DECLARACIÓN UNIVERSAL DE LOS DERECHOS HUMANOS El 10 de diciembre de 1948, la Asamblea General de las Naciones Unidas aprobó y proclamó la Declaración Universal de los Derechos Humanos, cuyos artículos figuran a continuación:

Artículo 1.Todos los seres humanos nacen libres e iguales en dignidad y derechos y (...) deben comportarse fraternalmente los unos con los otros. Artículo 2.Toda persona tiene todos los derechos y libertades proclamados en esta Declaración, sin distinción alguna de raza, color, sexo, idioma, religión, opinión política o de cualquier otra índole, origen nacional o social, posición económica, nacimiento o cualquier otra condición. Además, no se hará distinción alguna fundada en la condición política, jurídica o internacional del país o territorio de cuya jurisdicción dependa una persona (...). Artículo 3.Todo individuo tiene derecho a la vida, a la libertad y a la seguridad de su persona. Artículo 4.Nadie estará sometido a esclavitud ni a servidumbre; la esclavitud y la trata de esclavos están prohibidas en todas sus formas. Artículo 5.Nadie será sometido a torturas ni a penas o tratos crueles, inhumanos o degradantes. Artículo 6.Todo ser humano tiene derecho, en todas partes, al reconocimiento de su personalidad jurídica. Artículo 7.Todos son iguales ante la ley y tienen, sin distinción, derecho a igual protección de la ley. Todos tienen derecho a igual protección contra toda discriminación que infrinja esta Declaración (...). Artículo 8.Toda persona tiene derecho a un recurso efectivo, ante los tribunales nacionales competentes, que la ampare contra actos que violen sus derechos fundamentales (...). Artículo 9.Nadie podrá ser arbitrariamente detenido, preso ni desterrado. Artículo 10.Toda persona tiene derecho, en condiciones de plena igualdad, a ser oída públicamente y con justicia por un tribunal independiente e imparcial, para la determinación de sus derechos y obligaciones o para el examen de cualquier acusación contra ella en materia penal. Artículo 11.1. Toda persona acusada de delito tiene derecho a que se presuma su inocencia mientras no se pruebe su culpabilidad (...). 2. Nadie será condenado por actos u omisiones que en el momento de cometerse no fueron delictivos según el Derecho nacional o internacional. Tampoco se impondrá pena más grave que la aplicable en el momento de la comisión del delito. Artículo 12.Nadie será objeto de injerencias arbitrarias en su vida privada, su familia, su domicilio o su correspondencia, ni de ataques a su honra o a su reputación. Toda persona tiene derecho a la protección de la ley contra tales injerencias o ataques. Artículo 13.1. Toda persona tiene derecho a circular libremente y a elegir su residencia en el territorio de un Estado. 2. Toda persona tiene derecho a salir de cualquier país, incluso del propio, y a regresar a su país. Artículo 14.1. En caso de persecución, toda persona tiene derecho a buscar asilo, y a disfrutar de él, en cualquier país. 2. Este derecho no podrá ser invocado contra una acción judicial realmente originada por delitos comunes o por actos opuestos a los propósitos y principios de las Naciones Unidas. Artículo 15.1. Toda persona tiene derecho a una nacionalidad. 2. A nadie se privará arbitrariamente de su nacionalidad ni del derecho a cambiar de nacionalidad. Artículo 16.1. Los hombres y las mujeres, a partir de la edad núbil, tienen derecho, sin restricción alguna por motivos de raza, nacionalidad o religión, a casarse y fundar una familia (...). 2. Solo mediante libre y pleno consentimiento de los futuros esposos podrá contraerse el matrimonio. 3. La familia es el elemento natural y fundamental de la sociedad y tiene derecho a la protección de la sociedad y del Estado. Artículo 17.1. Toda persona tiene derecho a la propiedad, individual y colectivamente. 2. Nadie será privado arbitrariamente de su propiedad. Artículo 18.Toda persona tiene derecho a la libertad de pensamiento, de conciencia y de religión (...). Artículo 19.Todo individuo tiene derecho a la libertad de opinión y de expresión (...). Artículo 20.1. Toda persona tiene derecho a la libertad de reunión y de asociación pacíficas. 2. Nadie podrá ser obligado a pertenecer a una asociación.

Artículo 21.1. Toda persona tiene derecho a participar en el gobierno de su país, directamente o por medio de representantes libremente escogidos. 2. Toda persona tiene el derecho de acceso, en condiciones de igualdad, a las funciones públicas de su país. 3. La voluntad del pueblo es la base de la autoridad del poder público; esta voluntad se expresará mediante elecciones auténticas que habrán de celebrarse periódicamente, por sufragio universal e igual y por voto secreto u otro procedimiento equivalente que garantice la libertad del voto. Artículo 22.Toda persona (...) tiene derecho a la seguridad social, y a obtener, (...) habida cuenta de la organización y los recursos de cada Estado, la satisfacción de los derechos económicos, sociales y culturales, indispensables a su dignidad y al libre desarrollo de su personalidad. Artículo 23.1. Toda persona tiene derecho al trabajo, a la libre elección de su trabajo, a condiciones equitativas y satisfactorias de trabajo y a la protección contra el desempleo. 2. Toda persona tiene derecho, sin discriminación alguna, a igual salario por trabajo igual. 3. Toda persona que trabaja tiene derecho a una remuneración equitativa y satisfactoria, que le asegure, así como a su familia, una existencia conforme a la dignidad humana y que será completada, en caso necesario, por cualesquiera otros medios de protección social. 4. Toda persona tiene derecho a fundar sindicatos y a sindicarse para la defensa de sus intereses. Artículo 24.Toda persona tiene derecho al descanso, al disfrute del tiempo libre, a una limitación razonable de la duración del trabajo y a vacaciones periódicas pagadas. Artículo 25.1. Toda persona tiene derecho a un nivel de vida adecuado que le asegure, así como a su familia, la salud y el bienestar, y en especial la alimentación, el vestido, la vivienda, la asistencia médica y los servicios sociales necesarios; tiene asimismo derecho a los seguros en caso de desempleo, enfermedad, invalidez, viudez, vejez u otros casos de pérdida de sus medios de subsistencia por circunstancias independientes de su voluntad. 2. La maternidad y la infancia tienen derecho a cuidados y asistencia especiales. Todos los niños, nacidos de matrimonio o fuera de matrimonio, tienen derecho a igual protección social. Artículo 26.1. Toda persona tiene derecho a la educación. La educación debe ser gratuita, al menos en lo concerniente a la instrucción elemental y fundamental. La instrucción elemental será obligatoria. La instrucción técnica y profesional habrá de ser generalizada; el acceso a los estudios superiores será igual para todos, en función de los méritos respectivos. 2. La educación tendrá por objeto el pleno desarrollo de la personalidad humana y el fortalecimiento del respeto a los derechos humanos y a las libertades fundamentales; favorecerá la comprensión, la tolerancia y la amistad entre todas las naciones y todos los grupos étnicos o religiosos, y promoverá el desarrollo de las actividades de las Naciones Unidas para el mantenimiento de la paz. 3. Los padres tendrán derecho preferente a escoger el tipo de educación que habrá de darse a sus hijos. Artículo 27.1. Toda persona tiene derecho a tomar parte libremente en la vida cultural de la comunidad, a gozar de las artes y a participar en el progreso científico y en los beneficios que de él resulten. 2. Toda persona tiene derecho a la protección de los intereses morales y materiales que le correspondan por razón de las producciones científicas, literarias o artísticas de que sea autora. Artículo 28.Toda persona tiene derecho a que se establezca un orden social e internacional en el que los derechos y libertades proclamados en esta Declaración se hagan plenamente efectivos. Artículo 29.1. Toda persona tiene deberes respecto a la comunidad (...). 2. En el ejercicio de sus derechos y en el disfrute de sus libertades, toda persona estará solamente sujeta a las limitaciones establecidas por la ley con el único fin de asegurar el reconocimiento y el respeto de los derechos y libertades de los demás, y de satisfacer las justas exigencias de la moral, del orden público y del bienestar general en una sociedad democrática. 3. Estos derechos y libertades no podrán, en ningún caso, ser ejercidos en oposición a los propósitos y principios de las Naciones Unidas. Artículo 30.Nada en esta Declaración podrá interpretarse en el sentido de que confiere derecho alguno al Estado, a un grupo o a una persona, para emprender y desarrollar actividades (...) tendientes a la supresión de cualquiera de los derechos y libertades proclamados en esta Declaración.

Matemática

6

Primaria

álgebra y Estadística Nombres: Apellidos: DNI: Dirección:

Institución Educativa:

Correo electrónico:

Método EMAM

Método EMAM

Enrique Matto Muzante

Título de la obra ® Matemática sigma 6, primaria álgebra y Estadística © Derechos de autor reservados y registrados Mauro Enrique Matto muzante © Derechos de edición, arte y diagramación reservados y registrados conforme a ley delta editores s.a.c. edición, 2020 Coordinador de área: Mauro Enrique Matto Muzante Diseño, diagramación y corrección: Delta Editores s.a.c.

Ilustración general: Banco de imágenes Delta Editores S.A.C.

Delta Editores S.A.C. Jr. Pomabamba 325, Breña Tels. 332 6314 332 6667 Correo electrónico: [email protected] www.eactiva.pe

Tiraje: 3700 ejemplares

Impresión: AZA GRAPHIC PERÚ S.A.C. Av. José Leal 257, Lince Lima - Perú Tel. 471 5342

ISBN N.o 978-612-4087-80-6 Proyecto Editorial N.o 31501051900725 Ley N.o 28086 Hecho el Depósito Legal en la Biblioteca Nacional del Perú N.o 2019-09234

PROHIBIDA LA REPRODUCCIÓN TOTAL O PARCIAL LEY DE LUCHA CONTRA LA PIRATERÍA LEY 28289 PUBLICADA EL 20 DE JULIO DE 2004 título vii delitos contra los derechos intelectuales capítulo i delitos contra los derechos de autor y conexos Reproducción, difusión, distribución y circulación de la obra sin la autorización del autor. Artículo 217.o.- Será reprimido con pena privativa de libertad no menor de dos ni mayor de seis años y con treinta a noventa días-multa, el que con respecto a una obra, una interpretación o ejecución artística, un fonograma o una emisión o transmisión de radiodifusión, o una grabación audiovisual o una imagen fotográfica expresada en cualquier forma, realiza alguno de los siguientes actos sin la autorización previa y escrita del autor o titular de los derechos: a. La modifique total o parcialmente. b. La distribuya mediante venta, alquiler o préstamo público. c. La comunique o difunda públicamente por cualquiera de los medios o procedimientos reservados al titular del respectivo derecho. d. La reproduzca, distribuya o comunique en mayor número que el autorizado por escrito. La pena será no menor de cuatro años ni mayor de ocho y con sesenta a ciento veinte días-multa, cuando el agente la reproduzca total o parcialmente, por cualquier medio o procedimiento y si la distribución se realiza mediante venta, alquiler o préstamo al público u otra forma de transferencia de la posesión del soporte que contiene la obra o producción que supere las dos (2) Unidades Impositivas Tributarias, en forma fraccionada, en un solo acto o en diferentes actos de inferior importe cada uno.

Impreso en el PerÚ / Printed in Peru

La Editorial se hace responsable por el rigor académico del contenido del texto de acuerdo con los principios de la Ley General de Educación.

Aperturas

y enfoques transversales

Método Emam Título de la unidad

1

uevo Un n

Los números enteros

Conjunto

En alguna ocasión, al acudir a algún edificio o centro comercial, habrás subido a un ascensor; o quizás en la calle hayas visto a personas haciendo zanjas o instalando tuberías subterráneas.

o numéric

Con los números naturales no era posible representar mediante un número algunas situaciones, por ejemplo, que una zanja tiene 2 metros de profundidad, o que el ascensor descendió al primer sótano. Es sencillo representar numéricamente que un globo aerostático está volando a 5 metros de altura (5 m) pero los ejemplos citados anteriormente, no.

En esta sección encontrarás temas novedosos que propician sostener una relación cercana con las nociones de cambio, regularidad y equivalencia, y de gestión de datos e incertidumbre.

Debido a ello, ha sido necesario ampliar el conjunto de números naturales, introduciendo un nuevo conjunto numérico llamado el conjunto de los números enteros. Entonces, representando los ejemplos citados, tenemos: • Profundidad de la zanja: –2 Lo que se interpreta como 2 metros por debajo de la superficie.

• Ubicación del ascensor: –1 Lo que se interpreta como 1 piso por debajo de la superficie.

El conjunto de los números enteros está formado por los números naturales, sus opuestos (negativos) y el cero. Este conjunto nos permite representar el dinero adeudado, las temperaturas bajo cero, profundidades, etc.

Desempeños • Expresa el significado de situaciones de su contexto usando lenguaje simbólico y haciendo uso de conexiones entre representaciones tabulares y simbólicas. • Traduce relaciones entre datos y acciones de comparar e igualar cantidades a expresiones numéricas que incluyen operaciones con números enteros. • Selecciona y emplea estrategias de cálculo, estimación y procedimientos matemáticos para realizar operaciones con números enteros. 6

seis

Responde. ¿En qué otras situaciones se necesita usar cantidades negativas? Comenta. siete

MATEMÁTICA SIGMA 6 - ÁLGEBRA

Contiene los desempeños que alcanzarás luego del estudio de la unidad. Estos corresponden a las competencias abordadas en el presente texto.

Preguntas sobre la lectura que te permiten recordar conocimientos antes adquiridos.

Valo res

Lectura entretenida que te muestra la importancia de las nociones matemáticas en tu vida y en el desarrollo del hombre.

Amistad / Empatía

M I LA D O D E L

Además de aprender contenidos matemáticos es importante que aprendas a desenvolverte como una persona que practica valores y actitudes que te permitan una sana convivencia con tu entorno social y ambiental.

7

Enfoque de orientación al bien común

A B U F AND A

—¿Quieres ser mi amigo? —dijo Lita. — Sí, eso me haría muy feliz —contestó Aarón. Y es que cuando Lita y Aarón se conocieron se hicieron los mejores amigos del mundo, tanto así que se hicieron inseparables. Cuando dos personas mayores se unen dicen que han encontrado a su media naranja pero cuando dos amigos verdaderos se conocen han encontrado a su media bufanda. La bufanda de Lita y Aarón al principio era pequeña, estaba hecha de pocos hilos sueltos que crecían conforme más pasaba el tiempo y más grande se hacía su amistad. —Vamos a jugar —decía uno. —Sí, vamos —contestaba el otro. Y jugaban muy contentos. Pero a veces sucedía que querían hacer cosas diferentes, entonces la bufanda parecía querer romperse. Peleaban por querer tener la razón y no se escuchaban, armándose un tremendo enredo que no podían deshacer. —¡Vaya lío! Cada uno quiere mandar en los juegos –se dio cuenta Aarón. —¿Qué podemos hacer ahora? —preguntó Lita. —El único modo de deshacer este enredo es tranquilizarnos y escuchar al otro. Siempre que uno de los dos estaba triste, el otro le daba un trocito más grande de bufanda y con ella todo su cariño. Entre risas y juegos fue creciendo su bufanda. Aunque les gustaran cosas distintas se respetaban y seguían siendo amigos como siempre. Un día, la familia de Lita decidió mudarse fuera del país. —Ahora que Lita estará lejos, conocerá mucha gente, tendrá otros amigos y se olvidará de mí —pensaba Aarón. —¿Qué pasará ahora con nuestra bufanda? —y se puso a llorar. Al encontrarlo así, Lita le explicó que por muchos otros amigos que tuviera ella o que conociera él, ellos no perderían su amistad porque su bufanda siempre tenía un huequito suficiente para alguien más y que por muy lejos que les llevaran sus caminos, hasta puntas opuestas del mundo, incluso, ellos seguirían siendo amigos porque la amistad si se quiere de verdad no se puede romper al igual que su bufanda.

Preguntas de reflexión acerca de la lectura.

Actividades. 1. ¿Cómo interpretas «cultivar una amistad verdadera»? Comenta con tus compañeros. 2. Menciona 3 proposiciones lógicas que encuentres en la lectura y 3 enunciados que no sean proposiciones lógicas.

8

Matemática SIGMA 6 - Álgebra

Enfoque transversal y valores que afianzarás con las actividades propuestas.

ocho

Lectura que te dejará enseñanzas a partir del análisis que realices con tu profesor(a) y compañeros.

Desarrollo

pedagógico teros Números en sabes

lo que

a Relacion

habitan en icos que eros acuát son mamíf Los delfines mares del planeta. ar hasta los eden salt casi todos pu e r qu es ellos eden nada ioso sobre r y que pu Un dato cur superficie del ma . la ma re mis la sob jo de 90 m por deba m 260 hasta . lo indicado iga leer, realiza es? Invest y Luego de los delfin -ninos/ erca de m/delfines sabes ac lfinpedia.co a) ¿Qué .de ww en http://w es ad e cantid comenta. éricament l mar? resan num erficie de o se exp jo de la sup b) ¿Cóm por deba án est que

Practica

1

Polinomio s

5 + 2x 3 –

2x 3 + 5x 2

A través de una situación de la vida cotidiana se vincula tus saberes previos con lo que aprenderás en la sesión.

Está formado

P(x;y) = 18

tivos

Enteros posi +

–∞

b) |+5|=

b) –5 < +2 c) +8 > +2 MATEMÁTICA

SIGMA 6 -

A 2y5

Determi

D 5y2 Si el polino mio 3x by 8 homogé + 7x 3y a neo, encu entra el va + 4x 4y 6 es lor de a × b .

7

A 2 m=

5

4

ÁLGEBRA

; b=

B 9

C 7

; p=

D 14 Si el polino mio 9x a + 11x 3 – 5x b es comp – 2x c + 15, leto y ord enado, valor de a + determin b . a el

8

Calcula = a +19 cinuZeve b + c + es die complet o y ord d si el polinomio descend enado ente. en forma P(x) = 2xc + d – 1 + 5x b – c + 1 + 7xa + b – 4 + 8xa – 3

c

 A 6 B 8

Z= 56

cincuenta

C 12

y seis

D 24

Folio para reforzar la lectura y escritura de los números.

Practica lo aprendido Actividades organizadas en tres niveles de dificultad que tienen por finalidad consolidar lo aprendido durante la sesión poniendo en práctica la información adquirida, siguiendo el modelo planteado en una situación desarrollada y haciendo uso de tu razonamiento y habilidades.

Evaluación

ate! ¡Autoevalú

A

niños y

avión.

darte? ¿Puedo ayu . Sí, gracias

A

10. C

SIGMA 6 -

B FFF D FVF

C VFV ÁLGEBRA

9. A

A VFF

MATEMÁTICA

iro.

cos es El Ca

8. A

Puno. de Marrue

F V

7. B

6

v(q) = o en está ubicad án Misti b) r: El volc v(r) =

V

V F

9

Elabora la que corre tabla de valore s de ver sponde dad a (~q ↔ p) ^ ~p. p

q

V

V

V

F

F

V

F

F

(~

q

↔

p)

^

A FFVF C FFFF

~

B VFVF D VVFF 10 Si V [(r s) t] = F; v(r) de verda = F; halla el val d de s ^ t. or

D

a

cad de verdad el valor ple. Determina n lógica sim proposició a. rad es inverteb serpiente a) q: Una

ital c) s: La cap v(s) =

∨ (q → r)

¡Autoeval úate!

p F F →r (~p ∨ (q) A VV=VV V y v(t) = F. ) = F; v(s) ) = V ; v(q v(p os de cada B VVVF Dad CverFVV dad F el valor de alterna tiva que A V Encuentra la D VVFV n y elige B VF proposició C F e. ond corresp D No se pued ^ p) determin e I. t ↔ (q ar ¿Qué opina s) mi compañ II. ~ (p → ero? q)Intercambia la sec ~ ∨ (t ~ III. ción ¡Au respuest as. toevalúa te! con Coevalua un comp ción añero. Dia A VVF loga y co mpara co B VFV ¿Qué n él las y cómo apr endí? C VFF 1. ¿C ómo ap rendí a ide ntificar una D VVV Metacogn 2. De los proposici seis cone ón ició 17 lógica? te n ctiv diec osisie lógicos, ¿cuál(es 3. ¿Cóm ) aprendí o aprendí con mayor a determin facilidad ar el valor a) Elabo ?¿por qu rando una de verda é? d de una tabla de pro b) Reem val posición ores de ver plazando lógica co dad. valores de mpuesta verdad a ? cada pro posición simple. 18 dieciocho C

D 3

C 2

V

r (p ^ q) → r) p ^ (q →

6. C

A Ninguna

2

B

B 1

5. B

el Lupe tiene

Comprende 10 preguntas sobre los temas abordados y las respuestas correctas para que puedas verificar por ti mismo cuánto has aprendido y qué debes reforzar junto a tu profesor.

sta.

y sol eterno tierra del Ica es la blanca. la ciudad Arequipa za de la es una dan a está ejo fest el nch B Si onces Chi 7 Dada sierra ent ho. s las propo en Ayacuc siciones ubicada lógicas: l de la lite natura p: Los a es el saté durante el día. conejos son he C La Lun rbívoros. ina q: Los co ilum nos y nejos son Tierra mamífero l de r: los ura nat Tod s. os en los mamíf tuario ubicado eros son D El san herbívoro s está Halla el val s. Manglare or de ver dad de: Tumbes. n I. ició (q pos ↔ ~ p) → r la pro ación de es la neg igos»?II. (p ^ r) v ~ q 4 ¿Cuál muchos am e tien «Camila A VV es solitaria. s. A Camila os amCigo B VF FV no tiene poc B Camila amigos. D FF e muchos tien no . C Camila mila 8 Ca Co de mpleta la iga no es am tabla de de la D Ana val ores de ver propo dad alte divisor sición dada un tiva es rna y elige qu mente «2 la yor que e corresponde. simbólica de 2 es ma 5 Expresa si el doble de 6 pero, de 12». p q p es divisor es → onc (~q 4 ent ∨ p)

3

¡Espérenme!

¡Autoevalúate!

ica compue

4. C

tro Somos cua

No es

ición lóg una propos

3. D

ántas onde: ¿Cu logos y resp proposiciones Lee los diá son resiones de las exp lógicas? una niña.

respuesta

Claves:

a la responde

tiva que cor

2. B

alterna ulo de la Pinta el círc 1

B 4y3

C 3y5

+5

4 a) |–4|=

a) –5 < –1

Contiene información resumida en organizadores visuales sobre el tema de la sesión, así como ejercicios y problemas desarrollados.

9x 2by 13

5

4

B 4

D 8 Si el polino mio P(x;y 3 ) es homo géneo, ind = 4x y a + 2xy b + 5 4 2 x y ica el va lor de a y b.

6

Nivel 3

0

–4

+8

+2

0

13x 6y 9 +

A 2 C 6

na m, b y un p para qu hay desde ta P(x) = 5xm – 18 + 18xm – p + 15e el polinomio ancia que Es la dist o en la rec sea comp + 7xb – p + 16 leto y ord ta el cer descend número has enado ente. en forma a. éric num s: Ejemplo

s es eros entero a s de dos núm El mayor situado má encuentra numérica. el que se ta a en la rec la derech Ejemplos: –1

x ay 7 –

oluto

Valor abs

ón Comparaci

–5

y3

... +∞ +6 +7 +8 +3 +4 +5 0 +1 +2 –3 –2 –1 ivos –6 –5 –4 enteros posit ... –8 –7 Cero Números a+b = tivos nega ros (0) ente Números

a del

a

C

ca

Representa

A la derech cero

A la izquierd del cero

H

w m+n x n

– 7xy 2 – 9

ción gráfi

por

Cero (0)

ativos

Enteros neg –

Pinta el círculo correspo de la nde a la alternati va que respuest a. 5 Si el polino mio P(x) = ax b abc es + bx c + complet cx a + o y orden término ado, ha indepen lla el diente.

2a 4 + 5a 3 para – 7a 2 – a s sirven + 10 eros entero bajo cero, Los núm peraturas ades indicar tem ras y profundid 2 se altu r Si el cia que polinomio resar diferen es homo para exp ra, el tier . va géneo, en lor de a + en la o, etc cuentra b. iendo alg quedó deb

y cons

los nto de El conju enteros ( ) os númer

Descubre y construye

18

truye

O

6x – 9x 2

x 2ny m –

y

Descubre

Nivel

Nivel Marca co n una X ordenad si los po linomios os (O), son homogé complet neos (H) os (C). o

9x my 2n + 4

Relaciona lo que sabes

lo aprendido

1. C

ate! ¡Autoevalú

p

Reflexiona sobre lo aprendido

Puedes también intercambiar con tus compañeros la evaluación que has rendido (Coevaluación) y así aprender otras formas de resolver las mismas preguntas. Recuerda que todos poseemos diferentes estrategias y métodos de resolución. Además, la Metacognición te permite reflexionar cómo has aprendido y cómo puedes mejorar.

Índice Enfoque transversal

Unidad

1

Amistad / Empatí

Valo res

Proposiciones lógicas compuestas

al bien común

FANDA

Con los números naturales no era representar mediante posible un número algunas situaciones, por ejemplo, que una zanja tiene 2 metros de ascensor descendió profundidad, o que el sencillo representar al primer sótano. Es numéricamente globo aerostáti que un co está volando a 5 metros de altura (5 m) pero los ejemplos anteriormente, citados no. Debido a ello, ha sido necesario ampliar el conjunto de números un nuevo conjunto naturales, introduciendo numérico llamado el conjunto de los números enteros. Entonces, representando los ejemplos citados, tenemos:

Traduce datos y condiciones a expresiones algebraicas.

Actividades. 1. ¿Cómo interpretas «cultivar una 2. Menciona amistad verdadera»? 3 proposiciones Comenta con lógicas que encuentres lógicas. tus compañeros. en la lectura y 3 enunciados que no sean proposiciones

8

ocho

El conjunto de los números enteros formado por los números naturales, está opuestos (negati sus vos) y el cero.

Este conjunto nos permite representar dinero adeudado, el las profundidades, etc. temperaturas bajo cero,

seis

Responde. MATEMÁTICA SIGMA

6 - ÁLGEBRA

¿En qué otras situaciones se necesita usar cantidades negati vas? Comenta. siete

7

6-7

Elevamos nuestra visión hacia los derechos de otros

2

2

Elevamos nuestra

por las diferencias

Sally,

Enfoque inclusivo

o de atención a la diversidad

la bruja f laca

Sally era el nombre de una bruja flaca. para evitar que Era tan flaca que el compraba sombrillas viento se la llevara de un soplido, se y las usaba como enaguas.

Además de ser flaca, Sally tenía la piel clara, mucho espalda retorcida pelo, la y las piernas largas, ser gritona y malhumorada muy largas. Pero el la hacían más temible aún. En las noches de luna llena, oscura noche guardaba. entre nubes volaba queriendoSally paseaba con su escoba, y encontrar la respuesta –¿Por que la Como no encontró qué la luna llena es robusta y regordeta? –preguntó pensó cosas malas respuesta, regresó a su casa Sally. muy hasta que una noche de tormenta enojada con la noche. Durante –Ja, ja, ja.–Una días, pensó y y tempestad Sally idea viene a mi comenzó a reír. mente– decía Y el viento gritó con maldad. a lo lejos –Ay, Diosito, ¡Qué A la mañana siguiente cuando el sol volvió miedo tengo! ¿Qué será? la enagua de la a brillar, Sally era sombrilla no se redonda, extraña podía cerrar en –¡Auxilio! ¡Socorro! y desigual, tanto la redonda cintura que que ahora tenía. –Yo me he tragado ¡Un conjuro! ¡Un conjuro! ¡Vengan llevar. ¡Un conjuro! la luna, porque quería engordar. ya! –dijo Sally. No quería ser ¡Es urgente! ¡Alguien flaca, porque el que me venga viento me iba a ayudar! –El sol, el viento, a la noche, el fuego, a ser como nació. el agua, la flor. Haced que Sally Luna volved a tu sitio. Tiempo de un golpe vuelva elementos. El devuelva el reloj. conjuro resultó, Por nuestros cuatro se escuchó en Rodó Sally dando el ambiente. vueltas por todo noche vino de lejos el salón donde y el conjuro transformó, estaba, la y a Sally la convenció volvió la luna a de aceptarse tal su sitio solamente ese cual era, transformand horrible o Sonrió Sally agradecidamal humor. y en la escoba la noche sabia y a su casa se marchó. se subió. Dio un beso a Responde.

s algebraicas

En alguna ocasión, debes haber acompañado tu mamá o a algún a familiar, mercado o supermercado. a hacer compras al Muchos de los objetos que en esos lugares se venden tienen un precio por kilogramo; decir, el precio es que vemos indica el precio de 1 kilogramo de tomates, de 1 kilogramo de papas, 1 kilogramo de pollo, etc. Debes haber visto también que para los productos, comprar estos se colocan balanza, que indica en una la cantidad que comprando. estamos

hacia los derecho s de otros

Autoestima / Respeto

Valo res

Uso de las expresione

visi n

42

1. ¿Por qué Sally no se aceptaba tal cual era? 2. ¿Te consideras ¿Consideras correcta su actitud? un importante quererte ser valioso con las cualidades y valorarte a y defectos que ti mismo? ¿Por posees? ¿Crees 3. Sabiendo qué? que se puede que es alcanzar la superación y el esfuerzo personal, personal sumando siendo S = Superación, ¿Cuál sería la expresión la aceptación de algebraica que A = Aceptación represente dicho uno mismo y E = Esfuerzo? cuarenta y dos enunciado,

Lo curioso de esto, es que si te has percatado, apenas se coloca el producto sobre la balanza y se digita el precio por kilo del producto, al instante el precio aparece que debemos pagar. ¿Por qué sucede esto? La balanza, para determinar el precio sido programada total, ha con la expresión: Precio total = Precio por kilogramo × masa O también: P=x×y Este tipo de expresiones, números sino variables en las que no aparecen que son representados (valores desconocidos expresiones algebraicas.con letras) son llamadas

Desempeños • Usa estrategias y procedimientos de exponentes.

40

Sally, la bruja flaca Valores: Autoestima, respeto por las diferencias

Responde. para encontrar la

Escribe 2 ejemplos de expresiones algebraicas que se utilizan en la vida diaria.

respuesta en situaciones • Comprende las que implican las propiedades de leyes la radicación como • Traduce datos y condiciones a operaciones complementaria expresiones algebraicas. • Argumenta los s a la potenciación. criterios para reconocer los elementos, clases y grados de expresiones algebraicas. cuarenta

MATEMÁTICA SIGMA

6 - ÁLGEBRA

cuarenta y uno

41

42

40 - 41

Descubrimos identidades y expresiones equivalentes

3

3

D escuibdreinmtiodsades y

exp s resione nte s equivale

x y

y

x

A1

casa

A3 Desempeños

A2

Entonces, podemos hallar el área del restando el área jardín construida del área total: A –A = A 1 + A 2 + A3

x⋅x – y⋅y = y( x – y) + y(x –

x2 – y2

sesenta y cuatro

x2 – y2 MATEMÁTICA SIGMA

6 - ÁLGEBRA LGEBRA

y) + (x – y)2

= (x–y) [y + y + x – y] = (x – y) (x + y)

Rpta. El área del

jardín es x2 – y2

o (x – y) (x + y). sesenta y cinco 65

Valores: Solidaridad

/ Respeto a toda

La fl

forma de vida

r

Enfoque ambiental

más g�ande del mun

do

Pepito y sus padres vivían en un pueblo por ello le encantaba al jugar persiguiendo pie de una colina. Él era hijo único, cómo vivían. insectos para así quizás poder observar qué hacían y Cierto día, a Pepito le llamó mucho la atención una hermosa, tenía mariposa, esta muchos círculos era de colores que sin darse cuenta, cautivaban a Pepito. realmente la fue siguiendo. Así que casi Corrió y corrió detrás continuó caminando de la mariposa, cruzó un gran río, que separaba y empezó a ver al pueblo de la tampoco. árboles y plantas, colina, pero la mariposa no se detenía, y Pepito Luego de un buen rato, estaba marchitándos Pepito llegó a lo más alto de la colina y vio una e, casi a punto flor que de morir. Así que regresó corriendo hasta el río y recogió entre ellas, y fue con sus manos tan rápido como todo el agua que pudo hasta la fl río para llevarle cabía or, regó más yendo y viniendo agua. Hizo lo mismo varias veces el agua sobre ella y regresó al del bosque, cruzando ese mismo día. Pasó peligros, solo le importaba el río una y otra que no muriera vez pero no tuvo la flor de la colina, sombra al suelo. temor, que perfumaba el aire y daba Al cabo de unas horas, sus papás preocuparon mucho notaron la ausencia pensando que de su hijo y se el pueblo pero se había perdido, no lo hallaron, lo buscaron por hasta que elevaron lo más alto de la colina y vieron la mirada hacia una debajo de ella a Pepito durmiendo inmensa y robusta flor y proyectaba. bajo la sombra que esta

Adaptación del

Juan y Ana se casaron hace poco, y conscientes de que pronto su familia crecerá con de los hijos que la llegada tendrán, han comprado propiedad de gran una tamaño y de forma la cual está distribuida cuadrada, como muestra la imagen. Ellos desean conocer qué área ocupa de su nueva casa. el jardín No ser por este detalle, habría problema de no con la mudanza los planos. Así perdieron que no saben con exactitud cuánto miden los lados de la propiedad ni las medidas de entera las áreas verdes que poseen. Solo recuerdan la zona construida dentro de su propiedad también es cuadrada. ¿Cómo podrían estimar el área del jardín? Resolución: A partir de la información dada en el texto, propiedad de Juan la y Ana se representa:

64

Valo res

La nueva casa

• Comprende la noción de productos representacione notables a parti s gráficas. r de la manipulación de objetos o • Aplica algoritmos y propiedades para resolver operaciones con monomios y polinomios.

66

relato de José Saramago

Responde. 1. ¿Qué opinas acerca de la actitud de Pepito? Comenta. 2. Enumera 5 acciones que practi cas para el cuidado y conservación del medio ambiente y de todas las especies con las que convivimos.

4

Una tarde de cine Si queremos pasar un con nuestra familia buen momento, ya sea o amigos, ir al cine buena opción. ¿Por es una qué? atiende a las preferencias Pues, debido a que de todos, de quienes les gusta reír con una comedia, suspirar llorar con un drama, y hasta mantenerse alerta una película de con suspenso, asustarse con una de terror, etc.

Total

Total

Los

malos vecinos

Responde.

88

6 - ÁLGEBRA

ochenta y siete

87

86 - 87

Matemática SIGMA 6 - Álgebra

Adición y sustracción de polinomios

57

Multiplicación de expresiones Usa estrategias y procedimientos para encontrar reglas generales.

algebraicas 67 División de expresiones algebraicas

70

Método de Ruffini

72

Potenciación de monomios

77

Productos notables

80

¡Autoevalúate! 84

Ecuaciones 89 Inecuaciones 93 ¡Autoevalúate! 97

Sistema de ecuaciones

Actividades.

MATEMÁTICA SIGMA

55

Planteo de ecuaciones e inecuaciones

ochenta y ocho

S/ 28

2. ¿Cuánto cuesta una entrada para adulto y una para niño?

Polinomios especiales

¡Autoevalúate! 62

Argumenta afirmaciones sobre relaciones de cambio y equivalencia.

S/ 48

ochenta y seis

¡Autoevalúate! 53

Enfoque de derechos

1. Traduce cada expresión al lenguaje simbólico y representa como un sistema de ecuaciones.

Desempeños • Traduce equivalencias ecuaciones que conti y no equivalencias, y valores desconocidos enen las cuatro operaciones. identificados en • Ubica en la recta situaciones, a numérica el conjunto solución de una inecuación e interpreta su resultado.

43

Polinomios 48

Diálogo / concertaci ón

1. ¿Crees que los vecinos pudieron evitarse tantos problemas? ¿Cómo? 2. Cuando tienes un problema con alguna persona, ¿qué ¿Cómo lo resuelves? sueles hacer?

Otra buena razón para ir, es que cada vez tenemos más cerca de casa un cine. Pero, sin duda, una de las razones que nos ofrece distracciónmás importantes, es garantizada y a bajo costo, en especial los martes por sus promocionales. precios

1 adulto + 2 niños

Leyes de exponentes Comunica su comprensión sobre las relaciones algebraicas.

¡Autoevalúate! 75

Un hombre salió un día de su casa su vecino, sin darse cuenta dejó para ir al trabajo, y justo al pasar caer un papel momento, vio por delante de importante. Su caer el papel, y pensó: vecino, que miraba la puerta de la casa de por la ventana –¡Qué descaro! en ese El vecino va y ti ra un papel para ensuciar mi puerta. Pero en vez de decirle vecino. Este estaba algo, planeó su venganza, y por la noche vació mirando por la su papelera junto papel tan importante ventana en ese a la puerta del momento y cuando que había perdido primer en mil pedazos, recogió los papeles y que le había y pensó que su ocasionado encontró aquel vecino no solo la puerta de su se lo había robado, un gran problema aquel día. casa. Pero no quiso Estaba roto sino decirle nada, y Esa noche llamó se puso a preparar que además lo había roto y ti a una granja para rado en su venganza. dirección de su hacer un pedido vecino, que al día de diez cerdos y cien patos, y siguiente tuvo Pero este, como que pensar cómo pidió estaba seguro librarse de los animalesque los llevaran a la de que aquello comenzó a planear era idea de su su venganza. y sus malos olores. vecino, en cuanto se deshizo de los Y así, uno y otro animales siguieron fastidiándose papelito en la mutuamente, puerta llegaron cada vez más a llamar a una camión contra exageradamente, banda de música, el poste de enfrente, y de aquel simple o una sirena de a lanzar una lluvia bomberos, a estrellar de piedras contra Y debido a estos episodios un las ventanas, etc. habitación. Al principio ambos acabaron en el hospital, de modo pasaron no se dirigían la haciendo amigos una buena temporada palabra, pero y como tal se compartiendo atrevieron a hablar un día, comenzaron a hablar. Con el tiempo, del incidente del se fueron papel. Entonces se dieron que todo había sido una coincidencia, cuenta de la primera vez hubieran hablado y de que si en lugar de juzgar claramente, las malas intenciones vecino, los dos de su tendrían su casa en pie.

Menores diferencias,

2 adultos + 3 niños

35

66

Valo res

En la última semana se ha estrenado película «Hugo, la el fantasma travieso», ha motivado que lo que uno de los cines de la capital lance la siguiente promoción:

86

28

¡Autoevalúate! 38

La flor más grande del mundo Valores: Solidaridad, respeto a toda forma de vida

Menores diferencias, mayor amistad mayor amistad

números enteros

números enteros

sesenta y seis

64 - 65

4

24

Multiplicación y división de

Operaciones combinadas con

Mi lado de la bufanda Valores: Amistad y empatía 8

Resuelve problemas de regularidad, equivalencia y cambio.

Desempeños

19

Adición y sustracción de números enteros

Potenciación y radicación de números enteros 31

–1

Lo que se interpreta como 1 piso por debajo de la superficie.

• Expresa el signifi cado de situaciones de su contexto usando conexiones entre • Traduce relacionesrepresentaciones tabulares y simbólicas. lenguaje simbólico y haciendo uso de entre numéricas que incluyen datos y acciones de comparar e igualar cantidades operaciones con • Selecciona y a expresiones números enteros. emplea estrategias de cálculo, realizar operaciones con números enteros. estimación y procedimientos matemáti cos para

Números enteros

la zanja: –2

Lo que se interpreta como 2 metros por debajo de la superficie.

• Ubicación del ascensor:

6

9 13

¡Autoevalúate! 17

mi amigo? —dijo Lita. — Sí, eso me haría muy feliz —contestó Aarón. Y es que cuando Lita y Aarón amigos del mundo, se conocieron se hicieron los tanto así que mejores se hicieron inseparables Cuando dos personas mayores . su media naranja se unen dicen que han encontrado han encontrado pero cuando dos amigos a verdaderos a su media bufanda. se conocen La bufanda de pocos hilos sueltosLita y Aarón al principio era pequeña, que crecían estaba hecha grande se hacía conforme más de su amistad. pasaba el tiempo y más —Vamos a jugar —decía uno. —Sí, vamos —contestab a el otro. Y jugaban Pero a veces muy contentos. sucedía que querían hacer bufanda parecía cosas diferentes, querer romperse. entonces la escuchaban Peleaban por , armándose querer tener un tremendo la razón y no enredo que —¡Vaya lío! se no podían deshacer. Cada uno quiere mandar en los —¿Qué podemos juegos –se dio cuenta Aarón. hacer ahora? —preguntó Lita. —El único modo de deshacer este enredo escuchar al es tranquilizarno otro. sy Siempre que uno de los dos estaba triste, trocito más grande el otro le de bufanda y con ella todo daba un Entre risas y juegos su cariño. fue creciendo gustaran cosas su bufanda. distintas se respetaban Aunque como siempre. y seguían siendo les amigos Un día, la familia de Lita decidió mudarse fuera —Ahora que del país. Lita estará lejos, otros amigos conocerá mucha y se gente, tendrá ahora con nuestra olvidará de mí —pensaba Aarón. —¿Qué bufanda? —y pasará se puso a llorar. Al encontrarlo así, Lita le explicó tuviera ella o que por muchos que conociera su bufanda él, ellos no perderían otros amigos que siempre tenía su amistad porque un huequito que por muy suficiente para lejos que les llevaran sus del mundo, caminos, hasta alguien más y incluso, puntas opuestas quiere de verdad ellos seguirían siendo amigos porque no se puede la amistad si romper al igual se que su bufanda.

Los números enteros

• Profundidad de

Enfoque de orientación

—¿Quieres ser

En alguna ocasión, al o centro comercial, acudir a algún edificio habrás subido ascensor; o quizás a un en la calle hayas personas haciendo visto a zanjas o instalando subterráneas. tuberías

numérico

a

MI LADO DE L A BU

Un nuevo

Conjunto

Contenidos pedagógicos Proposiciones lógicas simples

Un nuevo conjunto numérico 1

Competencia y capacidades

Los malos vecinos Valores: Diálogo y concertación 88

99 103

¡Autoevalúate! 107

1

o v e u n Un

o t n u j n Co

o c i r é num

Desempeños • Expresa el significado de situaciones de su contexto usando lenguaje simbólico y haciendo uso de conexiones entre representaciones tabulares y simbólicas. • Traduce relaciones entre datos y acciones de comparar e igualar cantidades a expresiones numéricas que incluyen operaciones con números enteros. • Selecciona y emplea estrategias de cálculo, estimación y procedimientos matemáticos para realizar operaciones con números enteros. 6

seis

Los números enteros En alguna ocasión, al acudir a algún edificio o centro comercial, habrás subido a un ascensor; o quizás en la calle hayas visto a personas haciendo zanjas o instalando tuberías subterráneas. Con los números naturales no era posible representar mediante un número algunas situaciones, por ejemplo, que una zanja tiene 2 metros de profundidad, o que el ascensor descendió al primer sótano. Es sencillo representar numéricamente que un globo aerostático está volando a 5 metros de altura (5 m) pero los ejemplos citados anteriormente, no. Debido a ello, ha sido necesario ampliar el conjunto de números naturales, introduciendo un nuevo conjunto numérico llamado el conjunto de los números enteros. Entonces, representando los ejemplos citados, tenemos: • Profundidad de la zanja: –2 Lo que se interpreta como 2 metros por debajo de la superficie.

• Ubicación del ascensor: –1 Lo que se interpreta como 1 piso por debajo de la superficie.

El conjunto de los números enteros está formado por los números naturales, sus opuestos (negativos) y el cero. Este conjunto nos permite representar el dinero adeudado, las temperaturas bajo cero, profundidades, etc.

Responde. ¿En qué otras situaciones se necesita usar cantidades negativas? Comenta. Matemática SIGMA 6 - Álgebra

siete

7

Valo res

Amistad / Empatía

M I LA D O D E L A

Enfoque de orientación al bien común

B U F AND A

—¿Quieres ser mi amigo? —dijo Lita. — Sí, eso me haría muy feliz —contestó Aarón. Y es que cuando Lita y Aarón se conocieron se hicieron los mejores amigos del mundo, tanto así que se hicieron inseparables. Cuando dos personas mayores se unen dicen que han encontrado a su media naranja pero cuando dos amigos verdaderos se conocen han encontrado a su media bufanda. La bufanda de Lita y Aarón al principio era pequeña, estaba hecha de pocos hilos sueltos que crecían conforme más pasaba el tiempo y más grande se hacía su amistad. —Vamos a jugar —decía uno. —Sí, vamos —contestaba el otro. Y jugaban muy contentos. Pero a veces sucedía que querían hacer cosas diferentes, entonces la bufanda parecía querer romperse. Peleaban por querer tener la razón y no se escuchaban, armándose un tremendo enredo que no podían deshacer. —¡Vaya lío! Cada uno quiere mandar en los juegos –se dio cuenta Aarón. —¿Qué podemos hacer ahora? —preguntó Lita. —El único modo de deshacer este enredo es tranquilizarnos y escuchar al otro. Siempre que uno de los dos estaba triste, el otro le daba un trocito más grande de bufanda y con ella todo su cariño. Entre risas y juegos fue creciendo su bufanda. Aunque les gustaran cosas distintas se respetaban y seguían siendo amigos como siempre. Un día, la familia de Lita decidió mudarse fuera del país. —Ahora que Lita estará lejos, conocerá mucha gente, tendrá otros amigos y se olvidará de mí —pensaba Aarón. —¿Qué pasará ahora con nuestra bufanda? —y se puso a llorar. Al encontrarlo así, Lita le explicó que por muchos otros amigos que tuviera ella o que conociera él, ellos no perderían su amistad porque su bufanda siempre tenía un huequito suficiente para alguien más y que por muy lejos que les llevaran sus caminos, hasta puntas opuestas del mundo, incluso, ellos seguirían siendo amigos porque la amistad si se quiere de verdad no se puede romper al igual que su bufanda. Actividades. 1. ¿Cómo interpretas «cultivar una amistad verdadera»? Comenta con tus compañeros. 2. Menciona 3 proposiciones lógicas que encuentres en la lectura y 3 enunciados que no sean proposiciones lógicas.

8

ocho

Proposiciones lógicas simples Relaciona

lo que sabes

Aprovechando el fin de semana Pablo, Luis y sus padres compartieron una tarde de videojuegos. Mientras jugaban se les escuchó las siguientes expresiones: • ¡Voy ganando! • ¿Cuál es tu puntaje? • Las paredes de nuestra sala son blancas. Responde. ¿A cuál(es) de las expresiones se puede asignar un valor de verdad o falsedad?

Descubre

Proposición lógica simple

y construye

es un

enunciado que afirma un hecho que puede ser verdadero o falso.

enlaces gramaticales o conectivos.

No tiene

adverbios de negación.

Recuerda que

Ejemplo

y, o, entonces.

Ejemplo

No, no es verdad.

las expresiones interrogativas, exclamativas y algebraicas no son proposiciones lógicas porque no se les puede asignar un valor de verdad o falsedad.

1 Escribe el valor de verdad de las proposiciones lógicas simples. a) q: El triángulo tiene 4 lados.

v(q) = F Porque el triángulo tiene 3 lados.

b) César Vallejo fue un escritor español. v(q) = F

Porque C. Vallejo fue peruano.

c) El tallo es una de las partes de la planta. v(s) = V Las partes de la planta son: raíz, tallo, hojas, flores, frutos.

Matemática SIGMA 6 - Álgebra

2 Escribe P si la expresión es una proposición lógica y NP si no lo es. a) La ciudad de Arequipa está al sur de Lima.

P

Porque se puede saber su valor de verdad, que en este caso es verdadero.

b) ¿Cuánto mide el guacamayo azul?

NP

Porque es una oración interrogativa.

c) Juan Vargas es un pintor famoso.

P

Porque se puede saber su valor de verdad, que en este caso es falso.

nueve

9

3

Forma una proposición lógica utilizando las siguientes palabras. a) jardín/ dado/sucio

5 Se sabe que María fue al mercado con S/ 10. Lee el diálogo y subraya las proposiciones simples que sean verdaderas.

Mi dado está sucio.

Cuesta S/ 3.

b) Carpintero/ sillas

El carpintero fabrica muchas sillas.

c) Auto/ pueblo/familia

Mi familia viaja al pueblo de papá en

¿Cuánto cuesta el kilo de arroz?

un auto.

Llevaré 3 kilogramos.

d) puerta/ habitación/gato

Mi gato duerme al costado de la

a) Después de la compra María se quedó

puerta de mi habitación.

con un sol. b) María gastó menos de S/ 5.

4 Observa la imagen de la habitación de Manuel y escribe cuatro proposiciones simples.

c) El kilogramo de arroz costó S/ 3. d) María gastó más de S/ 9. Pinta el círculo de la alternativa corresponde a la respuesta. 6

¿C u á l d e l a s e x p r e s i o n e s e s u n a proposición lógica? A Quiero comer.

B

C ¿Quién está ahí?

D 30 + 4 = 5

¡Auxilio!

Resolución: Solo D es P. L. porque se puede conocer su valor de verdad (30 + 4 = 5 es V).

a) p: En la habitación de Manuel hay una pelota.

que

7

¿Qué expresión es una proposición lógica?

b) q: La alfombra de la habitación de Manuel es roja. c) r: Hay un cocodrilo de juguete en la habitación. d) s: El gorro de Manuel está sobre la alfombra. 10

diez

A 1+ 4 =3

B 2+3

C x≤8

D x2 = 4

Resolución: La alternativa B no tiene resultado; las alternativas C y D son expresiones algebraicas cuyos valores de verdad dependen de los valores de x. Por tanto, la respuesta es la alternativa A.

Practica

4

lo aprendido

Nivel 1

¿Qué proposición simple es verdadera? A Huarochirí es provincia de Ica.

Subraya las expresiones proposiciones simples.

que

B Asunción es capital de Uruguay.

son

C 999 × 242 = 241 758

a) 216 tiene raíz cúbica exacta.

D 31 246 + 15 754 = 47 900

b) ¿Quién vive aquí? 5

c) ¡Limpia tu habitación! d) El 8 de octubre se conmemora el Combate de Angamos. e) Japón está ubicado en África.

Sabiendo que las proposiciones lógicas dadas a continuación son verdaderas, busca las imágenes en la página de adhesivos y pega en el lugar correspondiente. ― Hay un gato en la ventana.

2

Rosa es la maestra de Juan, Daniel y Fabiola. A partir de las imágenes escribe dos proposiciones simples.

― La tostadora está sobre la mesa. ― Hay una taza entre la tostadora y la tetera. ― En la fila más alta de la repisa hay 6 platos. ― Junto a la botella de Ketchup hay una lata de café.

a)

Papas

b) CAFÉ Ketchup

3

Determina el valor de verdad de las proposiciones lógicas simples. a) Don Simón Bolívar proclamó la independencia del Perú. b) Perú limita al norte del país con Chile. c) La zona arqueológica de Chan Chan está ubicada en La Libertad. d) Las líneas de ubicadas en Ica.

Matemática SIGMA 6 - Álgebra

Nasca

están once

11

Nivel 6

Nivel

Subraya las proposiciones simples que son falsas. a) Madrid es la capital de España.

Determina el valor de verdad de cada proposición lógica y elige la alternativa que corresponde.

b) Ankara es la capital de Turquía.

I. p: 32 × 5 ÷ 45 + 999 = 1002

c) 82 + 15 × 99 – 99 × 13 = 263.

II. q: 79 + 25 × 68 = 1779

d) Un icoságono tiene 20 lados.

III. r: 999 × 135 = 134 865

e) 2 + 3 × 4 es 20.

7

Completa las proposiciones lógicas de modo que coincidan con el valor de verdad asignado. a) p :

es un número primo.

V(p) = V

9

A FFV

B FVV

C VVV

D VVF

10 Martha festejó su cumpleaños junto a su familia y después de repartir las tortas de chocolate y lúcuma, se quedó con la tercera parte de la torta de chocolate y la mitad de la torta de lúcuma.

b) q : 113 =

V(q) = F

c) r : La raíz cúbica de 8

es 8.

V(r) = V Diego compró 3 botellas de medio litro de agua y 4 botellas de un cuarto de litro que contienen yogur. ¿Qué expresión es una proposición simple verdadera? Subraya las proposiciones simples cuyo valor es verdadero. a) Los familiares de Martha comieron las dos terceras partes de la torta de chocolate. b) Martha festejó el cumpleaños de su mamá. c) La cantidad de torta de lúcuma que

12



A Diego compró 2 L de agua.



B Diego compró 1 L de agua.



C Diego compró 2,5 L de yogur.



D Diego compró 1 L de yogur.

doce

sobró es mayor que la porción de torta de chocolate. d) Los familiares de Martha comieron la cuarta parte de la torta de lúcuma.

Proposiciones lógicas compuestas Relaciona

lo que sabes

Mateo y su familia están de paseo en el campo. Durante el almuerzo se les oyó decir: • ¡Qué divertido! • Los abuelos prepararon la ensalada y Ana hizo el refresco. • ¿Cuántas hamburguesas más debemos freír? • Mamá está muy contenta hoy. Responde. ¿Cuál de los enunciados expresa dos ideas a la vez? Descubre

y construye mpuesta

Proposición co

Consta de dos o más proposiciones lógicas simples

unidas por

conectivos lógicos.

Son

palabras que se usan para unir dos proposiciones simples o negar una proposición. Tablas de valores de verdad

Negación Se aplica para negar una proposición. Se representa con el símbolo ~ que significa no.

p

~p

V F

F V

p

q

p∧q

Conjunción Une dos proposiciones con el conectivo ^ que significa y.

V V F F

V F V F

V F F F

Disyunción Une dos proposiciones con el conectivo ν que significa o.

p

q

p∨q

V V F F

V F V F

V V V F

Condicional Une dos proposiciones con el conectivo → que significa si p entonces q.

p V V F F

q p→q V V F F V V F V

p

q

p↔q

V V F F

V F V F

V F F V

Bicondicional Une dos proposiciones con el conectivo ↔ que significa p si y solo si q. Matemática SIGMA 6 - Álgebra

trece

13

1 Escribe si es una proposición compuesta o X si no lo es.

a) Si 24 es múltiplo de 2, entonces 2 es divisor de 24.

b) Mi mamá fue al mercado y compró frutas.

5 Lee y completa el proceso para elaborar una tabla de valores de verdad para la expresión ∼p ∧ (p → q).

Resolución: 1.º Halla el número de valores de verdad. 2n = 22 = 4



c) 15 es múltiplo de 3.

X



2 Si v(p) = F, v(q) = F y v(r) = V; calcula el valor de verdad de (p ↔ q) v r. Resolución: (p ↔ q) v r (F ↔ F) ∨ V V∨V=V

3 Dados v(p) = F; v(q) = V; v(r) = V y v(s) = F;

halla el valor de verdad de (p → q) ∧ (r → s). Resolución:

(p → q) ∧ (r → s) (F → V) ∧ (V → F) V∧F=F

4 Dadas las proposiciones lógicas simples:

Donde: n es igual al número de proposiciones diferentes. 2.º Construye la tabla con los valores de verdad de cada proposición. p

q

V

V

V

F

F

V

F

F

∼p

∧

(p

→

q)

3.º Escribe el valor de verdad de ~p y (p → q). p

q

∼p

V

V

V

(p

→

q)

F

V

V

V

F

F

V

F

F

F

V

V

F

V

V

F

F

V

F

V

F

∧

p: Es verano. q: Sale el sol. r: Renato va a la piscina.

4.º Efectúa el conectivo principal. p

q

∼p

∧

(p

→

q)

V

V

F

F

V

V

V

V

F

F

F

V

F

F

F

V

V

V

F

V

V

F

F

V

V

F

V

F

6 Si v[(p → q) ∨ r] = F; determina el valor de Expresa simbólicamente: Si sale el sol entonces Renato va a la piscina pero no es cierto que si es verano entonces sale el sol. Rpta. (q → r) ^ ~ (p → q) 14

catorce

verdad de q → r. Resolución:

v(p → q) = F y v(r) = F, porque F ∨ F = F. Además, v(p) = V y v(q) = F porque V → F = F. Rpta. q → r = F → F = V

Practica

4 ¿Cuántas de las proposiciones compuestas mostradas son condicionales?

lo aprendido

I. Juana maneja su auto y no puede contestar el celular.

Nivel 1

Marca con un  dentro de los paréntesis de las proposiciones compuestas. a) Raúl juega fútbol y su hermano juega tenis. ( )

III. Jaime compró rosas rojas y las regalará a su esposa.

b) Lucía limpia la casa con su escoba nueva. ( )

IV. Rosa sacará buenas notas si y solo si estudia mucho.

c) Si Berta ensaya todos los días, ganará el concurso de canto. ( )

A 1

d) La familia de Alicia compró pollo a la brasa por fiestas patrias. ( )

C 2

e) Juan estudia por las mañanas o por las tardes. ( ) Pinta el círculo de la alternativa corresponde a la respuesta. 2

II. Si Luis hace deporte entonces se mantendrá sano.

que

¿Cuál de los siguientes no es una conjunción? A

Ana habla inglés y escribe en francés.

B

Ella habla y él escucha.

B 4

D 3

5

¿Cuál de las siguientes expresiones es la negación de «Marzo es el tercer mes del año»? A Enero es el primer mes del año. B

Marzo es el cuarto mes del año.

C Marzo no es el tercer mes del año. D

No es cierto que marzo no es el tercer mes del año.

C Hoy es jueves si y solo si ayer fue

Nivel

miércoles.

D

3

Sonia canta y su mamá baila.

Con las siguientes palabras forma una proposición disyuntiva. a) cama/sofá/irá/Gina

6 Dados los valores de verdad de las proposiciones simples, calcula el valor de verdad de cada proposición compuesta. v(p) = V

v(q) = V

v(m) = F



a) v(p ∧ q) =



= b) administración/ Hernán/estudiará/ contabilidad

b) v(m ↔ q) = =



c) v(q ∨ p) = c) Carolina/teatro/cine/prefiere

= d) v(q → m) =





=



Matemática SIGMA 6 - Álgebra

quince

15

7

Simboliza cada proposición compuesta y calcula el valor de verdad de cada una.

Nivel 10 Dados:

a) Si Mario Vargas Llosa es arequipeño entonces es peruano.

v(p) = F; v(q) = V; v(r) = V; v(s) = F; v(t) = V ∧ v(u) = F. Marca con un  si la igualdad es correcta.

b) 24 es múltiplo de 3 si y solo si 3 es divisor de 18.

a) q → s =

b) p ∧ (r ∨ u) = (p ∧ r) c) (t ∨ s)

c) No es cierto que el santuario nacional de Huayllay queda en Pasco.

d) La cultura Paracas se desarrolló en Pisco y practicó trepanaciones craneanas.

q ∨ s

(

)

(p ∧ u) (

)

u = t ∧ (s ∨ r)

d) t ∨ (s ∧ r) = (t ∨ s) ∧ (t ∨ r)

(

)

(

)

11 Completa la tabla de valores de verdad para cada proposición compuesta. a)

p

q ∼ p → (q

b)

p

q (p

∨

p)

q) ↔

~



8

Dados v(p) = F; v(q) = V; v(r) = V; halla el valor de verdad de las expresiones.

∨

q

a) ∼(p → q) ∨ r

12 Si v[(p ∧ q) → r] = F, encuentra el valor de verdad de (p → r) ∨ ∼q. A V

b) ∼p ∧ (q ↔ r)

B No se sabe C Faltan datos D F

Pinta el círculo de la alternativa corresponde a la respuesta. 9

16

que

Determina la expresión simbólica de: Si César Vallejo nació en Santiago de Chuco entonces es de La Libertad; además, Abraham Valdelomar es iqueño.

13 Dados p: Ciro Alegría escribió «El mundo es ancho y ajeno»; q: Jorge Basadre es tacneño; r: Abraham Valdelomar escribió «Los heraldos negros». Calcula el valor de verdad de: i. v[(p

A (p ∧ q) → r

ii. v[(q

B (p → q) ∧ r

iii. v[( p

r)

q] r)

r)

p] q]



C (p ∨ q) → r

A VVF

B FVV

D (p → q) ∨ r

C FVF

D VVV

dieciséis

¡Autoevalúate! Pinta el círculo de la alternativa que corresponde a la respuesta 1

Lee los diálogos y responde: ¿Cuántas de las expresiones son proposiciones lógicas?

3

Somos cuatro niños y una niña.

No es una proposición lógica compuesta. A

Ica es la tierra del sol eterno y Arequipa la ciudad blanca.

B

Si el festejo es una danza de la sierra entonces Chincha está ubicada en Ayacucho.

C

La Luna es el satélite natural de la Tierra y nos ilumina durante el día.

D

El santuario natural de Manglares está ubicado Tumbes.

¡Espérenme!

Lupe tiene el avión.

4 ¿Puedo ayudarte? Sí, gracias.

5

2

A Ninguna

B 1

C 2

D 3

Determina el valor de verdad cada proposición lógica simple. a) q: Una serpiente es invertebrada.

v(q) =

b) r: El volcán Misti está ubicado en Puno.

¿Cuál es la negación de la proposición «Camila tiene muchos amigos»? A

Camila es solitaria.

B

Camila no tiene pocos amigos.

C

Camila no tiene muchos amigos.

D

Ana no es amiga de Camila.

Expresa simbólicamente «2 es un divisor de 6 pero, si el doble de 2 es mayor que 4 entonces es divisor de 12». A

(p ^ q) → r

B

p ^ (q → r)

C

p ∨ (q → r)

D

(~p ∨ (q) → r

Dados v(p) = V ; v(q) = F; v(s) = V y v(t) = F. Encuentra el valor de verdad de cada proposición y elige la alternativa que corresponde. I. t ↔ (q ^ p) II. ~ (p → s)

v(r) =

III. ~ (t ∨ ~ q)

c) s: La capital de Marruecos es El Cairo.

6

v(s) =

A VVF B VFV

A VFF

B FFF

C VFF

C VFV

D FVF

D VVV

Matemática SIGMA 6 - Álgebra

los en

diecisiete

17

¡Autoevalúate! 9

Dadas las proposiciones lógicas: p: Los conejos son herbívoros. q: Los conejos son mamíferos. r: Todos los mamíferos son herbívoros. Halla el valor de verdad de: I. (q ↔ ~ p) → r II. (p ^ r) v ~ q B VF

C FV

D FF

Completa la tabla de valores de verdad de la proposición dada y elige la alternativa que corresponde. p

q

V

V

V

F

F

V

F

F

p

→

(~q

∨

p

q

V

V

V

F

F

V

F

F

(~

q

↔

p)

^

~

A FFVF

B VFVF

C FFFF

D VVFF

p

10 Si V [(r s) t] = F; v(r) = F; halla el valor de verdad de s ^ t.

p)

A VVVV

B VVVF

A V

B VF

C FVVF

D VVFV

C F

D No se puede

2. B 3. D 4. C 5. B

6. C

7. B 8. A 9. A 10. C

¿Qué opina mi compañero?

determinar

1. C

8

A VV

Elabora la tabla de valores de verdad que corresponde a (~q ↔ p) ^ ~p.

Claves:

7

Coevaluación

Intercambia la sección ¡Autoevalúate! con un compañero. Dialoga y compara con él las respuestas.

¿Qué y cómo aprendí?

Metacognición

1. ¿Cómo aprendí a identificar una proposición lógica? 2. De los seis conectivos lógicos, ¿cuál(es) aprendí con mayor facilidad?¿por qué? 3. ¿Cómo aprendí a determinar el valor de verdad de una proposición lógica compuesta? a) Elaborando una tabla de valores de verdad. b) Reemplazando valores de verdad a cada proposición simple.

18

dieciocho

Números enteros Relaciona

lo que sabes Los delfines son mamíferos acuáticos que habitan en casi todos los mares del planeta. Un dato curioso sobre ellos es que pueden saltar hasta 90 m sobre la superficie del mar y que pueden nadar hasta 260 m por debajo de la misma. Luego de leer, realiza lo indicado. a) ¿Qué sabes acerca de los delfines? Investiga en http://www.delfinpedia.com/delfines-ninos/ y comenta. b) ¿Cómo se expresan numéricamente cantidades que están por debajo de la superficie del mar?

Descubre

y construye

los El conjunto de ( ) s ro te números en

Los números enteros sirven para indicar temperaturas bajo cero, diferenciar alturas y profundidades en la tierra, para expresar que se quedó debiendo algo, etc.

Está formado por

Enteros negativos –

Cero (0)

Enteros positivos +

Representación gráfica –∞ ... –8 –7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 0 +1 +2 +3 +4 +5 +6 +7 +8 ... +∞

A la izquierda del cero

A la derecha del cero

Comparación

–1

0

+2

+8

Es la distancia que hay desde un número hasta el cero en la recta numérica. Ejemplos:

c) +8 > +2 Matemática SIGMA 6 - Álgebra

0

–4

4

a) –5 < –1 b) –5 < +2

Números enteros positivos

Valor absoluto

El mayor de dos números enteros es el que se encuentra situado más a la derecha en la recta numérica. Ejemplos: –5

Cero (0)

Números enteros negativos

+5

5

a) |–4|= 4 b) |+5|= 5

diecinueve

19

1

Escribe el número entero que representa cada expresión.

3

Observa las temperaturas de algunas ciudades del mundo y responde.

a) Eva ganó 18 soles. Número que lo representa:

+18

Nueva York

Hong Kong

Moscú

5 °C

4 °C

0 °C

Cusco

Salzburgo

Beijing

–2 °C

–3 °C

10 °C

b) Andrés perdió 50 soles. Número que lo representa:

–50

c) El avión ascendió 1500 m. Número que lo representa:

+1500

d) Un auto retrocedió 46 kilómetros. Número que lo representa:

–46

a) ¿Qué ciudad es la más fría?

2

b) ¿Qué ciudad temperatura?

Cierto día, en el ciudad de Puno se registró una temperatura de –2 ºC y en la ciudad de Cusco, una temperatura de 1 ºC. ¿En qué ciudad hizo más frío?

Puno

Rpta. Salzburgo



4

–5

–4

–3

–2

–1

0

1

2

3

lunes martes miércoles

Temperatura Máxima Mínima (ºC) (ºC) 8 0 10 3 0 –1

jueves viernes

–6

–5

–4

–3

–2

–1

0

1

2

3

4

–2 < 1 Rpta. En Puno hizo más frío. 20

veinte

–3 15

–7 7

a) ¿Qué día la temperatura mínima fue menor a –5 grados? Rpta.

Resolución:

mayor

En la tabla se muestran las temperaturas registradas en cierta ciudad del sur de Perú, durante cinco días de la semana. Observa y responde.

4

Cusco

la

Rpta. Beijing

Día –6

tiene

El jueves

b) ¿Cuánto fue la mayor temperatura máxima registrada? Rpta.

15 °C

5

Efectúa las operaciones.

Ordena los descendente.

9

a) +6 – –14 + –13 – –5

10

60 + 48 – 86 – 21 1

Opuesto de un número • El opuesto de un número es el mismo número pero con el signo cambiado. • En la recta numérica los números opuestos equidistan del cero.

11

–3

0

+6

b) (+1 + 2) ; (+3 – 1) ; |+8 – 2|

Calcula el opuesto de –2A. A=

+81 + –9 – +1 + 8 + 3 × 8

A=

81 + 9 – 1 + 8 + 24

A = 9 + 9 – 1 + 32 A = 49 –(–2A) = –(–2 × 49) = +98 12

a) –6; +3; +5

Halla el opuesto de B. B = +16 × –4 + +3 – +8 B = 16 × 4 + 3 – 8 B = 64 + 3 – 8 B = 59 –B = –59

Lee la información y ubica en la recta numérica los opuestos de los números.

Lee y realiza lo indicado. Fosa oceánica

Profundidad

Fosa de las Kermadec

–10 047 m

Fosa de la Tonga

–10 822 m

Fosa de Puerto Rico –6

7

–3 –2

0

Completa la tabla. A: Número anterior P: Número posterior A Número P

8

forma

+66 ; +36; 0; –1; –3; –8; –24; –56

b) –60 + –48 – –86 – –21

–5

en

–24; +36; –8; –56; +66; –3; 0; –1

6 – 14 + 13 – 5 0

6

números



–55 –54 –53



–16

– 8800 m

Fosa de las Kuriles

–10 542 m

Fosa de las Filipinas

–10 540 m

Fosa de las Marianas

–11 034 m

Fosa de Japón

–10 554 m

a) Ordena los datos numéricos en forma ascendente.

–15 –14

–11 034; –10 822; –10 554; –10 542; –10 540;

–28

–27

–26

–10 047; – 8800



–19

–18

–20

Ordena los números en forma ascendente. –72 ; +76 ; –70 ; +60 ; +75 ; –65 ; –63

b) Escribe los nombres de tres fosas oceánicas más profundas mencionadas en la tabla. • Fosa de las Marianas • Fosa de la Tonga • Fosa de Japón

–72 ; –70 ; –65 ; –63 ; +60 ; +75 ; +76 Matemática SIGMA 6 - Álgebra

veintiuno

21

Practica

lo aprendido

Nivel 1

Lee la información, busca las imágenes en la página de adhesivos y pega en la posición que corresponde de acuerdo a su profundidad.

todo el mundo se sabe: De los muchos peces que habitan los mares de 300 m b. n. m • La corvina habita desde 100 m b. n. m hasta m b. n. m hasta 400 m b. n. m • La palometa y el pez gallo habitan desde 100 230 m b. n. m • La merluza habita desde 140 m b. n. m hasta 800 m b. n. m • El pez espada habita desde 200 m b. n. m hasta

–100 –150 –200 –250 –300 –350 –400 –450

2

Escribe V si la expresión es verdadera o F si es falsa. a) +3 b) –4 c)

22





d) –8 e)



ˉ



















veintidós





3

Escribe en cada caso el signo que corresponde (>, < o =). a) –4

–5

b) +5

+15

c) 0

–3

d) +7

0

e) –6

–2

Nivel 4

Nivel

Representa en la recta numérica los siguientes números enteros.

Pinta el círculo de la alternativa corresponde a la respuesta. 8

+4; –3; –1; +3; +1; –5 0

que

Observa la imagen y elige la alternativa incorrecta. +20 +15

5

Busca las imágenes en la página de adhesivos y pégalos ordenados en forma creciente.

+10 +5 0 ‒5

+13

–11

–25

–16

+17

‒10 ‒15 ‒20 ‒25

Rpta.

6

Resuelve. a) b) c) d) e) f) g)

7

|–8| = |+12| = |–25| = –|–31| = – (–|–9|) = –|+56| = |–22|–16 =

9

II. III.

El submarino se encuentra a 15 m b. n. m.

B

El helicóptero no se encuentra a 15 m b. n. m.

C

El barco hundido está a 25 m s. n. m.

D

No es cierto que la base del globo aerostático está a 20 m s. n. m.

¿De qué operación es –1 su número opuesto? A B C D

Determina el valor de verdad de cada expresión y pinta el círculo de la alternativa correspondiente. I.

A

|–7| < |–5| |+4| > |–2| |–8| = |+8|

|+12| × |–4| – |+4| |–15| × |–5| –|+12| |+12| × |–2| –|9 + 14| |+11| × |–5| – |9 – 6|

10 Si A = |+63| ÷ |–7| – |–2| ∧ B =

|–70| ÷ |–5| × |–6|, determina el

opuesto de A + B. A – 98 B – 91

A VVV

B VVF

C +78

C FVV

D FFV

D +96

Matemática SIGMA 6 - Álgebra

veintitrés

23

Adición y sustracción de números enteros Relaciona

lo que sabes

Cinco equipos participaron en un torneo municipal de fútbol. En la tabla se muestran los goles que anotó cada equipo. Equipo

Goles a favor

Goles en contra

Diferencia de goles

Anaranjado

10

6

+4

Verde

10

9

+1

Azul

5

8

–3

Blanco

9

7

+2

Negro

6

7

–1

Responde. a) Compara el total de goles a favor y el total de goles en contra. ¿Qué cantidad es mayor? b) ¿Qué número entero indica la diferencia de goles del equipo azul? ¿Qué significa? Descubre

y construye

Si tienen un mismo signo

Se suman sus valores absolutos. Se coloca el mismo signo.

a) +12 + 18

= +30

b) –23 –17

= –40

Si tienen diferente signo

Se restan sus valores absolutos. Se coloca el signo del número con mayor valor absoluto.

a) +13 – 25

= –12

b) –28 + 45

= +17

a) (–6)–(–9)

=

Adición

ión

Sustracc

Se suma el minuendo con el opuesto del sustraendo.



b) (–8)–( +11) =

1

Analiza cómo resolver la situación inicial. Resolución: a) Total de goles a favor = 40 Total de goles en contra = 37 Rpta. La cantidad de goles a favor es mayor.

24

veinticuatro

(–6) + (+9) = +3 (–8) + (–11) = –19

Luego: b) Goles a favor del equipo azul: 5 Goles en contra del equipo azul: 8 Rpta. La diferencia de goles del equipo azul es –3, lo que significa que la cantidad de goles a favor es menor en 3 que la cantidad de goles en contra.

2

Efectúa.

7

(–6) – (–5) – (–4) – (+8) (–6) + (+5) + (+4) + (–8)

Si A = {x –1/ x ∈ ∧ –4 ≤ x ≤ +2}, halla la suma de los elementos de A. Resolución:

+6 + 5 + 4 –8

x = {–4; –3; –2; –1; 0 ; + 1 + 2}

+15 – 8 +7

Entonces: x –1

x

3

De (–187) resta (–154). Resolución: (–187) – (–154) –187 + 154 –33

4

–4

–4 –1 = –5

–3

–3 –1 = –4

–2

–2 –1 = – 3

–1

–1 –1 = –2

0

0 –1 = –1

+1

+1 –1 = 0

+2

+2 –1 = +1

Resta (–238) de 255. Resolución: 255 – (–238) 255 + 238 493

A = { –5; –4; –3; –2; –1; 0 +1} Luego: –5 – 4 – 3 – 2 – 1 + 0 + 1 = –14 Rpta. La suma de los elementos de A

5

Resolución: 23 – 46 – 12 23 – 58 –35 6

es –14.

Calcula I– 23I – I+46I – I–12I. 8

Determina por extensión el conjunto indicado. B = {x + 2 / x

∧ –3 ≤ x < +1}

Pablo estaba jugando con taps junto a sus amigos. En el primer juego perdió 6 taps, en el segundo ganó 9 taps, y en el último perdió 4 taps. ¿Cuántos taps ganó o perdió en total? Resolución:

Resolución: x

= {–3 ; –2 ; –1 ; 0} x

x+2

–3

–3 + 2 = –1

–2

–2 + 2 = 0

–1

–1 + 2 = +1

0

0 + 2 = +2

Rpta. B = {–1 ; 0 ; +1 ; +2} Matemática SIGMA 6 - Álgebra

–6 –5 –4 –3 –2 –1 0

+1 +2 +3 +4 +5 +6

O también: –6 + 9 – 4 = –1 Rpta. Pablo perdió 1 tap en total. veinticinco

25

Practica

Nivel

lo aprendido 5

Nivel 1

a) A = {x – 5 / x

Efectúa. a) –7 – 11

=

b) –9 – 2 – 6

=

c) +8 + 4 + 1

=

Determina por extensión los conjuntos. ; –3 < x < 0}

d) +13 + 9 + 5 = A=

e) –26 – 7 – 12 =

b) C = {7 – x / x 2

; –3 < x ≤ 0}

Calcula. a) –9 + 6

=

b) –4 + 12

=

c) +7 –19

=

d) +15 –11

=

e) –8 – 6 + 14 = C= 3

Completa los casilleros en blanco.

+18

–12

+4

Pinta el círculo de la alternativa corresponde a la respuesta. 6

–14

Si

=+6;

=+5;

encuentra el valor de

que

= + 8; –

–

.

–9

A ‒9

–7

+8

B ‒7 –3

C +3

+15

D +5

4

7

Halla el valor de x. +16 +14 +2

–13 –5

–8

x –9

–7

Si a & b = 4 + a ‒ b, calcula el valor de (‒9) & (‒3 & 2). A ‒5 B ‒4 C 4

x=

26

veintiséis

D 14

Pinta el círculo de la alternativa que corresponde a la respuesta.

Nivel 8

Si P = (‒7) ‒ (+2) y Q = (‒8)‒(‒4), halla el valor de P ‒ Q. A ‒4

9

Leonardo vive en el cuarto piso de un edificio. Si entra al ascensor y baja al sótano dos, ¿cuántos pisos ha bajado? A 5 pisos

B ‒5

B 6 pisos

C ‒6

C 7 pisos

D ‒13

D 8 pisos

Un avión vuela a 11 000 m y un submarino está a –850 m. Determina la distancia entre ambos. A 10 150 m B 11 850 m C 12 850 m D 18 500 m

10

12

Un grupo de estudiantes se quedaron al final de la clase para resolver la siguiente operación: –18 + 36 – 45 – 24 + 16 – 22 – 11 + 45 ¿Cuánto debe ser la respuesta correcta? A –23 B –13 C 13 D 23

11 Una ciudad fue fundada el año 65 a. de C. y fue destruida 115 años después. ¿Cuál es la fecha de su destrucción? A 50 a. de C. B 20 a. de C.

13 A un número se le suma 8, al resultado se le resta 3, a lo obtenido se le suma 4 y finalmente se suma 9, obteniendo como resultado cero. ¿Cuál es el número original? A 18 B 10 C –10 D –18

14 La semana pasada la temperatura de cierta ciudad sufrió los siguientes cambios: el lunes estuvo en 7 ºC, el martes bajó 6 ºC, el miércoles bajó 2 ºC, el jueves subió 8 ºC y el viernes bajó 5 ºC. ¿Cuánto fue la temperatura el día viernes? A 1 ºC B 2 ºC C 3 ºC D 4 ºC

15 Miguel juega canicas con su amigo Carlos. Si la primera vez pierde 4 canicas, la segunda vez gana 7 y la tercera vez vuelve a perder 3 canicas más de las que perdió por primera vez, ¿cuántas canicas perdió en total? A 1 B 2

C 20 d. de C.

C 3

D 50 d. de C.

D 4

Matemática SIGMA 6 - Álgebra

veintisiete

27

Multiplicación y división de números enteros Relaciona

lo que sabes Fases para resolver un

Gasto a diario S/ 45 en alimentos.

Entonces, en una semana gastas...

1

Comprende el

problema

problema

r, –45 a S/ 45; es deci Cada día gast e 7 días (+7). cada día durant DISEÑA una estrate gia

Realiza una m

ultiplicación.

3

gia

EJECUTA la estrate

15 (–45) × (+7) = –3 315 Rpta. Gasta S/ REFLEXIONA sobre

Problema multiplicativo de proporcionalidad simple

Descubre

lo realizado

Explica cómo has llegado a la respue sta y de qué otra form a se puede soluc ionar.

y construye Multiplicación (+) × (+) = + (–) × (–) = + (+) × (–) = – (–) × (+) = –

Multiplicación y división de números enteros

Ley de signos

Un submarino desciende desde la superficie marina a razón de 8 metros por minuto. Si inicia el descenso a las 7:15 a. m., ¿a qué profundidad estará a las 7:26 a. m.?

a) –15 × +24 = –360 b) (–18) × (–12) = +216

2

Ejemplos: a) –81 ÷ –27 = +3 b) +216 ÷ –6 = –36

Efectúa. a) –4 × –16

= +64

b) –8 × +13

= –104

Resolución:

c) +9 × –15

= –135

Desde las 7:15 a. m. hasta las 7:26 a. m. hay 11 minutos.

d) +196 ÷ –14

= –14

e) –180 ÷ –15

= +12

f) –200 ÷ +40

= –5

Entonces: 11(‒8) = ‒88 Rpta. Estará a –88 metros. 28

Ejemplos:

División (+) ÷ (+) = + (–) ÷ (–) = + (+) ÷ (–) = – (–) ÷ (+) = –

1

veintiocho

2

g) +625 ÷ +125 = +5

4

3

Practica

Encuentra el término que falta en la sucesión. –8

;

+32

; –128 ;

Nivel

?

Resolución:

1

–8 ; +32 ; –128 ; +512 ×(–4)

×(–4)

Calcula el resultado. a) –5 × –3 × –2

×(–4)

=

b) –17 × +4 × +1 =

Rpta. El término que falta es +512. 4

lo aprendido

c) –9 × +13 × –5 =

Determina por extensión el conjunto A = {–4x / x ∈ ∧ –3 ≤ x < +1}.

d) + 11 × – 6 × – 8 =

Resolución: x

2

= {–3; –2; –1; 0} x

–4x

–3

–4(–3) = +12

–2

Efectúa. a) –144 ÷ –16

=

–4(–2) = +8

b) +108 ÷ –6

=

–1

–4(–1) = +4

0

–4(0) = 0

c) –405 ÷ +15

=

d) + 161÷ +23

=



Rpta. A = {0; +4; +8; +12} 3 5

Divide la suma de 54 y –29 entre –5.

Pinta de igual color los recuadros que contienen el mismo resultado.

Resolución: (54) + (–29) = +25 Luego +25 ÷ –5 = –5 6

Fabricio pagó S/ 756 en un viaje durante 6 días a la ciudad de Cusco. Si cada día gastó la misma cantidad, ¿cuánto gastó al día? Resolución: –756 ÷ 6 = –126 Rpta. Al día gastó S/ 126. 4

7

Si a

–24 ÷ –3

+24 ÷ –6

256 ÷ –8

243 ÷ –27

12 × –9

–25 × –1

–125 ÷ –5

+16 ÷ +2

–27 × 4

+3 × –3

–16 × +2

–32 ÷ +8

Escribe los signos >, < o =.

b = 2b ‒ ab + 3a,

halla el valor de ‒ 3

‒ 1.

Resolución: ‒3

‒1 = 2(‒1)‒(‒3)(‒1) + 3(‒3)

‒3

‒1 = ‒2 ‒(+3) ‒9

‒3

‒1 = ‒2 ‒ 3 ‒ 9 = ‒ 14

Matemática SIGMA 6 - Álgebra

a) (–2)(+3)(–1)

(–3)(+4)(+5)

b) (–2)(+7)

(–1)(–5)(+2)

c) (–4)(–1)(–2)

(–8)(–1)

d) (–5)(–3)(+4)

(+10)(–3)(–2) veintinueve

29

Nivel 5

Nivel

Completa las tabla: ×

9

+4

–7

+13

–10

+2

–3

–4

+6

–5 +9

Dany pensó un número, a este número lo multiplicó por 2, en seguida al resultado le sumó 5 para luego quitarle 6 y finalmente lo multiplicó por –4. Si el resultado final fue 28, ¿qué número pensó Dany?

–6

÷ –228 +312 –216

Pinta el círculo de la alternativa que corresponde a la respuesta. 6

7

8

30

Si Ángela gasta S/ 28 diarios en alimentos, ¿cuánto gastará en el mes de abril?

A S/ 630

B S/ 800

C S/ 840

D S/ 920

Indica la suma de cifras del cociente que se obtiene al dividir –2676 entre –6.

A 12

B 13

C 14

D 15

A –2

B –3

C –4

D –5

10 Indica la suma conjunto A. A = {13x / x ∈

∧ –5

de x

elementos < –1}

A 182

B 174

C –174

D –182

11 Si a b = (a × b)÷ (a + b) + 40, determina el valor de –8 +12.

A 54

B 32

C 16

D 8

12 Una congeladora se encuentra a –16 °C. Si cada 5 minutos desciende 2 ºC, ¿qué temperatura tendrá al cabo de 25 minutos?

Si m n = 2n – mn + 3m – 5; halla el valor de –6 –4.

A –60

B –55

A 6 °C

B –26 °C

C 55

D 60

C –15 °C

D 20 °C

treinta

del

Potenciación y radicación de números enteros Relaciona

lo que sabes

Observa y responde. a) ¿Cuántos floreros hay? b) ¿Cuántas flores hay en cada florero? c) ¿Cuántas flores hay en total? d) ¿De qué otra forma se puede representar la operación?

Descubre

y construye

an

Recuerda

Potenciación

(+)par o impar = + (–)par = + (–)impar = –

y iación Potenc n ió radicac

= an – m; a ≠ 0

am

(a × b)n = an × bn a n

an

Ejemplos:

;b≠0 n

a) (–4)2 = +16

{[(a)n]m}p = an × m × p

b) (–4)3 = –64

=

b

b

c) (+5)2 = +25 d)

Radicación

impar impar par

Recuerda

Signos de la radicación par

1

× am = an + m

an

Signos de la potenciación

+=+o– +=+ –= –

n

n

a

×

n

b

a b

= =

n n n

e)

4

–64 = –4 –625 ∉

×b

a a b

;b≠0

–∉

Estudia cómo se resuelve la situación inicial.

2

Resuelve aplicando las propiedades de la potenciación.

Resolución:

a) (–3)4 × (–3)5 = (–3)9

• En cada florero hay 4 flores • Son 4 floreros.

b) (5)7 ÷ (5)5 = (5)2

Entonces: Número total de flores = 4 × 4 = 42 = 16 Matemática SIGMA 6 - Álgebra

3

c) [(+2)2]3

= (+2)6

d) 75 × 78

= 713 treinta y uno

31

3

Si a Δ b = (–12) + a2 –

b,

calcula –9 Δ 25.

7

Resolución: –9 Δ 25 = –12 + (–9)2 –

Encuentra el valor de a, si el rombo y el cuadrado tienen igual área.

25

–9 Δ 25 = –12 + 81 – 5

32 cm

–9 Δ 25 = +81 – 17 –9 Δ 25 = +64 4

a)

27 +

8

V

d)

–32 = –2

V

16 = ±2

V

f ) (–2)3 = –8

V

4

32 × 16 =a×a 2 256 = a2 256 = a a = 16 cm

8

Si el rectángulo y el triángulo tienen el mismo área, ¿cuánto mide el cuadrado de la altura del triángulo?

6 cm

Halla el resultado de las operaciones.



b) c)

3

–8 +

16 –

5

–243 –

3

10 . x 2 90 = 5 . x

15 × 6 =

4

–125 –

–128 +

x

144 –

(–3)2

3

9 –216

Calcula por extensión el conjunto P = {x2 ‒ 1 / x ∈

;∧‒2

x

Resolución: P = {‒2 ; ‒1; 0 ; +1}

34

3

+ – + –27 –25 + +25 – +9 – 81 + – 3 –25 + 25 – 9 – 81 – 3 –93 treinta y dos

= 18

Luego: (18)2 = 324

Resolución: –2 + 12 – (–6) +10 + 6 +16

(–5)2 –

90 =x 5

81

Resolución: –3 – (–5) – 3 +2 – 3 –1 7

10 cm

Resolución:

Resolución: –2 + 4 – 2 +2 – 2 0 5

x

15 cm

32

Determina el valor de la expresión: –52

32

Resolución:

F

c) –42 = –16

a)

6

27 × 8 =

3

F

e)

5

3

b) (–4)2 = –16 5

a

16 cm

Escribe V si la expresión es verdadera o F si es falsa. 3

a

x

x2 – 1

–2

(–2)2 – 1 = +3

–1

(–1)2 – 1 = 0

0 +1

02 – 1 = –1 (+1)2 – 1 = 0

Rpta. P = {‒1; 0 ; +3}

+1}.

Practica

lo aprendido

3

a) (–5)4 =

Nivel 1

b) (–17)2 =

Pinta la respuesta.

c) (–2)6 =

a) El resultado de un número entero negativo elevado a un exponente par es: Un número entero positivo.

d) (–3)5 = e) (+4)4 = f) (–8)3 =

Un número entero negativo.

b) El resultado de un número entero positivo elevado a un exponente par es: Un número entero negativo.

g) (–16)2 = 4

Un número entero positivo.

Un número entero negativo.

+196 =



b)

3



5

‒343 = ‒100 =

c)

Un número entero positivo.

d) El resultado de un número entero positivo elevado a un exponente impar es:

Calcula la raíz. a)

Un número entero positivo.

c) El resultado de un número entero negativo elevado a un exponente impar es: Un número entero negativo.

Halla la potencia.

d)

3

+729 =

e)

5

‒32 =

f)

4

625 =

g)

5

‒243 =

Escribe V si la expresión es verdadera o F si es falsa. a) –152 = + 225



2

Escribe en forma literal qué signo llevará cada potencia.

b) (–8)3 = + 512



c) (–27) = – 128



a) (–7)3



b) (–12)6 c) (+8)5 d) (–6)8 e) (–7)4 f) (–5)7



j) (–8)8



e) –93 = +93



f) 40





6













(+4)1

i) (–4)1

d) –52 = (–5)2

= (–4)0







g) (–9)11 h)









Matemática SIGMA 6 - Álgebra

Determina el valor de a, en cada caso. a) (–9)a × (–9)4 = (–9)7

a

=

b) (–2)3 × (–2)4 × (–2)a = (–2)8

a

=

c) {(–7)a}5 = (–7)20

a

=

d) (–3)15 ÷ (–3)a = (–3)6

a

=

treinta y tres

33

Nivel 7

Nivel

Aplica las propiedades y escribe cada expresión en su forma más simple. a) (–3)2(–3)3

=

b) [(+2)3]4

=

c) (+5)(+5)3(+5)2

=

11 Si a b = (–12) + a2 – valor de (–3) (+25).

b

; determina el

d) (–12)5(–12)3 = e) (+6)3(+2)2(+3)2 =



Aplica las propiedades y calcula. 6 4 8 14 a) (–3) × (–3) × (–3) × (–3) (–3)5 × (–3)7 × (–3)6 × (–3)10

{[(+2)2] 3} 4 (+2)6 × (+2)9

b)

Pinta el círculo de la alternativa que corresponde a la respuesta. 9

B 5

C –3

D –8

12 Si x es impar y se sabe que el resultado x de b es positivo, entonces se puede afirmar que: A b>0

B b 17

H = ( –8) (–2)2 + (–3)2 ; halla el valor

32 cm

8

A 10

2a

16 cm

2a

de G – H. A –57 B –55

34

C –49

A 32 cm

B 64 cm

D –47

C 81 cm

D 169 cm

treinta y cuatro

Operaciones combinadas con números enteros Relaciona

lo que sabes Fases para resolver un

Un comerciante de verduras compró 150 zapallos a S/ 4 cada uno. Luego vendió la tercera parte a S/ 5 cada uno, la otra tercera parte, al precio de costo, y el resto a S/ 3 cada uno. ¿Cuánto ganó o perdió, al final de la venta?

1

Comprende el

cada uno. zapallos a S/ 4 0 15 ó: pr om C • c/u, otros 50 pallos a S/ 5 za 50 ió nd Ve • 50 zapallos a c/u, y los últimos zapallos a S/ 4 S/ 3 c/u. problema

DISEÑA una estrate gia

Se puede re

alizar una op

3

problema

eración com

g EJECUTA la estrate

binada.

ia

50 × 3 – 150 × 4 50 × 5 + 50 × 4 + – 600 = 0 250 + 200 +150 perdió dinero. ante no ganó ni ci er m co El . ta Rp REFLEXIONA sobre

lo reali

zado Explica cómo ha s llegado a la re spuesta y de qué otra form a se puede soluc ionar.

Descubre

1

2

4

y construye

Resuelve.

[–5 × 6 ÷ 3 – 6] ÷ + –64

Camila tiene en su libreta de ahorros S/ 73. Cada mes su padre le deposita S/ 21 y ella retira S/ 11. ¿Cuánto dinero tendrá al cabo de seis meses?

[–5 × 6 ÷ 3 – 6] ÷ –4

Resolución:

2 3

[–5 × 6 ÷ 3 + (–6)] ÷ + –64 3

[–30 ÷ 3 – 6] ÷ –4 [–10 – 6] ÷ –4 –16 ÷ –4 +4

Recuerda: 1.º Signos y potencias. 2.º Raíces y potencias. 3.º Multiplicaciones y divisiones. 4.º Adiciones y sustracciones.

Dinero que tiene ahorrado

: S/ 73

Depósito de cada mes

: S/ 21

Retiro de cada mes

: S/ 11

Dinero que tendrá en 6 meses : ? 73 + (21 – 11) × 6 = 133 Rpta. En seis meses tendrá S/ 133.

Matemática SIGMA 6 - Álgebra

treinta y cinco

35

Practica

Pinta el círculo de la alternativa que corresponde a la respuesta.

lo aprendido

Nivel 4

Calcula el valor de x.

1

–8 –7 30

x

+5 +7 –24

–6 –9 x

=

b c = a2 – b3 + a × b – b × c, halla Si a –3 –5. el valor de –2

2

5

6 Resuelve.

3

a)

Sabiendo que m = +9; n = –3; p = –7; determina el valor numérico de (m + n) – (p – 8).

A 12

B 25

C 27

D 21

¿Quién es el opuesto de –14 + 6 × –4?

A –29

B +38

C –15

D +15

Si A = +46 – 55 y B = –8 – (–9), halla A × B.

3

(–6)(–7) – (4 × 9) ÷ 216



b) –12 + {(–3)2 + [(–1) + (–4)]2 +

36

treinta y seis

3

–64}

7

A –9

B –5

C –6

D +9

Si M = –5 + 3 × –2 y N = –6 + 4 × –3; resta M de N.

A 6

B –7

C 8

D 9

Nivel 8

Nivel

En una prueba de 20 preguntas, por cada pregunta bien contestada otorgan +5 puntos; 0 puntos, por cada pregunta sin contestar y –2 puntos por cada pregunta mal contestada. Si un estudiante contestó correctamente 6 preguntas y obtuvo +6 de calificación, ¿cuántas preguntas mal contestadas tuvo y cuántas no respondió?

Pinta el círculo de la alternativa corresponde a la respuesta. 11

12

que

Si P = –3 + 8 ; Q = –7 × 5 y R = (–2)4 ÷ 4; calcula el valor de P + Q – R.

A –35

B –32

C –34

D –37

Si m5 @ p4 = 3m – 4p + 30; halla el valor de –32 @ 81.

Rpta. 9

Efectúa. (–27)2 + {(–24) ÷ (–3) + [(–5)3 + (–5)] ÷ (–13)} A 22

B 36

C 12

D 36

13 Determina. {(–3)4 + [(–5) + (–2)]2} ÷ (+2) + [(–8)(–4)]

10 Si p = 16, q = 2 ∧ r = –27, encuentra el precio de cada producto. a) S/

3

r

+

(p)q

=

A 95

B 97

C 99

D 100

14 Un comerciante compró 180 sandías a S/ 5 cada una. Luego, vendió la tercera parte a S/ 8 cada una, la otra tercera parte a S/ 6 cada una y el resto lo vendió al precio de costo. ¿Cuánto ganó en total dicho comerciante? b)

S/ [ p × q3] ÷

Matemática SIGMA 6 - Álgebra

4

p

=

A S/ 300

B S/ 240

C S/ 220

D S/ 200

treinta y siete

37

¡Autoevalúate! Pinta el círculo de la alternativa que correponde a la respuesta. 1

¿Cómo se representan simbólicamente las siguientes expresiones? Estamos a 5 ºC de temperatura.

Perdí 54 soles.

2

4

I. –46 + 28

–52 + 48

II. –15 –19

–23 + 46

III. +27 –19

–18 + 10

IV. +18 –45

+25 – 9

A +54 ; –5

B –54 ; –5

A ; > ; < ; >

¿En cuál de las siguientes alternativas los números están ordenados en forma creciente? A

–11

–13

–15

–19

0

B

0

–4

–7

–9

–13

C

–9

0

–2

–3

–10

D

–15

–11

–4

0

+18

5

6 3

Escribe >, < o = y elige la alternativa que corresponde a la respuesta.

Siendo:

En una tienda mayorista la pérdida en el mes de abril fue S/1860. Si se trabajó todo el mes, ¿cuánto se perdió por cada día, sabiendo que fue la misma cantidad todos los días?

A S/ 56

B S/ 62

C S/ 68

D S/ 74

n = mn – 2m + 3n, halla el valor de Si m 7 –3.

A = –27– 37 B = –31+ 19 C = –16 + 23 D = –19 –13 + 25 Efectúa e indica quién es el número menor.

38

A A

B B

A –44

B –16

C C

D D

C 14

D 26

treinta y ocho

DECLARACIÓN UNIVERSAL DE LOS DERECHOS HUMANOS El 10 de diciembre de 1948, la Asamblea General de las Naciones Unidas aprobó y proclamó la Declaración Universal de los Derechos Humanos, cuyos artículos figuran a continuación:

Artículo 1.Todos los seres humanos nacen libres e iguales en dignidad y derechos y (...) deben comportarse fraternalmente los unos con los otros. Artículo 2.Toda persona tiene todos los derechos y libertades proclamados en esta Declaración, sin distinción alguna de raza, color, sexo, idioma, religión, opinión política o de cualquier otra índole, origen nacional o social, posición económica, nacimiento o cualquier otra condición. Además, no se hará distinción alguna fundada en la condición política, jurídica o internacional del país o territorio de cuya jurisdicción dependa una persona (...). Artículo 3.Todo individuo tiene derecho a la vida, a la libertad y a la seguridad de su persona. Artículo 4.Nadie estará sometido a esclavitud ni a servidumbre; la esclavitud y la trata de esclavos están prohibidas en todas sus formas. Artículo 5.Nadie será sometido a torturas ni a penas o tratos crueles, inhumanos o degradantes. Artículo 6.Todo ser humano tiene derecho, en todas partes, al reconocimiento de su personalidad jurídica. Artículo 7.Todos son iguales ante la ley y tienen, sin distinción, derecho a igual protección de la ley. Todos tienen derecho a igual protección contra toda discriminación que infrinja esta Declaración (...). Artículo 8.Toda persona tiene derecho a un recurso efectivo, ante los tribunales nacionales competentes, que la ampare contra actos que violen sus derechos fundamentales (...). Artículo 9.Nadie podrá ser arbitrariamente detenido, preso ni desterrado. Artículo 10.Toda persona tiene derecho, en condiciones de plena igualdad, a ser oída públicamente y con justicia por un tribunal independiente e imparcial, para la determinación de sus derechos y obligaciones o para el examen de cualquier acusación contra ella en materia penal. Artículo 11.1. Toda persona acusada de delito tiene derecho a que se presuma su inocencia mientras no se pruebe su culpabilidad (...). 2. Nadie será condenado por actos u omisiones que en el momento de cometerse no fueron delictivos según el Derecho nacional o internacional. Tampoco se impondrá pena más grave que la aplicable en el momento de la comisión del delito. Artículo 12.Nadie será objeto de injerencias arbitrarias en su vida privada, su familia, su domicilio o su correspondencia, ni de ataques a su honra o a su reputación. Toda persona tiene derecho a la protección de la ley contra tales injerencias o ataques. Artículo 13.1. Toda persona tiene derecho a circular libremente y a elegir su residencia en el territorio de un Estado. 2. Toda persona tiene derecho a salir de cualquier país, incluso del propio, y a regresar a su país. Artículo 14.1. En caso de persecución, toda persona tiene derecho a buscar asilo, y a disfrutar de él, en cualquier país. 2. Este derecho no podrá ser invocado contra una acción judicial realmente originada por delitos comunes o por actos opuestos a los propósitos y principios de las Naciones Unidas. Artículo 15.1. Toda persona tiene derecho a una nacionalidad. 2. A nadie se privará arbitrariamente de su nacionalidad ni del derecho a cambiar de nacionalidad. Artículo 16.1. Los hombres y las mujeres, a partir de la edad núbil, tienen derecho, sin restricción alguna por motivos de raza, nacionalidad o religión, a casarse y fundar una familia (...). 2. Solo mediante libre y pleno consentimiento de los futuros esposos podrá contraerse el matrimonio. 3. La familia es el elemento natural y fundamental de la sociedad y tiene derecho a la protección de la sociedad y del Estado. Artículo 17.1. Toda persona tiene derecho a la propiedad, individual y colectivamente. 2. Nadie será privado arbitrariamente de su propiedad. Artículo 18.Toda persona tiene derecho a la libertad de pensamiento, de conciencia y de religión (...). Artículo 19.Todo individuo tiene derecho a la libertad de opinión y de expresión (...). Artículo 20.1. Toda persona tiene derecho a la libertad de reunión y de asociación pacíficas. 2. Nadie podrá ser obligado a pertenecer a una asociación.

Artículo 21.1. Toda persona tiene derecho a participar en el gobierno de su país, directamente o por medio de representantes libremente escogidos. 2. Toda persona tiene el derecho de acceso, en condiciones de igualdad, a las funciones públicas de su país. 3. La voluntad del pueblo es la base de la autoridad del poder público; esta voluntad se expresará mediante elecciones auténticas que habrán de celebrarse periódicamente, por sufragio universal e igual y por voto secreto u otro procedimiento equivalente que garantice la libertad del voto. Artículo 22.Toda persona (...) tiene derecho a la seguridad social, y a obtener, (...) habida cuenta de la organización y los recursos de cada Estado, la satisfacción de los derechos económicos, sociales y culturales, indispensables a su dignidad y al libre desarrollo de su personalidad. Artículo 23.1. Toda persona tiene derecho al trabajo, a la libre elección de su trabajo, a condiciones equitativas y satisfactorias de trabajo y a la protección contra el desempleo. 2. Toda persona tiene derecho, sin discriminación alguna, a igual salario por trabajo igual. 3. Toda persona que trabaja tiene derecho a una remuneración equitativa y satisfactoria, que le asegure, así como a su familia, una existencia conforme a la dignidad humana y que será completada, en caso necesario, por cualesquiera otros medios de protección social. 4. Toda persona tiene derecho a fundar sindicatos y a sindicarse para la defensa de sus intereses. Artículo 24.Toda persona tiene derecho al descanso, al disfrute del tiempo libre, a una limitación razonable de la duración del trabajo y a vacaciones periódicas pagadas. Artículo 25.1. Toda persona tiene derecho a un nivel de vida adecuado que le asegure, así como a su familia, la salud y el bienestar, y en especial la alimentación, el vestido, la vivienda, la asistencia médica y los servicios sociales necesarios; tiene asimismo derecho a los seguros en caso de desempleo, enfermedad, invalidez, viudez, vejez u otros casos de pérdida de sus medios de subsistencia por circunstancias independientes de su voluntad. 2. La maternidad y la infancia tienen derecho a cuidados y asistencia especiales. Todos los niños, nacidos de matrimonio o fuera de matrimonio, tienen derecho a igual protección social. Artículo 26.1. Toda persona tiene derecho a la educación. La educación debe ser gratuita, al menos en lo concerniente a la instrucción elemental y fundamental. La instrucción elemental será obligatoria. La instrucción técnica y profesional habrá de ser generalizada; el acceso a los estudios superiores será igual para todos, en función de los méritos respectivos. 2. La educación tendrá por objeto el pleno desarrollo de la personalidad humana y el fortalecimiento del respeto a los derechos humanos y a las libertades fundamentales; favorecerá la comprensión, la tolerancia y la amistad entre todas las naciones y todos los grupos étnicos o religiosos, y promoverá el desarrollo de las actividades de las Naciones Unidas para el mantenimiento de la paz. 3. Los padres tendrán derecho preferente a escoger el tipo de educación que habrá de darse a sus hijos. Artículo 27.1. Toda persona tiene derecho a tomar parte libremente en la vida cultural de la comunidad, a gozar de las artes y a participar en el progreso científico y en los beneficios que de él resulten. 2. Toda persona tiene derecho a la protección de los intereses morales y materiales que le correspondan por razón de las producciones científicas, literarias o artísticas de que sea autora. Artículo 28.Toda persona tiene derecho a que se establezca un orden social e internacional en el que los derechos y libertades proclamados en esta Declaración se hagan plenamente efectivos. Artículo 29.1. Toda persona tiene deberes respecto a la comunidad (...). 2. En el ejercicio de sus derechos y en el disfrute de sus libertades, toda persona estará solamente sujeta a las limitaciones establecidas por la ley con el único fin de asegurar el reconocimiento y el respeto de los derechos y libertades de los demás, y de satisfacer las justas exigencias de la moral, del orden público y del bienestar general en una sociedad democrática. 3. Estos derechos y libertades no podrán, en ningún caso, ser ejercidos en oposición a los propósitos y principios de las Naciones Unidas. Artículo 30.Nada en esta Declaración podrá interpretarse en el sentido de que confiere derecho alguno al Estado, a un grupo o a una persona, para emprender y desarrollar actividades (...) tendientes a la supresión de cualquiera de los derechos y libertades proclamados en esta Declaración.

Matemática Aritmética Nombres: Apellidos: DNI: Dirección:

Institución Educativa:

Correo electrónico:

Método EMAM

Método EMAM

Enrique Matto Muzante

6

Primaria



Título de la obra

® MATEMÁTICA SIGMA 6, primaria Aritmética © Derechos de autor reservados y registrados MAURO ENRIQUE MATTO MUZANTE © Derechos de edición, arte y diagramación reservados y registrados conforme a ley DELTA EDITORES S.A.C. EDICIÓN, 2020

Coordinador de área: Mauro Enrique Matto Muzante



Diseño, diagramación y corrección: Delta Editores S.A.C.



Ilustración general: Banco de imágenes Delta Editores S.A.C.

DELTA EDITORES S.A.C. Jr. Pomabamba 325, Breña Tels. 332 6314 332 6667 Correo electrónico: [email protected] www.eactiva.pe

Tiraje: 3700 ejemplares

Impresión: AZA GRAPHIC PERÚ S.A.C. Av. José Leal 257, Lince Lima - Perú Tel. 471 5342

ISBN N.o 978-612-4087-81-3 Proyecto Editorial N.o 31501051900725 Ley N.o 28086 Hecho el Depósito Legal en la Biblioteca Nacional del Perú N.o 2019-09232

PROHIBIDA LA REPRODUCCIÓN TOTAL O PARCIAL LEY DE LUCHA CONTRA LA PIRATERÍA LEY 28289 PUBLICADA EL 20 DE JULIO DE 2004 TÍTULO VII DELITOS CONTRA LOS DERECHOS INTELECTUALES CAPÍTULO I DELITOS CONTRA LOS DERECHOS DE AUTOR Y CONEXOS Reproducción, difusión, distribución y circulación de la obra sin la autorización del autor. Artículo 217.o.- Será reprimido con pena privativa de libertad no menor de dos ni mayor de seis años y con treinta a noventa días-multa, el que con respecto a una obra, una interpretación o ejecución artística, un fonograma o una emisión o transmisión de radiodifusión, o una grabación audiovisual o una imagen fotográfica expresada en cualquier forma, realiza alguno de los siguientes actos sin la autorización previa y escrita del autor o titular de los derechos: a. La modifique total o parcialmente. b. La distribuya mediante venta, alquiler o préstamo público. c. La comunique o difunda públicamente por cualquiera de los medios o procedimientos reservados al titular del respectivo derecho. d. La reproduzca, distribuya o comunique en mayor número que el autorizado por escrito. La pena será no menor de cuatro años ni mayor de ocho y con sesenta a ciento veinte días-multa, cuando el agente la reproduzca total o parcialmente, por cualquier medio o procedimiento y si la distribución se realiza mediante venta, alquiler o préstamo al público u otra forma de transferencia de la posesión del soporte que contiene la obra o producción que supere las dos (2) Unidades Impositivas Tributarias, en forma fraccionada, en un solo acto o en diferentes actos de inferior importe cada uno.

IMPRESO EN EL PERÚ / PRINTED IN PERU

La Editorial se hace responsable por el rigor académico del contenido del texto de acuerdo con los principios de la Ley General de Educación.

Presentacion Querido estudiante: Deseo, en principio, darte un cálido saludo y la bienvenida al 6.° grado. Entiendo que debes estar entusiasmado puesto que en pocos meses acabarás una de las primeras etapas de tu vida escolar, la primaria, y como tal debes prepararte para asumir los retos que se te presentarán. En definitiva, este es un año singular, y estoy convencido que estará lleno de satisfacciones y éxitos para ti, por supuesto en función a tu esfuerzo. Quiero contarte que mis contenidos han sido desarrollados de forma didáctica, amena y con un lenguaje sencillo para que puedas comprenderlos mejor. Se trata de que adquieras una competencia, y no me refiero a un concurso o competición, sino a que anhelo que seas COMPETENTE; es decir, que puedas utilizar los conocimientos matemáticos adquiridos en el colegio, en cualquier situación o problema que se te presente en la vida cotidiana, o en otras palabras que interpretes la realidad y tomes decisiones a partir de conocimientos matemáticos que aporten a tu entorno. Pero además de ello, me preocupo porque continúes creciendo como persona, que fortalezcas la relación con los demás y con el ambiente; y que demuestres ello en los valores y actitudes que practiques; así que te daré la oportunidad de reflexionar junto a tu profesor(a) y compañeros a través de cuentos y otras actividades, de una forma transversal a los contenidos matemáticos; es decir, siempre vinculándolos. Yo, al igual que tú, también estoy emocionado, tenemos muchas experiencias que compartir y sé que juntos lograremos superar cualquier dificultad. Confía en mí, que desde hoy me considero tu amigo.

Tu libro

Matemática SIGMA 6 - Aritmética

Desarrollo

de la teoría En esta sección encontrarás temas novedosos que propician sostener una relación cercana con las nociones de cantidad.

Título de la unidad

1

La playa, ¿un buen lugar para aprender matemática?

En conjunto

Al regresar a clases y volver a ver a tus compañeros o conocer nuevos amigos, podrás contar lo que has hecho durante las vacaciones.

obtenemos

es resultados mejor

Algunos habrán viajado; otros, estudiado o practicado algún deporte; otros, visitado el campo, etc. Pero, con certeza, muchos de ustedes habrán ido, por lo menos una vez a la playa, al río o a la piscina. En relación a esto, deseo hacerte una pregunta: ¿Es posible encontrar elementos matemáticos en estos lugares? Pues, claro que sí. En ellos y en muchos otros lugares, se encuentran elementos que no solo se pueden cuantificar, sino también clasificar o agrupar. En este caso particular, si observas la imagen entenderás a qué me refiero; por ejemplo: • Conjunto de niños que han ido a la playa. • Grupo de personas que se están dando un chapuzón. • Cantidad de puntos obtenidos por tu equipo. Es decir, al ir a un lugar de paseo, además de disfrutar y pasar un buen momento con la familia o amigos, también pueden emerger los conocimientos matemáticos que ya posees e incluso hacer uso de ellos para resolver situaciones problemáticas que se presenten, o tal vez, descubrir nuevos aprendizajes mientras te diviertes.

Contiene los desempeños que alcanzarás luego del estudio de la unidad. Estos corresponden a la competencia Resuelve problemas sobre cantidad.

Lectura entretenida que te muestra la importancia de las nociones de cantidad en tu vida y en el desarrollo del hombre.

Actividades. 1. Comenta con tus compañeros y responde: ¿Qué entendí de la lectura? ¿Es cierto lo que se menciona? 2. Busca las imágenes en la página de adhesivos y completa en el lugar pertinente. 3. Nombra 5 conjuntos (diferentes a los mencionados) que encuentres en la imagen. 4. Elige un lugar que hayas visitado durante tus vacaciones y describe qué conjuntos has apreciado en él.

Desempeños • Transforma las relaciones entre los datos y condiciones de un conjunto a una expresión numérica que reproduzca las relaciones entre estos. • Expresa su comprensión del sistema de numeración decimal con números hasta seis cifras, así como su valor posicional, con lenguaje numérico y representaciones diversas.

8

ocho

MATEMÁTICA SIGMA 6 - ARITMÉTICA

Valore s

Preguntas de reflexión acerca de la lectura.

Respeto

ncias por las difere

SN LOS

nción a la

lus Enfoque inc

diversidad

YA EETCHES EN LA PLA

rrigas s con ba sneetche relladas y rrigas est s con ba demos sneetche po r No po . a as− bitad as estrellad ya era ha de barrig Cierta pla estrellas). ecían los n de él. etches −d simples (sin se burlaba a de sne s. un oraban o mejor raz as simple o y en él aba lo ign −Somos la con los de barrig erc rro extrañ ac ca les os simples un simple se mezclarn as a rrig rrig ba ba n er su uno con etches co eden ten pu sne s, los igo Y cuando e Am dond : relladas? e les dijo , apareció rrigas est De pronto n más extraño qu ió y se de los ba rug las ó, aú mo son re as co quina homb rellas, y ren estrell La gran má tenían est er, ¿quie a. a pagarle. ieron de ella, ya −Soy Silvestr solo S/ 3 cada un menzaron s sal simples co barrigas simple estrella po barrigas los hes con . Cuando : ron dije Y los sneetcsta que funcionó y les ha un inicio sacudió rellas desde felices. . os quién tenían est se sintieron o sabrem ales. −Miren e los que . −¿Cóm somos igu ron dond principio s porque Así que fue desde un excluirno as en rell ed est pu ían −Ahora, no los que ten n aro s !, −exclam quitará esa les dijo: −¡Dios mío dora les utamente remodela ester y ast es quién? máquina areció Silv da uno, mi tante ap o S/ 10 ca En ese ins s. por tan sol de moda. jore y me igo conm están sentían los −Vengan esto que ya no estrellas se pu erse las etches sin ecieron. estrellas, ra remov ora los sne as se enfur quina pa las estrell ieron y ah te a la má Así lo hic n puesto nuevamen ar a la moda. ose se había sar e pa qu a los y quitánd itó ra est Entonces, poniendo n. er y los inv a quitárselas pa est ron Silv uie sig iero apareció menzaron to del día todos se confund Otra vez, así fue. Todos co rante el res nto y cidieron peoró. Du que en un mome de , em estrellas, ien ión ac jor sta era qu allí, la situ se es me a vez ha ían quién guna cla A partir deestrellas, una y otr e no sab o no, y que nin cuenta qu EETCHES si las tenían siendo se dieron importar solo eso SN Y cuando a los otros rellas y sin etches son de las est se los unos que los sne ron tar pe ida res Se olv ya vir juntos que otra. ron a convi Seuss aprendie ies de Dr. . other stor hes and quienes son o Sneetc Traducción

10 diez

MÉTODO EMAM

9

Preguntas sobre la lectura que te permiten recordar conocimientos antes adquiridos.

ivo o de ate

Enfoque transversal y valores que afianzarás con las actividades propuestas.

nueve

adaptada

del libr

ían . itud que ten Responde recta la act etches con ideras cor de los sne 1. ¿Cons conjunto al inicio el s r qué? riga ¿Po bar as? con estrell hes los Sneetc opinas de ester? 2. ¿Qué ¿y, de Silv la lectura? simples? uentras en enc to jun con 3. ¿Qué

Además de aprender contenidos sobre cantidad, es importante que aprendas a desenvolverte como una persona que practica valores y actitudes que te permitan una sana convivencia con tu entorno social y ambiental.

Lectura que te dejará enseñanzas a partir del análisis que realices con tu profesor(a) y compañeros.

Desarrollo

de la práctica

Desarrollo pedagógico MÉTODO EMAM

Sustracción a Relacion

lo que

s naturales

de número

Emilia a su hija ece le enseña Carmela na perman e de manza tos mientras que un py minu 30 nto rno tos. ¿Cuá en el ho nu mi 70 de torta, horneado que una s dura el tiempo má de un pye? que una torta

PR inutos. NDE EL nte 30 m ea dura nte 70 minutos. s de se horn • El pye se hornea dura cia de tiempo en er rta to dif la La • . lar e calcu ambos postres • Se pid do entre hornea

2

La información de estos recuadros te enseñará cómo resolver un problema matemático. Pon mucha atención a sus cuatro pasos o fases.

TEGIA

DISEÑA UNA ESTRA

Es posible realizar EJECUTA

una sustracción. IA

TEG LA ESTRA

a torta = 40 70 – 30 do de un hornea pye. Rpta. El un e el de más qu

4

A través de una situación de la vida cotidiana se vincula tus saberes previos con lo que aprenderás en la sesión.

MA

UN PROBLE

OBLEMA

COMPRE

1

3

Relaciona lo que sabes

RESOLVER

FASES PARA

sabes

minutos dura 40

E LO REALIZADO

REFLEXIONA SOBR

o problema. de resolver el mism Busca otra forma

ción compara aditivo de Problema

Descubre

truye

y cons

En exceso 2756 – Ejemplo:

cción

Sustra

de

Estrategias

ntal

cálculo me

Practica

M–S=D Donde ndo M: Minue do S: Sustraen ia D: Diferenc

Ejemplo:

1472 – 575

Contiene información resumida en organizadores visuales sobre el tema de la sesión, así como ejercicios y problemas desarrollados.

lo aprendido

Nivel

1

En partes

Escribe

tres ntal Proceso me 897 0 – 103 = – 103 = 100 a) 2 = 1472 – 472 5

=

5

fraccion

es equiv ale

=

1.º

emento Compl ico aritmét

ro un núme le falta a del Es lo que a unidad igual a un para ser erior. ediato sup orden inm

b) 36 60 =

=

45 Ejemplo: 358 = 642 – c) 8) = 1000 54 = = a) C.A. (35 = 19 ) = 100 – 81 = 8408 b) C.A. (81 000 – 1592 10 = 92) c) C.A. (15 y uno 61 =

6

=

Pinta el círculo correspon de la alternativ de a la re a que spuesta. 2 ¿Q ué fracc ión es eq uivalent e a 27 ? 45 A 3 15 4

MATEM

B

3 5

C

3

¿Qué ex

presión es

A

B

C

2 4 1,5 = 5

12

9 12

6 8

Nivel Escribe V si la expr esión es F si es fa lsa. verdader ao

c) Al co mparar 7 15 15 42 y 21 , mayor es 21 .

7 3

d) La fra cción 7 21 4 es equivalente a 12 . b) 2,4 = 1 2 verdader

a?

7

El saco de alimento s para la mascota Alicia co de ntiene 195 kg. ¿Cuá imágenes 30 l de esta represen s ta al saco ?

2,5 5 4 = 6

A

13 kg 4

B

1,5 15 2,5 = 25

D 3,5 1 7 = 4 136 cie nto treint a y seis

9 10 2 8

b) La fra cción 144 72 es equivalente a 12 . 9

ta.

1 = 1,5 3

9 16 25 12

a) La fra cción 3 21 7 es equivalente a 49 .

Comple a)

4

D

4 8 8 12 12 16

=

ÉTICA

MA 6 - ARITM ÁTICA SIG

Nivel

Pinta el camino que teng a fraccion equivale ntes a 3 es y encont camino rarás el correcto 4 al coleg io de Ke yla.

=

– 103 = 897

3 enta d) ses 7 =

ntes.

=

– 472

2.º

Descubre y construye

ntal Proceso me 2 = 1158 2 = 1156 +

6 – 1600 +

1598 = 275

C

15 kg 13

D

13 kg 2

13 kg 6

Practica lo aprendido Actividades organizadas en tres niveles de dificultad que tienen por finalidad consolidar lo aprendido durante la sesión poniendo en práctica la información adquirida, siguiendo el modelo planteado en una situación desarrollada y haciendo uso de tu razonamiento y habilidades.

Matemática SIGMA 6 - Aritmética

Folio para reforzar la lectura y escritura de los números.

Evaluación ¡Autoevalúate!

I.

s

4

76 152

1

2,25 10 A I y II

Halla el valor de

A VFFV

B II y IV

C II y III

A + B, si se sabe

B FFVV

C VVVF

D I y III

1

A=

Además, en la parte inferior están las respuestas de las preguntas que has respondido, para que puedas comprobar por ti mismo cuánto has aprendido y qué debes reforzar junto a tu profesor.

16 es equivalente a 4 25 . 5 7 II. es mayor que 8 11 . 12 5 III. no es equivalent e a 15 . 6 12 5 IV. es menor que 2 . 18 6

III. 5 2 11

2

Comprende 10 preguntas sobre los temas abordados.

Determina el valor de verdad de cada expresión. I.

7,5 II. 14

IV.

¡Autoevalúate! ¡Autoevalúate!

respuesta.

5

que:

D FVFF

En el siguiente grupo de fracc iones, ¿quién es la mayo r?

4 3 2 9 + 8 =

1 7 2 3 3 ; 6 10 ; 3 ; 5 ; 9

B = 11 – 21,5 = 16 43

lúate! ¡Autoeva la

A C

3

7

14 16

B 1

5 16

D 1 3

1 16

16

Resuelve.

6

99 123 + 198 71,5 + 246 197 250 143 500

A

2 3

C

3 5

1 1 = A, calcu Si 3 + 4

B 7 10 D

4

C 495 1 2

B

2 495 16

11 12 5 B 6 3 C 5

D

494

150 ciento cincu enta

1 2

C D

7 12 ital

30 55

B

57 93

C

23 51

D

49 63

8

3 20

B

A

¿Cuál de las siguie ntes es una fracc ión irreductible?

A

1 4

A

1 6

D A 496 1

lleno que está de agua on tanque nsumier De un 3 partes, se co ue s del tanq hasta su 5 fracción ué ¿Q 3 partes. 4 a? qued

9

13 . de A + 52 el valor

un hosp 3 del cerco de tó 5 Pedro pin cerco. 2 del mismo r? y Danny 7 ta falta pin cción le ¿Qué fra

10

12 30 15 25

lleno está 2 cisterna camión se utiliza 5 3 partes. Si s su fracción 4 hasta , ¿qué ue rq pa rna? ar un la ciste en reg eda en tal qu del to

Un

9 20

A

4 35 2 35

9. B

Puedes también intercambiar con tus compañeros la evaluación que has dado (Coevaluación) y así aprender otras formas de resolver las mismas preguntas. Recuerda que todos poseemos diferentes estrategias y métodos de resolución.

15 20 10. A

mpañero?

ina mi co

¿Qué op

bia la Intercam

sección

o 1. ¿Cóm

aprendí

A

MATEMÁTIC

SIGMA

él

estas. las respu

nición

Metacog es? n fraccion

nes co

straccio

ones y su

cciones

idir fra licar y div

?

ltip

dí a mu

o apren

2. ¿Cóm

ación

Coevalu ara con

uar adici

a efect

6 12

y comp

Dialoga

alúate!

¡Autoev

ndí?

mo apre

¿Qué y có

Además, la Metacognición te permite reflexionar cómo has aprendido y cómo puedes mejorar.

8. A

D

8 16

D

7. B

Reflexiona sobre lo aprendido

24 25

6. C

C

5. B

B

9 12

B

4. B

A

C

3. C

equivalentes a 1 ? 2

ntes son expresione

2. B

¿Cuáles de las siguie

corresponde a la

1. D

1

la alternativa que

Claves:

Pinta el círculo de

cuenta y

ciento cin

1 uno 15

ÉTICA

6 - ARITM

Anexos Materiales atractivos para que a partir de la manipulación puedas empezar a aprender.

Página 13

Anexo 5

1 10

1 16 1 5

1 8

S/ 4403

S/ 12 853

S/ 2147

S/ 6799

Página 50 145(7)

352(5)

1032(4)

1012(2)

715(6)

671(9)

1 10

1 16

1 8

1 16

1 10

1 4

1 16

Páginas 8 y 9

Página 67

Anexo 1

SERIE NUMISMÁTICA «RIQUEZA Y ORGULLO DEL PERÚ»

1 8

1 5

1 16

1 2 1 4

1 10

1 16

• Adhesivos

Página 62

Página 189

Página 69

Página 97

1 4

1 10

1 16

1 8

1 16

1 2

1 10

1 16

1 5

1 8

1 16

1 10

1 4

1 16

1 8

1 10

1 16

1 5

1 16

1 10

1 8

1 16

Página 138

15

7

13

28

29

35

12

60

23

40

31

75

78

103

105

83

96

11

1 10

1 16

1 8

1 16

Página 119

1 5

• Material troquelado

SET DE MONEDAS

REGLETAS CON FRACCIONES

MATEMÁTICA SIGMA 6 - ARITMÉTICA

MateMática SIGMA 6 - aritMética

MATEMÁTICA SIGMA 6 - ARITMÉTICA

Índice Enfoque transversal

En conjunto obtenemos mejor es resultados 1

1

En conjunto

Valo res

Al regresar a clases compañeros o conocer y volver a ver a tus nuevos amigos, contar lo que has podrás hecho durante las vacaciones. Algunos habrán viajado; otros, practicado algún estudiado o deporte; otros, campo, etc. visitado el Pero, con certeza, ido, por lo menos muchos de ustedes habrán una vez a la playa, la piscina. al río o a

Traducción adaptada

En relación a esto, deseo hacerte una ¿Es posible encontrar pregunta: elementos matemáti en estos lugares? cos Pues, claro que sí. En ellos y en muchos otros encuentran elementos lugares, se que no solo cuantificar, sino también clasificar se pueden o agrupar. En este caso parti entenderás a qué cular, si observas la imagen me refiero; por ejemplo: • Conjunto de niños • Grupo de personasque han ido a la playa. que se están dando chapuzón. un • Cantidad de puntos obtenidos por tu equipo. Es decir, al ir a un disfrutar y pasar lugar de paseo, además de familia o amigos, un buen momento con la los conocimientos también pueden emerger e incluso hacer matemáticos que ya posees uso situaciones problemáti de ellos para resolver cas que se presenten, tal vez, descubrir o nuevos aprendizajes mientras te diviertes.

Actividades.

Desempeños

1. Comenta con tus compañeros y responde: ¿Qué entendí de la lectura? ¿Es cierto se menciona? lo que 2. Busca las imágenes en la página de adhesivos y completa en el lugar pertinente. 3. Nombra 5 conjuntos (diferentes mencionados) que a los encuentres en la imagen. 4. Elige un lugar que hayas visitado durante tus vacaciones y describe qué conjuntos apreciado en él. has

• Transforma las relaciones entre los datos y condiciones que reproduzca las relaciones entre de un conjunto • Expresa su comprensión a una expresión estos. numérica como su valor posicional, del sistema de numeración decimal con números con lenguaje numérico hasta seis cifras, y representaciones así diversas. 8

ocho

MATEMÁTICA SIGMA

6 - ARITMÉTICA

nueve

9

8-9

2

Multiplicamos

Desempeños

54

• Traduce una o más acciones de agregar, quitar, expresiones aditi repetir y reparti vas y multiplicati r cantidades en vas, y a potencias • Expresa su comprensión partes iguales, cuadrada y cúbica respecto de los múlti con números naturales. a lenguaje numérico plos y divisores, y representacione los primos y compuestos; • Selecciona y s diversas. emplea con números naturales. estrategias de cálculo mental o escrito para realizar operaciones • Justifica con con varios ejemplos sus afirmaciones cuatro operaciones y conocimientos y sus propiedades. sobre las relaciones Así también, justi entre las fica su proceso de solución.

S/ 1700 S/ 2200 S/ 1400 S/ 320 S/ 250 S/ 160 S/ 50 S/ 28 S/ 500

Actividades.

1. En tu cuaderno, organiza en una información de los ingresos y egresos tabla la familia. Luego, responde. de esta a) ¿Cuánto es el gasto total de esta familia en un mes? b) ¿Podrán realizar los planes de ambos hijos? c) De no alcanzar para priorizarías tú? ¿Por ambos planes, ¿cuál qué? d) ¿Qué gastos podrían obviarse para concretar ambos planes?

cincuenta y cuatro

MATEMÁTICA SIGMA

6 - ARITMÉTICA

cincuenta y cinco

55

LA PLAYA

del libro Sneetches

and other stories

de Dr. Seuss

Responde. 1. ¿Consideras correcta al inicio el conjunto la actitud que tenían de los sneetches estrellas? ¿Por con qué? 2. ¿Qué opinas de los Sneetches simples? ¿y, con barrigas de Silvester? 3. ¿Qué conjunto encuentras en la lectura?

Valo res

Respeto a toda

Enfoque ambiental

Responde. 1. ¿Por qué había perdido los colores el 2 ¿Qué opinas tigre? de los animales en cautiverio? 3. ¿Consideras que los animales son menos y las plantas importantes que los seres humanos? 4. ¿Cuántos pintores en total visitaron al tigre sin color?

56

cincuenta y seis

E. ambiental Valor: Respeto a toda forma de vida 56

54 - 55

Una fracción de mí, para los demás 3

Una fracción

Un postre para

de mí, para los demás

3

Arro

z con

lech

e para 6 person as Ingred ientes

Receta

• ½ tz. de arroz • 1 tarro de leche

evaporada conden sada de agua hervida • ½ cdta. de vainilla • ¼ tz. de pasas morenas • Cáscar a de 1 naranj a • Clavo de olor y canela al gusto • 1 tarro

• 1 ½ tz.

de leche

mamá

Los números han surgido a lo largo historia a partir de la de la necesidad del hombre de contabilizar lo que poseía Los primeros números o lo que necesitaba. los números naturales; que se utilizaron eran sin embargo, estos fueron suficientes no para situaciones cotidianas. representar todas las de cocinar o preparar Por ejemplo, en el caso se utilizan cantidades algún postre no siempre exactas. Es así que, para este y otros casos, surgieron otras expresiones como las fracciones brindan una relación que entre la parte y el todo. En la imagen, los hermanos Rosales preparar un rico desean arroz de cumpleaños para con leche como regalo su mamá y saben ella es mejor algo que para hecho por ellos mismos que algo comprado. Así que pese a no saber cocinar, están siguiendo la receta mostrada porque desean darle una gran alegría. a ella

Actividades.

Valo res

Asertividad/Empa tía

Enfoque de orientación

El traje nuevo del

Un emperador al que le importaba su onomástico mucho

al bien común

Rey

, decidió hacer sus vestidos, recordando sastre quien prometió hacerle una gran fiesta. Por tal que razón, encargó faltaba poco para uno con materiales El sastre solicitó un traje nuevo finísimos, dignos una gran cantidad a un de una autoridad la tela con la de monedas que haría el como él. de oro y un caballo traje para el emperador. para ir él mismo Una vez recibidos a buscar el oro, el caballo buscar la tela y provisiones, adecuada para emprendió el su propósito. viaje por todo Al cabo de el mundo para 3 ½ meses, y ya habiendo que regresar gastado todo a la tierra del el oro que recibió emperador. Como era de no tuvo otra esperarse, los opción asesores del sastre les dijo emperador que lo visitaron para donde el sastre. estaría listo en 1 ½ meses pedirle cuentas adicionales, y al cabo de pero el Muy bien, ese tiempo ya ha pasado regresaron un tiempo más Justamente que prudencial. aquí lo tienen ¡Queremo habitación. dijo el sastre, s ver el traje!, dijeron. señalando un perchero vacío ¿Esto es una que tenía en burla? Acotó la uno de los asesores. He recorrido ¡Aquí no hay todo el mundo nada! aquí mismo para conseguir está. Lo que una tela que sucede indignas de esté a la su cargo. ¿Cómo; es que esta tela no puede ser vista altura del emperador, y ustedes no la por las Claro, que pueden ver? sí. El traje está Dijo el sastre. personas tontas o realmente hermoso movimiento s en el aire como dijo el otro si cogiera una asesor acercándos Tienes toda tela. e y haciendo la razón dijo tiene. Nos lo el primer asesor. llevamos en Ahora que miro este instante. bien, qué maravilla En realidad, los asesores del de colores emperador tuvieron elogiando el traje. miedo de ser tomados por Lo mismo ocurrió tontos, y regresaron sus ropas para con el propio emperador, quien, cuando probárselo. recibió el traje El día de la no dudó en fiesta, el emperador quitarse alabadas por acudió vestido todo el pueblo. con sus invisibles y todos, incluido Hasta que un telas, que niño gritó entre el emperador, risas: «El emperador también eran se dieron cuenta del engaño está desnudo», y del ridículo Actividades. que habían hecho.

Arroz con

• Traduce una o más acciones de comparar, igualar, expresiones aditi repetir, dividir un vas o multiplicati todo en partes iguales, vas, así como a operaciones • Representa de diversas formas a con fracciones. su comprensión cociente. de la noción de fracción • Selecciona y como operador emplea estrategias y como de cálculo mental fracciones. o escrito para realizar operaciones con

Receta para

1. ¿Cuánto tiempo tardó el sastre en traje? entregar el supuesto 2. ¿Qué opinas de la actitud de cada uno de 3. Imagina que los personajes? tienes te molesta, ¿Qué un amigo muy especial para ti, harías: amistad o confrontarías Dejas pasar esa molestia y él hace algo que para no perder la situación? 4. Ante cualquier su Comenta con tus compañeros. situación que perteneces a involucre dos una o más partes, parte? ¿Tratarías de ellas, ¿sueles ponerte ¿si tú en el lugar de de comprender la otra su posición? ¿Por qué?

112 ciento doce

leche

3 personas Ingredientes

• tz. de arroz • tarro de leche evaporada • tarro de leche condensada • tz. de agua hervida • cdta. de vainilla • tz. de pasas morenas • Cáscara de naranja • Clavo de olor y canela al gusto.

6 - ARITMÉTICA

ciento once 111

E. de orientación al bien común Valor: Asertividad / Empatía

¿En qué proporción conocemos nuestros derechos?

4

¿En qué

proporción

El reparto de los

panes

Dos beduinos cabalgaban por el desierto, Bagdad, cuando camino a encontraron a un viejo en la arena que había sido asaltado jeque tumbado enmascarados. por un grupo de El jeque preguntó a los beduinos si llevaban algo para comer. El primer beduino contestó que aún le quedaban cinco panes y el segundo dijo que le quedaban tres panes. El jeque propuso que la comida y al llegar compartieran entre los tres toda a Bagdad les recompensaría monedas de oro. con 8 Así lo hicieron y al llegar a Bagdad monedas al primer entregó cinco beduino y tres monedas al segundo. Pero el primer beduino dijo: El reparto no es correcto. Si yo di cinco panes, tocan 7 monedas me y a mi compañero, tres panes, solo que solo aportó le toca 1 moneda. ¿Por qué dijo esto beduino? el Solución: Cada pan se dividió en 3 partes iguales: er 1. beduino

15 pedazos

Desempeños • Expresa su comprensión con lenguaje numérico respecto al valor posicional de números decimales y representacione • Representa de hasta los centésimos, s diversas. diversas formas su comprensión equivalencias entre de la expresión decimales, fracciones • Traduce una y porcentajes usuales.decimal así como las o más acciones de relación de proporcionalidad multiplicativas. y porcentual, a expresiones

152 ciento cincuenta

2.° beduino

9 pedazos

Resolución: Cada pan se dividió en 3 partes iguales: Son 24 pedazos de pan divididos entre cada persona le corresponde 8 pedazos 3 personas y a de pan. • El 1.er beduino comió 8 pedazos de pan y dio 7 pedazos al jeque. • El 2.° beduino comió 8 pedazos de pan y dio 1 pedazo al jeque. • Por tal motivo, si el primer beduino entregó 7 pedazos de pan y el segundo 1, le corresponden 7 monedas al primero; y 1, al segundo.

Responde.

1. ¿Te parece justo el reparto que propuso beduino? ¿Por qué? el primer

y dos MATEMÁTICA SIGMA

6 - ARITMÉTICA

2. Si el jeque hubiera pagado ¿cuánto le correspondería con 16 monedas de oro, a cada uno? 3. Cuando hay una situación que no te parece justa, ¿haces valer tus derechos o prefi eres dejar pasar ese mal rato? ciento cincuenta

y tres 153

152 - 153

Matemática SIGMA 6 - Aritmética

Contenidos pedagógicos Conjuntos 11 Cardinal de un conjunto 15 Clases de conjuntos y conjuntos especiales 17 Conjuntos iguales y conjunto potencia 20 Unión e intersección de conjuntos 23 Diferencia de conjuntos 26 Diferencia simétrica de conjuntos 29 Complemento de un conjunto 31 ¡Autoevalúate! 33 Situaciones con conjuntos 35 Producto cartesiano y relaciones binarias 39 Sistema de numeración decimal 42 Relación de orden y aproximación 46 Otros sistemas de numeración 48 ¡Autoevalúate! 52

Adición de números naturales 57 Sustracción de números naturales 61 Problemas aditivos de enunciado verbal 65 Multiplicación de números naturales 71 División de números naturales 75 Problemas multiplicativos de enunciado verbal 79 Potenciación y radicación de números naturales 82 Operaciones combinadas 85 ¡Autoevalúate! 87 Múltiplos y divisores 89 Criterios de divisibilidad 92 Números primos y compuestos 96 Descomposición canónica de un número 100 Cantidad de divisores de un número 102 Mínimo común múltiplo y máximo común divisor 105 ¡Autoevalúate! 108

Representación, lectura y escritura de una fracción 113 Clases de fracciones y números mixtos 115 Medios, cuartos, octavos y dieciseisavos 117 Tercios, sextos, novenos y doceavos 122 Medios, quintos y décimos 127 ¡Autoevalúate! 131 Expresiones equivalentes a ½ y a ¼ 133 Fracciones equivalentes 135 Comparación de fracciones 137 Simplificación de fracciones 139 Adición y sustracción de fracciones 141 Multiplicación y división de fracciones 146 ¡Autoevalúate! 150

112

110 - 111

conocemos nuestros derechos ?

Usa estrategias y procedimientos de estimación y cálculo.

1. Usando la información de la receta, responde.

110 ciento diez

4

Comunica su comprensión sobre los números y las operaciones.

a) ¿Qué se necesita más: arroz o pasas morenas? b) Si la receta fuera para 12 personas, ¿cuánta agua se necesitaría? 2. Si solo desean compartir el postre hermanos y su mamá, los receta para preparar ¿cuál sería la nueva el postre? Completa.

Desempeños

MATEMÁTICA SIGMA

Traduce cantidades a expresiones numéricas.

forma de vida

El tigre si n color

Su hermano Gustavo también está ilusionado, pero ha comentado que en las noticias solicitando víveres se está o ropa abrigadora damnificados por para los la ocurrencia de un sismo; que a él le agradaría apoyar con una canasta y víveres valorizada de en S/ 80.

Sueldo de mamá: Sueldo de papá: Pago de alquiler de la casa: Pago de servicios básicos: Mensualidad del colegio por hijo: Gasto semanal en alimentos: Gasto semanal en movilidad: Propina semanal por hijo: Ahorro familiar obligatorio:

a la diversidad

Había un vez, en un zoológico, tigre sin color. un grises, blancos Todos sus tonos eran y negros. Tanto, parecía salido que de una de antiguas. Su esas películas falta de color mundo entero, tan famoso, habían visitado que 3854 pintores, le había hecho conseguido dicho zoológico nada: Todos los mejores tratando de los colores y del colorearlo, pero pigmentos resbalaban Entonces, apareció ninguno había sobre su piel. Jolbu, el pintor cigarrillo, de chiflado. Era cabellos largos un tipo y de apariencia alegremente con su pincel. apacible, que muy alto y tan delgado su pincel ni andaba por como tampoco usaba Mejor dicho, hacía como todas partes que pintaba, pintando estaba chiflado. lienzos ni papeles, porque nunca solo pintaba mojaba en el aire, y Yo le daré por eso decían color a este que tigre dijo Jolbu, Y a todos, conociendo muy convencido . la fama de al tigre. Jolbu, les hizo mucha gracia oírlo decir que No ha logrado quería pintar culminar obras más sencillas Al entrar a la y cree que con jaula del tigre esto sí podrá el chiflado pintor que movía su murmurab seco pincel an todos. comenzó a de arriba abajo susurrarle a la Y sorprendien sobre el animal. oreja al mismo do tiempo un tigre pueda a todos, la piel del tigre comenzó a tener. tomar los colores Estuvo Jolbu y tonos más mucho tiempo vistosos que susurrando al bellísimo. Todos gran asombrados, logrado tal hazaña. rodearon a Jolbu animal y retocando todo su pelaje, para preguntarle cómo era posible que resultó Eres el mejor que hubiera pintor que hayamos conocido, ¿cómo Nunca fui algún chiflado lo has hecho? solo es que necesito usar Le preguntaron mi pincel solo colores respondió . susurré a su Jolbu. He podido sirve para pintar la vida oído continuame real, por eso pintar nte En solo no Y viendo la tristeza unos días volverásal tigre con una única frase que que causaba a ser libre, ya del zoológico al tigre su encierro, lo verás. finalmente lo y la alegría por llevaron a la su libertad, los selva, y lo liberaron, responsable donde nunca s más perdió su color.

Camilo ha pedido a sus papás hacer una visita a un parque de diversiones. Él les ha dicho que ha obtenido buenas notas y que desea realizar ese paseo mucho familiar. Las entradas dicho parque cuestan para por niño. Y el acceso S/ 30 por adulto y S/ 22 a los juegos está en las entradas. incluido

La madre de ellos, sonriendo, le dice esposo que ambas a su son buenas ideas, él le responde: a lo que Bien, este mes hay muchos familia, parece que en planes. Analicemos responsabilidades qué tenemos pendientes podemos realizar y cómo lo que deseamos. Es así que se sentaron en la mesa y empezaron:

o de atención

E. inclusivo o de atención a la diversidad Valor: Respeto por las diferencias 10

Elaborando el presupuest o familiar

esfuerzos

y repartim os tareas

Enfoque inclusivo

10 diez

Multiplicamos esfuerzos y repartimos tareas 2

diferencias

Cierta playa era habitada simples (sin estrellas). por sneetches con barrigas estrelladas y −Somos la mejor sneetches con raza de sneetches barrigas mezclarnos −decían los con los de barrigas de barrigas simples. estrelladas−. Y cuando uno No podemos con barriga simple se les De pronto, apareció acercaba lo ignoraban o donde los sneetches hombre aún se burlaban más extraño de él. con barrigas que les dijo: simples un carro −Soy Silvester, extraño y en ¿quieren estrellas él un estrella por solo S/ 3 cada una. como las de los barrigas estrelladas? Y los sneetches Amigos, pueden con barrigas tener su sacudió hasta que funcionó. simples comenzaron a pagarle. se sintieron felices. Cuando los La gran máquina barrigas simples sonó, rugió y salieron de ella, Así que fueron se ya tenían estrellas, donde los que y tenían estrellas −Ahora, no pueden desde un inicio excluirnos porque y les dijeron: −¡Dios mío!, somos iguales. −exclamaro −Miren. n los que tenían es quién? estrellas desde un principio. En ese instante −¿Cómo sabremos apareció Silvester quién y astutament −Vengan conmigo e les dijo: y por tan solo estrellas, puesto que ya no están S/ 10 cada uno, mi máquina de moda. remodelado Así lo hicieron ra les quitará y ahora los sneetches esas sin estrellas se Entonces, los sentían los mejores. que se habían puesto las estrellas Otra vez, apareció se enfureciero Silvester y los n. estrellas, y así invitó a pasar fue. Todos comenzaron nuevamente a la máquina a quitárselas A partir de allí, para para estar a la situación removerse las la moda. empeoró. Durante estrellas, una el resto del día y otra vez hasta siguieron poniendo que en un momento y quitándose Y cuando se todos se confundiero dieron cuenta n. que no sabían que los sneetches quién era quien, son solo eso decidieron SNEETCHES y que otra. Se que ninguna olvidaron de clase es mejor las estrellas y aprendieron sin importar si a convivir juntos las tenían o no, y a respetarse quienes son. los unos a los otros siendo

La playa, ¿un buen lugar aprender matemáti para ca?

obtenemos

mejores resultad os

Respeto por las

LOS SNEETCHE S EN

Competencia y capacidades

Resuelve problemas de cantidad

Unidad

Valo res

Prudencia / obediencia/

Tri to, a c

responsabilidad

Argumenta afirmaciones sobre las relaciones numéricas y las operaciones.

Enfoque de derechos

A una legua de las hadas», se la famosa «Colina de hallaba una pequeña aldea, en la que vivían un esposa y su única hija: Trito. cazador, su Trito era la más hermosa de pueblo, pero era insoportable, todas las niñas del muy terca. Al lado se fundó la aldea, fieras y monstruosos del pueblo, había un denso bosque los habitantes genios eran negro. Extrañas prohibieron las criaturas Trito se enteró a cualquier que allí vivían. de hombre que Desde que no volvían jamás; la historia de aquel bosque, se acercara a sus orillas. cómo las personas cómo, de noche, colinas, al mediodía se que iban por y a medianoche oían salir de allí canciones descuido o a se trataba. Sus propósito, de terror padres le prohibieron , se veían espectros con tres cabezas;y ruidos de furia; cómo insistentemen en sus Una mañana, y Trito te acercarse Trito emprendió a aquellos lugares;quiso conocer de qué el camino. Pronto pero hizo caso ¿Dónde se esconden llegó al bosque omiso. y exclamó: los animales bosque? Yo monstruosos he venido sola y los horrendos hoy, únicamente genios que asustan Varias veces, para verlos y Trito la curiosa a la gente en saber quiénes repitió estas leyenda, se este son realmente. colocó un atado palabras. No veía a nadie. de leña en la Entonces, De repente, cabeza para a través de atraer a los espíritus. tal como decía la un torbellino el suelo, surgió de viento que delante levantó todas formular la pregunta de ella un genio las hojas muertas espantoso. Pero y se colocó que estaban el corazón de más leña en en Antes de que Trito no reaccionó. la cabeza para Trito hubiera Volvió a que ver qué dado cinco que tenía la más aparecía. pasos, carga. El genio mucho. Las maligno se había su cuello estuvo a punto lágrimas manchaban de romperse posado en medio de le hundía entre tanto su rostro. Le los resultaba imposiblede la leña sobre su cabeza peso Entonces, desde hombros como arenas y pesaba deshacerse movedizas. Salió el bosque se de la carga. oyó una voz del bosque El cuello se ¡Niña! ¡Niña! corriendo y que cantaba: regresó a la aldea. Lo que tu madre te dice, no lo escuchas. Lo No conoces que tu padre aún la vida, te dice, no lo pero a nadie escuchas. escuchas. Una La gente se quedó aterrorizada desgracia te sucederá! de los espíritus pensando que en a causa de con Trito la curiosa.aquella tierra. La noticia corrió por todo su mala conducta, Trito iba a desatar el pueblo y todos la ira Por fin llegó huían para no a casa. Su padre encontrarse malevolencia se encerró en de los espíritus una habitación, y compromete probablemen Pero su madre r su vida en te para no atraer cada una de mantuvo toda sobre sí la hija. Intrépida, sus cacerías. su entereza, sacrificándose sacó Trito en la cabeza. de su chimenea un ante cualquier cosa para no Se vio salir, entonces, leño ardiendo y lo introdujo carga, aprendiendo perder a su en el atado al genio maligno única así la lección. de leña que volando y la llevaba niña pudo deshacerse de su Trito, la curiosa. Adaptación de Eduardo Artiles León

l

ur io s a

Actividades 1. ¿Cómo describirías a Trito? ¿Qué opinas de su 2. Analiza la actitud? frase que se oyó en el bosque 3. ¿Qué derechos cuando Trito salió de él. tienen los niños? ¿Y, qué deberes?

154 ciento cincuenta

y cuatro

E. de derechos Valor: Prudencia / Responsabilidad 154

Expresión decimal 155 Lectura y escritura de números decimales 157 Comparación y relación de orden de números decimales 159 Aproximación de números decimales 162 Clasificación de números decimales 164 Fracción generatriz de un número decimal 166 Adición y sustracción de números decimales 169 Multiplicación de números decimales 172 División de números decimales 175 ¡Autoevalúate! 179 Razones 181 Proporciones 183 Magnitudes proporcionales 187 Regla de tres simple 191 Regla de tres compuesta 194 Regla del tanto por ciento 196 Sucesiones 201 Progresiones 204 ¡Autoevalúate! 207

1

u j n n o to c n E obtenemos

es resultados r o j e m

Desempeños • Transforma las relaciones entre los datos y condiciones de un conjunto a una expresión numérica que reproduzca las relaciones entre estos. • Expresa su comprensión del sistema de numeración decimal con números hasta seis cifras, así como su valor posicional, con lenguaje numérico y representaciones diversas.

8

ocho

La playa, ¿un buen lugar para aprender matemática? Al regresar a clases y volver a ver a tus compañeros o conocer nuevos amigos, podrás contar lo que has hecho durante las vacaciones. Algunos habrán viajado; otros, estudiado o practicado algún deporte; otros, visitado el campo, etc. Pero, con certeza, muchos de ustedes habrán ido, por lo menos una vez a la playa, al río o a la piscina. En relación a esto, deseo hacerte una pregunta: ¿Es posible encontrar elementos matemáticos en estos lugares? Pues, claro que sí. En ellos y en muchos otros lugares, se encuentran elementos que no solo se pueden cuantificar, sino también clasificar o agrupar. En este caso particular, si observas la imagen entenderás a qué me refiero; por ejemplo: • Conjunto de niños que han ido a la playa. • Grupo de personas que se están dando un chapuzón. • Cantidad de puntos obtenidos por tu equipo. Es decir, al ir a un lugar de paseo, además de disfrutar y pasar un buen momento con la familia o amigos, también pueden emerger los conocimientos matemáticos que ya posees e incluso hacer uso de ellos para resolver situaciones problemáticas que se presenten, o tal vez, descubrir nuevos aprendizajes mientras te diviertes.

Actividades. 1. Comenta con tus compañeros y responde: ¿Qué entendí de la lectura? ¿Es cierto lo que se menciona? 2. Busca las imágenes en la página de adhesivos y completa en el lugar pertinente. 3. Nombra 5 conjuntos (diferentes a los mencionados) que encuentres en la imagen. 4. Elige un lugar que hayas visitado durante tus vacaciones y describe qué conjuntos has apreciado en él. Matemática SIGMA 6 - Aritmética

nueve

9

Valo res

Respeto por las diferencias

Enfoque inclusivo o de atención a la diversidad

NEETCHES S S O L EN LA PLAYA Cierta playa era habitada por sneetches con barrigas estrelladas y sneetches con barrigas simples (sin estrellas). −Somos la mejor raza de sneetches −decían los de barrigas estrelladas−. No podemos mezclarnos con los de barrigas simples. Y cuando uno con barriga simple se les acercaba lo ignoraban o se burlaban de él. De pronto, apareció donde los sneetches con barrigas simples un carro extraño y en él un hombre aún más extraño que les dijo: −Soy Silvester, ¿quieren estrellas como las de los barrigas estrelladas? Amigos, pueden tener su estrella por solo S/ 3 cada una. Y los sneetches con barrigas simples comenzaron a pagarle. La gran máquina sonó, rugió y se sacudió hasta que funcionó. Cuando los barrigas simples salieron de ella, ya tenían estrellas, y se sintieron felices. Así que fueron donde los que tenían estrellas desde un inicio y les dijeron: −Ahora, no pueden excluirnos porque somos iguales. −Miren. −¡Dios mío!, −exclamaron los que tenían estrellas desde un principio. −¿Cómo sabremos quién es quién? En ese instante apareció Silvester y astutamente les dijo: −Vengan conmigo y por tan solo S/ 10 cada uno, mi máquina remodeladora les quitará esas estrellas, puesto que ya no están de moda. Así lo hicieron y ahora los sneetches sin estrellas se sentían los mejores. Entonces, los que se habían puesto las estrellas se enfurecieron. Otra vez, apareció Silvester y los invitó a pasar nuevamente a la máquina para removerse las estrellas, y así fue. Todos comenzaron a quitárselas para estar a la moda. A partir de allí, la situación empeoró. Durante el resto del día siguieron poniendo y quitándose estrellas, una y otra vez hasta que en un momento todos se confundieron. Y cuando se dieron cuenta que no sabían quién era quien, decidieron que los sneetches son solo eso SNEETCHES y que ninguna clase es mejor que otra. Se olvidaron de las estrellas y sin importar si las tenían o no, aprendieron a convivir juntos y a respetarse los unos a los otros siendo quienes son.

Traducción adaptada del libro Sneetches and other stories de Dr. Seuss

Responde. 1. ¿Consideras correcta la actitud que tenían al inicio el conjunto de los sneetches con estrellas? ¿Por qué? 2. ¿Qué opinas de los Sneetches con barrigas simples? ¿y, de Silvester? 3. ¿Qué conjunto encuentras en la lectura?

10 diez

Conjuntos Relaciona

lo que sabes

Alguna vez habrás tenido la oportunidad de visitar un zoológico. De ser así debes haberte percatado que no todos los animales están juntos. Hay una zona en la que están reunidos los animales de la costa, en otra, la colección de animales de la sierra, en otra, el conjunto de animales de la selva, e incluso hay una zona para animales internacionales; es decir, están agrupados de acuerdo a una característica, que en este caso es su ubicación geográfica de origen. Responde. ¿De qué otra forma se puede clasificar a los animales en un zoológico? Descubre

y construye Conjunto

Representación

Determinación

una agrupación de elementos que comparten ciertas características.

Relación de inclusión

Relación de pertenencia

(conjunto – conjunto)

(elemento – conjunto)

Simbólica Entre llaves

Por extensión Por ejemplo:

⊂: Está incluido en

∈: Pertenece a

Gráfica

A = {2; 3; 5}

⊄: No está incluido en

∉: No pertenece a

Diagrama de Venn-Euler Diagrama de Lewis Carroll

1

es

Por comprensión Por ejemplo: A = {x / x ∈ ∧ x es primo menor que 7}

Determina por extensión el conjunto

2

Determina por comprensión el conjunto

S = {2m – 1 / m ∈ N ∧ 9 < m < 12}.

P = {0; 5; 10; 20;...}.

Resolución:

Resolución:

1.° Escribe los valores de m: 10 y 11

Observa que todos los elementos son múltiplos de 5, entonces:

2.° Reemplaza los valores de m en 2m – 1.

Si x = 0

→ 5(0) = 0

Si x = 1

→ 5(1) = 5

Si x = 2

→ 5(2) = 10

3.° Determina por extensión el conjunto.

Si x = 3

→ 5(3) = 15



Rpta. P = {x / x ∈ N ∧ x = 5 }.

= 10 → 2(10) – 1 = 19 m = 11 → 2(11) – 1 = 21 m

S = {19; 21}

Matemática SIGMA 6 - Aritmética

once

11

3 Determina cada conjunto por extensión y ubica los elementos en el diagrama.

6

A = {x + 1/ x ∈ N ; 0 ≤ x < 9}

Dado el conjunto P = {5; 7; 9; {15}; 18}, indica V si la expresión es verdadera o F si es falsa. a) {15} ∈ P

V

A = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9}

b) {18} ∉ P

V

B = {4x + 1/ x ∈ N ; 0 ≤ x ≤ 2}

c) 15 ∈ P

F

x=

d) {9} ∈ P

F

x=

0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8

0; 1; 2

B = {1; 5; 9}

7

C = {3x + 2 / x ∈ N ; 0 < x < 4} x=

1; 2; 3

Observa el diagrama y determina qué expresiones son verdaderas. A

C = {5; 8; 11} A •3 •6 •7 •2

C

B •4 •9

• 6

•1

• 7

B • 3 • 4 • 1 • 8

C

• {2}

•11

•5

• 5

•8

a) {5} ⊂ A b) {3; 4} ⊂ B

4 Sean los conjuntos:

c) φ ⊂ C

A = {2; 3; {5}; 8; 9},

V V



V



B = {6; 7; 10}

d) {6; 1} ⊂ A

F

Completa con ∈ o ∉.

e) {{2}} ⊂ C

V

f) {1} ⊂ A, B y C

V

a) 2 ∈ A b) 6 ∈ B c) {5} ∈ A d) 7 ∈ B

{5} pertenece al conjunto A porque este elemento aparece tal cual dentro del conjunto.

• El conjunto vacío (f) está incluido en todo conjunto. • Si un elemento se encierra entre llaves queda incluido en el conjunto.

e) {6} ∉ B 8

f) {2} ∉ A

Escribe verdadero V o falso F. Argumenta. T

g) φ ∉ B

V Z

5 Determina el conjunto B por extensión.

• 9

• 2

• 4

• 7

B = {x2 + 3 / x ∈ N ∧ 5 < x ≤ 9} Resolución: x

=6

62 + 3 = 39

x

= 7

72 + 3 = 52

x

= 8

82

x

= 9

92 + 3 = 84

+ 3 = 67

Rpta. B = {39; 52; 67; 84} 12 doce

a) T = {x / x es una cifra de 9942} T = {2; 4; 9}

V

b) V = {x / x ∈ N ∧ 3 < x < 8} V = {4; 5; 6; 7}

F

c) Z = {2x / x ∈ N ∧ 0 < x < 3} Z = {2; 4}

V

Practica

3

lo aprendido

A

Nivel 1

Observa los conjuntos y escribe ∈, ∉, ⊂ o ⊄. B

• 8 • 9

Determina por extensión cada conjunto.

x

• 4

• 2

D

• 1 • 3

=

A= {

a) E c) D e) φ

}

b) P = {x – 1 / x ∈ N ∧ 3 ≤ x ≤ 9} x

• 6

• 5

• 7

a) A = {x + 2 / x ∈ N ∧ 8 < x ≤ 14}

E

4

=

P= {

}

A A E

b) B d) 2 f) 5

A E B

Busca en la página de adhesivos y pega al lado de la determinación por comprensión correspondiente. a) E = {2; 3; 4; 5; 6}

c) E = {x2 – 1 / x ∈ N ; 5 ≤ x < 8} x

E = {x + 1 / x ∈ N ; 1 < x < 6}

=

E= { d) M = { impar} x

x+

5

2

b) G = {1; 8; 27; 64}

/ x ∈ N ; 2 ≤ x ≤ 9 ; x es

G = {x3 / x ∈ N ; 0 < x ≤ 4}

=

E= {

2

E = {x + 2 / x ∈ N; 0 ≤ x < 5}

}

G = {x + 3 / x ∈ N; 1 ≤ x < 61}

}

Determina por extensión y comprensión cada conjunto. B

A

• 5 • 2

• 3 • 1

• 4

• 9 • 6

C • 8

5

que

¿Cuál de los niños ha determinado correctamente por extensión el conjunto A = {3x + 1 / x ∈ N ; 5 < x ≤ 10}?

• 10

A = {16; 19; 23; 25; 28; 31}

• 7

A = {19; 22; 25; 28; 31}

A={

}

A={

}

B ={

}

B ={

}

C={

}

C={

}

Matemática SIGMA 6 - Aritmética

Pinta el círculo de la alternativa corresponde a la respuesta.

A = {19; 22; 25; 28} Flor

Sandra

Marcos

A Flor

B Sandra

C Marcos

D Ninguno

trece

13

Pinta el círculo de la alternativa que corresponde a la respuesta.

Nivel 6

Nivel

Dado el siguiente diagrama. U

B

A

D

C

E

A 3

Se afirma lo siguiente: I. A ⊂ U

II. D ⊂ B

B 4

III. E ⊄ C

IV. B ⊄ D

C 5

V. B ⊂ U

VI. D ⊄ A

D 6

¿Cuántas de las expresiones anteriores son verdaderas?

7

10 Paola quiere regalar algunos de sus globos. 9 Si ella regalara los 27 globos que tengan los 3 elementos de 39 45 28 L = {6x – 9 / x ∈ N ; 2 < x ≤ 8}, 15 ¿con cuántos globos 33 21 se quedará Paola? 40

A 6

B 5

C 4

D 3

11 Si L = {x2 + 3 / x ∈ N ∧ x + 4 ≤ 6}, encuentra la suma de elementos de L. (0 ∈ N)

2

Dado: F = {3x – 5 / x ∈ N; 2 ≤ x ≤ 4} Si se determina por extensión es, ¿a qué expresión corresponde? A F = {6; 7; 9} B F = {7; 21; 48}

8

C F = {7; 22; 48}

A 5

B 9

D F = {7; 22; 43}

C 12

D 14

Determina por comprensión el conjunto P. P = {7; 9; 11; 13}. A P = {2x / x ∈ N ; 3 ≤ x ≤ 6} B P = {2x + 1 / x ∈ N ; 3 < x < 7} C P = {2x + 1 / x ∈ N ; 2 < x ≤ 6}

12 Dados: A={

7x – 1 / x ∈ N ; 5 ≤ x ≤ 11 ; x es impar} 2

B = {x3 – 2 / x ∈ N ∧ 2 ≤ x < 5} Halla la suma de los elementos de A y B.

D P = {3x – 1 / x ∈ N ; 3 ≤ x ≤ 6}

9

Si M = {x + 3 / x ∈ N ∧ 2 < x ≤ 9}, ¿qué expresión es correcta? A φ∈M B {12} ∈ M

14

C {6} ⊂ M

A 110

B 93

D 10 ⊂ M

C 203

D 17

catorce

Cardinal de un conjunto Relaciona

lo que sabes Correo

Juana revisa su correo electrónico y observa la siguiente información en la ventana principal. a) ¿Cuántos elementos tiene el conjunto de correos de la bandeja de entrada?

3

b) ¿Cuántos elementos tiene el conjunto de correos eliminados? Descubre

y construye njunto A

Es la cantidad de elementos no repetidos del conjunto A. Se representa con n(A) y se lee cardinal del conjunto A.

Cardinal del co

1

Determina cada conjunto por extensión y halla su cardinal. A

B •8

•6

• 11

•5

•7

•1

E • 12

Escribe el cardinal del conjunto A = {15; 17; 24 – 1; 3 × 5; (9 × 2) – 1}. Resolución:

D

A = {15; 17; 16 – 1; 15; 18 – 1}

•2

•4

•0

2

A = {15; 17} → n (A) = 2 3

•3

Encuentra el cardinal de 5x – 1 / x ∈ N ; 6 < x < 13 ; x es impar}. 2 Resolución: M={

C

x

= 7; 9; 11

M = {17; 22; 27} → n(M) = 3 a) A = {1; 2; 3; 4; 8; 11}

n(A) = 6

b) B = {1; 5; 6; 7}

n(B) = 4

4

Si A = { x / x es un divisor de 36} y B = { 3x – 5 / x ∈ N ; 3 ≤ x < 7} ; y además n(A) = P y n(B) = Q. Calcula el valor de PQ + 6

c) C = {0; 1; 4; 5}

Resolución:



A = {1; 2; 3; 4; 6; 9; 12; 18; 36}

n(C) = 4

d) D = {2}

n(D) = 1

e) E = {0; 12}

n(E) = 2

Matemática SIGMA 6 - Aritmética

n(A) = 9 →

P=9

B = {4; 7; 10; 13} n(B) = 4

→

Q=4

Entonces: PQ + 6 =

94 + 6 =

100 = 10 quince

15

Practica

Pinta el círculo de la alternativa corresponde a la respuesta.

lo aprendido

Nivel 1

Nivel

Dados los conjuntos, halla lo indicado. +

a) n(P) + n(Q) + n(R) =

+

4

• e • i

A 5

• c • a

• t

B

Q

• j

• f

D 8

• z

5 b) n(M) + n(Q) – n(P) =

+

Q

• 5

–

=

• 2

A 25

• 1 • 10 • 4

• 3 • 6

Si el cardinal del conjunto M es 7, encuentra el valor de b2. M = {x / x ∈ N ∧ 2 < x ≤ b}

M

• 8

6

C 7

• d • b

• m • g • h

Calcula el cardinal del conjunto P. P = {x – 2/ x ∈ N; 2 ≤ x < 8}

=

P R

que

• 12

• 11

P

B 36 C 81

• 7

D 169

• 9

Nivel 2

Determina el cardinal de cada conjunto.

6

a) A = {8; 32 – 1; 69; 43 + 5}

Dados: A = {x / x N; x es par; 3 < x < 15} y B = {x / x N; x es múltiplo de 4; 3 < x < 17} Si n(A) = a y n(B) = b, halla el valor de a + b.

n(A) =

b) E = {x / x es una vocal de la palabra almohadilla} 3

n(E) =

Completa el diagrama con los números: 3; 4; 5; 6; 7; 8, sabiendo que n(A) = 5; n(B) = 4 y ; n(E) = 5. A

B

7

A 10

B 13

C 15

D 17 3

2

Dados: M = {3 ; 5 + 2; 27} y N = {1; 3; 1; 2} 2

Si n(M) = a y n (N) = b, halla el valor de, ab .

• 2 • 1 • 10

E 16

dieciséis

A 144

B 196

C 169

D 225

Clases de conjuntos y conjuntos especiales Relaciona

lo que sabes Juan Manuel

Juan Manuel Hernández Romero

Luego de observar, responde. a) ¿El conjunto «agregados recientemente» es unitario o vacío? b) ¿El conjunto «seguidores» es unitario o vacío? Descubre

y construye ciales

Conjuntos espe untos

Clases de conj

Finito

Infinito

1

Es posible determinar su cardinal. El proceso de contar sus elementos no tiene fin.

¿Cuáles son conjuntos vacíos?

Tiene un solo elemento.

Unitario

No tiene elementos.

Vacío (f) Universal (U)

2

Incluye otros conjuntos.

Determina por extensión y completa.

A = {m – 1 / m ∈ N ∧ 2 < m < 3}

a) D = { x + 2 / x ∈ N; x ≤ 5}

B = {x / x ∈ N ∧ 2 < x < 5}



x

Resolución: • A = { } No existe un número natural mayor que 2 y menor que 3, entonces el conjunto es vacío.



D = {2; 3; 4; 5; 6; 7}



Es un conjunto finito

• B = {3; 4} Tiene dos elementos. Rpta. Solo A es vacío. Matemática SIGMA 6 - Aritmética

= 0; 1; 2; 3; 4; 5

.

b) S = {3x + 1/ x ∈ N; x > 8}

x

= 9; 10; 11; 12;...



S = {28; 31; 34; 37;...}



Es un conjunto infinito . diecisiete

17

3

lo aprendido

I. A = {x / x ∈ N; 3 < x < 4}

Pinta el círculo de la alternativa corresponde a la respuesta.

II. D = {x / x ∈ N; 7 < x < 9}

Nivel

III. H = {x / x ∈ N; 8 < x < 10} IV. P = {x / x ∈ N; 9 < x < 10}

1

que

Si D = {x / x ∈ ; 4x + 2 = 34}, entonces D es un conjunto:

Resolución:

A unitario

A={} D = {8} H = {9} P={}

B vacío C finito D infinito

Rpta. A y P son conjuntos vacíos. 4

Practica

¿Cuáles de los siguientes son conjuntos vacíos?

2

¿Cuáles son conjuntos unitarios?

¿Cuál es un conjunto unitario? A

A = {x / x ∈ N; 2 < x < 3}

I. G = {x + 5 / x ∈ N; 0 < x < 3}

B

B = {x / x ∈ N; 1 ≤ x < 2}

II. H = {x + 8 / x ∈ N; 9 < x < 9,6}

C C = {x / x ∈ N; 4 ≤ x < 6}

III. I = {x2 / x ∈ N; 7 < x < 10}

D

IV. J = {x / x ∈ N; 5 < x < 6,5} Resolución:

3

D = {x / x ∈ N; 0 < x ≤ 2}

Sea el diagrama. • 6

G = {6; 7} H = { } I = {64; 81} J = {6}

I

• 4

• 3 H • 2 • 5 • 7

• 12

U J

• 9

Rpta. Solo J es unitario. 5

¿Qué expresión es falsa?

Dados los conjuntos unitarios:

A J es un conjunto vacío.

A = {3b – 3; 9} y

B H es un conjunto unitario.

B = {2a – 11; 3} ; si A y B son unitarios, halla el valor de 2(a – b)2.

C I es un conjunto infinito. D U es un conjunto universal.

Resolución: Si A es unitario: 3b – 3 = 9 3b = 12 →

4 b=4

I. J = {x + 5 / x ∈ N; 12 < x < 13}

Si B es unitario:

II. L = {x – 1 / x ∈ N; 0 ≤ x ≤ 1}

2a – 11 = 3 2a = 14 →

III. U = {2x / x ∈ N; 15 < x < 17; x es impar}

a=7

Entonces: 2(a – b)2 = 2(7 – 4)2 = 2 × 32 = 18 18

¿Cuántos de los siguientes son conjuntos vacíos?

dieciocho

IV. B = {x / x ∈ N; 21 ≤ x ≤ 23; x es par} A 1

B 2

C 3

D 4

Nivel 5

Nivel

Si el conjunto P es vacío, ¿cuál es el valor de m? P = {3x / x ∈ N ∧ 2 < x < m}

6

A 5

B 4

C 3

D 2

Si el conjunto H es unitario, ¿cuál es el valor de y? H = {x + 1/ x ∈ N ∧ 5 ≤ x < y}

7

8

A 5

B 6

C 7

D 8

Si G = {5x – 8 / x ∈ N; 9 ≤ x ≤ 10}, entonces G es un conjunto:

A vacío

B finito

C unitario

D infinito

Si P = {2x + 1 / x ∈ N; x ≥ 7; x es par}, entonces P es un conjunto:

9 Si F es un conjunto unitario, calcula (x + 4)(y – 2). F = {12; x + 9; 16 – y}

A 4

B 16

C 36

D 49

10 Dados: A = {23; 8; 3 + 5}; B = {x / x ∈ N; x < 0} y C = {x / x ∈ N ; 7< x 8}. ¿Cuántos son conjuntos unitarios?

A 0

B 2

C 1

D 3 a

c

11 Dados: A = {2 ; 32; 4b} y B = { 38; 6 + 2} Si A y B son unitarios, halla al valor de 3

(b – a + c) .

A 125

B 64

C 512

D 216

12 Si (b2 – 21) ∈ N y M es un conjunto vacío, encuentra el valor de b. M = {x / x ∈ N ∧ 3 < x < b2 – 21}

A vacío

B unitario

A 5

B 6

C finito

D infinito

C 7

D 8

Matemática SIGMA 6 - Aritmética

diecinueve

19

Conjuntos iguales y conjunto potencia Relaciona

lo que sabes F

P

S

E

Ingredientes: papaya, piña, plátano, manzana, fresa, miel, jugo de naranja.

Jugo surtido especial Ingredientes: papaya, plátano, piña, fresa, leche, miel, manzana, vainilla, huevo.

Jugo surtido Jugo de fresa Ingredientes: fresa, leche, miel.

Jugo de piña Ingredientes: piña, jugo de naranja, miel.

a) ¿Si tengo los ingredientes del jugo surtido, podré preparar el jugo de fresa? ¿Por qué? b) ¿Si tengo los ingredientes del jugo surtido, podré preparar el jugo de piña? Argumenta. c) ¿Si tengo los ingredientes del jugo surtido especial, podré preparar el jugo de fresa? Justifica. Descubre

y construye les

Conjuntos igua

A = {x / x es una letra de la palabra roma} → A = {r,o,m,a}

Ejemplo

1

Son conjuntos que poseen los mismos elementos.

B = {x / x es una letra de la palabra amor} → B = {a,m,o,r}

Si H y F son conjuntos iguales, halla el valor de (a + b). H=

{a2;

12}

F = {25; b} Resolución: Si H y F son conjuntos iguales deben tener los mismos elementos. Además: 25 ≠ 12 → a2 = 25 y 12 = b Resolviendo las ecuaciones, tenemos:

a2 = 25 a = a =

25 5

Luego: a + b = 5 + 12 = 17 20

veinte

2

Luego: A y B son conjuntos iguales.

¿Qué pares de conjuntos son iguales? S = {2; 4; 6; 8; 10} W = {4; 6; 8; 10} A = {2; 3; 5; 7; 11; 13} P = {y / y ∈ N ∧ y es número primo menor que 12} O = {x / x ∈ N ∧ x = 2; 0 < x < 12} Y = {2x / x ∈ N ∧ 2 ≤ x < 6} Resolución: P = {2; 3; 5; 7; 11} O = {2; 4; 6; 8; 10} Y = {4; 6; 8; 10} Rpta. Los conjuntos S y O son iguales. Los conjuntos W e Y son iguales.

Practica

ncia Conjuntos pote

lo aprendido

Nivel El P(A) o conjunto potencia de A está formado por todos los subconjuntos de A.

1

Escribe los elementos del potencia en cada caso.

conjunto

a) M = {4; 9}

P(M) = {

Ejemplo:

}

Sea el conjunto A = {2; 3; 5} Su conjunto potencia es:

b) R = {f; 1; 3}

P(A) = {f; {2}; {3}; {5}; {2; 3}; {2; 5}; {3; 5}; {2; 3; 5}}



P(R) = { }

n[P(A)] = 8 En general, para calcular el número de subconjuntos de un conjunto se aplica: n(A) = x →

3

c) C = {x / x es una letra de la palabra ave}

n[P(A)] = 2x



C = {



P(C) = {

}

}

Observa el diagrama y calcula lo indicado. d) O = {x / x es un divisor de 25}

D

A

E

B •3

•2

•8 •6

C



O = {



P(O) = {

}

• 12 • 10

•5

a) n[P(A)] = 24 = 16 b) n[P(B)] = 23 = 8 c) n[P(C)] = 22 = 4

}

Pinta el círculo de la alternativa corresponde a la respuesta. 2

que

Si los conjuntos J y E son iguales, halla el valor de a2. J = {10; 12;14}

4

Un conjunto posee 32 subconjuntos. Determina el cardinal de dicho conjunto.

E = {2a; 32 + 1; 24 – 2}

Resolución: n[P(A)] = 32 = 2 5 n(A) = 5 Rpta. El cardinal del conjunto o número de elementos del conjunto es 5. Matemática SIGMA 6 - Aritmética

A 6

B 12

C 24

D 36

veintiuno

21

Pinta el círculo de la alternativa que corresponde a la respuesta.

Nivel 3

Nivel

Determina el número de elementos del conjunto potencia de B = {3; 7; 11; 15; 11; 23}.

7

Dados: P = {53; 7x – 5} y Q = {2y + 15; 16} 2

Si P = Q, encuentra el valor de (y – x) .

4

A 64

B 16

C 128

D 32

Calcula el cardinal del conjunto potencia de H.

8



A 256

B 144

C 196

D 269

Si n[P(B)] = 512, determina el valor de n(B).

H = {x / x ∈ N ∧ 2 < x ≤ 9}

A 128

B 64

C 256

D 512

9 5

6

Si el número de elementos del conjunto potencia de F es 16, ¿cuántos elementos tiene F?

A 12

B 11

C 9

D 4

Dado G = {x / x es divisor de 16}, calcula el valor de n[P(G)].

A 16

B 2

A 14

B 16

C 3

D 4

C 32

D 64

Dados: A = {2x

5; 32} y B = {17; 7y + 4}. 2

10 Si n[P(A)] = 4096, halla el valor de n(A).

Si A y B son iguales, halla el valor de (x + y) .

22



A 256

B 144

A 10

B 11

C 225

D 625

C 12

D 14

veintidós

Unión e intersección de conjuntos Relaciona

lo que sabes

La profesora Meylin ha organizado en equipos a sus alumnos para que participen en una actuación. Los del grupo A: Camila, Lucía, Sandra, Javier y Arón, dramatizarán Edipo Rey. El grupo B: Rosa, Pedro, Sandra, Aarón y Moisés, entonarán la canción Yellow submarine. Responde. a) ¿Quiénes participarán en la actuación? b) ¿Qué alumnos participarán en los dos números artísticos mencionados? Descubre

y construye tos

Gráficamente

Unión de conjun

A ∪ B se lee A unión B y está formado por todos los elementos de A y todos los elementos de B.

conjuntos

Gráficamente

Intersección de

A ∩ B se lee A intersección B y está formado por todos los elementos comunes de ambos conjuntos.

1

En conjuntos no disjuntos A

B

En conjuntos disjuntos A

A

B

B

A∪B

A∪B

A∪B=A

En conjuntos no disjuntos

En conjuntos disjuntos

Cuando uno incluye al otro

A

B

A

A∩B

2

Sean los conjuntos:

Cuando uno incluye al otro

A

B

B

A∩B

A∩B=B

Dados:

B = { 2; 3; 5; 7}. Grafica y halla n(A ∪ B).

L = {x / x es un año dígito del año en que se fundó Lima}

Resolución:

Grafica y halla P ∩ L.

A = {x / x ∈ N ; 0 ≤ x ≤ 10, x es impar}

A

1

3

9

7

B 5

2

A ∪ B = {1; 2; 3; 5; 7; 9} → n(A ∪ B) = 6 Matemática SIGMA 6 - Aritmética

P = {x / x ∈ N, 0 < x < 10; x es impar} Resolución:

P 7

9

5

1

3

L

P ∩ L = {1; 3; 5} veintitrés

23

3

Practica

Si P = {1; 4}; Q = {2; 4; 6; 7} y

R = {x / x ∈ N ; 2 < x < 5}, ¿cuántos elementos tiene P ∩ Q ∩ R?

Resolución:

lo aprendido

Pinta el círculo de la alternativa corresponde a la respuesta.

Nivel

1.° Determina R por extensión.

1

R = {3; 4}

halla n(P ∪ Q).

Q

2 1

6 4

7

3 R

2

3.° Halla el cardinal. n(P ∩ Q ∩ R) = 1 4

Si P = {x2 / x ∈ N, 0 < x < 4} y Q = {x – 6 / x ∈ N; 7 ≤ x ≤ 15},

2.° Grafica y pinta P ∩ Q ∩ R. P

A 3

B 5

C 7

D 9

Siendo D = {x / x es un dígito del número 2892} y F = {x + 3 / x ∈ N ; 3 < x < 8}, encuentra D ∩ F.

¿A qué operación corresponde la región sombreada? A

B

3

A {8; 9}

B {7; 8}

C {6; 9}

D {2; 10}

Si P = {2; 5} y Q = {1; 2; 5}, ¿qué gráfico representa P ∪ Q?

C

P

Rpta. (A ∩ B) ∪ C 5

A

s

a

m

p z q

n

P

C

Q

D

P

l o

t

c r

4

Dados: A = {2x – 1 / x ∈ N ; 1 ≤ x < 4}

Determina por extensión.

B = {1; 4; 5; 7}

a) M ∪ Q = {a, c, l, m, n, o, r, s, q, z}

Elige la expresión correcta.

b) N ∩ Q = {o}

A A ∪ B = {1; 3; 4}

c) Q ∩ M = { }

B

d) M ∩ N ∩ Q = f

C A ∩ B = {1; 4}

e) (M ∪ Q) ∩ N = {o, q, z}

D A ∩ B = {1; 5}

veinticuatro

Q

B

Q N

P

Q

Dado el diagrama: M

24

que

A ∪ B = {1; 4; 7}

Q

Nivel 5

Nivel 9

Si: F = {x / x es letra de la palabra ciclismo} H = {p, a, r, e, n, t}

Si J = {x / x ∈ N ^ 8 < x ≤ 12} y

K = {x + 2 / x ∈ N ^ 10 ≤ x < 15};

halla n[J ∩ K].

J = {m, o, t, c, r, s} Encuentra el cardinal de F ∪ (J ∩ H).

6

A 2

B 5

C 8

D 10

¿Qué operación representa la región sombreada?

A 1

B 2

C 4

D 64

10 Sean los conjuntos: A M∪P∩N B (M ∪ P) ∪ N

P

M N

C (M ∩ P) ∪ (N ∩ M)

S = {x + 5/x ∈ N; 7 < x ≤ 13} Q = {2x + 3/x ∈ N; 4 ≤ x < 10} Halla n(S ∪ Q) – n(S ∩ Q).

D (M ∪ N) ∩ (P ∩ M)

7

8

Dados A = {2; 4; 5}, B = {1; 3; 4} y C = {2; 5; 6} determina (A ∪ B) ∩ C.

A {2; 3}

B {2; 5}

C {2; 6}

D {5; 6}

Dados: M = {2x + 3 / x ∈ N; 4 x 8} y N = {2x +1 / x ∈ N; 5 x < 11}. Halla el cuadrado de la suma de los elementos de M N.

A 9

B 6

C 5

D 3

11 Si M = {x / x es un número primo, x < 17}; N = {x / x es divisor de 12} y P = {3x / x ∈ N ; 0 < x ≤ 5}. Completa el diagrama y halla a + b + c. M

N

A 5 B 14 A 2408

B 5625

C 12

C 3235

D 16 604

D 17

Matemática SIGMA 6 - Aritmética

P

veinticinco

25

Diferencia de conjuntos Relaciona

lo que sabes

Mariana tiene sobre su mesa figuras de varios colores. Con ellas, quiere formar los conjuntos: P = {x / x es un triángulo que está sobre la mesa} Q = {x / x es una figura geométrica azul} ¿Cuántos elementos corresponden al conjunto de los triángulos sobre la mesa que no son azules? Descubre

y construye njuntos

Diferencia de co

En conjuntos no disjuntos A – B se lee A menos B y está formado por todos los elementos de A que no pertenecen a B.

A

B

A

Sean los conjuntos A = {2; 6; 7; 8},

A–B

A–B

D • 5

a) A – B A

• 3 • 7 • 8

• 6

• 8 • 6

D – B = {2; 6} d) D – E D

b) A – D D • 2 • 6 • 8

A – D = {7}

• 9

• 2

• 9

A – B = {2; 6}

A

• 7

B • 5

B–A=f

B • 3

• 2

A B

c) D – B

halla:

veintiséis

A

B

B = {3; 5; 7; 8; 9}, D = {2; 6; 8} y E = {1; 4; 7};

26

Cuando uno incluye al otro B

A–B

1

En conjuntos disjuntos

• 7

E • 2

• 1

• 6

• 4

• 8

• 7

D – E = {2; 6; 8} = D

Practica

2 Dados P = {1; 2; 3; 4; 9}, Q = {1; 3; 5; 8}, R = {2; 3; 5; 6; 9}; halla:

lo aprendido

Nivel

a) P – (Q ∪ R) Q

P •4

•1

•9 •2

1

Sean F = {x / x ∈ N ∧ 2 < x ≤ 6} L = {3; 6; 9; 12}; P = {1; 2; 3; 5; 9}

•8

•3

Halla y completa cada gráfico.

•5

a) F – L = {

•6



}

R

L

F

P – (Q ∪ R) = {4} b) Q – (P ∪ R) P

Q •4

•1

•9 •2

•8

•3 •5

b) L – P = {

•6



}

L

R

P

Q – (P ∪ R)= {8} c) P – (Q ∩ R) P

Q •4

•1

•9 •2

•8

•3

c) F – P = {

•5 •6



} F

P

R

P – (Q ∩ R)= {1; 2; 4; 9} 3 ¿Qué operación representa el área sombreada? Pinta el círculo de la alternativa que corresponde a la respuesta. W

}

d) (F ∪ L) – P = {

P

L

F

M A W – (P ∪ M)

B P – (W ∩ M)

C W – (P – M)

D P – (W – M)

Matemática SIGMA 6 - Aritmética

P veintisiete

27

Pinta el círculo de la alternativa que corresponde a la respuesta.

Nivel 2

Nivel

Si A = {k, l, m, o}; B = {k, m, o} y C = {o, p, q}, halla C – (B – A).

6

Dados: P = {x/x ∈ N; x es múltiplo de 4; 0 < x Q = {x/x ∈ N; x es múltiplo de 8; 8 R = {x/x ∈ N; x es par; 16

x

x

20}; < 32}

22}.

Halla [(P ∩ Q) – R] ∪ [R – (P ∪ Q)].

3

A {l, n}

B {k, l}

C {o, p, q}

D {n}

Si P = {0; 2; 8; 9}; Q = {1; 2; 3; 4} y R = {2; 8; 5}, halla (P – Q) – R.

7

4

A {0}

B {2; 3}

C {4}

D {0; 9}

A {8; 16; 20}

B {8; 16; 22}

C {4; 16; 22}

D {8; 18; 22}

Dados: J = {x/x ∈ N; 1 ≤ x < 6}; K = {6; 7; 8; 9} y L = {x/x ∈ N; x es múltiplo de 2; 2 ≤ x ≤ 12}. 2 Si n[(J ∪ K) – L] = m, halla el valor de (m + 3) .

Dados los conjuntos: F = {x / x es un divisor de 30} J = {x / x es un divisor de 15} Determina el valor de n(F – J).

5

28

A 0

B 3

C 2

D 4

8

A 125

B 49

C 64

D 81

Dados: A = {2; 3; 4; 5; 6}, B = {3; 6; 9; 12; 15} y C = {x / x ∈ N; x es múltiplo de 2 ; 2 < x ≤ 18}. Encuentra el valor de n[C – (A ∪ B)].

La operación que representa la parte pintada es: R A

(R

B

(P ∪ R)

C

(R

Q) ∪ (P

R)

A 5

B 6

D

(R

P) ∩ (P ∩ Q)

C 3

D 4

veintiocho

Q) ∪ P

Q P

Q

Diferencia simétrica de conjuntos Relaciona

lo que sabes Se recolectaron fotografías de alumnos con sus mascotas con motivo del Día de las mascotas. Observa y responde.

Rafael Walter

a) ¿Quiénes tienen gatos?

Jorge

b) ¿Quiénes tienen perros? c) ¿Quiénes tienen gato y perro a la vez?

Luciano

d) ¿Quién tiene solo gato o solo perro?

Pablo

Descubre

y construye s

rica de conjunto

Diferencia simét

En conjuntos no disjuntos

1

Gráficamente

A D B se lee A diferencia simétrica B y está formado por los elementos que pertenecen solo a A y solo a B, pero no a ambos a la vez.

A

B

A

ADB

B

A

2

Dados: J = {2; 3; 5; 9; 17; 33} Resolución: J •9

•5 •9

ADB

K = {2; 3; 5; 8; 12; 17; 23}. Halla J

B •8

•7

• 33

•2 •3 •5 • 17

• 10

•8

K.

K

• 12 • 23

J D K = {8; 9; 12; 23; 33}

A ∆ B = {2; 5; 7; 8; 10} 3

¿Qué operación representa el gráfico?

B

B

A

•8

A

ADB

a) A ∆ B •2

Cuando uno incluye al otro B

Sean: A = {2; 7; 9}, B = {5; 8; 9; 10} y C = {5; 9; 10}; halla lo que se indica.

b) B ∆ C

En conjuntos disjuntos

C

C •9

•5 • 10

B ∆ C = {8} Matemática SIGMA 6 - Aritmética

Rpta. (A

C)

B veintinueve

29

Practica

Nivel

lo aprendido

Pinta el círculo de la alternativa que corresponde a la respuesta.

5

Nivel 1

Completa. Dados: V = {2x + 3 / x ∈ N; 3 < x < 7} y W = {x2 – 2 / x ∈ N; 3 x 6}. Halla la suma de todos los elementos de V W.

Sean A = {a, b, c, d} y B = {b, c, e, f, g}; halla n(A Δ B). A

A 6

B

B 5

A 95

B 107

C 4

C 115

D 213

D 3

6 2

Si P = {o, p, q} y H = {m, n, o, p, q}; ¿qué gráfico representa H Δ P? P

H

P

H

A

Dados: M = {3; 6; 9; 10} y N = {1; 3; 6; 9; 11}. Además, se sabe que M Δ N = {a, b, c} y a < b < c; halla el valor (a + b)2 – c.

B H

P

C

P

H

D

A 120

B 110

C 108

D 100

Nivel 3

4

Si L = {m, q, r, s}; T = {a, b, m, s} y G = {a, q, s}; halla (L Δ T) Δ G.

A {a, b, s}

B {a, s, m}

C {b, r, s}

D {b, r}

Si P = {2; 4; 6}; R = {1; 3; 4; 6; 7} y Q = {x / x N 2 < x 8}. Halla n[(P Δ Q) Δ R].

30

7

Si A = {3; 9; 10}; B = {1; 3; 5; 6} y C = {2; 3; 5; 9}; halla n[(A Δ B) Δ C].

8

A 2

B 3

C 4

D 5

Dados: K = {1; 2; 3; 4; 5; 6}, L = {5; 6; 7; 8; 9} y M = {x / x es un divisor de 27}. Halla (K

L) ∩ M.

A 5

B 6

A {1; 3; 9; 27}

B {1; 3; 5}

C 7

D 8

C {1; 2; 3; 27}

D {1; 3; 9}

treinta

Complemento de un conjunto Relaciona

lo que sabes

A partir de la imagen se definen los conjuntos: U = Conjunto de los objetos que hay en la habitación. A = Conjunto de los objetos que están adheridos a las paredes. Responde. ¿Qué objetos hay en la habitación que no estén adheridos a las paredes?

y construye U

s

rica de conjunto

Diferencia simét

A' se lee complemento del conjunto A y está formado por todos los elementos del conjunto universal que no pertenecen al conjunto de A.

1 Pinta la región que corresponde a la operación. a) (A ∪ B)'

U A

B

2

Gráficamente

Descubre

A

A'

Sean los conjuntos: U = {2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 10; 12; 14}, A = {2; 3; 4; 5; 6} y B = {2; 3; 7; 8}. Representa gráficamente (A ∆ B)'. Resolución: 1.° Grafica.

U A

C

B •4

•10

•7 •5 •2 •3 •8 •6

b) A'

•12 •14

U A

B

2.° Halla A ∆ B.

U

A

B •4

C

c) (A – B)'

U A

•12 •14

3.° Representa (A ∆ B)'.

U

B A

B •4

C Matemática SIGMA 6 - Aritmética

•10

•7 •5 •2 •3 •8 •6

•7 •5 •2 •3 •8 •6

•10 •12 •14

treinta y uno

31

Practica

Pinta el círculo de la alternativa corresponde a la respuesta.

lo aprendido

Nivel

Nivel 1

Dados los conjuntos: U = {x / x ∈N

que

3

0 < x < 13}

Calcula n[(P ∩ Q)’]. A 1

A = {x / x ∈ N 5 < x < 11} B = {3; 4; 5; 6; 7} a) Determina (A ∩ B)’.

B 2

f

C 3

e

Q a

c

b d

D 4

4

P

Se tienen los conjuntos: U = {2; 3; 4; 5; 6; 7} C = {x / x ∈ N ∧ 3 < x < 8}

(A ∩ B)' = {

D = {x + 2 / x ∈ N ∧ 0 ≤ x < 4}

}

Halla el valor de n[(C ∩ D')] + n(D').

b) Calcula (A – B)’.

(A B)' = { 2

A 2

B 3

C 4

D 5

}

Nivel 5

Dado el diagrama, determina.

A 1

U

M P

7

3

2 8

5

Calcula n[(E – C)' – D].

N

B 2

9

C 3

6 4

C

D 2

11

5

13

3 7

D 4

a) [(M ∆ N) ∩ P]’

6

17 19 23 4

E

Dados los conjuntos: A = {2; 3; 5; 7; 9; 11} ; B = {2; 4; 6; 8; 10} y

Rpta. {

}

C = {1; 7; 8; 11; 12}. Determina (A – C)' – B.

b) [(M ∩ N) ∪ P]’

Rpta. { 32

treinta y dos

}

A {4; 6; 10}

B {1; 7; 11; 12}

C {1; 7; 8; 11; 12}

D {3; 5; 9}

¡Autoevalúate! Pinta el círculo de la alternativa que corresponde a la respuesta. 1

Determina por extensión e indica como respuesta el elemento de mayor valor.

4

Determina por comprensión el conjunto R. R = {9; 16; 25; 36; 49}.

N = {3x – 4 / x ∈ N ; 3 ≤ x < 9}

A R = {x2 / x ∈ N ; 3 ≤ x < 8} B R = {x3 / x ∈ N ; 3 ≤ x < 7}

2

A 20

B 17

C R = {3x / x ∈ N ; 3 ≤ x ≤ 7}

C 23

D 8

D R = {x2 / x ∈ N ; 9 ≤ x ≤ 49}

Dados: A = {2x + 3 / x ∈ N; 3 < x < 7} y B = {x2 − 2 / x ∈ N; 3 ≤ x ≤ 6}. Halla la suma de los elementos de A ∪ B.

5

Dado el conjunto: A = {x/x es una vocal de la palabra orquesta} Si n (A) = m, encuentra el valor de (m3 + 1) ÷ 13.

3

A 95

B 117

C 115

D 213

Si A = {2; 5; {7}}, ¿qué expresión es correcta?

6

A 6

B 5

C 7

D 13

Si B es un conjunto unitario, calcula el valor de x + y. B = { x + 4 ; 16 ; y – 3}

A 2 ∉ A

B {7} ∈ A

A 31

B 19

C 5⊂A

D 7∈A

C 12

D 7

Matemática SIGMA 6 - Aritmética

treinta y tres

33

¡Autoevalúate! 7

Determina el valor de x + y, si los conjuntos son iguales.

9

Si A = {x + 9 / x ∈ N ; 5 < x ≤ 10};

F = {2x + 7; 18}

B = {13 ; 17 ; 19 ; 23; 29}.

Halla n[P(A ∩ B)].

G = {13; 3y – 6}

B 11

A 32

B 16

C 9

D 4

C 4

D 64

¿Cuántos subconjuntos tiene el conjunto L?

10

Si L = {x / x ∈ N ∧ 2 < x < 8} y M = {x + 4 / x ∈ N ∧ 1 ≤ x < 3}.

L = { x + 5 / x ∈ N ; 2 ≤ x ≤ 9; x es par}

Halla n(L ∩ M).

A 256

B 16

A 1

B 2

C 64

D 128

C 3

D 4

1. A 2. B 3. B 4. A 5. B 6. A 7. B 8. B 9. C 10. B

¿Qué opina mi compañero?

Claves:

8

A 12

Coevaluación

Intercambia la sección ¡Autoevalúate! Dialoga y compara con él las respuestas.

¿Qué y cómo aprendí? 1. ¿Cómo aprendí a reconocer conjuntos especiales? 2. ¿Cómo aprendí a hallar el conjunto potencia de un conjunto?

34

treinta y cuatro

Metacognición

Situaciones con conjuntos Relaciona

lo que sabes

En la calle San Vicente se observa que 25 personas pintan y 18 dibujan. Si 5 estudiantes dibujan y pintan a la vez, ¿cuántos estudiantes solamente dibujan? Resolución:

P = 25

D = 18 20

5

13

Rpta. 13 estudiantes solo dibujan. Descubre

y construye Para 3 conjuntos

Venn - Euler

U

P

Las situaciones con conjuntos se pueden resolver usando...

Q

a m x

x → pertenece a P, Q y R a la vez. m → pertenece a P y Q pero no a R.

R Lewis Carroll

a → pertenece solo a P.

f

f → no pertenece a P, Q, ni R.

Para conjuntos disjuntos CL SL

varones a c

damas b d

a b c d

→ es un varón con lentes. → es una dama con lentes. → es un varón sin lentes. → es una dama sin lentes.

1 En un aula mixta de 6.° grado hay estudiantes quienes practican y no practican natación. En dicho salón son 40, de los cuales 13 mujeres practican natación, y 12 hombres no practican natación. Si en el salón hay 21 personas que practican natación, ¿cuántas mujeres no practican natación? Resolución: 1.º Elabora el diagrama de Carroll. deporte

género

2.º Calcula el valor pedido.

Mujeres Hombres Total

natación

13

x

21

no natación

y

12

z

Total

m

n

40

Mujeres que no practican natación: y. Entonces, halla z y luego y. z

+ 21 = 40 ; z = 19

y

+ 12 = z y = 19 – 12 y=7

Rpta. 7 mujeres no practican natación. Matemática SIGMA 6 - Aritmética

treinta y cinco

35

2

Se hizo una encuesta a un grupo de estudiantes para saber qué actividades realizan en sus momentos libres y se obtuvo que a 29 les gusta dibujar; a 25, escuchar música y a 27, leer. Además, se sabe que a 10 les gusta dibujar y escuchar música; a 5, escuchar música y leer, y a 8, dibujar y leer. Si a 3 les gustan las tres actividades y a 4, actividades diferentes a las mencionadas, ¿cuántos estudiantes fueron encuestados?

3 En un taller de danza se han inscrito 95 estudiantes de ambos géneros, cuyas edades varían entre 7 y 8 años. Si 38 estudiantes tienen 8 años, 17 niñas tienen 7 años y en total hay 40 niñas, ¿cuántos niños tienen 8 años? Resolución: 1.° Ubica los datos en el diagrama.

Resolución: 1.° Identifica y completa los datos en el diagrama. U 10

D = 29

8

c

3

Niñas

7

17

8

y

Total

40

b

2.° Calcula los valores de a, b y c.

c

+ 3 = 8

=7 b=2 c=5

x

+ a + c + 3 = 29 → x = 14

y

+ a + b + 3 = 25 → y = 13

z

+ b + c + 3 = 27 → z = 17

4.° Determina la respuesta. x+y+z+a+b+c+3+4 44

+

14 +3+4 58 + 7 65

Rpta. Fueron encuestados 65 estudiantes. 36

treinta y seis

40 – 17

y = 23

a

3.° Halla los valores de x, y ∧ z.



95

17 + y = 40 y =

b + 3 = 5

38

5

L = 27

→ → →

x

2.° Halla el valor de y.

4

a + 3 = 10

Total

y

z



Niños

M = 25

a

x

Edad

3.° Reemplaza el valor de y. Edad

Niñas

7

17

8

23

Total

40

Niños

Total

x

38

4.° Encuentra el valor de x. 23 + x = 38 x = 38 – 23 x = 15

Rpta. 15 niños tienen 8 años.

95

Practica

Nivel

lo aprendido

Pinta el círculo de la alternativa corresponde a la respuesta.

Nivel 1

Colorea las zonas según lo indicado. a) L = Personas que beben agua

2

M = Personas que beben jugo L

M

El diagrama representa el consumo de verduras de un grupo de personas. Si cada número representa el cardinal de la zona en que se encuentra, completa. Zanahoria

Coliflor 15 13

a)

b) M = Mamíferos

2

personas no comen brócoli.

b) personas consumen dos o tres verduras.

R = Roedores

c) personas solo consumen una verdura.

U = Animales U 3

R

Mamíferos no roedores Roedores

B 30

c) A = Personas que escuchan radio B = Personas que leen periódicos C = Personas que ven televisión A

En una reunión de 55 médicos se sabe que 26 son pediatras; 22, cirujanos; y, 28, dermatólogos. Además, 5 son pediatras y cirujanos; 11, cirujanos y dermatólogos; y 9, dermatólogos y pediatras. Si 1 tiene las tres especialidades y 3 tienen otras especialidades, ¿cuántos tienen solo una de las especialidades mencionadas? A 29

Animales no mamíferos

B

C

Personas que solo escuchan radio Personas que solo leen periódicos Personas que solo ven televisión Personas que realizan las tres actividades a la vez Matemática SIGMA 6 - Aritmética

20

Brócoli

Personas que beben agua y jugo

M

4 5 30

Personas que solo beben agua Personas que solo beben jugo



que

C 31 D 38

4

A una reunión asistieron 80 personas. Se sabe que 20 caballeros tienen el cabello lacio y 15 damas tienen el cabello ondulado. Si el número de damas con cabello lacio excede en 15 al número de caballeros con cabello ondulado, ¿cuántas damas hay en dicha reunión? A 24 B 42 C 45 D 38

treinta y siete

37

Nivel

8

Pinta el círculo de la alternativa que corresponde a la respuesta. 5

6

7

38

De 120 estudiantes, los que juegan ajedrez son la mitad de los que no lo juegan. Si los niños que juegan son 18 y las niñas que no juegan son 25; ¿cuántos niños son en total?

A 55

B 73

C 47

D 60

En una guardería hay 68 infantes, de 1 y 2 años. Si hay 18 niñas de 1 año, 33 infantes de 2 años y en total hay tantos niños como niñas, ¿cuántas niñas de 2 años hay?

A 16

B 14

C 17

D 20

En una institución educativa trabajan 250 docentes, de las especialidades de Inglés y C.T.A. Si 85 profesoras son de Inglés, 150 docentes entre hombres y mujeres son de C.T.A. y 105 son docentes varones, ¿cuántos profesores varones son de C.T.A.?

9

De 120 estudiantes se sabe que la mitad practica danza, la tercera parte, teatro y la cuarta parte, canto. Además, 12 practican danza y teatro; 8, teatro y canto; y 4, canto y danza pero no teatro. Si 5 practican las tres actividades mencionadas, ¿cuántos no practican ninguna de estas actividades?

A 19

B 15

C 18

D 14

De 45 estudiantes se sabe que 39 hablan quechua; 26, aimara y 15, castellano. Además, 18 hablan quechua y aimara; 2, aimara y castellano pero no quechua, y 11, quechua y castellano. Si 7 hablan los tres idiomas, ¿cuántos estudiantes solo hablan aimara?

A 5

B 4

C 2

D 6

10 De todos los niños y niñas del 6.° grado se sabe que 18 niños practican natación y 13 niños practican ajedrez. Si 30 son las niñas que conforman el aula del 6.° grado, ¿cuántos estudiantes hay en total?

A 85

B 90

A 31

B 53

C 95

D 100

C 60

D 61

treinta y ocho

DECLARACIÓN UNIVERSAL DE LOS DERECHOS HUMANOS El 10 de diciembre de 1948, la Asamblea General de las Naciones Unidas aprobó y proclamó la Declaración Universal de los Derechos Humanos, cuyos artículos figuran a continuación:

Artículo 1.Todos los seres humanos nacen libres e iguales en dignidad y derechos y (...) deben comportarse fraternalmente los unos con los otros. Artículo 2.Toda persona tiene todos los derechos y libertades proclamados en esta Declaración, sin distinción alguna de raza, color, sexo, idioma, religión, opinión política o de cualquier otra índole, origen nacional o social, posición económica, nacimiento o cualquier otra condición. Además, no se hará distinción alguna fundada en la condición política, jurídica o internacional del país o territorio de cuya jurisdicción dependa una persona (...). Artículo 3.Todo individuo tiene derecho a la vida, a la libertad y a la seguridad de su persona. Artículo 4.Nadie estará sometido a esclavitud ni a servidumbre; la esclavitud y la trata de esclavos están prohibidas en todas sus formas. Artículo 5.Nadie será sometido a torturas ni a penas o tratos crueles, inhumanos o degradantes. Artículo 6.Todo ser humano tiene derecho, en todas partes, al reconocimiento de su personalidad jurídica. Artículo 7.Todos son iguales ante la ley y tienen, sin distinción, derecho a igual protección de la ley. Todos tienen derecho a igual protección contra toda discriminación que infrinja esta Declaración (...). Artículo 8.Toda persona tiene derecho a un recurso efectivo, ante los tribunales nacionales competentes, que la ampare contra actos que violen sus derechos fundamentales (...). Artículo 9.Nadie podrá ser arbitrariamente detenido, preso ni desterrado. Artículo 10.Toda persona tiene derecho, en condiciones de plena igualdad, a ser oída públicamente y con justicia por un tribunal independiente e imparcial, para la determinación de sus derechos y obligaciones o para el examen de cualquier acusación contra ella en materia penal. Artículo 11.1. Toda persona acusada de delito tiene derecho a que se presuma su inocencia mientras no se pruebe su culpabilidad (...). 2. Nadie será condenado por actos u omisiones que en el momento de cometerse no fueron delictivos según el Derecho nacional o internacional. Tampoco se impondrá pena más grave que la aplicable en el momento de la comisión del delito. Artículo 12.Nadie será objeto de injerencias arbitrarias en su vida privada, su familia, su domicilio o su correspondencia, ni de ataques a su honra o a su reputación. Toda persona tiene derecho a la protección de la ley contra tales injerencias o ataques. Artículo 13.1. Toda persona tiene derecho a circular libremente y a elegir su residencia en el territorio de un Estado. 2. Toda persona tiene derecho a salir de cualquier país, incluso del propio, y a regresar a su país. Artículo 14.1. En caso de persecución, toda persona tiene derecho a buscar asilo, y a disfrutar de él, en cualquier país. 2. Este derecho no podrá ser invocado contra una acción judicial realmente originada por delitos comunes o por actos opuestos a los propósitos y principios de las Naciones Unidas. Artículo 15.1. Toda persona tiene derecho a una nacionalidad. 2. A nadie se privará arbitrariamente de su nacionalidad ni del derecho a cambiar de nacionalidad. Artículo 16.1. Los hombres y las mujeres, a partir de la edad núbil, tienen derecho, sin restricción alguna por motivos de raza, nacionalidad o religión, a casarse y fundar una familia (...). 2. Solo mediante libre y pleno consentimiento de los futuros esposos podrá contraerse el matrimonio. 3. La familia es el elemento natural y fundamental de la sociedad y tiene derecho a la protección de la sociedad y del Estado. Artículo 17.1. Toda persona tiene derecho a la propiedad, individual y colectivamente. 2. Nadie será privado arbitrariamente de su propiedad. Artículo 18.Toda persona tiene derecho a la libertad de pensamiento, de conciencia y de religión (...). Artículo 19.Todo individuo tiene derecho a la libertad de opinión y de expresión (...). Artículo 20.1. Toda persona tiene derecho a la libertad de reunión y de asociación pacíficas. 2. Nadie podrá ser obligado a pertenecer a una asociación.

Artículo 21.1. Toda persona tiene derecho a participar en el gobierno de su país, directamente o por medio de representantes libremente escogidos. 2. Toda persona tiene el derecho de acceso, en condiciones de igualdad, a las funciones públicas de su país. 3. La voluntad del pueblo es la base de la autoridad del poder público; esta voluntad se expresará mediante elecciones auténticas que habrán de celebrarse periódicamente, por sufragio universal e igual y por voto secreto u otro procedimiento equivalente que garantice la libertad del voto. Artículo 22.Toda persona (...) tiene derecho a la seguridad social, y a obtener, (...) habida cuenta de la organización y los recursos de cada Estado, la satisfacción de los derechos económicos, sociales y culturales, indispensables a su dignidad y al libre desarrollo de su personalidad. Artículo 23.1. Toda persona tiene derecho al trabajo, a la libre elección de su trabajo, a condiciones equitativas y satisfactorias de trabajo y a la protección contra el desempleo. 2. Toda persona tiene derecho, sin discriminación alguna, a igual salario por trabajo igual. 3. Toda persona que trabaja tiene derecho a una remuneración equitativa y satisfactoria, que le asegure, así como a su familia, una existencia conforme a la dignidad humana y que será completada, en caso necesario, por cualesquiera otros medios de protección social. 4. Toda persona tiene derecho a fundar sindicatos y a sindicarse para la defensa de sus intereses. Artículo 24.Toda persona tiene derecho al descanso, al disfrute del tiempo libre, a una limitación razonable de la duración del trabajo y a vacaciones periódicas pagadas. Artículo 25.1. Toda persona tiene derecho a un nivel de vida adecuado que le asegure, así como a su familia, la salud y el bienestar, y en especial la alimentación, el vestido, la vivienda, la asistencia médica y los servicios sociales necesarios; tiene asimismo derecho a los seguros en caso de desempleo, enfermedad, invalidez, viudez, vejez u otros casos de pérdida de sus medios de subsistencia por circunstancias independientes de su voluntad. 2. La maternidad y la infancia tienen derecho a cuidados y asistencia especiales. Todos los niños, nacidos de matrimonio o fuera de matrimonio, tienen derecho a igual protección social. Artículo 26.1. Toda persona tiene derecho a la educación. La educación debe ser gratuita, al menos en lo concerniente a la instrucción elemental y fundamental. La instrucción elemental será obligatoria. La instrucción técnica y profesional habrá de ser generalizada; el acceso a los estudios superiores será igual para todos, en función de los méritos respectivos. 2. La educación tendrá por objeto el pleno desarrollo de la personalidad humana y el fortalecimiento del respeto a los derechos humanos y a las libertades fundamentales; favorecerá la comprensión, la tolerancia y la amistad entre todas las naciones y todos los grupos étnicos o religiosos, y promoverá el desarrollo de las actividades de las Naciones Unidas para el mantenimiento de la paz. 3. Los padres tendrán derecho preferente a escoger el tipo de educación que habrá de darse a sus hijos. Artículo 27.1. Toda persona tiene derecho a tomar parte libremente en la vida cultural de la comunidad, a gozar de las artes y a participar en el progreso científico y en los beneficios que de él resulten. 2. Toda persona tiene derecho a la protección de los intereses morales y materiales que le correspondan por razón de las producciones científicas, literarias o artísticas de que sea autora. Artículo 28.Toda persona tiene derecho a que se establezca un orden social e internacional en el que los derechos y libertades proclamados en esta Declaración se hagan plenamente efectivos. Artículo 29.1. Toda persona tiene deberes respecto a la comunidad (...). 2. En el ejercicio de sus derechos y en el disfrute de sus libertades, toda persona estará solamente sujeta a las limitaciones establecidas por la ley con el único fin de asegurar el reconocimiento y el respeto de los derechos y libertades de los demás, y de satisfacer las justas exigencias de la moral, del orden público y del bienestar general en una sociedad democrática. 3. Estos derechos y libertades no podrán, en ningún caso, ser ejercidos en oposición a los propósitos y principios de las Naciones Unidas. Artículo 30.Nada en esta Declaración podrá interpretarse en el sentido de que confiere derecho alguno al Estado, a un grupo o a una persona, para emprender y desarrollar actividades (...) tendientes a la supresión de cualquiera de los derechos y libertades proclamados en esta Declaración.

Matemática Geometría Nombres: Apellidos: DNI: Dirección:

Institución Educativa:

Correo electrónico:

Método EMAM

Método EMAM

Enrique Matto Muzante

6

Primaria



Título de la obra

® MATEMÁTICA SIGMA 6, primaria Geometría © Derechos de autor reservados y registrados MAURO ENRIQUE MATTO MUZANTE © Derechos de edición, arte y diagramación reservados y registrados conforme a ley DELTA EDITORES S.A.C. EDICIÓN, 2020

Coordinador de área: Mauro Enrique Matto Muzante



Diseño, diagramación y corrección: Delta Editores S.A.C.



Ilustración general: Banco de imágenes Delta Editores S.A.C.

DELTA EDITORES S.A.C. Jr. Pomabamba 325, Breña Tels. 332 6314 332 6667 Correo electrónico: [email protected] www.eactiva.pe

Tiraje: 3700 ejemplares

Impresión: AZA GRAPHIC PERÚ S.A.C. Av. José Leal 257, Lince Lima - Perú Tel. 471 5342

ISBN N.o 978-612-4087-82-0 Proyecto Editorial N.o 31501051900725 Ley N.o 28086 Hecho el Depósito Legal en la Biblioteca Nacional del Perú N.o 2019-09233

PROHIBIDA LA REPRODUCCIÓN TOTAL O PARCIAL LEY DE LUCHA CONTRA LA PIRATERÍA LEY 28289 PUBLICADA EL 20 DE JULIO DE 2004 TÍTULO VII DELITOS CONTRA LOS DERECHOS INTELECTUALES CAPÍTULO I DELITOS CONTRA LOS DERECHOS DE AUTOR Y CONEXOS Reproducción, difusión, distribución y circulación de la obra sin la autorización del autor. Artículo 217.o.- Será reprimido con pena privativa de libertad no menor de dos ni mayor de seis años y con treinta a noventa días-multa, el que con respecto a una obra, una interpretación o ejecución artística, un fonograma o una emisión o transmisión de radiodifusión, o una grabación audiovisual o una imagen fotográfica expresada en cualquier forma, realiza alguno de los siguientes actos sin la autorización previa y escrita del autor o titular de los derechos: a. La modifique total o parcialmente. b. La distribuya mediante venta, alquiler o préstamo público. c. La comunique o difunda públicamente por cualquiera de los medios o procedimientos reservados al titular del respectivo derecho. d. La reproduzca, distribuya o comunique en mayor número que el autorizado por escrito. La pena será no menor de cuatro años ni mayor de ocho y con sesenta a ciento veinte días-multa, cuando el agente la reproduzca total o parcialmente, por cualquier medio o procedimiento y si la distribución se realiza mediante venta, alquiler o préstamo al público u otra forma de transferencia de la posesión del soporte que contiene la obra o producción que supere las dos (2) Unidades Impositivas Tributarias, en forma fraccionada, en un solo acto o en diferentes actos de inferior importe cada uno.

IMPRESO EN EL PERÚ / PRINTED IN PERU

La Editorial se hace responsable por el rigor académico del contenido del texto de acuerdo con los principios de la Ley General de Educación.

Aperturas

y enfoques transversales

MÉTODO EMAM Título de la unidad

2

Unidades de medida no convencionales

brimos scu De otras

¿Te has preguntado alguna vez cómo hicieron los egipcios para construir obras tan impresionantes como las pirámides de Egipto?

e formas d

Pues bien, año a año, los egipcios padecían las inundaciones del río Nilo, lo cual traía como consecuencia que se confundieran los límites de sus parcelas de cultivo. Es así que surgió en ellos la necesidad de medir y registrar las áreas de las superficies que les correspondían a cada uno.

edir m

En esta sección encontrarás temas novedosos que propician sostener una relación cercana con las nociones de Geometría y Trigonometría.

De este modo, fueron desarrollando sus nociones espaciales y sus conocimientos para efectuar mediciones de longitud, superficie, volumen, masa y tiempo. Por ejemplo, para los egipcios la unidad de longitud más importante fue el Codo Real (0,524 m), que se subdividía en siete palmos de cuatro dedos cada uno. Como unidad de superficie básica tuvieron el Sechat equivalente a un cuadrado de 100 codos de lado, o 10 000 codos cuadrados. Y como unidades de capacidad tuvieron el Hegat (4,8 litros), empleado para medir el trigo y la cebada; y el Henu (0,48 litros) utilizado para medir cantidades de cerveza, vino, leche o agua.

Desempeños • Modela datos de ubicación, cambios de tamaño y movimientos identificados en problemas, así como rotaciones en el plano cartesiano. • Describe posiciones de objetos en el plano usando puntos cardinales y de referencia, y los representa en croquis. También representa de diversas formas, giros en cuartos y medias vueltas, traslación y dos o más ampliaciones de una figura en el plano cartesiano. • Usa de diversas estrategias para medir la longitud, la superficie o la capacidad de los objetos, de manera exacta o aproximada. Realiza cálculos numéricos para hacer conversiones de medidas. Emplea unidades de medida no convencionales o convencionales, así como instrumentos de dibujo y de medición. 42 cuarenta y dos

Contiene los desempeños que alcanzarás luego del estudio de la unidad. Estos corresponden a la competencia Resuelve problemas de forma, movimiento y localización.

Actividades. 1. Investiga cuáles fueron las unidades de masa y tiempo que utilizaron los egipcios antiguos. 2. Comenta acerca de las unidades de medida que usaron otras civilizaciones antiguas como los griegos, sumerios, incas, etc. cuarenta y tres

MATEMÁTICA SIGMA 6 - GEOMETRÍA

Preguntas sobre la lectura que te permiten recordar conocimientos antes adquiridos.

Además de aprender contenidos matemáticos es importante que aprendas a desenvolverte como una persona que practica valores y actitudes que te permitan una sana convivencia con tu entorno social y ambiental.

Lectura entretenida que te muestra la importancia de las nociones matemáticas en tu vida y en el desarrollo del hombre.

Honestidad

Valo res

43

Enfoque transversal: Enfoque de búsqueda de la excelencia

Pablo había sido leñador toda su vida. Él había usado la misma hacha durante muchos años y en ocasiones Pablo se sentía tan cansado y oxidado como ella.

El Hachade

Oro

—Pablo, debes ver cómo trabajo yo. Tengo un hacha nueva y mis movimientos son rápidos —le decía Warube, un leñador fanfarrón. Su intención era hacerlo sentir mal mostrándole que él era más joven.

Un día, mientras Pablo cortaba troncos, el hacha se le escapó de las manos, y salió volando hasta caer en un lago que había cerca. —Oh, no. Mi hacha se ha caído al fondo del lago, ¿qué haré? —se lamentaba Pablo. —Te he oído. Soy el dios de los lagos y me he enterado que has perdido tu única hacha, así que bajaré hasta el fondo y te la devolveré—. Se sumergió y al cabo de unos segundos salió y le entregó un hacha nueva y liviana. —Pero esta no es mi hacha —dijo Pablo. Esta hacha está nueva y la mía era vieja y pesada.

Enfoque transversal y valores que afianzarás con las actividades propuestas.

—Uhm— dijo el dios. —Bajaré de nuevo, entonces—. Y bajó y subió nuevamente. —Esta sí debe ser tu hacha —le dijo. —¡No! Esta hacha es de oro, no es la mía —respondió Pablo. —Bajaré una vez más. Espero no equivocarme—. Descendió y regresó con el hacha vieja del leñador. —Esta sí es mi hacha —dijo él. —En realidad eres un hombre bueno, y como premio a tu honestidad además de tu hacha, te regalo el hacha nueva y el hacha de oro para que puedas trabajar con más comodidad —dijo el dios. Cerca de allí, había estado Warube, quien sintió mucha ira porque ahora Pablo tendría mejores herramientas que él, entonces esperó a que Pablo se fuera, arrojó sus tres hachas y fingió llorar. Al salir el dios, él le dijo que se le habían caído y que por favor lo ayudara a recuperarlas. El dios, que ya conocía sus intenciones, descendió al fondo y sacó sus tres hachas y se las regresó. Pero Warube le dijo que esas no eran sus hachas, que volviera a buscar debajo del agua. Y luego de volver a descender, el dios le mostró tres hachas de oro a lo cual Warube dijo que eran suyas, creyendo que había logrado engañar al dios. El dios, se molestó mucho, le quitó las tres hachas de oro y le dijo que tampoco le devolvería sus tres hachas originales porque era un hombre deshonesto.

Responde. 1. ¿Qué opinas de la actitud de Pablo? 2. ¿Fue correcto lo que hizo Warube?

8

ocho

Preguntas de reflexión acerca de la lectura.

Matemática SIGMA 6 - Geometría

Lectura que te dejará enseñanzas a partir del análisis que realices con tu profesor(a) y compañeros.

Desarrollo

pedagógico ia y círculo

Circunferenc

truye

y cons

Descubre ia

ferenc

A través de una situación de la vida cotidiana se vincula tus saberes previos con lo que aprenderás en la sesión.

:

fico do al grá un resenta a figura rep 1. ¿Qué círculo? noción nos da la qué? jeto ob r ¿Po 2. ¿Qué erencia? s de circunf s podemo otros objetoulo y a la 3. ¿En qué al círc reconocer a? nci ere circunf

De acuer

Circun

o

Elementos

cuyos y plana tro. cerrada ia del cen a curva Es la líne ma distanc n a la mis puntos está r × π 2× d es: L c = Su longitu

o

Círcul

a por la

cie limitad

Es la superfi

B

B x

=θ

x

=

Estudia

ye una

Rpta.

km

2.° paso

Si Juana pu de cinta, ede hacer un listó ¿cuánto s de los mis n con 5 dm podrá ha cer con mos listo 90 m de nes la misma cinta? A 180 B 185

C 190

6

La distan cia 410 000 m. de Lima a Hu ánuco es de 60

hm

sesenta

D 192

Para ha cer una en una instalación casa se eléctrica cable. Si necesita el cable lo venden 2,4 km de 8 hm, ¿c uá en rollos de que comp ntos rollos de ca ble se ten rar? drá

A 9 B 6

C 4

D 3

Folio para reforzar la lectura y escritura de los números.

el valor de

AOM.

7

3x + 15°

Calcula el valor de la inc sabe qu ógnita, e L // L si se 1 2.

• EF // GH 2x

A

O

2α 3α – 20°

B 30° A 15°

x

N

D 30°

8

2x + 35°

Si L // L 1 2 , determ

or de x.

75°

D

76°

36°

D VFFV

C VFVF TRÍA

GEOME SIGMA 6 -

a.

A 14°

15° Cm + 42° 3m 72°

B 28°

¿Qué opina

mi compañ

A 90

D 56°

2m – 3° 10. A

B FVVV

A FVVF

Hal

9. C

) = 42 III. CC(42 = 151 IV. SC(61)

6

8. B

cada verdad de el valor de Determina expresión. es 44. nto de 56 me ple I. El com es 78. ento de 102 II. El suplem

tir de la figur

de m a par la el valor

7. B

C 5 cm

D 30°

C 20°

D 4 cm

54°

B 15°

A 10°

B 3 cm

B 7 D 9

10 ¿Cuá ntas diago nales tien de 15 lad e un polígo os? no

20°

x + 6°

A 2 cm

MATEMÁTICA

A 6 C 8

ina el val

1

2

3

B 20°

C 50°

B 86

C 54 6. A

M

A 40°

. valor de x

D 78 5. C

5x – 2 C

Calcula el

4. B

22 cm

L2

D 60°

C 45°

5

La suma de las me didas de internos de los ángu un polígo los no es 108 lados tien 0°. ¿Cuán e dicho tos polígono?

3. B

P tiva que la alterna círculo de Pinta el uesta. e a la resp ond corresp el CD, halla medio de un punto 2 Si N es . valor de MN

9

L1

2. D

¡Autoevalúate!

¡Autoeval úate!

M

B QR

• GH

• QR ⊂ P • EF ⊂ P

Encuentra

1. –

4

do. ún lo indica • GH ⊂ P

Grafica seg • A∉P

Actividades organizadas en tres niveles de dificultad que tienen por finalidad consolidar lo aprendido durante la sesión poniendo en práctica la información adquirida, siguiendo el modelo planteado en una situación desarrollada y haciendo uso de tu razonamiento y habilidades.

ero? Intercamb ia la sec ción ¡Au respuesta toevalúat Coevalua s. e! con un ción B 28° compañer o. Dialog A 16° a y com D 32° para con él las C 20° ¿Qué y cóm o aprendticinco 25 vein í? 1. ¿Cóm o aprendí a resolver Metacogn operacio 2. ¿Cóm ición nes con o aprendí segmento a solucio s y ángu nar situac los? iones co n polígono s? 26 veintiséis

Claves:

1

Practica lo aprendido

Evaluación

ate! ¡Autoevalú

Comprende 10 preguntas sobre los temas abordados y las respuestas correctas para que puedas verificar por ti mismo cuánto has aprendido y qué debes reforzar junto a tu profesor.

m

Nivel

del la punta Coloca en y el lápiz compás el luego, gira la hoja; compás.

treinta y seis

36

5

La distan cia de Lima a 115 163 da Cusco es m. de

pás.

ndo el com

ncia usa circunfere

rtura Traza la abe io de el rad que será erencia. la circunf

m

Si Eva rec orre 18 000 de ida a cm en ca su da via metros de centro de estud ios, ¿cuá je ida y vu ntos semanas, elt sabiendo a recorrerá en dos a sábad que estud o? ia de lun es

θ 2

AP = BP 1

unidad ind icada.

4k

m

θ°

x°

B

1.er paso

Contiene información resumida en organizadores visuales sobre el tema de la sesión, así como ejercicios y problemas desarrollados.

rito

Ángulo insc

C

θ°

x°

constru cómo se

4

Escribe la distancia en la

hm

A

A

A

P

1

2

mm

Áng

P

Descubre y construye

referido

Rpta.

123 km 215 000

s a arcos

86

440 dam

12 800 cm

M

tangente

Teoremas ulo central

ncia circunfere Tangentes

1

OP

29 dam

C

T

2

dm

74 hm

arco

A Q

Calcula cuántos metros mid de la figu e el perím ra.

etro

m

18 km

E

radio

secante

P

ncia. circunfere

a la tabla.

Convert ir a Medida

Ac = π × r

Su área es:

la básicos de Teoremas gente Radio y tan

B

Nivel 3

Complet

a

diámetro

lo aprendido

Nivel 1

unferenci

de la circ cuerda

D

Practica

5 km

Relaciona lo que sabes

sabes

lo que

a Relacion

Reflexiona sobre lo aprendido

Puedes también intercambiar con tus compañeros la evaluación que has rendido (Coevaluación) y así aprender otras formas de resolver las mismas preguntas. Recuerda que todos poseemos diferentes estrategias y métodos de resolución. Además, la Metacognición te permite reflexionar cómo has aprendido y cómo puedes mejorar.

Índice Enfoque transversal

Unidad Rodeados de formas geométricas 1

1

Rodeados

de

La geometría en

Desempeños • Modela característi cas de los objetos (triángulos, cuadriláteros identificados en un problema, con • Describe la comprensión y círculos). formas bidimensionales del triángulo, cuadrilátero líneas paralelas y círculo a partir y perpendiculares de reconocer elementos . y 6

MATEMÁTICA SIGMA

6 - GEOMETRÍA

1. Menciona 5 elementos geométricos encuentres en la que imagen mostrada. 2. Comenta acerca de un lugar que hayas frecuentado y enumera los elementos geométricos que hayas podido observar en él. siete

Nociones de geometría y segmentos

de

Modela objetos con formas geométricas y sus transformaciones.

Responde. 1. ¿Qué opinas de la actitud de Pablo? 2. ¿Fue correcto lo que hizo Warube?

8

ocho

El hacha de oro Valor: Honestidad

2

2

Respeto a toda

Valor es

forma de vida Enfoque ambiental

El sueño

Luciano era un niño muy sensible. Cierto día, en el colegio, su maestra les había de la contaminac hablado acerca había quedado ión ambiental y Luciano se muy preocupado por ello. Una mañana, Luciano despertó que ese día muy temprano. estaba Salió de su casa poder ir caminando más gris que los otros. A él le encantaba con destino al colegio y ver las flores pero notó de y vio y los árboles salir temprano un día para de un parque de casa para otro había flores, que estaba y de los frondosos que ya no existía parque camino al colegio ningún ave sino árboles solo como siempre quedaban troncos una pampa casi desértica. había visto. secos, y sobre No Siguió caminando ellos ya no había , bastante extrañado, esquina había pero su sorpresa rumas de basura. humanos lo fue mayor cuando Entonces recordó habían contaminad notó que en lo que su profesora o todo y ya cada Y cuando ya no quedaban le había dicho: lo creía ni plantas ni «Los parecía deshabitada todo perdido, encontró animales». una pequeña . Estaba muy recogió y empezó flor roja en el enferma, a jardín de una a punto buscar de deseó con todas un lugar donde morir, casa que la pudiera cuidar. así que, con mucho cuidado, viajar por todas sus fuerzas tener algún Luciano la poder que le partes y como permitiera tenía unas grandes por arte de magia, vio que alas con las que podía volar. Luciano voló por todos los pero estaba lugares del tan planeta reconocer que contaminado que tuvo que la en ningún lugar. flor no podría sobrevivir Entonces miró vio la Luna, y pensó que aquel al cielo y buen lugar para sería un cuidar la flor. Así que subió con ella hasta Luna. Lejos la de Luciano plantó tanta suciedad, la flor y vio inmediatam que ente mejoró su color. De pronto, Luciano escuchó una voz que despierta, ya decía –Luciano, Responde. es hora de colegio–. Era ir al 1. ¿Qué hubieras su madre. Entonces, hecho tú en el Luciano comprendió lugar de Luciano? que todo había sido un 2. ¿Qué acciones sueño. propones para contrarrestar Transcurrió todo el daño al medio el ambiente? noche, Luciano día y ya llegada la miró durante minutos la Luna algunos y curiosamen que una parte te notó de ella tenía de un color rojo suave parecido al de la flor sueño y recordó de su que si no cuidamos Tierra, llegará la un flores en la Luna. día en que solo haya

de

Unidades de medida no convencionales

formas de

¿Te has preguntado alguna vez cómo hicieron los egipcios para construir obras impresionantes tan como las pirámides de Egipto? Pues bien, año a año, los egipcios padecían las inundaciones del río Nilo, lo cual traía como consecuencia que se confundieran los límites de sus parcelas de cultivo. Es así que surgió en ellos la necesidad de medir y registrar de las superficies las que les correspondían áreas uno. a cada

dir me

De este modo, fueron desarrollando nociones espaciales sus y efectuar mediciones sus conocimientos para de longitud, superfi volumen, masa cie, y tiempo. Por ejemplo, para los egipcios la unidad de longitud más importante fue el Codo Real (0,524 m), que se subdividía en siete palmos de cuatro dedos cada uno.

Luciano

44 cuarenta y cuatro

Como unidad de superficie básica tuvieron el Sechat equivalente a un cuadrado de de lado, o 10 000 100 codos codos cuadrados. Y como unidades de capacidad tuvieron Hegat (4,8 litros), el empleado para medir el trigo y la cebada; y el Henu (0,48 litros) para medir canti dades de cerveza, utilizado vino, leche o agua.

Desempeños • Modela datos de ubicación, cambios como rotaciones de tamaño y movimientos en el plano cartesiano. identificados en • Describe posiciones problemas, así de objetos en el representa en croquis. plano También representa usando puntos cardinales y de traslación y dos referencia, y los de diversas formas, o más ampliaciones giros en cuartos de una figura en • Usa de diversas y medias vueltas, el plano cartesiano. estrategias para medir de manera exacta o aproximada. Realiza la longitud, la superficie o la capacidad Emplea unidades cálculos numéricos de de para hacer conversioneslos objetos, dibujo y de medición.medida no convencionales o de medidas. convencionales, así como instrumentos de

El sueño de Luciano

Actividades.

42 cuarenta y dos

MATEMÁTICA SIGMA

6 - GEOMETRÍA

1. Investiga cuáles fueron las unidades masa y tiempo de que utilizaron los egipcios antiguos. 2. Comenta acerca de las unidades de medida que usaron otras civilizaciones anti como los griegos, guas sumerios, incas, etc. cuarenta y tres

Valor: Respeto a toda forma de vida

43

44

42 - 43

Las maravillas de la Geometría 3

3

aravillas sm La de la

Valor es

al bien común

s chaleco sa lvavida

Cierto día, la maestra de compañeros Roberto les una tarea: «Investiguen dejó a él y –¿Qué es la fe qué es la fe en a sus en Dios? Me Dios». tío cuando llegó la dejaron de tarea en el colegio a casa. –le preguntó –¿En verdad Roberto a su quieres saber lo que es la fe –Sí –dijo Roberto. en Dios? –respondió su tío con una amplia sonrisa. –Bien, vamos a la playa y te lo enseñaré. Una vez que llegaron, le entregó un chaleco salvavidas. –Pero yo no sé nadar –dijo Roberto. –Lo sé –le dijo el tío–, póntelo de todas maneras. Y así lo hizo Roberto.

Un cálculo ingenioso

Geometría

Fe y confianza Enfoque de orientación

El

Cierto día, en uno de a Thales de Mileto sus viajes, le preguntaron si podía medir la altura de la majestuosa pirámide de Keops. Thales reflexionó unos que no solo la calcularía segundos y contestó sino que la mediría ayuda de ningún sin instrumento. Dicho esto, colocó un bastón echado la arena y en ella sobre marcó la longitud bastón. Luego, levantó de dicho el bastón y lo apoyó forma vertical al de suelo y al incio de la marca previamente había hecho. Thales esperó que la sombra que a que proyectaba el bastón misma medida que tuviera la la la marca del suelo. distancia del bastón hasta Al cabo de unas horas, estas coincidieron, y muy contento, pudo afirmar «Ahora ya es muy fácil conocer la altura de la pirámide». la relación: A= C 1.er Teorema de B Thales D

–Ahora, comienza a caminar hacia pies no tocan el mar de espaldas. tierra. Déjate Llegará un momento ir y arrójate de espaldas. No Roberto estaba en el que sentirás te hundirás, ya aterrado: –No que tus que el chaleco tío, no quiero–. te hará flotar–. –¡Hazlo! –le respondió. –Estaré junto a ti para que Roberto confió no temas. Así en su tío. Mientras que tranquilo. tierra. Dudó, caminaba de pero recordó espaldas llegó las palabras de un momento su tío. en el que sintió En un acto de valor, dio el siguiente que no tocaba mar gracias al paso. ¡Ya no chaleco. Se sintió tocaba tierra! Sin embargo, emocionado y Ambos salieron flotó en el feliz ante la experiencia. del mar y camino a casa, su tío le explicó: «En esto consiste la a Dios y el chaleco fe en Dios: el mar representa la vida. Yo represento representa la de la vida y fe. Cuando te sientas que la lógica no puede adentres en el mar flote de tus problemas, ayudarte a salir hasta perder el chaleco de a el piso, debes la fe ti, pero depende te salvará. Dios estará siempre creer que de que te atrevas cerca de confiar en él, a dar el primer vistiéndote el paso de chaleco de la con él, para que fe y arrojándote puedas total paz y tranquilidad». flotar en el mar de la vida con Roberto quedó maravillado con tío, y su maestra la explicación de su quedó impresionada tanto así que con la tarea, obtuvo la nota más alta de la clase.

Comunica su comprensión sobre formas y relaciones geométricas.

Usa estrategias y procedimientos para orientarse en el espacio.

Responde. 1. ¿Es importante tener fe en Dios?¿Por 2. Inventa una qué? historia semejante en la que se demostrar la fe y cuéntala a tus compañeros. pueda

C Altura pirámide

D Sombra pirámide

76 setenta y 76 seis

Responde. MATEMÁTICA SIGMA

6 - GEOMETRÍA

Comprueba a qué hora la sombra mismo que el objeto mide lo que la proyecta. setenta y siete

El chaleco salvavidas

4

nociones

El Sistema GPS Antiguamente, nuestros antepasados ubicaban por la se posición del Sol durante el día y por la estrella Polar este modo, emprendían en las noches. De largos viajes para llevar los productos que necesitaban ciudad a otra, por de una mar o por tierra, y nunca se extraviaban.

ométric trigon as

Valor es

El funcionamiento del GPS se basa en una red de 24 satélites que giran terráqueo. Así, cualquier alrededor del globo punto del globo «cubierto» por varios está satélites. Para ubicar una posición, el GPS se basa en la triangulación, un principio (Trigonometría proviene de la trigonometría de las palabras griegas trigonon = triángulo y determina la posición metron= medida) que exacta de un conociendo las punto distancias de este a otros tres puntos de ubicación conocida.

Respeto

Enfoque transversal:

Enfoque inclusivo

o de atención

El diablo bueno

Responde.

que involucran el uso del teorema • Utiliza razones de Pitágoras. trigonométricas para determinar longitudes y medidas angulares.

Responde. 1. ¿Has usado alguna vez el GPS? Comenta. 2. ¿Qué otros usos tiene la trigonometría? Investiga.

120 ciento veinte

MATEMÁTICA SIGMA

122 ciento veintidós

121

120 - 121

Matemática SIGMA 6 - Geometría

48

Rotación de figuras en el plano

54

¡Autoevalúate! 57 Unidades de longitud

59

Unidades de superficie

61

Unidades de tiempo

63

Unidades de masa

66

Unidades de capacidad y volumen

68

Construcciones geométricas

71

Áreas y perímetros de triángulos

79

Áreas y perímetros de cuadriláteros

83

Áreas de polígonos regulares e irregulares

87

Áreas de regiones circulares

91

Poliedros 93

109

Argumenta afirmaciones sobre relaciones geométricas.

Ángulo trigonométrico

123

Sistemas de medición angular

128

Teorema de Pitágoras

133

¡Autoevalúate! 137 Razones trigonométricas de ángulos agudos 139 Ángulos verticales

149

Razones trigonométricas de ángulos complementarios 152

El diablo bueno

6 - GEOMETRÍA

ciento veintiuno

Traslación de figuras en el plano

Razones trigonométricas de ángulos notables 144

1. ¿Le das importancia al aspecto físico de una persona? 2. ¿Cómo interpretas la apariencias engañan»? frase «Las

Desempeños • Resuelve problemas

45

¡Autoevalúate! 118

a la diversidad

En una suelen ser malos montaña lejana a un pueblo pero este era vivía un diablo de buen corazón. rojo y feo. Los –Qué bueno, tenemos una diablos hombres y eso mañana muy es justamente bonita –se dijo amistosa. Sí, lo que voy a el diablo. Me ahora mismo hacer. Debo gustaría ser colocaré mi hacer saber letrero. El diablo había a la gente que amigo de los confecciona soy una criatura té. Les gustará do un letrero que decía: –Bienvenidos estar aquí–. . Pueden servirse En ese momento, ricas tartas y el diablo oyó el mejor pasos y se escondió –¿Dónde estoy? para ver quién –dijo un humano. era. de algún ladrón. Creo que me Debo escapar perdí. Ah, una de aquí, pero, casa en el bosque. En eso, el diablo ¿cómo llegaré Debe ser el escondite salió y le dijo: a mi casa? Espera, espera. Oye tú, esta no es la casa –¡Ah!– dijo el de un ladrón. hombre, asustándose ¿No has leído persigue–. Y el letrero? con el así el hombre huyó corriendo aspecto del diablo. Aléjate El diablo, ya de la casa del de mí. –Un monstruo varias veces diablo rojo quedándose me había intentado alejaban despavoridos este muy triste. acercarse a . los hombres pero al verlo El diablo estuvo ellos siempre pensando por se hablaba muy qué siempre fuerte, casi ocurría esto gritando, y ¡Oye!, así que porque cuando y se dio cuenta que se quizás era porque forma de hablar, prometió a sí mismo tener hablaba con más alguien siempre decir siempre por favor y ser cuidado la próxima vez les decía Con esto, se en cuanto a más cortés. sintió más entusiasmado su tono y a su pensando que Sin embargo, al fin sería aceptado al trampa. Entonces,día siguiente se acercaron por los humanos. dos hombres, el diablo le gritaron: leyeron el letrero –¡Socorro! ¡Auxilio!salió para calmarlos hablándoles y pensaron temiendo ser Una bestia tan que cortésmente, comidos por fea como tú pero los hombres era una él. no puede ser al verlo –Soy un diablo buena–, y se feo, no hay nada fueron corriendo pero les doy que pueda cambiar miedo. Estaré mi mala apariencia. siempre solo –dijo triste y Pasaron algunos Quiero ser amigo resignado. días y estando de los hombres azul estaba él en su casa, atacando a oyó alboroto los humanos. defenderse en el pueblo, Los hombres pero se asomó y tenían troncos pudo, se enfrentónada parecía lastimar vio que un diablo de madera al diablo al feroz diablo con los que azul y lo venció. malo. Entonces, el diablo intentaban Una vez pasado rojo corrió lo el peligro con más veloz que heridas y le el diablo azul, agradecieron haberlos ayudado, los humanos se acercaron juzgar a nadie al ni a excluir a prometiéndo él ni a nadie le ser sus amigos diablo rojo, le curaron las por ser diferente. y que nunca más iban a

En la actualidad, debido a los tecnológicos, solo avances necesitamos un pequeño dispositivo con GPS (Sistema de Posicionamient Global), para conocer o exactamente nuestra posición. Pero… ¿cómo funciona? ¿Por qué sabe dónde nos encontramos?

Plano cartesiano y eje de simetría

78

76 - 77

4

36 40

Cuerpos redondos

Valores: Fe y confianza

Rumbo a las

Circunferencia y círculo ¡Autoevalúate!

Pirámides 103

77

Rumbo a las nociones trigonométricas

27

Prismas 98

Rayos solares

Altura

A bastón B Sombra bastón

Triángulos

¡Autoevalúate! 96

C=D× A B

• Modela característi cas de los objetos (prismas rectos, identificados en cilindros, etc.). un problema, con • Emplea estrategias formas tridimensionale heurísticas, de cálculo s para construir formas y procedimientos de composición • Elabora afirmaciones desde perspectivas y desarrollo y descomposición de sólidos. propiedades básicas sobre las relaciones entre los elementos de las y atributos medibles. formas geométricas,

20 25

¡Autoevalúate! 74

Como se conocía la (D)y las longitudes longitud de la sombra del y B, respectivamente), bastón y su sombra (A solo fue cuesti despejar la variable ón de C, altura era 139 metros, logrando calcular que su aproximadamente.

Desempeños

Polígonos ¡Autoevalúate!

Ampliación y reducción de figuras en el plano 51

78 setenta 78 y ocho

Para calcularla estableció

9 14

8

Resuelve problemas de forma, movimiento y localización.

6-7

scubrimos De otras

Ángulos

Cuadriláteros 32

7

Descubrimos otras formas de medir

Contenidos pedagógicos

de la excelencia

Oro

todo lugar

Actividades.

seis

Enfoque de búsqueda

El Hacha

Respecto a ello, quisiera que escojas uno de los lugares en tu mente a los que has ido y que respondas a esta pregunta, ¿hay en este lugar algún elemento relacionado a la Geometría? Puedo asegurarte que tu respuesta Quizás, a diario, fue: Sí. no no nos percatemos seamos tan observadores y de ciertos detalles, nos ponemos a pero si reflexionar, estamos formas y estructuras rodeados de geométricas. Vamos a ser más explícitos, si vas a la playa, por ejemplo, cada granito de arena nos da punto. O si miras la idea de al cielo, de noche, cada estrella, en el inmenso Universo pareciera ser apenas en el que nos encontramos, un un polígono formado punto; y cada constelación por varios segmentos recta. de En otro contexto, si estamos jugando un partido de baloncesto, fútbol o vóley, basta con mirar el suelo, para poder notar en él líneas rectas u se cortan entre sí o que son paralelas.oblicuas, que O simplemente, al caminar por la calle se pueden observar letreros, ventanas, líneas en las autopistas, rejas de seguridad, otros innumerables columnas de edificios, y objetos que nos la importancia demuestran de las nociones geométricas para espaciales y la vida del hombre y su progreso. Ponte a observar cada lugar que frecuentes y me darás la razón.

Enfoque transversal:

Un día, mientras Pablo cortaba manos, y salió troncos, el hacha volando hasta se le escapó caer en un lago de las —Oh, no. Mi que había cerca. hacha se ha caído al fondo Pablo. del lago, ¿qué haré? —se lamentaba —Te he oído. Soy el dios de los lagos y me así que bajaré he enterado hasta el fondo que has salió y le entregó y te la un hacha nueva devolveré—. Se sumergió perdido tu única hacha, y al cabo de y liviana. —Pero esta unos segundos no es mi hacha —dijo Pablo. Esta hacha —Uhm— dijo está nueva y el dios. —Bajaré la mía era vieja ser tu hacha de nuevo, entonces—. y pesada. —le dijo. Y bajó y subió nuevamente —¡No! Esta hacha . —Esta sí debe es de oro, no es la mía —respondió —Bajaré una Pablo. vez más. Espero no equivocarme —Esta sí es mi —. Descendió hacha —dijo y regresó con él. el hacha vieja —En realidad del leñador. eres un hombre hacha nueva bueno, y como y el hacha de premio a tu oro para que honestidad además de Cerca de allí, puedas trabajar tu hacha, te había estado con más comodidad regalo el herramientas —dijo el dios. que él, entonces Warube, quien sintió mucha esperó a que Al salir el dios, Pablo se fuera, ira porque ahora Pablo él le dijo que tendría mejores arrojó sus tres se le habían hachas y fingió caído y que El dios, que ya llorar. por favor lo conocía sus ayudara a recuperarlas. intenciones, descendió al Pero Warube fondo y sacó le dijo que esas sus tres hachas no eran sus hachas, y se las regresó. Y luego de volver que volviera a descender, a buscar debajo creyendo que del agua. había logrado el dios le mostró tres hachas engañar al dios. de oro a lo cual Warube dijo que eran suyas, El dios, se molestó mucho, le quitó las tres hachas tampoco le devolvería sus de oro y le dijo tres hachas hombre deshonesto. originales porque que era un

Durante el periodo de vacaciones, con visitado muchos certeza has lugares, plazas, parques, repente habrás tenido la oportunidad etc., o de tu deporte favorito, de o tal vez habrás visitadopracticar amigo o familiar en su casa o departamento.a algún

formas geométricas

Honestidad

Valor es

Pablo había sido leñador toda su vida. había usado Él la misma hacha muchos años y en ocasiones durante tan cansado y oxidado como Pablo se sentía ella. —Pablo, debes ver cómo trabajo nueva y mis yo. Tengo un movimientos hacha son rápidos leñador fanfarrón. —le decía Warube, Su intención que él era más un era hacerlo sentir mal mostrándole joven.

Competencia y capacidades

Valor: Respeto por las diferencias 122

Razones trigonométricas recíprocas

155

¡Autoevalúate! 158

1

o s d a e d Ro

de

formas s a c i r t é geom

Desempeños • Modela características de los objetos identificados en un problema, con formas bidimensionales (triángulos, cuadriláteros y círculos). • Describe la comprensión del triángulo, cuadrilátero y círculo a partir de reconocer elementos y líneas paralelas y perpendiculares.

6

seis

La geometría en todo lugar Durante el periodo de vacaciones, con certeza has visitado muchos lugares, plazas, parques, etc., o de repente habrás tenido la oportunidad de practicar tu deporte favorito, o tal vez habrás visitado a algún amigo o familiar en su casa o departamento. Respecto a ello, quisiera que escojas en tu mente uno de los lugares a los que has ido y que respondas a esta pregunta, ¿hay en este lugar algún elemento relacionado a la Geometría? Puedo asegurarte que tu respuesta fue: Sí. Quizás, a diario, no seamos tan observadores y no nos percatemos de ciertos detalles, pero si nos ponemos a reflexionar, estamos rodeados de formas y estructuras geométricas. Vamos a ser más explícitos, si vas a la playa, por ejemplo, cada granito de arena nos da la idea de punto. O si miras al cielo, de noche, cada estrella, en el inmenso Universo en el que nos encontramos, pareciera ser apenas un punto; y cada constelación un polígono formado por varios segmentos de recta. En otro contexto, si estamos jugando un partido de baloncesto, fútbol o vóley, basta con mirar el suelo, para poder notar en él líneas rectas u oblicuas, que se cortan entre sí o que son paralelas. O simplemente, al caminar por la calle se pueden observar letreros, ventanas, líneas en las autopistas, rejas de seguridad, columnas de edificios, y otros innumerables objetos que nos demuestran la importancia de las nociones espaciales y geométricas para la vida del hombre y su progreso. Ponte a observar cada lugar que frecuentes y me darás la razón.

Actividades. 1. Menciona 5 elementos geométricos que encuentres en la imagen mostrada. 2. Comenta acerca de un lugar que hayas frecuentado y enumera los elementos geométricos que hayas podido observar en él. Matemática SIGMA 6 - Geometría

siete

7

Honestidad

Valo res

Enfoque transversal: Enfoque de búsqueda de la excelencia

Pablo había sido leñador toda su vida. Él había usado la misma hacha durante muchos años y en ocasiones Pablo se sentía tan cansado y oxidado como ella.

El Hachade

Oro

—Pablo, debes ver cómo trabajo yo. Tengo un hacha nueva y mis movimientos son rápidos —le decía Warube, un leñador fanfarrón. Su intención era hacerlo sentir mal mostrándole que él era más joven.

Un día, mientras Pablo cortaba troncos, el hacha se le escapó de las manos, y salió volando hasta caer en un lago que había cerca. —Oh, no. Mi hacha se ha caído al fondo del lago, ¿qué haré? —se lamentaba Pablo. —Te he oído. Soy el dios de los lagos y me he enterado que has perdido tu única hacha, así que bajaré hasta el fondo y te la devolveré—. Se sumergió y al cabo de unos segundos salió y le entregó un hacha nueva y liviana. —Pero esta no es mi hacha —dijo Pablo. Esta hacha está nueva y la mía era vieja y pesada. —Uhm— dijo el dios. —Bajaré de nuevo, entonces—. Y bajó y subió nuevamente. —Esta sí debe ser tu hacha —le dijo. —¡No! Esta hacha es de oro, no es la mía —respondió Pablo. —Bajaré una vez más. Espero no equivocarme—. Descendió y regresó con el hacha vieja del leñador. —Esta sí es mi hacha —dijo él. —En realidad eres un hombre bueno, y como premio a tu honestidad además de tu hacha, te regalo el hacha nueva y el hacha de oro para que puedas trabajar con más comodidad —dijo el dios. Cerca de allí, había estado Warube, quien sintió mucha ira porque ahora Pablo tendría mejores herramientas que él, entonces esperó a que Pablo se fuera, arrojó sus tres hachas y fingió llorar. Al salir el dios, él le dijo que se le habían caído y que por favor lo ayudara a recuperarlas. El dios, que ya conocía sus intenciones, descendió al fondo y sacó sus tres hachas y se las regresó. Pero Warube le dijo que esas no eran sus hachas, que volviera a buscar debajo del agua. Y luego de volver a descender, el dios le mostró tres hachas de oro a lo cual Warube dijo que eran suyas, creyendo que había logrado engañar al dios. El dios, se molestó mucho, le quitó las tres hachas de oro y le dijo que tampoco le devolvería sus tres hachas originales porque era un hombre deshonesto.

Responde. 1. ¿Qué opinas de la actitud de Pablo? 2. ¿Fue correcto lo que hizo Warube?

8

ocho

Nociones de geometría y segmentos Relaciona

lo que sabes

Los estudiantes del 6.° grado participan en un campeonato deportivo. Responde. ¿Qué formas geométricas observas en la imagen?

Descubre

y construye métricos

Elementos geo

El punto

La recta

El plano

El segmento

El orificio que deja un alfiler en una hoja de papel nos da la idea de punto. Este se representa con una letra mayúscula.

Un hilo estirado nos da la idea de recta. Esta se extiende ilimitadamente en sus dos extremos conteniendo a infinitos puntos.

Una hoja de papel nos da la idea de plano. Este es una superficie formada por infinitos puntos y rectas.

Es una porción de línea recta comprendida entre dos puntos.

•A: se lee punto A.

A

B

AB : se lee recta AB.

1

O

B

OB: se lee segmento OB.

P

P: se lee plano P.

Escribe a qué elemento geométrico se asemeja cada imagen. a)

b)

punto Matemática SIGMA 6 - Geometría

c)

segmento

plano nueve

9

2

3.º Finalmente traza CD que pasa por los puntos C y D.

Si P es punto medio de MN, calcula el valor de MP. 3a – 1

a

N

2

P

1

M

MN // CD

+5





3 4

Resolución:

a

M

D

M

a

A

5

C

Punto medio de un segmento

N

B

Recta perpendicular (usando el compás)

Si M es punto medio de AB, entonces M divide a AB en dos segmentos de igual medida. Es decir:

1.º Traza RS. 2.º Con el compás dibuja un arco con centro en R.

AM = MB = a

En el problema: MP = PN Entonces: 3a – 1 = a + 5

a

→

=3

S

R

Luego: 3.º Con la misma abertura forma un arco con centro en S.

MP = 3a – 1 MP = 3(3) – 1 = 8 u 3

Estudia cómo construir rectas paralelas y perpendiculares. Recta paralela (usando la escuadra)

S

R

1.º Con la escuadra marca el punto C a 2 cm de MN. 5

4.º Une los dos puntos donde se unen los arcos.

4

RS ⊥ MN

3 2

C

M

M

S

N



1

R N

2.º Con la escuadra marca un punto D, también a 2 cm de MN. 5

A

4 2

N

10 diez

a

B

b

C

c

D

d

E

Resolución:

1

D M

Observa el gráfico e indica el número total de segmentos.

3

C

4

Con 1 letra: a, b, c, d = 4 Con 2 letras: ab, bc, cd = 3 Con 3 letras: abc, bcd = 2 Con 4 letras: abcd =1

10 segmentos

5

Escribe la notación simbólica de las representaciones gráficas. a)

D

8

A

ED

B

Del gráfico: AB + BC = AC

H

Además: BC = 2AB y AB = 5 cm BC = 2(5) = 10

Punto H

Luego: c)

C

Resolución:

E

b)

Si AB = 5 cm y BC = 2AB; calcula AC.

M

N

MN

d)

9

AC = 5 + 10 AC = 15 cm

Grafica dentro de un plano MF punto H y EL // NP. O

Plano R

M

R

L

E

F R

N

OR;

P

H

6

OR se lee: la recta MF es MF perpendicular a la recta OR.

Grafica dentro de un plano AB ; PQ ; EF y el punto M.

EL // NP se lee: la recta EL es paralela a la recta NP. B A

E

7

Q

P

Recuerda que: Dos rectas son paralelas si no tienen ningún punto en común.

M

F

Dos rectas son secantes si tienen un único punto en común.

Si NO = 7 cm y MO = 15 cm; determina el valor de MN. M

N

Resolución:

Dos rectas secantes son perpendiculares si al cortarse forman 90°.

O 10

De la figura, encuentra el valor de x. 24 cm

NO = 7 cm; MO = 15 cm Además:

A B C 4

MN + NO = MO Entonces: MN + 7 = 15 MN = 15 – 7 MN = 8 cm Matemática SIGMA 6 - Geometría

4

D E x

7 cm

Resolución: x

+ 4 + 4 + 7 = 24 x + 15 = 24 x = 9 cm once

11

Practica

4

lo aprendido

Nivel 1

2

Grafica PQ, MN, punto B y LR dentro del plano A.

Grafica IJ ⊥ MN, EF // IJ.

Si M es punto medio de AC, determina el valor de AM. 4x – 2

2x + 8

A

5

M

C

A 18 cm

B

15 cm

C 14 cm

D 10 cm

Se sabe que EH = 15 cm, EG = 9 cm y G es punto medio de FH. Encuentra el valor de FG. 9 cm

E

Pinta el círculo de la alternativa que corresponde a la respuesta.

3

Se tiene que AD = 12 cm; AC = 9 cm y BD = 10 cm. Calcula el valor de BC. 10 cm B

G 15 cm

B 7 cm

C 9 cm

D 12 cm

Si N es punto medio de AB, halla el valor de MN.

A

C

H

A 6 cm

4x – 6

9 cm A

6

F

29 cm

x

M

N

B

D

12 cm

12

A 9 cm

B

8 cm

A 6 cm

B

C 7 cm

D 5 cm

C 8 cm

D 10 cm

doce

7 cm

Nivel

Nivel

Pinta el círculo de la alternativa corresponde a la respuesta. 7

Si AD = 12 cm y AC = BD = 7 cm; calcula el valor de BC.

A

8

B

C

B 3 cm

C 2 cm

D 1 cm

Se tiene que AC = BD = 12 cm y AD = 20 cm; determina el valor de BC.

B

C

B 4 cm

C 5 cm

D 7 cm

A

B

10 Sobre una recta se ubican los puntos consecutivos A, M, N y B, tal que N es punto medio de AB, AM = NB cm y 5 NB = (25 + 8)cm. Halla MN.

A 15 cm

B 32 cm

C 20 cm

D 42 cm

11 Sobre una recta se toman los puntos consecutivos A, B, C y D, tal que: AD = 15 cm; AC = 9 cm y BD = 8 cm. Encuentra el valor de BC.

A 1 cm

B 3 cm

C 2 cm

D 4 cm

12 Sobre una recta se toman los puntos consecutivos A, B, C y D, tal que AD = 40 cm; CD = 16 cm y AB = 3BC. Calcula BC.

Si AD = 24 cm; halla el valor de BD. 2x

que

D

A 6 cm

x

Pinta el círculo de la alternativa corresponde a la respuesta.

D

A 5 cm

A

9

que

3x C

D

A 4 cm

B 8 cm

A 4 cm

B 6 cm

C 12 cm

D 20 cm

C 5 cm

D 7 cm

Matemática SIGMA 6 - Geometría

trece

13

Ángulos Relaciona

lo que sabes En muchas ocasiones hacemos movimientos o vemos objetos que nos dan idea de ángulos. Comenta con tus compañeros. 1. ¿En qué otras ocasiones observas ángulos en tu entorno? 2. ¿Cómo podrías clasificar los ángulos? 3. ¿Cuántos ángulos internos tiene un cuadrado? 4 ¿Cuánto mide el ángulo de la ilustración?

Descubre

y construye Clases de ángulos según su medida

Vértice

B α

O

0º < a < 90º

A

a

O

Ángulo recto

Un ángulo está formado por dos rayos (lados) que parten del mismo punto inicial (vértice).

Lado

B

Ángulo agudo

Ángulos

A

B

a = 90º a

A

O

Notación:

Ángulo obtuso

Lado

AOB

Se lee ángulo AOB.

B

90º < a < 180º a O

A

También son conocidos: Ángulo nulo O

B

A

m

AOB = 0º

m

AOB = 180º

m

AOB = 360º

Ángulo llano B

O

A

Ángulo de una vuelta O

14

catorce

B

A

4

Bisectriz de un ángulo Es un rayo que al ser trazado por la región interior de un ángulo, determina dos ángulos de igual medida.

Observa cómo usar el transportador y la regla para graficar un ángulo. 1.° Dibuja un rayo y marca el punto O (vértice).

B

O

P

a a O

A

Para el ángulo AOB, OP es su bisectriz. 1

En la figura OP es bisectriz de Halla el valor de x.

Solución:

Q P

3x O

2

QOR.

2.° Haz que coincida el punto O con el centro del transportador y dibuja un punto en 60º.

x + 16°

3x = x + 16° 2x = 16°

R

x

= 8° O

Calcula el complemento de cada ángulo. Dos ángulos son complementarios si sus medidas suman 90°.

3.° Une el vértice O con la marca de 60º y traza el otro lado del ángulo.

a) C(80°) = 90° – 80° = 10° b) C(46°) = 90° – 46° = 44° c) C(72°) = 90° – 72° = 18° d) CC(35°) = 90° – (90° – 35°) = 35° O

3

Encuentra el suplemento de cada ángulo. Dos ángulos son suplementarios si sus medidas suman 180°.

4.° Completa la representación con los vértices y la medida del ángulo.

a) S(105°) = 180° – 105° = 75°

B

b) S(82°) = 180° – 82° = 98° c) SS(120°) = 180° – (180° – 120°) = 120° d) SC(75°) = 180° – (90° – 75°) = 180° – 15° = 165° Matemática SIGMA 6 - Geometría

60º

O Notación:

A

AOB

quince

15

e transversal

tas paralelas y una recta secant

Ángulos formados por dos rec

L3

Ángulos conjugados a

Son ángulos suplementarios tomados de cada recta paralela.

c e

Internos m m

c+m

e = 180º

d+m

f = 180º

g

Externos m m

a+m

g = 180º

b+m

h = 180º

d

f

L1

Se encuentran en sentidos opuestos y son congruentes.

L2

Internos

h

m m m m

Ocupan la misma posición entre las rectas y son congruentes. c=m

g

a=m

e

Si L1 // L2, identifica los ángulos que se solicitan. c

b

u z

7

d=m

h

b=m

f

f

d=m

e

a=m

h

b=m

g

Halla el valor de x, L1 // L2 son paralelas. 15º 85º

L1

a

d

m m

c=m

Externos

Ángulos correspondientes

m m

5

b

Ángulos alternos

L1

80º 78º

x

L2

w

x

L2

Resolución: Ángulos internos : a; d; x; u

La suma de los ángulos abiertos hacia la derecha es igual a la suma de los ángulos abiertos hacia la izquierda.

Ángulos externos : b; c; z; w Ángulos alternos externos : c y z; b y w Opuestos por el vértice : b y a; c y d; u y w; x y z 6

Si L1 // L2, determina el valor de x. 8

L3 78º 78º

2x

78º + 2x = 180º 2x = 180º – 78º 2x = 102º x

dieciséis

Calcula el valor de x, si L1 // L2 .

L1 20º L2

18º

26º 47º 32º

Resolución:

16

15º + 80º + x = 85º + 78º 95º + x = 163º x = 68º

= 51º

53º

2x

18º + 26º + 32º + 2x = 20º + 47º + 53º 76º + 2x = 120º 2x = 44º → x = 22º

Practica

4

lo aprendido

Grafica la bisectriz OP utilizando el transportador. Observa el ejemplo.

Nivel 1

E

¿Cuánto mide cada ángulo? D

P

C

E

B

2

a) m

AOB =

b) m

AOC =

c) m

COF =

d) m

DOF =

e) m

EOF =

EOF = 70° EOP = 35° POF = 35°

F

O

a)

A

O

F

m m m

M

N

O m m m



MON = MOP = NOP =

b)

R

Completa. O a) El complemento de 25° es

.

b) El suplemento de 30° es

.

c) El complemento de 45° es

.

d) El suplemento de 128° es

.

S m m m

3

que

¿Cuánto mide el complemento del suplemento de 140°?



Pinta el círculo de la alternativa corresponde a la respuesta. 5

Pinta el círculo de la alternativa corresponde a la respuesta.

ROS = ROP = SOP =

Calcula el valor de x, si OM es bisectriz del ángulo AOB. A O

x

– 10° 20°

M

B

A 80°

B 70°

A 35°

B 30°

C 60°

D 50°

C 20°

D 10°

Matemática SIGMA 6 - Geometría

que

diecisiete

17

Nivel 6

7

Observa los gráficos y encuentra el valor de la incógnita. a)

123° M

a)

P

N

Calcula el valor de x , sabiendo que L1 // L2.

3 1

5x +10°

m

60°

2m

2

O

x=

b)

3

3x + 20° m=

b)

120° + x 2

A C

x + 25°

1

132°

3x + 3°

x=

B

Pinta el círculo de la alternativa corresponde a la respuesta. 8

que

Las medidas de dos ángulos suplementarios son (3x – 3)° y (5x + 15)°. ¿Cuánto mide el menor ángulo?

x=

c) 2x

x=

dieciocho

B 60°

C 20°

D 40°

3x – 5°

9

18

A 30°

Dos ángulos complementarios miden (7x – 3)° y (38 – 2x)°, ¿cuánto mide el mayor ángulo?

A 16°

B 36°

C 74°

D 82°

d)

Nivel Pinta el círculo de la alternativa corresponde a la respuesta.

1

que

25° 2x

10 Halla el valor de x en cada caso, sabiendo que, L1 // L2 . a)

2

40° 3x 50° 10°

3

100 – 2x

1

58°

2

A 21°

B 36°

C 41°

D 40°

b)

30°

A 21°

B 30°

C 25°

D 36°

e) x

50°

1

25°

40° 47° 2

x

25°

2

A 45°

B 55°

C 60°

D 65°

c)

x

3x 2x

30°

A 93°

B 31°

C 60°

D 62°

1

f)

28°

45° 15°

1

1

40°

2x + 2°

2

x + 18 2

A 10°

B 25°

A 24°

B 28°

C 15°

D 30°

C 32°

D 56°

Matemática SIGMA 6 - Geometría

diecinueve

19

Polígonos Relaciona

lo que sabes

Responde a partir de la imagen. a) ¿Cuántos lados tiene la piscina que se muestra en la imagen? b) ¿Se puede afirmar que los lados de la piscina forman un polígono regular?, ¿por qué?

Descubre

y construye Polígonos

Convexo

Definición

Al trazar una secante solo hay dos puntos de corte.

Pueden ser

No convexo o cóncavo

Figura geométrica cerrada formada por la unión de segmentos.

Hay más de dos puntos de corte al trazar una secante.

vértice

lado ángulo exterior

diagonal ángulo interior

Los más conocidos

Elementos • Triángulo : 3 lados • Cuadrilátero : 4 lados • Pentágono : 5 lados • Hexágono : 6 lados • Heptágono : 7 lados • Octágono : 8 lados

• Nonágono : 9 lados • Decágono : 10 lados • Endecágono : 11 lados • Dodecágono : 12 lados • Pentadecágono : 15 lados • Icoságono : 20 lados

Teoremas: Para polígonos convexos Suma de las medidas de los ángulos internos S

i

= 180º(n – 2)

donde n: número de lados

Suma de las medidas de los ángulos externos La suma de los ángulos externos de un polígono es 360º. S

e

= 360º

Número total de diagonales En todo polígono se cumple: D=

Para polígonos regulares Medida del ángulo interno m

i

=

180º(n – 2) n

n: número de lados

20

veinte

2

donde

Medida del ángulo externo m

n(n – 3)

e

=

360º n

n: número de lados

D: número de diagonales n: número de lados

1

Calcula la suma de las medidas de los ángulos internos de cada polígono.

3

¿Cómo se llama el polígono regular en el cual el ángulo externo mide 30º? Resolución:

a)

360° = 30° n

360° =n 30° n = 12

Resolución: S i = 180º(n – 2) S i = 180º(3 – 2) S i = 180º b)

Rpta. El polígono se llama dodecágono. 4

¿Cuánto mide cada ángulo interno de un nonágono regular? Resolución: m i = 180º(n − 2) n

Resolución: Si = 180º(n – 2) Si = 180º(6 – 2) Si = 180º(4) Si = 720º c)

m i=

180º(9 − 2) 9

m i = 140º 5

El número total de diagonales de un polígono regular es igual al triple del número de vértices. Halla la medida del ángulo externo de dicho polígono. Resolución:

Resolución: S S S S 2

= 180º(n – 2) i = 180º(4 – 2) i = 180º(2) i = 360º i

Si la suma de las medidas de ángulos internos de un polígono es 1260°, ¿cómo se llama dicho polígono? Resolución:

lados El número de ono es de un políg ero de igual al núm vértices.

D = 3n n(n – 3) = 3n 2 n(n – 3) = 6n n

–3=

6n n

n

–3=6

n

=9

Para hallar la medida de un ángulo externo 360º se divide . n

180°(n – 2) = 1260° 180ºn – 360° = 1260° 180ºn = 1260° + 360°

Reemplazando:

180ºn = 1620°

m e = 360º 9

n = 9 Rpta. El polígono se llama nonágono. Matemática SIGMA 6 - Geometría

m e = 40º

Rpta. El ángulo externo mide 40°. veintiuno

21

Practica

5

lo aprendido

Pinta el círculo de la alternativa corresponde a la respuesta.

que

Relaciona mediante una línea. Polígono convexo

Nivel 1

El polígono de nueve lados recibe el nombre de: A nonágono B octágono

Polígono cóncavo

C endecágono D nonádecágono

2

¿Cuál es el nombre del polígono que tiene todos sus lados y ángulos iguales? A irregular B cóncavo C convexo D regular

3

Es el segmento que une un par de vértices no adyacentes en un polígono:

6

Escribe V o F según corresponde y argumenta tu respuesta. a) El triángulo no tiene diagonales.

A vértice B diagonal C lado D ángulo

4

Calcula el perímetro de cada figura. a)

125 cm

b) La suma de ángulos interiores de un hexágono es 820°.

2p = b)

23 cm

2p = 22

veintidós

c) Un cuadrilátero tiene 2 diagonales.

Nivel Pinta el círculo de la alternativa corresponde a la respuesta. 7

8

que

11

¿Cuál es el polígono cuya suma de las medidas de sus ángulos interiores es 1800°?

A dodecágono

B icoságono

C encoságono

D nonágono

¿Cuántas diagonales se pueden trazar en un polígono convexo de 14 lados? 12

9

A 66

B 74

C 77

D 82

¿Cuántos lados tiene un polígono, si la suma de las medidas de sus ángulos internos es 2340°?

13

10

A 12

B 16

C 13

D 15

Halla la suma de las medidas de los ángulos interiores de un polígono, si su número de diagonales es igual a diez veces su número de lados.

A 2456°

B 3780°

C 3200°

D 1982°

Determina cuál es el polígono regular cuyo ángulo interior mide 60o.

A hexágono

B pentágono

C cuadrilátero

D triángulo

Si la figura es un pentágono regular, ¿cuánto mide el ángulo x?

x

¿Cuántas diagonales se puede trazar en un icoságono?

A 150

B 120

A 36°

B 64°

C 170

D 104

C 60°

D 72°

Matemática SIGMA 6 - Geometría

veintitrés

23

14 Calcula el número de diagonales de un polígono regular cuyo ángulo interior mide 144°.

Nivel Pinta el círculo de la alternativa corresponde a la respuesta. 17

A 30

B 35

C 60

D 75

15 Halla la suma de las medidas de los ángulos interiores de un polígono cuyo ángulo exterior mide 40°. 18

A 1620°

B 1560°

C 1420°

D 1260°

16 ¿Cómo se llama el polígono regular que tiene como ángulo interior 162°?

que

El número total de diagonales de un polígono regular es 119. Si uno de sus lados mide 13 cm, determina el perímetro de dicho polígono.

A 252 cm

B 221 cm

C 238 cm

D 156 cm

Encuentra la suma de las medidas de los ángulos interiores de un polígono, si su número de diagonales es igual a ocho veces su número de lados.

A 4020°

B 3060°

C 1260°

D 540°

19 Un ingeniero civil está nivelando un terreno que tiene la figura de un pentágono. Si calculó cuatro de sus ángulos interiores, cuyas medidas son: 125°; 85°; 130° y 80°, ¿cuánto medirá el quinto ángulo? A nonágono B pentágono C icoságono D octágono

24

veinticuatro

A 200°

B 160°

C 140°

D 120°

¡Autoevalúate! 1

Grafica según lo indicado.

4

• A∉P

• GH ⊂ P

• QR ⊂ P

• GH

• EF ⊂ P

• EF // GH

Encuentra el valor de B

QR

M 3x + 15°

2x O

P Pinta el círculo de la alternativa corresponde a la respuesta. 2

C

3

que 5

Si N es un punto medio de CD, halla el valor de MN. 5x – 2

A

A 15°

B 30°

C 45°

D 60°

Calcula el valor de x.

2x + 35°

22 cm

x

M

AOM.

N

D

75°

A 2 cm

B 3 cm

A 10°

B 15°

C 5 cm

D 4 cm

C 20°

D 30°

Determina el valor de verdad de cada expresión.

6

Halla el valor de m a partir de la figura. m + 15°

I. El complemento de 56 es 44.

3m

II. El suplemento de 102 es 78.

72°

III. CC(42) = 42

2m – 3°

IV. SC(61) = 151

A FVVF

B FVVV

A 16°

B 28°

C VFVF

D VFFV

C 20°

D 32°

Matemática SIGMA 6 - Geometría

veinticinco

25

¡Autoevalúate! 7

Calcula el valor de la incógnita, si se sabe que L1 // L2. 2a 3a – 20°

8

L2

B 20°

C 50°

D 30°

Si L1 // L2, determina el valor de x.

76°

La suma de las medidas de los ángulos internos de un polígono es 1080°. ¿Cuántos lados tiene dicho polígono?

L1

A 40°

1

9

20°

A 6

B 7

C 8

D 9

10 ¿Cuántas diagonales tiene un polígono de 15 lados?

36°

x + 6° 2

54°

A 14°

B 28°

A 90

B 86

C 42°

D 56°

C 54

D 78

Claves:

1. – 2. D 3. B 4. B 5. C 6. A 7. B 8. B 9. C 10. A

¿Qué opina mi compañero?

Coevaluación

Intercambia la sección ¡Autoevalúate! con un compañero. Dialoga y compara con él las respuestas.

¿Qué y cómo aprendí? 1. ¿Cómo aprendí a resolver operaciones con segmentos y ángulos? 2. ¿Cómo aprendí a solucionar situaciones con polígonos?

26

veintiséis

Metacognición

Triángulos Relaciona

lo que sabes

Los niños de 6.° grado han decorado su aula para un concurso. a) ¿Qué forma tienen las guirnaldas que se han usado? b) ¿En qué otros objetos encuentras triángulos? Descubre

y construye Triángulo

Teoremas: Es un polígono de 3 lados. Elementos

Suma de las medidas de los ángulos interiores S

B y

Clasificación

i

Según la medida de sus lados Equilátero

= a + b + q = 180º

Suma de las medidas de los ángulos exteriores S

z

C

A

x

Vértices: A, B, C Lados: AB, BC, AC

e

= x + y + z = 360º

La suma de las medidas de dos ángulos interiores es igual a la medida del ángulo exterior no adyacente a ellos. x y z

Ángulos interiores: a, b, q Ángulos exteriores: x, y, z

Isósceles Escaleno Según la medida de sus ángulos Acutángulo α, b, θ < 90°

=α+β =α+θ =β +

Rectángulo θ = 90°

Obtusángulo

θ

θ > 90°

1

Calcula la medida del ángulo B.

2

Halla la medida de

B

C.

B 5x

12a –10°

A

4a + 5°

a + 32°

C

Resolución:

C

2x

x + 50°

A

4a + 5° + a + 32° + 12a – 10° = 180° 17a + 27° = 180° 17a = 153° a = 9°

Resolución: 2x + x + 50° = 5x 3x + 50° = 5x 50° = 2x 25 = x

Luego: m b = 12a – 10° = 12(9°) – 10° = 98°

Entonces m

Matemática SIGMA 6 - Geometría

C = 2x = 2(25) = 50° veintisiete

27

Líneas notables en un triángulo B

A

C

A

C

A mediatriz

A

B A

C

6 cm M 6 cm

Perímetro: 9 + 6 +12 = 27 cm C

C

D

3 cm

Resolución: AB = AM + BN AB = 6 + 3 AB = 9

C

bisectriz interior

3 cm N

L

B

A

B

C

J

altura

H

Halla el perímetro del ∆ABC, si BM y AN son medianas y AB = AM + BN.

ceviana

B

B

A

B

mediana

H

5

bisectriz exterior

6

Si BD es bisectriz, calcula el valor de x. A

3

Determina el valor de m, si FM es mediana.

D

F

x

B E m

+1

M

15 cm

4

+ 1 = 15 m = 14 cm

7

Encuentra el valor de a.

En la figura, AP es bisectriz del Determina el valor de β. B

110º

80°

A

130º + a

C

Resolución:

Resolución: 110º + 130º + a + 5a = 360º

Como AP es bisectriz del BAC, entonces:

240º + 6a = 360º

6a = 120º



a = 20º

veintiocho

P 30°

5a

28

C

Resolución: x = 2x – 10º 10º = 2x – x 10º = x

G

Resolución: m

2x – 10º

m

BAP = β

30º + 80º + 2β = 180°

β = 35º

BAC.

Practica

lo aprendido

Nivel 1

2

Halla el valor de cada incógnita. a) A

Traza las líneas notables con los colores indicados. : mediana

: bisectriz interior

: altura

: mediatriz

C

42 cm

x

x

B

=

a) Mediatriz b)

A

C

x

b) Bisectriz interior

B

x

28 cm

=

c) BP: Bisectriz interior

B 53° y

c) Altura

D

C

P y

=

d) DP: Bisectriz exterior

D

d) Mediana

63° z

P C z Matemática SIGMA 6 - Geometría

E

= veintinueve

29

3

Calcula el valor de cada incógnita.

5

Escribe V o F según corresponde. a) El triángulo escaleno tiene sus tres lados de diferente medida.

a) x



64°

b) La suma de las medidas de los ángulos interiores en un triángulo es 180°.

63°

c) La bisectriz divide al ángulo en dos ángulos que no son de igual medida. x

=

d) El triángulo obtusángulo tiene un ángulo mayor a 90°.

b) 72°

Pinta el círculo de la alternativa corresponde a la respuesta.

60°

6

y

Halla el valor de x, en cada caso. a)

y

A

Completa y determina el perímetro de cada triángulo. a)

C 36°

20 cm

B

72° 14 cm

D

b)

64° C

58° 25 cm

perímetro = treinta

2x – 3

C

A 5 cm

B 8 cm

C 9 cm

D 10 cm

B A

A

13 cm

b) AD: Bisectriz

perímetro =

30

B

=

Nivel 4

que

4x + 5° 53°

D C

23 cm

B

A 16°

B 15°

C 12°

D 10°

Nivel Pinta el círculo de la alternativa corresponde a la respuesta.

que

Si PE es mediana y QR = 24 cm, determina el valor de x. Q

Encuentra el valor de x.

E (x – 1)

7

11

28°

P

R

A 11 cm x

74°

D 14 cm

C 13 cm

A 116°

B 122°

C 102°

D 106°

12

Si FM es mediana y MD = 18 cm, halla el valor de y. D

24

Halla el valor de y.

y+

8

B 12 cm

M

y

E

65°

55°

A 115°

B 110°

C 105°

D 120°

13

F

A 12 cm

B 13 cm

C 14 cm

D 15 cm

Si EH es altura, calcula el valor de x. F

9

Calcula el valor de x.

x

H

82°

62°

D

x

74°

A 182°

B 156°

C 74°

D 25°

14

10 Determina el valor de m.

E

A 21°

B 25°

C 28°

D 34°

Encuentra el valor de x, si BH es la altura trazada al lado AC y el ángulo ABC mide 120°. B

78° x

m

45°

A

40°

H

C

A 123°

B 118°

A 120°

B 70°

C 93°

D 33°

C 60°

D 50°

Matemática SIGMA 6 - Geometría

treinta y uno

31

Cuadriláteros Relaciona

lo que sabes

Analiza los polígonos y responde.

a) Según su número de lados, ¿cómo se clasifican estos polígonos? b) ¿Cuántas figuras son paralelogramos? Descubre

y construye S

CUADRILÁTERO

Paralelogramo

Elementos

Los lados opuestos son paralelos dos a dos.

A

Romboide

a b

D

Trapecio

Trapezoide

Solo un par de lados opuestos son paralelos.

Ningún par de lados opuestos son paralelos.

Escaleno

B

c

d

C

Rombo Vértices:

A, B, C y D

Lados:

AB, BC, CD y DA

Las diagonales de un paralelogramo se cortan en su punto medio y las de un cuadrado o rombo son perpendiculares.

Isósceles

Ángulos internos: a, b, c y d Diagonales:

AC y BD

Rectángulo

Rectángulo

Propiedades

Cuadrado

32

c a

b d

α + β + φ + γ = 360°

treinta y dos

α +β +φ=x

a

+b =c+d

1

Calcula la mediana del trapecio. B

La mediana es el segmento que une los puntos medios de los lados no paralelos del trapecio.

N

Mediana

A

Q

C

b

M

P

b)

D

a

MN = a + b 2

x

105°

110°

45° R

Resolución: x+

110° + 45° + 105° = 360° x

a)

B 8 cm

C

x

M

3 N

Resolución:

A

10 + 8 2 x = 9 cm x

b)

M

x

A

20 mm

Resolución: 3x + 6 = 2x + 8 x=2 Cada lado mide 12 cm. Perímetro: 4(12) = 48 cm

N D

4

Resolución:

x

2

D

3x + 6

=

B 12 mm C

x

C

2x + 8

D

10 cm

= 100º

¿Cuántos centímetros mide el perímetro del cuadrado? B

A

O

=

Halla la medida de x. a)

20 + 12 2

x

= 16 mm 53°

Determina el valor de la incógnita en cada caso. a)

E x

80°

F

x

72° G

Resolución: x+

88° 80°

80° + 120° + 72° = 360° x

Matemática SIGMA 6 - Geometría

45°

b)

120°

D

144°

Resolución: x + 53° + 45° = 144º x + 98º = 144° x = 144° – 98° x = 46°

73°

Resolución: 88° + 73° = x + 80° 161° = x + 80° 161° – 80° = x 81° = x

= 88º treinta y tres

33

Practica

5

lo aprendido

a)

Nivel Pinta el círculo de la alternativa corresponde a la respuesta. 1

2

Determina el valor de cada incógnita. (2x + 4) cm

que (x +12)

¿En qué cuadrilátero las diagonales son perpendiculares? A romboide

B

C trapezoide

D cuadrado

rectángulo

Observa el trapecio y calcula el valor de x. B

x

b) (4x + 9)

C 13x

3

(3x + 14) cm 5x

A

D

A 30°

B

C 15°

D 10°

20° x

=

Halla el valor de x + y. x

80° y

4

=

c) (5x – 8)

40°

A 130°

B 160°

C 120°

D 140°

x

Escribe V si la expresión es verdadera o F si es falsa. a) Todo paralelogramo cuadrado. b) Todo trapecio paralelogramo.

es

es

(2x + 10) cm

un

d)

(6x – 3)

=

(27 – 4x) cm

un

c) La suma de las medidas de los ángulos interiores en un paralelogramo es 360°. d) Los trapecios no tienen lados opuestos paralelos. 34

treinta y cuatro

x

=

Nivel

Nivel

Pinta el círculo de la alternativa corresponde a la respuesta. 6

Determina la mediana del trapecio. B

3 cm

A

Pinta el círculo de la alternativa corresponde a la respuesta. 9

b b+3

N D

11 cm

que

Calcula la mediana del trapecio.

C

m

M

7

que

11 cm

A 4 cm

B 5 cm

A 5 cm

B 6 cm

C 6 cm

D 7 cm

C 7 cm

D 8 cm

10 En el siguiente paralelogramo, determina el valor de x.

Halla el valor de b.

B

8 cm 19 cm

A

C

3x + 20°

2x + 30°

D

b

8

A 29 cm

B 30 cm

C 31 cm

D 32 cm

Encuentra el valor de x.

B 25°

C 26°

D 27°

11 Si ABCD es un romboide, halla el valor de x.

76° 74°

A 24°

B

x

68°

(2x

A

(12 – 3)

–a )

C

1) (a + a

D

A 60°

B 70°

A 2

B 3

C 80°

D 90°

C 4

D 5

Matemática SIGMA 6 - Geometría

treinta y cinco

35

Circunferencia y círculo Relaciona

lo que sabes De acuerdo al gráfico: 1. ¿Qué figura representa a un círculo? 2. ¿Qué objeto nos da la noción de circunferencia? ¿Por qué? 3. ¿En qué otros objetos podemos reconocer al círculo y a la circunferencia?

Descubre

y construye

Circunferencia o

Elementos de la circunferencia

Es la línea curva cerrada y plana cuyos puntos están a la misma distancia del centro. Su longitud es:

P

Es la superficie limitada por la circunferencia. Su área es:

Ac = π ×

Tangentes

1

1

36

radio

T

Ángulo central

A

A x°

θ°

C

x°

θ° B

B B

AP = BP

A Q M

Ángulo inscrito

x

=θ

Estudia cómo se construye una circunferencia usando el compás. 1.er paso

2.° paso

Traza la abertura que será el radio de la circunferencia.

Coloca la punta del compás y el lápiz en la hoja; luego, gira el compás.

treinta y seis

C

Teoremas referidos a arcos

P

1

arco

tangente

A

P

secante

r2

Teoremas básicos de la circunferencia Radio y tangente

E

diámetro

B

Círculo

OP

cuerda

D

Lc = 2 × π × r

x

=

θ 2

2

Calcula el valor de x.

3

Encuentra el valor de x.

a) A

A

3x P

4x + 24 45 cm

P

B

Resolución:

56 cm

B

4x + 24 = 56

3x = 45 cm x = 15 cm

4x = 56 – 24 4x = 32

b)

A 76º

x

C

x =

4

B

8 cm

Si la longitud de la circunferencia mide 26π cm, ¿cuánto mide su radio? Resolución:

Resolución: 2x = 76º x = 38º

m

xc

c) O es el centro de la circunferencia. 26π = 2 × π· x 26 = 2x O

45º

13 = x

5x

Rpta. El radio de la circunferencia mide 13 cm. Resolución:

5

5x = 45º x = 9º d)

Resolución:

A

2 . 64º = x

28º = x

Matemática SIGMA 6 - Geometría

Lc = 2· π· 30 Lc = 60π cm

B Resolución:

Lc = 2· π· r x

64º

C

La rueda de una camioneta tiene 30 cm de radio. ¿Cuánto ha recorrido el camión cuando la rueda ha dado 200 vueltas?

En 200 vueltas: 60 π· 200 12 000π cm 0,12π km Rpta. La camioneta ha recorrido 0,12π km. treinta y siete

37

Practica

lo aprendido

Nivel 1

Traza los elementos de la circunferencia del color indicado.

Pinta el círculo de la alternativa corresponde a la respuesta. 3

que

¿Cuál de las siguientes expresiones es correcta? Prueba I. Enlace, año 2010 A El

radio de la circunferencia también es una cuerda.

B El radio de la circunferencia mide

el doble del diámetro.

C La

medida del diámetro de la circunferencia equivale al cuadrado del radio.

radio

diámetro

cuerda

Tangente

D El diámetro de la circunferencia es

la cuerda más grande.

4 2

Realiza las construcciones. a) Dibuja una circunferencia de 1 cm de radio y traza una recta perpendicular con ayuda del transportador.

Aplica las propiedades y resuelve. a)

A

x

C

74° P

x=

b)

A

C

x

128°

b) Dibuja una circunferencia de 1 cm de radio, traza dos rectas tangentes que se intersecten en el punto P y con la regla, demuestra que las distancias de los puntos de tangencia al punto P tienen igual medida.

B

x=

A

c)

x

76°

B

θ

x=

38

treinta y ocho

DECLARACIÓN UNIVERSAL DE LOS DERECHOS HUMANOS El 10 de diciembre de 1948, la Asamblea General de las Naciones Unidas aprobó y proclamó la Declaración Universal de los Derechos Humanos, cuyos artículos figuran a continuación:

Artículo 1.Todos los seres humanos nacen libres e iguales en dignidad y derechos y (...) deben comportarse fraternalmente los unos con los otros. Artículo 2.Toda persona tiene todos los derechos y libertades proclamados en esta Declaración, sin distinción alguna de raza, color, sexo, idioma, religión, opinión política o de cualquier otra índole, origen nacional o social, posición económica, nacimiento o cualquier otra condición. Además, no se hará distinción alguna fundada en la condición política, jurídica o internacional del país o territorio de cuya jurisdicción dependa una persona (...). Artículo 3.Todo individuo tiene derecho a la vida, a la libertad y a la seguridad de su persona. Artículo 4.Nadie estará sometido a esclavitud ni a servidumbre; la esclavitud y la trata de esclavos están prohibidas en todas sus formas. Artículo 5.Nadie será sometido a torturas ni a penas o tratos crueles, inhumanos o degradantes. Artículo 6.Todo ser humano tiene derecho, en todas partes, al reconocimiento de su personalidad jurídica. Artículo 7.Todos son iguales ante la ley y tienen, sin distinción, derecho a igual protección de la ley. Todos tienen derecho a igual protección contra toda discriminación que infrinja esta Declaración (...). Artículo 8.Toda persona tiene derecho a un recurso efectivo, ante los tribunales nacionales competentes, que la ampare contra actos que violen sus derechos fundamentales (...). Artículo 9.Nadie podrá ser arbitrariamente detenido, preso ni desterrado. Artículo 10.Toda persona tiene derecho, en condiciones de plena igualdad, a ser oída públicamente y con justicia por un tribunal independiente e imparcial, para la determinación de sus derechos y obligaciones o para el examen de cualquier acusación contra ella en materia penal. Artículo 11.1. Toda persona acusada de delito tiene derecho a que se presuma su inocencia mientras no se pruebe su culpabilidad (...). 2. Nadie será condenado por actos u omisiones que en el momento de cometerse no fueron delictivos según el Derecho nacional o internacional. Tampoco se impondrá pena más grave que la aplicable en el momento de la comisión del delito. Artículo 12.Nadie será objeto de injerencias arbitrarias en su vida privada, su familia, su domicilio o su correspondencia, ni de ataques a su honra o a su reputación. Toda persona tiene derecho a la protección de la ley contra tales injerencias o ataques. Artículo 13.1. Toda persona tiene derecho a circular libremente y a elegir su residencia en el territorio de un Estado. 2. Toda persona tiene derecho a salir de cualquier país, incluso del propio, y a regresar a su país. Artículo 14.1. En caso de persecución, toda persona tiene derecho a buscar asilo, y a disfrutar de él, en cualquier país. 2. Este derecho no podrá ser invocado contra una acción judicial realmente originada por delitos comunes o por actos opuestos a los propósitos y principios de las Naciones Unidas. Artículo 15.1. Toda persona tiene derecho a una nacionalidad. 2. A nadie se privará arbitrariamente de su nacionalidad ni del derecho a cambiar de nacionalidad. Artículo 16.1. Los hombres y las mujeres, a partir de la edad núbil, tienen derecho, sin restricción alguna por motivos de raza, nacionalidad o religión, a casarse y fundar una familia (...). 2. Solo mediante libre y pleno consentimiento de los futuros esposos podrá contraerse el matrimonio. 3. La familia es el elemento natural y fundamental de la sociedad y tiene derecho a la protección de la sociedad y del Estado. Artículo 17.1. Toda persona tiene derecho a la propiedad, individual y colectivamente. 2. Nadie será privado arbitrariamente de su propiedad. Artículo 18.Toda persona tiene derecho a la libertad de pensamiento, de conciencia y de religión (...). Artículo 19.Todo individuo tiene derecho a la libertad de opinión y de expresión (...). Artículo 20.1. Toda persona tiene derecho a la libertad de reunión y de asociación pacíficas. 2. Nadie podrá ser obligado a pertenecer a una asociación.

Artículo 21.1. Toda persona tiene derecho a participar en el gobierno de su país, directamente o por medio de representantes libremente escogidos. 2. Toda persona tiene el derecho de acceso, en condiciones de igualdad, a las funciones públicas de su país. 3. La voluntad del pueblo es la base de la autoridad del poder público; esta voluntad se expresará mediante elecciones auténticas que habrán de celebrarse periódicamente, por sufragio universal e igual y por voto secreto u otro procedimiento equivalente que garantice la libertad del voto. Artículo 22.Toda persona (...) tiene derecho a la seguridad social, y a obtener, (...) habida cuenta de la organización y los recursos de cada Estado, la satisfacción de los derechos económicos, sociales y culturales, indispensables a su dignidad y al libre desarrollo de su personalidad. Artículo 23.1. Toda persona tiene derecho al trabajo, a la libre elección de su trabajo, a condiciones equitativas y satisfactorias de trabajo y a la protección contra el desempleo. 2. Toda persona tiene derecho, sin discriminación alguna, a igual salario por trabajo igual. 3. Toda persona que trabaja tiene derecho a una remuneración equitativa y satisfactoria, que le asegure, así como a su familia, una existencia conforme a la dignidad humana y que será completada, en caso necesario, por cualesquiera otros medios de protección social. 4. Toda persona tiene derecho a fundar sindicatos y a sindicarse para la defensa de sus intereses. Artículo 24.Toda persona tiene derecho al descanso, al disfrute del tiempo libre, a una limitación razonable de la duración del trabajo y a vacaciones periódicas pagadas. Artículo 25.1. Toda persona tiene derecho a un nivel de vida adecuado que le asegure, así como a su familia, la salud y el bienestar, y en especial la alimentación, el vestido, la vivienda, la asistencia médica y los servicios sociales necesarios; tiene asimismo derecho a los seguros en caso de desempleo, enfermedad, invalidez, viudez, vejez u otros casos de pérdida de sus medios de subsistencia por circunstancias independientes de su voluntad. 2. La maternidad y la infancia tienen derecho a cuidados y asistencia especiales. Todos los niños, nacidos de matrimonio o fuera de matrimonio, tienen derecho a igual protección social. Artículo 26.1. Toda persona tiene derecho a la educación. La educación debe ser gratuita, al menos en lo concerniente a la instrucción elemental y fundamental. La instrucción elemental será obligatoria. La instrucción técnica y profesional habrá de ser generalizada; el acceso a los estudios superiores será igual para todos, en función de los méritos respectivos. 2. La educación tendrá por objeto el pleno desarrollo de la personalidad humana y el fortalecimiento del respeto a los derechos humanos y a las libertades fundamentales; favorecerá la comprensión, la tolerancia y la amistad entre todas las naciones y todos los grupos étnicos o religiosos, y promoverá el desarrollo de las actividades de las Naciones Unidas para el mantenimiento de la paz. 3. Los padres tendrán derecho preferente a escoger el tipo de educación que habrá de darse a sus hijos. Artículo 27.1. Toda persona tiene derecho a tomar parte libremente en la vida cultural de la comunidad, a gozar de las artes y a participar en el progreso científico y en los beneficios que de él resulten. 2. Toda persona tiene derecho a la protección de los intereses morales y materiales que le correspondan por razón de las producciones científicas, literarias o artísticas de que sea autora. Artículo 28.Toda persona tiene derecho a que se establezca un orden social e internacional en el que los derechos y libertades proclamados en esta Declaración se hagan plenamente efectivos. Artículo 29.1. Toda persona tiene deberes respecto a la comunidad (...). 2. En el ejercicio de sus derechos y en el disfrute de sus libertades, toda persona estará solamente sujeta a las limitaciones establecidas por la ley con el único fin de asegurar el reconocimiento y el respeto de los derechos y libertades de los demás, y de satisfacer las justas exigencias de la moral, del orden público y del bienestar general en una sociedad democrática. 3. Estos derechos y libertades no podrán, en ningún caso, ser ejercidos en oposición a los propósitos y principios de las Naciones Unidas. Artículo 30.Nada en esta Declaración podrá interpretarse en el sentido de que confiere derecho alguno al Estado, a un grupo o a una persona, para emprender y desarrollar actividades (...) tendientes a la supresión de cualquiera de los derechos y libertades proclamados en esta Declaración.

Matemática Razonamiento Matemático Nombres: Apellidos: DNI: Dirección:

Institución Educativa:

Correo electrónico:

Método EMAM

Método EMAM

Enrique Matto Muzante

6

Primaria



Título de la obra

® MATEMÁTICA SIGMA 6, primaria Razonamiento Matemático © Derechos de autor reservados y registrados MAURO ENRIQUE MATTO MUZANTE © Derechos de edición, arte y diagramación reservados y registrados conforme a ley DELTA EDITORES S.A.C. EDICIÓN, 2020

Coordinador de área: Mauro Enrique Matto Muzante



Diseño, diagramación y corrección: Delta Editores S.A.C.



Ilustración general: Banco de imágenes Delta Editores S.A.C.

DELTA EDITORES S.A.C. Jr. Pomabamba 325, Breña Tels. 332 6314 332 6667 Correo electrónico: [email protected] www.eactiva.pe

Tiraje: 3700 ejemplares

Impresión: AZA GRAPHIC PERÚ S.A.C. Av. José Leal 257, Lince Lima - Perú Tel. 471 5342 ISBN N.o 978-612-4354-15-1 Proyecto Editorial N.o 31501051900725 Ley N.o 28086 Hecho el Depósito Legal en la Biblioteca Nacional del Perú N.o 2019-09236

PROHIBIDA LA REPRODUCCIÓN TOTAL O PARCIAL LEY DE LUCHA CONTRA LA PIRATERÍA LEY 28289 PUBLICADA EL 20 DE JULIO DE 2004 TÍTULO VII DELITOS CONTRA LOS DERECHOS INTELECTUALES CAPÍTULO I DELITOS CONTRA LOS DERECHOS DE AUTOR Y CONEXOS Reproducción, difusión, distribución y circulación de la obra sin la autorización del autor. Artículo 217.o.- Será reprimido con pena privativa de libertad no menor de dos ni mayor de seis años y con treinta a noventa días-multa, el que con respecto a una obra, una interpretación o ejecución artística, un fonograma o una emisión o transmisión de radiodifusión, o una grabación audiovisual o una imagen fotográfica expresada en cualquier forma, realiza alguno de los siguientes actos sin la autorización previa y escrita del autor o titular de los derechos: a. La modifique total o parcialmente. b. La distribuya mediante venta, alquiler o préstamo público. c. La comunique o difunda públicamente por cualquiera de los medios o procedimientos reservados al titular del respectivo derecho. d. La reproduzca, distribuya o comunique en mayor número que el autorizado por escrito. La pena será no menor de cuatro años ni mayor de ocho y con sesenta a ciento veinte días-multa, cuando el agente la reproduzca total o parcialmente, por cualquier medio o procedimiento y si la distribución se realiza mediante venta, alquiler o préstamo al público u otra forma de transferencia de la posesión del soporte que contiene la obra o producción que supere las dos (2) Unidades Impositivas Tributarias, en forma fraccionada, en un solo acto o en diferentes actos de inferior importe cada uno.

IMPRESO EN EL PERÚ / PRINTED IN PERU

La Editorial se hace responsable por el rigor académico del contenido del texto de acuerdo con los principios de la Ley General de Educación.

Índice Contenidos pedagógicos

Pág.

1

Adiciones completando unidades de millar Adiciones en partes hasta 99 999 Complemento aritmético Conteo de figuras Razonamiento lógico TEST N.° 1

4 5 6 7 11 15

2

Sustracciones en exceso hasta 99 999 Sustracciones en exceso hasta 999 999 Orden de información I y II Orden de información III TEST N.° 2

17 18 20 25 29

3

Multiplicaciones por 5; 10 y 15 Multiplicaciones por 999; 998 y 997 Otros casos de multiplicación Distribuciones numéricas y gráficas Criptoaritmética TEST N.° 3

31 32 33 34 39 43

4

Divisiones entre 99 Métodos operativos I Métodos operativos II TEST N.° 4

45 47 52 57

5

Operaciones combinadas Situaciones con operaciones combinadas Operadores matemáticos Planteo de ecuaciones TEST N.° 5

59 61 62 67 71

6

Fracciones Sucesiones Series TEST N.° 6

73 75 80 85

7

Operaciones con números mixtos Método inductivo Perímetros y áreas TEST N.° 7

87 90 94 99

8

Adición y sustracción con decimales 101 Ecuaciones 103 Cálculo de áreas con mosaicos 105 Descuentos sucesivos y regla de interés 107 TEST N.° 8 111

Matemática SIGMA 6 - Razonamiento matemático

3

U1

Calculando con Adiciones completando unidades de millar

1

Observa cómo resolver 465 + 998. Um

C

D

U

465 cede dos unidades al 998 para completar 1000.

+ 1

4

Entonces:

6

3

Proceso mental

465 + 998 = 463 + (998 + 2) = 463 + 1000 = 1463

2

Completa mentalmente a unidades de millar y escribe la suma. Observa los ejemplos. 998 + 2354 = (998 + 2) + 2354 – 2 = 3352

3

5425 + 997 = (5425 – 3) + 997 + 3 = 6422

a) 526 + 999 =

c) 754 + 997 =

e) 4516 + 999 =

b) 998 + 384 =

d) 998 + 376 =

f ) 9998 + 5875 =

Observa los precios y responde. a) Si deseo comprar la laptop y la moto, ¿cuánto debo pagar?

S/ 39 997

4

cuatro

S/ 1898

S/ 7889

b) Si deseo comprar la laptop, el carro y la moto, ¿cuánto debo pagar?

Calculando con Adiciones en partes hasta 99 999 1

El gráfico muestra la cantidad de simpatizantes de tres equipos de fútbol. Observa y completa.

Equipos de fútbol

PREFERENCIA DE EQUIPOS Amarillo

42 587

Verde

31 242

Azul

58 758



10 000 20 000 30 000 40 000 50 000 60 000 70 000 80 000

Cantidad de simpatizantes

a) ¿Cuántos simpatizantes tienen los equipos Azul y Verde? Resolución: Suma 58 758 + 31 242 en partes. Suma parcialmente.

Descompón.

58 + 31

758 242

Escribe la respuesta.

Suma ambos resultados.

58 Um + 31Um = 89 Um

58 758 + 31 242 90 000

89 000 + 1000 = 90 000

758 U + 242 U = 1000 U Luego: 89 Um + 1000 U

Rpta. b) ¿Cuántos simpatizantes tienen los equipos Verde y Amarillo? Ahora completa los pasos para sumar 31 242 + 42 587 en partes. 31 242 + 42 587

312 C + 425 C = 737 C 42 U

+ 87 U = 129 U

73 700 + 129 =

31 242 + 42 587

Luego: 737 C + 129 U

Rpta. 2

Une cada operación con su respectiva respuesta. a)

25 463 + 48 355

73 818

82 335

44 244 + 39 528

39 254 + 55 383

94 637

83 772

24 638 + 57 697

Matemática SIGMA 6 - Razonamiento matemático

b) 72 146 + 15 345

83 010

87 491

45 082 + 30 117

22 378 + 65 294

87 672

75 199

54 365 + 28 645

cinco

5

Calculando con Complemento aritmético Observa el diálogo y calcula cuánto tiene ahorrado María.

1

Entre las dos hemos ahorrado S/ 1000.

Tengo ahorrado en mi alcancía S/ 376.

Claudia

María

Resolución: Um

C

D

U

1

0

0

0

Al representar 376 + 624 comprueba que suman 1000 y nota que las cifras de las unidades suman 10; las de las decenas, 9 y las de las centenas, 9.

+

Simbólicamente: C.A. (376) = 624 Otros ejemplos:

Se lee: El complemento aritmético de 376 es 624. Interpretación: A 376 le falta 624 para sumar 1000.

a) C.A. (6543) = 3457, porque 6543 y 3457 suman 10 000. b) C.A. (43 287) = 56 713, porque 43 287 y 56 713 suman 100 000. Completa.

2

a) C.A. (315) =

c) C.A. (5387) =

e) C.A. (73 648) =

b) C.A. (747) =

d) C.A. (8105) =

f ) C.A. (89 675) =

Pinta del mismo color cada número y su complemento aritmético.

3

6

4576

1619

7548

4671

37 248

15 292

8381

5424

5329

2316

48 383

51 617

5496

4504

7684

2452

84 708

62 752

seis

Toma

nota

Conteo de figuras 1 Un terreno se dividió tal como muestra la figura. ¿Cuántos triángulos se pueden obtener como máximo en dicho terreno? Resolución: Conteo de figuras en forma objetiva 1.° Dibuja la

figura.

2.° Recorta

la figura.

También se puede realizar en forma gráfica colocando una letra a cada parte de la figura.

3.° Arma los triángulos posibles. De una pieza

De dos piezas

De tres piezas

Hay 2 triángulos.

Hay 3 triángulos.

Hay 2 triángulos.

De cuatro piezas

Hay 1 triángulo.

De seis piezas

Hay 1 triángulo.

Rpta. Hay en total 9 triángulos.

2 ¿Cuántos triángulos observas como máximo en la figura? Resolución:

Esta situación se puede resolver de dos formas.

1.a Contando en forma gráfica.



a





De 1 letra : a, b, c, d De 2 letras : ab, bc, cd De 3 letras : abc, bcd De 4 letras : abcd

b c d

4 3 2 + 1 10

2.a Aplicando la propiedad. n.° total de 4×5 = = 10 triángulos 2

Propiedad Si una figura tiene n regiones de la misma forma, una a continuación de la otra, se cumple que: n.° total de n(n + 1) = figuras 2

Rpta. Hay en total 10 triángulos. Matemática SIGMA 6 - Razonamiento matemático

siete

7

Sí puedes EJERCICIOS DE APLICACIÓN 1

¿Cuántos cuadriláteros con algún vértice en F hay en la figura? Resolución: Escribe todos los cuadriláteros que cumplan la condición:

F

• De una letra :

,

,

• De dos letras:

,



,

=

+

= Total =

2

Halla la respuesta aplicando la propiedad. a) Número de triángulos

3

b) Número de cuadriláteros

Asigna una letra a cada región y completa el proceso para calcular la suma de las áreas de todos los triángulos que se pueden formar en la figura. Resolución: Calcula el área de cada triángulo. Aa = 3 × 6 = 9 u2 2 × Ab = =

6u a 3u

b 3u

c 3u

d 3u

Ac = 3 × 6 = 2

Abc =

×

=

Acd =

×

=

Aabc =

×

=

=

×

=

Abcd =

Aab =

×

=

Aabcd =

Ad

×

=

× =

At = 9 + 4

=

Completa y calcula el número máximo de cuadrados. Resolución:

8

ocho

• Cuadrados de

:

• Cuadrados de

:

• Cuadrados de

: ∴ Total:

Puedes

Solo

EJERCICIOS PROPUESTOS Pinta el círculo de la alternativa que corresponde a la respuesta.

Nivel

Nivel 1

2

¿Cuántos triángulos como máximo hay en la figura?

A 2

B 3

C 4

D 5

5

6

¿Cuántos segmentos hay en la figura?

Halla el total de trapecios que hay en la figura.

A 14

B 28

C 42

D 56

¿Cuántos cuadrados con algún vértice en H hay?

H

3

4

A 27

B 25

C 23

D 21

7

Determina la cantidad de ángulos agudos en la siguiente figura.

A 5

B 7

C 14

D 15

¿Cuántos triángulos con algún vértice en P hay en la figura?

8

A 4

B 6

C 7

D 11

¿Cuántos cuadriláteros con al menos tres zonas de color rojo hay en la figura?

A 3

B 4

C 5

D 6

¿Cuántos rectángulos con algún vértice en T hay en la figura?

P

T A 2

B 8

C 10

D 14

Matemática SIGMA 6 - Razonamiento matemático

A 14

B 12

C 10

D 8

nueve

9

Nivel 9

Halla la cantidad de triángulos que hay en la figura.

11 ¿Cuál es la suma de áreas de todos los triángulos que hay en la figura?

10 u

2u 2u

A 15

B 24

C 38

D 39

10 Determina el número total de rectángulos.

2u 2u

A 440

B 400

C 360

D 300

12 En el gráfico, encuentra la diferencia entre el número total de cuadriláteros y el número total de triángulos que se pueden contar.

A 60

B 126

A 92

B 76

C 280

D 346

C 36

D 20

Entrénate para las 1

4u

Olimpiadas

¿Cuántos pentágonos hay en el gráfico mostrado?

3 ¿Cuántos hexágonos hay como máximo en la figura? A 10

A 4

B 17

B 5

C 19

C 6

D 20

D 7

2 Calcula el número de sectores circulares. A 10 B 20 C 23 D 26

10

diez

4

¿Cuántos segmentos hay en el gráfico? A 14 B 15 C 16 D 17

Toma

nota

Razonamiento lógico 1

Si el ayer de mañana de mañana de pasado mañana es lunes. ¿Qué día será el día de mañana de ayer del pasado mañana de ayer? Resolución: Anteayer –2

Ayer –1

+ 1 + 1 + 2 = +4

Hoy 0

Mañana Pasado +1 mañana +2

+4 = lunes

Dentro de 4 días será lunes y hoy es jueves. Entonces:

Problemas sobre tiempo y días En estas situaciones se relaciona cada día de la semana (lunes, martes, etc.) con un tiempo diario (hoy, ayer, mañana, etc.).

+1 – 1 + 2 – 1 = +1 Rpta. Mañana es viernes. 2

¿Qué parentesco tengo con el hermano de la mamá de mi hermana? Resolución:

Mamá

Hermano (tío)

Problemas sobre parentesco En estos casos se busca la relación que existe entre los integrantes de una familia o la cantidad mínima o máxima de sus miembros. Yo

Hermana

Rpta. Es mi tío. 3

¿Cuántos palitos de fósforo debes mover como mínimo para formar un cuatro? Resolución:

Rpta. Basta mover un palito. Matemática SIGMA 6 - Razonamiento matemático

4

¿Cuántos soldados como mínimo se necesitan para formar cinco filas de cuatro soldados en cada una? Resolución:

Rpta. Se necesitan 10 soldados. once

11

Sí puedes EJERCICIOS DE APLICACIÓN Pinta el círculo de la alternativa que corresponde a la respuesta. 1

2

3

4

En el gráfico se muestran 3 vasos con agua. Para lograr que los vasos con agua y los vasos vacíos se encuentren alternados, ¿cuántos vasos como mínimo deberá mover?

A 1

B 2

C 3

D 4

5

6

¿Cuántas filas de 4 soldados cada una se podrán formar como máximo con 16 soldados?

A 5

B 8

C 10

D 14

7

Si el mañana del anteayer del mañana del anteayer es domingo, indica qué día será pasado mañana del mañana del anteayer.

miércoles

A martes

B

C lunes

D jueves

Con 3 chapitas se puede canjear 1 gaseosa. ¿Cuántas gaseosas se podrán canjear con 27 chapitas?

8

¿Qué parentesco tiene conmigo la suegra de la mujer de mi hermano?

A sobrino

B tío

C hijo

D mamá

En una familia hay 3 hijas y cada una de ellas tiene dos hermanos. ¿Cuántos hijos en total tienen los padres de dicha familia?

A 15

B 9

C 7

D 5

Si el mañana de hoy es martes, ¿qué día será el anteayer del mañana del pasado mañana?

A domingo

B

miércoles

C sábado

D martes

Ronald mira un retrato diciendo «No tengo hermanos ni hermanas y sin embargo el padre de este hombre es hijo de mi padre». ¿De quién es el retrato?

A De Ronald B Del padre de Ronald

12

A 11

B 12

C Del hijo de Ronald

C 13

D 14

D Del abuelo de Ronald

doce

Puedes

Solo

EJERCICIOS PROPUESTOS Pinta el círculo de la alternativa que corresponde a la respuesta.

Nivel

Nivel 1

Siendo martes el pasado mañana del anteayer de ayer, ¿qué día será el pasado mañana del ayer de mañana?

A lunes

B miércoles

C viernes

D jueves

5

6 2

3

¿Qué parentesco tiene conmigo una mujer que es la hija de la esposa del único vástago de mi madre?

A Es mi hija

B Es mi esposa

C Es mi hermana

D Es mi sobrina

7

Si el ayer del mañana del anteayer es miércoles, ¿qué día será el mañana del pasado mañana del ayer de mañana? 8

4

A martes

B lunes

C jueves

D sábado

Si con 3 chapitas de botellas de gaseosa puedes canjear una botella de gaseosa llena, ¿cuántas podrás canjear, si tienes 25 chapitas?

A 15

B

C 10

D 9

Matemática SIGMA 6 - Razonamiento matemático

12

9

¿Qué parentesco tiene conmigo la hija del único hijo de mi papá y de mi mamá?

A Es mi hermana

B Es mi sobrina

C Es mi hija

D Es mi prima

Si el mañana del mañana del anteayer es sábado, ¿qué día será el anteayer del pasado mañana?

A martes

B

jueves

C viernes

D sábado

El esposo de la suegra de la esposa de mi papá, ¿qué parentesco tiene conmigo?

A Es mi abuelo

B Es mi tío

C Es mi papá

D Es mi suegro

Si el ayer del pasado mañana del mañana es domingo, determina qué día será el pasado mañana del mañana de anteayer.

A martes

B sábado

C lunes

D viernes

¿Qué parentesco tiene conmigo la nieta de la esposa del único vástago de mi madre y de mi padre?

A Es mi hija

B Es mi nieta

C Es mi hermana

D Es mi prima

trece

13

Nivel 10 Pilar quiere compartir con sus siete amigos, una torta preparada por ella misma. Indica cuántos cortes como mínimo deberá realizar.

A 8

B 7

C 5

D 3

11 Edgar cercó el jardín de su casa utilizando estacas. Determina cuántas estacas fueron necesarias colocar, sabiendo que cada lado tiene 12 estacas.

B 4

C 6

D 8

14 Se sabe que una bacteria se duplica por minuto. Si un frasco estuvo lleno hasta la mitad a las 8:00 a. m., ¿a qué hora se llenó completamente?

B 46

A 10:00 a. m.

B

C 44

D 40

C 8:30 a. m.

D 8:01 a. m.

9:00 a. m.

15 ¿Qué parentesco tiene conmigo la hija del suegro de mi papá que no es mi madre?

A lunes

B miércoles

A tía

B mamá

C viernes

D domingo

C hermana

D prima

Entrénate para las

Olimpiadas

Un sapo cae a un pozo de 6 metros; tratando de salir, cada hora sube 3 metros, pero la humedad de las paredes del pozo hace que resbale 2 metros. ¿En cuántas horas tocará el borde del pozo?

A 3

14

A 2

A 48

12 Se sabe que viernes es el anteayer del ayer del ayer del pasado mañana. ¿Qué día será el pasado mañana del ayer del pasado mañana?

1

13 Moisés y Marta son esposos y tienen 4 hijas y cada una de ellas tiene dos hermanos. Da como respuesta el número total de integrantes de dicha familia.

catorce

B 4

C 8

D 5

2

Cambia de lugar cuatro palitos de fósforo en la figura para construir tres cuadrados.

TEST N.°

1

Nombre:

n.° de orden:

Sección:

Pinta el círculo de la alternativa que corresponde a la respuesta. 1

2

3

Durante la venta de campaña escolar, Alfredo recaudó S/ 3586; sin embargo, Braulio le debe S/ 998 y César S/997. ¿Cuánto dinero tendría Alfredo si Braulio y César le pagaran?

A S/ 6586

B

S/ 5586

C S/ 5581

D

S/ 5551

4

5

Beatriz realizó la cosecha de papa en tres días. El primer día recolectó 9996 kg, el segundo día 9997 kg y el último día, 7489 kg. Calcula cuántos kilogramos cosechó Beatriz.

Dos empresarios, Alberto y Jaime, invirtieron sus ahorros para abrir un negocio. Alberto invirtió S/ 47 386 y Jaime, S/ 28 875. ¿Cuánto fue el monto total que invirtieron?

A S/ 74 221

B

S/ 75 216

C S/ 75 621

D

S/ 76 261

Gilberto tiene ahorrado en el banco S/ 6387. Si se sabe que quiere comprar una motocicleta que cuesta S/ 10 000, ¿cuánto dinero le falta para poder adquirir dicha motocicleta?

A 27 482

B

17 482

A S/ 4227

B

S/ 4613

C 17 582

D

17 489

C S/ 4387

D

S/ 3613

Calcula el valor de H = O + L + A. O = 17 425 + 12 355

6

El auto de Rodrigo tiene como límite de kilometraje 100 000 km. Si se sabe que hasta ahora ha recorrido 73 486 km, ¿cuánto le falta para llegar al límite?

L = 21 487 + 5439 A = 19 832 + 21 382

A 98 920

B

97 920

A 21 524 km

B

C 97 290

D

92 720

C 26 514 km

D 27 534 km

Matemática SIGMA 6 - Razonamiento matemático

23 154 km

quince

15

1 7

8

9

16

Calcula el número de triángulos que hay en la figura.

A 6

B

8

C 10

D

12

Indica cuántos triángulos hay en la siguiente figura.

A 18

B

26

C 34

D

48

Determina el número total de segmentos que hay en la figura.

10 Halla la menor cantidad de palitos de fósforo que debemos mover para que la igualdad sea correcta.

A 1

B

2

C 3

D

4

11 Si martes es el ayer del pasado mañana del mañana. ¿Qué día será el anteayer del ayer del anteayer de mañana?

A sábado

B

viernes

C jueves

D

miércoles

12 Descubre qué parentesco tiene conmigo el nieto del único nieto de mi bisabuela.

A 50

B

55

A Es mi abuelo

B

Soy yo

C 60

D

65

C Es mi hijo

D

Es mi padre

dieciséis

U2

Calculando con Sustracciones en exceso hasta 99 999 1

Observa el proceso para restar 999 de 4534. Um

C

D

U Representa 4534 con monedas y billetes, quita S/ 1000 y devuelve S/ 1.

Proceso mental –

3 2

9

9

9

5

3

5

4534 – 999 = (4534 – 1000) + 1 = 3535

Calcula la diferencia. a) 7546 – 999 = c) 4964 – 998 = e) 59 383 – 9997 =

3

Completa las tablas. a)

4

b) 32 586 – 9999 = d) 51 374 – 9998 = f) 67 872 – 9997 =

–

9999 9998 9997

b)

–

9996 9898 9789

25 476

45 736

64 835

73 567

87 362

84 968

Observa los precios y responde. auto

Precio: S/ 43 517 Descuento: S/ 9988

camioneta

Precio: S/ 71 989 Descuento: S/ 9989

Matemática SIGMA 6 - Razonamiento matemático

camión

a) ¿Cuánto cuesta el auto con descuento? _________________________

b) Luego de hacer los descuentos, ¿cuánto más es el precio del camión con respecto al de la camioneta? Precio: S/ 85 767 Descuento: S/ 9988 _________________________ diecisiete

17

Calculando con Sustracciones en exceso hasta 999 999 1

Observa el proceso de restar. El señor Olaya compró su casa hace 10 años por un monto de S/ 863 872. Por motivo de viaje desea venderla ofreciéndola en S/ 99 998 menos de lo que costó. ¿Cuánto es el precio de venta de la casa? SE VENDE

Resolución:

CASA

Proceso mental

863 872 – 99 998 = (863 872 – 100 000) + 2 = 763 874 Rpta. El precio de venta de la casa es S/ 763 874.

2

3

Halla el resultado. a) 526 182 – 99 997 =

e) 418 235 – 99 998 =

b) 376 214 – 99 997 =

f) 638 158 – 99 998 =

c) 793 426 – 99 996 =

g) 481 043 – 99 996 =

d) 237 883 – 99 999 =

h) 876 235 – 99 999 =

Completa las sucesiones.

854 362 –99 998

–99 998

–99 998

–99 998

–99 987

–99 987

–99 987

624 781 –99 987 4

18

Une cada operación con su respectiva diferencia.

5

Coloca V si la expresión es verdadera o F si es falsa.

347 286 – 99 988

387 363

a) 189 786 – 99 998 = 89 788

487 342 – 99 979

664 379

b) 536 832 – 99 999 = 435 833

764 267 – 99 888

247 298

c) 851 238 – 99 989 = 751 259

972 357 – 99 879

872 478

d) 725 643 – 99 996 = 625 647

dieciocho





Calculando con 6

¿Cuál de las siguientes sustracciones es incorrecta? A 487 325 – 99 879 = 387 446 B 684 243 – 99 898 = 584 345

10 Escribe V si la expresión es verdadera o F si es falsa y elige la alternativa que corresponde. a) 3 458 245 – 999 989 = 2 458 256

C 563 456 – 99 887 = 463 570

b) 4 685 334 – 999 979 = 3 685 354

D 945 365 – 99 987 = 845 378

c) 7 387 413 – 999 887 = 6 387 523

d) 6 765 364 – 999 775 = 5 765 589

7

Eduardo compró un terreno por el monto de S/ 455 367; pero al momento de hacer efectivo dicho pago, le dijeron que tuvieron un error de cálculo con una diferencia de S/ 99 989. ¿Cuál de las siguientes es el proceso correcto para hallar el costo? A 455 367 – 100 000 + 11 B 455 367 – 100 000 – 12 C 455 367 – 100 000 + 12 D 455 367 – 100 000 – 11

8

Si 3P875 + 73Q47 + 891R8 = 200 000, ¿cuánto le falta a QQQRP para ser igual a una centena de millar?

A VVFF

B VFVF

C FVFV

D VFFV

11 Halla la diferencia y ordena las respuestas ascendentemente. I. 245 687 – 99 987 II. 722 456 – 99 975 III. 547 342 – 99 887 IV. 613 948 – 99 978 A I, III, IV, II

B I, IV, III, II

C II, I, III, IV

D II, IV, III, I

12 ¿Cuál es el proceso correcto para resolver 3 876 985 – 998 986? A 3 876 985 – 1 000 000 + 1024

9

A 14

B 24

C 34

D 124

Un estadio tiene una capacidad para 458 996 espectadores. Se sabe que dentro del estadio hay 285 997 personas sentadas y fuera del recinto hay 185 992, esperando entrar ¿Qué operación es la correcta para calcular el excedente de personas de la capacidad del estadio?

B 3 876 985 – 1 000 000 + 1014 C 3 876 985 – 1 000 000 + 24 D 3 876 985 – 1 000 000 + 14

13 Si abcd es el mayor número de cuatro cifras impares diferentes, ¿cuánto le falta a abcd para ser igual a once decenas de millar?

A 458 996 – (285 997 + 185 992) B 285 997 – (458 996 – 185 992) C 185 992 – (458 996 + 285 997)

A 100 247

B 100 025

D 185 992 – (458 996 – 285 997)

C 10 125

D 9135

Matemática SIGMA 6 - Razonamiento matemático

diecinueve

19

nota

Toma

Orden de información I y II A. Ordenamiento lineal En un edificio de 4 pisos, la familia Castro vive en el último piso, la familia Carrillo un piso más arriba que la familia López y la familia Jiménez 2 pisos arriba de la familia López. ¿En qué piso vive la familia Jiménez? Resolución: • La familia Castro vive en el último piso. 4.° Familia Castro 3.er 2.° 1.er

3

Alrededor de una mesa circular se sientan 6 personas ubicadas simétricamente; se sabe que Amiel está frente a Bruno y a la izquierda de Clara, Fiorella está sentada frente a Clara y David está sentado entre Amiel y Fiorella. Si la otra persona es Elías, ¿entre quiénes se encuentra sentado? Resolución: • Amiel está frente a Bruno y a la izquierda de Clara.

ara

Amiel

• La familia Carrillo vive un piso más arriba que la familia López.

Cl

1

B. Ordenamiento circular

Hay 2 opciones

• La familia Jiménez vive 2 pisos arriba de la familia López.

Amiel

rel la

Fam. Castro Fam. Jiménez Fam. Carrillo Fam. López

Bruno

• David está sentado entre Amiel y Fiorella.

De acuerdo al ejercicio anterior, escribe V si la expresión es verdadera o F si es falsa.

Amiel

vid

ara

Da

Rpta. La familia Jiménez vive en el tercer piso.

Cl

2

• Fiorella está sentada frente a Clara.

Fio

4.° 3.er 2.° 1.er

Bruno

ara

4.° Fam. Castro 3.er 2.° Fam. Carrillo 1.er Fam. López

Cl

4.° Fam. Castro 3.er Fam. Carrillo 2.° Fam. López 1.er

d) La familia Carrillo vive en el piso 2. 20

veinte

rel Fio

s

c) En el 1.er piso viven los López.

Elía

b) Los Jiménez viven debajo de los López.

la

a) Los Castro viven el piso 5.

Bruno

Rpta. Elías está sentado entre Clara y Bruno.

Sí puedes EJERCICIOS DE APLICACIÓN 1

En un edificio de 4 pisos viven 4 amigos, uno en cada piso. Se sabe que Miguel vive un piso más arriba que Gabriel. Daniel vive más arriba que Rommel, y Miguel más abajo que Rommel, ¿en qué piso vive Gabriel?

33

Resolución:

Andrés, Brunela, Carlos, Darío y Elena se sientan alrededor de una mesa pentagonal, uno por lado. Se sabe que Andrés no está al costado de Brunela ni de Elena, Brunela está al lado de Elena y de Darío, y Carlos está a la izquierda de Elena. ¿Quién está a la izquierda de Darío? Resolución:

Rpta.

2

En un hipódromo se llevó a cabo una carrera entre 5 caballos numerados del 1 al 5. Se sabe que: • La numeración de los caballos no coincidió con su orden de llegada. • El caballo 1 llegó en tercer lugar. • La diferencia de la numeración de los dos últimos caballos es 2. • El caballo 4 obtuvo la medalla de plata.

Rpta.

43

Paolo es mayor que Lorena, Alan es menor que Alejandro, Sofía es menor que Alan y Lorena es mayor que Alejandro. ¿Quién de ellos es el menor de todos? Resolución:

¿Qué número tiene el caballo que ganó? Resolución:

Rpta. Matemática SIGMA 6 - Razonamiento matemático

Rpta. veintiuno

21

Puedes

Solo EJERCICIOS PROPUESTOS

Pinta el círculo de la alternativa que corresponde a la respuesta.

Nivel

1

2

3

22

4

Marcelo es más alto que Fernanda; Tomás es más alto que Fernanda, y Marcelo es menos alto que Tomás. ¿Quién es el más alto?

A Marcelo

B Tomás

C Fernanda

D Mario

En un examen, Ángel obtuvo menos puntos que Bruno; Darío, menos puntos que Ángel y Maricela, más puntos que Milena. Si Milena obtuvo más puntos que Bruno, ¿quién obtuvo el puntaje más alto?

A Darío

B Bruno

C Milena

D Maricela

Se sabe que Trujillo está ubicado al norte de Casma; además, Chincha se ubica al norte de Yanahuara y al sur de Casma. ¿Cuál de estas ciudades está ubicada al norte de todas?

5

6

Adrián, Julio, Germán, Mónica, Noemí y Estela se sentaron alrededor de una mesa circular con seis asientos distribuidos simétricamente. Si se sabe que Noemí no se sentó junto a Germán; Mónica no se sentó junto a Julio; además, Adrián se sentó junto y a la derecha de Julio y frente a Germán. ¿Quién se sentó frente a Estela?

A Julio

B Noemí

C Mónica

D Adrián

Seis amigos escalan una montaña. Martín está más abajo que Jimena, quien se encuentra un lugar más abajo que Linda. Deisy está más arriba que Martín, pero un lugar más abajo que Adrián, quien está más abajo que Violeta, y esta se encuentra entre Jimena y Adrián. ¿Quién marcha penúltimo?

A Violeta

B Martín

C Jimena

D Deisy

En un edificio viven cinco amigas, una en cada piso. Abigail vive en el cuarto piso y Eliana vive un piso más abajo que Miriam, pero un piso más arriba que Lidia. Si la otra amiga es Pilar, ¿en qué piso vive ella?

A Casma

B Chincha

A 1.er piso

B 3.er piso

C Yanahuara

D Trujillo

C 5.° piso

D 4.° piso

veintidós

Nivel 7

8

En un desfile, cuatro alumnos se ubican por orden de tamaño. Manuel es el mayor, pero no el más alto. Pablo es el más bajo. Sergio no puede estar junto a Manuel ni a Pablo. Víctor quisiera crecer un poco más. ¿Quién es el más alto?

A Manuel

B Pablo

C Sergio

D Víctor

En una competencia de atletismo, Diana llegó en primer lugar, Romina llegó entre Susana y Olga. Si Isabel llegó después que Romina, pero antes que Susana, ¿quién llegó en tercer lugar?

10 Al término de una carrera de autos, se supo que Rex llegó después que Meteoro; Chick, después que Rey; Faster, un lugar después que Rayo; Rex, antes que Chito; Chick, llegó al mismo tiempo que Meteoro y Faster, antes que Rey. ¿Quién ganó la carrera?

A Chick

B Meteoro

C Rayo

D Rey

11 Cuatro amigos se sentaron alrededor de una fogata (en forma circular). Se sabe que: • Ulises se encuentra a la derecha de Penélope. • José no está junto a Penélope. • Óscar está mirando al fuego. Indica qué expresión es correcta.

A Romina

B Diana

C Olga

D Susana

A Ulises y Óscar se ubican juntos. B Penélope y Óscar no se ubican juntos.

9

En una mesa circular hay 6 asientos simétricamente colocados, ante la cual se sientan 6 amigos a almorzar. Leandro no está sentado al lado de Carlos ni de Robin; Pedro no está al lado de Carlos ni de Mario, Arturo está junto y a la derecha de Pedro, Leandro está a la derecha de Arturo. ¿Quién está junto y a la derecha de Mario?

C No es cierto que Óscar y Ulises no

se ubiquen juntos.

D José se ubica junto y a la derecha

de Ulises.

12 En una carrera de 7 participantes, los jueces determinan que no puede haber empates. Se sabe que Kenyi llegó 1 puesto detrás de Daniel; Natalia llegó 2 puestos detrás de Karina y Piero llegó 5 puestos detrás de Daniel. Si Elmer llegó un puesto detrás de Piero, ¿en qué puesto llegó Ricardo?

A Robin

B Mario

A 2.°

B 4.°

C Arturo

D Carlos

C 6.°

D 1.er

Matemática SIGMA 6 - Razonamiento matemático

veintitrés

23

Nivel 13 Seis amigos viven en un edificio, cada uno en un piso diferente. César vive más abajo que Brenda, pero más arriba que Darío. Favio vive 3 pisos más abajo que César. Alberto vive 2 pisos más arriba que César y a 4 pisos de Enrique. ¿Quién ocupa el segundo piso?

15 Cuatro niños están jugando con sus juguetes preferidos alrededor de una mesa cuadrada. Si: • David tiene el avión. • Luis está frente a Mario. • Mario no tiene la pelota. • El rompecabezas está a la izquierda del auto. • Carlos está a la derecha del que tiene la pelota. Luego:

A Favio

B Enrique

C Brenda

D César

A David tiene la pelota. B Luis tiene el avión. C Mario tiene el auto.

14 En una evaluación, Simón obtuvo menos puntaje que Noemí; Víctor, menos puntaje que Karen; Isabel, el mismo puntaje que Sofía; Simón, más que Saúl; Víctor, el mismo puntaje que Noemí e Isabel más que Karen. ¿Quién obtuvo menos puntaje?

B Karen

A X

B W

C Saúl

D Isabel

C Y

D Z

Olimpiadas

Se quiere ubicar a 5 alumnos en 5 carpetas que forman una columna en el aula de 6.° grado con respecto a la pizarra. Se tienen las siguientes condiciones: • Luis no puede estar junto a Jhonny ni a Felipe. • Marco es corto de vista. • Jhonny debe sentarse en la cuarta carpeta. ¿Qué lugar ocupa Ricardo? A primero B segundo C tercero D cuarto

24

16 La ciudad X tiene más habitantes que la ciudad W. La ciudad W tiene menos habitantes que la ciudad Y, pero más habitantes que la ciudad Z. Si la X tiene menos habitantes que Y, ¿qué ciudad tiene menos habitantes?

A Víctor

Entrénate para las 1

D Luis tiene el rompecabezas.

veinticuatro

2

Seis amigos: A, B, C, D, E y F se sientan alrededor de una mesa circular con seis asientos distribuidos simétricamente. Si se sabe que: • A se sienta junto y a la derecha de B y frente a C. • D no se sienta junto a B. • E no se sienta junto a C. ¿Entre quiénes se sienta F? A Entre B y C B Entre C y D C Entre A y B D Entre A y D

nota

Toma Orden de información III Test de decisiones 1

Elmer, Miguel y Juan tienen distintas profesiones. Juan y el abogado no se conocen, Elmer es hermano del abogado y amigo del profesor. Si uno de ellos es médico, ¿quién es el profesor? Resolución: Es sencillo resolver estos problemas, solo tienes que analizar con cuidado cada frase (dato).

En la tabla se observa que el abogado es Miguel, por lo tanto éste no puede ser ni profesor ni médico. abogado

profesor

Elmer

X

X

Miguel



X

Juan

X

médico

X

Finalmente, al completar la tabla se observa que Elmer es médico, entonces el profesor es Juan. Si en un problema existen varios datos, construye una tabla en la cual estos se relacionen y ubiquen.

En la tabla, ordena en primera fila las profesiones y los nombres en la primera columna. Juan y el abogado no se conocen, por lo tanto, Juan no es abogado. abogado

profesor

médico

Elmer Miguel Juan

X

abogado

profesor

médico

Elmer

X

X



Miguel



X

X

Juan

X



X

Rpta. El profesor es Juan.

Lee detenidamente cada dato, sin importar el orden de ellos, muchas veces el primer dato es el último en utilizarse.

Elmer es hermano del abogado y amigo del profesor, por lo tanto Elmer no es abogado ni profesor.

Elmer

abogado

profesor

X

X

Miguel Juan

X

Matemática SIGMA 6 - Razonamiento matemático

médico

En la tabla solo se debe colocar en cada casilla un () o la palabra SÍ si la afirmación es verdadera y una (X) o la palabra NO si es falsa.

veinticinco

25

Sí puedes EJERCICIOS DE APLICACIÓN Lee y completa el proceso de resolución. 1

Resolución: El contador, quien es mayor que Jesús, es primo de David.

Tres amigas: Luz, Bertha y Lola tienen una mascota diferente cada una: perro, gato y canario. • Luz le dice a la dueña del gato que la otra tiene un canario.

Miguel

David

Jesús

contador

• Bertha le dice a la dueña del gato que su mascota y la de Luz se llevan bien.

abogado profesor

¿Qué mascota tiene Bertha? y, ¿quién es la dueña del perro?

Miguel es el contador.

Resolución: Luz le dice a la dueña del gato que la otra tiene un canario. Luz

Bertha

Lola

perro

Sí

No

No

gato

No

canario

No

Luz

Bertha

Lola

perro

Sí

No

No

gato

No

canario

No

∴ Bertha no es la dueña del gato, pero Lola sí. Rpta. Bertha tiene un dueña del perro es

.

y la

En una reunión se encuentran tres amigos: Miguel, David y Jesús; ellos a su vez son: contador, abogado y profesor, aunque no necesariamente en ese orden. El contador, quien es mayor que Jesús, es primo de David. Si Jesús, es vecino del profesor, ¿qué profesión tiene David? veintiséis

Jesús

contador abogado profesor

Rpta.

Bertha le dice a la dueña del gato que su mascota y la de Luz se llevan bien.

26

Miguel David

Jesús no es profesor, pero sí abogado.

∴ Luz no tiene gato ni canario, tiene perro.

2

Jesús es vecino del profesor.

3

En un colegio trabajan Juan, Carlos y Felipe. Ellos tienen diferentes cargos: coordinador, docente y bibliotecario. El coordinador le ha dicho a Felipe que sus alumnos hacen mucha bulla, Carlos tiene más tiempo de servicio que el docente, pero no tanto como el coordinador. Juan ha visto salir a muchas promociones. ¿Quién es el bibliotecario? coordinador

docente

bibliotecario

coordinador

docente

bibliotecario

Juan Carlos Felipe

Juan Carlos Felipe

Rpta.

Puedes

Solo

EJERCICIOS PROPUESTOS Pinta el círculo de la alternativa que corresponde a la respuesta.

Nivel 1

Nivel

Percy, Jilver y Frank son dueños de un perro, un gato y un conejo, no necesariamente en ese orden. Si se sabe:

3

• Percy le dice al dueño del perro que este quiso morder al conejo.

Gabriel y Cristian tienen diferentes ocupaciones y viven en distritos diferentes. Se sabe que el músico visita a su amigo en Comas, Cristian vive en Surco y uno de ellos es pintor. Determina si cada expresión es verdadera o falsa; luego, elige la respuesta correcta.

• Frank le dice al dueño del perro que el otro amigo tiene un gato.

I. Cristian no es músico.

¿Qué animal tiene Jilver?

II. El pintor vive en Comas. III. El que vive en Comas es músico. IV. Gabriel es pintor.

2

A perro

B gato

C conejo

D No se sabe

Bautista, Rodríguez y Mora son tres profesores que enseñan Matemática, Historia y Geografía, aunque no en ese orden, necesariamente. • El que enseña Geografía es el mejor amigo de Rodríguez y el menor de los tres. • Bautista es mayor que el de Historia. ¿Qué proposiciones son correctas? I. Mora es el mayor. II. Mora enseña Geografía.

4

A VFVF

B VVFF

C FVFV

D FFVF

Edith, Noelia y Alma viven en tres ciudades distintas: Arequipa, Jaén y Pucallpa, estudiando carreras diferentes: Zoología, Historia y Botánica. Edith no vive en Jaén, Noelia no vive en Pucallpa y la que vive en Jaén no estudia Historia. Si se sabe también que Noelia no estudia Zoología y quien vive en Pucallpa estudia Botánica, ¿dónde vive y qué estudia Noelia?

III. El matemático es mayor que Bautista. IV. El mayor enseña Matemática.



A Jaén – Zoología B Arequipa – Botánica A I, II y IV

B II y IV

C Arequipa – Historia

C III y IV

D Solo II

D Pucallpa – Zoología

Matemática SIGMA 6 - Razonamiento matemático

veintisiete

27

Nivel 5

6

Gerardo, José, Alex, Arturo y Mariano se turnan para utilizar una computadora. Solo uno puede utilizarla cada día y ningún sábado o domingo. Gerardo solo puede usarla a partir del jueves. José un día después de Arturo. Alex solo el miércoles o viernes y ni Alex, ni Arturo, ni José trabajan los miércoles. ¿Qué día de la semana utiliza José la computadora?

A martes

B miércoles

C jueves

D viernes

Entrénate para las 1

28

Martín, David, Omar y Ángel están reunidos en una sala de conferencias. Ellos tienen profesiones distintas: uno es educador; el otro, economista; el tercero es juez y el último, fiscal. Si se sabe que Martín y el economista no se llevan bien. Omar es amigo del fiscal, David es primo del juez y este amigo de Ángel; el educador es muy amigo de Ángel y del fiscal. ¿Quién es el juez?

A Ángel

B Omar

C Martín

D David

Olimpiadas

En una reunión de profesionales se encuentran un ingeniero, un contador, un abogado y un médico; los nombres de ellos aunque no en el mismo orden son: Luis, José, Mario y Diego. Se sabe que Luis y el contador no se llevan bien, Mario se lleva muy bien con el médico, José es pariente del abogado; el ingeniero es muy amigo de Diego y del médico. ¿Qué ocupación tiene Mario?

2

Aquí tienes, desordenadas, las fechas de cumpleaños de Ana, Bertha, Carmen y Doris: 1 de marzo, 20 de julio, 17 de mayo y 20 de marzo. Bertha y Carmen nacieron el mismo mes, Ana y Carmen cumplen años el mismo número de día. ¿Quién nació el 17 de mayo?

A contador

B médico

A Ana

B Carmen

C ingeniero

D abogado

C Doris

D Bertha

veintiocho

TEST N.°

2

Nombre:

n.° de orden:

Sección:

Pinta el círculo de la alternativa que corresponde a la respuesta. 1

2

3

Renato desea comprar un auto que cuesta S/ 45 633. Si sabemos que él tiene ahorrado en el banco S/ 9888, ¿cuánto dinero le falta para comprar dicho auto?

A S/ 34 865

B S/ 35 745

C S/ 39 561

D S/ 48 475

Un empresario tenía una deuda pendiente en el banco de un monto que asciende a S/ 83 542. Hasta el día de hoy, se sabe que ha hecho dos depósitos, uno de S/ 9988 y el otro de S/ 9997. Calcula cuánto es la deuda actual.

A S/ 45 658

B S/ 63 523

C S/ 63 557

D S/ 73 447

Halla el valor de Y = A + C – U. A = 36 587 – 9898 C = 45 345 – 9879

4

5

6

Durante la clase de Matemática, el profesor pidió a sus alumnos realizar la siguiente sustracción: 543 248 – 98 799. Alberto dijo que la respuesta es 445 457; Romina, 444 449; Omar 436 468 y Pilar 534 459. Identifica quién de ellos dijo la respuesta correcta.

A Pilar

B Romina

C Omar

D Alberto

Desde un observatorio y haciendo uso de un telescopio, un astrónomo visualizó 879 465 estrellas el año pasado. Su reporte de avistamiento de estrellas de este año, presenta 98 988 estrellas menos que el año anterior. Indica cuántas estrellas fueron vistas según su último reporte

A 749 212

B 779 012

C 78 020

D 780 477

Martín debió transferir S/ 754 663 a otra cuenta; pero confundió el monto y depositó S/ 97 988 menos del que debía. Encuentra qué monto fue lo que transfirió.

U = 32 874 – 9996

A 39 277

B 39 288

A S/ 656 675

B S/ 647 648

C 39 365

D 39 387

C S/ 646 775

D S/ 645 657

Matemática SIGMA 6 - Razonamiento matemático

veintinueve

29

7

En el aula de 6.° grado, Juan es el alumno más alto; en la misma aula, Enrique es más alto que Jorge y más bajo que Claudio. Según esto, ¿qué afirmaciones, de las siguientes, son correctas? I. De los cuatro alumnos, Jorge es el más bajo. II. Enrique, Claudio y Jorge son más bajos que Juan. III. Juan es más alto que Enrique, pero más bajo que Claudio. IV. Claudio es más alto que Enrique.

10 Seis personas juegan monopolio alrededor de una mesa hexagonal. Víctor no está sentado al lado de Milena ni de Danna, Ezio no está al lado de Piero ni de Danna y Miguel está junto y a la derecha de Milena. Si Víctor está frente a Milena, determina quién está sentado junto y a la derecha de Miguel. A Víctor B Piero C Ezio D Danna

8

A I y III

B II, III y IV

C I, II y III

D I, II y IV

Vivian, Priscila, Jossie, Karina y Susana viven en un edificio de 6 pisos; cada uno en un piso diferente. Se sabe que: • El cuarto piso está desocupado. • Karina vive un piso adyacente al de Vivian y al de Jossie. • Susana no vive en el último piso. • Entonces, ¿quién vive en el último piso?

11 Luis, Edgar y Carlos tienen cada uno un boleto con los números 7; 17 y 22, aunque no necesariamente en ese orden. Se sabe que: • El número del boleto de Luis coincide con la cantidad de notas musicales. • La suma del boleto de Edgar con cualquier número impar, siempre resulta impar. Podemos afirmar que:

A Karina B Jossie

A Edgar tiene el boleto con el n.° 17.

C Priscila

B Carlos tiene el boleto con el n.° 7.

D Susana

9

30

Axel, Bruno, César, Dante, Erick y Fausto se sientan alrededor de una mesa circular con seis asientos distribuidos simétricamente. Se sabe que Axel se sienta frente a Fausto y a la izquierda de Erick; Dante no se sienta junto a Erick ni a Axel y César no se lleva bien con Dante. Indica quién se sienta frente a Bruno.

C Luis tiene el boleto con el n.° 22. D Carlos tiene el boleto con el n.° 17.

12 Cuatro amigos practican cada uno con un deporte diferente. • Gabriel quisiera jugar tenis en vez de fútbol. • César nunca fue buen nadador. • Adrián le pide prestadas las paletas de frontón a Roberto. ¿Qué deporte practica César?

A Dante

A Natación

B César

B Tenis

C Fausto

C Frontón

D Axel

D Fútbol

treinta

U3

Calculando con Multiplicaciones por 5; 10 y 15 1

Observa cómo se realiza la multiplicación por 10 y completa. 10 × 4385 = 43 850

2

a) 10 × 6463 =

b) 10 × 18 364 =

c) 10 × 8257 =

d) 10 × 57 823 =

Para multiplic ar un número po r 10, escribe el mismo número y agrega un ce ro.

Observa cómo se realiza la multiplicación por 5 y halla la respuesta. Proceso mental

5 × 486 = Ya que 5 es la mitad de 10, multiplica el número por 10 y divide el resultado entre 2.

3

10 × 486 = 4860

4860 ÷ 2

= 2430

a) 5 × 264 =

b) 5 × 4676 =

c) 5 × 576 =

d) 5 × 7496 =

e) 5 × 398 =

f ) 5 × 5674 =

Observa cómo se realiza la multiplicación por 15 y calcula. Proceso mental

15 × 325 =

4

(10 × 325) + (5 × 325) = 3250 + 1625

a) 15 × 465 =

b) 15 × 4743 =

c) 15 × 374 =

d) 15 × 5682 =

e) 15 × 826 =

f ) 15 × 9436 =

= 4875

Ya que 15 e s la suma de 10 más 5, multiplica el número por 10 y por 5. Luego, suma ambos resultados.

Descubre en la sopa de números el resultado de cada multiplicación. a) 5 × 736 =

b) 10 × 586 =

c) 5 × 9834 =

d) 10 × 3787 =

e) 5 × 2486 =

f ) 15 × 142 =

g) 5 × 8964 =

h) 15 × 236 =

Matemática SIGMA 6 - Razonamiento matemático

4 1 5 8 6 0 1 2 3 2 3 2 9 0 7 8 6 1 9 0 5 4 3 5 4 0 1 3 3 4 4 3 4 5 7 9 7 0 6 9 1 0 6 8 7 5 8 5 8 1 9 6 7 5 2 3 2 4 0 7 6 3 4 3 3 0 4 6 2 0

treinta y uno

31

Calculando con Multiplicaciones por 999; 998 y 997 1

El dueño de un club recreacional desea comprar 999 mesas de ping pong a S/ 387 cada una. ¿Cuánto debe pagar por toda la compra? Resolución:

Multiplica 1000 veces 387 y quita 1 vez 387.

999 × 387 1000 × 387 = 387 000 –387 –1 × 387 = 386 613 Rpta. Debe pagar S/ 386 613.

Completa las multiplicaciones. a)

3

4

c)

998 × 639

997 × 315

1000 × 435 =

1000 × 639 =

1000 × 315 =

–1 × 435 =

–2 × 639 =

–3 × 315 =

Efectúa. a) 999 × 427 =

b) 998 × 225 =

c) 998 × 674 =

d) 999 × 342 =

e) 998 × 318 =

f ) 998 × 821 =

g) 999 × 826 =

h) 997 × 450 =

i ) 997 × 432 =

j ) 999 × 514 =

k) 997 × 363 =

l ) 997 × 518 =

Completa las tablas. a) ×

32

b)

999 × 435

999 998 997

b) ×

345

539

433

978

576

362

845

198

treinta y dos



2

999 998 997

Calculando con Otros casos de multiplicación 1

Observa cómo multiplicar 13 × 17 aplicando la propiedad distributiva.

3

Resolución: 10 × 17 = 170

Observa cómo se multiplican dos números cuando estos se pueden expresar como una suma y diferencia, y completa. a) 44 × 56 = (50 – 6)(50 + 6)

+ 3 × 17 = 51

44 × 56 = 502 – 62

13 × 17 = 221

44 × 56 =

Recuerda (a – b)(a + b) = a2 – b2

–

44 × 56 = En forma práctica:

b) 57 × 63 = (60 – 3)(60 + 3)

13 × 17 = (10 + 3) × 17 = 10 × 17 + 3 × 17 = 221

Resuelve aplicando distributiva.

la

–

57 × 63 =

–

propiedad

57 × 63 =

a) 12 × 45 = ___________________________

c) 78 × 82 =

b) 16 × 55 = ___________________________ c) 14 × 62 = ___________________________ 2

57 × 63 =

Observa cómo multiplicar dos números de dos dígitos de la misma decena y cuyas cifras del orden de las unidades suman diez.

78 × 82 =

–

78 × 82 =

–

78 × 82 =

4

Halla el producto mentalmente completa el crucinúmero. a) 18 × 22 =

2 4 × 26 = 6 24

Multiplica 2 por su sucesivo: 2 × 3 = 6. Luego multiplica las unidades: 4 × 6 = 24. El resultado es 624.

b) 62 × 68 = _____

c) 32 × 38 = _____

d) 75 × 75 = _____

e) 54 × 56 = _____

f ) 83 × 87 = _____

g) 17 × 13 = _____

h) 64 × 66 = _____

i ) 21 × 29 = _____

j ) 59 × 51 = _____

Matemática SIGMA 6 - Razonamiento matemático

f ) 68 × 72 =



g) 45 × 55 =



h) 67 × 73 =

i ) 58 × 62 =



j ) 84 × 96 =

i h

Multiplica mentalmente. a) 47 × 43 = _____

d) 56 × 64 =



e) 36 × 44 =

×3

b) 57 × 63 =



c) 27 × 33 =

y

g

e b

j

a

c d

f

treinta y tres

33

Toma

nota Distribuciones numéricas y gráficas

1 Determina el valor de x en la distribución numérica.

Filas

Columnas

5

10

8

9

13

9

12

3

x

Las distribuciones numéricas contienen grupos de filas y columnas que guardan la misma regla de formación, donde a partir de ella se halla la incógnita.

Resolución: En la 1.a columna: 5 + 9 + 12 = 26 En la 2.a columna: 10 + 13 + 3 = 26 Entonces: En la 3.a columna: 8 + 9 + x = 26 → x = 9 Rpta. El valor de x es 9.

2 Observa el proceso para hallar el número que falta en la distribución gráfica. 8

7 25

9 121

? 8

4

En las distribuciones gráficas se busca la relación o regla de formación que hay en las dos primeras figuras y repetirla en la tercera, hallando así el valor de la incógnita.

En la primera figura:

En la segunda figura:

8 × 4 = 32 3+2=5 52 = 25

7 × 8 = 56 5 + 6 = 11 112 = 121

Luego, en la tercera figura: 9 × 3 = 27 → 2 + 7 = 9 y 92 = 81 Rpta. El número que falta es 81.

3 Encuentra el valor de x2 – 2x. Resolución: 8 5 1 3 2

4 5 11 5 9

6 4

x 8

7

1.a figura: (8 × 2) – (5 × 3) = 1 2.a figura: (4 × 9) – (5 × 5) = 11 3.a figura: (6 × 7) – (4 × 8) = 10 Luego: 102 – 2(10) = 80

34

treinta y cuatro

3

Sí puedes EJERCICIOS DE APLICACIÓN 1

Completa el procedimiento y determina el valor desconocido. a) 54

36

30

63

24

54

En la columna n.° 1: 54 –

30 = 2

En la columna n.° 2: 36 –

24 = 2

En la columna n.° 3: 39

24

x

45

11

13

Rpta.

b)

2

27

5

19

32

m

54

En la fila n.° 1: 45 + 13 = 58

58 ÷ 2 = 29

2+9=

En la fila n.° 2: 27 + 19 = 46

46 ÷ 2 = 23

2+3=

En la fila n.° 3:

=

Rpta.

Calcula la suma de las cifras de p + q + r.

6

18

q

45

9

15

18

42

3

p

6

126

6

3

=

9

2

r

Rpta.

Relaciona los números de cada figura y encuentra el valor de x 2 15 23

24 31

35

2

.

x 10

17

38

Rpta. Matemática SIGMA 6 - Razonamiento matemático

treinta y cinco

35

Puedes

Solo EJERCICIOS PROPUESTOS

Pinta el círculo de la alternativa que corresponde a la respuesta.

Nivel 1

¿Cuál es el valor de x ÷ 10? 225 5

2

3

4

540 45

15

36

8

B 16

C 10

D 8

Determina el valor de m.

15

640

A 24

8

x

6

12 60

13

23

14

16

35

11

34

23

47

18

y

18

A 56

B 46

C 34

D 31

B 15

C 18

D 21

72

175

345

3

25

x

24

7

15 B 30

C 60

D 90

¿Cuánto es la suma de las cifras del valor de x? 19

35

29

40

5

x

12

28

34

54

x

36

46

24 37

A 15

B 39

C 58

D 60

8

Descubre el valor de p. 24

72

9

15

160

32

12

p

25

A 100

B 50

C 20

D 10

Calcula el valor del número que falta.

43

7

8

36

16

7

7

14

?

9

A 4

B 8

A 5

B 6

C 12

D 16

C 7

D 8

treinta y seis

96

Encuentro el valor de x.

28

7

A 10

16

Nivel

Halla el valor de 3(x – 3).

35

78

45

15

m

A 12

Calcula el valor de y.

24

36

5

9

10

13 Descubre el valor de x.

Hallar el valor de x ÷ 3. 35

27

45

29

61

33

36

x

22

7 47 6

2

10

5

3

68

6

9

5

4

x

A 3

B 4

A 64

B 62

C 12

D 36

C 42

D 40

5 28

33

7

2

9 3

w

11

12

B 75

C 20

D 15

80

9

A 142

B 140

C 136

D 130

3

6 4

6

12

A 3

B 4

C 6

D 7

9

x

15

13

23

11

22

19

7

4

15

10

12

10

A 5

B 11

C 19

D 21

Nivel 16 Calcula el valor de x.

75

2

x

6

12 ¿Cuánto vale 2b?

60

13

7

17

x

17

5

5 4

15 ¿Cuál es el valor de x?

43 20

6

3

11 Encuentra el valor de (x2 – 2).

180

8 4

4

4

5

4

A 76

2

14 ¿Cuánto vale x?

Determina el valor de 5w. 8

6

b

7

3 5

1,6 4

9

1,8 12,8

7,2 4

2

2,5 x

2

A 140

B 150

A 12

B 14

C 160

D 170

C 20

D 30

Matemática SIGMA 6 - Razonamiento matemático

treinta y siete

4

37

17 Halla el valor de (x – 2)2.

19 Encuentra el valor de x.

8

52

5

11

76

8

15

96

12

59

15

74

20

4

25

5

18

x

30

6

x

A 9

B 25

C 49

D 81

18 Determina el valor de (3m – 2). 16

9

m

A 100

B 102

A 89

B 93

C 104

D 106

C 102

D 115

Entrénate para las 1

¿Qué número debe aparecer en el espacio en blanco? 7

2

38

Olimpiadas

8

3

?

8

4

12

7

10

13

3

2

6

5

8

6

Si se cumple que: 4

2

16

4

36

6

z

w

1

1

2

4

3

9

x

y

Calcula el valor de w + x + y + z.

A 9

B 11

A 84

B 92

C 23

D 37

C 94

D 104

4

Determina el número que falta.

¿Qué número falta?

123

215

322

1 2

1 3

1 4

1 5

184

231

?

1 3

1 4

1 5

?

245

247

216

1 6

1 12

1 20

3 40

A 269

B 258

C 248

D 189

treinta y ocho

A

1 6

B

1 8

C

2 7

D

3 8