Tema 2. Divisibilidad. Múltiplos y submúltiplos. En el tema 1, se ha mostrado como realizar cuentas con números naturales y enteros. Antes de conocer otras clases de números, los racionales, irracionales y reales, es conveniente saber si un número es múltiplo o divisor de otro y conocer los criterios de divisibilidad. Además estudiaremos, en este tema, cómo calcular el máximo común divisor (MCD), y el mínimo común múltiplo (mcm) de varios números.

DIVISIBILIDAD MÚLTIPLOS Y DIVISORES Un número es múltiplo de otro cuando contiene a ese número un número exacto de veces. Un número es divisor de otro cuando lo divide exactamente, es decir, cuando es contenido por este otro un número exacto de veces. Ejemplo:

15:3= 5

3 es divisor de 15

5 * 3 = 15

15 es múltiplo de 3

PROPIEDADES DE LOS MÚLTIPLOS Y DIVISORES. A continuación verás las propiedades más importantes de los múltiplos y divisores  Si un número es divisor de otros, también lo es de su suma.

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Ejemplo:

Si 3 es divisor de 6, 9 y de 12, también lo es de su suma 6+9+12 = 27 27 : 3 = 9

 Si un número divide a dos, divide también a su diferencia. Ejemplo: Si 4 es divisor de 12 y de 40, entonces también lo es de su diferencia. 40-12 = 28 28 : 4 = 7

 El número 1 es divisor de todos los números.

CRITERIOS DE DIVISIBILIDAD. A través de los criterios de divisibilidad podremos saber si un número es o no es divisible por otro, sin necesidad de hacer la división.  Divisibilidad por 0. El número cero, solamente tiene un múltiplo, que es el 0  Divisibilidad por 1. Todos los números son múltiplos de 1.  Divisibilidad por 2. Un número es divisible por 2 cuando acaba en cero o en cifra par. Ejemplo: 2   

40 es divisible por 2 por acabar en cero. 24 es divisible por 2 por acabar en cifra par.  Divisibilidad por 3. Un número es divisible por 3 cuando la suma de sus cifras es múltiplo de 3. Ejemplo: 240 es divisible porque la suma de sus cifras es múltiplo de 3. 2+4+0=6 6 es múltiplo de 3

 Divisibilidad por 4.

Un número es divisible por 4 cuando sus dos

últimas cifras son 4 o múltiplo de 4. Ejemplo: 416 es divisible por 3 porque sus dos últimas cifras son múltiplo de 4. 16 = 4 * 4  Divisibilidad por 5. Un número es divisible por 5 cuando acaba en cero o en 5. Ejemplo: 275 es divisible por 5 porque acaba en 5. 400 es divisible por 5 porque acaba en 0.  Divisibilidad por 6. Un número es divisible por 6 cuando lo es por 2 y por 3. Estos números deben cumplir lo anterior, y son candidatos los acabados en 0, 2, 4, 6, 8. Ejemplo: 720 es divisible por 6 porque lo es por 2 al acabar en 0, y lo es por 3, porque la suma de sus cifras 7 + 2 + 0 = 9, y 9 es múltiplo de 3. 3   

 Divisibilidad por 9. Un número es divisible por 9 cuando la suma de sus cifras es 9 o múltiplo de 9. Ejercicio: Prueba si el número 324, es divisible por 9.

 Divisibilidad por 10. Un número es divisible por 10 cuando termina en 0. Ejercicio: Pon un ejemplo de un número divisible por 10.  Divisibilidad por 11. Un número es divisible por 11 cuando la diferencia entre la suma de los dígitos de lugar par y la suma de los dígitos de lugar impar es 0 o múltiplo de 11.

NÚMEROS PRIMOS Y COMPUESTOS. Un número es primo cuando es entero positivo, distinto de 0 y 1 y que únicamente se puede dividir por sí mismo y por 1 para dar una solución exacta (por tanto, para todos los otros números por los que intentemos dividir el número primo no dará solución exacta) Ejemplo: 5 es un número primo porque sólo es divisible por 5 o por 1.

¿Cómo averiguar si un número es primo? Debemos ir probando si tiene algún divisor propio. Para ello vamos dividiendo el número n entre 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89 y 97…. n-1. Si alguna de las divisiones es exacta (da resto cero) podemos asegurar que el número n es compuesto. Si ninguna de estas divisiones es exacta, el número n es primo. Esto se puede afirmar cuando se llegue a un cociente menor o igual que el divisor.

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NÚMEROS COMPUESTOS Un número compuesto se puede dividir exactamente entre otros números además de 1 y él mismo. Ejemplo: 8 es un número compuesto porque tiene como divisores 1, 2, 4 y 8 9 es un número compuesto porque tiene como divisores 1, 3 y 9.

DESCOMPOSICIÓN DE UN NÚMERO EN FACTORES PRIMOS. Descomponer un número en factores primos es hallar un producto de números primos que sea igual a dicho número. Para descomponer un número es sus factores primos debes seguir los siguientes pasos: 1. Se divide el número por su menor divisor primo distinto a 1. 2. Se realiza la misma operación con el cociente resultante y así sucesivamente hasta llegar al cociente 1. El número que se quiere descomponer en factores primos es igual al producto de los divisores obtenidos. Ejemplo: Descomponer 360 en sus factores primos, y expresa el número como producto de sus factores. Escribimos el número a descomponer y a su derecha trazamos una recta vertical y detrás de ésta, vamos colocando los factores primos comenzando por el menor. Ahora tienes que recordar muy bien cuándo un número es divisible por 2, 3, 5, 7, 11, 13,…………….

360= 23 x 32 x 5

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MÁXIMO COMÚN DIVISOR (M.C.D). El máximo común divisor (m.c.d. o mcd) de dos o más números es el mayor número que divide a todos exactamente.

PROCEDIMIENTO DE CÁLCULO. 1 Se descomponen los números en factores primos. 2 Se toman los factores comunes con menor exponente. 3 Se multiplican dichos factores y el resultado obtenido es el mcd.

MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO (m.c.m) El mínimo común múltiplo, de varios números, es el menor de todos los múltiplos comunes de varios números, excluido el cero.

PROCEDIMIENTO DE CÁLCULO. 1 Se descomponen los números en factores primos. 2 Se toman los factores comunes y no comunes con mayor exponente.

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Ejercicios: 1) Descomponer en factores primos los siguientes números: a) 240 b) 45 c) 470 2) Halla el máximo común divisor de los siguientes grupos de números: a) 24 y 30 b) 266 y 123 c) 65, 30 y 45 d) 52, 80, 10 y 65

3) Halla el mínimo común múltiplo de los siguientes grupos de números: a) 38 y 8 b) 13 y 30 c) 86, 64 y 20 d) 75, 45, 20 y 25

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4) Clasificar los siguientes números en primos y compuestos: a) 7 b) 24 c) 5 d) 80

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