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DIVISIBILIDAD TEMA 1 GRUPO 2A 1

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¿ QUÉ SE ENTIENDE POR DIVISIBILIDAD ?

DIVISIBILIDAD • NÚMEROS PRIMOS:

• EL ESTUDIO DE LAS PROPIEDADES DE LOS NÚMEROS PRIMOS Y COMPUESTOS .

– DESCOMPOSICIÓN EN FACTORES PRIMOS

• EL MÁXIMO COMÚN DIVISOR DE VARIOS NÚMEROS.

• TODO NÚMERO TIENE AL MENOS DOS DIVISORES: ÉL MISMO Y EL 1.

• EL MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO DE VARIOS NÚMEROS.

• RECORDAD: LOS DIVISORES DE UN NÚMERO SON LOS NÚMEROS NATURALES TAL QUE LA DIVISIÓN POR ELLOS ES EXACTA, ES DECIR, DE RESTO CERO. 4

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NÚMEROS PRIMOS

NÚMEROS PRIMOS

• LEEMOS EN LA PAG. 21: “ LA UTILIDAD DE LOS NÚMEROS PRIMOS” RECORDAD MIENTRAS ESTUDIEIS: • EN LA ACTUALIDAD HEMOS ENCONTRADO UNA APLICACIÓN DE UNA PARTE DE LAS MATEMÁTICAS SIN UNA APARENTE UTILIDAD PRÁCTICA DURANTE SIGLOS

• SON AQUELLOS QUE TIENEN DOS ÚNICOS DIVISORES: ÉL MISMO Y LA UNIDAD. • SON NÚMEROS SIN FACTORES. • Por ejemplo: 1 no es primo. 2 sí es primo.

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Criba de Eratóstenes: 2,3,5…

Busca el error o los errores….

• SIGLO III a.C. • El matemático y filósofo griego Eratóstenes escribió en una plancha metálica tres o cuatro mil números y empezando por el dos fue contando de dos en dos e hizo agujeros en los lugares correspondientes; luego de tres en tres, luego de cinco en cinco y así sucesivamente. • Los números que quedaban eran los primos. • EJERCICIO: ¿Por qué? 7

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NÚMEROS PRIMOS • EUCLIDES HACIA EL 300 a.C. DEMOSTRÓ QUE EXISTEN INFINITOS. • EJERCICIO: MULTIPLICA LOS NÚMEROS PRIMOS DESDE DOS HASTA EL QUE TÚ QUIERAS Y AL RESULTADO SUMALE UNO ¿QUÉ OBTIENES? • PROBAR QUE SI UN NÚMERO ES PRIMO, EL ANTERIOR O EL SIGUIENTE ES MÚLTIPLO DE 6. • HASTA AHORA NO TENEMOS UNA FÓRMULA PARA PREDECIRLOS pero…

NÚMEROS DE MERSENNE

CONJETURA DE GOLDBACH

• Mersenne se dio cuenta de que hay muchos números primos que cumplen que: • SI “p” ES UN NÚMERO PRIMO : 2p-1 TAMBIÉN ES UN NÚMERO PRIMO.

• FUE PROPUESTA POR GOLDBACH A EULER EN 1742. NADIE HA ENCONTRADO UN CONTRAEJEMPLO.. NO SE HA DEMOSTADO. • TODO NÚMERO PAR PUEDE PONERSE COMO SUMA DE DOS NÚMEROS PRIMOS • POR EJEMPLO: • 18=5+13; • 40 =17+… • 60=29+… • 100=3+…

• EJERCICIO: Comprueba para 2, 3 ,5 … • N.F. Cole demostró en 1903 que 267-1 no es primo 11

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NÚMEROS PRIMOS GEMELOS

NÚMEROS COMPUESTOS

• PAREJAS DE PRIMOS QUE SE DIFERENCIAN EN DOS UNIDADES.: 5 y7; 11y13; 29 y 31… • NADIE HA DEMOSTRADO QUE EXISTEN UN NÚMERO INFINITO DE ESTAS PAREJAS…

• SON AQUELLOS QUE NO SON PRIMOS. • TIENEN MÁS DE DOS DIVISORES: – ADEMÁS DE ÉL MISMO Y DE UNO HAY OTROS NÚMEROS POR LOS QUE AL DIVIDIRLOS LA DIVISIÓN ES EXACTA.

• Por ejemplo: 4 no es primo, ES COMPUESTO. 15 es COMPUESTO.

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FACTORIZACIÓN

REGLAS DE DIVISIBILIDAD Completa en tu cuaderno: Un número es DIVISIBLE por : 2 SI….. 3 SI….. 5 SI….. 7 SI….. 10 SI… 11 SI… Ejercicios del libro: Pág 11. Ej. 1 Pág 19. Ej. 51,52 Pág 18. Ej. 44,45

• DESCOMPONER COMO PRODUCTO DE FACTORES PRIMOS • MÉTODO ORDENADO: SE COMPRUEBA SI ES DIVISIBLE PARA 2,3,5,7,11…UTILIZANDO LOS CRITERIOS DE DIVISIBILIDAD. • Busca por el libro algún otro método propuesto. Tarea: Descomponemos en factores primos 12 y 30. 15

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Descomponemos en factores primos

Ejercicios del libro: Pág. 11. Ej. 2,3,4,6. Pág. 18. Ej. 47,54. Hacemos lo mismo con: 90 y 540. 17

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DIVISORES DE UN NÚMERO

LOS NÚMEROS PERFECTOS

• Los divisores de un número son aquellos números naturales tales que la división por ellos es exacta. • Llamamos divisores propios a todos los divisores de un número salvo él mismo. – Divisores de 6= 1,2,3,6 – Divisores propios de 6=1,2,3

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• Los números perfectos son aquellos números que son iguales a la suma de todos sus divisores propios. – Por ejemplo: 6,28,496… – 6=1+2+3 – 28=…. • Los judíos y los cristianos quedaron entusiasmados con el número 6, para estas religiones el mundo fue creado en 6 días. • El número de días que tarda la luna en dar una vuelta alrededor de la tierra o la duración del ciclo menstrual femenino es de 28 días, de ahí la identificación tradicional entre la mujer y la luna. 20

LOS NÚMEROS AMIGOS

Y también existen

• Dos números son amigos si cada uno de ellos es igual a la suma de los divisores propios del otro. • Los divisores de 220 suman: 1+2+4+5+10+11+20+22+44+55+110=284 • Los divisores de 284 suman: 1+2+4+71+142=220 Así que 220 y 284 son amigos. Otros amigos: 1184 y 1210; 2620 y 2924….. Un número perfecto es amigo de sí mismo

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Los números abundantes o excesivos:12,18… Los números deficientes o defectivos Los números semiperfectos: 18… Los números extraños Los números quasiperfectos Los números sociables Los números ambiciosos: 25… Los números intocables: 52, 88… Los números raros: 70, 836…

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DIVISORES DE VARIOS NÚMEROS: 12, 30

MÁXIMO COMÚN DIVISOR

• DESCOMPONEMOS

• Es el mayor de los divisores comunes • ¿Cómo se calcula?

DIVISORES DE 12: • 1,2,3,4,6,12 DIVISORES DE 30: • 1,2,3,5,6,10,15,30 DIVISORES COMUNES • 1,2,3,6 El divisor más grande común a ambos es el 6

– Se descomponen los números como producto de factores primos – Se hace el producto de los factores comunes con menor exponente. ¿Porqué es así?

• Ejercicios del libro: – Pág. 13 Ej. 13,14,15,16,17. – Pág. 13 Ej. 20, 21, 22, 23 ,24.

Lo llamamos el máximo común divisor (MCD)

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MÚLTIPLOS DE VARIOS NÚMEROS 12 y 30 • ¿Cómo se calculaban los múltiplos de un número? • Los múltiplos comunes 60, 120,180,240… • El múltiplo más pequeño común a ambos será: 60 • Lo llamamos el mínimo común múltiplo (m.c.m)

MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO

• Multiplicamos por los números naturales:

12 ⋅ 1 = 12

30 ⋅ 1 = 30

12 ⋅ 2 = 24

[30 ⋅ 2 = 60]

12 ⋅ 3 = 36

30 ⋅ 3 = 90

12 ⋅ 4 = 48

• Es el menor de los múltiplos comunes. • ¿Cómo se calcula?

[30 ⋅ 4 = 120]

[12 ⋅ 5 = 60 ]

30 ⋅ 5 = 150

12 ⋅ 6 = 72 ...

30 ⋅ 6 = 180

[ 12 ⋅ 10 = 120]

– Se descomponen los números como producto de factores primos. – Se hace el producto de los factores comunes y no comunes con mayor exponente. ¿Porqué es así?

• Ejercicios del libro: – Pág. 15 Ej. 26,27,28,29,30,31,32. – Pág. 15 Ej. 33, 34, 35, 36 ,37.

30 ⋅ 7 = 210 25

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CALCULAR: M.C.D. (18,27,30) m.c.m.(18,27,30)

PRACTICA Y REFUERZA: MCD Y mcm • Pág.18 Ej. 46, 48, 49 y 50. • Pág. 19 Ej. 55, 56, 57, 58, 59. • AMPLIA: Pág. 19 Del ej. 60 al 66. Interés especial al Ej. 62. ¿Qué te recuerda? • AUTOEVALUATE : Pág. 20 Del ej. 1 al 9.

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