Matemáticas

Ejercicios Tema 1

2º ESO

Bloque I: Aritmética Tema 1: Divisibilidad. Los Números Enteros.

1.- Entre estos números +13, 2.7, -18, 3.5, +5, 0, -8, 0.5,

1 2 , +3 separa:

a) Los naturales. b) Los enteros. c) Los que no son ni naturales ni enteros. Solución: a) +13, +5, +3 b) +13, -18, +5, 0, -8, +3 c) 2.7, 3.5, 0.5,

1

2

2.- Justifica si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas: a) Todo número natural es también entero. b) El conjunto de los números enteros se designa con la letra E. c) El conjunto Z está incluido en el conjunto N. Solución: a) Verdadero. b) Falso. c) Falso. 3.- Calcula:

5 − 3 − 7 +1+ 8 b) 2 − 3 + 4 + 1 − 8 + 2 c) 1 − 3 + 5 − 7 + 9 + 11 d) 2 + 4 − 6 − 8 + 10 − 12 + 14

a)

Solución: a) 4 b) -2 c) 16 d) 4 4.- Quita paréntesis: a) b) c) d) Solución: a) b) c) d)

a + (b + c) a − (b + c) a + (b − c ) a − (b − c )

a+b+c a−b−c a+b−c a−b+c

5.- Quita paréntesis y después opera:

1 − (7 − 2 − 10 ) − (3 − 8) b) (8 − 4 − 3) − (5 − 8 − 1) c) (3 − 5) − (1 − 4 ) + (5 − 8) d) 3 − (5 − 8) − (11 − 4 ) + (13 − 9 ) a)

Solución: a) 11 b) 5 c) -2 d) 3 6.- Calcula operando primero dentro de los paréntesis:

(2 − 6 − 3) + (5 − 3 − 1) − (2 − 4 − 6) b) (8 − 11 − 5) − (12 − 13) + (11 + 4 ) c) 15 + (6 − 18 + 11) − (7 + 15 − 19 ) + (1 − 3 − 6 ) a)

Solución: a) 2 b) 8 c) 3 7.- Quita paréntesis y calcula:

3 − [(5 − 8) − (3 − 6 )] b) 1 − (3 − [4 − (1 − 3)]) c) (2 + 7 ) − (5 − [6 − (10 − 4 )]) a)

Solución: a) 3 b) 4 c) 4 8.- Calcula:

(− 7 ) ⋅ (+ 11) b) (− 6 ) ⋅ (− 8) c) (+ 5) ⋅ (+ 7 ) ⋅ (− 1) d) (− 2 ) ⋅ (− 3) ⋅ (− 4 )

a)

Solución: a) -77 b) 48 c) -35 d) -24 9.- Opera:

(− 45) : (+ 3) b) (+ 85) : (+ 17 ) c) (+ 36 ) : (− 12 ) d) (− 85) : (− 5) a)

Solución: a) -15 b) 5 c) -3 d) 17 10.- Opera las siguientes expresiones:

(+ 400 ) : (− 40) : (− 5) b) (+ 400 ) : [(− 40 ) : (− 5)] c) (+ 7 ) ⋅ (− 20 ) : (+ 10 ) d) (+ 7 ) ⋅ [(− 20 ) : (+ 10 )] e) (+ 300 ) : (+ 30 ) ⋅ (− 2 ) f) (+ 300 ) : [(+ 30 ) ⋅ (− 2 )] a)

Solución: a) 2 b) 50 c) -14 d) -14 e) -20 f) -5 11.- Calcula:

6⋅4 − 5⋅6 − 2⋅3 15 − 6 ⋅ 3 + 2 ⋅ 5 − 4 ⋅ 3 c) 5 ⋅ (− 4 ) + (− 2 ) ⋅ 4 − 6 ⋅ (− 5) − 3 ⋅ (− 6 ) d) 18 − 3 ⋅ 5 + 5 ⋅ (− 4 ) − 3 ⋅ (− 2 ) a)

b)

Solución: a) -12 b) -5 c) 20 d) -11 12.- Opera estas expresiones:

(− 5) ⋅ (8 − 13) b) (2 + 3 − 6 ) ⋅ (− 2 ) c) (+ 4 ) ⋅ (1 − 9 + 2 ) : (− 3) d) (− 12 − 10 ) : (2 − 6 − 3) a)

Solución: a) 25 b) 2 c) 8 d) 2

13.- Calcula:

13 − [8 − (6 − 3) − 4 ⋅ 3] : (− 7 ) b) 5 ⋅ (8 − 3) − 4 ⋅ (2 − 7 ) − 5 ⋅ (1 − 6 ) c) 12 ⋅ (12 − 14 ) − 8 ⋅ (16 − 11) − 4 ⋅ (5 − 17 ) a)

Solución: a) 12 b) 70 c) -16 14.- Realiza las operaciones siguientes:

18 − 40 : (5 + 4 − 1) − 36 : 12 b) 4 + 36 : 9 − 50 : [12 + (17 − 4 )] c) 48 : [5 ⋅ 3 − 2 ⋅ (6 − 10 ) − 17 ] d) 3 ⋅ 4 − 15 : [12 + 4 ⋅ (2 − 7 ) + 5] a)

Solución: a) 10 b) 6 c) 8 d) 17 15.- Realiza las operaciones siguientes:

2 ⋅ [3 ⋅ (4 − 9 ) − 8] − [2 ⋅ (1 − 5)] + 3 b) 120 : [− 2 ⋅ (10 − 9 )] + 10 + 25 : 5 c) 5 ⋅ [− 25 : (4 − 9 ) + 1] − 3 ⋅ [(1 − 5) − (3 − 8)] d) 10 + 12 : (− 4 ) + 20 : [− 2 ⋅ (10 − 9 )] a)

Solución: a) b) c) d)

-35 -45 27 -3

16.- se dice que dos números son primos entre sí cuando no tienen ningún divisor común aparte del 1. Por ejemplo, el 15 y el 16. Busca otras parejas de números primos entre sí. Solución: el 2 y el 3, el 2 y el 5, el 3 y el 5. 17.- Se desea envasar 100 litros de aceite en recipientes iguales. ¿Cuál ha de ser la capacidad de los mismos? Busca todas las soluciones posibles en indica, en cada caso, el número de recipientes necesarios. Solución: Nº Recipientes 1 2 4 5

Capacidad 100 l 50 l 25 l 20 l

Nº Recipientes 10 20 25 50 100

Capacidad 10 l 5l 4l 2l 1l

18.- En la biblioteca de mi centro hay entre 80 y 100 libros de Matemáticas. Averigua cuántos son exactamente si pueden agruparse en cajas de 5, de 9, de 15 y de 18 unidades. Solución: 90 libros. 19.- Las líneas de autobuses A y B inician su actividad a las siete de la mañana desde el mismo punto de partida. Si la línea A tiene un servicio cada 24 minutos y la línea B lo hace cada 36 minutos, ¿a qué hora, después de las siete, vuelven a coincidir las salidas? Solución: 8 horas y 12 minutos.

20.- Deseamos partir dos cuerdas de 20 m y 30 m en trozos iguales lo más grandes que sea posible y sin desperdiciar ningún cabo. ¿Cuánto medirá cada trozo? Solución: 10 m. 21.- En la modalidad deportiva de ciclismo de persecución en pista, uno de los corredores da una vuelta al circuito cada 54 segundos y el otro cada 72 segundos. Parten juntos de la línea de salida: a) ¿Cuánto tiempo tardarán en volverse a encontrar por primera vez en la línea de salida? b) ¿Cuántas vueltas habrá dado cada ciclista en ese tiempo? Solución: a) 216 segundos. b) Ciclista 1 – 4 vueltas. Ciclista 2 – 3 vueltas. 22.- ¿Qué medida tendrá el lado de una baldosa cuadrada que se ha utilizado para pavimentar el suelo de un garaje de 123 dm de largo por 90 dm de ancho? (las baldosas han venido justas sin necesidad de cortar ninguna) Solución: 3 dm. 23.- Un panadero necesita envases para colocar 250 magdalenas y 75 bizcochos en cajas, lo más grandes que sea posible, pero sin mezclar ambos productos en la misma caja. ¿Cuántas unidades irán en cada caja? ¿Cuántas cajas hacen falta? Solución: 25 unidades. 10 cajas de magdalenas y 3 cajas de bizcochos. 24.- Un alumno quiere cambiar con otro cuadernos de 3,6 euros por rotuladores de 4,8 euros. ¿Cuál es el menor número de cada clase que pueden cambiar sin que ninguno de los dos pierda? ¿Cuál es el valor de lo que aporta cada uno? Solución: Se cambian 4 cuadernos por 3 rotuladores. 14,4 euros. 25.- El número de participantes en un desfile es tal que se pueden agrupar en filas de 3 en 3, de 5 en 5 o de 25 en 25, pero no pueden hacerlo de 4 en 4 ni de 9 en 9. ¿Cuál es el número mínimo de participantes si sabemos que es mayor que 1000 pero menor que 1250? Solución: 1050 participantes. 26.- Los tres hijos de una familia residen en localidades diferentes a la de la casa familiar. El mayor visita a sus padres cada 15 días, el mediano cada 10 días y la menor cada 12 días. El día de Navidad se encuentra reunida toda la familia. ¿Qué día volverán a encontrase los tres juntos? ¿Y el mayor con el mediano? Solución: 23 Febrero. 24 Enero. 27.- En un determinado día han recogido en una granja 510 huevos de clase extra y 690 de clase normal. Si se quieren colocar en cartones iguales que contengan el mayor número posible de huevos, ¿cuántos huevos se pondrán en cada cartón? Solución: 30 huevos. 28.- Pitágoras nació en el año 585 a.C. y murió en el año 495 a.C. ¿Cuántos años vivió Pitágoras? Solución: 90 años. 29.- Un avión vuela a 11000 metros y un submarino está a 850 metros de profundidad. ¿Cuál es la diferencia de altura? Solución: 11850 m. 30.- Compramos un frigorífico. Cuando lo enchufamos a la red eléctrica está a la temperatura ambiente, que es de 25ºC. Si cada hora baja la temperatura 5ºC, ¿a qué temperatura estará al cabo de 6 horas? Solución: -5ºC.

Matemáticas

Ejercicios Tema 2

2º ESO

Bloque I: Aritmética Tema 2: Los Números Racionales. Problemas.

Simplifica las siguientes operaciones con fracciones: 4 1 2 5 1) − + − 5 3 8 6 ⎛1 2⎞ 3 2) 1 − ⎜ + ⎟ + ⎝3 5⎠ 4 2 5 2 ⎛4 7 ⎞ 3) + ⋅ − ⎜ − ⎟ 3 2 6 ⎝ 3 12 ⎠ ⎡1 1 ⎛ 1 1 ⎞ ⎛ 1 1 ⎞⎤ 4) 3 − 4 ⋅ ⎢ − ⋅ ⎜ − ⎟ + 3 : ⎜ : ⎟⎥ ⎝ 3 2 ⎠⎦ ⎣3 2 ⎝ 4 4 ⎠ 3 ⎛ 2 1⎞ 5) 2 − − ⎜ − ⎟ 4 ⎝ 5 3⎠ 7 3 13 6) + − 6 4 12 4 3 2 7) − ⋅ 5 7 3 2 ⎛ 4 1⎞ 8) : ⎜ + ⎟ 5 ⎝ 9 3⎠ 1 ⎛2 3 ⎞ 3 9) ⋅ ⎜ − ⎟ : 3 ⎝ 5 10 ⎠ 2 4 ⎛1 ⎞ 3 6 10) − ⎜ + 1⎟ − : 3 ⎝2 ⎠ 5 4 5 ⎛1 5⎞ 3 ⎛4 7 ⎞ 11) ⋅ ⎜ + ⎟ : ⋅ ⎜ − ⎟ 7 ⎝ 2 6 ⎠ 5 ⎝ 5 10 ⎠ 3 ⎛1 3⎞ 3 5 12) − ⎜ − ⎟ + : − 1 4 ⎝5 2⎠ 2 7 2 1 9 ⎛1 4 ⎞ 13) − ⋅ − ⎜ + ⋅ 3 ⎟ 7 5 2 ⎝5 7 ⎠ 1 9 3 ⎛4 7⎞ 14) 2 − ⋅ + − ⎜ − ⎟ 5 2 5 ⎝5 4⎠ 5 1 ⎛ 5 1⎞ 15) − ⎜ − ⎟ − 3 ⋅ + 18 12 ⎝ 2 3⎠ Soluciones: 1) − 7 / 60 2) 61 / 60 3) 3 / 4 4) − 49 / 3 7) 18 / 35 8) 18 / 35 9) 1 / 45 6) 5 / 6 11) 10 / 63 12) 63 / 20 13) − 177 / 70 14) 53 / 20

5) 71 / 60 10) − 17 / 30 15) − 35 / 12

PROBLEMAS: 1) ¿Se puede afirmar que en una clase 2 6 son chicos y 4 5 son chicas? Solución: No se puede afirmar. 2) ¿ Cuantas botellas de 1 5 de litro son necesarias para envasar 8000 litros de zumo de naranja? Solución: 40000 botellas. 3) En un grupo de amigos, 4 10 van al cine; 7 15 , al teatro, y el resto se queda en casa. ¿Qué fracción del grupo se queda en casa? Solución: 2/15 4) Si un kilo de manzanas cuesta 4 5 de euro, ¿cuánto cuestan cuatro kilos y medio de manzanas? Solución: 18/5 de euro. 5) Los 3 5 de las calculadoras que vende una tienda son científicas, y de estas, los

5 12 son programables. a) ¿Qué fracción representan las calculadoras programables? b) De cada 100 calculadoras vendidas, ¿cuántas son programables? Solución: a) 1/4 b) 25 son programables. 6) El Ayuntamiento de una ciudad decide utilizar los 12000 metros cuadrados de un solar de la siguiente forma: 1 5 del terreno para la construcción de viviendas de protección oficial, 1 3 de lo que queda para construir un centro de salud, y los metros cuadrados restantes para un parque. ¿Cuántos metros cuadrados tiene el parque? Solución: 6400 metros cuadrados. 7) Después de un incendio la Consejería de Medio Ambiente decide repoblar 3 5 del terreno con pinos y los 3 4 del resto con encinas. ¿Qué parte se ha dejado sin repoblar? Solución: 1/10 8) En un quiosco de prensa se han vendido a lo largo de la mañana 3 5 de un lote de periódicos, y por la tarde, 1 4 de los que quedaban. Si al finalizar la tarde quedaban 12 periódicos sin vender, ¿cuántos periódicos había inicialmente? Solución: 40 periódicos 9) Un recipiente tiene 12 litros que suponen los 3 7 su capacidad. ¿Cuál es la capacidad total del recipiente? Solución: 28 litros. 10) De un depósito de agua se saca primero la cuarta parte, y después, la sexta parte del resto, quedando aún 40 litros. ¿Cuál es la capacidad del depósito? Solución: 64 litros.

11) Del dinero de una cuenta bancaria, retiramos primero los 3 8 y, después, los 7 10 de lo que quedaba. Si el saldo actual es 1893 euros, ¿cuánto había al principio? Solución: 10096 12) De un depósito de aceite, se vacía la mitad; de lo que queda, se vacía otra vez la mitad y, luego, los 11 15 del resto. Si al final quedan 36 litros, ¿cuántos había al principio? Solución: 540 litros. 13) Compro a plazos una bicicleta que vale 540 euros. Pago el primer mes los 2 9 ; el segundo, los 3 7 de lo que me queda por pagar, y luego, 124 euros. a) ¿Cuánto he pagado cada vez? b) ¿Qué he pagado en total? Solución: a) 62 euros, 93 euros y 124 euros. b) 279 euros. 14) Gasto 1 10 de lo que tengo ahorrado en mi hucha; después, ingreso 2 3 de lo que me queda y aún me faltan 90 euros para volver a tener la cantidad inicial. ¿Cuál era esa cantidad? Solución: 300 euros. 15) De un cordel, Juan coge la mitad; de lo que queda, Pedro coge la mitad; de lo que queda, María coge la mitad; de lo que queda, Carmen coge 2 5 . Al final quedan 30 cm. ¿Cuál era la longitud del cordel en metros? Solución: 4 metros.

Matemáticas

Ejercicios Tema 3

2º ESO

Bloque I: Aritmética Tema 3: Potencias y Raíces.

1.- Calcula las siguientes potencias de exponente natural: a) 2

b)

6

c)

62 2

d) 10

⎛2⎞ e) ⎜ ⎟ ⎝3⎠ 4 h) (− 3)

5

g) (− 2 )

7

j)

⎛ 1⎞ k) ⎜ − ⎟ ⎝ 4⎠

(− 1)

1000001

Solución: a) 64 d) 100000 g) -128 j) -1

36

⎛1⎞ f) ⎜ ⎟ ⎝2⎠ 2008 i) 1 2

b) 36 e) 4/9 h) 81 k) 1/16

5

⎛ 2⎞ l) ⎜ − ⎟ ⎝ 3⎠

3

c) 729 f) 1/32 i) 1 l) -8/27

2.- Expresa en forma de fracción las siguientes potencias de exponente negativo:

2 −3 −8 d) 2

b)

4 −2 −7 e) 10

5 −3 −2 f) (− 2 )

g)

h)

i)

a)

(− 2)−5

⎛3⎞ j) ⎜ ⎟ ⎝5⎠ Solución: a) 1/8 d) 1/256 g) -1/32 j) 25/9

−2

c)

(− 8)−3

⎛1⎞ k) ⎜ ⎟ ⎝3⎠

−3

b) 1/16 e) 1/10000000 h) -1/512 k) 27

(− 3)−4

⎛ 2⎞ l) ⎜ − ⎟ ⎝ 5⎠ c) 1/125 f) ¼ i) 1/81 l) -125/8

3.- Expresa en forma de potencia con exponente negativo:

1 35 1 e) 6 4

1 27 1 f) 10 5

a)

Solución:

3 −5 −6 d) 4

a)

1 72 1 g) 3 6

b)

b) 2

−7

e) 10

−5

c)

7 −2 −3 f) 6

c)

−3

4.- Escribe como una única potencia los siguientes productos de potencias: a) 2 ⋅ 2 4

b) (− 3) ⋅ (− 3) 4

7

d) (− 4 ) ⋅ (− 4 ) 14

2

−5

f)

3 −2 ⋅ 3 −1 −4 6 k) 2 ⋅ 2 ⋅ 2

b) (− 3)

11

d) (− 4 )

6

c) (− 2 )

3

f) 10

7

e) (− 5)

14

−14

h) 3

−3

i) 10

4

k) 2

3

l)

g) 2 j) 4

10 7 ⋅ 10 4 ⋅ 10 −2 −1 5 i) 10 ⋅ 10 ⋅ 10 7 −3 0 l) 5 ⋅ 5 ⋅ 5

0

h)

Solución: a) 2

6

e) (− 5) ⋅ (− 5) ⋅ (− 5)

0

⋅ 2 −9 −3 7 j) 4 ⋅ 4

g) 2

c) (− 2 ) ⋅ (− 2 )

2

12

2

54

5.- Escribe como una única potencia los siguientes cocientes de potencias: a) 2

−7

b) 5

: 24 −4 −2 d) 5 : 5 −2 −3 g) 3 : 3

−3

c) 2 : 2

: 59 8 3 e) 2 : 2 6 −2 h) 4 : 4

6

f) 5 : 5 5

i)

Solución: a) 2

−11

b) 5

−12

c) 2

d) 5 g) 3

−2

e) 2

5

f)

h) 4

8

6.- Expresa como una única potencia:

( ) d) (4 ) g) (3 )

3 −5

a) 2

( ) e) (5 ) h) (5 )

11101 : 11−3

( ) f) (2 )

−2 −4

c) 10

8 −3

0 −7

−2 5

−3 − 2

−3 2

−7

512 104 i) 11

b) 3

−3 1

5

i)

[(− 2) ]

2 5

Solución: a) 2

−15

b) 3

d) 4

−3

e)

g) 3

c) 10

8

5 −24 6 h) 5

−6

7.- Expresa como una sola potencia:

( d) (7

a) 3 ⋅ 3 2

g) 4

−3

−5

)

⋅ 4 −6

10

b) 4

) ⋅ (4 )

−5 −2

4 3

h) 3

−10

i) (− 2 )

( e) (9

5 2

:7

f) 2

0

−3

2

−2

⋅ 42 )

:9

( f) (9

3

)

3 −1

⋅ (3 4 : 35 )

314 −4 d) 7

b) 4 e) 9

g) 4

h)

−3

3 −3

−2 −2

2

3 −2

⋅9

)

[

i) (− 2 ) : (− 2 ) 11

Solución: a)

)

3

c) 5 : 5

5 −10 −10 f) 9 5 i) (− 2 ) c)

]

3 2

8.- Simplifica hasta obtener una única potencia: a)

d)

a 4 ⋅ a −3

( )

b) a

(a )

5 −1

a 4 ⋅ a −4 a9

e) g) x

−2

6 2

c)

( )

a −2 ⋅ a 4 a −8

−3

⋅ (x 5 ) ⋅ x −4

(a )

5 −2

⋅ a −5

a

⋅a

7

(a ) ⋅ (a )

2 −3

5 3

f) h)

( ) (x ) ⋅ x x⋅ x

a

2 −2

4 −2

5

Solución: a)

a −16 8 f) a

b)

a6 −9 d) a −21 g) x

c)

a7 −6 e) a 0 h) x

9.- Expresa de la forma más sencilla: −4

−3

⎛b⎞ ⎛b⎞ c) ⎜ ⎟ ⋅ ⎜ ⎟ ⎝a⎠ ⎝a⎠

3 ⎛a⎞ a b) ⎜ ⎟ ⋅ 2 ⎝b⎠ b

x3 y 4 a) 2 6 x y −1

⎡⎛ b ⎞ −3 ⎤ −1 d) ⎢⎜ ⎟ ⎥ ⋅ a ⋅ b a ⎣⎢⎝ ⎠ ⎦⎥

(

(a ) ⋅ b f) a ⋅ (b )

−1

)

2 3

⎛a⎞ a e) ⎜ ⎟ ⋅ ⎝b⎠ b

−2

2

5

5

3 2

Solución:

x y2 b d) a

a)

b)

b2 a

a b a f) b c)

e) 1

10.- Calcula las siguientes raíces cuadradas: a)

64

b)

100

c)

144

d)

1600

e)

16 25

f)

4 49

Solución: a) ± 8 d) ± 40

b) ± 10

c) ± 12

4 e) ± 5

f)

±

2 7

11.- Escribe primero como una única raíz (aplicando las propiedades de las raíces) y luego calcula: a)

9 ⋅ 25

b)

2 ⋅ 32

c)

6 ⋅ 216

d)

40

e)

18

f)

48

10

2

g)

18 ⋅ 2

h)

2⋅ 3⋅ 6

i)

j)

27

k)

24

l)

3

6

3 8 3 ⋅ 3 2 50 2

Solución:

225 = ±15 d) 4 = ±2 g) 36 = ±6 j) 9 = ±3 a)

b) e) h) k)

64 = ±8 9 = ±3 36 = ±6 4 = ±2

1296 = ±36 f) 16 = ±4 i) 4 = ±2 l) 25 = ±5 c)

12.- Introduce factores dentro de la raíz: a) 15 3

b) 2 5

c) 5 2

d) 3 7

e) 2 10

f) 4 5

h) 9 3

i) 3 2

g) 5 3 Solución: a)

b)

675 d) 63 g) 75

e) h)

c)

20 40 243

50 f) 80 i) 18

13.- Extra todos los posibles factores de cada raíz: a)

b)

1800 d) 648 g) 48

c)

300 32 72

e) h)

108 f) 243 i) 200

Solución: a) 30 ⋅

2

b) 10 ⋅ 3

c) 6 ⋅ 3

d) 18 ⋅

2

e) 4 ⋅

2

f) 9 ⋅ 3

h) 6 ⋅

2

i) 10 ⋅

g) 4 ⋅ 3

2

14.- Expresa como una única raíz: a) 3 ⋅ 20

− 2 ⋅ 5 + 45 c) 5 ⋅ 20 − 2 ⋅ 45 + 3 ⋅ 80 e) 3 ⋅ 18 − 5 ⋅ 32 + 6 50

63 − 2 7 d) 5 ⋅ 6 + 600 − 54 f) 32 − 2

b)

Solución: a) 7 ⋅ 5

c) 16 ⋅ 5

b)

7 e) 19 ⋅ 2

d) 12 ⋅ 6

f) 3 ⋅

2

15.- Calcula las siguientes raíces cúbicas: a)

3

d)

4

g)

3

Solución: a) -5 d) 4 g)

4 6

− 125 64 64 216

b)

3

e)

3

h)

3

b) 7 e) -1 h) −

343 −1 −

3375 1000

3

f)

3

i) c) -3 f) 6

15 10

c)

i) 100

3

− 27 216 1000000

16.- Expresa como una única raíz cúbica y después calcula: a) d)

3

3

b)

729 : 3 27 2 ⋅ 3 2 ⋅ 3 16

e)

3

3

25 ⋅ 3 5

c)

81 ⋅ 3 3

f)

3

625

3

−5 16

3 3

2

Solución: a)

3

d)

3

27 = 3 64 = 4

b)

3

e)

3

125 = 5 27 = 3

c)

3

f)

3

− 125 = −5 8=2

17.- Introduce factores dentro de la raíz: a) 7 ⋅ 3 2 c) 9 ⋅ 3 12 Solución: a)

b)

3

686 3 d) 8748

b) 4 ⋅ 3 4

c) 3 ⋅ 3 2

d) 8 ⋅ 3 2

e) 6 ⋅ 3 5 c)

3

256 3 e) 1024

3

54 f) 1080 3

18.- Extrae todos los factores de cada raíz: a)

3

d) Solución:

3

250 3888

b)

3

e)

3

c)

378 5000

3

160 f) 4536 3

a) 5 ⋅ 3 2

b) 3 ⋅ 3 14

c) 2 ⋅ 3 20

d) 6 ⋅ 3 18

e) 8 ⋅ 3 2

f) 6 ⋅ 3 21

19.- Reduce: a)

1 ⋅ b5 3 b

b)

d)

1

e)

g)

a ⋅ b2 ⋅

Solución: a) a d)

x2

g)

a2 b2

x3

: x

a3 b6

h)

b) a ⋅ b

a b2 a h) 2 b

e)

a b3 ⋅ 3 b a a b3

:

c)

b

f)

a

a: b

i)

b3 : a

a b 1 f) a b i) a

c)

a 7 ⋅ b3 b7 ⋅ a5 1: a5 1: a3 b⋅ a a3 ⋅ b

⋅ b

Matemáticas

Ejercicios Tema 4

2º ESO

Bloque I: Aritmética Tema 4: Proporcionalidad, repartos y porcentajes.

1.- Un grifo de caudal constante vierte agua en un depósito cilíndrico. Se sabe que en 5 minutos el nivel del agua ha subido 20 cm. ¿Cuánto subirá el nivel del agua en 13 minutos? 2.- 300 gramos de queso han costado 4,2 €. ¿Cuánto costaba el kilo? 3.- Entrenando en pista, un corredor ha dado 8 vueltas en 12 minutos. Si mantiene el ritmo, ¿Cuánto tardará en dar 5 vueltas? (Expresa la solución en minutos y segundos) 4.- Cuatro operarios pintan una pared en 5 horas. ¿Cuánto tardarán diez pintores en realizar la misma tarea? 5.- Un ganadero tiene forraje para alimentar a sus 20 vacas durante 60 días. Si compra 10 vacas más, ¿Cuántos días podrá alimentarlas (a todas) con las mismas provisiones? 6.- Un tren, a 80 km/h, tarda 5 horas en ir de Jaén a Madrid. ¿A qué velocidad debería hacer el viaje de vuelta para cubrir el recorrido en 4 horas? 7.- Una lavadora industrial, trabajando 8 horas diarias durante 5 días, ha lavado 100 kg de ropa. ¿Cuántos kg de ropa lavará en 12 días trabajando 10 horas diarias? 8.- Un taller, trabajando 8 horas diarias, ha necesitado 5 días para fabricar 1000 cojinetes para ruedas. Ahora debe servir un pedido de 3000 cojinetes, por lo que decide hacer turnos de 10 horas diarias. ¿Cuántos días tardará en cubrir el pedido? 9.- Ocho máquinas tejedoras, en cuatro días, hacen 384 chalecos de punto. ¿Cuántos chalecos fabricarán 5 de esas máquinas en tres días? ¿Y nueve máquinas en dos días? 10.- Un cine, dando dos sesiones diarias, puede dar entrada a 18000 personas en 30 días. ¿A cuántas personas podrá recibir este local en 45 días si amplía su oferta a 3 sesiones diarias? 11.- Ocho máquinas tejedoras, en cuatro días, hacen 384 chalecos de punto. ¿Cuántos días necesitarán cinco de esas máquinas para fabricar 180 chalecos? 12.- Un ganadero necesita 750 kilos de pienso para alimentar a 50 vacas durante 10 días. ¿Durante cuántos días podrá alimentar a 40 vacas con 1800 kilos de pienso? 13.- Por enviar un paquete de 5 kg de peso a una población que está a 60 km de distancia, una empresa de transporte me ha cobrado 9 €. ¿Cuánto me costará enviar un paquete de 15 kg a 200 km de distancia?

14.- Para llenar un pilón de riego hasta una altura de 80 cm se ha necesitado aportar un caudal de 20 litros por minuto durante 1 hora y 20 minutos. ¿Cuánto tiempo tardará en llenarse ese mismo pilón hasta una altura de 90 cm si se le aporta un caudal de 15 litros por minuto? 15.- Doce obreros, trabajando 8 horas diarias, terminan un trabajo en 25 días. ¿Cuánto tardarán en hacer ese mismo trabajo 5 obreros trabajando 10 horas diarias? 16.- Tres amigos, Rafael, Arancha e Iván, han recibido 250 euros por repartir propaganda por los buzones de su barrio. Rafael ha repartido 2 paquetes de octavillas, Arancha tres paquetes e Iván cinco paquetes. ¿Cuánto dinero corresponde a cada uno? 17.- Tres hermanos se han repartido cierta cantidad de dinero de forma directamente proporcional a sus edades. Si el mayor tiene 23 años y le han correspondido 184 euros, ¿Cuánto se llevará cada uno de los otros dos que tienen 15 y 12 años, respectivamente? 18.- Tres socios invierten 20000 €, 30000 € y 70000 €, respectivamente, en un negocio que, al cabo de un año, da 7560 € de beneficios. ¿Cuánto se llevará cada uno si el reparto se hace de forma directamente proporcional al dinero invertido? 19.- Se desean repartir 183 caramelos de forma inversamente proporcional al número de suspensos que han tenido 3 niñ@s: Andrea 3 suspensos, Marta 4 suspensos y Raúl 7 suspensos. ¿Cuántos caramelos le corresponden a cada niñ@? 20.- Reparte 180 bombones de forma inversamente proporcional a las edades de Lidia, Ernesto y Rodrigo, que tienen, respectivamente, 3, 4 y 6 años. 21.- En cierta empresa, de tres trabajadores, se van a repartir 2125 euros de forma inversamente proporcional al número de días que han faltado al trabajo cada uno de ellos (Javier 6 días, María 8 días y Antonio 16 días). Calcula que cantidad se lleva cada trabajador. 22.- Se ha repartido un número en partes inversamente proporcionales a 3, 5 y 7. Calcula el número si la segunda parte es 84. 23.- Tres camareros se reparten 295 € de propinas en partes inversamente proporcionales a los días que faltaron en el trimestre, que fueron 2, 5 y 7. ¿Cuánto le corresponde a cada uno? 24.- Se reparte una gratificación de 1080 € entre los pastores de una ganadería, en partes inversamente proporcionales a las ovejas que han perdido. El primer pastor perdió solo una oveja; el segundo perdió tres ovejas, y el tercero seis ovejas. ¿Cuánto le tocará a cada uno? 25.- En una clase de 30 alumn@s, hoy han faltado 6 a clase. ¿Cuál ha sido el tanto por ciento de ausencias? 26.- Un hospital tiene 210 camas ocupadas, lo que representa el 84% de todas las camas disponibles. ¿De cuántas camas dispone dicho hospital?

27.- De 475 hombres encuestados solamente 76 declaran saber planchar. ¿Qué porcentaje de hombres reconocen que saben planchar? 28.- El 24% de los habitantes de una aldea tienen menos de 30 años. ¿Cuántos habitantes tiene la aldea, si hay 90 jóvenes menores de 30 años? 29.- Un artículo que costaba 60 euros ha subido un 25%. ¿Cuánto cuesta ahora? 30.- Joaquín ganaba 1250 euros al mes y le han subido el sueldo en un 8%. ¿Cuánto gana ahora? 31.- Un abrigo cuesta 280 euros tras subir una subida del 12%. ¿Cuánto costaba antes de la subida? 32.- El valor de mis acciones, tras subir un 5%, es de 525 euros. ¿Cuál era su valor anterior? 33.- Las reservas de agua de cierta región, estimadas hace un mes en 260 hm3, han aumentado un 60%. ¿Cuáles son las reservas actuales? 34.- Las reservas de agua de cierta comunidad han sufrido en el último mes un aumento del 5%. Si actualmente se cifran en 735 hm3, ¿cuáles eran las reservas hace un mes? 35.- Ciertos almacenes anuncian una rebaja del 20% en todos sus artículos. ¿Cuál será el precio rebajado de un artículo que inicialmente se vende a 380 euros? 36.- He pagado 340 euros por un abrigo que estaba rebajado un 15%. ¿Cuál era el precio antes de ser rebajado? 37.- Calcula los precios rebajados (10%) de unos guantes cuyo valor son 18 €, de una falda cuyo valor es de 80 € y de una chaqueta cuyo valor es de 156 €. 38.- Una camisa rebajada en un 5%, tiene un valor de 21,25 €. ¿Cuál era su precio original? 39.- Una aldea que tenía hace 5 años 875 habitantes, ha perdido en el último lustro el 12% de su población. ¿Cuántos habitantes tiene la aldea en la actualidad? 40.- En una tienda de ropa hacen una rebaja del 20% a una chaqueta que cuesta 112 €. Calcula la cantidad que se paga por la chaqueta. 41.- A Sonia le han aplicado un 5% de rebaja en el seguro del coche por no haber tenido incidentes. Si ahora paga 760 euros, ¿cuánto pagaba anteriormente? 42.- Alba ganaba 1400 euros y ha recibido un aumento del 5% en su salario. ¿Cuánto gana ahora? 43.- Alberto pagó el año pasado 350 euros por un servicio de teléfono móvil. Si este año ha pagado 378 euros, ¿qué tanto por ciento ha aumentado en el gasto de teléfono móvil?

44.- Un comerciante paga 400 € por cada figura de cristal que compra. Si desea ganar el 64% del precio de costo, ¿a qué precio se debe vender cada figura? 45.- Una impresora cuesta 218 euros sin descuento y 185,3 euros con descuento. ¿Qué descuento se ha aplicado en el precio de la impresora? 46.- En una tienda un bolso cuesta 150 euros y nos aplican un 16% de I.V.A. ¿Cuánto nos costará el libro? 47.- Por unos libros con el I.V.A. hemos pagado 78 euros, y el I.V.A. de los libros es del 4% ¿Cuánto costaban? 48.- Por unos pantalones hemos pagado 40 euros y nos hicieron el 15% de descuento. ¿Cuánto costaban? 49.- Tras un aumento del 9%, el sueldo de Ramón es de 1417 euros. ¿Qué cobraba antes? 50.- Por la “Play 3” y varios juegos, cuyo valor es de 450 euros, se pagan 405 euros. ¿Cuál es el descuento aplicado?

SOLUCIONES: 1.- 52 cm 2.- 14 € 3.- 7 minutos 30 segundos 4.- 2 horas 5.- 40 días 6.- 100 km/h 7.- 3000 kg 8.- 12 días 9.- 180 chalecos; 216 chalecos 10.- 40500 personas 11.- 3 días 12.- 3 días 13.- 90 € 14.- 2 horas 15.- 48 días 16.- Rafaela 50 €, Arancha 75 € e Iván 125 € 17.- Al de 15 años 120 € y al de 12 años 96 € 18.- 1260, 1890 y 4410 € respectivamente 19.- Andrea 84 caramelos, Marta 63 caramelos y Raúl 36 caramelos 20.- Lidia 80 bombones, Ernesto 60 bombones y Rodrigo 40 bombones 21.- Javier 1000 €, María 750 € y Antonio 375 €. 22.- 284 23.- 175, 70 y 50 €, respectivamente 24.- 720, 240 y 120 euros respectivamente. 25.- 20%

26.- 250camas 27.- 16% 28.- 375 habitantes 29.- 75 € 30.- 1350 € 31.- 250 € 32.- 500 € 33.- 416 hm3 34.- 700 hm3 35.- 304 € 36.- 400 € 37.- Guantes: 16,2 €; Falda: 72 €; Chaqueta: 140,4 € 38.- 22,36 € 39.- 770 habitantes 40.- 89,6 € 41.- 800 € 42.- 1470 € 43.- 8% 44.- 656 € 45.- 15% 46.- 174 € 47.- 75 € 48.- 34 € 49.- 1300 € 50.- 10%

Matemáticas

Ejercicios Tema 5

2º ESO

Bloque II: Álgebra Tema 5: Polinomios.

1.- Llamando n a un número cualquiera, escribe en lenguaje algebraico los siguientes resultados: a) La mitad de n. b) La mitad de n menos cuatro unidades. c) La mitad del resultado de restarle cuatro unidades a n. d) El doble del resultado de sumarle tres unidades a n. 2.- Utiliza el lenguaje algebraico para expresar: a) Un múltiplo cualquiera de cinco. b) Un múltiplo cualquiera de dos. c) Cualquier número que no sea múltiplo de dos. d) Cualquier número que deje un resto de tres unidades al dividirlo entre 5. e) El lado de un cuadrado mide x metros. ¿Cuánto mide su área? f) Los lados de un rectángulo miden x metros e y metros, respectivamente. ¿Cuánto mide su perímetro? g) El siguiente de un número. h) El anterior de un número. i) Cualquier número par. j) Cualquier número impar. 3.- Reduce las siguientes expresiones: a) 7 a − 5a b) 3 x + 5 x − 4 x c) 5 x − 2 + 3 x + 7 4.- Reduce: a) 3 x ⋅ 2 x b) 5 x ⋅ x

5.- Reduce: a) 8a : 4a b)

2

6 x : 3x 3 c) 5 x : 15 x

6.- Reduce: a) (− 3x )

( ) c) (3x )

b) 7x

4

5 2

3 3

2

2

f) (a + 1) − (a − 1)

d) 2ab ⋅ 3a

e) 3ab ⋅ (− 5ab )

2

c) (− 2 x ) ⋅ 4 x

d) 6 x − 3 x + 4 x − 5 x e) 3a − (1 + 2a )

2

f) a b ⋅ b a 2

2

d) 8ab : 2ab e)

3a 2 b 3 : 6ab 2 2 f) 4ab : 4a b

( ) e) (2x ) f) (− 2x ) d) − 2x

3 5

5 2

5 3

7.-Opera y reduce:

[(4 x ) ⋅ (3x )] : (6 x 2 ) 2 d) (5 x ) ⋅ [(6 x ) ⋅ (3 x )]

[(2 x ) ⋅ (− 5 x )] ⋅ (3x ) 2 b) x : ( x ⋅ x )

a)

c)

8.- Quita paréntesis y reduce: a) ( x − 1) − ( x − 5)

f) (3 x − 4 ) + (3 x + 4 )

c) 5 x − (3 x − 2 )

h) (2 − 5 x ) − (3 − 7 x )

b) 2 x + (1 + x )

(

d) 7 x − 8 x + 9 + 5 x 2

(

2

g) (1 − x ) − (1 − 2 x )

)− 7x − 2

e) 2 x − 5 x − 3 ⋅ 2 x + 4 x − 5 x − 6 2

2

2

9.- Calcula el valor numérico del monomio a)

a = −1; b = 2; c = −3

( j) 7(x

)

i) − 3 x − 5 + 9 x − 7 x + 4 + 10 x

)

1 2 3 5 a b c para 2 b)

2

2

2

− 6 x + 9 ) − 7(3x − 7 x 2 + 9)

a = 3; b = −2; c = 0

10.- Calcula el valor numérico del monomio − 2 x y para 3

a) x = 2; b = −3

2

b) x = −1; b = −5

11.- Para los polinomios

P ( x) = 3 x 5 − 6 x 4 + 2 x 3 − x 2 − 4 Q( x) = x 2 − 6 x + 12 R ( x) = 12 x 8 − 6 x 7 − x 6 + 4 x 5 + 3x 4 − 14 x 3 − x 2 − x + 2 S ( x) = − x 4 − 6 x 3 + 12 x 2 + x rellena la siguiente tabla: POLINOMIO

TÉRMINOS

COEFICIENTES

COEFICIENTE PRINCIPAL

TÉRMINO INDEPENDIENTE

GRADO

P(x) Q(x) R(x) S (x)

12.- Dado el siguiente polinomio, A( x ) = 2 x − x + 5 x − 9 x + 3 , calcula el valor numérico 4

del polinomio A(x) para: a) x = 0 b) x = −3 c) x = 2

3

2

13.- Dado el siguiente polinomio, P (a ) = − a + 5a − 3a − a − a + 12 , calcula el valor 7

numérico del polinomio

4

3

2

P (a ) para:

a) a = 0 b) a = 1 c) a = −5 14.- Dados los polinomios:

P ( x) = 5 x 4 − x 2 + 6 x − 1 Q( x) = 3x 4 − x 3 + 6 x 2 + 2 x + 3 R ( x) = − x 4 − x 3 + 7 x 2 − 4 calcula:

P ( x) + R ( x) b) P ( x) − Q ( x ) c) P ( x) + Q( x) + R ( x)

− P( x) + R( x) e) − P ( x ) + Q ( x ) − R ( x ) f) P ( x) − Q( x) − R ( x)

a)

d)

15.- Dados los polinomios

A( x) = x 3 − 5 x 2 − 2 B ( x) = 4 x 4 − 6 x 3 + 3 C ( x) = −4 x 4 − x 3 + 6 x 2 − 4 x − 5 D ( x) = − x 3 + 6 x 2 − 6 x − 6 E ( x) = − x 4 − x 3 − x 2 − x − 1 calcula:

a) − A( x) + B ( x ) + C ( x )

e) − A( x ) − C ( x) − E ( x )

C ( x) + D( x) − E ( x) c) − B ( x) − C ( x ) − E ( x ) d) A( x) + B ( x) + C ( x) + D( x) + E ( x)

− C ( x) − D ( x) − E ( x) g) − A( x ) − B ( x ) − C ( x ) h) − A( x) − B ( x) − C ( x) − D( x)

b)

f)

16.- Para los polinomios del ejercicio 14 calcula: a) P ( x) ⋅ Q ( x) 17.- Para los polinomios del ejercicio 15 calcula

b) P ( x) ⋅ R ( x )

A( x) ⋅ B( x)

18.- Realiza los siguientes productos de polinomios:

( b) (5 x + x c) (x + 6 x

)(

( )( ) + 2 x − x − x + 1) ⋅ ( x − 1) e) (− x + x + 3 x − 2 x − 4 ) ⋅ (2 x − x + 2 ) − x + 9 x + 2) ⋅ (2 x + 6 x − 12) f) (3x + 7 x − 11x + 4) ⋅ (5 x − 4 x − 9)

a) 2 x − x + 2 x − 3 ⋅ x − 3 x + 4 4

2

5

4

5

3

3

2

)

d) 5 x − x − 7 ⋅ x − x − 1 2

2

2

6

6

3

3

(2 x + 5)2 2 b) (a + 3) ⎞ ⎛x + 2⎟ ⎠ ⎝2

c) ⎜

2

2

3

2

19.- Desarrolla: a)

4

e) f)

2

(y + y )

2 2

(x + 12)2 ⎞ ⎛3 + x2 ⎟ ⎠ ⎝4

g) ⎜

2

2

2

(

)

h) (5 x + 7 )

2 2

d) 3 x + 2 x 4

20.- Desarrolla: a) (5 x − 2 ) b) (a − 5)

(2 x

4

2

− 5x 2 )

2

a) (2 x + 5) ⋅ (2 x − 5)

⎛x ⎞ ⎛x ⎞ + 3⎟ ⋅ ⎜ − 3⎟ ⎝3 ⎠ ⎝3 ⎠ 4

2

)⋅ (3x

4

2

h)

(5 x − 6)2

e)

(y + y )⋅ (y − y ) 2

2

f) (1 − x ) ⋅ (1 + x )

b) ⎜

c) 3 x + 2 x

2

⎛3 2⎞ g) ⎜ − x ⎟ ⎝2 ⎠

21.- Desarrolla:

(

)

2 2

f) ( x − 10 )

2

⎛x ⎞ c) ⎜ − 3 ⎟ ⎝3 ⎠ d)

(

e) y − y

2

2

− 2x 2

)

⎞ ⎛3 ⎞ ⎛3 + x2 ⎟ ⋅ ⎜ − x2 ⎟ ⎠ ⎝2 ⎠ ⎝2 h) (a + 5) ⋅ (a − 5)

g) ⎜

d) (5 x + 7 ) ⋅ (5 x − 7 )

22.- Extrae factor común en las siguientes expresiones algebraicas:

5x − 5 y 2 b) 15 x + 3 x 3 2 c) x + 2 x + x 2 d) 8 x − 6 x 2 2 e) 2 x y + 6 xy 5 3 f) 6 x − 2 x 4 3 2 3 2 g) − 6a b + 12a b − 3a b

h) 4 x y + 6 xy − 2 xy

a)

2

2

i) 9 x y + 6 xy − 3 xy 2

2

j) 5a + 10 k) 3 xy + 6 xz + 3 x

4x 2 + 2x3 2 3 4 2 6 2 4 2 m) 16a bc − 18a b c − 8a b c 2 n) 2ab + a b l)

23.- Extrae factor común en las siguientes expresiones algebraicas: a) 6a b − 8a b 3

2

4

c) 12a b − 18a b

5

4

b) 18 x y z + 12 x y z − 6 x y z 2

5

2

2

3

3

3

3

4

5

3

6

d) 6 x y z + 15 x y z − 18 x y z 5

2

3

2

24.- Factoriza los siguientes polinomios: a) x − 4 x + 4

i) x + 8 x + 16

x 2 + 12 x + 36 2 c) 25 − 10 x + x 2 d) x + 3 x 2 e) 100 x − 64 4 2 f) 4 x − 16 x 3 g) 10 x − 90 x 5 4 3 h) x − 10 x + 25 x

9 − 12 x + 4 x 2 2 k) 25 − x 4 2 l) 3 x − 3 x 3 2 m) x + 2 x + x 3 2 n) x − 2 x + x 3 2 o) x + 6 x + 9 x 2 p) x + 14 x + 49

2

b)

2

j)

25.- Factoriza los siguientes polinomios: a) 12 x + 8 x 4

3

e) 2 x + 12 x + 18 x 3

2

5

3

2

3

5

5 x 3 + 20 x 2 + 20 x 2 c) 9 x − 30 x + 25 4 3 2 d) 6 x + 12 x + 6 x b)

9x 2 − 4 4 3 2 g) 5 x − 10 x + 5 x 5 4 3 h) 16 x + 48 x + 36 x f)

26.- Simplifica las siguientes fracciones algebraicas: a) b) c) d) e) f) g) h)

x 2 − 2x x2 − 4 x 2 + 3x x 2 + 6x + 9 x 2 + 2x + 1 x2 −1 x 2 − 25 x 2 + 10 x + 25 x −1 x2 −1 5− x 25 − 10 x + x 2 x2 −1 x 2 − 2x + 1 x 2 − 6x + 9 x2 − 9

x2 −1 x +1 9x 2 − 4 j) 3x − 2 x 2 + 6x + 9 k) x2 − 9 x 2 − 25 l) 2 x + 25 − 10 x x2 + x m) 2 x + 2x + 1 15 x + 15 n) 10 x + 10 25 + 10 x + x 2 o) 25 − x 2 x+3 p) 2x + 6 i)

SOLUCIONES: 1.-

2.-

n 2 n b) −4 2

a)

c)

n−4 2

d) 2 ⋅ (n + 3)

a) 5 x

f) 2 ⋅ ( x + y )

b) 2 x c) 2 x + 1 o 2 x − 1 d) 5 x + 3

g) x + 1 h) x − 1 i) 2 x

e) x

j) 2 x + 1 o 2 x − 1

2

3.-

a) 2a b) 4 x c) 8 x + 5

d) 3 x − x e) a − 1 f) 2

4.-

a) 6x

2

d) 6a b

b) 5x

3

e) − 15a b

c) 5.-

2

2

− 8x 3

f)

a) 2

a)

7.-

a) − 30x

8.-

a 3b 3

ab 2 e) 2 b f) a

1 3x 2

6.-

2

d) 4

b) 2 x c)

2

− 32 x15 10 e) 4x 15 f) − 8x d)

81x 4 10 b) 49x 9 c) 27x 3

c) 2

b) 1

d)

a) 4 b) 3 x + 1 c) 2 x + 2

f) 6 x g) x h) 2 x − 1

d) − 13 x − 11

17 x 2 − 12 x + 1 2 j) 56 x − 63x

2

e)

− 16 x 2 + 10 x + 18

90x 4

i)

9.-

a) -972

b) 0

10.-

a) -144

b) 50

11.POLINOMIO

P(x)

TÉRMINOS

3 x 5 ;−6 x 4 ;+2 x 3 ; − x 2 ;−4

COEFICIENTE PRINCIPAL

TÉRMINO INDEPENDIENTE

GRADO

3;−6;2;−1;−4

3

-4

5

1;−6;12

1

12

2

12

2

8

-1

0

4

x 2 ;−6 x;12

Q(x)

12 x 8 ;−6 x 7 ;− x 6 ;

R ( x)

COEFICIENTES

4 x 5 ;3x 4 ;−14 x 3 ; − x 2 ;− x;2

S ( x)

− x 4 ;−6 x 3 ; 12 x 2 ; x

12;−6;−;4;3;−14; − 1;−1;2

− 1;−6;12;1

12.-

a) 3 b) 264 c) 29

13.-

a) 12 b) 11 c) 81617

14.-

a)

4x 4 − x3 + 6x 2 + 6x − 5 4 3 2 b) 2 x + x − 7 x + 4 x − 4 4 3 2 c) 7 x − 2 x + 12 x + 8 x − 2

− 6 x 4 − x 3 + 8x 2 − 6 x − 3 4 e) − x − 4 x + 8 4 3 2 f) 3 x + 2 x − 14 x + 4 x

15.-

a)

− 8 x 3 + 11x 2 − 4 x 4 3 2 b) − 3 x − x + 13 x − 9 x − 10 4 3 2 c) x + 8 x − 5 x + 5 x + 3 4 3 2 d) − x − 8 x + 6 x − 11x − 11

5x 4 + x 3 + 5x + 8 4 3 2 f) 5 x + 3 x − 11x + 11x + 12 3 2 g) 6 x − x + 4 x + 4 3 2 h) 7 x − 7 x + 10 x + 10

16.-

a)

17.-

d)

e)

P ( x) ⋅ Q( x) = 15 x 8 − 5 x 7 + 27 x 6 + 29 x 5 + 35 x 3 + 3x 2 + 16 x − 3 8 7 6 5 4 3 2 b) P ( x) ⋅ R ( x) = −5 x − 5 x + 36 x − 5 x − 32 x + 43 x − 3 x − 24 x + 4

A( x) ⋅ B( x = 4 x 7 − 26 x 6 + 30 x 5 − 8 x 4 + 15 x 3 − 15 x 2 − 6 2 x 6 − 6 x 5 + 7 x 4 + 5 x 3 − 13x 2 + 17 x − 12 6 5 4 3 b) 5 x − 4 x + x − 3 x + 2 x − 1 8 6 5 4 3 2 c) 2 x + 18 x − 14 x + 54 x − 74 x + 66 x − 96 x − 24 8 7 6 4 3 2 d) 5 x − x − 7 x − 5 x + x + 2 x + x + 7 9 8 7 6 5 4 3 2 e) − 2 x + x + 2 x − 3 x + 6 x − 5 x − 6 x + 10 x − 4 x − 8 5 4 3 2 f) 15 x + 23 x − 110 x + x + 83 x − 36

18.-

a)

19.-

a)

4 x 2 + 20 x + 25 2 b) a + 6a + 9

y4 + 2y3 + y2 2 f) x + 24 x + 144

e)

c)

x2 + 2x + 4 4 8 6 4 d) 9 x + 12 x + 4 x

3 2 9 x + 2 16 2 h) 25 x + 70 x + 49

25 x 2 − 20 x + 4 2 b) a − 10 x + 25 x2 c) − 2x + 9 9 12 6 4 d) 4 x − 20 x + 25 x

y4 − 2y3 + y2 2 f) x − 20 x + 100 9 4 2 g) x − 3 x + 4 2 h) 25 x − 60 x + 36

g)

x4 +

20.-

a)

21.-

a)

4 x 2 − 25

e)

y2 − y4

b)

x2 −9 9

f)

1− x2

c)

9x8 − 4x 4

d)

25 x 2 − 49

22.-

e)

9 − x4 4 2 h) a − 25 g)

h) 2 xy (2 x + 6 y − 1)

5( x − y ) b) 3 x(5 x + 1) 2 c) x(x + 2 x + 1) d) 2 x(4 x − 3) e) 2 xy ( x + 3 y ) 3 2 f) 2 x (3 x − 1) 2 2 2 g) 3a b(− 2a b + 4 − ab )

2 x 2 (2 + x ) 2 2 2 4 3 m) 2a bc (8c − 9a bc − 4b ) n) ab(2 + a )

a)

i) 3 xy (3 x + 2 y − 1)

j) 5(a + 2 )

k) 3 x( y + 2 z + 1)

l)

23.-

a)

2a 3b 2 (3 − 4ab 3 ) 2 3 2 2 2 b) 6 x y z (3 y + 2 z − xz )

6a 3b 5 (2a − 3b ) 2 2 3 3 3 2 d) 3 x y z (2 x + 5 y − 6 yz )

24.-

a)

( x − 2 )2 2 b) ( x + 6 ) 2 c) (5 − x ) d) x( x + 3) e) (10 x + 8)(10 x − 8) 2 f) 4 x ( x + 2 )( x − 2 ) g) 10 x( x + 3)( x − 3) 2 3 h) x ( x − 5)

( x + 4 )2 2 j) (3 − 2 x ) k) (5 + x )(5 − x ) 2 l) 3 x ( x + 1)( x − 1) 2 m) x( x + 1) 2 n) x( x − 1) 2 o) x( x + 3) 2 p) ( x + 7 )

25.-

a) b)

4 x 3 (3x + 2) 5 x(x + 2)

2

(3x − 5)2 2 d) 2 x( x + 3) c)

c)

i)

e) (3 x + 2 ) ⋅ (3 x − 2 ) f) g) h)

5 x 2 ( x − 1)

2

6 x 2 ( x + 1)

2

4 x 3 (2 x + 3)

2

26.-

a) b) c) d) e) f) g) h)

x x+2 x x+3 x +1 x −1 x−5 x+5 1 x +1 1 5− x x +1 x −1 x−3 x+3

i) x − 1 j) 3 x + 2

x+3 x−3 x+5 l) x−5 x m) x +1 3 n) 2 1 o) 5− x 1 p) 2 k)

Matemáticas

Ejercicios Tema 6

2º ESO

Bloque II: Álgebra Tema 6: Ecuaciones de primer y segundo grado.

A) Resuelve las siguientes ecuaciones de primer grado: 1.- 5 x + 3 x = 50 − 2 x 2.- 2 x − 5 x = −6 x + 12 3.- 4 x + 2 = 3 x + 8 − x 4.- 5 x − 9 = 3 x − 3

25.-

5.- 3( x − 5) = 2( x − 4 )

26.-

7.- 5( x − 3) − (2 x + 1) = 4( x − 1) − 1

27.-

6.- 4( x − 1) + 3(3 x − 1) = 28 − 3( x + 1) 8.- 3 x − 2(3 − x ) − 17 = 3( x + 1) − 4( x − 1) 9.- 3(4 x − 2 ) − 2(5 x + 3) = 5 − 3( x − 1)

28.-

10.- 3(2 x − 5) − 2(3 − 4 x ) + 5( x − 1) = 12

29.-

12.- 4 − 5 x − (10 − x ) = 3(1 − x ) − 2( x + 3)

30.-

14.- 2 x − ( x − 2 ) − 2(10 − x ) = 5( x − 2 )

31.-

11.- 3 x − 4(2 − 3 x ) − 16 = 5 x − 2(4 x + 3) 13.- 2( x − 1) + 3(1 − 2 x ) = 4( x + 1) + 13

15.- 3(2 − 4 x ) = 8 x − ( x − 2 ) − 15 + 2( x − 1) 16.17.18.19.20.21.22.23.24.-

x +1 = 4 − x 2 x 10 +2= −x 3 3 x x 1 −1 = − 2 6 3 2x x x − = 5 2 5 x x −1 x + = 2 4 3 x + 2 4x x+ = 6 3 5 x − 1 3x x− = +1 2 5 x −1 x = −2 4 6 x−4 14 2− = x− 3 3

32.33.34.35.36.37.38.39.40-

2 x x + 2 3x − = +1 3 6 2 x x − 2 31 − = − 2x 3 12 24 x −1 x +1 + = x+2 2 3 x +1 x − 4 1 = + 6 3 3 2− x x−3 x 1 = + + 3 4 7 7 x − 1 2x + 1 1 1 − x = − − 12 3 6 4 x + 3 x −1 x +1 + = 7 14 2 x − 3 x − 5 x −1 − = 4 6 9 x + 1 3x + 1 1 2 x + 1 = − − 3 9 2 18 2 3x − 1 2 x − 1 x+ − = 3 5 3 4x + 1 4x + 1 2x − 1 = − 3 3 5 x −1 x +1 x − −1 = 3 6 2 5− x 1 − x 2( x + 1) − −2= 2 2 3 3x + 2 x − 2 4x − 3 = 1− − 5 35 7 2x + 3 x + 7 1 5( x + 3) =− − − 8 2 8 2 x−3 x+5 x+2 1 = − − 8 20 5 2

B) Resuelve las siguientes ecuaciones de segundo grado incompletas: 1.- 6 x = 0 2

2.3.4.5.6.7.8.-

x 2 − 25 = 0 x 2 − 64 = 0 x 2 − 2x = 0 x 2 − 81 = 0 x 2 − 16 = 0 3x 2 − 4 x = 0 x 2 = 3x

9.- 4 x − 25 = 0 2

5x 2 + 7 x = 0 2 11.- 4 x − 1 = 0 2 12.- 2 x + x = 0 2 13.- 9 x − 1 = 0 2 14.- x + 5 x = 0 −1 2 15.x =0 4 10.-

C) Resuelve las siguientes ecuaciones de segundo grado completas: 1.- x − 3 x − 10 = 0

13.- 4 x − 3 x − 10 = 0

x 2 − 2x − 3 = 0 2 3.- x + 2 x − 24 = 0 2 4.- 3 x + x − 2 = 0 2 5.- 2 x + x − 3 = 0 2 6.- 5 x + 9 x − 2 = 0 2 7.- 9 x − 15 x + 4 = 0 2 8.- 7 x + 20 x − 3 = 0 2 9.- x + x − 6 = 0 2 10.- x + 3 x − 4 = 0 2 11.- x − 3 x + 2 = 0 2 12.- 2 x + 3 x − 2 = 0

9x 2 − 9x + 2 = 0 2 15.- x − 9 x + 20 = 0 2 16.- 3 x + 4 x − 15 = 0 2 17.- 4 x − 12 x − 7 = 0 2 18.- 5 x − 28 x + 15 = 0 2 19.- 5 x − 12 x + 4 = 0 2 20.- 3 x − 11x − 4 = 0 2 21.- 9 x − 18 x + 8 = 0 2 22.- 2 x − x − 6 = 0 2 23.- 5 x − 14 x − 3 = 0 2 24.- 5 x − 24 x − 5 = 0

2

2.-

2

14.-

D) Sin resolver las siguientes ecuaciones, determina cuántas soluciones tienen: 1.- x − 3 x + 8 = 0 2

2.3.4.5.6.7.8.-

x 2 − 4x + 4 = 0 2x 2 − 9x + 7 = 0 4x 2 + 6x + 5 = 0 6x 2 + x + 1 = 0 2 x 2 − 3x + 7 = 0 x 2 + 3x + 2 = 0 x 2 + 10 x + 25 = 0

9.- 3 x + 7 x − 1 = 0 2

10.11.12.13.14.15.16.-

2 x 2 − 5 x + 20 = 0 x 2 + 6x + 9 = 0 3x 2 − 4 x − 2 = 0 x 2 + 3x − 7 = 0 2 x 2 − 3x + 5 = 0 x 2 + 4x + 4 = 0 4x 2 − 4x + 1 = 0

PROBLEMAS: 1.- Encuentra un número tal que el cuádruple de dicho número más 20 unidades sea igual a 68. 2.- Halla tres números enteros consecutivos cuya suma sea 189. 3.- La base de un rectángulo mide 9 cm más que la altura. Si su perímetro mide 74 cm, ¿Cuáles serán las dimensiones del rectángulo? 4.- Una madre tiene 35 años más que su hijo, y dentro de 15 años la edad de la madre será el doble de la del hijo. ¿Cuántos años tienen en la actualizad? 5.- Calcula un número cuya cuarta parte más la sexta parte sumen 15 unidades. 6.- De un depósito lleno de agua se saca primero la mitad del agua que contiene, y después, un quinto del resto. Si en el depósito quedan 600 litros, ¿Cuál es la capacidad del depósito? 7.- En un triángulo isósceles, cada uno de los lados iguales es 4 cm más largo que el lado desigual. Si el perímetro del triángulo mide 44 cm, ¿Cuál es la longitud de cada lado? 8.- La edad de un padre es cinco veces la del hijo. Si dentro de dos años la edad del padre será cuatro veces la del hijo, ¿Cuál es la edad actual de cada uno? 9.- La suma de tres números pares consecutivos es 60. Calcula dichos números. 10.- De una pieza de tela se vende la mitad, y después, la tercera parte de la longitud inicial. Si quedan 4 m de tela, ¿Cuál era la longitud inicial de la pieza? 11.- Se han comprado por 83 €, unos zapatos y unos pantalones que costaban 110 €. Si en los zapatos han rebajado el 20% y en los pantalones el 30%, ¿Cuál era el precio inicial de cada artículo? 12.- En un triangulo isósceles, el ángulo desigual mide la cuarta parte del valor de los ángulos iguales. Calcula el valor de los tres ángulos. 13.- Cada uno de los lados iguales de un triángulo isósceles mide el triple que el lado desigual. Si su perímetro mide 56 cm, calcula la longitud de los lados del triángulo. 14.- En un rectángulo la base es el doble que la altura. Si su perímetro mide 72 cm, calcula la longitud de sus lados. 15.- Pablo tiene 14 años, y su madre, 42 años. ¿Cuántos años deben transcurrir para que la edad de la madre sea el doble que la de Pablo? 16.- Un padre tiene el triple de la edad de su hijo. Si el padre tuviera 10 años menos y el hijo 18 años mas, los dos tendrían la misma edad. Calcula la edad actual de cada uno. 17.- Un padre tiene 50 años, y sus hijos, 12 y 7 años. ¿Cuántos años han de transcurrir para que la edad del padre sea igual a la suma de las edades de sus hijos?

18.- Las edades de una madre y su hijo suman 40 años, y dentro de 14 años, la edad de la madre será el triple de la del hijo. Calcula la edad actual de cada uno. 19.- Irene tiene actualmente el triple de la edad de Luis. Dentro de 12 años, la edad de Irene será el doble de la de Luis. Calcula la edad actual de cada uno. 20.- Teresa tiene 6 años, y su madre, 36 años. ¿Cuántos años han de pasar para que la edad de la madre sea el triple de la de Teresa? 21.- Halla un número cuya mitad más su cuarta parte sea igual a dicho número. 22.- Calcula las dimensiones de un rectángulo cuya altura mide 3 cm menos que la base y cuyo perímetro mide 50 cm.

SOLUCIONES: Soluciones de las ecuaciones del apartado A) 1.- x = 5 2.- x = 4 3.- x = 3 4.- x = 3 5.- x = 7 6.- x = 2 7.- x = −11 8.- x = 5 9.- x = 4 10.- x = 2 11.- x = 1 12.- x = 3 13.- x = −2 14.- x = −4 15.- x = 1 16.- x = 2 17.- x = 1 18.- x = 2 19.- x = 0

3 5 21.- x = −6 20.- x =

5 22.- x = − 21 23.- x = −21

24.- x = 6 25.- x = −

4 3

1 2 x = −13 x=3 x = −1 2 x=− 5 1 x=− 2 x=7 x=2 9 x= 2 1 x= 2 9 x= 4 x = −1 17 x= 20 x = −2 x = −1

26.- x = 27.28.29.30.31.32.33.34.35.36.37.38.39.40.-

Soluciones de las ecuaciones del apartado B) 1.- x = 0 2.- x = 5, x 3.4.5.6.7.8.9.-

= −5 x = 8, x = −8 x = 0, x = 2 x = 9, x = −9 x = 4, x = −4 4 x = 0, x = 3 x = 0, x = 3 5 5 x = ,x = − 2 2

7 5 1 1 x = ,x = − 2 2 1 x = 0, x = − 2 1 1 x = ,x = − 3 3 1 x = 0, x = − 5 x=0

10.- x = 0, x = − 11.12.13.14.15.-

Soluciones de las ecuaciones del apartado C) 1.- x = −2; x = 5

x = −1; x = 3 3.- x = −6; x = 4 2 4.- x = −1; x = 3 3 5.- x = − ; x = 1 2 1 6.- x = −2; x = 5 1 4 7.- x = ; x = 3 3 1 8.- x = −3; x = 7 9.- x = −3; x = 2 10.- x = −4; x = 1 11.- x = 1; x = 2 1 12.- x = −2; x = 2 5 13.- x = − ; x = 2 4 2.-

1 2 ;x = 3 3 x = 4; x = 5 3 x = −3; x = 5 1 7 x = − ;x = 2 2 3 x = ;x = 5 5 2 x = ;x = 2 5 1 x = − ;x = 4 3 2 4 x = ;x = 3 3 3 x = − ;x = 2 2 1 x = − ;x = 3 5 1 x = − ;x = 5 5

14.- x = 15.16.17.18.19.20.21.22.23.24.-

Soluciones del ejercicio D) 1.- Ninguna solución. 2.- Una solución. 3.- Dos soluciones. 4.- Ninguna solución. 5.- Ninguna solución. 6.- Ninguna solución. 7.- Dos soluciones. 8.- Una solución.

9.- Dos soluciones. 10.- Ninguna solución. 11.- Una solución. 12.- Dos soluciones. 13.- Dos soluciones. 14.- Ninguna solución. 15.- Una solución. 16.- Una solución.

SOLUCIONES A LOS PROBLEMAS: 1.-

num: x 4x + 20 = 68 Dicho número es el 12

2.-

num1: x num2: x + 1 num3: x + 1 + 1 x + x + 1 + x + 1 + 1 = 189 Los números son el 62, 63 y 64

3.-

altura: x base: x + 9 2x + 2( x + 9) = 74 Base: 14 cm Altura: 23 cm

4.-

Edad Hijo: x Edad Madre: x + 35 x + 50 = 2(x + 15) Edad Hijo: 20 años Edad Madre: 55 años

5.-

num: x

x x + = 15 4 6 El número es el 36 6.-

capacidad inicial depósito: x

x−

x x − = 600 2 10

La capacidad inicial del depósito es de 1500 litros

7.-

lado desigual: x lados iguales: x + 4 x + 2(x + 4) = 44 Lado desigual: 12 cm Lados iguales: 16 cm

8.-

edad hijo: x edad padre: 5x 5x + 2 = 4(x + 2) Edad Hijo: 6 años Edad Padre: 30 años

9.-

num1: x num2: x + 1 num3: x + 1 + 1 x + x + 1 + x + 1 + 1 = 60 Los números son el 19, 20 y 21

10.-

longitud inicial: x

x−

x x − =4 2 3

La longitud inicial es de 24 m 11.-

precio inicial zapatos: x precio inicial pantalones: 110 – x 0,8x + 0,7(110 - x) = 83 Precio inicial zapatos: 60 euros Precio inicial pantalones: 50 euros

12.-

ángulos iguales: x Ángulo desigual:

2x +

x 4

x = 80 4

Ángulos iguales: 80º Ángulo desigual: 20º

13.-

lado desigual: x lados iguales: 3x x + 2(3x) = 56 Lado desigual: 8 cm Lados iguales: 24 cm

14.-

altura: x base: 2x 2x + 2(2x) = 72 Altura: 12 cm Base: 24 cm

15.-

años que han de transcurrir: x 42 + x = 2(14 + x) Deben pasar 14 años

16.-

edad hijo: x edad padre: 3x 3x – 10 = x + 18 Edad Hijo: 14 años Edad Padre: 42 años.

17.-

años que han de pasar: x 12 + x + 7 + x = 50 + x Deben transcurrir 31 años

18.-

Edad madre: x Edad hijo: 40 – x X + 14 = 3(40 – x + 14) Edad Madre: 37 años Edad Hijo: 3 años

19.-

Luis: x Irene: 3x 3x + 12 = 2(x + 12) Luis: 12 años Irene: 36 años

20.-

años que han de pasar: x 36 + x = 3(6 + x) Deben transcurrir 9 años

21.-

num: x

x x + =x 2 4 Dicho número es el 0 22.-

base: x altura: x – 3 2x + 2(x - 3) = 50 Base: 14 cm Altura: 11 cm

Matemáticas

Ejercicios Tema 7

2º ESO

Bloque II: Álgebra Tema 7: Sistemas de ecuaciones lineales.

1.- Resuelve los siguientes sistemas mediante el método de sustitución:

2x + y = 4 ⎫ ⎬ 3x + 4 y = 11⎭ y − 3x = 0 ⎫ b) ⎬ 3x + y = 12⎭ 2 x + 3 y = −5⎫ c) ⎬ x − 2y = 8 ⎭ 3x − y = 13 ⎫ d) ⎬ 2 x − 3 y = 18⎭

a)

e)

2 x + 3 y = 12⎫ ⎬ 5x − 7 y = 1 ⎭

3 x + 4 y = 16⎫ ⎬ 5 x − 9 y = 11 ⎭ 2x + y = 0 ⎫ g) ⎬ 3 x + 4 y = −5⎭ 3 x − 2 y = 10⎫ h) ⎬ x + 3y = 7 ⎭ 2x − y = 8 ⎫ i) ⎬ 4 x + 5 y = 2⎭ f)

j)

5 x + 2 y = 16⎫ ⎬ 2x + 3y = 2 ⎭

2.- Resuelve los siguientes sistemas mediante el método de igualación:

y − 3 x = 6⎫ ⎬ x+ y =2 ⎭ x + y =1 ⎫ b) ⎬ 3 x − y = −9⎭ 3x + y = 5 ⎫ c) ⎬ − 4 x + y = −9 ⎭ 3 x − 2 y = 10⎫ d) ⎬ x + 3y = 7 ⎭ 2x − y = 8 ⎫ e) ⎬ 4 x + 5 y = 2⎭

a)

x+ y =2 ⎫ ⎬ x − y = 10⎭ x − 4y = 1 ⎫ g) ⎬ 2 x − 7 y = 3⎭ 2 x + 3 y = 5⎫ h) ⎬ 5 x + 6 y = 8⎭ x + 2 y = −5⎫ i) ⎬ x − 3y = 5 ⎭ 3 x + 2 y = 11 ⎫ j) ⎬ 5 x + 2 y = 21⎭ f)

3.- Resuelve los siguientes sistemas mediante el método de reducción:

3 x + 2 y = 23⎫ ⎬ 5 x − 2 y = 17 ⎭ 5 x + 3 y = 7⎫ b) ⎬ 4 x + 3 y = 5⎭ 5 x + y = 13 ⎫ c) ⎬ 4 x + y = 10⎭ 2 x + 3 y = −4⎫ d) ⎬ 5 x − 6 y = 17 ⎭

a)

2x + 3y = 7 ⎫ ⎬ − 2 x + 5 y = 1⎭ 3x + 5 y = 7 ⎫ h) ⎬ 4 x + 5 y = 11⎭ x + 2y = 4 ⎫ i) ⎬ x − 3 y = −11⎭ 5 x + 3 y = 12 ⎫ j) ⎬ 7 x − 6 y = 27 ⎭ g)

4x + 3y = 1 ⎫ ⎬ − 6 x + 5 y = 27 ⎭ 3 x + 5 y = −12⎫ f) ⎬ 4 x − 7 y = 25 ⎭

e)

− 2 x − 3 y = 11⎫ ⎬ 5 x − 4 y = 30 ⎭ 5x + 4 y = 7 ⎫ l) ⎬ 7 x − 6 y = 33⎭ k)

4.- Resuelve los siguientes sistemas mediante el método de reducción:

2x − y = 8 ⎫ ⎬ 4 x + 5 y = 2⎭ x + y = 4⎫ b) ⎬ x − y = 6⎭ a)

5 x − 2 y = 4⎫ ⎬ 3x − 4 y = 1 ⎭ 4 x − 5 y = 2⎫ d) ⎬ 3x − 2 y = 5 ⎭

c)

PROBLEMAS: 5.- Calcula dos números sabiendo que su suma es 119 y que el triple del menor sobrepasa en 17 unidades al doble del mayor. 6.- Calcula dos números sabiendo que el primero supera en 6 unidades a la quinta parte del segundo y, a su vez, el segundo supera en 6 unidades al doble del primero. 7.- En cierta cafetería, por dos cafés y un refresco nos cobran 2,7 euros. Dos días después, nos cobraron 4,1 euros por un café y tres refrescos. ¿Cuánto cuesta cada café y cada refresco? 8.- Entre Pedro y yo tenemos 12 euros. Si yo le diera 1,7 euros a Pedro, entonces el tendría el doble que yo. ¿Cuánto tenemos cada uno? 9.- Un puesto ambulante vende los melones y las sandías a un tanto fijo la unidad. Raquel compra 5 melones y 2 sandías por 9 euros. Alfredo compra 3 melones y 4 sandías por 7,5 euros. ¿Cuánto vale cada melón y cada sandía? 10.- Doscientos gramos de jamón y ciento cincuenta de queso cuestan 5,4 euros. Cien gramos de jamón y doscientos cincuenta de queso cuestan 4,8 euros. ¿Cuánto cuesta cada kilo de jamón y cada kilo de queso? 11.- En una granja, entre gallinas y conejos hemos contado 100 cabezas y 252 patas. ¿Cuántas gallinas y cuántos conejos hay en la granja? 12.- Amelia tiene el triple de edad que su hermano Enrique, pero dentro de 5 años solo tendrá el doble. ¿Cuál es la edad actual de cada uno? 13.- El doble de la edad de Sara coincide con la cuarta parte de la edad de su padre. Dentro de 2 años la edad de Sara será la sexta parte de la de su padre. ¿Qué edad tiene cada uno? 14.- Un fabricante de jabones envasa 550 kilos de detergente para lavadora en 200 paquetes, unos de 2 kilos y otros de 5 kilos. ¿Cuántos paquetes de cada clase ha llenado?

15.- Un comerciante tiene a la venta 50 pares de zapatillas deportivas, a 40 euros el par. Cuando lleva vendidos unos cuantos, los rebaja a 30 euros el par, continuando la venta hasta que se agotan. La recaudación total ha sido de 1620 euros. ¿Cuántos pares vendió sin rebajar y cuántos rebajados? 16.- En un club deportivo, los hombres y las mujeres están en relación de 2 a 3, pero si hubiera 40 hombres mas y 30 mujeres menos, entonces estarían a la par. ¿Cuántos hombres y cuántas mujeres son socios del club? 17.- Un test consta de 50 preguntas y se evalúa sumando 2 puntos por cada acierto y restando 1,5 puntos por cada fallo. ¿Cuántos aciertos y cuántos fallos tendrá una persona cuya calificación es de 58 puntos? 18.- Un trabajador gana 60 euros en un turno de día y 80 euros en un turno de noche. ¿Cuántos días y cuántas noches ha trabajado en un mes, si en total ha hecho 24 turnos y ha recibido 1600 euros por su trabajo? 19.- Calcula las dimensiones de una parcela rectangular sabiendo que es 25 m más larga que ancha y que su perímetro mide 210 metros. 20.- En el aparcamiento de un centro escolar hay 50 vehículos entre coches y bicicletas. El número total de ruedas, sin contar las de repuesto, es 140. ¿Cuántos coches y cuántas bicicletas hay en el aparcamiento? 21.- La edad de Pedro es el doble que la de Susana. Dentro de 8 años la suma de sus edades será 46 años. ¿Cuántos años tienen actualmente cada uno? 22.- Un aula tiene forma rectangular, mide 2 metros mas de largo que de ancho y la suma del largo y del ancho es de 14 metros. Halla el área del aula. 23.- Una finca rectangular mide 25 m más de largo que de ancho. Si el perímetro mide 250 m, calcula cuanto mide su área. 24.- Se tienen 75 monedas: unas son de 10 céntimos de euro y otras son de 20 céntimos de euro. Si en total suman 10 euros, calcula cuántas monedas hay de cada tipo. 25.- Luis tiene el doble de dinero que Silvia. Si Luis le da 15 euros a Silvia, entonces tienen el mismo dinero. 26.- Halla una fracción equivalente a valga 14.

3 en la que la suma del numerador y del denominador 4

27.- Se tienen 250 monedas, unas son de 2 céntimos de euro y otras de 5 céntimos de euro. Si en total suman 6,5 euros, calcula cuantas monedas hay de cada tipo. 28.- La suma de las dos cifras de un número es 9, y la cifra de las decenas es el doble de la cifra de las unidades. ¿De qué número se trata?

SOLUCIONES: 1.a) b)

x =1 y=2 x=2

y=6 x=2 c) y = −3 x=3 d) y = −4 x=3

e) 2.a)

y=2 x = −1

y=3 x = −2 b) y=3 x=2

c)

d)

y = −1 x=4

y =1 x=3 e) y = −2 3.a) b)

x=5 y=4 x=2

y = −1 x=3 c) y = −2 x =1

d) e)

y = −2 x = −2

y=3 x =1 f) y = −3

f) g)

x=4 y =1 x =1

y = −2 x=4 h) y =1 x=3 i) y = −2 x=4

j)

f) g) h) i) j)

g) h)

y = −2 x=6 y = −4 x=5 y =1 x = −2 y=3 x = −1 y = −2 x=5 y = −2 x=2 y =1 x=4

y = −1 x = −2 i) y=3 x=3

j)

k)

y = −1 x=2

y = −5 x=3 l) y = −2

4.a)

b)

x=3 y = −2 x=5 y = −1

x =1 c) 1 y= 2 x=3

d)

y=2

5.- Los números son el 51 y el 68. 6.- Los números son el 12 y el 30. 7.- Cada café cuesta 0,8 euros y cada refresco 1,1 euros. 8.- Pedro tiene 6,7 euros y yo 5,7 euros. 9.- Cada melón a 1,5 euros y cada sandía a 0,75 euros. 10.- Cada kilo de jamón a 18 euros y cada kilo de queso a 12 euros. 11.- Hay 74 gallinas y 26 conejos. 12.- Amelia tiene 15 años y Enrique tiene 5 años. 13.- Sara tiene 5 años y su padre 40 años. 14.- Se han envasado 150 paquetes de 2 kilos y 50 paquetes de 5 kilos. 15.- Se vendieron 12 pares de zapatillas sin rebajar y 38 pares de zapatillas rebajadas. 16.- 140 hombres y 210 mujeres. 17.- 38 aciertos y 12 fallos. 18.- 16 días y 8 noches. 19.- largo 65 m; ancho 40 m 20.- Hay 20 coches y 30 bicicletas 21.- Pedro tiene 20 años y Susana 10 años. 22.- 48 metros cuadrados. 23.- 3750 metros cuadrados. 24.- Hay 50 monedas de 10 céntimos y 25 de 20 céntimos. 25.- Luis tiene 60 euros y Silvia tiene 30.

26.- La fracción es

6 8

27.- Hay 200 monedas de 2 céntimos y 50 de 5 céntimos. 28.- El número es el 63.

Matemáticas

Ejercicios Tema 8

2º ESO

Bloque III: Funciones Tema 8: Funciones: Rectas e Hipérbolas.

1.- Justifica razonadamente si las siguientes gráficas corresponden o no con la gráfica de una función: a)

b)

c)

d)

2.- Representa gráficamente las siguientes funciones lineales, indicando e interpretando la pendiente de cada una de ellas: a) y = −

3 x 5

b) y = 5 x c)

y=

1 x 3

d) y = −2 x

2 y=− x 7 5 f) d) y = x 2

e) d)

3.- Calcula la ecuación de las siguientes rectas: a)

b)

c)

d)

e)

f)

4.- Representa gráficamente las siguientes funciones afines, indicando e interpretando la pendiente de cada una de ellas: a)

y = −x − 3

b)

y = 4x + 1

7 x−4 3 2 h) y = − x + 1 7

2 y = − x +1 3 1 d) y = x − 2 5 c)

e)

y = −2 x + 3

f)

y=

g)

y=

i)

y = x−4

j)

y = −5 x + 3

1 y = − x +1 2 5 l) y = x − 2 4

k)

5 x−7 6

5.- Calcula la ecuación de las siguientes rectas: a)

b)

c)

d)

e)

f)

g)

h)

i)

j)

k)

l)

6.- Representa gráficamente las siguientes funciones, clasificándolas: a) y = −3 e) x = −4 b) x = 7 c) x = −1 d)

y=2

7.- Calcula la ecuación de las siguientes rectas: a) b)

y = −5 g) y = 3 h) x = 2

f)

c)

d)

e)

f)

g)

h)

8.- Halla la ecuación de la recta paralela a: a) y = −2 x − 3 y pasa por el punto A(1,4) b)

y=

1 x + 9 y pasa por el punto B(5,1) 5

9.- Representa gráficamente las siguientes funciones, clasificándolas: a) b) c) d) e) f)

10 x 4 y=− x 3 y=− x 1 y=− x 9 y= x 2 y= x

6 x 2 h) y = − x 3 i) y = x 4 j) y = x 8 k) y = x 8 l) y = − x

y=

g)

10.- Calcula la ecuación de las siguientes hipérbolas: a)

b)

c)

d)

y=−

e)

f)

g)

h)

i)

j)

k)

l)

SOLUCIONES: 1.-

a) No es función ya que para algunos valores de x hay varios valores de y. b) No es función ya que para x = -4 hay infinitos valores de y. c) Si es función ya que para cada x hay una única y. d) No es función ya que para algunos valores de x hay varios valores de y.

2.-

Pendiente = m = a)

b)

3 5

Si x aumenta 5 unidades, y disminuye 3 unidades.

Pendiente = m = 5 Si x aumenta 1 unidad, y aumenta 5 unidades.

Pendiente = m = c)

−

1 3

Si x aumenta 3 unidades, y aumenta 1 unidad.

Pendiente = m = -2 Si x aumenta 1 unidad, y disminuye 2 unidades.

d)

Pendiente = m = e)

−

Si x aumenta 7 unidades, y disminuye 2 unidades.

Pendiente = m = f)

3.-

2 7

5 2

Si x aumenta 5 unidades, y aumenta 2 unidades.

2 y=− x 5 7 b) y = x 2 1 c) y = x 2

a)

d)

y = −3 x

1 y=− x 5 5 f) y = x 3

e)

4.-

a)

Pendiente = m = -1 Si x aumenta 1 unidad, y disminuye 1 unidad.

b)

Pendiente = m = 4 Si x aumenta 1 unidad, y aumenta 4 unidades.

Pendiente = m = c)

−

2 3

Si x aumenta 3 unidades, y disminuye 2 unidades.

Pendiente = m = d)

e)

Si x aumenta 5 unidades, y aumenta 1 unidad.

Pendiente = m = -2 Si x aumenta 1 unidad, y disminuye 2 unidades.

Pendiente = m = f)

1 5

5 6

Si x aumenta 6 unidades, y aumenta 5 unidades.

Pendiente = m = g)

Si x aumenta 3 unidades, y aumenta 7 unidades.

Pendiente = m = h)

i)

7 3

−

2 7

Si x aumenta 7 unidades, y disminuye 2 unidades.

Pendiente = m = 1 Si x aumenta 1 unidad, y aumenta 1 unidad.

Pendiente = m = -5 Si x aumenta 1 unidad, y disminuye 5 unidades.

j)

Pendiente = m = k)

1 2

Si x aumenta 2 unidades, y disminuye 1 unidad.

Pendiente = m = l)

5.-

−

5 4

Si x aumenta 4 unidades, y aumenta 5 unidades.

y = x +1 1 b) y = x − 1 4 3 c) y = − x − 1 2 d) y = − x − 1

a)

y = −4 x + 2 4 h) y = x + 2 5 6 i) y = − x + 7 5 j) y = 2 x + 1 g)

e)

y = −2 x − 2

f)

y=

1 x−3 5

k)

1 y = − x−3 2

l)

y = 3x − 6

6.-

a)

Función constante.

b)

No es función.

c)

No es función.

d)

Función constante.

e)

No es función.

f)

Función constante.

g)

Función constante.

h)

No es función.

7.-

8.-

y = −2 b) x = 1 c) y = −7 d) x = −4

a)

y = −2 x + 6 1 b) y = x 5

a)

e) x = −1

y=5 g) x = −3 h) y = 6

f)

9.-

a)

Hipérbola.

b)

Hipérbola.

c)

Hipérbola.

d)

Hipérbola.

e)

Hipérbola.

f)

Hipérbola.

g)

Hipérbola.

h)

Hipérbola.

i)

Hipérbola.

j)

Hipérbola.

k)

Hipérbola.

l)

Hipérbola.

10.-

6 x 1 b) y = x

a)

y=

c)

y=−

d)

y=

9 x

g)

5 x

y=−

16 x

8 x 4 i) y = x

h)

y=

j)

y=−

1 x

7 x 12 f) y = − x

e)

y=−

5 x 14 l) y = − x

k)

y=

Matemáticas

Ejercicios Tema 9

2º ESO

Bloque IV: Geometría Tema 9: Teoremas de Thales y Pitágoras.

1.- Calcula los valores de x e

y.

2.- Calcula la longitud x = MN

3.- Explica por qué dos triángulos rectángulos isósceles son, necesariamente, semejantes.

4.- Explica por qué los triángulos AMB y MBC son semejantes al ABC y, por tanto, semejantes entre sí.

5.- Explica por qué los triángulos ABC, AHB y BHC son semejantes, comprobando que sus lados son proporcionales.

6.- Explica por qué los siguientes triángulos son semejantes.

7.- Calcula la altura de un edificio que proyecta una sombra de 49 metros en el momento en que una estaca de 2 metros arroja una sombra de 1,25 metros.

8.- Las sombras de estos árboles medían, a las cinco de la tarde, 12 metros, 8 metros, 6 metros y 4 metros respectivamente. El árbol pequeño mide 2,5 metros. ¿Cuánto miden los demás?

9.- Observa de qué ingenioso método se vale Ramón para averiguar la altura del edificio:

Se sitúa de tal manera que la parte alta de la verja y la parte alta del edificio están alineadas con sus ojos. Señala su posición y toma las medidas que se ven en el dibujo. a) Explica por qué los triángulos ABC y CDE son semejantes. b) Calcula la distancia ED c) Calcula la altura del edificio 10.- El gato de Leticia se ha subido a un poste. Leticia puede ver a su gato reflejado en un charco. Toma las medidas que se indican en el dibujo y mide la altura de sus ojos: 144 cm. ¿A qué altura se encuentra el gato?

11.- Un gran pino a las 11 de la mañana de un cierto día, arroja una sombra de 6,5 m. Próximo a el, una caseta de 2,8 m de altura proyecta una sombra de 70 cm. ¿Cuál es la altura del pino? 12.- Sabiendo que Amelia tiene una altura de 162 cm, halla la altura de la farola.

13.- ¿Cuánto miden los ángulos de los triángulos rectángulos isósceles? Tenlo en cuenta para hallar la altura de la torre de la iglesia.

14.- Halla la altura del árbol grande.

15.- Halla la altura del edificio sabiendo que : - La mesa tiene 1 m de altura - AB = 80 cm - BC = 52 cm

16.- En un triángulo rectángulo, los catetos miden 3,5 cm y 2,5 cm. Halla la longitud de la hipotenusa. 17.- En un triángulo rectángulo, la hipotenusa mide 4,5 cm y un cateto 3 cm. Halla la longitud del otro cateto. 18.- Calcula la apotema de la siguiente pirámide:

19.- Halla cuánto mide la diagonal de un cuadrado de 5 m de lado. 20.- Halla el radio de la circunferencia circunscrita al siguiente hexágono:

21.- Se tiene un rectángulo inscrito en una circunferencia, como se indica en la figura:

Sabiendo que el diámetro de la circunferencia es D = 3 cm y que la altura del rectángulo es h = 2,5 cm, halla cuanto mide la base del rectángulo. 22.- Calcula la diagonal de un rectángulo en el que los lados miden 6 cm y 2,5 cm. 23.- Halla la altura de un triángulo equilátero de 6 m de lado. 24.- Halla la longitud del lado de un rombo sabiendo que las diagonales miden 3 cm y 5 cm. 25.- Halla el área del siguiente romboide:

26.- Halla el área del siguiente trapecio regular:

27.- Halla la apotema de un hexágono regular de 9 m de lado:

28.- Una escalera de bomberos que mide 20 m se apoya sobre la fachada de un edificio. La base de la escalera está separada 5 m de la pared. ¿A que altura llegará?

29.- Halla el radio de la circunferencia circunscrita al siguiente cuadrado:

30.- Se tiene un triángulo isósceles inscrito en una circunferencia como se indica en la siguiente figura:

Sabiendo que el diámetro de la circunferencia es D = 3,5 cm y que la altura del triángulo es h = 3 cm, halla cuánto mide la base del triángulo. 31.- Halla el lado de un cuadrado de 6 m de diagonal. 32.- Halla el radio de la circunferencia circunscrita al siguiente triángulo equilátero:

SOLUCIONES: 1.- x = 6 cm; y = 3 cm 2.- x = 10,5 m 3.- Van a ser, necesariamente, semejantes ya que sus tres ángulos van a ser iguales. 4.- Los triángulos AMB, MBC y ABC son semejantes por que tienen sus tres ángulos iguales. 5.-

136 255 289 = = 64 120 136 136 255 289 ABC con HBC = = 120 225 255 64 120 136 AHB con HBC = = 120 225 255

ABC con AHB

6.- Tienen un ángulo igual y los lados que lo forman son proporcionales:

28,8 12 = 12 5

7.- El edificio mide 78,4 m. 8.- Los árboles miden 2,5 m (dato que da el problema), 3,75 m, 5 m y 7,5 m respectivamente. 9.-

a) Son semejantes por que tienen dos ángulos iguales. b) ED = 3,9 m c) El edificio mide 6,9 m.

10.- Se encuentra a 3,6 m de altura. 11.- El pino mide 26 m. 12.- La altura de la farola es de 2,7 m. 13.- Uno 90º y los otros dos 45º. La torre mide 37 m. 14.- El árbol grande mide 54,8 m. 15.- El edificio mide 16,6 m. 16.- 4,3 cm 17.- 3,35 cm 18.- 8,54 cm 19.- 7,07 m

20.- R = 7 cm 21.- 1,65 cm 22.- 6,5 cm 23.- 5,19 m 24.- 2,91 cm 25.- 9,71 cm2. 26.- 6,22 cm2. 27.- 7,79 m. 28.- 19,36 m. 29.- 4,24 m. 30.- 2,44 cm. 31.- 4,24 cm. 32.- 2,23 cm.