Tema V. Cap´ıtulo 2. Cu´ adricas.

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2. Cu´ adricas.

2

En todo este cap´ıtulo trabajaremos en el espacio af´ın eucl´ıdeo E3 con respecto a una referencia rectangular {O; e¯1 , e¯2 , e¯3 }. Denotaremos por (x, y, z) las coordenadas cartesianas respecto a esta referencia y por (x, y, z, t) las coordenadas homog´eneas.

1

Intersecci´ on de una recta y una cu´ adrica.

Consideramos una cu´ adrica dada por una matriz sim´etrica A. Sean P = (p) y Q = (q) dos puntos cualesquiera. Calculemos en coordenadas homog´eneas la intersecci´ on de la recta que los une y la cu´ adrica: recta P Q cu´ adrica

Definici´ on y ecuaciones.

≡ ≡

(x) = α(p) + β(q). (x)A(x)t = 0.

Sustituyendo la primera ecuaci´ on en la segunda queda: Definici´ on 1.1 Una cu´ adrica es una superficie en E3 determinada, en coordenadas cartesianas, por una ecuaci´ on de segundo grado.

(α(p) + β(q))A(α(p) + β(q))t = 0 ⇐⇒ α2 (p)A(p)t + 2αβ(p)A(q)t + β 2 (q)A(q)t = 0. - Si (p)A(p)t = (p)A(q)t = (q)A(q)t = 0 la ecuaci´ on se cumple para cualquier par (α, β) luego la recta est´ a contenida en la cu´ adrica.

De esta forma la ecuaci´ on general de una cu´ adrica ser´ a: a11 x2 + a22 y 2 + a33 z 2 + 2a12 xy + 2a13 xz + 2a23 yz + 2a14 x + 2a24 y + 2a34 z + a44 = 0

- En otro caso, obtenemos una ecuaci´ on de segundo grado de discriminante: con (a11 , a22 , a33 , a12 , a13 , a23 ) 6= (0, 0, 0, 0, 0, 0) (para garantizar que la ecuaci´ on es de segundo grado.)

1 ∆ = [(p)A(q)t ]2 − [(p)A(p)t ][(q)A(q)t ]. 4

Otras expresiones equivalentes de la ecuaci´ on de una cu´ adrica son:

Hay tres posibilidades:

1. En funci´ on de la matriz A asociada a la cu´ adrica (toda matriz sim´etrica 4 × 4 determina una cu´ adrica):

  x

y ( x y z 1 ) A   = 0, z



a11

a12

a13

a14

1. ∆ > 0: Recta secante. Hay dos soluciones reales distintas, luego la recta corta a la cu´ adrica en dos puntos distintos.



2. ∆ = 0: Recta tangente. Hay una soluci´ on doble, luego la recta corta a la cu´ adrica en un punto doble.

a22 a23 a24  a con A =  12 . a a a a 

1

13

23

33

34

a14

a24

a34

a44

3. ∆ < 0: Recta exterior. No hay soluciones reales. La recta no corta a la cu´ adrica.

2. En funci´ on de la matriz T de t´ erminos cuadr´ aticos: ! ! x x ( x y z ) T y + 2 ( a14 a24 a34 ) y + a44 = 0, z z con ! a11 a12 a13 T = a12 a22 a23 6= Ω. a13 a23 a33 3. En coordenadas homog´eneas:

 

(x

y

z

x y t ) A   = 0, z t



a11  a12 con A =  a13 a14

a12 a22 a23 a24

a13 a23 a33 a34

Podemos aplicar esto a dos situaciones: 1. Plano tangente a la cu´ adrica en un punto P de la misma. El plano tangente a la cu´ adrica en un punto P est´ a formado por todas las rectas tangentes en dicho punto. Como P est´ a en la cu´ adrica entonces (p)A(p)t = 0. Por tanto el plano tangente tendr´ a por ecuaci´ on: (p)A(x)t = 0



a14 a24  . a34  a44

2. Cono de rectas tangentes a la cu´ adrica desde un punto P exterior. Si P es un punto exterior a la cu´ adrica, las rectas tangentes a la misma se obtendr´ an mediante la ecuaci´ on: [(p)A(x)t ]2 − [(p)A(p)t ][(x)A(x)t ] = 0

De la u ´ltima ecuaci´ on deducimos que, en coordenadas homog´enas, los puntos de la cu´ adrica son los vectores autoconjugados de la forma cuadr´ atica que determina la matriz asociada A.

teniendo en cuenta que dicha ecuaci´ on corresponde, en general, al cono de centro P formado por rectas tangentes a la cu´ adrica.

Definici´ on 1.2 Diremos que una cu´ adrica es degenerada cuando su matriz asociada tiene determinante nulo.

De nuevo la polaridad nos proporcionar´ a otro m´etodo para calcular estas rectas.

100

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3

Polaridad.

es decir hay una u ´nica soluci´ on y por tanto la recta P X es tangente a la cu´ adrica en X. 2. Si P est´ a en la cu´ adrica, entonces el plano polar es el plano tangente a la cu´ adrica en el punto P . Prueba: Es un caso particular de la situaci´ on anterior.

Trabajamos con una cu´ adrica de matriz asociada A. Definici´ on 3.1 Dado un punto P de coordenadas homog´eneas (p1 , p2 , p3 , tp ) y una cu´ adrica determinada por una matriz A, se llama plano polar de P respecto a la cu´ adrica al plano de ecuaci´ on:

Como veremos m´ as adelante hay cu´ adricas formadas por dos familias de rectas reales, es decir, cu´ adricas por cada uno de cuyos puntos pasan dos rectas reales. El plano tangente nos sirve para calcular dichas rectas. Basta tener en cuenta el siguiente resultado:

  x

( p1

p2

p3

y tp ) A   = 0. z t

Teorema 3.3 El plano tangente a una cu´ adrica (si no est´ a contenido en ella) corta a la misma en dos rectas (reales o imaginarias), o una recta doble.

P se dice el polo del plano.

Prueba: Dado que la cu´ adrica est´ a definida por una ecuaci´ on de grado 2, la intersecci´ on de esta superficie con un plano no contenido en ella, viene tambi´en determinada por una ecuaci´ on de grado 2. Por tanto se tratar´ a de una c´ onica.

Observaci´ on 3.2 An´ alogamente a lo que ocurr´ıa en el caso de las c´ onicas, los conceptos de polo y plano polar son duales. Supongamos que la cu´ adrica definida por A es no degenerada. Dados un polo P y su plano polar πP la famila de planos pasando por P se corresponde con los planos polares de los puntos de πp . Para comprobar esto simplemente tenemos en cuenta lo siguiente. Sean (p) las coordenadas de P . Si B, C y D son tres puntos de πP , con coordenadas (b), (c) y (d) respectivamente, se tiene que:

Sea una cu´ adrica determinada por la matriz A y P = (p) un punto de la cu´ adrica. La ecuaci´ on del plano tangente en P es: (p)A(x)t = 0 Sea Q = (q) un punto cualquiera en la intersecci´ on de la cu´ adrica y del plano tangente. Veamos que la recta que une P y Q est´ a contenida en la cu´ adrica. Se tiene:

(p)A(b)t = 0 ⇒ P ∈ plano polar de B (p)A(c)t = 0 ⇒ P ∈ plano polar de C (p)A(d)t = 0 ⇒ P ∈ plano polar de D

P ∈cu´ adrica Q ∈cu´ adrica Q ∈plano tangente

Por tanto el haz de planos que pasa por P ser´ a: planos pasando por P

⇐⇒ ⇐⇒ ⇐⇒ ⇐⇒

α(b)A(x)t + β(c)A(x)t + γ(d)A(x)t = 0 ⇐⇒ (α(b) + β(c) + γ(d))A(x)t = 0 ⇐⇒ planos polares de los puntos α(b) + β(c) + γ(d) ⇐⇒ planos polares de los puntos de πP .

Es decir los puntos (p) y (q) cumplen exactamente las condiciones que vimos en la secci´ on anterior que aseguran que la recta que los une est´ a contenida en la cu´ adrica.

Veamos la interpretaci´ on geom´etrica del plano polar. Sea C la cu´ adrica (no degenerada) definida por A, P el polo y πP el correspondiente plano polar:

4

⇐⇒ ⇐⇒ ⇐⇒

- el punto Q con respecto a la primera referencia tiene por coordenadas (q 1 , q 2 , q 3 ).

t

(x)A(x) = 0. (p)A(x)t = 0. α(p) + β(x) = 0.

- {¯ e0 } = C{¯ e}, donde C = MB 0 B . Entonces sabemos que la f´ ormula de cambio de referencia es:



Veamos que la recta que une P y X es tangente a C. Intersecamos dicha recta con la cu´ adrica y obtenemos: α2 (p)A(p)t + 2αβ(p)A(x)t + β 2 (x)A(xt ) = 0

⇒

Cambio de sistema de referencia.

Sean dos sistemas de referencia R1 = {O; e¯1 , e¯2 , e¯3 } y R2 = {Q; e¯01 , e¯02 , e¯03 }. Denotamos por (x, y, z) e (x0 , y 0 , z 0 ) respectivamente a las coordenadas cartesianas en cada una de las referencias. Supongamos que

1. Si P no est´ a en la cu´ adrica y el plano polar interseca a la cu´ adrica, entonces los puntos de intersecci´ on del plano polar y la cu´ adrica son los puntos de tangencia de las rectas tangentes a la cu´ adrica pasando por P . Prueba: Sea X ∈ C ∩ πP . Entonces se verifican las ecuaciones: X∈C X ∈ πp recta uniendo X y P

(p)A(p)t = 0 (q)A(q)t = 0 (p)A(q)t = 0

⇒ ⇒ ⇒



C

(x, y, z, t) = (x0 , y 0 , z 0 , t0 ) 



α2 (p)A(p) = 0

q1

101

q2

q3

0 0  ⇐⇒ (x, y, z, t) = (x0 , y 0 , z 0 , t0 )B. 0  1

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Razonando exactamente igual que en el caso de c´ onicas obtenemos:

positivos es siempre mayor que el de negativos (esto siempre es posible salvo cambio de signo de A). Adem´ as sabemos que existe una base ortonormal de autovectores {¯ u1 , u ¯2 , u ¯3 } de manera que:

Teorema 4.1 Las matrices A, A0 de una cu´ adrica con respecto a dos referencias R1 , R2 distintas, son matrices congruentes 0

A = BAB

0

t

0

t

T = CT C con {¯ u} = C{¯ e} y T =

λ1 0 0

0 λ2 0

0 0 λ3

!

siendo B la matriz de cambio de referencia de R2 a R1 , en coordenadas homog´eneas. La ecuaci´ on de cambio de coordenadas es: 0

Teorema 4.2 Las matrices de t´erminos cuadr´ aticos T, T de una cu´ adrica con respecto a dos referencias R1 , R2 distintas son matrices congruentes

(x, y, z) = (x0 , y 0 , z 0 )C de manera que en la nueva base la ecuaci´ on de la cu´ adrica es:

T 0 = CT C t siendo C la matriz de cambio de la base de R2 a la de R1 .

5

0

(x

Clasificaci´ on de cu´ adricas y ecuaci´ on reducida.

0

z ) CT C

t

x0 y0 z0

! + 2 ( a14

a24

a34 ) C

t

x0 y0 z0

! + a44 = 0

Operando queda: λ1 x02 + λ2 y 02 + λ3 z 02 + 2b14 x0 + 2b24 y 0 + 2b34 z 0 + b44 = 0

Dada una cu´ adrica definida por una matriz sim´etrica A, de manera an´ aloga a lo que hac´ıamos en el caso de las c´ onicas, encontrar su ecuaci´ on reducida consiste en hacer una cambio de referencia de manera que la ecuaci´ on de la cu´ adrica con respecto a esa nueva referencia sea lo m´ as sencilla posible. De nuevo realizamos:

5.2

Paso II: Reducci´ on 3 traslaci´ on ).

de

t´ erminos

lineales

(la

Ahora a partir de la ecuaci´ on anterior completamos las expresiones de x0 , y 0 e z 0 al cuadrado de un binomio (si es posible), sumando y restando los t´erminos adecuados. En concreto:

1. Un giro. Nos permite colocar el eje o ejes de la cu´ adrica paralelos a los ejes de coordenadas de la nueva referencia. La matriz de t´erminos cuadr´ aticos en la nueva referencia ser´ a diagonal.

- Para x0 :

2. Una traslaci´ on. Que nos permite colocar el/los centro/s (si existe/n) de la cu´ adrica en el origen de coordenadas (en otro caso llevaremos un v´ertice al eje de coordenadas).

λ1 x02 + 2b14 x0 = λ1 (x02 + 2

Como en el caso de c´ onicas, hacemos la siguiente observaci´ on importante:

b14 0 b214 b2 b14 2 b214 x + 2 ) − 14 = λ1 (x0 + ) − λ1 λ1 λ1 λ1 λ1

- Para y 0 , si λ2 6= 0:

Supondremos que al menos un t´ ermino de la diagonal de la matriz T de t´ erminos cuadr´ aticos es no negativo.

λ2 y 02 + 2b24 y 0 = λ2 (y 02 + 2

Si esta propiedad no se cumple, basta trabajar con la matriz −A en lugar de con A. De esta forma aseguramos que T siempre tiene al menos un autovalor positivo.

5.1

y

0

b24 0 b224 b2 b24 2 b224 y + 2 ) − 24 = λ2 (y 0 + ) − λ2 λ2 λ2 λ2 λ2

- Para z 0 : • Si λ3 6= 0:

Paso I: Reducci´ on de t´ erminos cuadr´ aticos (el giro).

λ3 z 02 + 2b34 z 0 = λ3 (z 02 + 2

Dado que la matriz T de t´erminos cuadr´ aticos es sim´etrica y no nula, tiene tres autovalores reales λ1 , λ2 y λ3 , con λ1 6= 0. Supondremos los autovalores ordenados seg´ un el criterio positivos-negativos-nulos, y que el n´ umero de autovalores

3 Si

102

b34 0 b234 b2 b34 2 b234 z + 2 ) − 34 = λ3 (z 0 + ) − λ3 λ3 λ3 λ3 λ3

λ2 = λ3 = 0 y b224 + b234 6= 0 todav´ıa habr´ a que hacer un giro.

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• Si λ3 = 0, λ2 6= 0 y b34 6= 0: Autovalores y coeficientes

Cambio de referencia y ecuaci´ on reducida. b14 λ1 b24 y 00 = y 0 + λ2 b34 z 00 = z 0 + λ3

x00 = x0 +

2b34 z 0 + b44 −

b224 b2 1 b2 b2 − 14 = 2b34 (z 0 + (b44 − 24 − 14 )) λ2 λ1 2b34 λ2 λ1

λ1 , λ2 , λ3 6= 0

λ1 x002 + λ2 y 002 + λ3 z 002 + c44 = 0

b14 λ1 b24 y 00 = y 0 + λ2 z 00 = z 0 + 2b134 (b44 − x00 = x0 +

• Si λ2 = λ3 = 0 y b224 + b234 6= 0. En este caso adem´ as de la traslaci´ on todav´ıa hay que hacer un giro:

λ1 , λ2 6= 0 λ3 = 0 b34 6= 0

b2 24 λ2

−

b2 14 ) λ1

λ1 x002 + λ2 y 002 + 2c34 z 00 = 0

2b24 y 0 + 2b34 z 0 + b44 −

con c24 =

b214 λ1

= 2c24

b24 y 0 + b34 z 0 + 12 (b44 −

b14 λ1 b24 y 00 = y 0 + λ2 x00 = x0 +

b2 14 ) λ1

λ1 , λ2 6= 0 λ3 = 0 b34 = 0

c24

λ1 x002 + λ2 y 002 + c44 = 0

b14 λ1 b24 y 0 + b34 z 0 + 12 (b44 −

x00 = x0 +

p

b224 + b234 .

00

λ1 6= 0 λ2 = λ3 = 0 b224 + b234 6= 0

y = z 00 =

b34 y 0 − b24 z 0 c24

c24

λ1 x002 + 2c24 y 00 = 0 ,

Hacemos en cada caso el cambio de referencia correspondiente y obtenemos las siguientes formas reducidas:

λ1 6= 0 λ2 = λ3 = 0 b224 + b234 = 0

λ1 x02 + λ2 y 02 + λ3 z 02 + 2b14 x0 + 2b24 y 0 + 2b34 z 0 + b44 = 0

103

b2 14 ) λ1

x00 = x0 +

c24 =

b14 λ1

λ1 x002 + c44 = 0

p

b224 + b234

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(b) c34 = 0:

Es decir nos queda una ecuaci´ on reducida de la forma: λ1 x

002

+ λ2 y

002

+ λ3 z

002

00

i. si c44 > 0, entonces la ecuaci´ on reducida es:

00

+ 2c24 y + 2c34 z + c44 = 0

λ1 x002 + λ2 y 002 + c44 = 0

con las siguientes posibilidades para los valores de λ2 , λ3 , c24 , c34 y c44 : 1. Si λ2 > 0 y λ3 > 0, entonces c24 = c34 = 0 y si:

ii. si c44 = 0, entonces la ecuaci´ on reducida es:

(a) c44 > 0, entonces la ecuaci´ on reducida es: 002

λ1 x

+ λ2 y

002

+ λ3 z

002

+ |c44 | = 0

Cilindro el´ıptico imaginario.

λ1 x002 + λ2 y 002 = 0

Planos imaginarios que se cortan.

Elipsoide imaginario. iii. si c44 < 0, entonces la ecuaci´ on reducida es:

(b) c44 = 0, entonces la ecuaci´ on reducida es: λ1 x002 + λ2 y 002 + λ3 z 002 = 0

λ1 x002 + λ2 y 002 − |c44 | = 0

Cilindro el´ıptico real.

Cono imaginario. 4. Si λ2 < 0 y λ3 = 0, entonces c24 = 0 y si: (a) c34 6= 0, entonces c44 = 0 y la ecuaci´ on reducida es:

(c) c44 < 0, entonces la ecuaci´ on reducida es: λ1 x002 + λ2 y 002 + λ3 z 002 − |c44 | = 0

λ1 x002 − |λ2 |y 002 + 2c34 z 00 = 0

Elipsoide real.

(b) c34 = 0, entonces c34 = 0 y,:

2. Si λ2 > 0, λ3 < 0, entonces c24 = c34 = 0 y si:

i. si c44 6= 0, entonces la ecuaci´ on reducida es:

(a) c44 > 0, entonces la ecuaci´ on reducida es: λ1 x002 + λ2 y 002 − |λ3 |z 002 + c44 = 0

Paraboloide hip´erbolico.

λ1 x002 − |λ2 |y 002 + c44 = 0

Hiperboloide de dos hojas.

Cilindro hiperb´ olico.

ii. si c44 = 0, entonces la ecuaci´ on reducida es: (b) c44 = 0, entonces la ecuaci´ on reducida es: λ1 x002 − |λ2 |y 002 = 0 λ1 x002 + λ2 y 002 − |λ3 |z 002 = 0

Planos reales que se cortan.

Cono real. 5. Si λ2 = λ3 = 0, entonces c34 = 0 y si:

(c) c44 < 0, entonces la ecuaci´ on reducida es: λ1 x002 + λ2 y 002 − |λ3 |z 002 − |c44 | = 0

(a) b224 + b234 > 0, entonces c44 = 0 y la ecuaci´ on reducida es: Hiperboloide de una hoja.

λ1 x002 + 2c24 y 00 = 0

3. Si λ2 > 0 y λ3 = 0, entonces c24 = 0 y si:

(b) b224 + b234 = 0, entonces c24 = c34 = 0 y:

(a) c34 6= 0, entonces c44 = 0 y la ecuaci´ on reducida es: λ1 x002 + λ2 y 002 + 2c34 z 00 = 0

Cilindro parab´ olico.

i. si c44 > 0, entonces la ecuaci´ on reducida es: λ1 x002 + c44 = 0

Paraboloide el´ıptico.

104

Planos paralelos imaginarios.

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ii. si c44 = 0, entonces la ecuaci´ on reducida es: λ1 x002 = 0

Hay que tener en cuenta que las diagonalizaciones de A por congruencia, no tienen porque coincidir con la forma reducida de la cu´ adrica. Es decir, nos sirven para clasificar la cu´ adrica pero no para calcular su ecuaci´ on reducida.

Plano doble.

Tambi´en podemos calcular directamente la signatura de T , hallando sus autovalores o por diagonalizaci´ on y utilizar el rango y determinante de A para precisar la clasificaci´ on. Como u ´nico inconveniente, de esta forma no distinguimos entre el car´ acter real o imaginario del cilindro el´ıptico y de los planos que se cortan.

iii. si c44 < 0, entonces la ecuaci´ on reducida es: λ1 x002 − |c44 | = 0

5.3

Planos paralelos reales.

Clasificaci´ on en funci´ on de las signaturas de T y A.

Signatura +, +, + +, +, − +, +, 0 +, −, 0 Signatura +, +, + +, +, − +, +, 0 +, −, 0 +, 0, 0 Signatura +, +, 0 +, −, 0 +, 0, 0 Signatura +, 0, 0

Teniendo en cuenta que los cambios de referencia equivalen a multiplicar la matriz A, de la forma BAB t . Para clasificar la cu´ adrica podemos diagonalizar (hasta donde sea posible) la matriz A por congruencia, pero con la siguiente restricci´ on: La u ´ ltima fila no puede ser ni sumada a las dem´ as ni multiplicada por un escalar ni cambiada de posici´ on. Si la matriz A es diagonalizable, podemos clasificar completamente la cu´ adrica en funci´ on de la signatura de A. Salvo cambio de signo aparecer´ a alguno de los siguientes casos. Signatura A +, +, +; + +, +, +; 0 +, +, +; − +, +, −; + +, +, −; 0 +, +, −; − +, +, 0; + +, +, 0; 0 +, +, 0; − +, −, 0; + +, −, 0; 0 +, 0, 0; + +, 0, 0; 0 +, 0, 0; −

A SI diagonaliza. Elipsoide imaginario Cono imaginario Elipsoide real Hiperboloide de 2 hojas Cono real Hiperboloide de 1 hoja Cilindro el´ıptico imaginario Planos imaginarios que se cortan Cilindro el´ıptico real Cilindro hiperb´ olico Planos reales que se cortan Planos paralelos imaginarios Plano doble Planos paralelos reales

T

T

T

Adem´ as cuando la cu´ adrica es no degenerada podemos calcular la ecuaci´ on reducida, a partir de los autovalores λ1 > 0, λ2 y λ3 de T y de |A|: 1. Si |T | 6= 0, entonces queda: λ1 x002 + λ2 y 002 + λ3 z 002 + c = 0,

con

c=

|A| . |T |

2. Si |T | = 0, entonces queda:

r

Si A no diagonaliza, la cu´ adrica es de tipo parab´ olico. La clasificaci´ on puede hacerse entonces en funci´ on de la signatura de T . Signatura T +, +, 0 +, −, 0 +, 0, 0

rango(A) = 4 |A| > 0 |A| < 0 Elipsoide imaginario Elipsoide real Hiperboloide de 1 hoja Hiperboloide de 2 hojas Paraboloide el´ıptico Paraboloide hiperb´ olico rango(A) = 3 Cono imaginario Cono real Cilindro el´ıptico real o imaginario Cilindro hiperb´ olico Cilindro parab´ olico rango(A) = 2 Planos imaginarios que se cortan Planos reales que se cortan Planos paralelos reales o imaginarios rango(A) = 1 Plano doble

T

002

λ1 x

+ λ2 y

002

00

− 2cz = 0,

con

c=

|A| . −λ1 λ2

Podemos incluso dar la referencia en que se obtienen estas formas reducidas:

A NO diagonaliza. Paraboloide el´ıptico Paraboloide hiperb´ olico Cilindro parab´ olico

1. En el caso de |T | 6= 0 (de tipo el´ıptico o hiperb´ olico), la base de la nueva referencia est´ a formada por los autovectores de T ortonormalizados y el nuevo

105

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Tema V. Cap´ıtulo 2. Cu´ adricas.

Veamos cuando aparecen puntos singulares en una cu´ adrica. Sea P = (p) un punto de la misma. Tomamos una recta cualquiera pasando por P . Para ello elegimos un punto cualquiera Q = (q) que no est´e en la cu´ adrica y lo unimos con P . Su ecuaci´ on en coordenadas homog´eneas es:

origen situado en el centro de la cu´ adrica. Simplemente hay que tener cuidado de ordenar los autovectores de manera coherente a como se ordenan los autovalores. 2. En el caso de |T | = 0 (de tipo parab´ olico), la base de la nueva referencia est´ a formada por los autovectores de T ortonormalizados y el nuevo origen en el v´ertice. Ahora adem´ as de ordenar correctamente los autovectores, hay que comprobar si se ha escogido correctamente el signo del autovector asociado al autovalor nulo.

(x) = α(p) + β(q). Si intersecamos con la cu´ adrica, nos queda la ecuaci´ on: 2αβ(p)A(q) + β 2 (q)A(q) = 0.

5.4

Obtenci´ on de los planos que forman las cu´ adricas de rango 1 ´ o 2.

El punto P es singular si la u ´nica soluci´ on de esta ecuaci´ on es β = 0 con multiplicidad 2, para cualquier punto (q), es decir si:

Una vez clasificada la cu´ adrica, si esta es de rango 1 o 2, la forma m´ as c´ omoda de calcular los planos que la forman es la siguiente:

(p)A(q) = 0 para cualquier (q). Esto se cumple cuando: (p)A = ¯ 0.

1. Si se trata de planos paralelos (reales o imaginarios) o de un plano doble, se calcula el plano de centros. Si es un plano doble hemos terminado. En otro caso intersecamos la cu´ adrica con una recta cualquiera (lo m´ as sencilla posible) y obtenemos dos puntos (reales o imaginarios). Los planos buscados son los paralelos al plano de centros pasando por dichos puntos.

Concluimos lo siguiente: Teorema 6.2 Una cu´ adrica dada por una matriz A tiene puntos singulares (propios o impropios) si y s´ olo si det(A) = 0. En ese caso la cu´ adrica se dice degenerada y los puntos singulares (afines) son los que verifican la ecuaci´ on:

2. Si se trata de planos que se cortan (reales o imaginarios), se calcula la recta de centros. Luego intersecamos la cu´ adrica con una recta cualquiera (lo m´ as sencilla posible) que no interseque a la recta de centros y obtenemos dos puntos (reales o imaginarios). Los planos buscadas son los generados por la recta de centros y dichos puntos.

(x

6.2

6

y

z

1)A = ¯ 0

Centro.

Puntos, rectas y planos notables asociados a una cu´ adrica.

Definici´ on 6.3 El centro de una cu´ adrica es un punto af´ın centro de simetr´ıa de la misma.

En lo que sigue trabajaremos sobre una cu´ adrica cuya matriz asociada respecto a un determinado sistema de referencia es A.

Llamemos (a, b, c, 1) a las coordenadas homog´eneas del centro. Veamos como calcularlo:

6.1

- Consideramos la ecuaci´ on de una recta que pasa por el centro y tiene un determinado vector director (p, q, r):

Puntos singulares.

(x, y, z, 1) = (a, b, c, 1) + λ(p, q, r, 0). Definici´ on 6.1 Un punto singular de una superficie es un punto de no diferenciabilidad de la misma.

- Sustituimos en la ecuaci´ on de la cu´ adrica y obtenemos:

Equivalentemente, un punto singular de una superficie es un punto con m´ as de un plano de tangencia.

 

(p

Equivalentemente, si toda recta pasando por un punto P de una superficie la corta con multiplicidad > 1 en P , entonces P es un punto singular.

106

q

r

p q 2 0)A λ + 2(a r 0

 

b

c

p q 1)A λ + (a r 0

  a

b b c 1)A  = 0 c 1

Tema V. Cap´ıtulo 2. Cu´ adricas.

´ Algebra. Departamento de M´etodos Matem´ aticos y de Representaci´ on. UDC.

- Para que (a, b, c, 1) sea centro las soluciones de λ han de ser valores opuestos para cualquier direcci´ on (p, q, r) 6= (0, 0, 0). Esto significa que:

donde (u1 , u2 , u3 ) es la direcci´ on conjugada. Por otra parte vimos que si (a, b, c, 1) es el centro verifica:

 

 

(a

b

c

p q 1 ) A   = 0 para cualquier (p, q, r) 6= (0, 0, 0) r 0

(a

b

c

1)A = (0

0

0

 

0 a b 0 h ) ⇐⇒ A   =   . 0 c h 1

Deducimos que:

  a

- Deducimos que la ecuaci´ on del centro es: ( u1 (a

6.3

b

c

u3

1 y por tanto el plano diametral contiene al centro. Como los di´ ametros son intersecci´ on de planos diametrales, entonces tambi´en contienen al centro.

Direcciones asint´ oticas.

Definici´ on 6.4 Las direcciones asint´ oticas son los puntos del infinito que pertenecen a la cu´ adrica.

6.5

Planos principales, ejes y v´ ertices.

Definici´ on 6.7 Se llaman planos principales a los planos diametrales perpendiculares a su direcci´ on conjugada.

De la definici´ on es claro que las direcciones asint´ oticas (p, q, r, 0) se obtienen resolviendo la ecuaci´ on:

Se llaman ejes a la intersecci´ on de los planos principales.

  p

Se llaman v´ ertices a la intersecci´ on de los ejes con la cu´ adrica.

q ( p q r 0 ) A   = 0, r

(p, q, r) 6= (0, 0, 0) Observaci´ on 6.8 Las direcciones conjugadas de los planos principales son los autovectores de T asociados a autovalores no nulos.

0

6.4

u2

1 ) A = (0, 0, 0, h)

b 0)A  = 0 c

Prueba: Sea (u1 , u2 , u3 , 0) un punto del infinito y

Planos diametrales y di´ ametros.

  x

Definici´ on 6.5 Un plano diametral de una cu´ adrica es el plano polar (af´ın) de un punto del infinito. Al punto del infinito se le llama direcci´ on conjugada con el plano diametral.

(u

1

u

2

u

3

y 0)A  = 0 z 1

Un di´ ametro es una recta intersecci´ on de dos planos diametrales.

la ecuaci´ on del correspondiente plano diametral. Operando, obtenemos que el vector normal del plano es: ( u1 u2 u3 ) T.

Observaci´ on 6.6 Cualquier di´ ametro pasa por el centro (o centros) de la cu´ adrica.

Como esta recta debe de ser perpendicular a la direcci´ on conjugada, este vector normal ha de ser paralelo a (u1 , u2 , u3 ) y por tanto:

Prueba: Supongamos que A es la matriz de la cu´ adrica y (a, b, c, 1) es un centro. Un plano diametral tiene por ecuaci´ on:

( u1

u2

u3 ) T = λ ( u1

u2

u3 ) .

  x

(u

1

u

2

u

3

Deducimos que (u1 , u2 , u3 ) es un autovector de T , asociado al autovalor λ. Finalmente tenemos en cuenta que si λ = 0, entonces el plano anterior ser´ıa el plano del infinito, y por tanto no es un eje.

y 0)A  = 0 z 1

107

Tema V. Cap´ıtulo 2. Cu´ adricas.

´ Algebra. Departamento de M´etodos Matem´ aticos y de Representaci´ on. UDC.

7

7.1.2

Descripci´ on de las cu´ adricas reales de rango 3 y 4.

7.1 7.1.1

Hiperboloide de una hoja.

La ecuaci´ on reducida de un hiperboloide de una hoja es:

Cu´ adricas reales de rango 4. Elipsoide real. x2 y2 z2 + 2 − 2 = 1, 2 a b c

La ecuaci´ on reducida de una elipsoide es:

x2 y2 z2 + + = 1, a2 b2 c2

a, b, c 6= 0

a, b, c 6= 0 Sus puntos, rectas y planos notables son: 1. Centro: (0, 0, 0).

Sus puntos, rectas y planos notables son:

2. Direcciones asint´ oticas: El cono formado por todos los vectores (x, y, z) que verifican la ecuaci´ on: x2 y2 z2 + 2 − 2 = 0. 2 a b c 3. Planos diametrales y di´ ametros: Cualquier plano y cualquier recta pasando por el centro.

1. Centro: (0, 0, 0). 2. Direcciones asint´ oticas: No tiene. 3. Planos diametrales y di´ ametros: pasando por el centro.

Cualquier plano y cualquier recta

4. Planos principales, ejes y v´ ertices:

4. Planos principales, ejes y v´ ertices:

(a) a 6= b: (a) a 6= b 6= c: Planos princip. x = 0; y = 0; z = 0;

Ejes y = 0; z = 0; x = 0; z = 0; x = 0; y = 0;

Planos princip. x = 0; y = 0; z = 0;

V´ ertices (−a, 0, 0), (a, 0, 0) (0, b, 0), (0, −b, 0) (0, 0, c), (0, 0, −c)

Ejes y = 0; z = 0; x = 0; z = 0; x = 0; y = 0;

V´ ertices (−a, 0, 0), (a, 0, 0) (0, b, 0), (0, −b, 0)

(b) a = b (Hiperboloide de una hoja de revoluci´ on): (b) a = b y b 6= c (Elipsoide de revoluci´ on): Planos princip. αx + βy = 0; z = 0;

Ejes αx + βy = 0; z = 0; x = 0; y = 0; (OZ ≡ Eje de revoluci´ on)

Planos princip. αx + βy = 0;

V´ ertices (p, q, 0) p2 + q 2 = a2 (0, 0, c), (0, 0, −c)

Ejes αx + βy = 0; z = 0;

V´ ertices (p, q, 0) p2 + q 2 = a2

x = 0; y = 0; (OZ ≡ Eje de revoluci´ on)

z = 0;

El hiperboloide de una hoja es una superficie reglada. Las dos familias de rectas que tiene la cu´ adrica son:

(c) a = b = c (Esfera): Todos los planos y rectas pasando por el centro son planos principales y ejes. Por tanto todos los puntos de la esfera son v´ertices. Cualquier recta pasando por el centro es un eje de revoluci´ on.

x z + a c x z α − a c



108



= =

y α 1+  b y 1− b



   

y

x z + a c  β x−z a c

 





= =

y β 1−  b y 1+ b



 .

´ Algebra. Departamento de M´etodos Matem´ aticos y de Representaci´ on. UDC.

Tema V. Cap´ıtulo 2. Cu´ adricas.

7.1.3

Hiperboloide de dos hojas.

La ecuaci´ on reducida de un hiperboloide de dos hojas es: x2 y2 + 2 − 2cz = 0, 2 a b

x2 y2 z2 + 2 − 2 + 1 = 0, 2 a b c

a, b, c 6= 0

a, b 6= 0, c > 0

Sus puntos, rectas y planos notables son: 1. Centro: No tiene (podr´ıa considerarse como centro impropio el (0, 0, 1, 0)). 2. Direcciones asint´ oticas: (0, 0, 1). 3. Planos diametrales y di´ ametros: Planos y rectas paralelos al eje OZ.

Sus puntos, rectas y planos notables son:

4. Planos principales, ejes y v´ ertices: (a) a 6= b:

1. Centro: (0, 0, 0).

Planos princip. x = 0; y = 0;

2. Direcciones asint´ oticas: El cono formado por todos los vectores (x, y, z) que verifican la ecuaci´ on: x2 y2 z2 + 2 − 2 = 0. 2 a b c 3. Planos diametrales y di´ ametros: pasando por el centro.

Cualquier plano y cualquier recta

Planos princip. αx + βy = 0;

(a) a 6= b: Ejes y = 0; z = 0; x = 0; z = 0; x = 0; y = 0;

V´ ertices

(0, 0, −c), (0, 0, c)

(b) a = b (Hiperboloide de dos hojas de revoluci´ on): Planos princip. αx + βy = 0; z = 0;

7.1.4

Ejes αx + βy = 0; z = 0; x = 0; y = 0; (OZ ≡ Eje de revoluci´ on)

x = 0;

y = 0;

V´ ertices (0, 0, 0)

(b) a = b (Paraboloide el´ıptico de revoluci´ on):

4. Planos principales, ejes y v´ ertices:

Planos princip. x = 0; y = 0; z = 0;

Ejes

V´ ertices

(0, 0, −c), (0, 0, c)

Paraboloide el´ıptico.

La ecuaci´ on reducida de un paraboloide el´ıptico es:

109

Ejes x = 0; y = 0; (OZ ≡ Eje de revoluci´ on)

V´ ertices (0, 0, 0)

´ Algebra. Departamento de M´etodos Matem´ aticos y de Representaci´ on. UDC.

Tema V. Cap´ıtulo 2. Cu´ adricas.

7.1.5

Paraboloide hiperb´ olico.

La ecuaci´ on reducida de un paraboloide hiperb´ olico es: x2 y2 z2 + − = 0, a2 b2 c2 x2 y2 − 2 − 2cz = 0, 2 a b

a, b, c 6= 0

a, b 6= 0, c > 0 Sus puntos, rectas y planos notables son: 1. Puntos singulares: (0, 0, 0).

Sus puntos, rectas y planos notables son:

2. Centro: (0, 0, 0). 3. Direcciones asint´ oticas: Vectores (x, y, z) que verifican la ecuaci´ on del cono.

1. Centro: No tiene (podr´ıa considerarse como centro impropio el (0, 0, 1, 0)).

4. Planos diametrales y di´ ametros: Planos y rectas pasando por el centro.

2. Direcciones asint´ oticas: (a, b, z) y (a, −b, z), para cualquier z ∈ IR.

5. Planos principales, ejes y v´ ertices:

3. Planos diametrales y di´ ametros: Planos y rectas paralelos al eje OZ.

(a) a 6= b: Planos princip. x = 0; y = 0; z = 0;

4. Planos principales, ejes y v´ ertices:

Planos princip. x = 0; y = 0;

Ejes x = 0;

V´ ertices

y = 0;

El paraboloide hiperb´ olico es una superficie reglada. Las dos familias de rectas que tiene la cu´ adrica son:

αx + βy = 0; z = 0;

7.2 7.2.1

y x + a b x y − a b





= =



2cz  α

y



y x + a b  β x−y a b

 





=

β

=

2cz

V´ ertices (0, 0, 0)

(b) a = b (Cono real de revoluci´ on):

(0, 0, 0)

Planos princip.

α

Ejes y = 0; z = 0; x = 0; z = 0; x = 0; y = 0;

.

Ejes αx + βy = 0; z = 0;

V´ ertices (0, 0, 0)

x = 0; y = 0; (OZ ≡ Eje de revoluci´ on)

El cono es una superficie reglada. Las generatrices del cono vienen dadas por las ecuaciones:   z x y + = α b c a . z x y α − = c a b

Cu´ adricas reales de rango 3. Cono real.

7.2.2

La ecuaci´ on reducida de un cono real es:

Cilindro el´ıptico real.

La ecuaci´ on reducida de un cilindro el´ıptico real es:

110

´ Algebra. Departamento de M´etodos Matem´ aticos y de Representaci´ on. UDC.

Tema V. Cap´ıtulo 2. Cu´ adricas.

x2 y2 + = 1, a2 b2

x2 y2 − 2 = 1, 2 a b

a, b 6= 0

Sus puntos, rectas y planos notables son:

a, b 6= 0

Sus puntos, rectas y planos notables son:

1. Puntos singulares: Punto (impropio) (0, 0, 1, 0). 1. Puntos singulares: Punto (impropio) (0, 0, 1, 0). 2. Centro: El eje OZ es una recta de centros (x = 0; y = 0). 2. Centro: El eje OZ es una recta de centros (x = 0; y = 0).

3. Direcciones asint´ oticas: (0, 0, 1). 4. Planos diametrales y di´ ametros: u ´nico di´ ametro el eje OZ.

3. Direcciones asint´ oticas: (0, 0, 1), (a, b, z) y (a, −b, z), para cualquier z ∈ IR.

Planos conteniendo al eje OZ y como

4. Planos diametrales y di´ ametros: u ´nico di´ ametro el eje OZ.

5. Planos principales, ejes y v´ ertices:

Planos conteniendo al eje OZ y como

5. Planos principales, ejes y v´ ertices:

(a) a 6= b: Planos princip. x = 0; y = 0;

Ejes x = 0;

V´ ertices

y = 0;

Planos princip. x = 0; y = 0;

NO

Ejes x = 0;

y = 0;

V´ ertices NO

(b) a = b (Cilindro real de revoluci´ on): Planos princip. αx + βy = 0;

Ejes x = 0; y = 0; (OZ ≡ Eje de revoluci´ on)

El cilindro hiperb´ olico obviamente es una superficie reglada. La famila de rectas viene dada por las ecuaciones:

V´ ertices NO

x y + a b x y α − a b



El cilindro el´ıptico obviamente es una superficie reglada. La famila de rectas viene dada por las ecuaciones:   x y +1 = α b a  . x y −1 = α a b

7.2.3



=

α

=

1

con α 6= 0 y donde el signo de α indica en que rama de la superficie est´ a la recta.

7.2.4

Cilindro hiperb´ olico.

La ecuaci´ on reducida de un cilindro hiperb´ olico es:

Cilindro parab´ olico.

La ecuaci´ on reducida de un cilindro parab´ olico es:

111

´ Algebra. Departamento de M´etodos Matem´ aticos y de Representaci´ on. UDC.

Tema V. Cap´ıtulo 2. Cu´ adricas.

x2 − 2py = 0,

p 6= 0

Sus puntos, rectas y planos notables son: 1. Puntos singulares: Punto (impropio) (0, 0, 1, 0). 2. Centro: No tiene centro af´ın, pero si una recta de centros impropios (x = 0; t = 0). 3. Direcciones asint´ oticas: (0, y, z), para cualesquiera y, z ∈ IR. En definitiva,(cualquier direcci´ on en el plano x = 0. 4. Planos diametrales y di´ ametros: tiene di´ ametros.

Planos paralelos al plano x = 0. No

5. Planos principales, ejes y v´ ertices: Planos princip. x=0

Ejes NO

V´ ertices NO

El cilindro el´ıptico obviamente es una superficie reglada. La famila de rectas viene dada por las ecuaciones: αx = 2py . x = α

112

´ Algebra. Departamento de M´etodos Matem´ aticos y de Representaci´ on. UDC.

Tema V. Cap´ıtulo 2. Cu´ adricas.

8

Formas reducidas de las cu´ adricas.

2 2 2 1. x + y + z − 1 = 0 a2 b2 c2

Elipsoide imaginario

2 2 2 3. x + y − z − 1 = 0 a2 b2 c2

Hiperboloide de una hoja

2 2 2 4. x + y − z + 1 = 0 2 2 2 a b c

Hiperboloide de dos hojas

2 2 2 5. x + y − z = 0 2 2 2 a b c

Cono

2

2 2 11. x + y = 0 2 2 a b

Planos imaginarios que se cortan

2 2 12. x − y − 1 = 0 2 2 a b

Cilindro hiperb´ olico

2 2 13. x − y = 0 2 2 a b

Par de planos que se cortan

14. y 2 − 2px = 0

Cilindro parab´ olico

15. x2 − a2 = 0

Par de planos paralelos

16. x2 + a2 = 0

Par de planos paralelos imaginarios

17. x2 = 0

Plano doble

2

6. x + y + z = 0 a2 b2 c2

2

Cilindro el´ıptico imaginario

Elipsoide

2 2 2 2. x + y + z + 1 = 0 a2 b2 c2

2

2 2 10. x + y + 1 = 0 2 2 a b

Cono imaginario

2

7. x + y − 2cz = 0 a2 b2

Paraboloide el´ıptico

2 2 8. x − y − 2cz = 0 2 2 a b

Paraboloide hiperb´ olico

2 2 9. x + y − 1 = 0 a2 b2

Cilindro el´ıptico

113