Cap. 2- Óptica Geométrica– Sistemas Optoelectrónicos – J. Gutiérrez R.

2 Óptica Geométrica 1. Principios y leyes fundamentales. En el capítulo anterior se ha visto una panorámica de la naturaleza de la luz y se ha establecido la dualidad entre onda y partícula. Sin embargo, hay muchos efectos de la luz que pueden ser estudiados a un nivel más elemental, haciendo abstracción de la dinámica ondulatoria y de la mecánica cuántica. Es lo que se denomina Óptica geométrica u Óptica de Rayos, considerando que un rayo es la trayectoria seguida por la luz y que, en sí, se trata de una línea normal a los frentes de onda. Los rayos luminosos son emitidos por fuentes de luz y se pueden percibir mediante detectores ópticos. Un medio óptico se caracteriza por el Índice de Refracción n ≥ 1 que indica la relación entre la velocidad de la luz en el vacío (c0 = 3·108 m/s) y la velocidad c en ese medio: c n= 0 (1) c Si un medio es homogéneo, su índice de refracción será constante, y el tiempo que necesita la luz para recorrer una distancia d se podrá calcular simplemente como t=

d d =n c c0

que es proporcional a la magnitud nd .

A esta magnitud nd la denominaremos Longitud del Camino Óptico (lco). lco= n ⋅ d (2) Ahora bien, si el medio no es homogéneo, el índice de refracción será una función del vector de posición de cada uno de sus puntos (ver Fig. 1): n = n(r ); r = x·u x + y·u y + z·u z En este caso, la longitud del camino óptico será el resultado de integrar sus elementos diferenciales: = lco

∫

B

A

n(r ) ⋅ ds

(3)

B

A

ds

Fig. 1: Posible trayectoria de la luz en un medio no homogéneo

1

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1.1. Principio de Fermat. Prácticamente todas las leyes que gobiernan la óptica geométrica se derivan de un principio fundamental que es el principio de Fermat: La longitud del camino óptico seguido por la luz entre dos puntos es un extremo relativo a los caminos vecinos. Dicho extremo puede ser un máxino o un mínimo, pero lo habitual es que sea el mínimo, esto es, la luz sigue el camino del mínimo tiempo. En cualquier caso, se cumple que la derivada de la longitud del camino óptico respecto a los caminos adyacentes es nula: B

δ ∫ n(r ) ⋅ ds A

(4)

Tratándose de mínimos relativos, lógicamente, pueden darse situaciones en que existen varios caminos posibles entre dos puntos, en cuyo caso, la luz se reparte entre todos ellos. 1.2. Ley de Reflexión. En general, cuando un rayo de luz incide sobre una superficie que separa dos medios de distinto índice de refracción, parte del rayo saldrá reflejado por la superficie sin atravesarla, y otra parte atravesará la superficie sufriendo una desviación propia de la refracción. Sin embargo, una superficie reflectante, como es el caso de un espejo, sólo dará lugar a la reflexión, mientras que una superficie refractiva, como es el caso de una lente, dará lugar prácticamente sólo a la refracción. Ambos efectos, no obstante, obedecen a leyes diferentes. La ley de reflexión establece que el rayo reflejado por una superficie estará contenido en el plano definido por el rayo incidente y la normal a la superficie en el punto de incidencia (plano de incidencia), siendo el ángulo entre el rayo reflejado y la normal, igual al ángulo entre el rayo incidente con dicha normal. Es fácil ver que la ley de reflexión se ajusta rigurosamente al principio de Fermat. En r i efecto, a partir de la Fig. 2 se puede ver que si (5) i=r la longitud del camino óptico es mínima, pues la simétrica respecto al plano de reflexión es la línea recta. Si la superficie que refleja no fuera plana, todo lo dicho sería aplicable al plano tangente en el punto de incidencia. Fig. 2: Ley de reflexión óptica

1.3. Ley de Refracción (Ley de Snell). Cuando la luz pasa de un medio a otro de distinto índice de refracción, por la propia definición de índice de refracción, la luz cambiará bruscamente de velocidad de propagación, cosa que provocará una desviación del rayo. Este efecto se comprende fácilmente considerando los frentes de onda para una onda incidente plana, como se puede ver en la Fig. 3 a). Cuando los frentes de onda atraviesan la unión entre los dos medios, de índices n1 y n2 (en el caso de la figura, n1 < n2), los puntos del frente que se encuentren en el segundo medio forman un plano de otra inclinación porque se han desplazado más despacio desde su paso por la unión. Para deducir la ley de Snell, nos 2

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apoyaremos en la Fig. 3 b) donde se ha representado un frente en los instantes anterior y posterior a haber atravesado totalmente la unión. En tal caso, el punto más a la derecha del frente habrá recorrido la distancia d1 en el mismo tiempo que el punto más a la izquierda habrá recorrido la distancia d2. En consecuencia, la longitud del camino óptico será igual para ambos puntos. Esto es: n1 ⋅ d1 = n2 ⋅ d 2 ⇒ n1 ⋅ a ⋅ sen i = n2 ⋅ a ⋅ sen t (6) ∴ n1 ⋅ sen i =n2 ⋅ sen t

d1 i

n1

n1

i

i

t

a t

n2 t

n2

d2

a)

b)

Fig. 3: Fundamentos de la ley de refracción (ley de Snell)

Por tanto, la ley de Snell establece que el rayo refractado se encontrará en el mismo plano que el definido por el rayo incidente y la normal, siendo la relación entre los senos de los ángulos de incidencia i y de refracción t inversamente proporcional a la relación de los índices de refracción. Resulta interesante comprobar que la trayectoria del rayo que determina la ley de Snell, cumple con el principio de Fermat: A La longitud del camino óptico seguido entre los puntos A y B en la Fig. 4 es: h1

CO( A → B ) = n1 ⋅ l1 + n2 ⋅ l 2 =

l1

i

n1

x

= n1 ⋅ h12 + x 2 + n2 ⋅ h22 + (d − x )2

n2

d t

Para buscar el mínimo de CO, igualamos a 0 su derivada con respecto a x: d CO x = n1 − n2 dx h12 + x 2 ∴

d−x h12 + x 2

=0

h2 l2 B

Fig. 4

n1 sen i = n2 sen t

que se corresponde exactamente con la ley de Snell Con lo que queda probada de nuevo la ley de Snell a partir del principio de Fermat. Conviene también remarcar que la ley de Snell es bilateral, es decir, si se invierte el sentido de propagación de la luz, la trayectoria del rayo continúa siendo la misma. 3

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1.4. Ángulo límite. Supóngase un caso de refracción en el que el segundo medio es de un índice de refracción inferior al del primero (n1 > n2). En ese caso, el ángulo de incidencia puede ser lo suficientemente grande como para que no tenga solución el ángulo de refracción. Es decir, existe un límite en el ángulo de incidencia para que exista la refracción. Lógicamente, este límite será el ángulo de incidencia iL que haga al sen t = 1: n n (7) ∴ sen iL = 2 ⇒ iL = sen −1 2 n1 n1 Lo que significa que cualquier rayo incidente con un ángulo i > iL será reflejado. 1.5. Ecuación del rayo. Como se ha visto en las secciones anteriores, las leyes de reflexión y refracción se derivan del principio de Fermat. Sin embargo, nos podemos apoyar en dichas leyes siempre que se trate de medios homogéneos, aunque discontinuos, por existir uniones entre medios de diferente índice de refracción. Como ya se ha visto en la introducción de este apartado, cuando se trata de medios no homgéneos, el índice de refracción será en general una función continua del vector de posición r: n = n(r). En este caso, el principio de Fermat se puede transformar en la siguiente ecuación, que se denomina Ecuación del Rayo. d  dr   n ( r )  = ∇n ( r ) ds  ds 

(8)

y

donde s es la trayectoria del rayo, como indica la FFig. 5. La demostración de la ecuación del rayo se sale fuera de nuestros objetivos, de forma que la adoptaremos como principio fundamental. Si la trayectoria la podemos expresar por medio de las tres coordenadas cartesianas x(s), y(s) y z(s), la ecuación del rayo se puede descomponer de esa misma manera:

B

s

A

r

d

z

x F

d  dx  ∂n ; n  = ds  ds  ∂x

d  dy  ∂n ; n  = ds  ds  ∂y

d  dz  ∂n ; n  = ds  ds  ∂z

Fig. 5: posible trayectoria de un rayo en medio no homogéneo

En un caso paraxial, la trayectoria del rayo, por definición, es prácticamente paralela al eje z, de forma que ds ≈ dz. Por tanto, la ecuación del rayo se reduce a la siguiente: d  dx  ∂n n   ; dz  dz  ∂x

d  dy  ∂n n   ; dz  dz  ∂y

4

(9)

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2. Componentes Ópticos Elementales. 2.1. Espejos Los espejos o reflectores son componentes ópticos de reflexión que presentan propiedades ópticas y dan una respuesta diferente según su forma. Los espejos que trataremos en este apartado son superficies de reflexión perfecta para el rango de longitudes de onda para el que esté especificado el espejo, es decir, que reflejan el 100% de la radiación incidente, se ajustan totalmente a la forma geométrica teórica y no presentan rugosidades que pudieran producir retro-difusión de la luz, esto es, repartir la reflexión en una diversidad de direcciones. Este efecto de la retro-difusión (scattering) es lo que se produce habitualmente en los objetos que vemos pues, aunque lisos a nivel macroscópico, no suelen serlo a nivel microscópico que es el nivel al que obedece la ley de reflexión. Comenzamos describiendo los espejos planos para pasar a continuación a describir los espejos de la familia de las cónicas (circunferencia, elipse, parábola e hipérbola) cuyas propiedades son muy interesantes. Conviene recordar que los distintos tipos de cónicas se diferencian por su excentricidad: la circunferencia tiene excentricidad nula (e = 0), la elipse tiene una excentricidad inferior a la unidad (0 < e < 1), la parábola tiene una excentricidad igual a la unidad (e = 1) y la hipérbola tiene una excentricidad mayor que la unidad (e < 1).

i

r

a) Espejo perfecto – Reflexión especular

b) Superficie rugosa – Difusión

Fig. 6: Reflexión especular (a) y reflexión sobre superficie rugosa (b).

5

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2.1.1. Espejos planos El comportamiento de un espejo plano no es otro que el descrito en la Fig. 2 para enunciar la ley de freflexión. Bajo este punto de vista, no parece que los espejos planos tengan muchas más aplicaciones aparte de las convencionales, pero no es así. Configuraciones de diversos espejos planos dan lugar a efectos con una funcionalidad importante. Este es el caso de los diedros y triedros que pasamos a describir a continuación: Un diedro está formado por dos espejos planos no paralelos y, por tanto, tienen una arista común. Consideramos el diedro recto que es aquél en el que el ángulo que forman los dos espejos es de 90º. Esta configuración de lugar a que cualquier rayo contenido en un plano normal a la arista que incide sobre uno de los espejos, sale del diedro siempre en un rayo paralelo al incidente. En efecto, según se puede observar en la Fig. 7, un rayo cualquiera que incida sobre cualquiera de los planos, tendrá un ángulo θ sobre la normal a dicho plano, con lo que, siendo rectángulo el diedro, su reflexión incidirá sobre la normal al otro plano con el ángulo complementario a π/2. En consecuencia, esta segunda reflexión resulta ser paralela al rayo incidente.

θ θ π/2-θ

π/2-θ θ

Fig. 7: Comportamiento de un diedro

En la Fig. 8 se puede ver una simulación de un diedro sobre el que se ha lanzado un conjunto aleatorio de rayos, dibujados con colores diferentes para distinguirlos mejor. Como se ha dicho, el paralelismo requiere que el rayo incidente se encuentre en un plano normal a la arista del diedro pues si no fuera así, el rayo reflejado guardaría simetría con el incidente, pero al lado opuesto del plano normal a la arista que pasase por el punto de incidencia. No obstante, lo que se ve en la Fig. 7 bien podría corresponderse con un rayo que no cumpliera este requisito, ya que la proyección sobre el plano normal u otro cualquiera sigue guardando la ley de reflexión (r = i): es decir, la ley de reflexión se cumple de forma virtual aunque la perspectiva no fuera la adecuada. Poniendo por caso la Fig. 2, nosotros hemos supuesto naturalmente que los rayos se encuentran en el plano del papel, pero si estuvieran en otro plano, veríamos el mismo efecto. Lo que es inamovible, como ya se enunció en su momento, es que el rayo incidente, la normal y el rayo reflejado se encuentran siempre en el mismo plano. Hemos mantenido toda esta disquisición porque es relevante para abordar el funcionamiento de un triedro: cuando son tres los espejos que interseccionan no siendo paralelos, se forman tres aristas. Pues bien, si el triedro es rectángulo, es decir, si cada espejo plano forma un ángulo de π/2 con cada uno de los otros dos, la reflexión última de un rayo que entra en el triedro será paralela al mismo, independientemente de su orientación. Esto es, el triedro siempre devuelve un rayo paralelo al incidente. 6

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Fig. 8: Simulación del comportamiento de un diedro

Fig. 9: Simulación del comportamiento de un triedro

En la Fig. 9 se puede ver la simulación de un triedro en el que incide un único rayo. Para hacerse una idea más precisa de la trayectoria del rayo se han señalado con pequeños círculos todos los puntos de incidencia así como los extremos del rayo, inicial y final. Dado que los espejos son componentes pasivos y la ley de reflexión es 7

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simétrica, el sistema es bidireccional, lo que significa que el mismo rayo puede ir en un sentido u otro con la misma tryectoria. Igualmente, se han representado las rectas normales a los planos den triedro en cada punto de incidencia. La vista de la Fig. 9 es un poco difícil, ya que la perspectiva no se aprecia demasiado claramente cuando se representa en dos dimensiones. Por otra parte, así como el comportamiento del diedro era ciertamente fácil de demostrar (Fig. 7), cuando se trata de un triedro es necesario hacer una consideración por partes. Sin entrar en desarrollos matemáticos, vamos a establecer los principios de funcionamiento basándonos en las proyecciones de los rayos sobre cada uno de los planos del triedro. En la Fig. 10 se pueden ver cuatro figuras: la primera de ellas se corresponde con una simulación similar a la de la Fig. 9, mientras que las otras tres representan la proyección recta de ese mismo caso sobre cada uno de los planos del triedro. Cada plano se ha puesto de un color para que sea fácil saber de qué proyección se trata cada figura. En las proyecciones se ha seguido representando los puntos de incidencia, con lo que se puede obtener una idea clara de dónde se produce la reflexión sobre el plano de la proyección.

Fig. 10: Simulación de un triedro junto con las proyecciones sobre sus tres planos

Según lo dicho acerca de las proyecciones, cada una de ellas se comporta exactamente como si se tratara de un diedro: tres diedros que conforman un triedro, es decir, cada proyección es una de las componentes del triedro. Del mismo modo que en el caso del diedro, se incluye en la Fig. 11 la simulación de un triedro sobre el que inciden varios rayos con orientación aleatoria. Con ello se comprueba que el hecho de que el triedro devuelva un rayo paralelo no depende de la dirección del rayo incidente.

8

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Fig. 11: Simulación del comportamiento de un triedro sobre el que inciden varios rayos

Fig. 12: Agrupación de triedros en panel

Cuanto más pequeño es un triedro, más próximo será el rayo reflejado paralelo al rayo incidente, pero también, menor probabilidad habrá de que la radiación incida sobre el triedro. Por tanto, cuando se trata de obtener un haz de luz que retorne en la misma dirección que el haz emitido, lo que se utilizan son agrupaciones de triedros como la que se ha representado en la Fig. 12: en dicha figura, cada triángulo azul representa el hueco de un triedro, y las líneas rojas representan las aristas de los triedros. Por supuesto, los triedros son cóncavos. Estos paneles de triedros son de uso muy corriente en las señales de tráfico en las que se pretende que reflejen la luz de los faros en la dirección donde se encuentra el vehículo. Asimismo, en los detectores de paso, como los que se utilizan en las puertas de los ascensores o en las barreras de entrada de vehículos, se instalan paneles de este tipo en uno de los extremos y un par de emisión-recepción de luz en el otro, tal como se puede apreciar en la Fig. 13. Si se hubiera colocado un espejo en lugar de un panel de triedros, la orientación del espejo resultaría crítica, de forma que una ligera variación en su 9

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posición daría al traste con el funcionamiento del sistema. Sin embargo, al colocar un panel de triedros se tiene asegurado el retorno, sin tener que preocuparse por la orientación. Panel de triedros Emisor Receptor

Fig. 13: Detector de paso con panel reflectante de triedros

2.1.2. Espejos parabólicos y esféricos Un espejo parabólico cóncavo tiene la propiedad de concentrar en su foco todos los rayos que inciden en él paralelos a su eje o, a la inversa, todos los rayos procedentes del foco saldrán reflejados en el paraboloide en dirección paralela al eje, tal como se deduce de la Fig. 14.

∆ρ θ θ

ϕ/2

ρ∆ϕ

ϕ/2 θ

ϕ/2

ρ ϕ F

ρ

ϕ f

P

F

a)

f

P

b) Fig. 14: Paraboloide: ángulo sobre la normal en un punto cualquiera

En efecto, la ecuación de una parábola en coordenadas polares (ρ, ϕ) con origen de coordenadas en el foco de la misma es la siguiente: 2f (10) ρ= 1 + cos ϕ siendo f la distancia focal de la parábola. Así pues, la derivada de ρ con respecto a φ se calcula como sigue: dρ sen ϕ sen ϕ 2sen ϕ 2 cos ϕ 2 = 2f = ρ = ρ = ρ ⋅ tg ϕ 2 2 2ϕ 2ϕ dϕ 1 + cos φ (1 + cos 2 − sen 2 ) (1 + cos ϕ ) ∴

dρ tg ϕ 2 = ρ dϕ 10

(11)

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de forma que el ángulo θ de la Fig. 14 a) tiende a ϕ/2 cuando ∆ϕ tiende a cero. Dado que ése es el mismo ángulo que forma la normal a la curva con la recta radial (Fig. 14 b)), si consideramos que dicha recta radial es un rayo de luz, la reflexión de dicho rayo tendrá que formar otro ángulo de ϕ/2 con la normal, con lo que esta reflexión será paralela al eje del paraboloide. Por otra parte, se demuestra fácilmente que para ángulos ϕ pequeños, un paraboloide coincide con una esfera de radio R = 2f.: en la Fig. 15 a) se ha representado una esfera de radio R al que se le hace incidir un rayo paralelo al diámetro tomado por eje. Es sabido que para una esfera la recta normal a un punto es el radio en el mismo punto. Dado que el rayo incidente forma un ángulo θ con el radio en el punto de incidencia, su reflexión tendrá que formar este mismo ángulo. Esto significa al mismo tiempo que el radio en el punto de incidencia también forma un ángulo θ con el eje, y que 2θ =ϕ , de forma que si se aplica el teorema de los senos se tiene: sen(π − ϕ ) senθ = R x

⇒

{siendo θ =ϕ 2}

⇒ x =R ⋅

senϕ ϕ 2 senϕ

(12)

y si el ángulo φ es suficientemente pequeño como para aproximar el seno al arco: R = x = f (13) 2 Lo que significa que todos los rayos que cumplan estas mismas condiciones se concentrarán en un foco situado en el eje a una distancia R/2 del centro de la esfera, propiedad coincidente con la demostrada para un paraboloide de distancia focal f = R/2. En la Fig. 15 b) se han representado las dos formas, parábola y circunferencia de forma que se pueda visualizar la citada coincidencia: el centro de la gráfica es el foco de la parábola, mientras que el centro de la circunferencia se ha señalado mediante un pequeño círculo.

R x θ

θ θ

ϕf

R=2f

a)

b)

Fig. 15: Proximidad entre una parábola y una circunferencia de radio doble de la distancia focal.

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Dada esta coincidencia y puesto que es más sencillo trabajar con esferas que con paraboloides, en lo sucesivo, tanto para reflectores como para lentes consideraremos, mientras no se indique lo contrario, superficies esféricas. Además, se supondrá que actúan en condiciones tales que los ángulos que formen los rayos con el eje sean pequeños, de forma que se pueda aproximar seno a arco. En este caso se dice que los rayos son paraxiales y que se puede llevar a cabo la aproximación paraxial. El funcionamiento de los componentes ópticos en condiciones paraxiales es lo más común en la práctica, ya que muchas de las principales propiedades de dichos componentes sólo se cumplen bajo este supuesto. Así pues, estudiamos a continuación el comportamiento de un espejo esférico (o parabólico). El caso de la Fig. 16 a) ha sido ya comprobado respecto a la Fig. 15 a): todos los rayos que inciden paralelos al eje en condiciones paraxiales se concentran en el foco situado en la mitad del radio, como indica la figura.

ϕ/2 ϕ/2 ϕ f f  R

C

θ1

C

Z1

R=2f

a)

θ θ R θ 2 f f Z2

b)

Fig. 16

La Fig. 16 b) da lugar a una ley más general por contemplar rayos inclinados, siempre que pueda llevarse a cabo la aproximación paraxial. De acuerdo con el teorema de los senos: sen θ1 sen θ sen θ1 + sen θ = = R z1 − R z1 sen (π − θ 2 ) sen θ = R R − z2

⇒

Por otra parte, se cumple que

sen θ 2 sen θ sen θ 2 − sen θ = = R R − z2 z2

θ 2= θ1 + 2θ

y efectuando aproximación paraxial en ambas ecuaciones:

θ1 + θ z1

θ1 + θ z2

=

=

θ1 R

θ2

= R

θ1 + 2θ

⇒

R 1 1 2 1 + = = z1 z2 R f

(14)

Es importante generalizar las relaciones resultantes para el caso de espejos convexos. Para ello es necesario adoptar un convenio de signos. Sin embargo, con el fin de evitar una normalización tediosa de signos y para encontrarle el debido sentido, iremos 12

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planteando las cuestiones de convenio a medida que las necesitemos. Nuestro origen de coordenadas está en el corte del espejo con el eje y las distancias positivas van desde el origen hacia la izquierda, mientras que hacia la derecha del origen las distancias se consideran negativas. Así, en el caso de la Fig. 16 b), las magnitudes z1 y z2 son ambas positivas. La distancia focal f por la misma razón será positiva para un espejo cóncavo. Sin embargo y en contra de lo que pudiera parecer y sólo por homologación con superficies esféricas en dioptros y lentes, el radio de una superficie cóncava se considera negativo, siendo por lo contrario positivo el radio de las superficies convexas vistas desde el lado donde inciden los rayos. Por consiguiente, atendiendo al convenio establecido, la fórmula que acabamos de obtener para un espejo esférico paraxial se transforma en la siguiente: 1 1 2 1 (15) + = − = z1 z2 R f De esta forma si se tiene un espejo convexo, para una z1 positiva, la distancia z2 resultará negativa, lo que significa que los rayos procedentes del punto en z1 saldrán reflejados divergentes del espejo, pero su prolongación detrás del espejo convergerá en un punto a distancia  z2  del origen en la parte negativa del eje. En la Fig. 17 se puede ver cómo se forma la imagen de un objeto reflejado en un paraboloide, o en un reflector esférico con aproximación paraxial válida. El procedimiento se basa en que la reflexión de cualquier rayo paralelo al eje será un rayo que pasa por el foco y viceversa. Alternativamente, cualquier rayo que pase por el centro (supuesta forma esférica), se refleja pasando por el mismo centro, ya que aquél es la normal a la superficie. Así pues, un objeto que se encuentre más alejado del reflector que el foco, tendrá una imagen de menor tamaño e invertida (Fig. 17 a)), mientras que si se encuentra más cercano que el foco (el caso de un espejo de aumento) la imagen no será invertida y será de mayor tamaño. En la Fig. 17 se ha representado el foco con una estrella de cuatro puntas, mientras que el centro de la esfera viene representado por un diminuto círculo.

a)

b) Fig. 17: Formación de la imagen de un objeto al reflejarse en un reflector parabólico

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En la Fig. 18 se encuentra la simulación de varios casos relativos a reflectores parabólicos. Tratándose de un componente pasivo, es completamente bidireccional, es decir, los rayos que se representa podrían ir tanto en un sentido como en el contrario. En la Fig. 18 a) se puede ver cómo los rayos que inciden paralelos al eje se concentran en el foco y, al mismo tiempo, cómo los rayos procedentes del foco se reflejan paralelos al eje. Sin embargo, como muestra la Fig. 18 c) los rayos que llegan inclinados sobre el eje nunca pasan por el foco. Esto da lugar a una de las aplicaciones fundamentales del reflector parabólico, que es su función como receptor: una señal electromagnética procedente de un punto remoto (los rayos vienen paralelos ya que el emisor puede considerarse en el infinito) se concentrarán en el foco, donde se recibe la señal. Por supuesto, cuanto más grande sea el reflector, mayor será la energía captada y, por tanto, mejor será la recepción. Es el caso de las antenas parabólicas, los telescopios de reflexión etc. Al mismo tiempo, debido a lo que demuestra la Fig. 18 c) el paraboloide es un excelente receptor para los emisores hacia los que apunta y, al mismo tiempo, rechaza las emisiones de otros elementos que podrían perturbar al que realmente interesa, que es al que apunta. Las Fig. 18 b) y d) muestran cómo funciona un reflector parabólico convexo: en efecto, los rayos paralelos al eje se reflejan pasando por el foco, pero en su prolongación, ya que, lógicamente, la señal paralela al eje se dispersa; es decir, el paraboloide consigue emitir los rayos como si éstos procedieran de un emisor puntual situado en su foco. Sin embargo, si los rayos incidentes no son paralelos al eje el refelctor convexo dispersa en forma similar al reflector cóncavo (Fig. 18 c)) pero en sentido opuesto. Finalmente, las Fig. 18 e) y f) demuestran lo visto según la expresión (15) y la Fig. 17. El caso en que se puede considerar válida la aproximación paraxial de la mencionada fórmula (15) se ve en la Fig. 18 e) y el caso en que no, en la figura f).

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Fig. 18: Simulación de la respuesta de un reflector parabólico

Si la validez de la aproximación paraxial es importante en el paraboloide para que se cumpla la expresión (15) que establece el destino de un rayo que parte de un punto del eje, en el caso del reflector esférico, la validez de la aproximación paraxial determina si los rayos paralelos al eje se concentran realmente en el foco. En las Fig. 19 a) y b) se encuentra la simulación de los casos en los que es válida y no válida respectivamente. Cuando resulta no ser válida, los rayos reflejados no coinciden en el foco.

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Fig. 19: Simulación de la respuesta de un reflector esférico

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2.1.3. Espejos elípticos Dicho de forma general, los espejos que pertenecen a la familia de las cónicas (circunferencia, elipse, parábola e hipérbola) la reflexión de la radiación que procede de uno de los focos, se concentra en el otro foco. Una vez visto el comportamiento de un reflector parabólico, podría parecer que éste no es su caso pero, sí que lo es: basta con tener en cuenta que el segundo foco de una parábola se encuentra en el infinito (excentricidad = 1) y, por tanto, son los rayos paralelos al eje los que se concentran en ese foco infinitamente lejano. Pues bien, aunque no plasmemos aquí la demostración, el procedimiento para hacerlo es completamente similar la seguido para el paraboloide. En la Fig. 20 se encuentra la simulación de un reflector elíptico con un emisor puntual omnidireccional en el foco izquierdo. Se puede ver que toda la radiación emitida se concentra en el foco derecho, aunque la intensidad de la radiación no es uniforme alrededor de dicho foco. Por supuesto, si el foco derecho no absorbiera la radiación sino que ésta continuara su curso, toda la radiación que se concentra en el foco derecho retornaría al izquierdo y así sucesivamente. En la segunda simulación de la Fig. 20 se han prolongado los rayos incidentes en el segundo foco, hasta la superficie del reflector, pero se ha omitido su reflexión que conduciría a cada rayo al primer foco. Además, como la elipse es el lugar geométrico de todos los puntos tales que la suma de las distancias a los dos focos es constante e igual al eje mayor, toda la radiación que emite un foco llega al otro siempre con la misma fase, ya que la longitud del camino óptico es constante.

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Fig. 20: Simulación del comportamiento de un reflector elíptico

Los reflectores elípticos tienen muchas aplicaciones. Por ejemplo, como se verá más adelante, muchos generadores láser que necesitan un elevado nivel de iluminación en el elemento activo del mismo, usan un reflector elíptico cilíndrico con un tubo emisor de alta potencia en uno de los focos, y la barra de elemento activo en el otro. De esta forma, se concentra la luz en el elemento activo exactamente como se ve en la Fig. 20 a). Otra aplicación corriente son las lámparas de reflector elíptico: tal como se muestra en la Fig. 21, se trata de un reflector elíptico de revolución parcial (no se implementa la elipse entera sino que se deja una abertura), de forma que un emisor omnidireccional de luz situado en el foco interno expande la luz en un área extensa en la parte inferior de la lámpara. Tal como se ve en dicha figura, la iluminación es más intensa en la vertical de la abertura y va disminuyendo a medida que uno se aleja de ella, pero una buena distribución de lámparas similares en el techo pueden dar lugar a una distribución de luz bastante uniforme. Cuando el emisor se sitúa fuera del foco, la distribución de la luz es bastante caótica, tal como se puede apreciar en la Fig. 22: incluso en el caso de que el desenfoque sea muy reducido, la disminución de la eficiencia del reflector es importante (segunda parte de laFig. 22).

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Fig. 21: Lámpara de reflector elíptico

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Fig. 22: Emisor fuera del foco en un reflector elíptico

2.1.4. Espejos hiperbólicos En el caso de la hipérbola, el efecto es completamente similar al resto de las cónicas. Como ya se ha mencionado, cualquier emisión procedente de uno de los focos se dirige exactamente al otro foco. La diferencia fundamental con la elipse consiste en que la convergenci en el segundo foco de una elipse es real, mientras que la convergencia en una hipérbola es virtual, ya que lo que converge es la prolongación de los rayos reale, por la naturaleza misma de la hipérbola, que tiene dos ramas entre los dos focos. Cualquiera de las dos ramas tendrá el mismo comportamiento. Conviene recordar que los reflectores son siempre bidireccionales, con lo que un hiperboloide concentrará en un foco toda la radiación que se dirija al otro foco. En la Fig. 23 se pueden ver ambas situaciones. Para mayor claridad se ha dibujado en la simulación un pequeño segmento de la normal a la hipérbola en los puntos de incidencia de todos los rayos representados. Las aplicaciones de los espejos hiperbólicos son importantes y variadas. Quizá la más importante es la que se lleva a cabo en los telescopios de Cassegrain que se verán más adelante.

22

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Fig. 23

2.2. Componentes de refracción Como sucede en el caso de los espejos, los componentes de refracción también son bilaterales. Es decir, aunque hablemos de los rayos que entran en un determinado sentido, todas las figuras y simulaciones son exactamente iguales para el caso en que los rayos vayan en sentido contrario. Esta circunstancia se deduce fácilmente de la ley de Snell (6). 23

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2.2.1. El prisma óptico Es el dispositivo de refracción más sencillo a simple vista, ya que sus caras son planas. En la Fig. 24 se encuentra un prisma cuyo ángulo entre caras es α y en el que, a modo de ejemplo, se ha dibujado un rayo que incide en una cara con un ángulo i1.

α

δ i1

α

i1 – t1 t1 i2

t2 t2 – i2

Fig. 24

Interesa conocer el ángulo δ de desviación total del rayo, después de haber sufrido las dos refracciones correspondientes a las dos caras que atraviesa. Lo calculamos como sigue, suponiendo que el índice de refracción del prisma es n y el del exterior es 1 (aire):

δ = i1 − t1 + t2 − i2 α= t1 + i2

⇒ δ = i1 + t2 − α

sen i1= n ⋅ sen t1 sen t2 n ⋅ sen i2 =

δ = i1 + sen −1 ( n ⋅ sen i2 ) − α = i1 + sen −1 ( n ⋅ sen (α − t1 ) ) − α δ = i1 − α + sen −1 ( n ⋅ sen α ⋅ cos t1 − n ⋅ cos α ⋅ sen t1 ) =   1 = i1 − α + sen −1  n ⋅ sen α ⋅ 1 − 2 sen 2 i1 − cos α ⋅ sen i1  n   ∴

(

δ = i1 − α + sen −1 sen α ⋅ n 2 − sen 2 i1 − cos α ⋅ sen i1

)

(16)

Ahora bien, en el caso de que α fuera un ángulo pequeño, y todos los demás que intervienen, se podría aproximar en seno al ángulo, de forma que la expresión (16) quedaría reducida a la siguiente:

δ = i1 + sen −1 ( n ⋅ sen (α − t1 ) ) − α ≈ i1 + nα − nt1 − α ≈ ( n − 1) ⋅ α δ ≈ ( n − 1) ⋅ α

(17)

En la Fig. 25 se puede ver la simulación del comportamiento de un prisma óptico con un ángulo de 10º y un índice de refracción de 1,5. En los datos que aparecen en el título superior se incluye la desviación δ producida en los rayos. En el caso de que los rayos entren al prisma con muy poca inclinación (parte izquierda de la figura), se puede ver que la desviación es de 5.04º. De acuerdo con la fórmula (17), esta desviación debería ser de 5º. Puesto que la simulación no aplica ninguna fórmula sino que se atiene estrictamente a las leyes físicas, en este caso la ley de refracción, el dato de 5,04º es el real, mientras que los 5º es el resultado de las aproximaciones hechas para obtener la fórmula (17), consistentes en asemejar el seno al ángulo. Ahora bien, si los rayos entran 24

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con una inclinación considerable (Fig. 25 derecha), esta aproximación deja de ser válida. Como se ve en la figura, la desviación, lejos de ser de 5º, asciende a 6.57º.

Fig. 25: Simulación de la refracción de un prisma de 10º e índice de 1,5.

Resulta interesante ver cómo se comporta un prisma según su ángulo α. En la Fig. 26 se pueden ver cuatro ejemplos.

Fig. 26: Simulación de varios prismas según su ángulo

25

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Lo mismo se puede decir del comportamiento de un prisma según su índice de refracción. En la Fig. 27 se muestra la simulación de varios prismas de 45º con diferentes índices de refracción.

Fig. 27: Simulación de varios prismas según su índice de refracción

La expresión (16) no contempla la posibilidad de que un prisma se encuentre en un medio cuyo índice de refracción sea distinto de uno. De haberlo contemplado, la expresión sería algo más compleja aunque se deduciría por procedimiento análogo. Sin embargo, es un caso bastante corriente en la práctica, especialmente en equipos sumergidos en agua. En la Fig. 28 se presenta un caso en el que el índice de refracción exterior es 1.5, mientras que el interior es 1. Es decir, se trata de un prisma invertido: el interior es hueco (índice aire) y el exterior vidrio de n=1.5.

26

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Fig. 28: Simulación de un prisma invertido: el exterior de vidrio y el interior aire

Si el ángulo α fuera nulo, estaríamos hablando de una placa de caras paralelas, como el cristal de una ventana. En este caso, sin hacer uso de ninguna aproximación, se ve de inmediato que la desviación δ también es nula. Esto significa, según se ve en la Fig. 29, que el rayo de salida es paralelo al de entrada, pero no es su prolongación.

θ θ n

Fig. 29: Placa de caras paralelas

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Fig. 30: Simulación de una placa con diversos ángulos de incidencia

En la Fig. 30 se puede ver la simulación de una placa en la que inciden los rayos con ángulos diferentes. El primer caso es el que los rayos entran sin inclinación, siguiendo la normal a ambas caras. Como se ve, los rayos no sufren ninguna desviación. En el resto de los casos sí pero, como puede comprobarse, siempre el ángulo δ es nulo, de acuerdo con lo visto en la Fig. 29. 2.2.1. Prisma de reflexión En muchas ocasiones, el prisma óptico viene a sustituir a los espejos planos. Esto se basa en utilizar la cara interior de un prisma en reflexión, en lugar de refracción, sobrepasando el ángulo límite. En un prisma como el de la Fig. 31, si, por ejemplo, el índice de refracción fuera n = 1.6, el ángulo límite sería el arco cuyo seno es 1/n, esto es, 38.7º. Dado que se está usando un ángulo de incidencia de 45º, toda la luz saldrá reflejada.

Fig. 31: Prisma de reflexión

28

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Pero volvamos ahora a la Fig. 26: en esta figura veíamos cómo la refracción variaba según el ángulo entre las caras del prisma. Pues bien, véase en la Fig. 32 cuando, en las mismas condiciones, aumentamos el ángulo entre caras a 75º: resulta que en la segunda cara se sobrepasa el ángulo límite que en este caso con un índice de refracción de 1.5, según la expresión (7), sería de 41.81º. En consecuencia, se producirá una reflexión en lugar de una refracción en la segunda cara, haciendo que los rayos salgan por la cara inferior en la que, como es natural y según se ve en la Fig. 32, se produce una nueva refracción. En la Fig. 32 derecha se ha representado el caso de un prisma de 90º. Obsérvese que la refracción final se produce con diferente signo que en la figura de la izquierda.

Fig. 32: Reflexión en un prisma al sobrepasar el ángulo límite

Un componente muy utilizado es el prisma recto isósceles como el de la Fig. 31. Como se ve en la Fig. 33, si la luz entra perpendicularmente a uno de los catetos, se refleja en la hipotenusa y sale también perpendicularmente al otro cateto. Es decir, se comporta como un espejo plano que sustituyera a la cara de la hipotenusa, ya que no hay desviación en ninguno de los catetos por ser nulo su ángulo de incidencia. Si los rayos entran con una cierta inclinación y siguen sobrepasando el ángulo límite, la situación será similar a la simulación de la Fig. 33 derecha.

Fig. 33: Comportamiento del prisma recto isósceles

2.2.2. Dispersión Cromática Hasta el momento, a todos los efectos hemos estado considerando que el índice de refracción de un material homogéneo es único y constante. Sin embargo, esto en la 29

n 1.60 1.55 1.50 1.45 1.40 400

500

600

700

λ (nm)

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práctica sólo es cierto para la luz monocromática, esto es, radiación de una determinada longitud de onda (o de una determinada frecuencia). Pero sucede en la mayoría de los materiales ópticos que tienen un índice de refracción dependiente de la longitud de onda. Así, por ejemplo, si utilizamos luz blanca, resulta que tenemos una radiación con una distribución de longitudes de onda uniforme en todo el espectro visible y cada una de ellas responderá a su índice de refracción. Lo mismo sucedería con cualquier otra tonalidad que no fuera un tono puro. Fig. 34

Como ejemplo, se ha representado en la Fig. 34 la dependencia del índice de refracción con la longitud de onda de un determinado material.

Fig. 35

En la Fig. 35 se puede ver una simulación de la dispersión que se produciría para un haz compuesto por varias longitudes de onda. Lógicamente, si se tratase de luz blanca la dispersión cromática formaría un haz continuo en la escala de colores del arco iris. Esta circunstancia da lugar a que el prisma óptico tenga aplicaciones en espectrometría ya que es capaz de proyectar la luz sobre una pantalla en posiciones dependientes de la longitud de onda. Sin embargo, la dispersión cromática produce efectos no deseados en lentes e instrumentos ópticos en general. 2.3. El Dioptro Esférico A continuación vamos a analizar la refracción de los rayos luminosos al pasar de un medio homogéneo a otro de distinto índice de refracción, tal que la unión entre ambos sea una superficie esférica (dioptro esférico). Su estudio es importante como paso intermedio para la comprensión de una lente y, al mismo tiempo, también puede aplicarse a las interfaces con fibras ópticas y otras guías de onda. Como en el caso de los espejos, el origen de coordenadas se situará en la intersección de la superficie esférica don el eje. Para los rayos incidentes, el eje z será positivo desde el origen hacia la izquierda, mientras que para la parte refractada el eje z toma el sentido contrario, siendo positivo hacia la derecha del origen. Las superficies convexas vistas desde la parte incidente se considerarán de radio positivo, mientras que las superficies cóncavas serán de radio negativo.

30

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n1

n2

i t R

θ1

θ2

R

z1

0

C

z2

Fig. 36: Esquema para ver la respuesta de un dioptro esférico

En la Fig. 36 se ha representado un dioptro convexo cuyos índices de refracción son n1 y n2. Aunque para la ley de Snell el sentido de propagación del rayo es indiferente, consideraremos que el rayo viaja de z1 a z2. Aplicaremos el teorema de los senos a dos triángulos: el formado por el rayo incidente, el eje y el radio en el punto de incidencia; y el formado por el rayo refractado, el eje y el mismo radio:

sen θ1 sen i = R z1 + R sen θ 2 sen t = R z2 − R

Ley de Snell: n1 sen i = n2 sen t z +R z −R = n2 sen θ 2 2 n1 sen θ1 1 R R h h Con aproximación paraxial: n1 ( z1 += R ) n2 ( z2 − R ) z1 z2

∴

n1 n2 n2 − n1 += = K z1 z2 R

(18)

donde el parámetro K es la denominada potencia del dioptro y su unidad de medida es la dioptría (con R medido en metros). La potencia, por tanto, de un dioptro cóncavo será negativa si n2 > n1. Nótese que la fórmula anterior es aplicable a rayos paralelos al eje. Por ejemplo, todos los rayos incidentes paralelos al eje (z1 → ∞), se concentrarán una vez refractados en un foco f2 situado en el eje tal que, según la fórmula obtenida: n2 (19) = f 2 z= R 2 z1 →∞ n2 − n1 Igualmente, saldrán refractados paralelos al eje todos los rayos procedentes del foco f1 : = f1 z= 1 z →∞ 2

n1 R n2 − n1

(20)

En base a estas conclusiones, es fácil obtener la formación de la imagen de un objeto, tal como se muestra en la Fig. 37. Adicionalmente, es fácil de ver en dicha figura que los rayos que se dirigen hacia el centro C del dioptro no sufren desviación por incidir 31

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perpendicularmente a la superficie, con lo que los puntos imagen se pueden obtener también a partir de uno sólo de los focos y con la ayuda de de esta recta sin desviación.

n1

n2 f2

f1

0

C

Fig. 37: Formación de la imagen de un objeto en un dioptro

Todos estos resultados teóricos se pueden comprobar mediante técnicas de simulación que, lejos de aplicar ninguna de las fórmulas obtenidas, se ciñene exclusivamente a la ley de refracción. Así en la Fig. 38 se encuentran dos casos en los que incide en un dioptro un haz de rayos paralelos al eje. En el primero de los casos se puede aplicar la aproximación paraxial que hace válida la fórmula (19) (por extensión, también la (20)) y que da lugar a que el haz se concentre en un punto del eje. El segundo caso ya no cumple la condición paraxial y, por tanto, el haz se concentra en una zona gruesa en lugar de en n punto. En la Fig. 39 se muestran los resultado de la simulación cuando el haz es de rayos paralelos entre sí, pero inclinados respecto al eje. En este caso y de acuerdo con la fórmula (18), el haz también se concentra en un punto si se cumple la condición paraxial. Este punto se encuentra en el mismo plano perpendicular al eje y que lo corta en el foco. Es decir, en los dos casos de las figuras superiores de Fig. 38 y Fig. 39, el haz se concentra en un punto del mismo plano normal al eje. La fórmula (18) tiene comprobación directa en la Fig. 40 superior, en la que todos los rayos proceden de un emisor puntual situado en el eje. La Fig. 40 inferior es la simulación de un caso similar salvo que el emisor puntual no se encuentra en el eje.

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Fig. 38: Simulación de un dioptro en el que incide un haz de rayos paralelos

Fig. 39: Respuesta de un dioptro con rayos incidentes paralelos e inclinados

En realidad, el concepto de eje en un dioptro esférico no es más que una referencia de cuál es nuestra dirección preferente porque, en realidad, ya que es esférico, se podría elegir como eje cualquier recta que pasara por el centro de la esfera. Por esta razón, es de esperar que un haz procedente de un foco puntual va a ser concentrado en otro punto después del dioptro aunque no esté situado en la recta que se haya tomado como eje, siempre que se cumpla la aproximación paraxial. Obsérvese que en la Fig. 40 inferior, la condición paraxial no se cumple tanto como en la superior.

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Fig. 40: Respuesta de un dioptro con rayos incidentes procedentes de un emisor puntual

Fig. 41: Comportamiento de un dioptro cóncavo

También es interesante ver el comportamiento de un dioptro cuando éste es cóncavo, visto desde la parte por donde incide la radiación. Véase en la Fig. 41 cómo, si se cumple la condición paraxial, los rayos transmitidos por el dioptro divergen, pero su prolongación hacia atrás converge en un ponto en la forma prevista por las relaciones (18), (19) y (20). 34

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2.4. Lentes Esféricas Una lente esférica es una pieza de índice de refracción uniforme, limitada por dos superficies esféricas. En consecuencia, es como la sucesión de dos dioptros contiguos cuya relación de índices de refracción es inversa. Esto es, la lente se encuentra en un medio de índice de refracción n1 e interiormente tiene otro índice n2. El caso habitual es que el medio en el que se encuentra inmersa la lente es el aire (similar al vacío en cuanto a índice de refracción), con lo que se suele tomar n1 = 1 y n2 = n. Por otra parte, es también habitual que las lentes sean delgadas de forma que no solamente puede hacerse la aproximación paraxial, sino que también podrá despreciarse el grosor. Así pues, las fórmulas que se obtendrán a continuación para las lentes son partiendo de estas suposiciones. No obstante, si en algún caso no procediera la aproximación de lente delgada, las fórmulas se obtendrían por procedimiento similar pero sin efectuar las correspondientes aproximaciones. El convenio de signos será el mismo que para el dioptro, aunque el origen de coordenadas se toma en la intersección del plano de la lente con el eje. Al radio de la superficie anterior donde incide la luz lo denominaremos R1, mientras que al de la superficie posterior, por la que la luz sale refractada, le llamaremos R2. Por tanto, en una lente convergente como la de la Fig. 42, R1 será positivo (superficie convexa) y R2 negativo (superficie cóncava).

n1 n2 θ1

θ’ z’1

z1

θ2 0

z2

Fig. 42: Esquema para ver la respuesta de una lente esférica

Al considerar, como se ha dicho, que una lente es la concatenación de dos dioptros, la ley que rige a una lente se puede obtener mediante la aplicación de la del dioptro por dos veces consecutivas. En la Fig. 42, el punto z’1 es la intersección con el eje del rayo refractado en el primer dioptro. Al mismo tiempo z’1 es la intersección con el eje del rayo incidente en el segundo dioptro. Eso sí, es importante tener en cuenta que, dado el convenio de signos adoptado, resulta que z’1 es negativo a efectos del primer dioptro y positivo a efectos del segundo. En consecuencia, si aplicamos la ley a ambos dioptros, se tiene:

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n1 n n2 − n1 + 2 = z1 z '1 ( − ) R1

La suma de ambas ecuaciones teniendo en cuenta la diferente consideración de signo en z '1 es:

n2 n n1 − n2 + 1= z '1 (+) z2 R2

1 1 n2 − n1  1 1  += ⋅ −  z1 z2 n1  R1 R2 

(21)

de forma que si la lente se encuentra en el aire o el vacío= n2 n ) : ( n1 1;= 1 1  1 1 1 + = ( n − 1) ⋅  −  = = K z1 z2 R R f  1 2 

(22)

donde f es la denominada distancia focal y K la potencia de la lente cuya unidad es la dioptría si las distancias han sido tomadas en metros. En consecuencia, todos los rayos incidentes paralelos al eje (z1 → ∞) se concentrarán en un punto del eje a una distancia f del plano de la lente (foco posterior de la lente). Asimismo, toda la luz procedente de un punto z1 = f (foco anterior de la lente) saldrá de la lente en rayos paralelos al eje (z2 → ∞). Esto es, los focos anterior y posterior se encuentran situados a la misma distancia. Los planos focales son los planos perpendiculares al eje que pasan por los focos. Notese que la distancia focal será negativa si la lente es divergente, esto es, en los casos en los que [(R1)-1- (R2)-1] f) la magnificación es negativa (la imagen sale invertida) y, por lo contrario, si la distancia es menor que la distancia focal (d1 < f) la magnificación es positiva y, por tanto, la imagen no se invierte. Así pues, por ejemplo, para mirar por una lupa (lente 36

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convergente), la distancia a la que debemos situar el objeto para una eficiencia buena de la misma es algo inferior a la distancia focal, como se indica gráficamente en la Fig. 44.

h2 h1 d1

d2

f

Fig. 44: Formación de la imagen de un objeto mediante una lente convergente

No obstante, cuando se realiza una observación visual de estos efectos hay que contar siempre con la intervención del ojo. El ojo está compuesto por la cornea, esférica y transparente (n ≈ 1.33) seguida por una lente, el cristalino (n ≈ 1.4), capaz de variar su potencia mediante movimientos musculares involuntarios. Por consiguiente, el ojo es capaz de adaptarse (acomodación) para conseguir el enfoque correcto de la imagen en la fóvea. Por ejemplo, cuando el objeto se halla exactamente en el plano focal anterior de una lente, el rayo que pasa por el foco posterior resulta ser paralelo al que pasa sin desviación por el origen de coordenadas. En consecuencia, estos rayos nunca se juntan con lo que la magnificación es, como se ha mencionado, infinita (no forma imagen). Pues bien, en estas circunstancias, sin embargo, el ojo es capaz de enfocar la imagen, de manera similar a cuando enfoca al infinito. En este caso se puede hablar de la potencia de magnificación como la relación entre el ángulo bajo el que se visualiza la imagen con la lente o el sistema óptico, y el ángulo bajo el que se visualiza sin él. Esta circunstancia se ha representado en la Fig. 45, donde el punto de vista V se encuentra a una distancia dv del objeto.

h1

V α f

v dv

Fig. 45: Respuestade una lente convergente a una emisión puntual desde el plano focal

Por tanto, a simple vista el objeto se visualizaría bajo un ángulo v = (h1 / dv), mientras que con la ayuda de la lente el ángulo de visualización es α = (h1 / f). De forma que la potencia de magnificación será:

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α

dv v f La distancia a la que el ojo normal puede enfocar a simple vista es 25 cm. MP =

=

Por esta razón se adopta convencionalmente esta distancia como referencia. 0.25 f Así como todos los rayos que parten de un punto en el plano focal anterior salen de la lente paralelos entre sí (ver Fig. 45), a la inversa también se cumple: si un haz de rayos paralelos entre sí incide en una lente delgada de forma que sea aplicable la aproximación paraxial, todos ellos se concentran en un punto del plano focal posterior. Esta es una propiedad muy importante que vamos a demostrar analíticamente con ayuda de la Fig. 46.

∴

MP =

y (yp, f)

α f

f

z

Fig. 46: Convergencia de un haz de rayos paralelos producida por una lente

A partir de la relación obtenida para las lentes: 1 1 1 + = z1 z2 f Si llamamos y0 a la intersección de uno cualquiera de los rayos del haz con el eje y : y0 y0 y0 + = z1 z2 f

⇒

y0 y0 y −α f = −α = 0 z2 f f

y0 es la pendiente del haz α z1 y Asimismo, - 0 es la pendiente del rayo refractado. Puesto que α f es constante, z2 ya que

la relación anterior demuestra que la pendiente del rayo refractado es tal que éste siempre se dirige a un punto fijo ( y p , f ) , siendo y p = α f (ver figura) Estos resultados los vamos a comprobar mediante simulación en las figuras siguientes. En todas las figuras que van a continuación se han señalado con pequeños círculos los centros de las esferas que conforman la lente. No se deben confundir estas señalizaciones con los focos de la lente. Por ejemplo, en la Fig. 47 en la que los rayos incidentes son paralelos al eje, especialmente en la figura superior en la que se cumple la condición paraxial, el foco se corresponde con el punto de concentración de los rayos. Aunque en la Fig. 47 inferior no se cumple dicha condición a causa de los rayos más separados del eje, también se pude visualizar dónde se encuentra el foco. En ambos 38

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casos, el otro foco se encuentra simétricamente al otro lado de la lente. Conviene no perder de vista que todos los casos que se exponene aquí son bilaterales, es decir, siguen siendo igualmente ciertos cuando la propagación de la luz se realiza en el sentido contrario. Es decir, si los rayos proceden del un emisor puntual situado en el foco, la lente los transmite en forma de rayos paralelos.

Fig. 47: Comportamiento de una lente con rayos incidentes paralelos al eje

Tal como se ha descrito en la Fig. 46, un haz de rayos paralelos inclinados se concentran en un punto del plano focal, cosa que se comprueba en la simulación de la Fig. 48. Asimismo, cuando los rayos incidentes en la lente proceden de un emisor puntual, los rayos transmitidos por la lente (caso paraxial) también se concentran en un punto que viene determinado por las relaciones (22) o (21), según si la lente está inmersa en el aire o en otro medio con índice de refracción distinto del vacío. La simulación de este caso se encuentra en la Fig. 49, tanto si el emisor puntual está situado en el eje (parte superior), como si no (parte inferior). Nótese que en esta figura se han empleado lentes convergentes no simétricas, es decir, que no son iguales los radios de las esferas. Además, ambas lentes tienen la misma potencia y distancia focal, pero al asimetría es la contraria. Como se ve, salvo en el interior de la lente, el comportamiento es análogo e indiferente del sentido de la asimetría.

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Fig. 48: Comportamiento de una lente con rayos incidentes paralelos inclinados

Fig. 49: Comportamiento de una lente con rayos procedentes de un emisor puntual

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Fig. 50: Simulación de cuatro casos sobre una lente divergente

Las lentes convergentes como las representadas entre la Fig. 47 y la Fig. 49 se denominan lentes biconvexas, ya que ambas caras se ven convexas desde sus correspondientes lados exteriores. Por la misma razón, las lentes divergentes como las representadas en la Fig. 50 se denominan bicóncavas. Cualquier combinación de caras de diferente signo es posible, y su comportamiento viene regulado por la relación (22) o la relación (21) según sea el caso. En la Fig. 51 se encuentran varios casos de lentes asimétricas y su simulación: las dos de arriba son convergentes, la primera convexoplana, y la segunda convexo-cóncava. Las dos de abajo son divergentes, la primera plano-cóncava y la segunda también convexo-cóncava, pero no como la anterior convexo-cóncava que era convergente.

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Fig. 51: Varios tipos de lentes asimétricas y su comportamiento

Es importante recalcar también que esta ley se cumple para todos los rayos paralelos entre sí y no sólo para aquellos que están en un plano meridional de la lente, siempre y cuando la lente sea delgada y sea viable la aproximación paraxial. En la Fig. 52 se pone de manifiesto esta circunstancia.

Fig. 52

Esto se fundamenta en el hecho de que el corte de una lente por un plano paralelo al eje resulta tener la misma distancia focal que el propio corte meridional que hemos estado considerando. La respuesta de la lente esférica a un rayo no meridional se puede considerar compuesta por dos componentes: una correspondiente al corte con el plano paralelo al eje que contenga al rayo (plano definido por el rayo y la normal al plano de 42

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la lente en el punto de incidencia), y otra correspondiente al corte del plano perpendicular al anterior por el punto de incidencia. 2.5. Lentes Cilíndricas Así como una lente esférica es la sucesión de dos dioptros esféricos, una lente cilíndrica es la sucesión de dos dioptros cilíndricos con generatrices paralelas, tal como se representa en la Fig. 53.

Fig. 53

En un plano perpendicular a la generatriz, una lente cilíndrica responde igual que una lente esférica con le mismo corte meridional. Pero en un plano paralelo a la generatriz se comporta como una placa (el corte de dicho palno con la lente es un rectángulo) como la descrita en la Fig. 29. La respuesta total es la composición de las respuestas en ambos planos.

3. Fundamentos de los instrumentos ópticos. Existen muchos modelos diferentes de los instrumentos ópticos. En este apartado sólo se pretender ofrecer una idea sobre los fundamentos. 3.1. El microscopio En la Fig. 54 se puede ver que la combinación de una lente del objetivo con otra cuyo plano focal se encuentre en el plano objeto de la primera, da lugar a la visión del objeto bajo un ángulo muy superior al que se obtiene a simple vista, produciéndose una alta potencia de magnificación. En la figura no se ha representado el ocular cuya misión es invertir nuevamente la imagen y acoplarla al ojo.

f2

f2

f1

Fig. 54

3.2. El telescopio de refracción. Prescindiendo del ocular, como en el caso del microscopio, un telescopio de refracción se puede realizar mediante dos lentes colocadas a una distancia tal que se haga coincidir sus planos focales.

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Como se puede ver en la Fig. 55 los rayos ligeramente inclinados procedentes de un objeto lejano se visualizan bajo un ángulo mucho mayor, con la consiguiente potencia de magnificación. Los anteojos binoculares son pares de telescopios manuales de pequeño tamaño. Para adaptar una distancia entre objetivos a una distancia entre oculares menor y, al mismo tiempo producir la inversión de la imagen que compensa la propia del magnificador, se utilizan prismas de Porro como el representado en la Fig. 56. De ahí que reciban habitualmente el nombre de prismáticos.

f1

f2

f2

Fig. 55

Fig. 56

Otro prisma interesante es el que figura en el esquema de periscopio de la Fig. 57. Se trata del prisma de Dove (marcado con una D en la figura) que produce la inversión de la imagen que compensa la inversión causada por el sistema de lentes y de prismas rectos de reflexión.

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D

Fig. 57: Esquema de periscopio realizado mediante prisma de Dove

4. Componentes de Índice Gradual (GRIN). Hasta ahora se ha visto el comportamiento de componentes ópticos basados en uniones entre medios de diferente índice de refracción, pero dichos medios son homogéneos en su interior, mientras no se atraviese ninguna unión. Los componentes de índice gradual (GRIN = GRadual INdex) se basan en medios no homogéneos, generalmente continuos, es decir, tal que el gradiente del índice de refracción n(r) existe y es finito. La solución para este tipo de dispositivos se encuentra en la ecuación del rayo (ver sección 1.5) en lugar de en las leyes de reflexión y refracción. No obstante, veremos a continuación un ejemplo de variación del índice en capas discretas, como paso intermedio hacia los dispositivos GRIN. En la Fig. 58 a) se ha representado la simulación de un sistema de capas de índices simétricos con respecto al eje z (y = 0). El índice de refracción de la primera capa (0 < |y| < 0.25) es 1.8, el de la segunda 1.575, 1.350 la tercera y 1.125 la cuarta. Es decir, son escalones regulares. En la Fig. 58 b) se encuentra un sistema similar, pero con quince capas, también a intervalos regulares del índice de refracción desde 1.8 en el centro, hasta 1 en el extremo. En dichas figuras se puede comprobar que el comportamiento de la luz es similar: a medida que el rayo asciende de capa, su inclinación disminuye hasta que llega un momento que el ángulo de incidencia está por encima del ángulo límite, con lo que el rayo se refleja, invirtiéndose el signo de la pendiente. Sin embargo, en el caso de la Fig. 58 b) la gradación es mucho más fina y el comportamiento de la luz es más próximo a un dispositivo GRIN, que estaría en el límite cuando el número de capas tiende a infinito y el grosor de cada una a cero.

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Cap. 2- Óptica Geométrica– Sistemas Optoelectrónicos – J. Gutiérrez R.

Fig. 58

A continuación resolvemos un caso en el que el índice de refracción es sólo dependiente del eje y, es decir, es homogéneo en los ejes x y z, y su variación sigue una distribución parabólica. Esto es, la función del índice de refracción es

(

n 2 ( y ) = n02 1 − α 2 y 2

)

donde α es tal que α 2 y 2