´ Algebra Lineal, Ejercicios MATRICES 1. Se llama traza de una matriz cuadrada a la suma de los elementos de su diagonal principal. Sea G el conjunto de todas las matrices cuadradas de orden n con traza nula. Probar que (G, +) es un grupo abeliano. 2. Probar que el producto de dos matrices triangulares superiores del mismo orden es otra matriz triangular superior.     a b c d 3. Comprobar que las matrices y conmutan. b a d c   1 0 . 4. Hallar las matrices que conmutan con la 3 1 5. Probar que si A ∈ Mn (IK) y r, s ∈ IK, entonces A y B = rA + sIn conmutan. 6. Explicar porqu´e en general (A ± B)2 6= A2 ± 2AB + B 2 y A2 − B 2 6= (A + B).(A − B), en el anillo de las matrices cuadradas de orden n.     1 −1 1 −2 y no conmutan y que (A+B)2 = A2 +B 2 . yB = 7. Comprobar que A = 0 −1 2 −1     cos β − sen β cos α − sen α , comprobar que se yB= 8. Dadas las matrices A = sen β cos β sen α cos α verifica la siguiente igualdad (A + B)2 = A2 + 2AB + B 2 . 9. Calcular matrices   de las siguientes  n–´esima  la potencia 1 1 1 a yB= 1 1 1  b A= 1 1 1 c 10. Determinar las matrices cuadradas de segundo orden A tales que A2 = I2 . (Se dice que A es involutiva) umero natural, se dice que A es nilpotente. Si p es el menor 11. Si Ap = 0, siendo p un n´ p n´ umero natural para  el que A = 0 se dice nilpotente de ´ındice p. Comprobar que A =  1 1 3  5 2 6  es nilpotente de ´ındice 3. −2 −1 −3 12. Comprobar que, si A es nilpotente de ´ındice 2, A(In ± A) = A.   1 2 13. Dada A = , hallar el conjunto {B ∈ M2 (IR)|AB = 0}. 3 a 14. Si A2= A, se dice queA es idempotente. Comprobar que lo es la matriz 2 −2 −4  −1 3 4 . A= 1 −2 −3 15. Probar que si A, B ∈ Mn (IR) son regulares tambi´en es regular AB y (AB)−1 = B −1 A−1 .

16. Probar que (A.B.C)T = C T B T AT . 17. Probar que si A ∈ Mn (IR) es regular entonces AT es regular y (AT )−1 = (A−1 )T . 18. Calcular C), BAT , AB T  A(B +  −1 3 5 2    3 1 3 4 ,B= A= 6 6 0 1

y A(3B  − 2C), siendo   4 6 7 0 −2 2 5  y C =  3 5 0 . 0 0 2 1 4

19. Siendo A y B matrices cuadradas del mismo orden, se dice que A es congruente con B si existe una matriz regular P tal que A = P T BP. Probar que la relaci´on de congruencia es una relaci´on de equivalencia en Mn (IK). 20. Probar que si A es una matriz sim´etrica, tambi´en lo es A2 . 21. Probar que si A es una matriz cuadrada A + AT es sim´etrica. 22. Probar que toda matriz cuadrada puede descomponerse en suma de una matriz sim´etrica y otra antisim´etrica. 23. Probar que si A y B son matrices cuadradas sim´etricas (antisim´etricas), la condici´on necesaria y suficiente para que la matriz AB sea sim´etrica es que A y B conmuten. 24. Probar que la condici´on necesaria y suficiente para que una matriz cuadrada de orden n sea involutiva es que (A + In )(A − In ) = 0. 25. Probar que si A es una matriz cuadrada de orden m sim´etrica (antisim´etrica) y P es de dimensiones m × n entonces, B = P T AP es otra matriz sim´etrica (antisim´etrica). 26. Probar que si una matriz sim´etrica admite inversa, ´esta es tambi´en sim´etrica.     2 2 1 3 27. Sean A = yB= , hallar X tal que AX = B. 0 −1 2 −1 28. Probar que si dos matrices A y B son regulares y conmutan, tambi´en conmutan A−1 y B, A y B −1 , y A−1 y B −1 . 29. Probar que si las matrices sim´etricas A y B son regulares y conmutan entonces, las matrices A−1 B, AB −1 y A−1 B −1 son sim´etricas.

DETERMINANTES 1. Probar que el determinante de una matriz antisim´etrica de orden impar es 0. 2. Comprobar 1 2 3 3 7 12 4 10 21 7 17 35

los resultados: 1 4 0 18 = 1, 1 32 0 53 1

2 0 1 0 2

1 1 0 1 2

2 1 0 1 1

1 1 0 2 1

−1 1 1 1 1 −1 1 1 = 2, 1 1 −1 1 1 1 1 −1

3. Desarrollar el determinante de Vandermonde:

1 1 1 1 a b c d . a2 b2 c2 d2 a3 b3 c3 d3

= −16,

4. Comprobar los resultados: 1 1 1 1 1 x a 1 a2 a3 1 2 3 4 5 x x b 1 b2 1 4 9 16 25 = 288, x x x c1 = x(x − a1 )(x − b1 )(x − c1 ), 1 8 27 64 125 x x x x 1 16 81 256 625 a a a a 1 1 1 1 a b b b 1 1+a 1 1 = abc, a b c c = a(b − a)(c − b)(d − c), 1 1 1 + b 1 a b c d 1 1 1 1+c a−b−c 2a 2a = (a + b + c)3 , 2b b−c−a 2b 2c 2c c−a−b 1 1 1 b + c c + a a + b = (a − b)(a − c)(b − c), bc ca ab 5. Resolver las ecuaciones 1 1 1 1 x −1 2 −2 2 = 0, x 1 4 4 3 x −1 8 −8



x a b x

a x x b

b x x a

x b a x

6. Calcular los determinantes de orden 0 1 1 ... 1 1 1 1 1 0 1 . . . 1 −1 x 1 1 1 0 . . . 1 −1 −1 x , .. .. .. . . .. .. .. .. . . . . . . . . 1 1 1 . . . 0 −1 −1 −1

= 0,

n: ... ... ... .. .



, ... x 1 1 1 .. .

1 x x x x

x 1 x x x

x x 1 x x

x x x 1 x

x x x x 1

a−x a a a − x .. .. . . a a

= 0. . ... a − x

... ... .. .

a a .. .

RANGOS 1. Hallar el rango de las    1 2 −1 1   2 4 1 3  ,  3 6 2 5

siguientes matrices:    1 1 1 3 −2 2 2 0 −1 1 1 4 −1 3  ,  3 3 1 2 . 1 1 0 2 1  2 4 2 5 1 1 5 −3 4

2. Probar que los rangos de AB y  1 0  0 1 A=  1 0 0 1

BA son distintos con   1 2 3 4 0 1   5 6 7 8 1 0  yB=  −1 −2 −3 −4 1 0  −5 −6 −7 −8 0 1

3. Hallar a y b para que la siguiente matriz tenga rango 2  1 0 1 2  −2 1 a − 3 −2   2 −1 1 1−b 2 −1 1 2



 . 

   

4. Hallar por el m´etodo de Gauss-Jordan la matriz inversa de las matrices        1 1 1 −1 0 0 1 0 2 2 0 0   0 1  0 1 −1 0 ,   0 3 0  ,  −1 1 0  ,   0 0 1 −1   0 0 −2 1 1 0 0 4 0 0 0 0 0 1

1 1 1 0

 1 1  . 1  1

 1 0 2 5. Expresar la matriz A =  −1 1 0  como producto de matrices elementales. −2 1 1 

6. Hallar la relaci´on entre la matrizA y la can´onica del mismo rango por medio de matrices 0 3 3 1  3 9 6 3   elementales. Siendo A la matriz   −1 0 2 0  . 0 6 6 2 7. Estudiar el rango de  a 1  1 −1   3 −1 6 −1

las siguientes   1 a  1 1   , 1 1  1 3a

matrices, seg´ un los valores de los par´ametros,    0 b 2 1 a b 1 1 . 2 −2 1 1 ab 1 b  ,  a b −2 2 a−b−1 1 b a 1

8. Demostrar que toda matriz real, triangular y ortogonal debe ser diagonal.

SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Estudiar los siguientes sistemas de ecuaciones   4x + 6y + 3z + 5v = 7  x − y + z = 3  3x + 2y − 5z = −2 (1) 2x + 3y + z + 2v = 4 (2)   2x + 3y − 4z + 5v = 2 5x + 3y − 4z = 5  x + 3y − 2z = 0  x − 8y + 8z = 0 (3)  3x − 2y + 4z = 0

2x 4x x 5x

 + y + 2z = 1    + 2y + 5z = a (4) + 2y + 3z = 0    + 3y + z = 7

x x x x

+ 2y + (m + 1)y + 2y + 2y

+ z + 2z + (m + 2)z + (3m + 4)z

= m = 3 = 3 = 7 − 2m

   

(5)

x x x x

+ 2y + (m + 1)y + 2y + 2y

+ z + 2z + (m + 2)z + (3m + 4)z

= m = 3 = 3 = 9 − 2m

   

(6)

  

  

Estudiar los siguientes sistemas de ecuaciones y, en los casos de compatibilidad, dar un conjunto de variables principales  x + y + z + v = 1  x + (a + 2)y + az + bv = 4 (7)  2x + 2y + az + (b + 2)v = 4  x + y + z = 1    2x + (a − c + 2)y + (b + c + 1)z = d + 2 (8) 3x + (a − c + 3)y + (3b + 4c + 2)z = c + 3d + 3    5x + (2a − 2c + 5)y + (4b + 5c + 3)z = 2c + 4d + 6