3.5.1 Trasformada de Laplace de la función escalón unitario
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3.5.1 Trasformada de Laplace de la función escalón unitario Función Escalón Unitario También llamada función salto unidad de Heaviside, y con frecuencia se utiliza en aplicaciones que tratan casos o situaciones que cambian de manera abrupta en tiempos específicos. Para esto se necesita una notación para una función que suprima un término dado hasta cierto valor de t e inserte ese término para todo valor mayor que t . Esta función nos proporciona una herramienta poderosa para construir transformadas inversas. Varias funciones discontinuas frecuentemente se pueden expresar en términos de esta función por eso es el punto de partida para el tema de las funciones definidas por tramos. u (t − a ) =
0 si t < a 1 si t < a
(1)
Para cada constante a la gráfica de esta función se muestra en la siguiente figura µ(t-a)
f(t)
2 1
a
t
Figura 3.5.1.1 Función escalón u ( t − a ) Obsérvese que se ha dejado u ( t − a ) indefinida en t = a , y la figura 3.5.1.1 incluye un segmento vertical. El segmento vertical es tan sólo una conveniencia del diagrama en este caso, y de ninguna manera es parte de la gráfica de una función. Con respecto al porqué u ( t ) queda indefinido, existen dos razones: primero, la definición de u ( t ) no afecta a la transformada de Laplace de u ( t − a ) . La transformada de Laplace se define mediante integrales, que no se ven afectadas por el valor de la función en un punto dado cualquiera, al integrar. Al dejar sin definir algunos valores nos evitamos molestias y detalles innecesarios que provoquen distracción de lo que nos ocupa. Segundo, cada vez que resulte
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Amalia C. Aguirre Parres
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apropiada la definición de u (t ) por alguna razón, tenemos que estar libres para determinar el valor apropiado a la situación. Nos ocuparemos de las funciones de escalón unitario u ( t − a ) tan solo para a > 0 debido a que una transformada de Laplace se define mediante una integral para t ≥ 0 y, por lo tanto, no se ve afectada por la forma en que se define la función cuando t es negativa. En consecuencia, cuando a ≤ 0 , la transformada de Laplace de u ( t − a ) es igual que la de la función 1 . Cuando a > 0 , la trasformada de Laplace de u ( t − a ) es más interesante.
Por definición tenemos ∞
L {u (t − a )} = ∫ e − st [u (t − a) ] dt
(2)
0
a
∞
0
a
Sustituyendo los valores de la función F ( s ) = ∫ e − st ( 0 ) dt + ∫ e − st (1) dt 1 Simplificando F ( s ) = − e − st s
∞
a
1 Integrando F ( s ) = − lim ( e − st ) s b →∞
b
a
1 Aplicando límites F ( s ) = − lim ( e − sb − e− sa ) s b →∞
(
)
Suponiendo que s > 0 , entonces lim e − s( ∞ ) → 0 Por lo tanto F ( s ) = −
1 − as e s
De tal manera que
{ (
L µ t−a
)} = 1s e− as
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si a > 0
(3)
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0 Ejemplo 3.5.1.1 Encontrar la transformada de Laplace de f (t ) = 2 1