Actividades del final de la unidad 1. Deduce las leyes de la reflexión aplicando el principio de Huygens a un frente de onda plano. Supongamos que un frente de ondas plano AB que se propaga en un medio llega con cierta inclinación a la superficie de separación con otro medio en el cual no puede propagarse. El ángulo, iˆ, que forma el frente de ondas con la superficie de separación es el mismo que forma el rayo incidente, I, con la normal a dicha superficie de separación. Cuando el punto A llega a la superficie, el punto B está a una distancia de la superficie igual a BB4. En ese instante, el punto A se convierte en un foco emisor de nuevas ondas, y lo mismo les va ocurriendo al resto de los puntos del frente según van llegando a la superficie de separación. Las ondas emitidas por los nuevos focos emisores son devueltas al medio de donde procede el frente de ondas incidente. Cuando el punto B llega a la superficie de separación, las ondas emitidas por el punto A estarán en A4. La recta A4B4 representa la envolvente del nuevo frente de ondas. Según la figura, en el triángulo ABB 4 tenemos que: sen iˆ =

BB4 AB4

sen rˆ =

AA4 AB4

y en el triángulo AA4B4:

Recta normal a la superficie de separación I

R

A' i

B

r

Onda incidente

Onda reflejada i

A

i

r

r^

B'

Pero como la onda incidente y la onda reflejada, esquematizada por el rayo R, se propagan en el mismo medio, tendrán la misma velocidad, por lo que las distancias AA4 y BB4 serán iguales, pues han sido recorridas en el mismo tiempo. De acuerdo con lo expuesto, podemos establecer las leyes de la reflexión: • El rayo incidente, la normal a la superficie en el punto de incidencia y el rayo reflejado están en el mismo plano. • Los ángulos de incidencia, iˆ, y de reflexión, rˆ, son iguales. Unidad 5. Fenómenos ondulatorios

159

2. Cierta onda que se propaga por una cuerda tensa se refleja en la pared a la que está fijada. ¿Está la onda reflejada en fase con la onda incidente? Escribe la ecuación de la onda reflejada, si la ecuación de la onda incidente es: y = 0,02 · sen (40 · t – 2 · x) Cuando la onda llega a la pared, ejerce una fuerza sobre esta, y, según la tercera ley de Newton, la pared ejerce una fuerza igual en módulo, pero de sentido contrario. El resultado es que el pulso se invierte, es decir, lleva un desfase de 180°, o π radianes, tal y como muestra la figura de la derecha. Como la onda reflejada está en oposición de fase, π rad, y se propaga en sentido contrario a la onda incidente, su ecuación es: y = 0,02 · sen (40 · t + 2 · x + π) Y, teniendo en cuenta que sen (a + π) = –sen a, podemos escribir: y = – 0,02 · sen (40 · t + 2 · x) 3. Mediante el principio de Huygens, obtén la ley de Snell de la refracción. Vamos a considerar un frente de ondas plano, AB, que se propaga por el medio 1 con una velocidad v1, y que pasa al medio 2 con una velocidad v2, y supongamos que v1 > v2. Según vayan siendo alcanzados los puntos de la superficie de separación por el frente de ondas, se van convirtiendo en nuevos centros emisores de ondas. Cuando el punto A del frente de onda llega a la superficie de separación, el punto B está a una distancia BB4, tal y como indica la figura: Recta Normal B Medio 1

i A

i

B'

r

r

Medio 2 A'

Al cabo de un cierto tiempo, t, el punto B llegará a B4 y el punto A estará en A4. Como v1 > v2, BB4 será mayor que AA4. Observando la figura, y puesto que: BB4 = v1 · t ; AA4 = v2 · t podemos escribir: v1 · t BB4 sen iˆ = = AB4 AB4

; sen rˆ =

v2 · t AA4 = AB4 AB4

Dividiendo estas dos expresiones obtenemos la ley de Snell: v1 sen iˆ = v2 sen rˆ 160

Unidad 5. Fenómenos ondulatorios

4. Una onda pasa de un medio a otro de índice de refracción relativo, respecto al primero, menor que la unidad. Indica, razonadamente: a) Cómo varían la velocidad, la frecuencia, la longitud de onda y el período. b) Si el ángulo de refracción será mayor que el ángulo de incidencia. a) Como el índice de refracción, n2,1, es el cociente de velocidades entre la velocidad en el primer medio, v1, y la velocidad en el segundo medio, v2, y es menor que la unidad, es decir: v1 n2,1 = < 1 8 v2 > v1 v2 La velocidad en el nuevo medio es mayor. Además: • La frecuencia seguirá siendo la misma, ya que depende del foco emisor, no del medio en el que se propague. • El período, como es el inverso de la frecuencia, tampoco cambiará. • La longitud de onda sí variará, aumentando su valor, de acuerdo con la expresión: v v=l·f 8l= f Al aumentar el valor de la velocidad, también lo hará el valor de la longitud de onda. b) Según la ley de Snell:

v1 sen iˆ = v2 sen rˆ

Al ser v2 > v1, entonces, sen rˆ > sen iˆ; por tanto, el ángulo de refracción debe ser mayor que el ángulo de incidencia. 5. La velocidad de una onda es 8 m/s, y su longitud de onda, 0,5 m. Penetra en otro medio con un ángulo de incidencia de 20°, donde la longitud de onda vale 0,2 m. Calcula: a) La frecuencia de la onda. b) Su velocidad en el segundo medio. c) El valor del ángulo de refracción. Los datos de que disponemos son los siguientes: v1 = 8 m · s –1 ; l1 = 0,5 m ; iˆ = 20° ; l2 = 0,2 m a) La frecuencia de la onda depende del foco emisor, por lo que tendrá el mismo valor en los dos medios. Como la onda se propaga con velocidad constante (si el medio es homogéneo), tendremos: v1 8,0 m · s–1 f= 8 f= = 16 Hz 0,5 m l1 b) La velocidad de la onda en el segundo medio, v2, es: a)

v2 = f · l2 8 v2 = 16 s–1 · 0,2 m = 3,2 m · s–1

c) Aplicando la ley de Snell y sustituyendo datos, obtenemos el valor del ángulo de refracción: v1 v 3,2 m · s–1 sen iˆ 8 sen rˆ = sen iˆ · 2 = sen 20° · = = 0,137 8 rˆ = 7,9° v2 v1 8 m · s–1 sen rˆ Unidad 5. Fenómenos ondulatorios

161

6. Una onda, de 10 cm de longitud de onda, se propaga por la superficie de un lago con una velocidad de 90 cm/s. En un instante dado, el frente de ondas accede a una zona menos profunda con un ángulo de 20° respecto a la perpendicular de la recta que separa ambos medios. Sabiendo que la longitud de onda en este segundo medio es 5 cm, determina la dirección en la que se propaga. Tenemos los siguientes datos: v1 = 90 cm · s –1 ; l1 = 10 cm ; iˆ = 20° ; l2 = 5 cm La frecuencia de la onda depende del foco emisor, por lo que tendrá el mismo valor en ambos medios. Como la onda se propaga con velocidad constante en cada medio (si el medio es homogéneo), tendremos: v1 90 cm · s–1 f= 8 f= = 9 Hz 10 cm l1 Al pasar al segundo medio, disminuye la longitud de onda, por lo que también lo hará la velocidad, cuyo valor será: v2 = l2 · f 8 v2 = 5 cm · 9 s–1 = 45 cm · s –1 Observa que la velocidad varía en la misma medida que lo hace la longitud de onda. En este caso, se reduce a la mitad. Aplicando la ley de Snell, calculamos el ángulo de refracción en el segundo medio: v1 v2 sen iˆ 45 cm · s–1 = 8 sen rˆ = sen iˆ · = sen 20° · = 0,171 8 rˆ = 9,8° v2 v1 90 cm · s–1 sen rˆ La figura aclara la resolución del ejercicio: Recta normal

20° v1 = 90 cm /s λ1 = 10 cm

Profundo (rápido)

Menos profundo (lento)

v2 = 45 cm /s λ2 = 5 cm r^

7. Una onda de frecuencia 150 Hz pasa de un medio donde se propaga a 75 m/s a otro donde lo hace a 112,5 m/s. Calcula: a) El índice de refracción del segundo medio respecto al primero. b) Las longitudes de onda en cada uno de los medios.

162

Unidad 5. Fenómenos ondulatorios

a) El índice de refracción del segundo medio respecto al primero, n2,1, se define como el cociente entre la velocidad que tiene la onda en el primer medio, v1, y la velocidad con que se propaga en el segundo medio, v2. Es decir: v1 75 m · s–1 = cte 8 n2,1 = = 0,6667 v2 112,5 m · s–1 b) La longitud de onda, l, está relacionada con la velocidad, v, y la frecuencia mediante la expresión: v v=l·f 8 l= f Como la frecuencia no cambia, ya que depende del foco emisor, tenemos: n2,1 =

• Para el primer medio: l1 =

75 m · s–1 = 0,5 m 150 s–1

• Para el segundo medio: l2 =

112,5 m · s–1 = 0,75 m 150 s–1

Observa que la velocidad aumenta un factor de: 112,5 = 1,5 75 y en la misma medida lo hace la longitud de onda: 0,5 m · 1,5 = 0,75 m 8. Una onda sonora plana penetra desde el aire en el agua formando cierto ángulo con la normal. Indica razonadamente si la onda refractada se acercará a la normal o se alejará de ella. Consideramos al aire como el medio 1 y al agua como el medio 2. Las ondas sonoras se desplazan en el agua con mayor velocidad que en el aire, por tanto, v2 > v1. Teniendo en cuenta la expresión matemática de la ley de Snell: v1 sen iˆ = = cte v2 sen rˆ Al ser v2 > v1, se cumplirá que: sen rˆ > sen iˆ 8 rˆ > iˆ Por tanto, si el ángulo de refracción es mayor que el ángulo de incidencia, la onda refractada se alejará de la normal. 9. Explica brevemente: a) ¿En qué consiste el fenómeno del eco? b) ¿Por qué podemos observar el fenómeno del eco con las ondas sonoras y, sin embargo, no podemos apreciarlo con las ondas luminosas? Supón que nuestro sentido de la vista es capaz de distinguir señales luminosas distanciadas 0,55 s y calcula a qué distancia debería estar la superficie reflectora para observar este fenómeno en la luz. Unidad 5. Fenómenos ondulatorios

163

a) Cuando una onda sonora se refleja en una superficie lo suficientemente alejada, nuestro oído puede distinguir la onda incidente (por ejemplo, nuestra voz) de la onda reflejada; en esto consiste el eco. b) Las ondas sonoras se propagan a una velocidad cercana a los 340 m · s–1. Teniendo en cuenta que el oído humano distingue dos sonidos distanciados aproximadamente 0,1 s, y que el sonido se propaga con m.r.u., la distancia que recorre el sonido (ida y vuelta): s = v · t 8 s = 340 m · s–1 · 0,1 s = 34 m Por tanto, la superficie reflectora debe estar a la mitad de distancia: s d= = 17 m 2 En el caso de las ondas luminosas, admitiendo que en el vacío se propagan a 3 · 108 m · s–1 y teniendo en cuenta la suposición del enunciado de que nuestro sentido de la vista es capaz de distinguir señales luminosas distanciadas 0,55 s, tendríamos: s = v · t 8 s = 3 · 108 m · s–1 · 0,55 s = 1,65 · 108 m = 165 000 km Por tanto, la superficie reflectora de la onda luminosa debería encontrase a la mitad de distancia; esto es: s d= = 82 500 km 2 Como vemos, es inviable encontrar estas condiciones en nuestra vida diaria. 10. ¿En qué consiste el fenómeno de las interferencias? Se conoce con el nombre de interferencias al fenómeno físico que se produce cuando inciden en un punto y al mismo tiempo dos o más ondas que se propagan por el mismo medio. Cuando dos o más ondas coinciden en un punto, la onda resultante es la suma algebraica de las ondas individuales. Si las ondas no llevan la misma dirección, la suma no es algebraica, sino vectorial. La superposición es una propiedad característica de las ondas; en el movimiento de partículas, no existe un solapamiento análogo. 11. ¿Qué son ondas coherentes? ¿Cómo se producen? Las ondas coherentes tienen las mismas frecuencia y longitud de onda, y su diferencia de fase es constante. Se pueden producir ondas coherentes utilizando una fuente de luz monocromática que ilumine dos rendijas, R1 y R2, que se convertirán en los focos emisores de nuevas ondas. 12. Explica brevemente por qué no hay interferencias entre los dos haces de luz procedentes de los faros de un coche. El fenómeno de las interferencias tiene lugar cuando inciden en un punto dos haces de luz coherentes. Este no es el caso de la luz que procede de los faros de un coche, por lo que no puede haber interferencias luminosas.

164

Unidad 5. Fenómenos ondulatorios

13. Razona la veracidad o la falsedad de las siguientes afirmaciones: a) «La interferencia entre ondas procedentes de dos focos emisores en fase es constructiva en cualquier punto del espacio». b) «Dos focos emisores desfasados 180° son incoherentes». a) Falsa. Para que exista interferencia constructiva, las ondas deben ser coherentes, la diferencia de caminos de los focos emisores al punto considerado ha de ser un múltiplo entero de longitudes de onda. b) Falsa. Decimos que dos ondas son coherentes cuando están en fase o cuya diferencia de fase sea constante a lo largo del tiempo. Como este es el caso señalado (ondas desfasadas un valor constante de 180°), las ondas serán coherentes. 14. Dos focos emiten ondas coherentes de 40 Hz de frecuencia cada una y que se propagan a la velocidad de 20 cm/s. Señala el tipo de interferencia que se producirá en un punto dado si: a) Dista 6,25 cm de un foco y 8 cm del otro. b) Dista 12 cm de un foco y 10,5 cm del otro. La amplitud resultante es máxima y se produce una interferencia constructiva en aquellos puntos del medio para los cuales la diferencia entre las distancias a cada foco es un número entero de longitudes de onda, es decir: x2 – x1 = n · l ; n = 0, 1, 2, 3,... Por el contrario, la amplitud resultante es 0 y se produce una interferencia destructiva en aquellos puntos del medio para los cuales la diferencia de camino a los focos es un número impar de semilongitudes de onda, es decir: l x2 – x1 = (2 · n + 1) · ; n = 0, 1, 2, 3,... 2 Según esto, y teniendo en cuenta que : 0,5 cm 20 cm · s–1 v l l= = = 0,5 cm ; = = 0,25 cm f 2 40 s–1 2 tenemos: a) La diferencia de caminos, x2 – x1, es: x2 – x1 = 8 cm – 6,25 cm = 1,75 cm que corresponde a:

1,75 cm Dx = =7 0,25 cm l/2 Es decir, corresponde a un número impar de semilongitudes de onda; por tanto, la interferencia en ese punto será destructiva. n=

b) En este segundo caso, la diferencia de caminos, x2 – x1, vale: x2 – x1 = 12 cm – 10,5 cm = 1,5 cm que corresponde a:

1,5 cm Dx = =3 0,5 cm l Ahora resulta un número entero de longitudes de onda; en consecuencia, la interferencia en ese punto será constructiva. n=

Unidad 5. Fenómenos ondulatorios

165

15. Dos focos emisores de sonidos iguales A y B, de igual frecuencia, 100 Hz, y en concordancia de fase, interfieren en un determinado punto, P. Sabiendo que P dista 100 m del foco A y 117 m del foco B, ¿habrá sonido en P? Toma como velocidad del sonido 340 m/s. Para que exista sonido en el punto P, las ondas sonoras procedentes de los focos emisores, A y B, han de llegar en concordancia de fase, para que se produzca una interferencia constructiva. La condición de interferencia constructiva es: x2 – x1 = n · l ; n = 0, 1, 2, 3,... donde l es la longitud de onda de las ondas sonoras, y n, un número entero. En este caso, la diferencia de caminos es: x2 – x1 = 117 – 100 = 17 m Por otro lado, la longitud de onda, l, la calculamos como sigue: v=l·f 8 l =

340 m · s–1 v = = 3,40 m f 100 s–1

Luego:

17 m Dx = =5 3,40 m l Al ser la diferencia de caminos, Dx, un múltiplo entero de longitudes de onda, en este caso, cinco, la interferencia de los dos sonidos en el punto P será constructiva, por lo que habrá sonido en dicho punto. n=

16. Dos focos vibrantes, A y B, de igual frecuencia, 100 Hz, están situados en la superficie del agua produciendo vibraciones de amplitud 2 mm que se propagan con una velocidad de 60 cm/s. Determina el estado vibratorio de un punto P situado a 3,3 cm de A y a 2,4 cm de B. La onda resultante de la interferencia de dos ondas toma la forma: x1 + x2 y = Ar · sen u · t – k · 2

(

)

donde Ar se denomina amplitud resultante y engloba los factores que no dependen del tiempo, siendo su expresión: x2 – x1 Ar = 2 · A · cos k · 2

(

)

A partir de los datos del enunciado, vamos a calcular el valor del número de ondas, k, que se define como: 2·π k= l Para ello, teniendo en cuenta la relación entre la velocidad de propagación, v, la frecuencia, f, y la longitud de onda, l, y sustituyendo datos, calculamos, en primer lugar, el valor de esta última magnitud: 60 cm · s–1 v v=l·f 8 l= = = 0,6 cm f 100 s–1 Por tanto, el valor del número de onda será: 2·π 2·π k= = rad · m–1 6 l

166

Unidad 5. Fenómenos ondulatorios

El valor de la amplitud resultante en el punto P es: Ar = 2 · 0,2 · cos

(

3,3 – 2,4 2·π · 2 0,6

)

= 0,4 · cos

( )

3 ·π =0 2

Por tanto, el estado vibratorio del punto P es de reposo. A este mismo resultado podíamos haber llegado imponiendo la condición de interferencia destructiva: l x2 – x1 = (2 · n + 1) · ; n = 0, 1, 2, 3,… 2 En nuestro caso, al sustituir datos encontramos un valor entero para n: 0,6 3,3 – 2,4 = (2 · n + 1) · 8 n=1 2 17. Dos focos, A y B, que vibran con la misma fase, producen en la superficie libre del agua ondas descritas por las siguientes ecuaciones: yA = 8 · sen [2 · π · (100 · t – 0,1 · x)] yB = 4 · sen [2 · π · (100 · t – 0,2 · x)] donde la posición y la elongación se miden en cm, y el tiempo, en s. Indica la amplitud de la onda que se produce por interferencia en un punto P que dista 25 cm de A y 15 cm de B. Sustituyendo los valores x = 25 cm en yA y x = 15 cm en yB, resultan las siguientes expresiones: yA = 8 · sen [2 · π · (100 · t – 2,5)] = 8 · sen (200 · π · t – 5 · π) yB = 4 · sen [2 · π · (100 · t – 3)] = 4 · sen (200 · π · t – 6 · π) Teniendo en cuenta la relación trigonométrica: sen (a – b) = sen a · cos b – cos a · sen b al desarrollar ambas expresiones, nos queda: yA = 8 · [sen (200 · π · t) · cos (5 · π) – cos (200 · π · t) · sen (5 · π)] yB = 4 · [sen (200 · π · t) · cos (6 · π) – cos (200 · π · t) · sen (6 · π)] Y como: cos (5 · π) = cos π = –1 ; sen (5 · π) = sen π = 0 cos (6 · π) = cos (2 · π) = 1 ; sen (6 · π) = sen (2 · π) = 0 Nos queda: yA = – 8 · sen (200 · π · t) yB = 4 · sen (200 · π · t) Al aplicar el principio de superposición, la onda resultante, y = yA + yB, será: y = – 8 · sen (200 · π · t) + 4 · sen (200 · π · t) = – 4 · sen (200 · π · t) Por lo que la amplitud resultante valdrá: |ymáx| = 4 cm Unidad 5. Fenómenos ondulatorios

167

18. Las frecuencias de dos diapasones son 370 Hz y 354 Hz. Si vibran al mismo tiempo, señala la frecuencia de la pulsación y la frecuencia de la onda resultante de la interferencia. La frecuencia de la pulsación, fp, que es la frecuencia con la que un punto dado se convierte en nodo, es igual a la diferencia de las frecuencias de las dos ondas que interfieren. Por tanto: fp = f1 – f2 8 fp = 370 Hz – 354 Hz = 16 Hz La frecuencia de la onda resultante, f, es la semisuma de las frecuencias de las dos ondas; entonces: f1 + f2 370 Hz + 354 Hz f= 8 f= = 362 Hz 2 2 19. Explica brevemente qué son las ondas estacionarias y cómo se producen. Pon algún ejemplo. Las ondas estacionarias son aquellas que no se desplazan y, por tanto, no transportan energía. Se producen cuando en un medio elástico interfieren dos ondas de la misma naturaleza con la misma frecuencia, velocidad y amplitud, que se propagan en la misma dirección pero en sentidos opuestos. Un ejemplo de onda estacionaria la tenemos al pulsar las cuerdas de una guitarra. 20. Indica alguna diferencia entre una onda viajera y una onda estacionaria. La principal diferencia estriba en que una onda viajera (o progresiva) transporta energía, mientras que una onda estacionaria no lo hace. 21. Por una cuerda tensa se transmiten simultáneamente dos ondas transversales, cuyas ecuaciones, en unidades del S.I., son: y = 0,2 · sen (x – 100 · t) y = 0,2 · sen (x + 100 · t) Escribe la ecuación que describe la perturbación que va a experimentar la cuerda. Del enunciado podemos ver que las dos ondas tiene la misma amplitud, la misma frecuencia e igual longitud de onda, pero que se propagan en sentidos contrarios (distinto signo dentro del paréntesis). Por tanto, la interferencia de estas ondas origina una onda estacionaria, cuya ecuación será la suma de las ecuaciones de las dos ondas. Si comparamos la ecuación general de las ondas:

[ (

y (x, t) = A · sen 2 · π ·

t x – T l

)]

con la siguiente ecuación del enunciado: y (x, t) = 0,2 · sen (x – 100 · t) tenemos las siguientes magnitudes: 2·π π 2·π A = 0,2 m ; = 100 8 T = s ; k= =18 l=2·πm T 50 l 168

Unidad 5. Fenómenos ondulatorios

Teniendo en cuenta la relación trigonométrica: sen a + sen b = 2 · sen

a+b a–b · cos 2 2

al sumar las dos ondas, obtenemos la expresión de la onda estacionaria: y = y1 + y2 = 0,2 · sen (x – 100 · t) + 0,2 · sen (x + 100 · t) y = 2 · 0,2 · sen

(x – 100 · t) + (x + 100 · t) (x – 100 · t) – (x + 100 · t) · cos 2 2

operando, resulta: y = 0,4 · sen x · cos (–200 · t) 22. Por una cuerda tensa se propaga una onda transversal cuya ecuación, en unidades del S.I., es: y (x, t) = 0,5 · sen [2 · π · (0,1 · t – 10 · x)] a) Escribe la ecuación de otra onda que, al interferir con ella, origine una onda estacionaria. b) Determina la velocidad y la aceleración máximas de un punto de la cuerda. a) Una onda estacionaria se origina cuando interfieren dos ondas de igual amplitud, frecuencia y velocidad de propagación, pero que se propagan en sentido contrario (signo opuesto dentro del paréntesis). Por tanto, la ecuación pedida será: y (x, t) = 0,5 · sen [(2 · π · (0,1 · t + 10 · x)] b) Para obtener la ecuación de la velocidad, derivamos con respecto al tiempo la ecuación de la onda: v=

(

)

dy d 8v= 0,5 · sen [2 · π · (0,1 · t – 10 · x)] = dt dt = 0,1 · π · cos (0,2 · π · t – 20 · π · x)

El valor máximo de la velocidad se alcanza cuando: cos (0,2 · π · t – 20 · π · x) = 1 Por tanto: vmáx = 0,1 · π m · s –1 La ecuación de la aceleración la obtenemos derivando con respecto al tiempo la ecuación de la velocidad. Esto es: dv d 0,1 · π · cos (0,2 · π · t – 20 · π · x) = a= 8a= dt dt

[

]

= –0,02 · π2 · sen (0,2 · π · t – 20 · π · x) y el valor máximo lo alcanzamos cuando: sen (0,2 · π · t – 20 · π · x) = –1 En este caso: amáx = 0,02 · π2 m · s –2 Unidad 5. Fenómenos ondulatorios

169

23. Una onda estacionaria viene expresada por la siguiente ecuación, cuyas magnitudes se expresan en unidades del S.I.: y = 0,5 · cos (0,1 · x) · cos (200 · t) Calcula: a) La distancia entre dos nodos consecutivos. b) La longitud de onda. c) La distancia al origen a la que se halla el nodo número quince. a) La amplitud resultante de la onda estacionaria es nula en los nodos, en los que se cumple lo siguiente: π cos (k · x) = 0 8 cos (0,1 · x) = 0 8 0,1 · x = (2 · n + 1) · 2 Despejando x, tenemos la expresión que nos da la sucesión de nodos en la onda estacionaria. Esto es: xn = (2 · n + 1) · 5 · π

; n = 0, 1, 2,...

Por tanto, entre dos nodos consecutivos, xn y xn+1, la distancia será: xn+1 – xn = [2 · (n + 1) + 1] · 5 · π – (2 · n + 1) · 5 · π = 10 · π m A este mismo resultado podemos llegar sabiendo que la distancia entre dos nodos o dos vientres consecutivos, d, es igual a media longitud de onda. Comparando la ecuación general de una onda estacionaria con la del enunciado, vemos que: k=

2·π 2·π = 0,1 8 l = = 20 · π m 0,1 l

Luego:

l 20 · π = = 10 · π m 2 2 b) Según acabamos de calcular, la longitud de onda es: d=

l = 20 · π m c) El nodo número quince lo obtenemos haciendo n = 14 en la expresión que obtuvimos en el apartado a) y que nos da la sucesión de nodos. Es decir: xn = (2 · n + 1) · 5 · π 8 x14 = (2 · 14 +1) · 5 · π = 145 · π m 24. Una onda estacionaria viene representada por la ecuación (en unidades del S.I.): y = 5 · cos [(π/3) · x] · cos (40 · π · t) Halla: a) La amplitud y la velocidad de fase de las ondas componentes. b) La distancia que existe entre dos nodos consecutivos. c) La velocidad de una partícula situada en el punto x = 2,5 m en un instante dado. a) Una onda estacionaria es el resultado de la superposición de dos ondas de igual amplitud, frecuencia y velocidad de propagación, pero que se propagan en sentidos opuestos. La ecuación general de una onda estacionaria es: t x y (x, t) = 2 · A · cos 2 · π · · sen 2 · π · T l

(

170

) (

)

Unidad 5. Fenómenos ondulatorios

Comparando la ecuación general con la de nuestro problema, podemos obtener fácilmente la amplitud, la longitud de onda y el período: 2 · A = 5 8 A = 2,5 m ;

π 2·π 2·π = 8 l=6m ; = 40 · π 8 T = 0,05 s 3 T l

Por tanto, la velocidad de fase será: l =v·t 8 v=

l 6m = = 120 m · s–1 T 0,05 s

b) Podemos decir que un nodo de una onda estacionaria es un punto que no se mueve y cuya elongación es siempre 0. Son nodos todos aquellos puntos, x, que cumplan la siguiente condición:

(

cos 2 · π ·

x l

)

=0 8

π 2·π · x = (2 · n + 1) · 2 l

Despejando x, nos queda: l 4 Por tanto, habrá nodos en los siguientes valores de x: x = (2 · n + 1) ·

l , 3 · l , 5 · l ,... 4 4 4 Y la distancia entre dos nodos consecutivos es: d=

6m l = =3m 2 2

c) Para obtener la ecuación de la velocidad, derivamos la ecuación de la posición respecto al tiempo: v=

[

]

dy d π 8v= 5 · cos · x · cos (40 · π · t ) = dt dt 3 = –5 · cos

(

)

( π3 · x) · 40 · π · sen (40 · π · t )

En el punto x = 2,5 m, la ecuación que proporciona la velocidad de una partícula en un instante dado es la siguiente: v(2,5 m) = –5 · cos

( π3

)

· 2,5 · 40 · π · sen (40 · π · t ) = –173 · π · sen (40 · π · t )

25. Dos ondas que interfieren en un determinado medio tienen por ecuaciones: y1 = 0,5 · sen [π · (10 · t – 2 · x)] y2 = 0,5 · sen [π · (10 · t + 2 · x)] Calcula la distancia entre dos nodos consecutivos de la onda estacionaria que se ha originado. Dos ondas que tienen la misma amplitud, la misma frecuencia e igual longitud de onda, pero que se propagan en sentidos contrarios (distintos signos dentro del paréntesis de la función de onda), al interferir originan una onda estacionaria. Unidad 5. Fenómenos ondulatorios

171

La distancia entre dos nodos consecutivos, d, es igual a media longitud de onda; por tanto, necesitamos conocer cuánto vale dicha magnitud. La ecuación general de una onda armónica unidimensional es:

[

y (x, t) = A · sen 2 · π ·

( Tt

– x + j0 l

)

]

Comparando con cualquiera de las ecuaciones dadas, vemos que: 2·π =2·π 8 l =1m l Por tanto, la distancia entre dos nodos consecutivos de la onda estacionaria que se ha originado vale: l d= = 0,5 m 2 26. Una onda estacionaria en una cuerda queda descrita por la siguiente función de onda: y (x, t) = 0,5 · sen (4 · π · x) · cos (30 · π · t) donde las magnitudes y, x, t vienen expresadas en unidades del S.I.: a) Calcula el máximo desplazamiento y la máxima velocidad para dos puntos de la cuerda situados en x1 = 0,25 m y x2 = 1,35 m. b) Dibuja la onda estacionaria. a) La ecuación general de una onda estacionaria puede escribirse de la forma: y (x, t) = 2 · A · sen (k · x) · cos (u · t) En el punto x1 = 0,25 m, tenemos: y1 (0,25, t) = 0,5 · sen (4 · π · 0,25) · cos (30 · π · t) = 0,5 · sen π · cos (30 · π · t) Pero, como sen π = 0, entonces y1 = 0. Es decir, este punto corresponde a un nodo. Como no se mueve, su velocidad será 0. El punto x2 = 1,35 m vibra alrededor de su posición de su equilibrio según la expresión: y2 (1,35, t) = 0,5 · sen (4 · π · 1,35) · cos (30 · π · t) = –0,476 · cos (30 · π · t) El máximo desplazamiento tiene lugar cuando cos (30 · π · t) = –1; por tanto: y2 (máximo) = 0,476 m La ecuación de la velocidad la obtenemos derivando respecto al tiempo la ecuación de la posición: v=

[

]

dy d –0,476 · cos (30 · π · t) = 0,476 · 30 · π · sen (30 · π · t) = 8v= dt dt = 44,9 · sen (30 · π · t)

La máxima velocidad se obtendrá para sen (30 · π · t) = 1, luego: v2 (máxima) = 44,9 m/s b) Si A es la amplitud de las ondas que interfieren, cada punto de la onda estacionaria tendrá una amplitud que variará entre 0, para los nodos, y 2 · A, en los vientres. En este caso, 2 · A = 0,5 m. 172

Unidad 5. Fenómenos ondulatorios

Por otro lado, la longitud de onda vale: l=

2·π 2·π 8l= = 0,5 m k 4·π

El punto x = 0 es un nodo, y estos se repetirán cada l /2, es decir, cada 0,25 m. Con esta información, ya podemos dibujar la onda estacionaria: y (m) 0,5

0,25

0,5

0,75

1,00 x (m)

–0,5

λ = 0,5 m

27. Una cuerda de 140 cm con sus dos extremos fijos vibra en un modo con dos nodos internos. Determina la longitud de onda de la vibración. Al estar sujeta la cuerda por los dos extremos, se genera una onda estacionaria. Según el enunciado, tenemos el siguiente esquema: 140 cm

λ/2

λ/2

λ/2

λ

De acuerdo con él, la longitud de onda será: 3·l = 1,4 m 8 l = 0,93 m 2 28. Una cuerda tensa, que se ha fijado por sus dos extremos, tiene una longitud de 20 m. Cuando esta cuerda se perturba transversalmente con una frecuencia de 150 Hz, se forma una onda estacionaria con tres vientres. Halla: a) La longitud de onda y la velocidad de propagación de las ondas en la cuerda. b) El valor de otra frecuencia inferior a la dada que origine otra onda estacionaria en la cuerda. Representa esta onda. Unidad 5. Fenómenos ondulatorios

173

a) La figura muestra la onda estacionaria (tercer armónico) que indica el enunciado: L = 20 m λ

λ/2

λ/2

λ/2

De acuerdo con ella, la longitud de onda será: l3 2·L 2 · 20 8 l3 = = = 13,33 m 3 3 2 Si el medio es homogéneo e isótropo, la onda se propaga con velocidad constante (s = v · t), luego: L=3·

l=v·T=

v f

8 v = l3 · f3 = 13,33 m · 150 s–1 = 2 000 m · s–1

b) Si la frecuencia de la onda es menor, la longitud de onda ha de ser mayor, ya que f y l son inversamente proporcionales. Por tanto, la nueva onda estacionaria puede tener dos vientres (segundo armónico) o uno (primer armónico). En la figura se muestra el primer caso: L = 20 m

λ/2

λ/2

Las frecuencias para el primer y el segundo armónico son, respectivamente: l v 2 000 m · s–1 L = 1 8 l1 = 2 · L = 2 · 20 = 40 m 8 f1 = = = 50 Hz l1 40 m 2 L=2·

174

l2 v 2 000 m · s –1 = l2 8 l2 = 20 m 8 f2 = = = 100 Hz l 20 m 2 2 Unidad 5. Fenómenos ondulatorios

29. Una cuerda de guitarra de 1 m de longitud y fija por sus dos extremos vibra formando 4 nodos. Sabiendo que los puntos centrales de la cuerda tienen un desplazamiento máximo de 3,5 mm y que la velocidad de las ondas en la citada cuerda es de 650 m/s, determina la expresión de la función que describe a la onda estacionaria. Si la cuerda forma cuatro nodos (tres vientres), su aspecto será como el de la siguiente figura:

L

N

N

N

N

λ 2

De ella podemos deducir: L=3·

l =1m 2

Por tanto, la longitud de onda, l, vale: 2 l= 3 m Teniendo en cuenta la expresión que relaciona la frecuencia de la vibración, f, con la velocidad de propagación, v, y la longitud de onda, l, obtenemos el valor de f: v 650 m · s –1 8 f= = 975 Hz 2/3 m l La ecuación de una onda estacionaria puede expresarse como: f=

y = 2 · A · sen (k · x) · cos (u · t) donde: 2·π k= 2·π 8 k= =3·πm 2/3 l u = 2 · π · f 8 u = 2 · π · 975 = 1 950 · π s–1 Por otro lado, la amplitud de la onda, A, de acuerdo con el enunciado, vale 3,5 mm; por tanto, al sustituir estos valores en la expresión general de la onda estacionaria nos queda la siguiente ecuación: y = 0,007 · sen (3 · π · x) · cos (1950 · π · t) Unidad 5. Fenómenos ondulatorios

175

30. La distancia entre los extremos de una cuerda de una guitarra es de 60 cm. Sabiendo que la frecuencia fundamental del sonido que emite al ser pulsada es 400 Hz, indica: a) La longitud de onda de la onda estacionaria generada en la cuerda. b) La velocidad de propagación de la onda en la cuerda. a) La longitud de onda, l, de las ondas estacionarias en una cuerda fija por sus extremos y la longitud de la cuerda, L, están relacionadas mediante la expresión: l L=n· ; n = 1, 2, 3,… 2 La frecuencia fundamental corresponde a n = 1, luego: l L=1· 8 l = 2 · L = 2 · 0,6 m = 1,2 m 2 b) La velocidad de propagación de la onda en la cuerda es: v = l · f = 1,2 m · 400 s–1 = 480 m · s–1 31. En una cuerda tensa de 16 cm de longitud con sus dos extremos fijos se ha generado una onda estacionaria dada por la ecuación: y (x, t) = 2 · sen [(π/4) · x] · cos (8 · π · t) donde las distancias van medidas en centímetros y el tiempo en segundos. Calcula: a) La amplitud máxima de vibración de un punto. b) El período y la frecuencia de las oscilaciones. c) El número de vientres y de nodos que se forman, así como sus posiciones en la cuerda. d) La amplitud y la velocidad de propagación de las ondas componentes. a) La amplitud máxima de vibración se produce en los vientres (o antinodos), y vale 2 · A. En esta caso es: Amáx= 2 cm b) La ecuación general de una onda estacionaria es y = 2 · A · sen (k · x) cos (u · t). Al compararla con la ecuación de la onda dada, tenemos que: u = 8 · π rad · s–1 u 1 1 8·π = = 4 Hz ; T = = = 0,25 s f 4 s–1 2·π 2·π c) En una cuerda sujeta por los dos extremos, la longitud de la cuerda, L, y la longitud de onda, l, están relacionados mediante la expresión: l L=n· 2 donde n es el número de vientres o antinodos. Por tanto, necesitamos conocer el valor de l, que podemos obtener comparando la ecuación del problema con la ecuación general: π π 8 l = 8 cm k= 2· = 4 l Luego: 2 · 16 cm 2·L n= 8 n= =4 8 cm l u=2·π·f 8 f=

176

Unidad 5. Fenómenos ondulatorios

Es decir, hay 4 vientres (o antinodos) y 4 +1 = 5 nodos. Como la distancia entre dos vientres o dos nodos es igual a l/2, los vientres están situados a 2 cm, 6 cm, 10 cm y 14 cm de un extremo de la cuerda, y los nodos, a 0 cm, 4 cm, 8 cm, 12 cm y 16 cm de la cuerda. La figura muestra esta situación. L = 16 cm

A

A

A

A

N

N

N

N

N

0

4

8

12

16 x (cm)

λ 2

d) La amplitud de las ondas componentes es la mitad de la amplitud de oscilación de los vientres (amplitud máxima de vibración). Por tanto: A 2 cm A = máx = = 1 cm 2 2 Por otro lado, la velocidad de propagación, v, es: v = l · f 8 v = 8 cm · 4 s–1 = 32 cm · s–1 32. Un tubo mide 1,25 m de longitud. Determina la frecuencia de los tres primeros armónicos según si el tubo esté abierto por sus dos extremos o solo por uno. Dato: vsonido (aire) = 340 m/s. Cuando el tubo está abierto por los dos extremos, el desplazamiento del aire produce antinodos en ambos extremos. Como en el caso de las cuerdas, pero con antinodos en los extremos, la relación entre la longitud del tubo, L, y la longitud de onda, l, es: l 2·L L = n · n 8 ln = ; n = 1, 2, 3,... n 2 Luego: • Para el primer armónico: v 2 · 1,25 m 340 m · s–1 = 2,5 m 8 f1 = = = 136 Hz 1 2,5 m l1 • Para el segundo armónico: v 2 · 1,25 m 340 m · s–1 l2 = = 1,25 m 8 f2 = = = 272 Hz 2 1,25 m l2 • Para el tercer armónico: v 2 · 1,25 m 340 m · s–1 l3 = = 0,833 m 8 f3 = = = 408 Hz 3 0,833 m l3 l1 =

Unidad 5. Fenómenos ondulatorios

177

Las ondas estacionarias formadas son como las siguientes:

Primer armónico

Segundo armónico

Tercer armónico

λ = 2 ·L

λ =L

λ = 2 ·L 3

En un tubo abierto por uno de los dos extremos, tenemos un nodo en el extremo cerrado, y un antinodo en el extremo abierto. La relación entre la longitud del tubo, L, y la longitud de onda, l, viene dada por: l 4·L L = n · n 8 ln = ; n = 1, 3, 5,... n 4 Por tanto, la frecuencia de los tres primeros armónicos es: • Para el primer armónico: l1 =

v 4 · 1,25 m 340 m · s–1 = 5,00 m 8 f1 = = = 68 Hz 1 5,00 m l1

• Para el segundo armónico: l3 =

v 4 · 1,25 m 340 m · s–1 = 1,67 m 8 f3 = = = 204 Hz 3 1,67 m l3

• Para el tercer armónico: l5 =

178

v 4 · 1,25 m 340 m · s–1 = 1,00 m 8 f5 = = = 340 Hz 5 1,00 m l5

Primer armónico

Segundo armónico

Tercer armónico

λ = 4 ·L

λ = 4 ·L 3

λ = 4 ·L 5

Unidad 5. Fenómenos ondulatorios

33. Explica brevemente en qué consiste el fenómeno de la difracción. ¿Qué es el patrón de difracción? La difracción es el fenómeno por el cual una onda puede reproducirse con cierta distorsión detrás de un obstáculo. Este fenómeno solo tiene lugar cuando el tamaño de la abertura o rendija, d, sea del mismo orden que la longitud de onda, l, del movimiento ondulatorio. El fenómeno de la difracción también ocurre cuando una onda se encuentra en su camino un obstáculo o un borde afilado cuyo tamaño sea comparable a la longitud de onda. Cuando la luz experimenta el fenómeno de la difracción, se observa una serie de anillos concéntricos claros y oscuros, como indica la figura inferior. A este despliegue de franjas de luz brillantes alternándose con franjas oscuras se le denomina patrón de difracción.

Lente θ

Rendija Llegada de ondas Pantalla de observación

34. Razona la veracidad o la falsedad de la siguiente afirmación: «La difracción se produce siempre que se intercepta la propagación de una onda». Es falsa. Este fenómeno solo es apreciable cuando las dimensiones del objeto o de la rendija que intercepta la onda son comparables a la longitud de onda del movimiento ondulatorio. 35. Utiliza el principio de Huygens para explicar el fenómeno de la difracción de una onda a través de una rendija. La difracción es el fenómeno de propagación no rectilínea de una onda. El principio de Huygens permite explicar este hecho, teniendo en cuenta que cada punto de la rendija alcanzado por la onda se convierte a su vez en un nuevo emisor de ondas. 36. ¿Cómo justificamos el hecho de que podamos oír la conversación de unas personas de las que estamos separados por la esquina de un edificio? Podemos oír la conversación de unas personas situadas al otro lado de la esquina de un edificio gracias al fenómeno de la difracción. Al llegar las ondas sonoras al obstáculo que supone la esquina, se difractan, es decir, cambian su dirección, permitiendo que una parte de ellas nos llegue. Unidad 5. Fenómenos ondulatorios

179

37. Explica el fenómeno de la polarización de ondas e indica el tipo de ondas que pueden ser polarizadas. ¿Podría polarizarse el sonido? ¿Y la luz? Decimos que una onda está polarizada cuando solo es posible una dirección de vibración, perpendicular a la dirección de propagación, para las partículas del medio. Una onda no está polarizada cuando son igualmente posibles todas las direcciones de vibración de las partículas del medio, tal y como nos muestra la figura inferior. Planos de las posibles vibraciones

Dirección de propagación

Si tenemos en cuenta que una onda longitudinal atravesará siempre una rendija, concluiremos que las ondas longitudinales no pueden polarizarse. El sonido, al ser una onda longitudinal, no puede polarizarse. Sin embargo, la luz, al igual que cualquier otro tipo de onda transversal, sí podría polarizarse. En la figura inferior se muestra un ejemplo de polarización de una onda transversal: observa que la onda polarizada horizontalmente en la cuerda no puede atravesar la rendija vertical:

38. Razona si habrá efecto Doppler en el caso de una fuente sonora y un observador que se muevan con la misma celeridad, dirección y sentido. En el caso citado no habrá efecto Doppler. Este fenómeno solo tiene lugar cuando el foco emisor y el receptor se desplazan uno con respecto al otro. Es decir, cuando exista un movimiento relativo entre la fuente sonora y el observador en la dirección de la línea que los une. 180

Unidad 5. Fenómenos ondulatorios

39. Un tren, al acercase a una estación a una velocidad de 72 km/h, hace sonar el silbato a una frecuencia de 650 Hz. En la estación se encuentra una persona sentada. Indica: a) La frecuencia que escucha la persona. b) Si el tren continúa sin pararse a la misma velocidad, ¿qué frecuencia oirá la persona cuando el tren se aleje y haga sonar de nuevo el silbato? La expresión: fR = f ·

v ± vR v ± vF

engloba todos los casos estudiados sin más que hacer vR = 0 (receptor en reposo) o vF = 0 (foco en reposo). Si el receptor se aproxima, tomamos el signo positivo para vR, y el negativo si se aleja; en el caso del foco, si se aproxima tomamos el signo negativo para vF , y el positivo si se aleja. La magnitud v representa la velocidad de la onda sonora, para la cual tomaremos el valor 340 m · s–1. a) Teniendo en cuenta lo expuesto anteriormente, tenemos: vR = 0, y vF < 0, ya que el foco emisor, el tren, se está acercando. Sustituyendo datos, donde 72 km · h–1 equivalen a: 72

km 1h 1 000 m · · = 20 m · s–1 h 3 600 s 1 km

Tenemos: fR = 650 Hz ·

340 m · s–1 = 691 Hz 340 m · s–1 – 20 m · s–1

El resultado concuerda con lo estudiado: siempre que la distancia entre el foco emisor de ondas y el receptor disminuye, la frecuencia que percibe el receptor aumenta. El tono del sonido que percibe la persona se hace más agudo. b) Ahora, vR = 0 y vF > 0, ya que el foco emisor se aleja. Sustituyendo datos, la frecuencia resulta: fR = 650 Hz ·

340 m · s–1 = 614 Hz 340 m · s–1 + 20 m · s–1

Como la distancia entre el foco emisor de ondas y el receptor aumenta, la frecuencia que percibe el receptor disminuye. Por tanto, el tono del sonido que percibe la persona se hace más grave. 40. Un motorista se acerca a 108 km/h a una sirena de alarma que emite a 450 Hz. Determina la frecuencia percibida por el motorista. La expresión: fR = f ·

v ± vR v ± vF

engloba todos los casos estudiados sin más que hacer vR = 0 (receptor en reposo) o vF = 0 (foco en reposo). Si el receptor se aproxima, tomamos el signo positivo para vR, y el negativo si se aleja; en el caso del foco, si se aproxima tomamos el signo negativo para vF , y el positivo si se aleja. La magnitud v representa la velocidad de la onda sonora, para la cual tomaremos el valor 340 m · s–1. Unidad 5. Fenómenos ondulatorios

181

Teniendo en cuenta lo expuesto anteriormente, en este caso: vR = 108 km · h–1 (signo positivo, ya que el receptor se acerca) y vF = 0 (ya que el foco emisor, la sirena, está en reposo). Sustituyendo datos, donde 108 km · h–1 equivalen a:

108

km 1h 1 000 m · · = 30 m · s–1 h 3 600 s 1 km

Tenemos: fR = 450 Hz ·

340 m · s–1 + 30 m · s–1 = 490 Hz 340 m · s–1

El resultado concuerda con lo estudiado: siempre que la distancia entre el foco emisor de ondas y el receptor disminuye, la frecuencia que percibe el receptor aumenta. El tono del sonido que percibe el motorista se hace más agudo. 41. La sirena de una ambulancia que viaja por la carretera a 30 m/s emite con una frecuencia de 450 Hz. Halla la frecuencia que percibirá el conductor de un automóvil que se mueve a 24 m/s en sentido contrario: a) Si se aproxima a la ambulancia. b) Si se aleja de ella. La expresión: fR = f ·

v ± vR v ± vF

engloba todos los casos estudiados sin más que hacer vR = 0 (receptor en reposo) o vF = 0 (foco en reposo). Si el receptor se aproxima, tomamos el signo positivo para vR, y el negativo si se aleja; en el caso del foco, si se aproxima tomamos el signo negativo para vF , y el positivo si se aleja. La magnitud v representa la velocidad de la onda sonora, para la cual tomaremos el valor 340 m · s–1. a) Teniendo en cuenta lo expuesto anteriormente, en este caso: vR = 24 m · s–1, ya que el receptor se aproxima al foco, y vF = –30 m · s–1, ya que el foco emisor, la ambulancia, se está acercando. Sustituyendo datos, tenemos: fR = 450 Hz ·

340 m · s–1 + 24 m · s–1 = 528 Hz 340 m · s–1 – 30 m · s–1

El resultado concuerda con lo estudiado: siempre que la distancia entre el foco emisor de ondas y el receptor disminuye, la frecuencia que percibe el receptor aumenta. El tono del sonido que percibe la persona se hace más agudo. b) Ahora, vR = –24 m · s–1, ya que el receptor se aleja del foco, y vF = 30 m · s–1, puesto que el foco emisor se aleja del receptor. Sustituyendo datos, tenemos: fR = 450 Hz ·

340 m · s–1 – 24 m · s–1 = 384 Hz 340 m · s–1 + 30 m · s–1

Observa cómo ahora, al aumentar la distancia entre el foco y el receptor, la frecuencia que percibe este disminuye; el tono del sonido se hace más grave. 182

Unidad 5. Fenómenos ondulatorios