Plan modos de conducción de calor conducción - ecuación del calor convección radiación estado estacionario, 1D resistencia térmica sistemas con generación de calor aletas, disipadores transitorios, 1D radiación cuerpo gris factor de forma

Transferencia de Calor – p. 1/2

conducción 1D– Ley de Fourier flujo unidimensional dT ˙ Q = −kA dx Q˙ = potencia transferida [watt] k = conductividad térmica [w/mo C] A =área transversal al flujo de calor [m2 ] signo: el calor fluye hacia temperaturas mas bajas, dT /dx < 0

posibles complicaciones: A = A(x) k = k(x)

Transferencia de Calor – p. 2/2

conductividad térmica

Transferencia de Calor – p. 3/2

ecuación del calor (1D) para flujo de calor unidimensional en un sólido, T = T (x, t). Balance térmico:

δx

T0

Q˙ x

Q˙ x+δx

A

PSfrag replacements

δ U˙ = Q˙ x − Q˙ x+δx + q˙gen Aδx

x

c = calor específico, ρ = densidad, A = área transversal = ctes. δ U˙ = cambio en energía interna en elemento δx, δ U˙ = ρcAδxT˙ q˙gen = potencia generada por unidad de volumen

∂T ∂T ∂T = −(kA)x ρcAδx + (kA)x+δx + q˙gen Aδx ∂t ∂x x ∂x x+δx ∂T 1 ∂ ρc = ∂t A ∂x



∂T Ak ∂x



+ q˙gen

Transferencia de Calor – p. 4/2

ecuación del calor si el área A es constante, se cancela. Si además la conductividad térmica es constante ∂ 2T ∂T = k 2 + q˙gen ρc ∂t ∂x

y para para el caso 3D, T = T (x, y, x; t), se generaliza a ∂T ∂T k=cte ρc = ∇ · (k∇T ) + q˙gen −→ ρc = k∇2 T + q˙gen ∂t ∂t el laplaciano es ∇

2

∇

2

=

∇2

=

=

∂2 ∂2 ∂2 + + ∂x2 ∂y 2 ∂z 2

cartesianas

1 ∂2 ∂2 1 ∂ ∂2 + 2 + + cilíndricas ∂ρ2 ρ ∂ρ ρ ∂ϕ2 ∂z 2 „ « ∂ ∂2 1 ∂2 1 ∂ 1 r+ 2 sin θ + 2 2 r ∂r r sin θ ∂θ ∂θ r sin2 θ ∂ϕ2

esféricas

Transferencia de Calor – p. 5/2

régimen permanente en régimen permanente, ∂T =0 ∂t

la ecuación del calor (k = cte) se reduce a q˙gen ∂ 2T =− 2 ∂x k

o bien, en 3D, q˙gen ∇ T =− k la misma ecuación que verifica un potencial electrostático (ec. del Poisson o ec de Laplace) → símil eléctrico para problemas estacionarios 2

Transferencia de Calor – p. 6/2

convección ecuación de convección Q˙ = −hAc (T − T∞ )

h = coeficiente de convección [w/m2 ,o C] Ac = área de contacto, [m2 ] T = temperatura de la superficie, [o C] T∞ = temperatura del fluido lejos de la superficie, [o C]

complicación: determinación del h apropiado...

Transferencia de Calor – p. 7/2

coeficientes de convección típicos

Transferencia de Calor – p. 8/2

radiación ley de Stefan-Boltzmann para un radiador ideal (un cuerpo negro) Q˙ e = −σAT 4

σ = 5, 67 × 10−8 w/m2 K 4

intercambio radiante con otro cuerpo negro: Q˙ neto = Q˙ e + Q˙ a = σA(T24 − T14 ) coeficiente de radiación Q˙ neto = hr A(T2 − T1 ) se define hr ≡ σ(T2 + T1 )(T22 + T12 ) utilidad limitada: depende fuertemente de las temperaturas

Transferencia de Calor – p. 9/2

Conducción - caso estacionario 1D si T = T (x), k = cte, la ecuación del calor se reduce a d2 T k 2 = −q˙gen dx

Sin fuentes, q˙gen = 0, el gradiente de temperatura es lineal y el calor se conduce a una tasa constante

∆x T2

T1

PSfrag replacements Q˙ dT q ≡ Q˙ = −kA = cte dx T1 − T2 q = kA ∆x

A

x

Transferencia de Calor – p. 10/2

resistencia térmica símil eléctrico potencia térmica

q

diferencia de temperatura resistencia térmica ley de Fourier

∆T

corriente eléctrica

I

diferencia de potencial

∆V

RT = ∆x/kA

R = ρe L/A

q = ∆T /RT

I = ∆V /R

resistencia eléctrica ley de Ohm

q

PSfrag replacements

T2

T1 RT

T1 − T2 q= RT

∆x RT = kA

Transferencia de Calor – p. 11/2

símil eléctrico suma en serie T1

TAB TBC

T2

PSfrag replacements

q A

B

C

Transferencia de Calor – p. 12/2

símil eléctrico

Sfrag replacements suma en serie

q

TAB

T1 RA T1 − T2 q= RT TAB = T1 − qRA ,

TBC RB

T2 RC

RT = R A + R B + R C TAB = T1 − q(RA + RB )

etc.

Transferencia de Calor – p. 12/2

símil eléctrico suma en paralelo T1

TAB TBC

T2

B’

PSfrag replacements

q A

B

C

si las resistencias térmicas son similares RB ≈ R B 0

es decir

d0B dB ≈ 0 0 kB A B kB A B

el flujo de calor permanece aproximadamente unidimensional...

Transferencia de Calor – p. 13/2

símil eléctrico

PSfrag replacements suma en paralelo

RB 0

q

q

T2

T1 RA

T1 − T2 q= , RT

TAB

RB

TBC

RT = R A + R k + R C ,

RC

RB RB 0 Rk = RB + R B 0

Transferencia de Calor – p. 13/2

fuentes de calor si T = T (x), k = cte, la ecuación del calor es

2d

q˙gen d2 T =− 2 dx k

T0

se genera calor uniformemente en el TW volumen q˙gen = cte 6= 0 de modo que T (x) es cuadrática. replacements y un balance condiciones: T (0) = T0 PSfrag de calor da q˙gen d dT dT 2dAq˙gen = −2kA ⇒ =− dx d dx d k q˙gen 2 x ⇒ T (x) = T0 − 2k

TW

TW q˙gen A

x q˙gen 2 = T0 − d 2k

Transferencia de Calor – p. 14/2

geometría cilíndrica flujo radial (unidimensional),T = T (r), ley de Fourier dT qr = −kAr dr

b

integrando, con Ar = 2πrL, el flujo de calor es

T(r)

r

TB

a

TA

L

2πkL Ta − Tb (Ta − Tb ) ≡ q= ln(b/a) RT PSfrag replacements

resistencia térmica para geometría cilíndrica ln(b/a) RT = 2πkL

Transferencia de Calor – p. 15/2

geometría cilíndrica Perfil de temperatura, T (r), se obtiene de la ecuación del calor   2 1 dT d T 1 d dT + = r =0 2 dr r dr r dr dr el perfil es logarítmico

T (r) ∼ ln r → T (r) = C0 ln r + C1

con condiciones de borde T (a) = TA y T (b) = TB resulta, ln(b/r) + TB T (r) = (TA − TB ) ln(b/a)

Transferencia de Calor – p. 16/2

generación de calor Si en un cilindro de radio R se genera calor uniformemente, cual es el perfil de temperatura? ecuación de calor con fuentes,   q˙gen r d dT r =− dr dr k condiciones: temperatura en el eje, T (r = 0) = T0 en estado estacionario, todo el calor generado sale q˙gen R dT dT 2 q˙gen πR L = −k2πRL ⇒ =− dr R dr R 2k

Transferencia de Calor – p. 17/2

generación de calor multiplicando por r   q˙gen r dT d r =− dr dr k

r

integrando, resulta la función cuadrática q˙gen 2 T (r) = T0 − r 4k

en el borde, la temperatura cae PSfrag replacements al valor TW

T0 TW

TW

q˙gen

q˙gen 2 R = T0 − 4k

Transferencia de Calor – p. 18/2

geometría esférica flujo radial (unidimensional),T = T (r), ley de Fourier dT qr = −kAr dr

integrando, con Ar = 4πr 2 , el flujo de calor es 4πk TPSfrag TB A −replacements q= (TA − TB ) ≡ 1/a − 1/b RT

b

T(r)

r

TB

a

TA

resistencia térmica para geometría esférica 1/a − 1/b RT = 4πk

Transferencia de Calor – p. 19/2

geometría esférica Perfil de temperatura, T (r), se obtiene de la ecuación del calor 1 ∂2 (rT ) = 0 2 r ∂r T cae como 1 T (r) ∼ r con condiciones de borde: T (a) = TA y T (b) = TB resulta,   1 − a/r T (r) = TA − (TA − TB ) 1 − a/b

Transferencia de Calor – p. 20/2

Resistencia de contacto cuando dos conductores térmicos se ponen en contacto puede aparecer una discontinuidad en temperatura

modelo: R0 (conducción, puntos de contacto), R00 (convección/ radiación, cavidades) PSfrag replacements R0 TA

TB R00

0

00

R 1 resistencia de contacto, Rc = RR0 +R 00 ≈ h A c factores: rugosidad, presión ambiente, presión de contacto, área de contacto efectiva...

Transferencia de Calor – p. 21/2

Resistencia de contacto

Transferencia de Calor – p. 22/2

ejemplo h=100 w/m2K

0,02mm

chip epoxy

8 mm

aluminio

h=100 w/m2K determinar la temperatura de operación (debe ser inferior a 85 o C para evitar que se queme) datos: * chip y sustrato tienen área A = 1 cm2 * el chip (espesor despreciable) genera q = 10 kw/m 2 * ambiente a T∞ = 25 o C * kAl = 237 w/mK

Transferencia de Calor – p. 23/2