Lección 4.1

Sistemas de Ecuaciones

03/06/2013

Prof. José G. Rodríguez Ahumada

1 de 21

Actividades 4.1 • Referencia Texto: Seccíón 9.1 – Sistema de Ecuaciones; Problemas impares 1-29 páginas 642 (593 y 594); Sección 9.2 – Sistemas de Ecuaciones Lineales con dos variables; problemas impares 1 – 23, página 652 (603 y 604) • Asignación 4.1: páginas 642 (593 y 594); problemas 18 y 22; De las página 652 (603 y 604) haga problemas 14 y 18. • Referencias del Web: • Videos de Julio Profesor.NET • SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES DE 2x2 • Método Gráfico Método de Sustitución Método de Igualación Método de Eliminación, Reducción o Método de Suma y Resta

03/06/2013

Prof. José G. Rodríguez Ahumada

2 de 21

Sistema de ecuaciones lineales • Conjunto de dos o más ecuaciones lineales con dos o más variables. • Solución de un sistema de ecuaciones lineales en 2 variables es un par que satisface ambas ecuaciones.

solución

• (a,b) Sistema no tiene solución

• Solución de sistemas de ecuaciones lineales en tres variables son triples ordenados que satisfacen cada una de las ecuaciones. 03/06/2013

Prof. José G. Rodríguez Ahumada

3 de 21

Ejemplo 1 • Determina si (-2,1) es la solución del sistema • Solución:

𝑦 = 3𝑥 + 7 𝑦 = −2𝑥 + 3

Si 1 = 3 −2 + 7 ? 1 = −2 −2 + 3 ? No

(-2,1) NO es una solución del sistema • Determine si (1, -1, 2) es solución de:

2𝑥 − 3𝑦 + 4𝑧 = 13 𝑥 + 𝑦 + 2𝑧 = 4 3𝑥 + 5𝑦 − 𝑧 = −4

• Solución: 2 1 − 3 −1 + 4 2 = 13 ? Si (1) + −1 + 2 2 = 4 ? Si 3 1 + 5 −1 − 2 = −4 ?

Si

(1, -1, 2) SI es solución

03/06/2013

Prof. José G. Rodríguez Ahumada

4 de 21

Resolución de Sistemas de Ecuaciones en dos variables

MÉTODO GRÁFICO

03/06/2013

Prof. José G. Rodríguez Ahumada

5 de 21

Ejemplo 2 • Resuelva el sistema de ecuaciones: y  3x  3 1 y  x2 2

03/06/2013

 (2, 3)

Prof. José G. Rodríguez Ahumada

6 de 21

Resolución de Sistemas de Ecuaciones en dos variables

MÉTODO DE SUSTITUCIÓN

03/06/2013

Prof. José G. Rodríguez Ahumada

7 de 21

Ejemplo 3 • Resuelva el sistema: x  y  2 y x2 x   x  2   2

(-2, 0)

2 x  2  2 2 x  2  2 2 x  4 x  2

y  (2)  2  0 Solución: (-2, 0) 03/06/2013

Prof. José G. Rodríguez Ahumada

8 de 21

Resolución de Sistemas de Ecuaciones

MÉTODO DE ELIMINACIÓN

03/06/2013

Prof. José G. Rodríguez Ahumada

9 de 21

Ejemplo 4 – Método de Adición o Eliminación • Resuelva: • Solución: E1+E2

x  2y  5

E1

x  2y  7

E2

2 x  0  12 2 x  12 2 x 12  2 2 x6

Sustituya el valor encontradoen cualquiera de las ecuaciones originales …

x  2y  5 (6)  2 y  5  2y  5  6  2 y  1 1 1 y  2 2

1 Solución es (6, ) 2 03/06/2013

Prof. José G. Rodríguez Ahumada

10 de 21

Ejemplo 5 • Resuelva el sistema:

30 x  40 y  200

E1

4 x  5 y  26

E2

• Solución: -8 E2

E1 + E2

30 x  40 y  200

30 x  40 y  200

- 8( 4 x  5 y )  8(26)

 32 x  40 y  208

 2 x  8 x4

Sustituya el valor encontrado en la primera ecuación original …

30(4)  40 y  200 120  40 y  200 40 y  80

 03/06/2013

y2

Solución es (4,2) Prof. José G. Rodríguez Ahumada

11 de 21

Ejemplo 6 • Resuelva:

4E1 3E2

 2x  3y  1   5x  4 y  14

 8x 12y  4   15x  12y  42

E1 + E2

Sustituya el valor encontrado en la primera ecuación original … 2x   3y

23x  46 x 2

1

2(2) - 3y =1 3y  1 4 y 1



Solución es (2, 1)

  03/06/2013



Prof. José G. Rodríguez Ahumada

12 de 21

Sistemas de ecuaciones • Hay tres tipos de sistemas de ecuaciones: • Sistema consistentes o compatibles – – tienen una solución.

• Sistemas inconsistentes o imcompatibles – – no tienen solución.

• Sistemas dependientes – – tienen un conjunto infinito de soluciones.

03/06/2013

Prof. José G. Rodríguez Ahumada

13 de 21

Ejemplo 7

x  2y  4 • Resuelva el sistema de ecuaciones: 3x  6y  8 • Solución:

 

3x  6y  12 3x  6y  8 0  4



Sistema inconsistente. No tiene solución.

03/06/2013

Prof. José G. Rodríguez Ahumada

14 de 21

Ejemplo 8 1 • Resuelva el sistema de ecuaciones: y  x  2 2 2y  x  4 • Solución: 1 2( x  2)  x  4 2 x4x4

00 



Sistema dependiente. Solución: (x , x/2 +2)

03/06/2013

Prof. José G. Rodríguez Ahumada

15 de 21

Ejemplo 9 • Demuestre que el siguiente sistema es 3x  2 y  8 dependiente y exprese sus soluciones.  6 x  4 y  16 Paso 1 – Resuelva el sistema.

3x  2 y  8

6 x  4 y  16

 6 x  4 y  16

 6 x  4 y  16

Paso 2 – Despeje por x.

00 Sistema dependiente.

3x  2 y  8 3x  2 y  8 2y 8 x 3

Paso 3 – Exprese la solución del sistema. 03/06/2013

 2y 8  , y   3 

Prof. José G. Rodríguez Ahumada

16 de 21

Sistemas de Ecuaciones No Lineales • Un Sistema de Ecuaciones No Lineales en dos variables es uno que contiene al menos una ecuación no lineal. • Por ejemplo: 𝑦+𝑥+1=0 5𝑦 + 𝑥 2 + 11 = 0

𝑥 = 𝑦2

𝑥 2 + 4𝑦 2 = 16

𝑥 2 + 𝑦 2 = 42

𝑥 2 + 𝑦 2 = 11

• Para resolver estos sistemas proceda de la manera siguiente: – Use el método de eliminación para eliminar una de las variables. – Use el método de sustitución para resolver.

03/06/2013

Prof. José G. Rodríguez Ahumada

17 de 21

Ejemplo 10 • Resuelva:

Sustituya los valores de la primera en la variable despejada …

𝑦+𝑥+1=0 -5E1

Si

5𝑦 + 𝑥 2 + 11 = 0

𝑥=2 𝑦 = −(2) − 1 𝑦 = −3

−5𝑦 − 5𝑥 − 5 = 0

Si

𝑥=3 𝑦 = −(3) − 1 𝑦 = −4

Soluciones: 2, −3 , (3, −4)

5𝑦 + 𝑥 2 + 11 = 0 𝑥 2 − 5𝑥 + 6 = 0

(𝑥 − 2)(𝑥 − 3) = 0 𝑥−2=0

𝑥−3=0

𝑥=2

𝑥=3

Despeje por la otra variable …

𝑦+𝑥+1=0 𝑦 = −𝑥 − 1 03/06/2013

Prof. José G. Rodríguez Ahumada

18 de 21

Ejemplo 11 • Resuelva el sistema x  y 2  3  0 • Solución: 2x2  y 2  4  0 E1 + E2

Para

2x2  x  1

1 2

x  y 2  3

2x2  x 1  0

1 2    y  3 2

(2 x  1)( x  1)  0

2x 1  0

ó

x 1  0

2x  1

ó

x  1

1 x ó x  1 2 Sustituya los dos valores encontrados en la primera ecuación original … 03/06/2013

x

1  y 2  3  2  7  y2  2 7 y2  2 7 72 14 y   2 2 2 2

Prof. José G. Rodríguez Ahumada

19 de 21

Ejemplo 11 … x  1

Para

x  y2  3  0

 1  y 2  3  0  y 2  3  1

y2  2 y 2 Las soluciones del sistema son:

 1  14   ,  2 2    1 14   ,  2 2   

03/06/2013

1, 2 

1, 2  Prof. José G. Rodríguez Ahumada

20 de 21

Actividades 4.1 • Referencia Texto: Seccíón 9.1 – Sistema de Ecuaciones; Problemas impares 1-29 páginas 642 (593 y 594); Sección 9.2 – Sistemas de Ecuaciones Lineales con dos variables; problemas impares 1 – 23, página 652 (603 y 604) • Asignación 4.1: páginas 642 (593 y 594); problemas 18 y 22; De las página 652 (603 y 604) haga problemas 14 y 18. • Referencias del Web: • Videos de Julio Profesor.NET • SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES DE 2x2 • Método Gráfico Método de Sustitución Método de Igualación Método de Eliminación, Reducción o Método de Suma y Resta

03/06/2013

Prof. José G. Rodríguez Ahumada

21 de 21