancias mencionadas.

2. Correas Descripción, usos y clases En la gran mayoría de las aplicaciones industriales y domésticas donde se necesita incrementar el torque o par torsor, es fundamental contar con un reductor de velocidad. Uno de los elementos reductores de velocidad es el dispositivo de transmisión por correas o por cadenas. En la Figura 6.1 se muestra un diagrama de velocidades de rotación versus torque para distintas aplicaciones industriales y domésticas, donde se ha remarcado con color morado el rango de uso de las correas. (A) Motor de Horno Cementero Rotativo (B) Turbina a Gas de un buque cisterna (C) Generador de potencia eléctrica (D) Motor diesel de un ferryboat (E) Motor de un camión Caterpillar (F) Generador Eólico (G) Motor de un compresor de refrigeración (H) Motor de un Volvo 340 (I) Motor de un lavarropa (J) Motor del limpia parabrisa (K) Motor de una máquina herramienta (L) Turbo de Camión (M) Reloj Temporizador (N) Motor de maquina de afeitar (O) Giroscopio (P) Motor de un registrador mecánico (Q) Motor del Torno de dentista Figura 6.1. Rango de torque y velocidades de diferentes aplicaciones

Existen varios tipos característicos de correas, en la Figura 6.2 se muestran algunos ejemplos. Correas Planas (Figura 6.2.a) 1. Correas Redondas (Figura 6.2.b) 2. Correas en V (Figura 6.2.c y 6.2.d) 3. Correas Sincrónicas (Figura 6.2.e) 4. Correas planas segmentadas (Figura 6.2.f)

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Las correas transmiten el movimiento de una parte a otra mediante la acción de la fuerza de fricción que actúa en las poleas. Estas poleas tienen diferentes características según sea la clase de correas que portan. Así por ejemplo en las correas planas la polea puede ser un tambor o un disco cualquiera, mientras que para correas redondas o en V, las poleas tienen acanaladuras de sección semicircular o trapezoidal y para las correas sincrónicas, las poleas son ruedas dentadas denominadas en la jerga “ruedas catalinas”. En la Figura 6.3 se muestran algunas clases de poleas: a) Para correas en V o trapezoidales (Figura 6.3.a) b) Para correas planas (Figura 6.3.b y 6.3.c) c) Para correas circulares (Figura 6.3.d) d) Para correas sincrónicas (Figura 6.3.e)

(a)

(b)

(c)

(d)

(e) Figura 6.2. Diferentes clases de correas

(f)

(a)

(b)

(d)

(c)

(e) Figura 6.3. Diferentes clases de poleas

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Mecánica de las correas. En las Figura 6.4 y 6.5 se ilustra la geometría de una transmisión por correa plana. La mayoría de los desarrollos matemáticos que se presentan en este capítulo están basados en el modelo físico de las correas planas. Los modelos de cálculo para correas en V se basan en los de correas planas, con el añadido de determinados factores de corrección. Nótese que en la Figura 6.4 existe un ramal de la correa que se encuentra más tenso que el otro, este es el denominado ramal tenso, y el otro es denominado ramal flojo.

Figura 6.4. discriminación de fuerzas en una correa

Figura 6.5. Dimensiones y parámetros de importancia en una correa

Uno de los parámetros más importantes para seleccionar una correa es la determinación de su longitud, la cual está normalizada según datos de los distintos fabricantes. Para ello es necesario considerar la condición de máxima extensión sin deformación en la correa. De forma que se verifique un ángulo de 90° entre la recta tangente y el radio de las circunferencias en los puntos A o B y sus simétricos en la Figura 6.4. Así la longitud total se puede obtener sumando cada uno de los segmentos involucrados, es decir el segmento AB y su simétrico y los arcos de circunferencia dados por los ángulos de abrace φ1 y φ2. En consecuencia:

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L = 2 AB + φ 1

D1 D +φ2 2 2 2

(6.1)

Téngase presente que φ1 y φ2 están dados en radianes y valen

φ1 = π − 2α y φ 2 = π + 2α

siendo

 D − D1  α = ArcSen  2   2c d 

(6.2)

Además el segmento AB vale: D D  AB = c d2 +  2 − 1  2   2

2

(6.3)

Reemplazando (6.2) y (6.3) en (6.1) se obtiene: 2

 D − D1  D D   D + D2  L = 2 c +  2 − 1  +π  1  + (D2 − D1 )ArcSen  2  2  2  2    2c d  2 d

(6.4)

La expresión (6.4) da una idea orientadora del tamaño de la correa la cual para determinadas aplicaciones deberá ser modificada por ciertos factores de uso, tamaño, etc. La (6.4) puede escribirse de otra manera sin necesidad de recurrir al empleo de funciones sinusoidales, apelando a una expansión en series de Taylor de la función sinusoidal, truncada en el segundo término (Ver referencia [5]). Así pues, la (6.3) se puede componer en función las relaciones trigonometricas: AB = cd .Cos[α ]

(6.3)

Pero Cos[α] se puede expandir en una serie de Taylor de la siguiente forma: 1 1 (D − D )2 Cos[α ] ≅ 1 − ·Sen 2 [α ] = 1 − · 2 2 1 2 2 4·cd De manera que reemplazando se obtiene: L ≅ 2·c d −

( D2 − D1 ) 2 π ( D − D1 ) 2 + ( D1 + D2 ) + 2 4·c d 2 2·c d

( D2 − D1 ) 2 π L ≅ 2·c d + ( D1 + D2 ) + 2 4·c d

(6.5)

Nótese que la (6.5) es aproximada debido al truncamiento de la serie de Taylor. Téngase presente que en las ecuaciones anteriores, los diámetros D1 y D2 son diámetros primitivos de las correas, es decir donde la deformación flexional es nula. En los casos de correas como la que se ilustra en la Figura 6.2.f, la determinación correcta de la longitud no es un inconveniente serio ya que la longitud puede adaptarse a voluntad sin mas que añadir o quitar eslabones.

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Transmisión de fuerzas En el modelo para calcular las fuerzas actuantes en una correa se supondrá que la fricción en la misma es proporcional a la fuerza normal de contacto de la correa con la polea a lo largo del arco de contacto. Así pues si se observa el elemento diferencial de correa de la Figura 6.6, se pueden establecer las siguientes dos ecuaciones de equilibrio para las fuerzas tangenciales y para las fuerzas radiales respectivamente: dα

dα

∑ F = (F + dF )Cos  2  − F .Cos  2  − µdQ = 0 t

∑F

r

 dα   dα  = −(F + dF )Sen   − F .Sen   + dC + dQ = 0  2   2 

(6.6) (6.7)

Donde dQ es la normal, dC = rω 2 (mrdα ) = r 2ω 2 mdα = mV 2 dα = FC dα es la diferencial de fuerza centrífuga. Teniendo presente que para ángulos muy pequeños se cumple que

Cos[α ] = 1 y Sen[α ] = α , De la (6.6) y (6.7) se puede obtener las siguientes ecuaciones

diferenciales dQ = F .dα − FC dα ⇒

dQ = F − FC dα

dF − µ .F = − µ .FC dF − µ (F .dα − FC dα ) = 0 ⇒ dα

(6.8)

que al ser resueltas con las condiciones en los extremos donde F(0)=F2, F(φ)=F1, se tiene F1 − FC = e µφ F2 − FC

(6.9)

donde µ y φ son el coeficiente de fricción de la correa con la polea y el ángulo de abrace genérico de la correa en la polea impulsora.

Figura 6.6. elemento diferencial de correa

Ahora bien, las fuerzas F1 y F2 en la Figura 6.6 se pueden describir en forma aditiva según: UTN-FRBB Cátedra: Elementos de Máquinas. Profesor: Dr. Ing. Marcelo Tulio Piovan

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F1 = Fi + FC + ∆F F2 = Fi + FC − ∆F

siendo ∆F =

T D

(6.10)

Donde Fi es la tensión inicial antes del movimiento, FC es la fuerza centrífuga, ∆F es una variación de fuerza debida al momento torsor T y D es el diámetro de la polea. Luego de (6.10) se puede despejar (6.11) y con (6.9) obtener (6.12). F1 − F2 = Fi =

2T D

(6.11)

F1 − F2 T  e µφ + 1   − FC =  µφ D  e − 1  2

(6.12)

La (6.12) es una expresión fundamental para correas planas, dado que la ausencia de una tensión inicial, implicaría un momento nulo y en consecuencia la incapacidad de transmitir movimiento o carga. La fuerza centrífuga se puede obtener como: D2 (6.13) 4 Recuérdese que m es la masa por unidad de longitud, AC es el área de la sección transversal de la correa plana. Luego la Potencia transmitida por la correa se obtiene de: FC = mV 2 = ρAω 2

H P = (F1 − F2 )V = (F1 − F2 )ω

D 2

(6.14)

Variación de la Tensión a lo largo de la correa: Ciclo de Trabajo Para poder dimensionar o seleccionar una correa es necesario estudiar que es lo que realmente acontece a lo largo de un ciclo de trabajo. Esto se hace analizando el diagrama real de trabajo, para luego reemplazarlo por el diagrama ideal más aproximado, del cual existen formulas de dimensionado. El diagrama se hará para un tiempo representativo de trabajo, que corresponde a una vuelta completa de correa, para ello obsérvese en la Figura 6.5, el recorrido A-B-E-F con la dirección de transmisión indicada en la Figura 6.4. En cada uno de los segmentos actúan diferentes tipos de solicitaciones que se pueden discriminar de la siguiente manera: Un esfuerzo de tracción Fi producido por la tensión inicial. Este esfuerzo es constante en todas las secciones de la correa. Un esfuerzo de tracción FC debido a la fuerza centrífuga y que se traduce como un esfuerzo constante en todas las secciones de la correa. Un esfuerzo de tracción FF debido a la flexión de la correa sobre las poleas. La correa flexiona sobre las poleas para adaptarse a su forma, se ve entonces sometida a una tensión de flexión. De Resistencia de Materiales se sabe que el radio de curvatura de la fibra neutra, fijo, esta dado por: E·J 1 Mf = de donde M f = ρ E·J ρ UTN-FRBB Cátedra: Elementos de Máquinas. Profesor: Dr. Ing. Marcelo Tulio Piovan

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Si DP es el diámetro primitivo genérico, luego:

σf =

Mf Wx

siendo W x =

D J y ρ= P K ·e 2

En consecuencia

σf =

E·J ·2·K ·e K ·E·e = Dp· J Dp

donde K y e son factores de proporcionalidad. La situación más desfavorable se presenta para la fibra exterior que está sometida a la tracción, porque ella se suma a las otras tensiones producidas por los esfuerzos de tracción, y para tener esto en cuenta se considera una fuerza de tracción equivalente dada por:

FF = σ f · A =

K · A·E·e → Dp

FF 1 =

K · A·E·e rueda impulsora D1

FF 2 =

K · A·E·e rueda impulsada D2

Un esfuerzo de tracción FP debido a la transmisión del esfuerzo periférico. Cuando la correa se pone en movimiento aumenta el esfuerzo de tracción en el ramal tenso en ∆F , y disminuye en el ramal flojo en la misma cantidad, variando exponencialmente a su paso por las poleas de acuerdo a la ecuación de PRONY (ver expresión (6.10)). Luego las fuerzas pico en cada rama vienen identificadas de la siguiente manera: F1T = F1 + FF 1 = Fi + FF 1 + FC + ∆F F2T = F2 + FF 2 = Fi + FF 2 + FC − ∆F

(6.15)

donde F1T y F2T son las fuerzas pico en los tramos tenso y suelto, F1 y F2 son las fuerzas de extensión que actúan en los lados tenso y suelto (6.10), respectivamente, mientras que FF1 y FF2 son fuerzas de flexión en los lados tenso y suelto respectivamente. FC es la fuerza debida a efectos centrífugos. Para mayores detalles y explicaciones sobre la forma de calcular estas tensiones ver la referencia [5]. En la Figura 6.7 se puede ver la sumatoria y la variación de la tensión real en cada tramo del ciclo de carga real. Del estudio del diagrama real de trabajo se observa que es conveniente reemplazarlo por un diagrama ideal que corresponda al tipo de carga fluctuante (llamado “Tipo de carga I”), y por el esfuerzo axial. El diagrama ideal debe ser trazado entre los valores máximos y mínimos del diagrama real y en cada vuelta la correa debe cumplir dos ciclos de trabajo, luego cada ciclo tiene una longitud de L/2. Los valores máximos y mínimos de ambos diagramas resultan: Fmax = F1 + FF 1 = Fmin

P·e µ ·φ K · A·E·e + m·V 2 + µ ·φ D1 e −1

P = F2 = µ ·φ + m·V 2 e −1

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(6.16)

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siendo P el esfuerzo o fuerza periférica que debe superarse, y la fuerza centrífuga es: m·V 2 =

γ . A.V 2 g

(6.17)

γ, A son peso específico y área de la correa, g es la constante de aceleración de gravedad.

Figura 6.7. Distribución de las tensiones en una correa.

De la observación de ambos diagramas se deduce que en el diagrama real cuando la relación de transmisión es distinta de 1, el valor máximo se alcanza en el 50 % de los ciclos. Pero los fabricantes de correas presentan en sus tablas la potencia que puede transmitir cada correa que fabrican en las condiciones normales de funcionamiento, que son 8 horas diarias, ambientes limpios y relación de transmisión igual a 1, la situación real de funcionamiento es más favorable que aquella que indica el fabricante; luego el valor de potencia que da el fabricante tiene un superávit que permite tolerar cargas algo mayores.

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En las correas planas ese superávit de potencia es pequeño y se desprecia, pero en las trapeciales se debe tener en cuenta.

Fórmula general para la selección y cálculo de una correa. Del estudio del ciclo de trabajo se ha obtenido que la correa está sometida a un esfuerzo axial de tipo I, fluctuante. Para encontrar la formula de dimensionado, corresponde usar la simplificación de Whal:

σ equiv. = σ med + ψ 1 ·σ a

(6.18)

σ equiv. = σ adm

(6.19)

Luego debe cumplirse que Esto es así en virtud de que no existen más tensiones actuantes que las normales. Ahora bien, teniendo en cuenta que

σ max . =

Fmax σ + σ min σ − σ min F , σ a = max , σ min = min , σ med = max A A 2 2  2·σ y  σ rot ψ 1 = K fa · − n  , σ adm =  abcd ....z  σ pcN 

(6.20)

Dado que las fuerzas máxima y mínima (Fmax y Fmin) son funciones de la fuerza periférica P, y ésta depende de la potencia y la velocidad de transmisión, se llega a la siguiente expresión de la potencia en función de un conjunto de factores:    K N ( f S 1 , f S 2.. ) = A· f µ · f αtV / L  K 1tV / L − 2 tV / L − K 3tV / L ·V 2 ·V + K 4 tv / l ·n1 ·(1 − f i )  D1   

(6.21)

N es la Potencia a transmitir. fS1, fS2..: Son los factores de servicio, que para cada tipo de correa están especificados por el fabricantes. A es Sección de la correa. fu es el Factor de corrección por eficiencia de la unión. fαtV/L es el Factor de corrección por ángulo de abrace. Este factor tiene en cuenta el verdadero ángulo de abrace de una aplicación particular, ya que los valores que asegura el fabricante acerca de la potencia que puede transmitir cada correa es para i=1, es decir para ángulos de abrace de 180º. Este factor también depende del tiempo de vida de la correa, de la velocidad y de su longitud. KitV/L Son los valores de determinadas expresiones matemáticas que aparecen en el desarrollo de la formula y que son función del material de correa y polea, de la sección de la correa, y del tiempo, velocidad y longitud de la misma. D1 = Diámetro primitivo del piñón o polea menor. n1 = numero de revoluciones de la polea menor. fi = Factor de corrección por relación de transmisión distinta de 1 (uno).

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Obsérvese que el último término de (6.21) es el que pondera la potencia para relaciones de transmisión diferentes a la unidad.

Criterio para establecer el tamaño de la polea menor En la expresión (6.21), nótese que el término subrayado es sustractivo, lo que implica una merma o reducción en la capacidad de transmisión de potencia. Este término tiene en cuenta el esfuerzo de flexión que se impone cuando la correa flexiona sobre la polea menor, y lógicamente es inversamente proporcional al diámetro primitivo de la misma. Esto significa que desde este punto de vista, es conveniente considerar poleas de tamaños considerables, pero desde el punto de vista económico convendrían poleas más bien pequeñas. Los fabricantes adoptan una solución de compromiso, y recomiendan los tamaños de polea mínimos y admisibles para cada correa que fabrican.

Criterio económico para establecer la duración de la correa Se pretende emplear una correa en una máquina (ya conocida), de manera que la máquina tenga una duración de TN años y la correa una duración de tN años (con tN N1, se dimensiona con σ LN 2 < σ LN 1 , y se obtiene una sección A2>A1, que es mas cara que la A1, por ser mayor, pero que durará mas tiempo. ¿Cuál es la solución económica?. Los fabricantes, analizando la relación costo-tiempo de vida obtuvieron la curva de la Figura 6.8.b, donde se observa un costo mínimo para un tiempo económico. De esta manera se fija la vida de las correas entre 3 a 5 años para las de caucho y 7 años para las de cuero, trabajando en condiciones normales.

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Figura 6.8. Duración económica de las correas. (a) Diagrama de Wholer (b) relación costo - vida

Dispositivos especiales para correas Las correas suelen poseer diferentes dispositivos que permiten ajustar o tensar los ramales para que la transmisión no se vea interrumpida y evitar el deslizamiento de la correa. En la Figura 6.9 se muestran algunos de estos dispositivos llamados tensionadores de correas.

Figura 6.9. Tensores para correas.

Correas Planas La correa plana es de sección rectangular con el ancho considerablemente mayor que el espesor (Figura 6.10), y apoya sobre su parte ancha sobre la polea.

Figura 6.10. Sección de correa plana

Los materiales para construir de trasmisión deben ser fuertes, flexibles, durables y tener un alto coeficiente de rozamiento. Los más comunes son cuero, caucho y plástico. La fórmula general para este tipo de correa se obtiene de la (6.21) como N ( f S 1 , f S 2 ..) = A. f u . f α

 K2 t V / L  K . − − K3  t V /L 1 t V /L D1 

 2 .V + K 4 t V / L .V  

 n 1 f − . .( ) t V /L p i  (6.23) 

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Por comparación el término que tiene en cuenta la variación de potencia debida a una relación de transmisión distinta de la unidad es muy pequeño con respecto de los restantes términos y en consecuencia se desprecia. Luego el área de la sección se calcula como: A = b.e

Téngase presente que el espesor es constante y que la correa se fabrica con diferentes anchos. Los coeficientes de los términos dentro del corchete, que son función de la sección se pueden obtener de la siguiente manera: K 'i t V / L = K i t V / L . e El factor por eficiencia de la unión es fu se lo toma igual a 1 (uno) cuando la unión se hace como lo indican las normas: cocida en las de cuero, de broche metálico en las de caucho y cementada en las de plástico; porque el fabricante tiene en cuenta esta unión cuando da la potencia que puede transmitir cada correa que fabrica. En la marcha de selección se verá cómo se tiene en cuenta cuando se usa otra unión. Reemplazando en la fórmula general, se obtiene la fórmula para calcular correas planas: N ( f S 1 , f S 2 ..) = b. f α

 K '2 t V / L  . ' K − − K '3  t V /L 1 t V /L D1 

  2 . .V  V t V /L    

(6.24)

En la práctica al miembro de la izquierda se lo llama Potencia de diseño o selección, ND. N D = N .( f S 1 , f S 2 ..)

(6.25)

La expresión encerrada entre corchetes es la potencia transmitida por la correa por unidad de ancho en las condiciones normales de funcionamiento. Este valor lo da el fabricante de correa y se designa con N180 K '2 t V / L  − K '3 N 180 =  K '1 t V / L −  D 1 

fα

t V /L

t V /L

 .V 2 .V  

(6.26)

es el factor de corrección por ángulo de abrace, que para correas planas es un único

factor designado con f α . El producto de N180 por el factor f α se llama “potencia que puede transmitir una correa por unidad de ancho en las condiciones de funcionamiento” N 0 = N 180 . f α (6.27) Luego reemplazando en (6.24) se llega a

N D = b.N 0

→

b=

ND N0

(6.28)

Con la cual se obtiene el ancho de correa. Efecto de la velocidad sobre la capacidad de transmisión de potencia La potencia que da el fabricante en sus manuales N180 es la que responde a la fórmula (6.26). Para cada correa plana que se fabrica, las tablas se presentan en función de la velocidad y del diámetro de la polea menor. En la práctica, las tablas se construyen en base a unos pocos UTN-FRBB Cátedra: Elementos de Máquinas. Profesor: Dr. Ing. Marcelo Tulio Piovan

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ensayos, y estudiando matemáticamente el problema se determina para cada tipo de correa los valores de los K 'i t V / L , y con tales fórmulas se llenan las tablas. Es de interés determinar si tales ecuaciones tienen máximos para algún valor de la velocidad. Así pues, derivando (6.26) con respecto de la velocidad V, se obtiene: K '2 t V / L dN 180 = K '1 t V / L − − K '3 dV D1

t V /L

.V 2 = 0

(6.29)

de donde se obtiene un valor extremo: K '2 t V / L   1 . V0 =  K '1 t V / L −  D1  3.K ' 3 t V / L 

(6.30)

Que será máximo en tanto que se cumpla d 2 N 180 (6.31) = −6.K ' 3 t V / L .V < 0 es decir un máximo dV 2 En la Figura 6.11 se puede obtener una imagen de la variación de la potencia que puede transmitir la correa por unidad de ancho.

Figura 6.11. Variación de la Potencia a transmitida por unidad de ancho, como función de la velocidad

En el caso particular de las correas planas esta velocidad es muy grande y en general se necesitarían transmisiones grandes para poder alcanzarlas, lo que resulta antieconómico por lo que las velocidades comunes de funcionamiento son menores que la óptima Criterios de selección de Correas Planas En primer lugar se debe determinar el material de la correa a usar. Para las aplicaciones comunes, por su versatilidad, el bajo costo y la fácil obtención en los mercados con calidad garantizada, se adoptan las correas de caucho. En algunas aplicaciones donde se desea mayor duración de correa, o bien donde las condiciones ambientales no permitan usar una de caucho, se usan las de cuero que son más caras. Para trasmisiones que funcionen a muy alta velocidad con tamaño chico de la trasmisión, se usan las correas de plástico, que son las más caras. En el Caso de Estudio 10, se efectúa un análisis de selección de correas planas de plástico.

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Correas Trapezoidales o en V Este tipo de correas se emplea como órgano de conexión de los motores eléctricos a las maquinas como ventiladores, compresores, tornos, fresadoras, y otros tipos de máquinas herramientas. También se las utiliza como accesorios de transmisión en los motores de automóviles junto con las correas sincrónicas. Las correas trapeciales fueron introducidas para obtener trasmisiones de pequeña distancia entre centros, y para reducir las fuerzas radiales aplicadas a los árboles. Consisten en cordones de algodón o rayón, a veces reforzados por hilos metálicos o de nylon, dispuestos dentro de una sección de forma trapecial, de tal manera que esos cordones queden ubicados a la altura de la fibra neutra, con lo que disminuyen las tensiones de flexión, como se muestra Figura 6.12

Figura 6.12. Secciones de correas trapezoidales

Los cordones pueden ubicarse en forma de una o varias capas, o bien en forma de uno o dos torones, formados por varios cordones. Los cordones van rodeados por caucho natural o sintético en forma de dos gruesas capas, la superior sometida a tracción y la inferior sometida a compresión. Todo el conjunto va rodeado por una capa de tejido delgado impregnado en goma, y que forma la superficie exterior resistente al desgaste. Estas correas se hacen trabajar dentro de ranuras en V de manera que quede acuñada entre sus paredes, quedando un espacio libre entre la correa y el fondo de la garganta, como se ve en la Figura 6.13.

Figura 6.13. Acuñamiento en la polea

En correas planas la tensión inicial da lugar a la fuerza normal N, la que produce la fuerza de roce FR = µ N. En correas trapeciales, como el roce se produce en las caras laterales, la fuerza N da lugar a dos fuerzas N’ sobre dichas caras y la fuerza total de roce vale FR = 2 µ N’.

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De tal manera que: N'=

2⋅µ ⋅ N N = µe N => FR = 2 ⋅ senβ 2 ⋅ senβ

con µ e =

µ senβ

(6.32)

Siendo µe el coeficiente de rozamiento equivalente. Ahora como el ángulo β es pequeño, resulta que µe >> µ. Esto significa que para la misma tensión inicial, es decir para igual N, en la correa trapecial se logra mayor fuerza de roce, lo que permite trasmitir mayor esfuerzo periférico Esquemas normalizados de perfiles para correas trapezoidales Si bien cada fabricante adopta distintas formas constructivas para los cordones y su distribución dentro de la sección, se han establecido normas que especifican las dimensiones exteriores de la sección de las correas, de las gargantas de las poleas, de la longitud total normalizada y de las potencias mínimas garantizadas. Las correas pueden clasificarse basándose en su uso de la siguiente manera a) Correas múltiples en V, comunes, ó de uso industrial (Figura 6.14.a): Las normas norteamericanas ofrecen cinco tamaños de sección: A, B, C, D, E. La norma europea agrega uno menor Z y uno mayor F: Z, A, B, C, D, E, F. Para cada tamaño están fijas las medidas b y e. Se las utiliza en actividades industriales comunes, trabajando una o más caras en paralelo b) Correas en V para servicio liviano o de potencia fraccionaria (Figura 6.14.b): Generalmente trasmiten menos de 1 HP, aunque las normas están contempladas hasta 2 HP. Hay cuatro tamaños de sección: 2L, 3L, 4L y 5L. Se las usa en aplicaciones donde el servicio es intermitente o poco frecuente y trabajan siempre de una sola correa. Son las que se utilizan en aparatos electrodomésticos y herramientas portátiles. c) Correas en V angostas (Figura 6.14.c): Tienen igual campo de aplicación que las múltiples, pero son más difíciles de construir. Los cordones están ubicados en una sección rectangular por encima de la sección trapecial. Trasmiten igual potencia que las múltiples con un ancho más reducido. Se normalizan tres tamaños de sección: 3V, 5V, 8V. Observandose la siguiente equivalencia con las correas múltiples: A  , 5V →  C  , 8V →  D  3V →  B  E  D       d) Correas hexagonales o doble V (Figura 6.14.d): Tienen forma hexagonal y los cordones van en la parte central. Hay cuatro tamaños de sección: A-A, B-B, C-C y DD. Se la utiliza cuando la correa tiene necesidad de apoyar de ambos lados, como en los casos de transmisión que se muestra en la Figura 6.15.

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(a)

(b)

(c) (d) Figura 6.14. Tipos y caracterizaciones de las correas trapezoidales

Figura 6.15. Ejemplo de transmisión en correas

En las normas respectivas se dan para cada tamaño de sección las dimensiones de las gargantas de poleas para distintos valores del diámetro primitivo (Ver Figura 6.16). Se debe aclarar que para las correas múltiples todo se normaliza basándose en el diámetro primitivo, mientras que en las livianas y angostas todo está normalizado sobre la base del diámetro exterior.

Figura 6.16. Poleas normalizadas

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Nociones de la distancia entre centros La distancia entre centros para las correas trapezoidales es más pequeña que en las correas planas. Cuando se tienen que unir árboles muy alejados es más conveniente usar correas planas. En el caso de las correas trapezoidales, el ramal no tenso sufre vibraciones y golpes debido a la entrada y salida de las ranuras, y se desgasta. Se suele tomar cdmáx ≤ 3 DP2 y cdmín siguiendo el criterio de Gates:  1 1 para relaciones de transmisión i ∈  ;  ⇒ c d min = DP1  12 3  D + DP1 1  + DP1 para relaciones de transmisión i ∈  ;1 ⇒ c d min = P 2 2 3 

(6.33)

Longitud de correa normalizada y su medida Estas correas son siempre sin fin, y los largos están normalizados. Las correas múltiples se normalizan basándose en la longitud primitiva y el número que designa el largo estándar, no coincide exactamente con el largo de la correa. La medida del largo depende del tamaño de sección. Ejemplo:

Nº 40

A 41,3 pul

B 41,8 pul

En cambio en las correas livianas y angostas lo que se normaliza es la longitud externa y el número que designa el largo estándar es exactamente la medida del largo de la correa. Designación de las correas En el caso de las múltiples, se designan con una letra que indica el tamaño de sección seguida de un número que corresponde a la designación de la longitud estándar. Ejemplo:

A120

→

sección A longitud primitiva 121,3 pul

En el caso de las livianas y angostas la letra indica igualmente el tamaño de sección y el número, la longitud exterior en décimas de pulgadas. Ejemplo:

3V470

→

sección 3V longitud exterior 47 pul

Variación de la distancia entre centros para permitir montaje y tensado de las correas Estas correas no se deben estirar para montarlas, porque se corre el riesgo de la rotura de los cordones. Se debe entonces variar la distancia entre centros para poder montarlas, en una UTN-FRBB Cátedra: Elementos de Máquinas. Profesor: Dr. Ing. Marcelo Tulio Piovan

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cantidad ∆Cm llamada variación para el montaje. Además se debe prever otra variación de la distancia entre centros para el tensado de las correas, porque a medida que se usan y se van desgastando, tienden a acuñarse más en la garganta y se aflojan. La variación de tensado se designa con ∆CT, según se ve en la Figura 6.17.

Figura 6.17. Distancias entre centros para correas en V

Los dos valores (normalizados) de ajuste dan la longitud de la guía, como: (6.34) lguía = ∆Cm + ∆CT Cuando las poleas son fijas y se usa un rodillo tensor se debe calcular la longitud de la correa con una distancia entre centros de valor cd + ∆Cm . Comparación entre la Trasmisión por correas en V y planas De la ecuación fundamental (6.21) se deduce que el esfuerzo periférico que puede trasmitir una correa es función del menor producto (µ α): para una polea conductora en V vale µe.αP para una polea conducida en V vale µe.αR para una polea conducida plana vale µ.αR Cuando se cumple que µe.αP ≤ µ.αR, nada se gana con usar una polea conducida en V, y en tal caso se puede utilizar una rueda plana. Esto ocurre cuando se hacen grandes reducciones con pequeña distancia entre centros o, expresado en relaciones, cuando DP 2 − DP1 > 0,5 cd

(6.35)

En este caso, para hallar la relación de trasmisión el D P 2 se obtiene según: DP 2 = D polea _ plana + ∆D siendo ∆D una cantidad tabulada.

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(6.36)

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Adaptación de la fórmula general para correas en V Téngase presente la expresión general (6.21). La sección resistente es la sección de una correa A0 por el número de correas nc : A = A0 . nc

(6.37)

Como estas correas son siempre sin fin f u = 1 . Introduciendo A0 dentro del corchete y llamando con K 'i t V / L = K i t V / L . A0 , resulta: N ( f S 1 , f S 2 ..) = nc . f α

 K '2 t V / L  − − K '3 . K '  t V /L 1 t V /L D1 

 2 . V .V + K ' 4 t V /L  

 ( ) − . n . 1 f (6.38) t V /L 1 i  

que es la ecuación simplificada para correas en V. La potencia de diseño es igual a: N D = N .( f S 1 , f S 2 ..) El factor f α

t V /L

(6.39)

se presenta aquí como el producto de dos factores de corrección; un factor

f α que tiene en cuenta el ángulo de abrace y un factor f L que tiene en cuenta la longitud.

fα

t V /L

= fα . f L

(6.40)

El primer término del corchete es la potencia transmitida por cada correa en las condiciones normales de funcionamiento N180. El segundo término del corchete es la potencia adicional por i ≠ 1 , y se designa ∆ (HP )i . Reemplazando en la fórmula simplificada se tiene:

N D = nc . f α . f L .( N 180 + ∆ (HP )i )

(6.41)

Pero teniendo en cuenta que:

N 0 = f α . f L .( N 180 + ∆ (HP )i )

(6.42)

es la potencia transmitida por cada correa en las condiciones reales de funcionamiento. Luego: N D = N 0 .nc

(6.43)

En consecuencia, el número de correas necesarias resulta: nc =

ND N0

(6.44)

Para este tipo de correas podrían obtenerse distintas soluciones. Si se adopta un pequeño tamaño de sección, se necesita un mayor número de correas, y viceversa. Hay una solución que es la económica, y para ello las normas presentan gráficos donde en función de ND y n1 se obtiene la sección más conveniente.

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Nivel de servicio [NS%] Cuando se calcula el número de correas necesario puede no resultar un valor entero. Se debe entonces adoptar un número por exceso o por defecto. Si es por exceso, las correas trabajan menos exigidas y su vida será mayor que la prevista por el fabricante, y viceversa. El nivel de servicio mide qué porcentaje de vida se prevé por este concepto, sobre la base de la vida asegurada por el fabricante. Este nivel de servicio se ha introducido en las normas, y es de gran ayuda para el proyectista porque permite determinar qué pasa de acuerdo al número de correas elegido. Para la determinación de este nivel de servicio deben seguirse varios pasos, los que se analizan en el protocolo de cálculo. En el Caso de Estudio 11 se presenta un protocolo para el cálculo y selección de correas.

3. Cadenas Las cadenas de rodillos se utilizan para transmitir potencia entre ejes paralelos a distancias relativamente grandes y con una eficacia elevada en comparación con las correas. Esto se debe a que las cadenas no poseen tanta deformabilidad como las correas y se puede incrementar sustancialmente la capacidad de carga. Se requiere una cuidadosa alineación entre las ruedas dentadas que transmiten el movimiento y una continua lubricación de las partes de las cadenas. En la Figura 6.18 se muestra las partes componentes de las cadenas. El ensamble de ajuste por presión impide que los pasadores tengan rotación respecto de las placas exteriores, mientras que son los rodillos los que rotan respecto del pasador.

Figura 6.18. descripción de componentes de las transmisiones por cadenas

En la Tabla 6.1 se muestran algunas medidas estándar para las cadenas de rodillos. Las tolerancias para la transmisión por cadenas son mayores que para los engranajes, en tanto que resultan más fáciles para instalar y mantener. El ángulo de abrace o de cobertura mínimo de la rueda dentada (también llamada “rueda catarina”) es de unos 120°, aun cuando se puede disponer de ángulos de abrace menores en tanto que se empleen ruedas dentadas locas para ajustar la cadena y evitar que se suelte. El empleo de transmisiones de este tipo impone como convencional que la línea de centros sea horizontal (o aproximadamente horizontal) para evitar que la cadena se suelte en la rueda UTN-FRBB Cátedra: Elementos de Máquinas. Profesor: Dr. Ing. Marcelo Tulio Piovan

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dentada más pequeña. Si se dispone el empleo de este tipo de transmisión en sentido vertical, es imperioso el uso de ruedas dentadas locas para prevenir que la cadena cuelgue y pierda el contacto. rodillo Número de cadena 25a 35a 41b 40 50 60 80 100 120 140 160 180 200 240 a

pasador

Paso Pt , [pul]

Diametro [pul].

Ancho, [pul].

diámetro d, [pul].

1/4 3/8 1/2 1/2 5/8 3/4 1 1 1/4 1 1/2 1 3/4 2 2 1/4 2 1/2 3

0.130 0.200a 0.306 5/16 2/5 15/32 5/8 3/4 7/8 1 1 1/8 1 13/32 1 9/16 1 7/8

1/8 3/16 1/4 5/16 3/8 1/2 5/8 3/4 1 1 1 1/4 1 13/32 1 1/2 1 7/8

0.0905 0.141 0.141 0.156 0.200 0.234 0.312 0.375 0.437 0.500 0.562 0.687 0.781 0.937

enlace Espesor de la placa a [pul] 0.030 0.050 0.050 0.060 0.080 0.094 0.125 0.156 0.187 0.219 0.250 0.281 0.312 0.375

Resistencia promedio a rotura Su, [lbf] 875 2100 2000 3700 6100 8500 14500 24000 34000 46000 58000 76000 95000 130000

peso lineal [lbf/pie] 0.084 0.21 0.28 0.41 0.68 1.00 1.69 2.49 3.67 4.93 6.43 8.70 10.51 16.90

sin rodillos c adena liviana

b

Tabla 6.1. Dimensiones y propiedades de algunos tipos de cadenas estándar

Para comenzar el análisis de una transmisión por cadenas es necesario establecer las relaciones de velocidad apropiadas. Estas se pueden obtener apelando a la siguiente expresión: ic =

N 2 ω1 d 2 = = N1 ω 2 d1

(6.45)

siendo Ni el número de dientes de las ruedas, ωi la velocidad angular y di los diámetros de paso. Los subíndices 1 y 2 representan la rueda conductora y la conducida respectivamente. Se suele recomendar que ic < 7 en transmisiones de un paso, pudiéndose usar ic entre 7 y 10 a bajas velocidades (no mayores que 200 m/min). Para seleccionar tanto la rueda como la cadena es necesario analizar la Figura 6.19. Uno de los factores más importantes en la selección de una cadena y que afecta la suavidad de operación y al exceso de ruido es el denominado “incremento de cuerda”, el cual viene dado por la diferencia entre el radio de la circunferencia de paso y su proyección sobre el plano perpendicular a la dirección de transmisión. Es decir observando el triangulo OAC de la Figura 6.19 se tiene   180   ∆r = r − rc = r (1 − Cos[θ r ]) = r  1 − Cos   (6.46)  N    siendo N el número de dientes de la rueda catarina. De la Figura 6.19, también se puede extraer el valor del paso tangencial de la cadena como: UTN-FRBB Cátedra: Elementos de Máquinas. Profesor: Dr. Ing. Marcelo Tulio Piovan

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pt = 2.r.Sen[θ r ] = D p .Sen[θ r ]

(6.47)

Ahora bien la longitud de la cadena se puede establecer en función del paso. De manera que c N + N 2 (N 2 − N 1 ) L =2 d + 1 + pt pt 2 c  (6.48) 4π 2  d   pt  siendo cd la distancia entre centros de las ruedas catarinas. Por lo general se suele estipular: 2

cd ∈ [30,50 ] pasos pt

(6.49)

En el caso de no tener la distancia central como dato el diseñador tiene plena libertad de seleccionar la que le parezca conveniente y emplear (6.48) para calcular la longitud de la cadena. Para poder simplificar el proceso se recomienda que L/pt sea una cantidad entera o aproximarla al mayor entero par, y luego recalcular o verificar cd/pt empleando la siguiente expresión: cd B2 N − N1 L N + N2 = A + A2 + (6.50) siendo A = − 1 y B= 2 pt 2 pt 2 2π El valor obtenido en (6.50) suele disminuirse alrededor de 1% para poder garantizar cierta holgura en el tramo impulsado de la cadena. La velocidad de la cadena [pies/min] se obtiene con la siguiente expresión:

π .na 1 D p na1 . pt .N 1 = 12 12 siendo na1 la velocidad en [rpm] de la rueda catarina impulsora. u1 =

(6.51)

Figura 6.19. descripción de la rueda catarina y de los incrementos de cuerda.

Ahora bien nótese que de la (6.51) y observando la Figura 6.19 existirá una fluctuación de velocidad en la cadena asociada al “incremento de cuerda”. De manera que la velocidad máxima de la cadena se tendrá con el diámetro de paso Dp, y la velocidad mínima se tendrá con D = 2 rc = Dp Cos[θr]. Así las velocidades máxima y mínima vienen dadas por

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π .na 1 D p π .na1 . pt π .na 1 D π .na 1 . pt .Cos[θ r ] = , u min = = 12 12.Sen[θ r ] 12 12.Sen[θ r ] En consecuencia la fluctuación de velocidades se calcula como: u max =

(6.52)

 ∆u1 u max − u min π  1 1 = = − (6.53)   u1 u1 N 1  Sen[π / N 1 ] Tan[π / N 1 ] La cual está en función del número de dientes de la rueda catarina solamente. En la Figura 6.20 se puede apreciar la variación con el número de dientes, pudiéndose apreciar como disminuye este efecto al aumentar el número de dientes.

Figura 6.20. Efecto de variación de velocidad de la cadena.

Tabla 6.2. potencia nominal transmitida por una sola rueda en la cadena número 25.

Para poder seleccionar una cadena es necesario estipular la potencia que puede transmitir la misma. Por lo general este valor depende de las características de funcionamiento y servicio que suelen ponderar de diferente manera los fabricantes. La potencia a transmitir se obtiene con la siguiente expresión: h pr = h p .a1 .a 2

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(6.54)

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donde hp es la potencia nominal transmitida por una sola rueda y un determinado tipo de cadena, para alguna de las condiciones de lubricación tipificadas, como por ejemplo la que se muestra en la Tabla 6.2. a1 es un factor de servicio como el que se muestra en Tabla 6.3 y a2 es un factor para múltiples ruedas actuando en conjunto como la que se obtiene de Tabla 6.4.

tipo de carga impulsada Uniforme Impacto moderado Impacto brusco

tipo de potencia de entrada motor de Motor motor de combustión interna eléctrico o combustión interna con transmisión turbina con transmisión mecánica hidráulica 1.2 1.0 1.0 1.4 1.3 1.2 1.7 1.5 1.4 Tabla 6.3. Factores de servicio para cadenas de rodillos

factor, a2 1.7 2.5 3.3

número de ruedas 2 3 4

Tabla 6.4. Factores de uso para múltiples ruedas.

Las condiciones de lubricación tipificadas son: TIPO I: Lubricación manual de aceite con brocha o aplicador spray TIPO II: Lubricación por goteo TIPO III: Salpicado o baño de aceite TIPO IV: Suministro de aceite constante por bombeo

4. Ejes Flexibles Una de las desventajas que traen aparejados los ejes rígidos es que no permiten ningún tipo de transmisión en direcciones oblicua o con un determinado ángulo. En la Figura 6.21 se pueden ver algunos tipo de ejes flexibles que permiten solventar este inconveniente. La construcción del núcleo de rotación se hace a partir de un resorte de alambre recto, al cual se le añaden capas apretadas en sentido horario y antihorario de alambre redondo. Es importante distinguir el tipo de orientación de la capa externa pues dará el sentido de giro preferencial al núcleo del eje. Esto es fundamental puesto que el par torsor debe tender a apretar a las capas del eje y no lo contrario. Para evitar que las capas se suelten, se suelen poner extremos encapsulados. Este tipo de dispositivos se calcula y selecciona según normativas de los fabricantes, quienes pueden dar suficiente información al diseñador de los usos y capacidades de cada variante de eje flexible.

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Figura 6.21. Esquema de los ejes flexibles.

5. Bibliografía [1] J.E. Shigley y C.R. Mischke, “Diseño en Ingeniería Mecánica”, McGraw Hill 2002 [2] B.J. Hamrock, B. Jacobson y S.R. Schmid, “Elementos de Máquinas”, McGraw Hill 2000 [3] R.L. Norton, “Diseño de maquinaria”, McGraw Hill 2000 [4] Fennel drivers “Technology in motion” http://www.fennerindustrial.com [5] J.C. García, J.P. Nadalini, M. Tabó y M. Tonini “Correas planas y en V”. Serie de monografías de Elementos de Máquina (2001)

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