3. VARIABLES ALEATORIAS. Una variable aleatoria es una variable que toma valores numéricos determinados por el resultado de un experimento aleatorio (no hay que confundir la variable aleatoria con sus posibles valores) como por ejemplo el número de caras al lanzar 6 veces una moneda (valores: 0, 1, 2…), el número de de llamadas que recibe un teléfono en una hora, el tiempo que esperan los clientes para pagar en un supermercado, etc. Las variables aleatorias se clasifican en discretas o continuas: • Discretas: el conjunto de posibles valores es numerable, es decir, el resultado del experimento aleatorio es un conjunto finito. • Continuas: el conjunto de posibles valores es no numerable, es decir, el resultado del experimento aleatorio es un conjunto infinito. Por ejemplo el número de páginas de un libro es una variable aleatoria discreta, el tiempo que tarda en fundirse una bombilla es una variable aleatoria continua, el número de preguntas en una clase de una hora es una variable aleatoria discreta, la cantidad de agua consumida en un mes es una variable aleatoria continua. 3.1. DISTRIBUCIÓN DE UNA VARIABLE ALEATORIA Sea x una variable aleatoria discreta. Su distribución viene dada por los valores que puede tomar, x1, x2, x3, …, xk, y las probabilidades de que aparezcan p1, p2, p3, …, pk. Estas cantidades pi = P{x = xi } reciben el nombre de función de probabilidad o función de densidad (masa). Por ejemplo sea la variable aleatoria x = número de caras al lanzar tres veces una moneda. Los posibles valores de la variable aleatoria x son 0, 1, 2 y 3. El espacio muestral o conjunto solución sería, en donde S es caer sello y C es caer cara: E = {CCC, CCS, CSC, SCC, SSC, SCS, CSS, SSS} Los posibles valores de la variable aleatoria x serían: Toma valor 0 cuando ocurre el suceso {SSS} Toma valor 1 cuando ocurre el suceso {SSC, SCS, CSS} Toma valor 2 cuando {CCS, CSC, SCC} Toma valor 3 cuando {CCC} Con base en lo anterior, se puede definir la función de probabilidad de la variable aleatoria x de la siguiente manera:

p0 = P{x = 0} = 1 / 8 = 0,125 p1 = P{x = 1} = 3 / 8 = 0,375 p2 = P{x = 2} = 3 / 8 = 0,375 p3 = P{x = 3} = 1 / 8 = 0,125 1

La gráfica de la función de probabilidad de la variable aleatoria x sería: 0.40 0.35 0.30 0.25 0.20 0.15 0.10 0

2

1

3

Con base en lo anterior se podrían responder preguntas como: ¿Cuál será la probabilidad, denotada por P, de que salgan al menos dos caras?, cuya respuesta se puede encontrar mediante la siguiente expresión:

P{x ≤ 2} = P{x = 0} + P{x = 1} + P{x = 2} = 0,125 + 0,375 + 0,375 = 0,875 ¿Cuál sería la probabilidad, denotada por P, de que el número de caras esté entre 1 y 2?, cuya respuesta se puede encontrar mediante la siguiente expresión:

P{1 ≤ x ≤ 2} = P{x = 1} + P{x = 2} = 0,375 + 0,375 = 0,75 En general la probabilidad de que una variable aleatoria x tome un valor entre dos cantidades a y b sería:

P{a ≤ x ≤ b} = P{x = a} + P{x = a + 1}+...+ P{x = b − 1} + P{x = b} b

= ∑ P{x = xi } xi = a

Toda función de probabilidad debe las siguientes dos condiciones (en donde P es la notación para la probabilidad y p es la notación para su valor):

pi = P{x = xi } ≥ 0 k

∑ i =1

k

pi = ∑ P{x = xi } = 1 i =1

La función de distribución probabilidad acumulada representa en cada punto x0 la probabilidad de que la variable tome un valor menor o igual que dicho punto, es decir, P{x ≤ x0 } .

2

Por ejemplo, para la variable aleatoria definida por el número de caras que se obtienen al lanzar tres veces una moneda, la función de distribución de probabilidad acumulada se podría calcular de la siguiente manera:

P{x ≤ 0} = P{x = 0} = 0,125 P{x ≤ 1} = P{x = 0} + P{x = 1} = 0,125 + 0,375 = 0,5 P{x ≤ 2} = P{x = 0} + P{x = 1} + P{x = 2} = 0,5 + 0,375 = 0,875 P{x ≤ 3} = P{x = 0} + P{x = 1} + P{x = 2} + P{x = 3} = 0,875 + 0,125 = 1 La gráfica de la función de distribución de probabilidad acumulada de la variable x sería la siguiente: 1.0

0.8

0.6

0.4

0.2

0.0 0

1

2

3

Lo anterior es válido para variables aleatorias discretas, para una variable aleatoria continua, su distribución de probabilidad tiene muchos valores y su probabilidad asociada es prácticamente nula, es decir, la función de distribución es continua. En este caso se usa en concepto de función de densidad de probabilidad que indica la densidad o concentración de probabilidad en cada intervalo de clase de un histograma, es decir, indica las probabilidades por áreas en el histograma y sus valores más altos corresponden a intervalos en los cuales es más probable que aparezcan resultados del experimento aleatorio. 3.2. MEDIA O VALOR ESPERADO (ESPERANZA) DE UNA VARIABLE ALEATORIA DISCRETA. La media o esperanza de una variable aleatoria discreta, se denota por E(x) y por mx, y está dado por la siguiente expresión, en donde xi es el valor de la variable aleatoria y pi su valor de probabilidad asociado: k

E ( x ) = mx = x1 p1 + x2 p2 +...+ xk pk = ∑ xi pi i =1

Por ejemplo, sea la variable aleatoria x el resultado de lanzar un dado (x=resultado de lanzar un dado.). La distribución de probabilidad de x está dada por:

3

p1 = P{x = 1} = 1 / 6 p2 = P{x = 2} = 1 / 6

. . .

p6 = P{x = 6} = 1 / 6

Con base en lo anterior, el valor esperado de x está dado por: k

1 1 1 1 1 1 mx = ∑ xi pi = 1 × + 2 × + 3 × + 4 × + 5 × + 6 × = 3,5 6 6 6 6 6 6 i =1 Para una variable aleatoria continua, el concepto de media o esperanza de una variable es equivalente pero su cálculo, dada su variabilidad continúa, requiere emplear el concepto de integral. La media de una variable aleatoria puede interpretarse como el valor esperado o medio que toma dicha variable o como el valor central de dicha distribución y posee las siguientes propiedades: • Si x e y son dos variables aleatorias se cumple que:

mx + y = mx + my

•

Si a y b son constantes se cumple que:

max +b = amx + b

Situación problémica 1. Una compañía ha vendido 205 tiquetes para un avión de 200 plazas. Sea x la variable aleatoria que expresa el número de viajeros que va al aeropuerto para viajar en el avión. Su distribución es: xi pi •

198 0,05

199 0,09

200 0,15

201 0,20

202 0,23

203 0,17

204 0,09

205 0,02

Hallar la probabilidad de que todos los viajeros que van al aeropuerto tengan plaza.

P{x ≤ 200} = P{x = 198} + P{x = 199} + P{x = 200} = = 0,05 + 0,09 + 0,15 = 0,29 •

Obtener la probabilidad de que se quede sin tiquete alguno de los viajeros que va al aeropuerto.

P{x > 200} = P{x = 201} + P{x = 202}+...+ P{x = 205} = = 0,2 + 0,23 + 0,17 + 0,09 + 0,02 = 0,71 P{x > 200} = 1 − P{x ≤ 200} = 1 − 0,29 = 0,71 •

Calcular el número esperado de viajeros que acude al aeropuerto.

4

k

mx = ∑ xi pi = 198 × 0,05 + 199 × 0,09 + 200 × 0,15 + 201 × 0,2 + i =1

+ 202 × 0,23 + 203 × 0,17 + 204 × 0,09 + 205 × 0,02 = = 201,44 •

¿Cuál es la probabilidad de que la primera persona de la lista de espera tenga sitio en el vuelo?

P{x ≤ 199} = P{x = 198} + P{x = 199} = 0,05 + 0,09 = 0,14

3. 3. DESVIACIÓN TÍPICA O DESVIACIÓN ESTÁNDAR DE UNA VARIABLE ALEATORIA. La desviación estándar de una variable aleatoria es una medida de dispersión de la distribución alrededor de una medida de tendencia central que en general es la media. Los valores pequeños indican concentración de la distribución alrededor de la esperanza y los valores grandes corresponden a distribuciones más dispersas. El concepto de desviación típica es equivalente en variables aleatorias discretas y continuas, aunque en estas últimas su cálculo requiere del uso del concepto de integral. Si x es una variable aleatoria discreta su desviación típica se denota por σx o por DT(x), mediante la siguiente expresión en la cual xi son los valores de la variable aleatoria, mx es su valor esperado o media y pi es el valor de la probabilidad de cada valor xi:

σ x = DT ( x) =

k

∑ (x

− mx ) pi = 2

i

i =1

k

∑x

2 i

pi − mx2

i =1

A partir de la desviación estándar es posible calcular la varianza, denotada por σ2x o por V(x) de una variable aleatoria mediante la siguiente expresión: k

k

σ = V ( x ) = ∑ ( xi − mx ) pi = ∑ xi2 pi − mx2 = mx −mx2 2 x

2

2

i =1

i =1

La varianza tiene las siguientes propiedades: • Si a y b son constantes se cumple que:

•

σ ax +b = a σ x σ ax2 +b = a 2σ x2

Si x e y son dos variables aleatorias independientes se cumple que:

σ x2+ y = σ x2 + σ y2

σ x + y = σ x2 + σ y2

y

5

Situación problémica 2. Se lanza tres veces una moneda. Sea x la variable aleatoria que expresa el número de caras en los tres lanzamientos. •

Hallar y representar la función de probabilidad de x. El espacio muestral E es el siguiente: E = {CCC, CCS, CSC, SCC, SSC, SCS, CSS, SSS} x = 0 → {SSS} p0 = P{x = 0} = 1 / 8 = 0,125 x = 1 → {SSC, SCS, CSS} x = 2 → {CCS, CSC, SCC}

p1 = P{x = 1} = 3 / 8 = 0,375 p2 = P{x = 2} = 3 / 8 = 0,375 p3 = P{x = 3} = 1 / 8 = 0,125

x = 3 → {CCC} • ¿Calcular el número esperado de caras al lanzar la moneda. ¿Era previsible el resultado? k

mx = ∑ xi pi = 0 × 0,125 + 1 × 0,375 + 2 × 0,375 + 3 × 0,125 = 1,5 i =1

Sí, ya que en cada lanzamiento P(C) = 1/2 y al lanzar tres veces se tiene que 3 × 1 / 2 = 1,5 . • Hallar la desviación estándar de x.

σx =

k

∑ (x − m ) i

x

2

pi =

i =1

(0 − 1,5) 2 × 0,125 + (1 − 1,5) 2 × 0,375 + (2 − 1,5) × 0,375 + (3 − 1,5) × 0,125 2

2

= 0,866

o bien:

σx =

k

∑x

2 i

i =1

pi − mx2 =

(0

2

)

× 0,125+...+32 × 0,125 − 1,52 = 0,866

La desviación estándar es una medida de dispersión que depende de las unidades de medida de la variable, en consecuencia es usual calcular el coeficiente de variación, CVx; para evitar dicha dependencia que puede afectar la interpretación de la desviación estándar; su calculo se realiza mediante la siguiente expresión:

CVx =

σx

mx

6

Situación problémica 3. Sea x una variable aleatoria que expresa el número de personas que habitan en una vivienda elegida al azar. La distribución de probabilidad de x es la siguiente: xi pi

1 0,230 •

2 0,322

3 0,177

4 0,155

5 0,067

6 0,024

7 0,015

8ó+ 0,010

Comprobar que los datos anteriores son una distribución de probabilidad. Todas las pi son mayores o iguales que cero y además se cumple que: 8

∑

pi = 0,23 + 0,322 + 0,177+...+0,010 = 1

i=1

•

Hallar la probabilidad de que el número de personas que viven en un hogar sea menor o igual que cuatro.

P( x ≤ 4) = P( x = 1) + P( x = 2) + P( x = 3) + P( x = 4) = = 0,23 + 0,322 + 0,177 + 0,155 = 0,884

•

Calcular la probabilidad de que al menos dos personas vivan en una vivienda.

P( x ≥ 2) = P( x = 2) + P( x = 3)+...`+ P( x ≥ 8) = = 1 − P( x < 2) = 1 − 0,23 = 0,77

•

Obtener el número medio de personas que habitan en una vivienda.

mx = 1 × 0,23 + 2 × 0,322 + 3 × 0,177+...+7 × 0,015 + 8 × 0,01 = 2,689

7