OB ETIVO GENERAL 2

2. 19

RESOLVER PROBLEMAS UTILIZANDO

LAS OPERAGONES

EN Z y Q

Criterios de divisibilidad.

Los múltiplos por cualquier

de un número son los que se obtienen otro número entero.

al multiplicar

24 es múltiplo

de 6 porque se puede obtener

30 es múltiplo

de 15 porque se puede obtener

Los divisores número entre ser exacta).

de un número son los números enteros obtenidos al dividir dicho otro número entero, que también será un divisor (la división debe

8 es divisor

de 24, porque la división

Se dice que un número es divisible pr i mero es múIti plo del segundo).

al multiplicar

dicho número

al multiplicar

24 :8 es exacta

entre

otro

Divisible entre

2

3

5 10

11

Criterios

o porque 8.3

Si la última

24

del primero

(o el

de divisibilidad

cifra

es cero o par

Cuando la suma de los dígitos que lo constituyen resulta ser 3 o múltiplo de 3

Cuando la última

=

de reglas que nos permiten sin necesidad de realizar la

de divisibilidad

Cuando la última

15 por el 2.

si éste es divisor

Se llaman criterios de divisibilidad al conjunto conocer si un número es o no divisible por otro, operación de división.

Tabla que resume los criterios

6 por el 4

cifra

es cero o cinco

cifra

es cero

Si la diferencia entre la suma de las cifras que ocupan la posición par y la suma de las que ocupan la posición impar es O o múltiplo de 11

58

Ejemplos 38,32,486,2824, 500

12,15,18,21,27, 327,426,720,543, 137 80,35,175,1275, 1210 80, 200, 300, 2500

1375, 8052, 3564, 14641

'Q

BJETIVO

RESOLVER PROBLEMAS UTILIZANDO

GENERAL 2

LAS OPERAaONES

EN Z y Q

Ejemplos pliquemos

3.562 las reglqs

al número

anteriores

de divisibilidad

ero •

Es divisible

por

2, por finalizar

No es divisible • icho ebe

5.

por

No cumple

par.

el criterio

de divisibilidad

3

es

+

_a diferencia ao r 11.

5

6

+

de esas sumas (9 - 9

6

+

=

+

9

= O),

Y 5

+

4

=

5.

por

4 = 18 que es múltiplo número 3.564 cumple el criterio de divisibilidad por 3. Por el criterio del 11 sumamos las cifras la y 3a y las cifras La suma de sus dígitos

3

(o el

en cifra

3, luego el

de

2a y 4a

9

cumpliéndose

el criterio

de divisibilidad

áles son los números primos iten r la

os números

primos

son todos

iene como divisores Son números

siguiendo

si e s divisible

mayores

que 1 que

y la unidad.

.

no e s primo.

Si

el

proceso

continuamos

de

hasta

los números

divisiones

no

Aquí concluimos

comenzando

los criterios

se encuentra

hemos

un cociente

primos,

usarse

Si en el proceso

obtener

probando.

entre

con 3, 5, 7, 11 (pueden

divisiones).

número

estamos

naturales

2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,

en orden

ahorrar

en

números

si un número dado es primo

Se va probando para

el mismo número

primos:

omo saber

aquellos

un

que el número

que el número

de divisibilidad

una división

encontrado

menor

por el 2 y exacta

división primo

exacta

con el que

dado es primo.

- emplo liquemos

la regla

anterior

199 no es divisible El siguiente

al número

2, 3 Y 5 por no cumplir

entre

número

199 para comprobar

primo

es 7, obteniéndose

No es divisible

entre

11, por no cumplir

No es divisible

entre

13 ni entre

1_7__

199

59 28 3

cociente

el criterio

de divisibilidad.

28 y resto

de divisibilidad

3. del 11.

17 como puede verse en las divi s io ne s.

19911L 69

si es primo.

los criterios

15

199

17

29

11

12

4

59

el

ETIVO GENERAL 2

•

RESOLVER PROBLEMAS UTILIZANDO

LAS OPERAGONES EN Z y Q

Al dividir entre 17 se obtiene de cociente 11, que es menor primo entre el que estamos dividiendo. Esto nos indica continuarse. La conclusión es que 199 es un número primo.

que el número que no debe

Cuáles son los números compuestos Los números

compuestos

son aquellos

8 es un número compuesto

porque sus divisores

12 es un número compuesto 6 es un número compuesto

que poseen más de dos divisores. son: { 1, 2, 4, 8 }

porque sus divisores porque sus divisores

Al número 1 no se le considera

son: { 1, 2, 3,4,

6, 12 }

son: { 1, 2, 3, 6}

ni número primo ni número compuesto

I

,

;,zIctivid"ad"es para reso{ver ~ 1. Sustituye las interrogaciones según convenga:

por

a) 45 es ? por 9 b) 4 es ? de 36 2. Dados los números cada uno. 3. ¿Cuántos múltiplos 4. Escribe

c) 33 es ? de 33

de 237 hay entre de los divisores

los números

tres

números

de cuatro

7. Escribe

tres

números

de tres

9. Escribe

tres

números números

de : a) 36

cifras

de treS de tres

cifras

cifras

b) 35

que sean divisibles

11.Escribe

dos múltiplos

de 11 que Sean primos.

l2.Escribe

dos múltiplos

de 13 que sean primos.

l3.Escribe

dos múltiplos

de 17 que sean primos.

c) 45

positivos

de

a ambos ? d) 72

de 12, sean divisores

que no terminen

treS múltiplos

14. Usando la primos.(Investiga

incluyendo

que sean divisibles

10.Escribe

o divisible

5 múltiplos

que Sean divisibles

cifras

divisor

d) todo número es ? de 1

2370 y 23700,

Que siendo múltiplos

6. Escribe

8. Escribe tres divisibles por 5.

múltiplo,

24, 45, 31, 65, 25 Y 80. Escribe

el conjunto

5. Calcula todos

las palabras

de 180.

por 2. por 3. en cero

y que sean

a la vez por 3 y 5.

de 7 que sean primos.

criba de Eratóstenes escribe dos múltiplos en qué consiste la criba de Eratóstenes)

60

.

, .,

de

11 que

Sean

-3JETIVO

RESOLVER PROBLEMAS UTILIZANDO

GENERAL 2

LAS OPERACIONES

EN Z y Q I

....20 Descomposición e

_escomponer

de un número en factores

un número

e números

primos

Se divide

en factores

dicho

número.

el número

tantas

primos

consiste

Para ello debemos

primos.

en expresar adoptar

veceS como sea posible

como producto

las siguientes

por el menor

reglas

número

primo

que lo divide. A continuación sucesivamente El resultado número

dado,

se divide hasta

entre

obtener

de todos

el divisor un cociente

los divisores

los cuales

serán

que le sigue y así

primo

igual a 1.

obtenidos

expresados

son los factores

en forma

primos

de productos

del

de potencia.

mplo __ scompongamos

en factores

primos

cada uno de los números

siguientes:

, 1050, 588. 120

2

1050

2

588

2

60

2

525

3

294

2

30

2

175

5

147

3

15

3

35

5

49

7

5

5

7

7

7

7

11

111 O = 2.2.2.3.5 20

=

1050

23.3.5 una potencia.

: nente

2.3.5.5.7

=

1050

ese que finalmente, 'zar

=

es el número

588

de

588 primos

la potencia

li

2.2.3.7.7

2.3.52.7

si uno de los factores La base

=

=

22.3.72

aparece

es el factor

repetido

1I

se suele

que se repite

y el

11

de veceS que lo hace.

,

~

.."JIctivüfad"es para reso{ver ~ -:omponer

en factores

primos

cada uno de los númeroS

_8

b) 320

e) 180

d) 990

_O

j) 2541

k) 2310

R) 6300.

:.501.492

e) 8820 m)

500

f) 1260 n)

600

dados:

g) 616 o)

225

h) 756 p)

1500

r) 214.414.200

61

JU

OBJETIVO

RESOLVER PROBLEMAS UTILIZANDO

GENERAL 2

LAS OPERACIONES

EN Z y Q

Respuestas a) 27

b ) 26.5

c ) 22.32.5

d) 2.32.5.11

e) 22.32.5.72

f)22.32.5.7

g) 23.7.11

h) 22.33.7

k) 2.3.5.7.11

e) 22.32.52.7

i) 22.3.5.17 n) 23.3.52

j) 3.7.112 o) 32.52

p) 22.3.53

q ) 22.3.11.72.13.113

2.21

m) 22.53

r) 23.32.52.11.72.13.17

Máximo común divisor y mínimo común múltiplo.

Se llama máximo común divisor (M.C.D) de varios númeroS número positivo que sea divisor común de dichos números.

enteros

Se llama mínimo común múltiplo (m.c.m) de varios positivo que sea múltiplo común de dichos números.

al menor

Pasos para determinar •

Se descompone

•

Aquellos

factores

númeroS

el M. c. D Y el m. c. m entre

cada número en sus factores primos

que se repiten

• . Para determinar el M.C.D se efectúa comunes con su menor exponente .

al mayor número

dos o más números.

primos.

se colocan en forma

de

potencias

el producto

de los factores

primos

Para determinar el m.c.m se efectúa el producto comunes y no comuneS con Su menor exponente.

de los factores

primos

.

•

Ejemplo Hallar

el M.C.D y el m.c.m de los númeroS 18, 36, Y 120

Descompongamos 18 2

36

los números 2

120

en sus factores 2

9 3

18 2

60

2

3 3

9 3

30

2

1

3 3 1

primos:

15 3

5 5

= 2.32 36 = 22.32 120 = 23.3.5 18

M.C.D (18,32,120) M.C.D m.c.m(18,32,20)

1 m.c.m

62

= 2.3.5 = 30 = 23.32.5

= =

8.9.5 360

~_ = I IVO

RESOLVER PROBLEMAS UTILIZANDO

GENERAL 2

LAS OPERACIONES

EN Z y Q

..Jlctividades para reso{vel ~ __s rrolla

en tu cuaderno

i por simple

2,9

inspección

Y 36

_,4,8,12

, 9 Y 12 etermina

24,48)

(30, 56 Y 60)

g) (540,

actividades:

cuál es el m.c.m y el M.C.D en cada caso b ) 10, 5 Y 30

c)9,12y18

e) 15, 30 Y 60

f)

h) 5, 50 Y 100

i) 20, 30 Y 100.

8, 12 Y ; S

el M.C.D y el m.c.m en cada uno de los siguientes

a) (6,12, d)

cada una de las siguientes

360, 180)

esuelve los siguientes

grupos

b) (25, 50,75,125)

c) (54, 340, 215)

e) (12, 72, 90,120)

f) (20,48,64,70)

h)

(860,840,360)

problemas

i)

(84,560

de númer-o s:

Y 330)

usando m.c.m y el M.C.D.

:e tienen tres cursos, constituidos por 18, 24 Y 36 alumnos respectivamente. - _=1 es el menor número de lápices que se necesitan para que al repartirlos --e ellos cada uno reciba un número exacto de lápices? :e tienen 150 gallinas, 120 pavos y 180 conejos y Se desea encerrar los en _ s. ¿Cuál es la mayor cantidad de animales que deben encerrarse en cada jaula _ que en cada una haya un número exacto de animales? .c s aviones

hacia Maiquetía, desde una ciudad cuclquier-c , parten cada _ os, y hacia Maracaibo cada 54 minutos. Si al mediodía pcr+ie r-on juntos, ora volverán a hacer lo?

42 cc

- un cumpleaños Se desean entregar a los niños 90 globos, 120 galletas y 180 ~-