5. Materiales en la Medicina Comportamiento de Huesos y Tejidos Teoría

Dr. Willy H. Gerber Instituto de Ciencias Físicas y Matemáticas, Universidad Austral, Valdivia, Chile 18 de mayo de 2012

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Comportamiento de Huesos y Tejidos

La elasticidad de un cuerpo es su capacidad de elongar se o comprimirse sin sufrir daño o alteración. Un ejemplo clásico son los resortes, que en la medida que no los estiramos demasiado tienden a mostrar este comportamiento. En una escala microscópica la interacción entre átomos, moléculas o iones muestran comportamiento similar. Bajo pequeñas deformaciones todos estos materiales reaccionan en forma elástica. Se deforman sin sufrir alteraciones permanentes. Si aumentamos la fuerza que aplicamos comenzaremos a dañar el material y crearemos deformaciones que son permanentes. Se habla aquí de rupturas o deformación plástica

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Elasticidad y Plasticidad

En esta sección estudiaremos la elasticidad y como se modela para luego aplicarla a lo que es le deformación de materiales tales como músculos, tejidos y huesos. En esta sección veremos:

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I

La Ley de Hook

I

Resortes en Serie

I

Resortes en Paralelo

I

Deformación Elástica

I

Ruptura y Plasticidad

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La Ley de Hook (1)

Para elongar o comprimir un resorte se necesita aplicar una fuerza por ambos extremos y en direcciones opuestas:

El resorte se elongaría o comprimirá en un largo proporcional a la fuerza aplicada. Si vamos colgando masas bajo un resorte, podemos ir comparando la elongación que logra con la masa o peso que vamos aplicando. Al duplicar la masa veremos que la elongación se duplica.

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Resorte con Pesos

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La Ley de Hook (2)

Si graficamos la fuerza en función de la elongación veremos una recta: F = kx

(1)

La relación entre la fuerza F y la elongación x se escribe y denomina la ley de Hook. La constante k se denomina la constante de Hook del resorte. Ley de Hook

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La Ley de Hook (3)

Esta linealidad nos permite emplear resortes para medir fuerza. Si estudiamos un dinamo-metro veremos que no es mas que un resorte con un cilindro que lleva una escala que ha sido calibrada de modo de indicar los Newton con que se esta jalando. Nota: se le denomina dinamo-metro porque mide dinas que es otra unidad de fuerza igual que los Newton. Funcionamiento de un Dinamometro

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Resortes en Serie (1) ¿Que pasa si conectamos dos resortes en serie? Si aplicamos en los extremo la fuerza F, los resortes se elongarán (o comprimirán) en x1 y x2 , según las constantes de Hook k1 y k2 respectivamente. Si el punto de contacto entre ambos resortes esta en reposo, la suma de las fuerzas que actúan sobre este deben sumar cero, es decir deben ser iguales a F.

Por ello se debe cumplir que en cada resorte F = k1 x1 = k2 x2 la elongación total será por ello x = x1 + x2 =

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F F + = k1 k2



1 1 + k1 k2

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 F

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Resortes en Serie (2)

Si se introduce una constante de Hook para el sistema de resortes tal que 1 1 1 = + kt k1 k2 la ecuación de la elongación se reduce a x=

1 F kt

o F = kt x En otras palabras un sistema de resortes de constantes ki conectados en serie se comportaran como un solo resorte de constante igual a X1 1 = kt ki i

(2)

Esta es la ecuación para la suma de resortes conectados en serie.

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Resortes en Paralelo (1) Otra posibilidad es conectar los resortes en paralelo. En ese caso tenemos que imaginarnos que los resortes están conectados a un tipo de placas lo que hace que la elongación o contracción sea igual para todos:

Esto significa que todos los resortes elongan o se contraen en una misma medida x. Por ello cada resorte genera una fuerza que depende de su constante de Hook pero bajo la misma deformación F1 = k1 x y F2 = k2 x

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Resortes en Paralelo (2)

La fuerza total F tiene que ser igual a la suma de las fuerzas por lo que F = F1 + F2 = k1 x + k2 x = (k1 + k2 )x Por ello concluimos que si los resortes se combinan en forma paralela, estos se comportan como un resorte cuya constante de Hook es la suma de las constantes individuales. O sea para resortes de constantes ki la constante del sistema sera X kt = ki (3) i

Esta es la ecuación para la suma de resortes en paralelo.

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Deformación Elástica (1)

En el cuerpo humano no vamos a encontrar resortes. Sin embargo a un nivel subatomico las estructuras tienden a ser sistemas que se comportan como un alto numero de ”resortes”. Tanto en músculos (fibras) como en huesos (células) podemos considerar secciones de un área A y largo L. Si cada ”unidad” ocupa una sección a y largo l existirá un total de Np =

A a

(4)

Ns =

L l

(5)

”resortes” en paralelo y

”resortes” en serie.

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Deformación Elástica (2)

Si las constante de Hook microscópica km de cada ”resorte” son iguales tendremos que la constante total por largo l sera kp = Np km =

A km a

Si ahora suponemos que sumamos las Ns secciones como ”resortes” en serie, tendremos que la constante de Hook total sera 1 La 1 1 = Ns = kt kp l A km o sea kt =

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Al km La

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Deformación Elástica (3)

El primer factor corresponde a parámetros microscópicos del material por lo que lo podemos definir como una constante. En ese sentido se introduce el modulo elástico como l E = km (7) a cuyas unidades son N/m2 o Pa (Pascal). Los valores típicos para hueso están en el rango 50 250 MPa (Mega = 106 ).

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Ruptura y Plasticidad (1)

Para pequeñas deformaciones el material se comporta en forma lineal, es decir la deformación es proporcional a la tensión que se aplica. Desde un punto de vista microscópico los elementos, moléculas o iones se separan y al reducir la carga vuelven a su lugar original:

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Ruptura y Plasticidad (2) En la curva fuerza-elongación veremos que siempre se mantiene la misma relación, independiente que aumente o disminuye la fuerza que se aplica:

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Ruptura y Plasticidad (3) Si se sobrepasa una fuerza critica, los elementos, moléculas o iones, comienzan a liberar uniones creando zonas con daño o desplazamientos y formando una nueva unión con otro elemento. Esto ultimo lleva a deformaciones permanentes:

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Ruptura y Plasticidad (4) En la curva fuerza elongación observaremos como al volver a relajar el cuerpo este habrá cambiado su largo quedando con una deformación irreversible.

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Ruptura y Plasticidad (5)

En la medida que se continúe aumentando la fuerza comenzara a surgir un segundo tipo de comportamiento: la ruptura. Cada vez mas zonas cederán haciendo que el resto del material tenga que soportar aun mas fuerza lo que finalmente lleva a la ruptura catastrófica (=muy rápida, que no se puede detener).

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Comprimir y Tensionar

Las dos formas simples de deformar un cuerpo es la compresión y la tensión. Cada vez que nos ponemos de pie todo nuestro esqueleto es comprimido por efecto de nuestro propio peso. En forma similar si nos colgamos de una barra, son nuestros huesos y las articulaciones que los unen las que son tensionadas. En esta sección veremos: I

Tensión

I

Coeficiente de Poisson

I

Estructura del Hueso

I

Modulo de Elasticidad

I

Energía

Deformación

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Deformación (1)

Si calculamos una fuerza tendremos que la ley de Hook implica que la fuerza sera igual a F=

EA u L

(8)

en donde u es la elongación. La ecuación no solo depende de la elongación, depende de la proporción entre elongación y largo del cuerpo L. Eso significa que tendremos la misma fuerza (para igual modulo de elasticidad E y sección A) si mantenemos constante la proporción de elongación y largo. Dilatación de un Hueso

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Deformación (2)

Por ello tiene sentido definir lo que llamaremos una deformación ε=

Dilatacion de un Hueso

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∆u L

(9)

La deformación en que el material tiene un comportamiento elástico depende del material. En el caso de hueso es del orden de 0.008 o sea un 0.8 %. Si el desplazamiento de un punto ~x = (x, y, z) se define mediante un vector ~u = (ux , uy , uz ) a deformación se puede calcular para cada eje como   ∂ux ∂uy ∂uz (εx , εy , εz ) = , , (10) ∂x ∂y ∂z

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Tensión Al igual que una elongación tiene que ser vista en relación al largo del objeto, la fuerza aplicada adquiere sentido si se le relaciona con el área o sección sobre la que actúa. Por ello se define la tensión σ como la fuerza F por el área A en que esta actúa: F σ= (11) A La tensión si mide en Pascal (Pa) que corresponde a N/m2 . Al introducir la tensión la ecuación de Hook se reduce ahora a σ=

EA∆x = Eε LA

(12)

Como ya vimos antes los materiales tienen un limite en que pasan de un comportamiento elástico a uno plástico. Esto ocurre en una deformación critica, y mediante la ecuación se puede asociar a una tensión critica. En el caso general de tres dimensiones se tiene que σx = Eεx , σy = Eεy , σz = Eεz

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Coeficiente de Poisson (1) Si se comprime o elonga un objeto en un eje en particular (por ejemplo en el eje z) en una deformación en z se observara que se dilata o contrae en las otras dos direcciones.

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Coeficiente de Poisson (2)

De hecho lo hace en forma proporcional; si la compresión o dilatación en los ejes x e y es de dlx y dly respectivamente se cumple que x = −νx z , y = −νy z

(14)

donde νx y νy son los coeficiente de Poisson. Para un material isotrópico son por lo general independientes de la dirección (νx =νy ). Sin embargo el hueso es anisotrópico, es decir sus propiedades mecánicas dependen de la dirección y en ese caso en general νx distinto a νy . El coeficiente de Poisson es en la mayoría de los materiales positivo (o sea una dilatación en z lleva a una contracción en los otros ejes y viceversa) y asume valores entre 0.05 y 0.4.

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Estructura del Hueso (1)

Los material de los huesos es en general un sistema poroso como se muestra en la imagen.

Con la edad, y en especial en las mujeres, esta estructura se debilita con lo que aumenta el riesgo de fracturas.

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Estructura del Hueso (2) Los huesos tiene distintas densidades según donde se localizan. Por ejemplo el hueso trabecular se encuentra en los extremos y tiene en general baja resistencia a la deformación. En la parte central se tiene hueso cortical que tiene una densidad varias veces mayor:

Esta diferencia se suple por la sección que cubre. El hueso trabecular que es mas débil no tiene cavidades interna teniendo una mayor sección. El hueso cortical, que es mas resistente, tiene una cavidad interna por lo que tiene una menor sección. W. Gerber

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Modulo de Elasticidad Materiales porosos o con incrustaciones (como en las cerámicas) tienen módulos de elasticidad distintos para lo que es compresión y dilatación Esto significa que en la gráfica tensión - deformación tendremos distintas pendientes:

En general el material reacciona en forma mas rígida a la compresión y mas blanda a la extensión.

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Energía (1)

Al igual que en el resorte, la deformación del material requiere de energía. El trabajo para comprimir o expandir el material y se calcula como Z W = d~s · ~ F (15) en que se suma sobre el camino recorrido. En el caso de una deformación elástica, la relación es lineal y es Z EA W= dx · x (16) L

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Energía (2)

Con ello es

EA 2 x 2L

(17)

EAL 2 1 ε = VEε2 2 2

(18)

W= empleando la deformación W=

como AL es el volumen V Otra forma de escribir esta misma ecuación es usando la tensión para lo cual se emplea la relación entre tensión y deformación quedando σ2 W= V (19) 2E

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Energía (3)

En caso de no sufrir torsión el resultado se puede trivialmente extender a tres dimensiones, siendo en ese caso w=

W 1 = E(ε2x + ε2y + ε2z ) V 2

(20)

y 1 2 (σx + σy2 + σz2 ) 2E donde W es la energía, V el volumen y w la densidad de energía. w=

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Torsión y Flexión

Un cuerpo no solo se le puede comprimir o expandir, también se le puede torcer o flexionar. De hecho estos son métodos que tienden a producir rupturas por lo que es clave su estudio. En este caso veremos:

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I

Cizalla

I

Torsión

I

Flexión

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Cizalla (1) En el comprimir y tensar se aplica fuerza. La otra alternativa es aplicar torque, para lo cual se aplican dos fuerzas opuestas separadas por un ”brazo”:

Cizalla W. Gerber

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Cizalla (2)

En este caso la deformación que se genera se denomina cizalla. En este caso la tensión no se asocia a una deformación si no al angulo con que se desfasan ambas caras. El modulo en este caso se denomina modulo de cizalla y se emplea la letra G σ = Gγ (22) El modulo de cizalla se puede calcular del modulo elástico y el coeficiente de Poisson mediante E = 2G(1 + ν) (23)

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Cizalla (3)

En el caso tridimensional existen tres ángulos según el plano x-y, y-z y x-z y se denominan correspondientemente γx y, γy z y γx z y se asocian a las tensiones de cizalla σxy , σyz y σxz como se indica a continuación: γxy =

∂ux ∂uy σxy + = ∂y ∂x G

(24)

tan αx =

dux ∂ux ⇒ αy ∼ dy ∂y

γyz =

∂uy ∂uz σyz + = ∂z ∂y G

(25)

tan αy =

∂uy duy ⇒ αx ∼ dx ∂x

γxz =

∂ux ∂uz σxz + = ∂z ∂x G

(26)

angulo total γx y = αx + αy W. Gerber

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Cizalla (4)

La energía de deformación lineal W por unidad de volumen V sera w=

1 W 2 = (E(ε2x + ε2y + ε2z ) + G(γxy + γyz2 + γxz2 )) V 2

(27)

1 2 1 2 2 2 (σx + σy2 + σz2 ) + (σxy + σyz + σxz ) 2E 2G

(28)

o w=

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Modulo de Elástica y Cizalla En el caso de los huesos los módulos de elasticidad y el modulo de cizalla dependen de la velocidad con que se realiza la deformación:

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Torsión (1) Una de las aplicaciones de la cizalla es la torsión que se genera si se aplica el torque en los extremos del hueso: Torsión en hueso

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Para la descripción de la deformación basta conocer la torsión aplicada y el angulo que se observa Torsión

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Torsión (2)

El factor de proporcionalidad en este caso depende del modulo de cizalla G, del largo L y de ”momento de inercia de superficie” I: T=

IG γ L

(29)

con

π 4 (R2 − R41 ) (30) 4 donde R1 es el radio interior y R2 el radio exterior del hueso. Esta ley es análoga a la ley de Hook del caso de compresión y tensión. I=

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Flexión (1) Otra forma de aplicar el torque es vía los extremos de modo que el objeto se flexiona o dobla. En este caso tenemos dos situaciones de interés En el primer caso flectamos un extremo del cuerpo con una fuerza F en una distancia x. Flexión en el borde

En este caso el equivalente de la ley de Hook, tensión y energía serian F=

3EI 2R2 L 3EI 2 F, W = u, σ = u L3 3I 2L3

(31)

en donde I es el momento de inercia, E el modulo de elasticidad, L el largo del cuerpo, u el desplazamiento, R2 el radio exterior, F la fuerza, σ la tensión y W la energía. W. Gerber

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Flexión (2)

La segunda variante es que la fuerza actúe en la mitad del cuerpo y que ambos extremos estén fijos. Flexión en el centro

En esta situación la ecuación que equivale a la ley de Hook, tensión y energía serian EI R2 L EI F = 48 3 u, σ = F, W = 24 3 u2 L 3I L

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Pandeo (Buckling)

En el caso que se presiona verticalmente existe una situación de equilibrio inestable. Cualquier fluctuación lleva a una flexión y puede sobrepasar el limite elástico y llevar a una ruptura catastrófica. Esta se da para una fuerza, tensión y energía F=

π 2 EI π 4 EI 2 π 2 EI , σ= 2 2 , W= 2 2 K L K LA 2K 4 L3 A

(33)

donde K es una constante que depende de la forma que se fijan los extremos (ambos extremos fijados (0.5), ambos pueden rotar (1.0), un lado fijo y el otro puede rotar (0.7) y uno fijo y el otro libre (2.0)). El área en este caso seria A = π(R22 − R21 ) (34)

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Desarrollo y Quiebre

Uno de los aspectos que nos interesa en el caso de la física de los materiales aplicadas a la medicina es ver que tan estable se comportan huesos y tejidos bajo la acción de la fuerza. Por ello estudiamos las situaciones extremas en que existe ruptura pero también los mecanismos de reparación y prevención que el cuerpo tiene. En esta sección veremos:

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I

Ruptura por compresión y tensión

I

Ruptura por flexión

I

Mecanismo de Crecimiento

I

Propagación de Grietas

I

Relación de Estabilidad

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Ruptura por compresión y tensión (1)

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Ruptura por compresión y tensión (2) Si sobrepasamos el nivel de tensión critica ya sea para la compresión o la tensión, el material se fractura generando quiebres que se extienden a lo largo de toda una sección.

En el caso de la compresión el material colapsa destruyendo las paredes de los poros: Ruptura por compresión y la zona de ruptura muestra señas de ”material molido”. W. Gerber

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Ruptura por compresión y tensión (3) En el caso de fractura por tensión las paredes de los poros ceden literalmente ”cortando se” las paredes:

Ruptura por tensión mostrando la zona un ”corte limpio” en que se observa la estructura de los poros. W. Gerber

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Ruptura por compresión y tensión (4)

Rupturas del tipo de compresión se pueden dar por compresiones que ocurren al saltar de un punto muy alto. Si la masa de la persona es m y esta salta de una altura h los huesos tendrán que absorber la energía potencial que es V = mgh (35) Si la tensión máxima que soporta el hueso para compresión es σc la energía que puede absorber sin dañarse es como máximo W=V

σc2 2E

(36)

donde σc es la tensión critica. Por ello existe una altura máxima sobre la cual el daño es inevitable. Esta se puede calcular igualando ambas energías y despejando la altura: σ2 hcrit = V c (37) 2Emg

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Ruptura por compresión y tensión (5) En forma análoga se puede considerar el impacto ya sea por una masa m o la propia masa m contra un objeto en reposo. Si la velocidad es v la energía cinética a ser absorbida es igual a K=

1 2 mv 2

(38)

De esta forma existe una velocidad critica que si es sobrepasada el hueso sufrirá una ruptura. Igualando la energía cinética a la energía de deformación critica (36) se obtiene que la velocidad limite es r Vσc vcrit = (39) mE Tanto el concepto de altura como velocidad critica es aplicable a cualquiera de los esquemas de carga del hueso antes descritos. La regla general es que el hueso se dañará por aquel mecanismo que requiera de menor energía. Para determinar cual de ellos ocurrirá es necesario calcular las energías en cada modo y determinar la de menor valor.

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Ruptura por flexión (1)

En el caso de la flexión el hueso se curva tensándose en la parte externa y comprimiéndose en la parte interna. En general el material soporta mejor la compresión que la tensión por lo que la ruptura se inicia en la parte externa.

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Ruptura por flexión (2)

Como la flexión es originada por un torque que actúa en el extremo del hueso, existe la posibilidad de reducir este por acción de un musculo del cuerpo. Deportistas entrenados logran esto generando un torque que reduce la flexión del hueso y lo protege de la ruptura.

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Mecanismo de Crecimiento (1)

El hueso es un sistema dinámico, es decir durante toda nuestra vida continua adaptando su forma a lo que su uso requiere. Este fenómeno se conoce como la ley de Wolf que dice: ”El hueso se desarrolla reforzando áreas (formación) de alta tensión y reduciendo (resorción) aquellas que no son expuestas a mayores tensiones.” Dicho proceso ocurre directamente mediante el liquido intersticial que transmite la señal de uso (presión) o falta de uso (baja de presión) a órganos generadores de hueso. En la gráfica a continuación se ve una simulación de cambio de forma en función de reducir la tensión en un hueso sometido a cizalla:

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Mecanismo de Crecimiento (2)

Desarrollo del hueso

De esta forma una persona que se mantiene postrada a la cama sufre un reducción de su masa osea. Por otro lado entrenadores usan este mecanismo para formar los huesos de deportistas haciendo que realicen ejercicios que permiten desarrollar los huesos en una forma especifica.

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Propagación de Grietas (1) La porosidad de los huesos tiene dos razones fundamentales: 1. Permite reducir masa 2. Los poros ayudan a detener grietas que se están propagando por el hueso

Para entender esto ultimo se debe de observar la tensión que se forma en la punta de una grieta. En una posición a distancia r y angulo θ de la punta de la grieta la tensión es la indicada a continuación W. Gerber

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Propagación de Grietas (2)

 θ 1 − sin sin 2  θ KI θ 1 + sin sin σy (r, θ) = √ cos 2 2 2πr

KI θ σx (r, θ) = √ cos 2 2πr

3θ 2



3θ 2



(40) (41)

El factor KI se denomina Factor de intensidad y se calcula de la fuerza aplicada F, del modulo de elasticidad E y del largo de la grieta l mediante r FE KI = (42) l Si la punta de la grieta tiene un radio de rc el máximo de tensión en la dirección vertical sera KI σy (rc , 0) = √ 2πrc

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Propagación de Grietas (3)

donde es la punta del radio del quiebre. En un material homogéneo esta es muy pequeña existiendo una alta tensión en la punta que ayuda a romper nuevo material. En un material como el hueso al alcanzar un quiebre un poro el radio pasa a ser del tamaño del poro lo que es mucho mas grande que la del quiebre original. Esto es una baja fuerte de la tensión y con ello un mecanismo para detener el quiebre.

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Bibliografia I Physics in Biology and Medicine, Paul Davidovits, Elsevier Inc, 2008, ISBN-13: 978-0-12-369411-9 Musculoskeletal Fatigue and Stress Fractures, David B. Burr, Chuck Milgrom, Lewis Publishers, 2001, ISBN 0-8493-0317-6 Basic Orthopaedic Biomechanics and Mechano Biology, Van C. Mow and Rik Huiskes, Lippincott Williams / Wilkins, 2005, ISBN-13: 978-0-7817-3933-7 Sports Injuries in Children and Adolescents, A.H. Karantanas (Ed.), Springer, Heidelberg, 2011, ISBN-13: 978-3-540-88589-4

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