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MATEMÁTICAS B 4º E.S.O. MATERIAL CURRICULAR CURSO 2012-2013 ALUMNO/A:............................................................. GRUPO:...............

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MATEMÁTICASB. PROGRAMACIÓN PARA EL CURSO 2012-2013. Índice: UNIDAD I. NÚMEROS REALES. POTENCIAS Y RADICALES. ............................. 3 1. Números Reales. .................................................................................................... 3 Números Racionales e Irracionales. ......................................................................... 3 Ordenación de los números reales. ........................................................................... 6 Relación de orden y suma......................................................................................... 6 La recta real. ............................................................................................................. 7 Intervalos y semirrectas. Valor absoluto. Entornos de un punto. ........................... 10 2. Potencias Reales.................................................................................................... 13 Propiedades de las potencias. ................................................................................. 13 Potencia de exponente fraccionario........................................................................ 14 Potencias de exponente irracional. ......................................................................... 14 Radicales. Propiedades. Operaciones con radicales. Racionalización. .................. 16 UNIDAD II. TRIGONOMETRÍA ................................................................................ 22 Introducción............................................................................................................ 22 Medidas de ángulos. Sistema sexagesimal y S.I. ................................................... 29 Razones trigonométricas de ángulos agudos. ......................................................... 30 Cálculo de las razones de los ángulos de 30º, 45º y 60º......................................... 31 Relaciones fundamentales de la trigonometría....................................................... 33 Ampliación del concepto de ángulo. Sentido de giro. Ángulos positivos y negativos................................................................................................................. 34 Razones de un ángulo cualquiera. Reducción a las razones de un ángulo conocido del primer cuadrante. .............................................................................................. 35 Ejercicios y problemas de trigonometría. ............................................................... 36 UNIDAD III. EXPRESIONES ALGEBRAICAS. ....................................................... 40 Manejo de expresiones literales.............................................................................. 40 Operaciones con polinomios. ................................................................................. 42 Regla de Ruffini. .................................................................................................... 46 Factorización. ......................................................................................................... 48 Fracciones Algebraicas........................................................................................... 51 UNIDAD IV.

ECUACIONES E INECUACIONES. ............................................. 62

1. Ecuaciones. ............................................................................................................ 62 Ecuaciones de segundo grado y grado superior...................................................... 62 Ecuaciones irracionales. Ecuaciones racionales..................................................... 66 Resolución gráfica y algebraica de los sistemas de ecuaciones lineales y no lineales con dos incógnitas. ................................................................................................. 69 2. Inecuaciones. ......................................................................................................... 75 Resolución de inecuaciones de primer grado. ........................................................ 76 Inecuaciones lineales con dos incógnitas. .............................................................. 77 Sistemas de inecuaciones lineales. ......................................................................... 78

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Inecuaciones de segundo grado. ............................................................................. 79 Inecuaciones polinómicas de grado superior al segundo. ...................................... 81 Inecuaciones Racionales......................................................................................... 83 UNIDAD V. LOGARITMOS. ECUACIONES EXPONENCIALES Y LOGARÍTMICAS. ......................................................................................................... 95 Concepto de logaritmo. Nomenclatura. Cálculo de logaritmos en cualquier base. 95 Propiedades de los logaritmos. ............................................................................... 96 Ecuaciones logarítmicas y exponenciales............................................................... 96 UNIDAD VI. FUNCIONES........................................................................................ 101 Funciones. Definición........................................................................................... 101 Propiedades generales de las funciones................................................................ 106 Clasificación de las funciones a partir de la ecuación o criterio que la define. Representación gráfica. ........................................................................................ 118 Límite de funciones .............................................................................................. 142 UNIDAD VII. ESTADÍSTICA.................................................................................... 149 Estadística: clases y conceptos básicos. ............................................................... 149 Variables o caracteres estadísticos. ...................................................................... 150 Encuestas y muestreo. .......................................................................................... 150 Encuestas y muestreo. .......................................................................................... 151 Tablas estadísticas: recuento. ............................................................................... 153 Tablas estadísticas: frecuencias. ........................................................................... 155 Representaciones gráficas..................................................................................... 157 Diagramas de tallos y hojas. ................................................................................. 160 Medidas estadísticas. Clasificación. ..................................................................... 164 Parámetros de centralización. ............................................................................... 164 Parámetros de dispersión. ..................................................................................... 168 Coeficiente de variación. ...................................................................................... 170 UNIDAD VIII. PROBABILIDAD .............................................................................. 175 Experimentos aleatorios. Sucesos......................................................................... 175 Operaciones con sucesos. ..................................................................................... 177 Probabilidad de un suceso .................................................................................... 179 Regla de Laplace .................................................................................................. 180 Frecuencia y probabilidad .................................................................................... 182 Propiedades de la probabilidad............................................................................. 183 Probabilidad condicionada. .................................................................................. 185 Sucesos dependientes e independientes................................................................ 185

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UNIDAD I. NÚMEROS REALES. POTENCIAS Y RADICALES.

1. Números Reales. Números Racionales e Irracionales. Recordemos los tipos de números que conocemos: Números naturales que representamos por N. Son los números que utilizamos para contar y ordenar. Formado por los números 1,2,3,4… Números enteros que representamos por Z. Son los números que necesitamos para representar operaciones imposibles en N, como la resta o diferencia : 3 - 8 Formado por los números …,-3,-2,—1, 0, +1 ,+ 2, +3… Números racionales que representamos por Q. Son los números que se representan mediante fracciones o mediante el decimal que procede de esta división indicada. De esta forma hemos trabajado con números decimales, de los que conocemos decimales limitados. Ej. 2,34 ; 1,25 ... y decimales ilimitados periódicos Ej. 2,333…; 1,2323 23... . y también con fracciones. Números Racionales: (Q) Sabemos que los racionales podemos representarlos mediante fracciones o mediante decimales. Para pasar de fracción a decimal solamente tenemos que dividir el numerador entre el denominador. 3 Veamos casos que se pueden presentar: = 0,75 decimal exacto; 4 2 13 = 0,6666... decimal periódico puro; = 2.166.. .decimal periódico mixto 3 6 Vemos por lo tanto que pasar de fracción a decimal es muy simple solo debemos dividir. Veamos el recíproco, pasar de decimal a fracción: a) Primer caso decimal exacto: Es muy simple solo tenemos que escribir la fracción 75 3 decimal correspondiente 0,75 = = y así obtenemos la fracción 100 4 Numerador: Parte entera y decimal sin coma. Denominador: Unidad seguida de tantos ceros como cifras decimales haya. En el caso de los decimales periódicos: Tenemos el problema de las infinitas cifras decimales y que hacer con ellas para poder escribir la fracción correspondiente. b) Segundo caso decimal periódico puro: calculo de la fracción del decimal 0,666… Llamaremos “x” a la fracción buscada: Luego x = 0,666... . El sistema consiste en escribir dos igualdades equivalentes de forma que su diferencia elimine todos los decimales. Para ello multipliquemos x = 0,666.. por diez y obtenemos 10 x = 6,666..

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Restando ambas : 10 x = 6, 666… x = 0, 666… 9

x

= 6

→ despejando

x=

6 2 = obtenemos la 9 3

fracción. Numerador: A la parte entera y decimal sin coma se le resta la parte entera. Denominador: Tantos 9 como cifras tiene el periodo. Ejercicio 1.- Calcula la fracción generatriz del decimal: a) 0,3333... b) 12,787878... c) 9,256256256... d) 145,2222... e) – 34,676767.... c)Tercer caso decimal periódico mixto: calculo de la fracción del decimal 2,166… Llamaremos “x” a la fracción buscada: Luego x = 2,166… que es un decimal periódico mixto, y en principio no sabemos como tratarlo, pero si multiplicamos está ecuación por 10 obtendremos un decimal periódico puro que trataremos como en el caso anterior: 10 x = 21,666… que ya sería un decimal puro, y procederíamos como en el caso a) Volvemos a multiplicar por diez: 100 x = 216,666… Restando ambas :100 x = 216 ,666… 10 x = 21,666… 195 39 13 = = 90 18 6 Para comprobar si hemos encontrado la fracción adecuada basta dividir 13 ÷ 9

90 x = 195

→ x=

Numerador: A la parte entera y decimal sin coma se le resta la parte entera seguida de anteperiodo. Denominador: Tantos 9 como cifras tiene el periodo seguidos de tantos 0 como cifras tiene el anteperiodo Ejercicio 2.- Escribe la fracción de los siguientes decimales a) 3,4 b) 2,02 c ) 1,333… d ) 12, 2 333… e) 2,8212121 … f) 1,2 3535… Número irracionales. Tomemos el cuadrado mas simple el de lado 1 (cm, m, km etc) sabemos que existe una relación entre el lado y la diagonal Calculemos la diagonal del cuadrado de lado 1.

Apliquemos el Teorema de Pitágoras al triangulo rectángulo que resulta de dividir mediante la diagonal el cuadrado en dos partes: d 2 = 12 + 1 2 = 1+1 = 2 d2 = 2 Pág. 4

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He aquí la información: la diagonal es un número cuyo cuadrado es 2

Si calculamos el número que multiplicado por sí mismo la raíz cuadrada de 2 obtenemos:

dé 2, es decir si calculamos

2 = 1, 41421356237309505…. Podemos ver que la raíz es un número decimal ilimitado no periódico. Demostración: Como todo los números decimales que conocemos son periódicos es lógico pensar que éste número procede de una división. Si procede de una división podemos suponer que esa división es la fracción irreducible a ; b a Luego el número cuyo cuadrado es 2 será : = 2 b Si elevamos al cuadrado los dos miembros de la anterior igualdad tendremos: 2 2 a2 a2 ⎛a⎞ 2 =2 ⎜ ⎟ = 2 → 2 = 2 → b b2 ⎝b⎠

( )

Esta última igualdad es absurda. ¿Cómo una fracción irreducible puede ser igual a 2? ¡Algo está mal! a2 a era una fracción irreducible, luego 2 también lo En efectos: Habíamos dicho que b b será. (una fracción irreducible no es posible simplificarla mas). a2 es irreducible ¿Cómo puede ser igual a 2? Luego si b2 Conclusión: Por lo tanto la hipótesis de que este número procede de una división, es falsa. Este número decimal no periódico con infinitas cifras decimales es distinto a los conocidos hasta ahora. Estos números no son racionales, y se les llaman IRRACIONALES.

Se dice que un número es irracional a un decimal que posee infinitas cifras decimales no periódicas. El conjunto de estos se representa por I. Otros números irracionales son: 3 , 5 , 7, … También son irracionales los que proceden de operaciones con irracionales con números racionales: 1+ 5 , 5 9 ,…. 3- 2, 2 También lo es el número π = 3,141592653589793…..cuya irracionalidad no se demostró hasta el siglo XVIII.

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Vamos a llamar números reales al conjunto de los números por racionales e irracionales: Enteros (Z) Racionales (Q)

Naturales (N) Cero Enteros negativos (Z - )

Fraccionarios REALES ( R )

Irracionales (I)

Ordenación de los números reales.

En los números reales se define la relación de orden como una extensión de la definida en los números racionales. Cuando queremos expresar que 7 es menos o igual que 19, escribimos 7 ≤ 19, equivalente a decir que 19 – 7 = 12 es positivo. La relación de orden, , mayor o igual que, ≥ . Relación de orden y suma.

Veamos en los siguientes ejemplos cómo varía la relación de orden al sumar o restar un número a los dos miembros de la desigualdad: 7 < 10,5 restando 12 se tiene – 5 < - 1,5 - 2,6 > - 4 sumando 10,3 se tiene 7,7 > 6,3 Si a los dos miembros de una desigualdad se les suma o resta un mismo número, se obtiene otra desigualdad en el mismo sentido. Relación de orden y producto

En estos ejemplos se muestra cómo varía la relación de orden al multiplicar o dividir por un número distinto de 0 los dos miembros de la desigualdad: 3,2 < 5,7 multiplicando por - 10 se tiene – 32 > - 57 - 8,1