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12 de mayo de 2006, día escolar de las Matemáticas
Educación Primaria
uizás hayas oído hablar de un país llamado Egipto, ya que es muy famoso por sus pirámides. En estas se enterraban los “Faraones”, que era como se llamaban sus reyes por aquella época, unos 2.500 años antes de nacer Cristo (de ahora en adelante a. de C.). Los egipcios creían en la reencarnación de los muertos, así que los faraones se enterraban con grandes tesoros y, para asegurarse que nadie robaría esas riquezas, construían dentro de las pirámides muchas trampas y pasadizos secretos, además de maldecir a los profanadores de tumbas para evitar que les robasen sus tesoros. Al contrario que los profanadores, los arqueólogos son los científicos encargados de hacer excavaciones y buscar los restos de civilizaciones antiguas. Precisamente el hallazgo de estas tumbas ha aportado muchos datos sobre la forma de vida de los antiguos egipcios.
Q
El arte egipcio y las matematicas
LAS TUMBAS DE LOS FARAONES
2
¿Has visto alguna película de “Indi”? Seguro que en la próxima que veas te vas a dar cuenta de muchos detalles más. En las excavaciones realizadas en Egipto, la única tumba que se encontró completamente intacta fue la de un faraón que se llamaba Tutankamon. Este rey vivió desde el año 1.372 a. de C. hasta el 1.354 a. de C. Si te fijas en las fechas del nacimiento y muerte de Tutankamon parece que contamos al revés. ¿Crees que se trata de un error? Explícalo:
La tumba fue sellada definitivamente en el año 1.346 a. de C. y fue descubierta por unos arqueólogos en el año 1.922 ¿Cuántos años estuvo sellada? Respuesta:
3
La distancia entre Gijón y Cádiz es de unos 1.000 Km. aproximadamente. Si el río Nilo naciese en Gijón y fuese hasta Cádiz, ¿cuántas veces tendría que recorrer ese trayecto para tener la misma longitud que la que tiene en África? Asturias A Coru a
Vizcaya Gipuzkoa
Cantabria
Lugo
Alaya
Navarra Gerona
Le n
Pontevedra
Huesca
La Rioja
Burgos
L rida
Palencia
Ourense
Barcelona Zaragoza
Soria
Zamora Valladolid
Tarragona Segovia Teruel
Guadalajara
Salamanca Avila
Madrid Castell n Baleares Cuenca Toledo
C ceres Valencia
Respuesta: Albacete
Ciudad Real
Alicante
Badajoz
C rdoba
Murcia
Ja n
Huelva Sevilla
Granada
Almer a
M laga Santa Cruz de Tenerife
C diz
Las Palmas Ceuta
Melilla
EL RIO NILO
Precisamente fue este río el que dio vida a la civilización egipcia, ya que por el verano se desbordaba debido a la gran cantidad de agua que llevaba y, al descender el nivel del agua, el Nilo volvía a su cauce normal dejando sobre la arena del desierto una buena capa de “limo fértil”, es decir, una especie de barro mezclado con algas y otras materias que arrastraba el río y que permitía a los campesinos cultivar esas tierras, por lo que consideraban al Nilo como una especie de “dios”, ya que, además de permitirles practicar la agricultura, también era una magnífica vía de comunicación.
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Egipto está situado en el continente africano, concretamente al noreste, y está atravesado por el río Nilo, que tiene aproximadamente unos 5.500 Km. de longitud, por lo que es el río más largo del mundo. Nace en el corazón de África y atraviesa grandes zonas desérticas para desembocar en el Mediterráneo.
Volvemos con los campesinos. Como tenían que pagar impuestos por el trozo de tierra que cultivaban y este trozo cambiaba con las crecidas y decrecidas del Nilo, cada cierto tiempo había que medir esos campos, lo que hizo que los egipcios se hiciesen expertos en geometría, ya sabes, esa parte de las “mates” que habla de segmentos, lados, ángulos, polígonos, etc. En realidad la palabra “geometría” la empezaron a utilizar los griegos: metría = medir y geo= tierra, así que su significado sería “medir la tierra”.
En el año 2.548 a. de C., un campesino llamado Aset pagó 6 sacos de trigo por cultivar un terreno cuyas dimensiones figuran en la parte inferior. . Al año siguiente, es decir en el 2.547 a.de C., el recaudador de impuestos del faraón le pidió 4 sacos de trigo por el terreno que cultivó, pero Aset no estaba de acuerdo. ¿Sabrías calcular cuántos sacos de trigo debería de pagar Aset?
250 m. TERRENO DE ASET EN EL AÑO 2548 a. de C.
4
300 m.
TERRENO DE ASET EN EL AÑO 2547 a. de C. 300 m.
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LA GEOMETRIA
Respuesta:
Estos egipcios eran muy, pero que muy listos. Para construir sus templos, las pirámides, etc., tenían que saber bastante de geometría, pues son construcciones de gran tamaño y muy difíciles de realizar con los medios disponibles en esa época. Uno de los problemas con los que se encontraban era el de trazar perpendiculares, ya sabes, esos segmentos que forman un ángulo recto (aclaración: 90 grados), porque claro, por aquella época el transportador de ángulos no existía. Estuvieron bastante tiempo trabajando en este asunto, hasta que después varias pruebas descubrieron que podían hacer triángulos rectángulos, o sea, los que tienen
3x3=9
4 x 4 = 16
5 x 5 = 25
¿Observas alguna relación entre los resultados? Efectivamente, si sumas los dos números pequeños, obtienes el mayor: 9 + 16 = 25. Pues resulta que eso se cumple siempre que tenemos un triángulo rectángulo. Tú también puedes encontrar otros tríos de números que cumplan esa condición y así podrás hacer triángulos rectángulos sin necesidad de transportador. ¿Lo intentamos? Puedes ayudarte cumplimentando la tabla de la parte inferior. Tienes que multiplicar cada número por él mismo y poner el resultado en rojo, como está en los ejemplos. Después hay que encontrar parejas de números rojos que al sumarlas den otro número también rojo de los de la tabla y ya está. Si completas las tablas de la parte inferio, además del 3-4 y 5, hay tres combinaciones más.
1
2
3
4
5
1x1=1
2x2=4
3x3=9
4x4=16
5x5=25
6
7
8
9
10
6x6=36
7x7=49
11
12
13
14
16
Combinaciones: 3,4 y5,
,
LA CUERDA CON DOCE NUDOS
Más tarde algunos matemáticos averiguaron que este truco funciona también con otros tríos de números y, después de hacer muchos cálculos con ellos, se dieron cuenta de que, si los multiplicaban por sí mismos, ocurría los siguiente:
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un ángulo recto, ¡con una cuerda de 12 nudos! ¡Como lo oyes! ¿Qué no te lo crees…? El truco consistía en lo siguiente: en una cuerda hacían 12 nudos, todos ellos a la misma distancia -vale cualquier distancia-, y luego hacían un triángulo cuyos lados fuesen 3, 4 y 5, es decir, en total 12, tal y como puedes ver en el dibujo. Pues bien, el ángulo que forman los lados 3 y 4 es recto siempre. ¿No te lo crees? Puedes hacerlo tú y luego medir el ángulo con el transportador.
,
5
Por supuesto que los números de los egipcios no son como los que conocemos ahora. Ellos utilizaban otros dibujos (grafías) para representar las cifras:
Como puedes observar las cifras son mucho más bonitas que las nuestras, pero seguro que tardaban mucho en escribir un número.
¿Sabrías cuáles son estos números?
Respuesta:
6
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LOS NUMEROS EGIPCIOS
Respuesta:
A estos egipcios les gustaban mucho hacer dibujos, tanto es así que las letras también eran dibujos bastante complicados. En la imagen inferior tienes uno de sus escritos y como ves parece que el texto es una especie de código secreto…
LOS JEROGLIFICOS
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A este tipo de escritura se le llamó “escritura jeroglífica”. Después de muchos estudios, los arqueólogos han logrado descifrar el significado de esos signos. El código es el que tienes en la figura inferior.
7 Como puedes ver, algunos dibujos se repiten, pero aún así estoy seguro de que serás un buen detective y podrás descifrar el siguiente mensaje:
Respuesta:
Para escribir las cifras, nosotros utilizamos unas grafías mucho más sencillas pero, si fuese necesario, también podríamos hacer otro tipo de dibujos, por ejemplo monigotes, y hacer cálculos con ellos, lo cual sería bastante más divertido. Ahí tienes un ejemplo de cálculo con monigotes. Haciendo las operaciones de la izquierda, encontrarás el valor de los monigotes de la derecha, es decir, de las claves. Después de tener el valor de todas las claves, ya puedes hacer las operaciones del centro.
6 x
= 12
x
CLAVE
=
=
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OPERACIONES CON MONIGOTES
8
+
= 6
x
:
=
11 x
= 88
:
x
=
66 -
= 59
x
x
=
=
+
+
=
x
= 40
-
x
=
=
+
= 11
-
x
=
=
x
= 18
-
x
=
=
x
=
x
-
=
=
140 :
= = = =
7
2 4 8
14 28 56
1 15 2 30 4 60 8 120 16 240
Ahora, en la columna de la izquierda hay que buscar los números que sumados nos den 14. En este caso serían: 8 + 4 + 2 = 14. Solamente nos queda sumar las parejas de estos tres números que están a su derecha, es decir, el 56, el 28 y el 14 56 + 28 + 14 = 98. Ése es el resultado de la multiplicación. Facilísimo, ¿no?.
Otro ejemplo: 19 x 15. Primero duplicamos el 15 varias veces y luego buscamos los números de la izquierda que sumen 19. En este caso son: 16 + 2 + 1 = 19, así que sumamos sus parejas de la derecha: 240 + 30 + 15 =285. ¿Qué te parece?
¿Sabrías utilizar ese método para multiplicar 13 x 12?
1 2 4 8
12
MULTIPLICACIONES ESPECIALES
1
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Estos egipcios tenían un montón de trucos. Ya en esa época eran capaces de hacer cualquier multiplicación y eso que no tenían ni idea de las tablas de multiplicar. ¿Cómo lo hacían? Solamente sabían calcular el doble de los números, es decir, la tabla del 2 y con eso tenían suficiente. Te voy a explicar el truco que utilizaban. Imagínate que quieres multiplicar 14 x 7. Primero hacemos una tabla en la que vamos duplicando el 7, como figura en la tabla.
Explicación:
Resultado:
9
8 280
Para la división utilizaban el mismo truco, pero a la inversa. Supongamos que queremos dividir 385 entre 35. Primero hacemos la tabla del 35, duplicándolo. Ahora tenemos que encontrar los números de la columna de la derecha que sumados nos den el 385. En este caso sería: 280 + 70 + 35 = 385. Pues el resultado de la división sería la suma de sus parejas de la izquierda: 8 + 2 + 1 = 11. ¿Qué te ha parecido?
1 26 2 52 4 104 8 208
Te pongo otro ejemplo, esta vez con resto y todo. Vamos a repartir 450 entre 26. Empezamos por hacer los duplicados del 26 en la columna de la derecha. Buscamos en esa columna de la derecha los números que sumados nos den 450. En este caso los que más se aproximan, sin pasarse, serían: 416 + 26 = 442 (nos faltan 8, que sería el resto). Así pues el resultado sería la suma de sus parejas de la izquierda, es decir: 16 + 1 = 17. Por tanto 450 entre 26 da como resultado 17 y de resto 8.
1 35 2 70 4 140
16 416
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LAS PIRAMIDES
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Mira la foto inferior. ¿Ves las pirámides? Son impresionantes ¿verdad? Sobre todo si pensamos que se construyeron aproximadamente hace unos 5.000 años.
Como te comentábamos antes, dentro de las pirámides se construían varios túneles, falsas puertas y laberintos para evitar que los profanadores de tumbas robasen los tesoros. Las pirámides de Egipto tienen como base un cuadrado, es decir, son pirámides cuadrangulares y las tienes de diferentes medidas.
g
g
j
h
i
e
f d
c
a
UN POCO DE ASTRONOMIA
k
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a. Entrada b. Canal descendente c. Cámara del Caos d. Canal de servicio e. Canal ascendente f. Cámara de la Reina g. Canales de ventilación h. Gran galería i. Antecámara j. Cámara del Rey k. Cámara de descarga
b
La gran pirámide de Keops tiene como base un cuadrado de 230,35 m. de lado y una altura de 146,6 m., aunque sus medidas originales son difíciles de conocer con exactitud, ya que con la erosión originada por el viento y la arena, estas medidas han cambiado. De todas formas, si divides el lado de la base entre la mitad de su altura, te da un valor muy aproximado a un número que se descubriría muchos años después de la civilización egipcia y que los matemáticos utilizan muchísimo. ¿Sabes a qué número nos referimos? Respuesta:
Otra cosa muy curiosa de las pirámides es su orientación. Los cuatro vértices de la pirámide coinciden con los cuatro puntos cardinales. ¡Asombroso!, ¿verdad? ¡ Y eso que por aquel entonces en las tiendas no había brújulas…! eran increíbles. ¡Y no solamente eso! si no que la entrada principal la ponían siempre orientada hacia el norte, lo que demuestra que, además de conocimientos matemáticos, sabían también mucho de astronomía. Lo más probable es que, para orientar las pirámides, utilizasen la sombra del sol. ¿Sabes cómo funcionan los relojes de sol? Te lo explico y, si te animas, puedes construir uno muy sencillito.
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No tienes más que clavar un palo vertical al suelo - ese palo se llama “gnomon”y dibujar la sombra que proyecta el sol desde que sale por el este -la sombra marcará el oeste-, hasta que se oculta por el oeste y por tanto la sombra marcará el este (¡ ojito ! ¡ “este” sin tilde !). Si lo hemos hecho bien, más o menos tendremos un segmento. Pues bien, la mediatriz de ese segmento, o sea, la perpendicular en el punto medio, señala la línea norte-sur. Como supongo que sabes que el recorrido del sol es este-sur-oeste, ya lo tienes todo para orientarte.
Para estar seguro de que la línea que señala el norte está bien construida, solamente tienes que comprobar que, de todas las sombras que proyecta el gnomon, precisamente la del norte será la que tenga menor longitud. ¿Sabrías explicar la razón?
Otra preguntita…
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CONSTRUYENDO PIRAMIDES
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En el momento en que el gnomon proyecta la sombra de menor longitud, ¿qué hora será? Ten en cuenta que va a ser “la hora solar” ya que la nuestra será otra, porque de vez en cuando nosotros hacemos trampa. Es decir, adelantamos o atrasamos nuestros relojes para ahorrar energía. En la foto puedes ver un peculiar reloj de sol que está en Gijón, concretamente en el Paseo del Cervigón, en la prolongación del Paseo del Muro.
Si quieres poner en tu reloj de sol todas las horas, no tienes más que marcar la sombra cada hora, comprobándolo con tu reloj de muñeca. A partir de ese momento ya tienes un reloj solar, que no necesita pilas y dura toda la vida. Eso sí, tiene un pequeño problemilla: cuando no hace sol… es como si se le hubiesen acabado las pilas… Bien, una vez que ya sabemos cómo los egipcios orientaban las pirámides, nos queda un “pequeño detalle”: colocar los bloques de piedra. Ten en cuenta que estamos hablando de una gran cantidad de enormes moles de piedra. Por ejemplo, la gran pirámide de Keops se calcula que podría tener unos 2.300.000 bloques, con un peso medio de 2,5 toneladas cada uno.
¿?
LAS RAMPAS
Nuestros amigos egipcios ya han empezado a construir su pirámide y están utilizando la rampa que tienes en el dibujo inferior. A su derecha puedes ver un esquema con las medidas.
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Lo más probable es que el transporte de las piedras se realizase sobre trineos por el desierto y en barcas por el Nilo. Para colocar los bloques uno sobre otro, utilizaban rampas, que iban construyendo a medida que aumentaba la altura de la pirámide.
20 m. Medidas 16 m.
Rampa
¿Sabrías decirme la altura de la rampa?. Como pista te diré que ya hemos realizado anteriormente ejercicios similares con la cuerda de 12 nudos, aquellas ternas de números,… ¿te acuerdas? Pues ahora te falta uno de los números pequeños. Respuesta:
Bueno, me parece que solamente te falta construir una pirámide de verdad, pero, claro, como el tema de “las moles de piedra” nos puede dar algún que otro quebradero de cabeza, mejor la hacemos de papel y, si es con cartulina, pues mejor aún. Ahí tienes un par de recortables que te pueden servir para hacer tu pirámide.
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construccion de la piramide 1. Recortar las 5 piezas y pegarlas sobre un cartón. Puede servirnos una caja de zapatos. 2. Recortar el cartón con las piezas pegadas y quitar los círculos de los vértices. Se puede hacer con una taladradora de papel. 3. Doblar las piezas por el trazado interior, poniendo las dobleces hacia fuera. 4. Unir las dobleces, haciendo coincidir los círculos, y sujetarlas con gomas elásticas Si unes solamente los cuatro triángulos, obtienes una pirámide triangular muy especial que se llama tetraedro
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PIRAMIDE DE PAPEL (1)
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PIRAMIDE DE PAPEL (2)
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Para construir la pirámide, no tienes más que recortar por el borde exterior, doblar los bordes grises y pegarlos.
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Hay libros muy interesantes sobre la historia de las matemáticas, en los que podéis encontrar más cosas sobre los egipcios. Seguro que en la biblioteca del “cole” hay algo, pero si no encuentras nada, también podéis consultar en Internet, donde seguro que tenéis muchísima información al respecto. De algunas de estas páginas de Internet hemos extraído dibujos e imágenes y alguna que otra información: http://www.dearqueologia.com/ http://www.biografiasyvidas.com/biografia/t/tutankamon.htm http://egipto.com/egipto_para_nino/ http://www.egiptomania.com/piramides/ ¿Os han gustado los jeroglíficos? Podéis escribir vuestro nombre en clave en: http://egipto.com/cuentos/04.html Si os apetece leer un cuento sobre Egipto, podéis ir a: http://www.dearqueologia.com/cuento.htm
Me parece que tenemos que despedirnos… Espero que hayas aprendido unas cuantas cosas sobre nuestra civilización y también algunas cosas de ”mate”, que no tienen por qué ser siempre aburridas… ¡Hasta siempre!
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Título: El arte egipcio y las matemáticas Autores: José Ignacio Miguel Díaz Corrector textos: Carlos Lomas García Colección: Materiales Didácticos de Aula Serie: Infantil y Primaria
Edita: C.P.R. de Gijón Diseño: Gráficos Impresión: Artes Gráficas Costa Verde Depósito Legal: AS-2252-2006
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