7.

Muestras aleatorias y estimaciones

Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II

286

1.

Variables aleatorias continuas

2.

Distribución normal

3.

Números aleatorios

4.

Muestras aleatorias

5.

Distribuciones muestrales

6.

Estimación de la media

7.

Error máximo admisible. Tamaño de una muestra

Muestras aleatorias y Estimaciones

1.- VARIABLES ALEATORIAS CONTÍNUAS VARIABLES ALEATORIAS CONTINUAS Una variable aleatoria es continua si puede tomar todos los valores de un intervalo (comprendidos entre otros dos). Por ejemplo: la talla, el peso, la longitud de una determinada marca de tornillos, etc. Al aproximar un histograma (variable discreta) por medio de una curva, observa que: 1) Todas las ordenadas de las curvas son positivas: f(x)  0. 2) El área bajo la curva comprendida entre ella y el eje de abcisas debe ser 1. Ya que:

1) Todos los rectangulos del histograma estan situados por encima del eje OX.  2) La suma de las areas de todos los rectangulos del histograma es igual a 1. En un histograma, la altura de cada rectángulo se llama densidad de frecuencia y el área de los rectángulos coincide con las frecuencias (probabilidades) de cada intervalo. Por analogía, definimos: FUNCIÓN DE DENSIDAD de una variable aleatoria contínua X a una función f(x) que cumple: 1) f(x)  0, para todo número real x. 2)

+

 f(x)  1

La aproximación de un histograma por medio de una función de densidad se hace con la condición de que el área encerrada en un intervalo [a, b] del histograma coincida con dicha área en [a, b] bajo la curva de densidad. El cálculo de probabilidades en un histograma es cálculo de áreas de rectángulos. De la misma forma, en una variable continua, el cálculo de probabilidades se reduce al cálculo de áreas bajo la curva de densidad para lo que hay que recurrir al cálculo integral. Es decir: p(a  X  b)=

+

 f(x)

Para una variable aleatoria continua no tiene sentido calcular probabilidades puntuales del tipo p(X =a), ya que, la probabilidad es área bajo una curva en un intervalo y para X=a el intervalo es de longitud 0.

287

Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II

En este caso se suele tomar: p(X = a) = p(a0’5  X  a+0’5) FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN de una variable aleatoria continua X es la función F(x) definida por: a

 f(x)

F(a) = p(X  a)=

Es equivalente a la función de distribución de una variable discreta, ya que representa la probabilidad acumulada de la variable hasta el valor X=a. n

Teniendo en cuenta que la media de una variable discreta se define por X  definimos MEDIA de una variable aleatoria continua X a la expresión :

X

 xk  pk ,

k=0 +

 x f(x)

(también llamada ESPERANZA MATEMÁTICA). Teniendo en cuenta que la varianza de una variable discreta se define por n

V=

 xk  x

2

 pk ,

definimos VARIANZA de una variable aleatoria continua X a la

k=0

expresión:

V=

 x  x +

2

 f(x)

La desviación típica es la raíz de la varianza   V .  DENSIDAD 1 La función de densidad de cierta variable aleatoria X se define así:

0,  f(x)= k x 2 , 0, 

1 Halla la constante k, calcula p   x < 2

288

si x  0 si 0 < x  2 si x > 2

3  y halla la media, la varianza y la desviación típica. 2

Muestras aleatorias y Estimaciones

Teniendo en cuenta que

+

 f(x)  1 ,

debe ser

2

0 k x

Resolviendo la integral por la regla de Barrow, obtenemos:

De donde:

1k 2

0 x

2



2 2

0 x

1

2 2

0 x



1 . k

8 3

8 1 3  k= 3 k 8

32 323 2 3 13 1 p  x <   f(x)  x  12 8 2 1 2 32 2



Media: x 

2

+



2

 x f(x)  0

Varianza: V =

(Por la regla de Barrow).

3 3 3 x   1,5 8 2

(Por la regla de Barrow).

2 2 3  x  x f(x)  0  x  2  +



2

3 2 3 2 4 3 3 9 2 x   0,15  x  3x  x   8 0 4  8  20



Desviación típica :   V  0,15  0,3872983  DENSIDAD 2

si x < -2 0,  si - 2  x < 3 Dada la función de densidad f(x)=  , 0, si x  3  calcula la media, varianza y desviación típica.

halla el valor de la constante  y

 DENSIDAD 3

si x  0 0,  La función de densidad de una variable aleatoria X es f(x)= k x, si 0 < x < 4 . Halla el valor de 0, si x  4  k y calcula la media, varianza y desviación típica. Calcula las siguientes probabilidades : p(X0),

p(X1),

p(X>4),

p(X3),

p(2