12-1

Mec´anica Cu´ antica Avanzada — Carlos Pena

12. Campos e.m. cl´asicos. Acoplamiento m´ınimo. [Gre 1.1-1.2]

Din´ amica del campo electromagn´ etico cl´ asico Ecuaciones de Maxwell. Potenciales. Las ecuaciones de Maxwell en el sistema de unidades CGS1 tienen la forma ∇ · E = 4πρ ,

(ley de Gauss)

∇ · B = 0, (@ monopolos magn´eticos) 1 ∂B ∇×E+ = 0, c ∂t 1 ∂E 4π ∇×B− = j, c ∂t c

(12.1)

donde ρ y j son la densidad de carga y la corriente de part´ıculas cargadas en el sistema.2 En lugar de los campos E, B, es posible utilizar los potenciales escalar y vectorial ϕ, A. La relaci´ on con los campos es E = −∇ϕ −

1 ∂A , c ∂t

B = ∇ × A.

(12.2)

Si se usa la notaci´ on covariante, en que se definen un cuadrivector A con componentes A0 = ϕ, Ak = Ak y un cuadrivector J con componentes J 0 = cρ, J k = jk , es f´acil ver que las ecuaciones de Maxwell adquieren la forma ∂µ F µν = 4πJ ν ,

(12.3)

y que se obtienen aplicando el principio de m´ınima acci´on a S = (const.) ×

Z

d4 x Fµν F µν ,

Fµν = ∂µ Aν − ∂ν Aµ .

(12.4)

1 N´ otese que en este sistema no aparecen factores (4πε0 ) en las ecuaciones del electromagnetismo, y los campos el´ectrico y magn´etico tienen las mismas unidades. 2 No consideraremos interacciones electromagn´eticas en medios materiales, de manera que no ser´ a necesario distinguir entre cargas libres y cargas ligadas y/o entre campos E, B y D, H.

12-2

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Invariancia gauge Es f´ acil comprobar que los campos el´ectrico y magn´etico (y por lo tanto las ecuaciones de Maxwell) son invariantes bajo la transformaci´ on gauge A0 = A + ∇χ , (12.5) 1 ∂χ ϕ → ϕ0 = ϕ − , c ∂t donde χ(x, t) es una funci´ on arbitraria. Esta es una simetr´ıa fundamental del electromagnetismo,3 que hace que, dados unos campos E, B, los potenciales que los describen no sean u ´nicos. A

→

Gauge de Lorentz. Ecuaciones de ondas para los potenciales electromagn´eticos. Usando las ecuaciones de Maxwell primera y cuarta, y sustituyendo la forma de E, B en t´erminos de ϕ, A se obtiene 4π 1 ∂2A ∇ × (∇ × A) + 2 2 = j, | {z } c ∂t c =∇(∇·A)−∇2 A

(12.6)

1∂ ∇ · A + ∇2 ϕ = −4πρ . c ∂t Para simplificar estas ecuaciones podemos usar la invariancia gauge, llevando a cabo una fijaci´ on de gauge: dados unos potenciales ϕ, A, buscamos una funci´on χ que elimine t´erminos. Normalmente, esto se lleva a cabo imponiendo una ligadura sobre los potenciales, y demostrando que es siempre posible hacerlo. Por ejemplo, de ahora en adelante trabajaremos exclusivamente en el llamado gauge de Lorentz, en el que se satisface 1 ∂ϕ ∇·A+ =0 := gauge de Lorentz. (12.7) c ∂t Proposici´ on: dados unos potenciales cualesquiera ϕ, A, es siempre posible encontrar una transformaci´ on gauge tal que los potenciales transformados satisfagan la condici´ on de gauge de Lorentz. Demostraci´ on: si sustituimos la expresi´on (12.5) para los potenciales transformados ϕ0 , A0 en (12.7) se obtiene   1 ∂ϕ 1 ∂2χ 2 ∇ χ− 2 2 =− ∇·A+ . (12.8) c ∂t c ∂t 3

De hecho, todas las interacciones del modelo est´ andar de la f´ısica de part´ıculas elementales (electromagn´etica, nuclear fuerte y nuclear d´ebil) est´ an asociadas a un principio de invariancia gauge de su din´ amica.

12-3

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Esta es una ecuaci´ on de onda con t´ermino forzado para χ, y sabemos que es posible demostrar que existe siempre una soluci´on. Por consistencia, es siempre posible encontrar un χ tal que ϕ0 , A0 satisfacen (12.7) q.e.d. N´otese, adem´as, que la condici´on (12.7) no fija completamente el gauge, en el sentido de que hay infinitas soluciones distintas de la ecuaci´ on de ondas. En el gauge de Lorentz (12.6) se simplifica considerablemente, y las ecuaciones de movimiento para los potenciales adquieren a su vez la forma de sendas ecuaciones de ondas: 1 ∂2A 4π = − j, 2 2 c ∂t c 2ϕ 1 ∂ ∇2 ϕ − 2 2 = −4πρ , c ∂t

∇2 A −

(12.9)

Gauge de Coulomb. Ondas electromagn´eticas planas. En ausencia de cargas, siempre es posible imponer la condici´on de gauge de Coulomb (demostraci´ on: ejercicio) ρ = 0, j = 0

→

ϕ = 0, ∇ · A = 0

:= gauge de Coulomb.

(12.10)

N´otese que este es un caso particular del gauge de Lorentz, ya que (12.10) ⇒ (12.7). En este gauge la ecuaci´ on de ondas para ϕ es trivial, y las ecuaciones de movimiento para el campo electromagn´etico se reducen a ∇2 A −

1 ∂2A = 0. c2 ∂t2

(12.11)

Esta es una ecuaci´ on de ondas libre, y es sabido que admite soluciones de onda plana de la forma A(x, t) = A0 ei(k·x−ωt) + A∗0 e−i(k·x−ωt) , = 2|A0 | ε cos(k · x − ωt + α) ,

(12.12)

donde A0 = |A0 | ε eiα es un vector constante, y ε es un vector real unitario que da su direcci´on en el espacio. Introduciendo (12.12) en (12.11) se obtiene la ligadura ω = c|k| := ck ,

(12.13)

que es la relaci´ on de dispersi´ on de las soluciones. Por otra parte, imponiendo que la onda plana satisfaga la condici´ on de gauge de Coulomb (necesaria para la ecuaci´on de partida), se obtiene la condici´ on de transversalidad ∇·A=0

→

ε·k=0

ε := vector de polarizaci´ on.

(12.14)

12-4

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Finalmente, los campos el´ectrico y magn´etico correspondientes son E = −2k|A0 | ε sin(k · x − ωt + α) , B = −2k|A0 | (k × ε) sin(k · x − ωt + α) ,

(12.15)

E � −ε

B � −(k × ε)

Din´ amica de una part´ıcula cargada en un campo e.m. externo4 Hamiltoniano cl´ asico La din´ amica de una part´ıcula cl´asica con carga q y masa m en un campo electromagn´etico externo est´ a dada por la fuerza de Lorentz, que en el sistema de unidades CGS adopta la forma   1 F=q E− v×B c

←→

  1 ˙ m¨ x=q E− x×B . c

(12.16)

Esta ecuaci´ on de movimiento se puede derivar de un lagrangiano de la forma   1 1 2 L = mx˙ − q ϕ − x˙ · A , 2 c

(12.17)

como se puede demostrar f´ acilmente escribiendo las correspondientes ecuaciones de d ∂L ∂L Euler-Lagrange dt = ∂ x˙ ∂x (ejercicio). Partiendo del lagrangiano, se puede construir el hamiltoniano del sistema calculando el momento can´onico conjugado π y aplicando la transformaci´ on de Legendre: π =

∂L ∂x

 = mx˙ + qc A 

H = x˙ · π − L 4



→

H=

1  q 2 p − A + qϕ. 2m c

(12.18)

“Externo” := se desprecia la modificaci´ on del campo e.m. debida a la presencia en el mismo de una carga en movimiento (backreaction).

12-5

Mec´anica Cu´ antica Avanzada — Carlos Pena Acoplamiento m´ınimo: hamiltoniano cu´ antico

Utilizando el resultado anterior y el principio de correspondencia para la cuantizaci´on de sistemas cl´ asicos, postulamos el hamiltoniano cu´antico de acoplamiento m´ınimo a un campo e.m. externo h i2 q ˆ = 1 p ˆ − A(ˆ H x, t) . x, t) + q ϕ(ˆ 2m c

(12.19)

Observaciones: • En caso de que la part´ıcula est´e tambi´en sometida a otras interacciones no electromagn´eticas, basta a˜ nadir el correspondiente potencial Vˆ . • La terminolog´ıa acoplamiento m´ınimo, o bien sustituci´ on m´ınima (en el sentido de la sustituci´ on p → p − qc A) proviene del hecho de que es posible escribir hamiltonianos (o lagrangianos) diferentes para el acoplamiento de una carga al campo electromagn´etico — e.g. teniendo en cuenta la posibilidad de que la carga no sea puntual y tenga una cierta distribuci´on, lo que da lugar a contribuciones multipolares. • Un ejemplo de extensi´ on del acoplamiento m´ınimo es la inclusi´on de un t´ermino de interacci´ on del spin de la part´ıcula con el campo externo. Sabemos que la presencia de un spin no nulo da lugar a que la part´ıcula posea un momento µ ˆ ˆ es el operador spin y s el spin total. magn´etico intr´ınseco µ = s~ S, donde S Dado que la interacci´ on de un dipolo magn´etico con un campo magn´etico tiene ˆ con dicha forma. asociada una energ´ıa µ·B, postulamos un t´ermino extra en H El hamiltoniano m´ as general posible resulta ser, por lo tanto h i2 q µ ˆ ˆ = 1 p ˆ − A(ˆ H x, t) + q ϕ(ˆ S · B(ˆ x, t) + Vˆ (ˆ x, t) . x, t) − 2m c s~

(12.20)

El par´ ametro µ es una propiedad intr´ınseca de la part´ıcula. Por ejemplo, para |e|~ el electr´ on, el prot´ on y el neutr´ on (todos con s = 1/2): µe ' − 2m , µp ' ec 2.79µN , µn ' −1.91µN , donde |e| es la carga del prot´on y µN ≡

|e|~ 2mp c .

• En este hamiltoniano A, ϕ son objetos cl´asicos. Sin embargo, al ser funciones de (x, t), en un contexto cu´ antico se convierten en funciones de (ˆ x, t), de modo que dan lugar a una dependencia operatorial: por ejemplo, en general [Ak (ˆ x, t), pˆl ] 6= 0. • El hamiltoniano es no relativista (no es invariante bajo transformaciones de Lorentz), y se puede justificar con argumentos fundamentales s´olo si se deriva como aproximaci´ on en el r´egimen de baja energ´ıa de la interacci´on carga-campo e.m. en electrodin´ amica cu´ antica.

12-6

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• A menudo se utiliza el concepto de derivada covariante (:= covariante desde el punto de vista de la simetr´ıa gauge), definida como Dk := ∂k −

2 ˆ = −~ D2 + . . . → H 2m

iq Ak ~c

(12.21)

Ejemplo: interacci´ on de Coulomb Supongamos que, partiendo de la forma general del lagrangiano, queremos reconstruir el hamiltoniano cu´ antico de interacci´on electrost´atica de un electr´on con un n´ ucleo con n´ umero at´ omico Z. La densidad de carga y la corriente que describen el n´ ucleo son ρ = Z|e|δ(x) ,

j = 0.

(12.22)

Los campos generados por el n´ ucleo est´an dados por las ecuaciones de Maxwell ∇ · E = 4πρ ,

B = 0.

(12.23)

Z|e| |x|

(12.24)

Es f´ acil ver que los potenciales A = 0,

φ(x) =

generan campos que satisfacen las ecuaciones. Introduciendo esto en (12.20), y en ausencia de otras interacciones (V = 0), Z|e|2 ˆ = 1 p ˆ2 − H 2m |x|

q.e.d.

(12.25)

Invariancia gauge con part´ıculas cu´ anticas cargadas ˆ Por otra parte, Es obvio que la transformaci´on gauge (12.5) cambia la forma de H. ser´ıa deseable que la ecuaci´ on de Schr¨odinger fuera invariante gauge (de la misma forma que lo son las ecuaciones de Maxwell). Para ello es necesario aceptar que la funci´ on de onda ψ cambie bajo la transformaci´on. Proposici´ on: la ecuaci´ on de Schr¨odinger es invariante bajo (12.5) si se a˜ nade la transformaci´ on de la funci´ on de onda5   iq 0 ψ(x, t) → ψ (x, t) = exp χ(x, t) ψ(x, t) . (12.28) ~c 5 N´ otese que esta transformaci´ on preserva la densidad de probabilidad |ψ(x, t)|2 , pero no la corriente de probabilidad

jprob =

1 ˆ ψ∗ − ψ∗ p ˆ ψ) . (ψ p 2m

(12.26)

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12-7

Demostraci´ on: basta comprobar que, bajo la premisa de que se cumpla la ecuaci´on de Schr¨odinger   ∂ψ 1  q 2 (12.29) i~ = −i~∇ − A + qϕ ψ , ∂t 2m c la aplicaci´on de (12.5,12.28) da lugar a   ∂ψ 0 1  q 0 2 0 i~ + qϕ ψ 0 . = −i~∇ − A ∂t 2m c

(12.30)

Llamemos  1  q 0 2 0 R := + qϕ ψ 0 . −i~∇ − A 2m c

∂ψ 0 , L := i~ ∂t



(12.31)

Para simplificar el c´ alculo de R primero aplicamos el operador (−i~∇ − qc A0 ) una sola vez sobre ψ 0 :    iq   q q q  −i~∇ − A0 ψ 0 = −i~∇ − A − ∇χ e ~c χ ψ c c c    iq q q iq χ ∇χ ψ − Aψ − (∇χ)ψ = e ~c −i~∇ψ − i~ ~c c c (12.32)  iq q  χ ~c =e −i~∇ − A ψ c   iq q 2 q 0 2 0 ⇒ −i~∇ − A ψ = e ~c χ −i~∇ − A ψ . c c Adem´as:    iq iq q ∂χ 1 ∂χ χ χ e ~c ψ = e ~c qϕ − ψ, qϕ ψ = q ϕ − c ∂t c ∂t   iq ∂ψ 0 ∂  iq χ  ∂ψ q ∂χ i~ = i~ e ~c ψ = e ~c χ i~ − ψ . ∂t ∂t ∂t c ∂t 0



0

(12.33)

Y, uniendo todo, L−R=e =0

iq χ ~c

   ∂ψ 1  q 2 − −i~∇ − A + qϕ ψ i~ ∂t 2m c q.e.d.



(12.34)

Esto no es sorprendente: por consistencia, tambi´en hay que realizar la sustituci´ on m´ınima en jprob “ h i h i ” 1 q q ˆ − A ψ∗ − ψ∗ p ˆ− A ψ , je.m. ψ p (12.27) prob = 2m c c y es f´ acil comprobar que esta corriente s´ı es invariante bajo transformaciones gauge. El problema de definir una corriente de probabilidad invariante gauge ser´ a afrontado de manera general m´ as adelante, en el contexto de la teor´ıa relativista.

12-8

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