UNIDAD DIDÁCTICA ENTEROS

1.

DIVISIBILIDAD

Y

NÚMEROS

Justificación El Decreto 148/2002 de 14 de mayo, recoge en el bloque de contenidos Números y medidas relativo al tercer curso de la ESO el estudio de patrones de la divisibilidad y revisión de los números con signo. Es ahí donde encuadra esta unidad didáctica, caracterizada básicamente por dos aspectos: Por un lado, se trata de un conjunto de conceptos, procedimientos y actitudes básicos para poder construir la Matemáticas de todo el curso. Esta es la razón esencial por la que está U.D. se ubica en la Programación como primera unidad. Por otro lado, esta colección de contenidos ya viene sino objeto de estudio en los niveles anteriores y los alumnos ya deben, si no dominar, al menos manejar con cierta familiaridad los conceptos de que se trata. Esta consideración como unidad de repaso nos lleva a entender que aunque se trate de dos temas distintos no deben ser muchas las sesiones reservadas a su desarrollo. Con 9 sesiones puede ser suficiente. Para concluir esta introducción, señalar que con esta U.D se pretenden conseguir los objetivos generales de área: 1.- Utilizar el conocimiento matemático para organizar, interpretar e intervenir en diversas situaciones de la realidad. 3.- Reconocer y plantear situaciones en las que existan problemas susceptibles de ser formulados en términos matemáticos, utilizar diferentes estrategias para resolverlos y analizar los resultados utilizando los recursos apropiados. y a su vez los objetivos generales de etapa c) Relacionarse con otras personas e integrarse de forma participativa en actividades de grupo con actitudes solidarias y tolerantes, libres de inhibiciones y prejuicios, y adquirir y desarrollar hábitos de respeto y disciplina como condición necesaria para una realización eficaz de las tareas educativas. d) Analizar los mecanismos y valores que rigen el funcionamiento de las sociedades, especialmente los relativos a los derechos y deberes de los ciudadanos. e) Analizar los mecanismos básicos que rigen el funcionamiento del medio físico y natural, valorar las repercusiones que sobre él tienen las actividades y contribuir activamente a la defensa, conservación y mejora del mismo como elemento determinante de la calidad de vida. l) Elaborar estrategias de identificación y resolución de problemas en los diversos campos del conocimiento y la experiencia, contrastándolas y reflexionado sobre el proceso seguido.

m) Obtener y seleccionar información, tratarla de forma autónoma y crítica y transmitirla a los demás de manera organizada e inteligible. Para qué enseñar: objetivos didácticos Los objetivos didácticos nos muestran las capacidades concretas que pretendemos desarrollar en nuestros alumnos en este momento, y son el enlace entre la UD y los objetivos generales antes citas. Estos objetivos son: • Reconocer y calcular múltiplos y divisores de un número. • • •

Determinar si un número es primo o no. Utilizar los criterios de divisibilidad. Obtener el m.c.d. y el m.c.m. de dos o más números y aplicarlos a las resolución de problemas.

Ordenar un conjunto de números enteros Realizar operaciones combinadas de sumas, restas, multiplicaciones y divisiones de números enteros, con y sin paréntesis. • Calcular potencias y raíces exactas de números enteros. • Reconocer la utilidad del lenguaje numérico para resolver problemas cotidianos. Qué enseñar:contenidos Los contenidos son las vías para alcanzar los objetivos. Esta dependencia es tal que cada contenido o grupo de contenidos debe derivar de un objetivo didáctico planteado, ya que de los contrario, carece de utilidad y de sentido. Como ya sabemos, los contenidos se dividen en conceptuales, procedimentales y actitudinales, aunque en la práctica suponen un todo ya que se van desarrollando de forma entrelazada al mismo tiempo. Estos son los contenidos propuestos para esta unidad: • •

Conceptos: • • • • • • •

Múltiplos y divisores. Relación. Propiedades de múltiplos y divisores. Números primos. Criterios de divisibilidad. Máximo común divisor y mínimo común múltiplo. Números enteros positivos y negativos. Representación y comparación de enteros. Reglas prácticas de la suma, resta, multiplicación, división, potenciación y radicación de enteros. Clasificación de los números naturales según los restos obtenidos al dividir por n.

Procedimientos:

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Identificación de números primos y compuestos. Obtención de múltiplos y divisores de números. Aplicación de los criterios de divisibilidad para resolver distintos problemas. Obtención del máximo común divisor y el mínimo común múltiplo de un conjunto de números a partir de su descomposición en producto de factores primos. Aplicación de los conceptos de divisibilidad a la resolución de problemas reales. Búsqueda de situaciones que requieran la utilización de números enteros. Ordenación de números enteros utilizando la recta numérica. Utilización de los algoritmos de la suma, resta, multiplicación y división exacta de números enteros aplicándolos a la resolución de problemas. Realización de operaciones combinadas con números enteros, utilizando la jerarquía de las operaciones y las reglas de uso del paréntesis.

Actitudes: • • • •

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Sensibilidad, interés y valoración crítica ante las informaciones de naturaleza numérica. Disposición favorable a la revisión y mejora de cualquier cálculo. Apreciación del desarrollo y contraste de estrategias de cálculo mental para el trabajo con múltiplos y divisores de números. Apreciación del valor de la recta numérica como medio de expresión visual de los distintos números, para ordenar números enteros y facilitar su comprensión. Reconocimiento y valoración crítica de la calculadora como herramienta didáctica para la realización de cálculos, favorecer las investigaciones numéricas, plantear y resolver problemas.

Podemos relacionar esta serie de contenidos con otras áreas de manera inmediata: - La divisibilidad es una herramienta que ayuda a resolver problemas en Ciencias de la Naturaleza, CCSS, Educación física (formar equipos) o Tecnología. - El Cálculo con números enteros es esencia para el trabajo en Física. Además los números enteros ayudan a representar situaciones en CCSS (climograma ÷temperaturas) o en Ciencias Naturales.

Además de estos contenidos se tratarán los contenidos transversales del siguiente modo:

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Educación moral y cívica • • • • •

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Educación para la paz

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Realizar actividades en equipo para favorecer la comprensión mutua y el gusto por el trabajo en común. Omitir la presentación de situaciones u opiniones que puedan generar actitudes o gestos discriminatorios por razones de raza, nacionalidad o religión. Actividades de grupo que favorezcan la colaboración y el respeto hacia los demás miembros del equipo.

Educación para la salud

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Rigor en las definiciones de los conceptos y en las demostraciones. Secuenciación ordenada de los contenidos y presentación estética que dé sensación de armonía. Actividades de autoevaluación para desarrollar la capacidad autocrítica. Problemas relacionados con situaciones reales y cotidianas. Actividades de grupo que favorezcan la colaboración y la participación de todos en el trabajo de equipo.

Un nivel de contenidos adecuado a la edad de los estudiantes. Un orden de menor a mayor profundización en los contenidos y de dificultad progresiva en la secuenciación de las actividades. Una presentación formal que dé sensación de equilibrio entre el texto y la ilustración y que ofrezca una imagen estética agradable.

Educación para la igualdad de oportunidades de ambos sexos

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Diversas actividades que respondan a distintos gustos e intereses.

Temporalización Aunque ya lo he comentado antes, señalo aquí que esta UD se llevará a cabo durate 9 sesiones, aunque con cierta flexibilidad, ya que son los alumnos los que van a marcar el tiempo necesario. Cómo enseñar: Metodología Los criterios metodológicos que se van a seguir viene en consonancia con los ya descritos en la programación y se derivan de la concepción del aprendizaje del que soy partidaria: - En primer lugar, entiendo que lo más importante de la clase es el alumno y todo debe girar a su alrededor. - Que no es suficiente con que profesor enseñe algo para que los alumnos lo aprendan. Deben ser ellos los que con sus acciones (trabajos, hipótesis,..) Construyan sus conocimientos. - Que el profesor es el mediador y el responsable de que todas las actividades que se lleven a cabo en el aula se conviertan en significativas para cada uno. Por tanto participo de la necesidad de utilizar una metodología activa y participativa que potencie la actitud positiva del alumno, que le ayude a comprender y utilizar mejor el entorno en el que se vive, que trate de propiciar aprendizajes significativos y que permita presentar los contenidos de forma grata y motivadora. Para conseguir todos estos propósitos, propongo la puesta en marcha de diferentes tipos de actividades. Actividades Primera sesión • Actividad inicial/actividad presentación, motivación - Recordamos los conceptos de múltiplo y divisor haciendo preguntas sencillas al grupo- clase: * ¿Es 2 un divisor de 10? * ¿Y de 15? *¿Es 12 un múltiplo de 3? * Un divisor de 21 .... * Un múltiplo de 10 .... Esta breve introducción da pasa a la siguiente actividad: - Corro de números:

Se forma un corro con todos los alumnos y se reparte a cada uno una tarjeta con un número. El profesor va diciendo instrucciones del tipo: * Que levanten la mano los múltiplos de 6. * Que levante la mano los divisores de 20. Los alumnos que se equivoquen quedarán eliminados. Las observaciones iniciales indicarán si es conveniente hacer más pregunta sobre múltiplos, sobre divisores, o sobre las dos cosas; a qué alumnos debemos involucrar más en las instrucciones, etc. Una vez concluida esta actividad, le comunicamos a los alumnos cuáles son los objetivos de la unidad didáctica. Es con conveniente que los anoten en el cuaderno, a sí van a sumiendo su papel en el proceso de enseñanza y aprendizaje. • Actividad desarrollo de contenidos - El profesor dará rigor al concepto de múltiplo y divisor, enfatizando en la relación entre ambos (múltiplo- divisor; padre-hijo; profesor- alumno) - Calculamos múltiplos y divisores. Primero de manera espontánea, simplemente enumerando los que se le vayan ocurriendo a los alumnos. Después el profesor incitará la obtención de propiedades que se irán generalizando a partir de los casos concretos (transitividad, suma, el cero, el uno,...) Por último, intentaremos sistematizar el proceso. Aparecerá el concepto de número primo y de número compuesto. • Actividad consolidación Se proponen para casa problemas en los que haya que aplicar los conceptos de múltiplo y divisor, como por ejemplo: * ¿Es posible repartir 15 manzanas entre 4 personas sin que sobre ninguna? * ¿Cuántos equipos y de cuántos componentes podemos hacer con los 28 alumnos de una clase? *Un taxista cambia el aceite de su coche cada 3500 km. ¿Cuántas veces lo habrá cambiado si ya tiene 100000 km? ¿Cuándo lo cambió? Segunda sesión Al comenzar cada sesión se corrigen en la pizarra los ejercicios propuestos para casa. Después los alumnos preguntarán las dudas que tengan, intentando formular sus preguntas de forma clara, usando adecuadamente el lenguaje matemático. El profesor propondrá que algunos o algunos compañeros intentar aclarar las dudas. Después el profesor comentará los aspectos que se hayan obviado, recalcando lo más importante. •

Actividades de desarrollo de contenidos

- Para recordar los números primos, los alumnos construyen en su cuaderno la Criba de Erastótenes. - Criterios de divisibilidad. Se recuerdan los que ya cococen y se amplían hasta tener los criterios de divisibilidad por 2, 3,4,5,6,8,9,10, 11. Hacemos uso de la calculadora para comprobarlos en ejemplos concretos. Se hacen ejercicios para adquirir destreza en su aplicación (por ejemplo, completar el número 345_ para que sea divisible por 6 pero no por 9) Tercera sesión • Actividad desarrollo de contenidos - El profesor recuerda a los alumnos los conceptos de mcd y mcm, y también el procedimiento de cálculo a partir de la descomposición en factores primos. Se hacen ejercicios de aplicación directa. También problemas como: *Se desea transportar 30 perros y 24 gatos en jaulas de forma que todos lleven el mismo número de animales (peros y gatos, siempre separados) y que ese número sea el mayor posible. ¿Cuántos animales irán en cada jaula? * El número de empleados de una empresa está comprendido entre 150 y 200. Con ellos se pueden formar equipos de 15, de 12 o de 20 personas, sin que sobre o falte ninguno en cada caso. ¿Cuántos empleados son? A los alumnos con más dificultades les presentamos estos mismos problemas con pautas de resolución: * Para el de los perros y los gatos: Supongamos que sólo tenemos perros. ¿Podríamos meterlos en jaulas de 3 animales?¿Y de 4? Determina de cuántos animales pueden ser las jaulas. ¿Cuál es la relación entre estos números y el números total de perros. Supongamos que sólo tenemos gatos. ¿Qué tiene que cumplir un número n para que podamos meterlos en jaulas de n animales? Pregunta del problema * Para el de los empleados: Nos olvidamos por el momento de que hay entre 150 y 200 empleados. Si se pueden formar equipos de 15 personas ¿podría ser 140 el nº total de empleados? ¿Y 105? Enumera todas las posibilidades de nº de empleados sabiendo que se forman equipos de 15 personas y que no hay más de 200. ¿Cuál es la relación entre estos números y el nº 15? Qué debería cumplir el número de empleados para poder formar equipos de 12 personas? ¿ Y para formar equipos de 2000 personas? Cuarta sesión •

Actividad inicial

- Entre toda la clase intentamos recordad cuál es la prioridad de operaciones con números naturales. A continuación cada alumno hace en su cuaderno la actividad: *Colocar paréntesis: a) 6+4·2+7 =27; b)6+4·2+7 =21 c) 6+4·2+7=90 d) 6+4·2+7=42 El profesor va revisando lo que cada alumno ha hecho. • Actividad de desarrollo de contenidos - El profesor recuerda algunos usos de los números enteros, y se repasa este concepto pidiendo a alumnos que con un número entero describan situaciones determinadas: “estamos en el 2º sótano”, “tengo en mi cuenta 200 €”,... - Relacionándolo con los ejemplos anteriores, el profesor recuerda cómo se ordenan los números enteros y cómo se representan en la recta. - Entre todos repasamos cómo se suman, restan, multiplican y dividen números enteros. Se proponen ejercicios para adquirir destreza en este campo, graduándolos en dificultad (sólo + y -, +y - con paréntesis, sólo · y :, · y : con paréntesis, + - · y : sin paréntesis, +-·; con paréntesis) Quinta sesión - El profesor explica la potenciación de base entera y exponen natural. Hay que insistir en que 23 no es lo mismo que 2·3 y en la diferencia entre -24 y (-2)4. Con toda la clase vamos deduciendo las propiedades. - El profesor explica la radicación. Sólo lo veremos para raíces exactas, de índice 2,3, ó 4 y radicando entero. Nos ayudamos con la calculadora para comprobar resultados. - Se hacen ejercicios de cálculo de potencia y raíces, y de aplicación de las propiedades de las potencias. Sexta sesión - Dominó de operaciones con enteros Esta actividad se realiza en grupos de alumnos. Cada grupo cuenta con un dominó y con hojas de trabajo (una para cada alumno) en la que tiene dibujadas 28 fichas de dominó en blanco. El primer paso es que cada alumno es esas fichas las operaciones que aparecen en las piezas del dominó y las realicen anotando sobre la ficha el resultado. El segundo paso es jugar una partida de dominó (Si alguno no sabe habrá que explicarlo) La hoja de trabajo les permitirá agilizar el juego. Conviene que los grupos sean homogéneos, para que jueguen con las mismas posibilidades y no halla un listillo que dirija a los demás. - Puzzle: Se trata de recortar cada pieza del puzzle y pegarla en la casilla que corresponda al resultado de la operación que en ella aparece.

Tendremos puzzles de dos niveles de dificultad, para prestar atención a la diversidad y evitar así que los alumnos con menos destrez caigan en continuos fracasos. Es una actividad para hacerla en casa y entregarla al profesor al día siguiente. • Actividades de desarrollo de contenidos Página 27-28- 29 construir las matemáticas 3º (El profesor va haciendo las preguntas que sean los alumnos los que descubran la solución del juego) Sesión 8 • Actividad de síntesis-resumen. - Repaso de todo lo aprendido mediante un BINGO. Los alumnos dibujan en su cuaderno un cartón de bingo en el que colocan 6 números comprendidos entre -4 y 15 (ambos incluidos) (cada alumno elige los que quiera. El profesor cuenta con 20 transparencias en las que aparece un problema; una cuestión, una operación, relativos a los conceptos y procedimientos trabajados durante toda la unidad, cuyas soluciones son los 20 números que pueden ser seleccionados. Se van colocando las transparencias en el retroproyector una detrás de otra dejando el tiempo suficiente para que todos puedan atender la resolución de lo que se plantea. Si un alumno tiene en su cartón la solución obtenida, tacha ese nº . Ganará el que primero consiga tachas todos sus números. (Ojo: conviene dar un premio, p.e, una chocolatina, para motivar más a los alumnos) • Actividad autoevaluación Esta actividad consistirá en un test con varios items en los que se recojan los contenidos relacionados con los criterios de evaluación. Un ejemplo de pregunta puede ser: * Consideramos los números 8,12, y 9. El mcm y mcd son: a) 1 y 36 b) 2 y 72 c) 1 y 72 d) 2 y 36 respectivamente La autoevaluación se realizará en casa. Además los alumnos tendrán las respuestas correctas para poder corregirla y así ser conscientes de sus logros y dificultades. Sesión 9: Esta sesión estará dedicada a realizar el examen de la unidad.

No sesión(más actividades fuera de las sesiones) • Actividades recuperación Para los alumnos que no alcancen los objetivos deseados. Será una relación de actividades y problemas del mismo tipo de los ya vistos, en los que se procurará ir graduando la dificultad.

Actividades de ampliación Para los alumnos que sí alcancen los objetivos deseados. Aplicación de las congruencias: obtener qué día de la semana fue o será una fecha determinada. Se le explican (por escrito) al alumno algunos ejemplos y las pautas a seguir, y se le proponer determinar por ejemplo, qué día de la semana descubrió América Cristóbal Colón, o que día de la semana cumplirán 50 años. Las actividades de Recuperación y de Ampliación se realizarán en cas y se entregan al profesor en el plazo de 1 semana. Las corregirá y devolverá a los alumnos. •

Distribución espacio-temporal y agrupamientos Ya ha quedado implícita en la explicación de las actividades, pero la resumo ahora: - El aula va a ser el lugar donde se lleve a cabo esta UD. - Se emplearán 9 sesiones. - Se practicará trabajo en el grupo-clase a la hora de introducir los contenidos, el trabajo individual para adquirir destrezas, y el trabajo en pequeños grupos homogéneos para la actividad del dominó. Materiales Los recursos empleados han sido: • Recursos impresos: Fichas de trabajo (actividades, problemas, ficha para jugar dominó,..) Tarjetas para “Corro de números” Puzzles Transparencias para el BINGO • Recursos materiales: Dominó de operaciones con enteros • Medios audiovisuales: Pizarra Retroproyector • Medios tecnológicos: Calculadora Evaluación Evaluar es medir el logro de los objetivos previamente definidos, atendiendo y valorando los procesos y los resultados de la intervención educativa. Por tanto, en el proceso de evaluación diferenciamos, como ya se afirmó, entre evaluación del procesos de aprendizaje y evaluación del proceso de enseñanza y de la práctica docente. Evaluación del proceso de aprendizaje

El punto de partida de todo el proceso y por tanto también de la evaluación, nos lo tiene que aportar la evaluación inicial, que se realiza al principio del curso, pero también al inicio de cada bloque la UD (divisibilidad y después enteros) con las actividades preparadas para esa labor. La evaluación inicial puede modificar cualquier planteamiento previo acerca del tema ya que podemos habernos planteado unos objetivos que distan demasiado de la base partida. Teniendo en cuenta esto, habrá que explicitar en primer lugar, qué evaluamos, y esa es la misión de los criterios de evaluación. En esta UD se han considerado los siguientes: • Identifica si un número es o no es primo. • Calcula el máximo común divisor y el mínimo común múltiplo de dos o más números. • Resuelve problemas en los que se aplica conceptos y propiedades de la divisibilidad. • Realiza operaciones combinadas (suma, resta, multiplicación, división, paréntesis) con números enteros. • Halla potencias y raíces de números enteros. Junto a la evaluación continua, que servirá de elemento de investigación para detectar las dificultades que se han encontrado, realizamos la evaluación sumativa, para la que tendremos en cuenta las observaciones de clase y una prueba escrita que realizaremos en la última sesión. Esta prueba escrita constará de diversas subtareas en las que el alumno puede poner de manifiesto si ha superado los criterios de evaluación. Un ejercicios de este examen podría ser: “se desea cubrir con baldosas cuadradas de una habitación que mide 330 cm de ancho por 390 cm de largo. Se quiere realizar el trabajo utilizando baldosas lo más grande que sea posible y sin cortar ninguna. ¿Cuál debe ser el tamaño de las baldosas?”

Evaluación del proceso de enseñanza y de la práctica docente Para que sea realmente útil, la evaluación ha de proporcionar retroalimentación en todo el proceso de aprendizaje, pero también en el proceso de enseñanza. El profesor debe evaluar sus práctica docente con el fin de mejorar su labor enseñando y educando. Una manera de valorar la puesta en escena de la UD es mediante el modelo de seguimiento propuesto en la programación.

Bibliografía - GONZÁLEZ MARÍ, J.L.,y otros (1989): “Números enteros”.Síntesis, Madrid.

- RICO ROMERO, L.y otros (1989): “Números y operaciones”. Síntesis, Madrid. - SIERRA VÁZQUEZ, M. y otros (1989): “Divisibilidad”. Síntesis, Madrid. - Libros de texto: Santillana, Proyecto Sur, Anaya

Para finalizar me gustaría decir que habría que hacer todo lo que esté en nuestra manos para que el aprendizaje de las Matemáticas sea una tarea amena, ya que, como dice Clausi Alsina, “Enseñar y aprender Matemáticas puede y debe ser una experiencia feliz”