Aplicaciones de la geometría dirigidas a la solución de problemas reales Actividades 12.3.1. Con la información suministrada: 12.3.1.1. Calcule el perímetro del terreno. 12.3.1.2. Determine el valor de la suma de los ángulos interiores del polígono. ¿Es el valor encontrado, una característica particular del problema, o es una condición general propia de cualquier hexágono convexo?. ¿Es el valor encontrado una característica propia de todo polígono convexo?. 12.3.1.3. Determine el valor de la suma de los ángulos exteriores del polígono, fijando un sentido, es decir, tomando solamente un ángulo exterior por vértice. ¿Es el valor encontrado, una característica particular del problema o es una característica propia de cualquier hexágono convexo?. ¿Es el valor encontrado una característica propia de todo polígono convexo? 12.3.2. Observe la escala de la figura 1. En ella 1 centímetro está representando 100 metros reales en el terreno. 12.3.2.1. Si se pidiera representar el mismo terreno, en una escala en la cual 0,5 centímetros representan 100 metros; entonces, señale para cada afirmación siguiente, si es verdadera o es falsa. a.

La nueva figura es más grande que la figura inicial.

b.

La nueva figura es semejante a la figura inicial.

c.

En la nueva figura la medida de los ángulos también cambia.

d.

La nueva figura ya no representa el mismo terreno.

e.

Cada lado de la nueva figura, es proporcional al lado respectivo en la

figura inicial. f.

La nueva figura conserva la misma forma y los mismos ángulos, con

respecto a la figura inicial. g.

En la nueva figura, el perímetro del terreno original representado,

cambia.

h.

En la nueva figura, el área del terreno original representado, cambia.

12.3.2.2. Si se pidiera representar el mismo terreno, en una escala en la cual 0,5 centímetros representa 50 metros, entonces, señale para cada una de las afirmaciones del numeral anterior, si son verdaderas o falsas. 12.3.2.3. Si se pidiera representar el mismo terreno, en una escala en la cual 1 centímetro representa 50 metros, entonces, señale para cada una de las afirmaciones del numeral 12.3.2.1, si son verdaderas o falsas. 12.3.3. Calcule el área del terreno. ¿Qué elementos considera necesarios para realizar este cálculo?. ¿Dispone de estos elementos? Elementos teóricos 1. -

En un polígono convexo de n lados se demuestra que: La

suma

de

los

ángulos

interiores

es

igual

a

180º

(n-2).

- La suma de los ángulos exteriores, fijado un sentido, es igual a 360º. 2.

Se presenta ahora un resultado importante para la determinación del área

de un triángulo; conocido como fórmula de Herón. 3. En el triángulo ABC, de lados con medidas a, b, c se tiene: si designamos por, (semiperímetro), entonces, el área del

Actividades

12.3.3.1. ¿Logró determinar el área propuesta en el numeral 12.3.3?. ¿Utilizó en alguna parte de su procedimiento la fórmula de Herón?. Si no encontró un procedimiento para calcular el área solicitada; trate de hacerlo, utilizando como parte de las herramientas, la fórmula de Herón. Elementos teóricos Se procede al cálculo del área del terreno, utilizando el método de triangulación; el cual consiste en particionar el polígono, en el menor número posible de triángulos, de tal forma que el área del polígono (hexágono), sea el resultado de la suma de las áreas de los triángulos. Debe destacarse que, algunos programas que utilizan el computador para efectuar el cálculo del área de un polígono, incorporan éste procedimiento en sus algoritmos. ¿Sugiere usted alguna partición que presente mayores ventajas para la ejecución de los cálculos, en las condiciones particulares del problema?. Si su respuesta es afirmativa, indique ésta partición ó las particiones que usted encuentre mas ventajosas, señalando los aspectos que considera mas favorables. Observe ahora la partición sugerida en la figura 2. ¿Qué ventajas observa usted en la partición indicada?. El cálculo de las áreas para cada uno de los triángulos se desarrolla así:

área(

)

Para los demás triángulos, se aplica la fórmula de Herón, determinando previamente la medida de los lados necesarios, así: El lado Se puede utilizar la ley de senos en el en consecuencia, en el triángulo, se tiene:

BCD, teniendo en cuenta que éste es isósceles y

, (¿por qué?), y por suma de los ángulos interiores

luego

y

ahora,

Para la determinación de este valor, también se puede utilizar la ley del coseno, pero es más práctico el procedimiento indicado. ¿Por qué? El lado Se utiliza la ley del coseno en el

DEF

El lado Se utiliza el teorema de Pitágoras en el

BAF

Para el cálculo de las áreas de los otros triángulos, se puede elaborar la siguiente tabla, que facilita la organización de los datos parciales, para ser evaluados en la calculadora. Sugerencia: si se dispone en la institución, de calculadoras programables o de un computador, aproveche esta oportunidad para diseñar los programas requeridos en los cálculos ó aplicar el software disponible. Lados

BCD

DEF

BC=580m

Semiperímetros

1.055,11m

Diferencias

475,11m

CD=580m

475,11m

BD=950,22m

104,89m

DE=700m

1.174,91m

474,91m

EF=630m

544,91m

DF=1.019,83m

155,08m

Áreas

158.055,67m2

217.147,70m2

BDF

BD=950,22m 1.611,52m

661,30m

DF=1.019,83m

591,69m

BF=1.253m

358,52m

Área total de los 3 triángulos

475.467,59m2

850.670,96m2

Luego el área del terreno es igual a 330.000m2 + 850.670,96m2 = 1`180.671m2 Actividades 12.3.3.2. ¿Se aproxima éste valor, al que usted encontró previamente? Si hay diferencias notables, ¿cuáles son las causas que las generan? - ¿Porqué se recomienda en el procedimiento, utilizar el menor número posible de triángulos en la partición? Sugerencia: Consulte otros métodos a su alcance para el cálculo de áreas y evalúe de nuevo, el área del terreno. 12.3.4. Para cercar la finca se utilizaron estacones colocados cada dos metros y ubicando un estacón en cada vértice. Calcule el número total de estacones que se requirieron en la cerca. 12.3.5. Si la cerca lleva tres líneas de alambre de espino, calcule el número de metros que se utilizaron. 12.3.6. Si entre cada dos estacones de la cerca, se quiere llenar el espacio, sembrando arbolitos de limón swingle, y los técnicos recomiendan sembrar estos arbolitos cada 40 cms y a 40 cm del estacón, para que al crecer cubran con su follaje toda la cerca. Calcule el número de arbolitos que se requieren. Elementos teóricos Se enuncian a continuación algunas definiciones y propiedades relacionadas con el triángulo, con el propósito de ampliar los elementos de trabajo para los problemas que se plantean más adelante.

1.

Dado un

ABC, se llama mediana, al segmento determinado entre un

vértice y el punto medio del lado opuesto. Las tres medianas de un triángulo, se cortan en un punto del interior del triángulo llamado baricentro. Este punto se encuentra sobre cada mediana a 1/3 de la base y a 2/3 del vértice. En el

ABC de la figura, y

son medianas,

G es el baricentro.

2.

En un triángulo cualquiera, los seis triángulos que se generan al trazar las

medianas y con vértice común en el baricentro, tienen la misma área. (Verifique esta propiedad). En particular, para el

ABC se cumple que:

Área( GAM3) = área( GBM3) = área( GBM1) = área( GM1C) = área( GM2C) = área ( GM2A), y en consecuencia; Área( ABC) = 6*área( GAM3) = 6*área( GM3B) y de igual forma, para las áreas de los cuatro triángulos restantes. 3.

Consulte como se determina, con regla y compás, el punto medio de un

segmento, cuya ilustración se adjunta. Dado

, el punto M

corresponde al punto medio de

4.

En la figura 3, se han determinado las medianas y los baricentros, de cada

uno de los cuatro triángulos generados, por la partición empleada, para calcular el área del terreno. Utilizando las propiedades enunciadas respecto al baricentro, y los valores de las áreas de los triángulos iniciales (determinados en la figura 2), se pueden calcular las áreas de los 3 terrenos demarcados en la figura 4, así: Terreno Nº1 Corresponde al polígono ABCM1G4M3. Área de éste polígono = 1/2 área ( ABF) + 1/3 área ( BDF) + 1/2 área ( BCD) ¿Por qué? = 1/2 (330.000 m2) + 1/3 (475.467,56 m2)+1/2 (158.055m2) = 402.517,02m2 ¿A qué porcentaje del área total, corresponde este valor? Terreno Nº2 Corresponde al polígono CDEM2G4M1. Área de éste polígono = 1/2 área ( BCD) + 1/3 área ( BDF) + 1/2 área ( DEF) = 346.090,88 m2 ¿A qué porcentaje del área total, corresponde este valor? Terreno Nº3 Corresponde al polígono AFEM2G4M3. Área de éste polígono = 1/2 área ( BAF) + 1/3 área ( BDF) + 1/2 área ( DEF), y también por diferencia entre el área total del terreno y las dos áreas anteriores se tiene que ésta área es de 432.061,1 m2.

¿A qué porcentaje del área total, corresponde este valor? Actividades 12.3.7. Utilice las propiedades enunciadas anteriormente, y los valores de las áreas de los triángulos iniciales, (determinados en la figura 2), para calcular las áreas siguientes: 12.3.7.1. En la figura 5, determine las áreas de los cuatro terrenos demarcados, y los porcentajes correspondientes con relación al área total. Respuestas: Área

del

terreno

Nº1

=

316.544,87

m2.

Área

del

terreno

Nº2

=

244.244,6

m2.

Área

del

terreno

Nº3

=

323.489,2

m2.

Área del terreno Nº4 = 296.392,3 m2. 12.3.7.2. En la figura 6: a.

Determine el área del terreno rayado.

b.

Determine el área del terreno no rayado.

c.

¿Qué conclusión se obtiene de esta partición?

d.

¿Es posible, bajo esta partición, dividir el terreno total, en dos terrenos de

áreas iguales y conexas? 12.3.8. Los terrenos demarcados en la figura 5 necesitan de un sistema de riego, para lo cual se construye una acequia, con el agua tomada desde el río en el vértice B y regresando al río en el vértice A. El trazado de la acequia corresponde a la poligonal de vértices: B G1 D G2 F G4 M3 A. 12.3.8.1. Calcule la longitud de la acequia. 12.3.8.2. A continuación se ilustra un corte transversal de la acequia que corresponde a un trapecio isósceles, con sus dimensiones.

a.

Calcule, aproximadamente, el volumen de agua que contiene la acequia,

si la altura del agua es de 80 cm y es constante en todos los tramos. Tome solamente los tramos rectos de la acequia, descartando los traslapes en los vértices. b.

Calcule, aproximadamente, el volumen de agua que contiene la acequia,

si el nivel del agua se encuentra a 50 cm del borde superior sobre las paredes correspondientes en el corte transversal, a los lados del trapecio, como se indica en la figura.

Elementos teóricos 1.

Si en un

ABC, se

traza //

, entonces

AST ~

ABC

(son semejantes) y en consecuencia se cumple:

2.

El volumen de un prisma recto es igual al producto de su base por la

altura. ¿Le facilitan estos últimos elementos la exploración de las soluciones pedidas? 12.3.8.3. Si el volumen actual de la acequia es igual al 50% del volumen máximo de la misma, calcule, aproximadamente la altura del nivel del agua. Tome solamente los tramos rectos de la acequia, descartando los traslapes en los vértices. 12.3.9. La finca tiene dos establos para el ordeño, ubicados en los puntos G2 y G3 respectivamente. Se necesita construir sobre el lindero

, a la orilla de la autopista, un

tanque de enfriamiento para la leche; con el fin de almacenarla hasta el momento de su distribución, hacia las plantas procesadoras. 12.3.9.1. Determine en que punto, sobre el lindero

, debe construirse el tanque, si se

quiere que éste quede a igual distancia de los establos de ordeño ubicados en los puntos G2 y G3. Elementos teóricos 1.

Se llama recta mediatriz de un segmento, en un plano dado, a la recta

perpendicular al segmento en su punto medio y contenida en el plano indicado. 2.

En la construcción que determina el punto medio de

es la mediatriz de 3.

, la recta,

,

.

La recta mediatriz de un segmento, en un plano dado, tiene la propiedad

de que todo punto perteneciente a ella está a igual distancia con respecto a los

puntos extremos del segmento. Tenga en cuenta esta propiedad, en la determinación de la solución del problema anterior. Actividades 12.3.9.2. Determine en que punto, sobre el lindero

, debe construirse el tanque, si se

quiere que la suma de las distancias desde éste punto a los puntos G2 y G3 sea la menor posible (esto significa que la suma de estas distancias sea mínima). Explore y analice como puede abordarse la solución del problema; redacte sus posibles soluciones y susténtelas. Elementos teóricos 1.

Propiedad de la desigualdad triangular. En todo triángulo, la medida de

cada lado, es menor que la suma de las medidas de los otros dos lados. 2.

Considerando que el problema planteado es muy importante en el aspecto

práctico, y que el análisis de su solución, permite ampliar el marco conceptual operativo, de los elementos geométricos básicos, se procede a resolverlo. Ver figura 7.

Paso 1. Desde el punto G3. se traza una recta, punto donde

intersecta a

; se designa por O el

. (consulte como se desarrolla esta

construcción con regla y compás).

Paso 2. Se toma sobre la semirrecta construcción se obtiene que la recta Paso 3. Se determina el segmento y

, OT = OG3. Observe que en esta .es la mediatriz del segmento

.

. Sea P el punto de intersección entre

.

Se demuestra a continuación, que el punto P, corresponde a la solución del problema propuesto.

Demostración - Sea P´ otro punto cualquiera de

, P´

P; si se logra probar que G3P+PG2 <

G3P´+P´G2, entonces, por la generalidad representada por el punto P´, queda establecida la imposibilidad de encontrar una suma menor, que la encontrada en términos de P, en las condiciones dadas. Usted puede elegir el punto P´ como cualquiera de

, salvo P.

- Determine ahora, los segmentos - Se garantiza la existencia del

y

.

TG2P´, porque como P

P´, entonces T, G2 y

P´ son puntos distintos y no colineales. - Puede afirmarse que, TG2 < TP´+P´G2 (1) por la propiedad de la desigualdad triangular en el

TG2P´.

- Además TG2=TP+PG2 (2). - También se tiene que PG3=PT (3) y P´G3=P´T (4) ¿Porqué?. - Sustituyendo (2) en (1) se tiene, TP+PG2 < TP´+P´G2 (5). - Y, por último sustituyendo (3) y (4) en (5) se concluye que: PG3 + PG2 < P´G3 + P´G2 Actividades 12.3.10. Se necesita construir sobre el lindero

, a la orilla del río, un puerto de

embarque de ganado y contiguo al puerto, una bodega para almacenar suministros. Llame S este punto. Determine en que punto, sobre el lindero

, debe levantarse esta

construcción, si se quiere que la suma de las distancias: G2S+SP+PG3 sea mínima. Sugerencia: Analice la solución del problema anterior e intégrela al problema que se plantea; por ejemplo, ¿tendría sentido determinar sobre distancias desde él hacia G3 y hacia G2 sea mínima?.

un punto tal que la suma de

12.3.11. Teniendo en cuenta la escala en la cual está dibujado el terreno (1cm=100m), mida con una regla sencilla, o con una regla de escalas (utilizada en dibujo técnico), las siguientes distancias, y expréselas en metros: a.

Del punto A, al punto donde se construirá el tanque de almacenamiento

de leche, de acuerdo con la solución encontrada para el problema 12.3.9.1. Determine así mismo, la distancia desde este punto al punto G3. b.

Del punto A, al punto donde se construirá el tanque de almacenamiento

de leche, de acuerdo con la solución que se encontró al problema 12.3.9.2. Determine también la suma de las distancias del punto P, a los puntos G2 y G3. c.

Del punto A, al punto donde se construirán el puerto de embarque y la

bodega, de acuerdo con la solución encontrada para el problema 12.3.10. Determine también la suma de las distancias G2S , SP y PG3 12.3.12. La finca es propiedad de una sociedad, integrada por los socios A, B y C, quienes aportaron para la adquisición, las sumas de $480.000.000, $270.000.000 y $250.000.000 en su orden. 12.3.12.1. Si los tres socios deciden repartirse la finca, en tres lotes de tal forma que el área de cada uno, sea directamente proporcional a la inversión hecha, calcule: a.

El porcentaje sobre el área total que le corresponde a cada uno.

b.

El área en m2 que le corresponde a cada uno.

12.3.12.2. Analice, entre las demarcaciones de terrenos calculados a partir de los figuras 4 y 5, si alguna de ellas puede servir, aproximadamente, para el cumplimiento del objetivo establecido en el numeral anterior. 12.3.12.3. La sociedad dueña de la finca, la donó al gobierno departamental, con el compromiso de destinarla con fines de beneficio social. El gobierno a su vez la ha cedido en comodato a tres instituciones universitarias públicas, para ser utilizada en las prácticas de sus programas agropecuarios. Con este fin acordó repartir el terreno entre las instituciones C, D y E, en porcentajes, inversamente proporcionales, a los valores de unos auxilios especiales concedidos a estas instituciones y correspondientes en su orden a: $32´190.000, $37`740.000 y $29´580.000.

12.3.13. Calcule los porcentajes correspondientes a las instituciones universitarias C, D y E respectivamente. 12.3.13.1. Exprese el área en m2 que le corresponde a cada institución. 12.3.14. Analice, entre las demarcaciones de terrenos calculadas a partir de los figuras 4 y 5 si alguna de ellas puede servir aproximadamente, para el cumplimiento del objetivo establecido en el numeral anterior.

Ángulos Aˆ = 90 º Bˆ = 150 º Cˆ = 110 º Dˆ = 150 º Fˆ = 120 º

N E S

Problemas relacionados: A. A´. m 1. Suponga que m es la orilla de un río sobre la cual se va a construir un muelle, para desde allá transportar mercancías a dos poblaciones A y A´. en donde deberá construirse el muelle para que sea mínima la distancia total que tengan que recorres los vehículos del muelle a A y de allá a A´? m A´ A

2. Un jugador de billar desea pegarle a la bola que está en A de manera que ésta choque con la banda m de la mesa y luego golpee la otra bola, que está en A´. ¿Hacia qué punto de m deberá apuntar el jugador? D

A

B 3. Una compañía de ferrocarriles va C a construir una estación central para dar servicio a cuatro ciudades localizadas en los vértices A, B, C, D de un cuadrilátero, como se muestra en la figura. Dónde debe situarse la estación H para que la longitud y el costo de la construcción de la línea férrea AH + BH + CH + DH sean mínimos? Sugerencia: Trace las diagonales AC y BD del cuadrilátero, con punto de corte H. Evalúe las distancias desde H y compare con las distancias tomadas desde cualquier otro punto H´. 4. Si en el problema anterior las ciudades A, B C, D están localizadas como se indica en el gráfico ¿Cuál es la longitud mínima de una línea trazada desde un punto H a cada una de las ciudades?

D

92 Km

C 46 Km 120O

60O A

92 Km

B

E