11. ACCIONES BASICAS DE CONTROL En un proceso químico algunas variables como la temperatura, presión, flujo o nivel de líquido en un tanque son determinantes para su operación, de tal manera que se hace necesario mantener regulados sus valores deseados para garantizar la estabilidad y seguridad del mismo. Esto se realiza mediante dispositivos (controladores) diseñados para desarrollar una acción sobre las desviaciones que se observen en los valores de dichas condiciones. Lo anterior requiere del acoplamiento con un mecanismo de medición y transmisión (Sensor/Transmisor) de la variable de proceso como fuente de información para la acción correctiva junto con otro mecanismo de ejecución de la acción reguladora decidida por el controlador. Por acción básica se entiende que el controlador amplifique, integre o derive la información de entrada o desarrolle una suma entre algunas de estas acciones. De acuerdo a esto, los controladores que usualmente se incluyen dentro de un proceso son los de acciones proporcional (P), proporcional – integral (PI), proporcional – derivativo (PD) y proporcional – integral – derivativo (PID). Para algunas situaciones se justifica un control denominado de dos posiciones o de encendido y apagado (On/Off) Casi todos los controladores industriales emplean como fuente de energía la electricidad o la presión de un fluido como el aire. Los controladores también pueden clasificarse, de acuerdo con el tipo de energía que utilizan en su operación, como neumáticos, hidráulicos o electrónicos. El tipo de controlador que se use debe decidirse con base en la naturaleza de la planta y las condiciones operacionales, incluyendo consideraciones tales como seguridad, costo, disponibilidad, confiabilidad, precisión, peso y tamaño.

11.1. ESTRUCTURA DE UN SISTEMA DE CONTROL El control de una variable de proceso requiere de una estructura que incluye cuatro elementos (Proceso, Sensor, Controlador, Elemento de Control Final) conectados de tal manera que se establece un flujo de información que si es recirculada se describe como un lazo de control retroalimentado (Feedback). Si el controlador desarrolla su acción sin alimentarse de la información que se observa en la variable de proceso, se dice que es un control anticipatorio (Feedforward)

Lazo de control por retroalimentación (Feedback) La Figura 11.1 es un diagrama de bloques de un sistema de control industrial que consiste de un controlador automático, un elemento de control final, un proceso y un

240

sensor (elemento de medición). Es un lazo cerrado donde la variable de salida del proceso se mide y retroalimenta al controlador quien determina el error de dicha medida con su valor de referencia y genera una acción que ejecuta el elemento de control final para ajustar la variable de control al valor deseado

Figura 11.1. Lazo de control de un proceso por retroalimentación El controlador detecta la señal de error, que por lo general está en un nivel muy bajo, y la amplifica a un nivel lo suficientemente alto. La salida del controlador automático se alimenta a un elemento de control final como un motor hidráulico o eléctrico o una válvula neumática. Este elemento de control final es un dispositivo de potencia que produce la entrada al proceso de acuerdo con la señal de control, a fin de que la señal de salida se aproxime a la señal de entrada de referencia. El sensor o elemento de medición es un dispositivo que convierte la variable de salida en otra variable manejable, tal como un desplazamiento, una presión o un voltaje que pueda usarse para comparar la salida con la señal de entrada de referencia. Este elemento está en la trayectoria de retroalimentación del sistema en lazo cerrado. El punto de ajuste del controlador debe convertirse en una entrada de referencia con las mismas unidades que la señal de retroalimentación del sensor o del elemento de medición.

Control por Anticipado (Feedforward) La Figura 11.2 es un diagrama de bloques de un sistema de control industrial anticipado. Se observa que se mide una variable sobre una corriente de entrada y dicha información es comparada con la de referencia lo que se alimenta al

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controlador para que ejecute su acción, a través del elemento de control final, quien modifica la variable manipulada para mantener estable la variable de proceso.

Figura 11.2. Control de un proceso anticipado

11.3. ACCIONES DE LOS CONTROLADORES Las acciones que realiza un controlador son las decisiones que se requieren para compensar las perturbaciones observadas en la variable de proceso y que son transmitidas al elemento de control final para que las ejecute. A continuación se estudian las acciones de los controladores PID, además de la acción de dos posiciones.

11.3.1 Acción de dos posiciones o de encendido y apagado (On/Off) En un sistema de control de dos posiciones, el elemento de control final sólo tiene dos posiciones fijas que es, en muchos casos, encendido o apagado. En el control de dos posiciones, la señal de salida, m(t) permanece en un valor ya sea máximo o mínimo, dependiendo de si la señal de error, e(t), es positiva o negativa. De este modo, m(t ) = M 1 , e(t ) > 0 m(t ) = M 2 , e(t ) < 0

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En donde M1 y M2 son constantes. Es común que los controladores de dos posiciones sean dispositivos eléctricos, en cuyo caso se usa extensamente una válvula eléctrica operada por solenoides. La Figura 11.3 superior muestra la entrada sinusoidal de amplitud uno y frecuencia 1.0 rad/seg a un controlador encendido/apagado. La respuesta del controlador observada en la Figura 11.3 inferior, muestra que mientras la onda sinusoidal es positiva el controlador se mantiene en la posición encendido (1) y cuando la onda sinusoidal cambia a valores negativos el controlador cambia a la posición apagado (1) y sucesivamente alterna entre las dos posiciones de acuerdo al valor que tome su variable de entrada. Las gráficas se obtienen con el archivo onoff.m codificado con Matlab y que aparece al final del capítulo.

Figura 11.3 Controlador de dos Posiciones

11.3.2 Acción de control proporcional, P Para una acción de control proporcional, la relación entre la salida del controlador, m(t) y la señal de error, e(t) es:

m (t ) = K c e (t )

(11.1)

243

O bien, en cantidades transformadas por el método de Laplace,

M (s) = Kc E (s)

(11.2)

Siendo Kc, la ganancia proporcional del controlador. Cualquiera que sea el mecanismo real y la forma de la potencia de operación, el controlador proporcional es, en esencia, un amplificador con una ganancia ajustable. Para el estudio de la acción proporcional se considera un lazo cerrado de control retroalimentado de una variable de un sistema de segundo orden con ganancia de 1/8 y dos polos con valores de -1/2 y -1/4. La ganancia del controlador proporcional es de 2 y se considera tanto a la válvula como el sensor como sistemas de ganancia pura con valores de 2 y 1, respectivamente. La respuesta del sistema ante un cambio paso en la variable de entrada se desarrolla con el archivo prop.m y se muestra gráficamente en la Figura 11.4. Se muestra la variación del error que se alimenta al controlador proporcional y la amplificación que hace éste de dicha información de acuerdo al valor de la ganancia; y que la variable de proceso se estabiliza con el control proporcional después de un período de perturbación

Figura 11.4. Acción Proporcional en un Controlador

244

Lo anterior quiere decir que en la respuesta del control proporcional hay un error en estado estable o desplazamiento (offset) para una entrada con un cambio paso. Este desplazamiento se elimina si se incluye la acción de control integral en el controlador.

11.3.3 Acción de control integral, I En una acción de control integral, la rapidez de cambio en la respuesta del controlador, m(t) es proporcional al error, e(t), es decir,

dm(t ) = K c e(t ) dt

(11.3)

O bien, t

m (t ) = K c ∫ e (t ) dt 0

(11.4)

En donde Kc, es una constante ajustable. La función de transferencia del controlador integral es

M (s) Kc = E(s) s

(11.5)

A partir de la ecuación (11.3) de deduce que si, por ejemplo, se duplica el valor de e(t), el valor de m(t) varía dos veces más rápido y a partir de la ecuación (11.4) se explica que cuando el error se hace igual a cero, el valor de m(t) permanece constante. En ocasiones, la acción de control integral se denomina Control de Reajuste (Reset) La ilustración gráfica de la acción integral se muestra en la Figura 11.5 construida con el archivo integ.m. Se asigna una ganancia de 0.5 al controlador integral y se considera tanto a la válvula como el sensor como sistemas de ganancia pura con valor de 1. El sistema utilizado es de segundo orden con ganancia de 1/8 y dos polos con valores de -1/2 y -1/4 y la variable de entrada se perturba con un cambio paso unitario

245

La Figura 11.5 muestra que en un controlador de acción integral, con parámetros apropiados, el error que se alimenta alcanza un valor de cero y la respuesta correspondiente del controlador se mantiene constante. Observe que el valor de la señal de salida del controlador en un instante cualquiera es el área debajo de la curva de error, es decir, la integral o sumatoria de errores hasta el instante en consideración. La variable de proceso se estabiliza en un valor sin diferencia con respecto al valor de la variable deseada del proceso, es decir, sin error en estado estacionario. La acción de control integral ha eliminado el error observado en la respuesta del controlador proporcional pero puede conducir a una respuesta oscilatoria de amplitud decreciente lenta o, incluso, de amplitud creciente y ambos casos, por lo general, se consideran inconvenientes

Figura 11.5 Acción Integral en un Controlador

11.3.4 Acción de control Proporcional – Integral, PI La acción de control proporcional – integral, PI, se define mediante la ecuación,

m (t ) = K c e (t ) +

Kc

τI

t

∫ e(t )dt 0

(11.6)

246

O la función de transferencia del controlador es  1  M ( s)  = K c 1 + E ( s)  τIs

(11.7)

Siendo Kc la ganancia proporcional y τ I el denominado tiempo integral. Tanto Kc como τ I son ajustables.

Significado del tiempo integral El tiempo integral ajusta la acción de control integral, mientras que un cambio en el valor de Kc afecta las partes integral y proporcional de la acción de control. El inverso del tiempo integral se denomina velocidad de reajuste. La velocidad de reajuste es la cantidad de veces por minuto que se duplica la parte proporcional de la acción de control. La velocidad de reajuste se mide en términos de las repeticiones por minuto. La Figura 11.6 muestra los perfiles de las acciones proporcional y proporcional-integral de un controlador para un cambio paso unitario en el error de entrada.

Figura 11.6 Acciones Proporcional y Proporcional – Integral

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Se deduce que la acción proporcional hace una amplificación constante del error alimentado de acuerdo a su ganancia (2). Para el controlador proporcional e integral, la respuesta inicial es igual a la ganancia proporcional y esta respuesta se repite sumada para períodos de tiempo igual al tiempo integral (1). La Figura 11. 6 es construida con el archivo accpropinteg.m.

Error y Respuesta en una acción proporcional - integral La ilustración gráfica de la acción proporcional e integral dentro de un lazo de control se muestra en las Figuras 11.7 y 11.8 construidas con el archivo propinteg.m.

Figura 11.7. Error y Respuesta de un controlador proporcional e integral Se utiliza el mismo sistema empleado para los casos anteriores y se asigna un valor de 2 para la ganancia del controlador y un tiempo integral de 1. Con acciones de control proporcional e integral no hay error en estado estable (offset) y la respuesta del controlador es estable y diferente de cero. En la Figura 11.8 se muestran las respuestas del lazo de control con acción solo proporcional y con acciones proporcional e integral. Nuevamente, se observa que la acción de control integral ha eliminado el error en estado estable que resulta en la respuesta del controlador proporcional pero condujo a una respuesta oscilatoria de amplitud decreciente lenta, lo que puede resultar inconveniente.

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Figura 11.8 Respuesta de un controlador proporcional e integral 11.3.5 Acción de control proporcional – derivativa, PD La acción de control proporcional – derivativa, PD, se define mediante la ecuación,

m (t ) = K c e(t ) + K cτ d

ó

M ( s) = Kc (1 + τ d s ) E ( s)

de (t ) dt

(11.8)

(11.9)

Siendo Kc la ganancia proporcional y τ d una constante denominada tiempo derivativo. Ambos parámetros son ajustables.

Significado del tiempo derivativo La acción de control derivativa, en ocasiones denominada control de velocidad, ocurre donde la magnitud de la salida del controlador es proporcional a la velocidad de cambio de la señal de error. El tiempo derivativo es el intervalo de tiempo durante el cual la acción de la velocidad hace avanzar el efecto de la acción de control proporcional.

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Si la señal de error es una función rampa unitaria, la salida del controlador se convierte en la que se muestra en la Figura 11.9. La acción de control derivativa tiene un carácter de previsión. Sin embargo, es obvio que una acción de control derivativa nunca prevé una acción que nunca ha ocurrido.

Figura 11.9. Acción Proporcional y Proporcional – Derivativa Cuando una acción de control derivativa se agrega a un controlador proporcional, aporta un medio de obtener un control con alta sensibilidad. Una ventaja de usar una acción de control derivativa es que responde a la velocidad del cambio del error y produce una corrección significativa antes de que la magnitud del error se vuelva demasiado grande. Por tanto, el control derivativo prevé el error, inicia una acción oportuna y tiende a aumentar la estabilidad del sistema. Aunque el control derivativo no afecta en forma directa el error en estado estable, añade amortiguamiento al sistema y, por tanto, permite el uso de un valor más grande en la ganancia, lo cual provoca una mejora en la precisión en estado estable. Debido a que el control derivativo opera sobre la velocidad de cambio del error, y no sobre el error mismo, este modo nunca se usa solo. Siempre se emplea junto con una acción de control proporcional o proporcional – integral. La Figura 11.10 muestra las respuestas de los controladores proporcional, proporcional-integral y proporcional derivativo para el proceso utilizado en los casos

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anteriores con válvula y sensor con ganancias de uno. Se asigna la misma ganancia de 2 para cada una de las acciones y tiempo integral de 2 y tiempo derivativo de 10

Figura 11.10 Acciones de Control P, PI y PD Las respuestas observadas en la Figura 11.10 se obtienen con el archivo propder.m. Se sugiere al estudiante modificar dicho archivo de tal manera que permita la asignación de una ganancia diferente para la acción proporcional-derivativa y notar que la acción derivativa controla la variable de proceso alcanzando un valor con un error en estado estacionario y la ganancia puede tomar valores mayores 11.3.6 Acción de control proporcional – integral – derivativa, PID La combinación de una acción de control proporcional, una acción de control integral y una acción de control derivativa se denomina acción de control proporcional – integral – derivativo o PID. Esta acción combinada tiene las ventajas de cada una de las tres acciones de control individuales. La ecuación de un controlador con esta acción combinada se obtiene mediante

m(t ) = K c e(t ) +

Kc

τI

t

∫ e(t )dt + K cτ d 0

de(t ) dt

(11.10)

251

ó

  1 M ( s) = K c 1 + + τ d s  E ( s)  τIs 

(11.11)

La Figura 11.11 muestra la respuesta rampa unitaria que compara las acciones proporcionales, proporcional-derivativas y proporcional-integral-derivativa, con los siguientes parámetros: ganancia es de 2 el tiempo integral de 2 y el tiempo derivativo es de 3 y la pendiente de la rampa es 2.

Figura 11.11 Acción Proporcional-Integral-Derivativa Si la señal de error es una función rampa unitaria, la salida del controlador PID es una combinación de amplificación, reajuste y anticipación, propios de las acciones proporcional, integral y derivativa. En la Figura 11.12 se muestra la respuesta del control proporcional-integralderivativo a una variación paso unitario en su variable de entrada para el proceso estudiado en los casos anteriores. Se asigna un valor de 200 para la ganancia un tiempo integral de 0.5 y un tiempo derivativo de 0.5. No hay error estable y la respuesta presenta una anticipación con respecto a una acción proporcional – integral, mostrada en una gráfica mas amortiguada

252

Figura 11.12. Acción de control proporcional – integral – derivativo

11.4 SIMULINK Las acciones de control se pueden estudiar utilizando las herramientas disponibles en Simulink y construyendo los diagramas de bloques de cada uno de los lazos retroalimentados. Para este propósito, es posible, el empleo de bloques como el “Relay” que cumple la operación de un control de dos posiciones y el “PID Controller” para especificar las acciones proporcional o integral o derivativa en un controlador

Bloque “Relay” El bloque “Relay” que se encuentra en la librería “Discontinuities” del mostrario de Simulink simula a un controlador de dos posiciones dentro del diagrama de bloques que represente a un sistema. Requiere de las especificaciones de los valores de M1 y M2, que se introducen en la ventana de propiedades en los cuadros titulados “Output when on” y “Output when off”. La Figura 11.3 muestra un diagrama sencillo con el cual se puede observar la acción de un controlador de dos posiciones

Bloque “PID Controller” El bloque “PID Controller” se encuentra en la librería “Simulink Extras”, dentro del subconjunto “Additional Linear”.

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Figura 11.13. Controlador de dos posiciones La Figura 11.14 muestra la ventana de propiedades del bloque “PID Controller” para especificar los parámetros dentro de los cuadros “Proportional”, “Integral” y “Derivative”

Figura 11.14 Especificaciones de un controlador PID Se observa en el cuadro que describe al bloque que la función de transferencia que maneja el bloque se escribe en la siguiente forma:

P +

I + Ds s

En los cuadros “Proporcional” y “Derivative” se especifican la ganancia proporcional y el tiempo derivativo pero en el cuadro “Integral” se introduce el inverso del tiempo integral. En caso de acción solo proporcional los cuadros Integral y Derivative se especifican con cero.

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11.5 MATLAB: COMANDOS UTILIZADOS En los programas incluidos a continuación se utilizan los comandos “subplot”, “fprintf” y “feedback”. Una descripción de ellos se resume a continuacón

Comando subplot Mediante este comando se divide la ventana donde se despliegan gráficas de Matlab para que se observen matrices de gráficas que se posicionan de acuerdo a la localización que se especifique en los argumentos del comando. La sintaxis es: Subplot(m,n,p) Siendo “m”, el número de filas de la matriz, “n” el número de la columna y “p” el número de la fila donde se posiciona la gráfica donde se posiciona la gráfica columna columnas de la matriz de gráficas y p, las filas, c

Comando fprintf Este comando escribe datos formateados a un archivo. La sintaxis es la siguiente: fprintf(Archivo, Formato, Datos) El ‘Archivo’ y el ‘Formato’ se escriben entre comillas simples. Si el archivo es el mismo en el cual se inserta el comando, el primer argumento se omite. La escritura del formato numérico se inicia con un signo de porcentaje seguido de una letra que indica el carácter de conversión o representación del número. Entre ellos son opcionales la escritura de alguna información como la siguiente: %-6.2f Después del signo de porcentaje se puede incluir un control para la alineación de la salida con un signo menos o un signo mas o un cero. El signo menos hace una justificación a la izquierda, el signo mas despliega el signo positivo o negativo y el cero coloca ceros en vez de espacios. El número seis escrito a continuación

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especifica el número mínimo de dígitos a imprimir. El número dos escrito a continuación del punto indica el número de cifras decimales y la letra efe indica el carácter de conversión, en este caso que los números se despliegan en formato de punto fijo. Otros formatos como el notación decimal con signo, el exponencial con e minúscula y uno mas compacto utilizan como caracteres las letras “d”, “e” y “g”, respectivamente. El formato numérico suele seguirse de un signo\ y de un carácter de escape que indique si el cursor retrocede (b), se posiciona para una nueva línea abajo (n), se desplaza en forma tabular (t), etc. Se pueden escribir leyendas antes y después de los formatos numéricos, pero incluidas dentro de las comillas simples.

Comando feedback Este comando determina la función de transferencia resultante de dos en paralelo retroalimentadas negativamente. La sintaxis es: H = feedback(h1, h2,Signo) Las funciones de transferencia en paralelo son h1 y h2. Si la retroalimentación es negativa sobrentiende el signo, en caso contrario es necesario colocar el signo positivo

11.6 MATLAB: PROGRAMAS CODIFICADOS Archivo onoff.m function y = onoff(x) global A w M1 M2 A = input('Amplitud de la onda sinusoidal = '); w = input('Frecuencia angular de la onda sinusoidal = '); M1 = input('Valor superior o Valor de encendido = '); M2 = input('Valor inferior o Valor de apagado = '); tmin = input('Limite inferior del periodo de tiempo = '); tmax = input('Limite superior del periodo de tiempo = '); dt = input('Incremento en el tiempo = '); t = [tmin:dt:tmax]; N = (tmax - tmin)/dt; for i = 1:(N + 1)

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y(i) = A*sin(w*t(i)); end subplot(2,1,1), plot(t,y); axis([0 tmax -(A + 1) (A + 1)]) legend('Entrada Sinusoidal',4), ylabel('Entrada','FontSize',14) grid for i = 1:(N + 1) if y(i) >= 0; y1(i) = M1; elseif y(i)