Badillo, E.; Edo, M. (2005). «Taller de arte y geometria I: Documentación para el taller», Desarrollo Curricular. Estrategias e Instrumentos. En: Tomás, C. y Casas, M. (coord.). Educación Primaria. Orientaciones y Recursos (6-12 años). Barcelona: CISSPRAXIS CD-Rom, 35 pàg.

II. TALLER DE ARTE Y GEOMETRÍA: DOCUMENTACIÓN PARA EL TALLER1

Edelmira Badillo y Mequè Edo i Basté • • • • • • • • • •

Actividad Actividad Actividad Actividad Actividad Actividad Actividad Actividad Actividad Actividad

1. Familiarización e introducción al tema 2. Definición de ángulo. Construcción 3. Definición de ángulo. Aplicación 4. Construcción y medida de ángulos 5. Construcción de producciones artísticas 6. Operación con ángulos: suplementarios 7. Operación con ángulos: complementarios 8. Resolución de problemas de operaciones con ángulos 9. Resolución de problemas de aplicación 10. Resolución de problemas: ampliación y evaluación

1. Estos instrumentos que a continuación reproducimos están relacionados con la experiencia «Taller de Arte y Geometría en el ciclo superior de Primaria: Ángulos» de esta obra.

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ACTIVIDAD 1. Familiarización e introducción al tema 1.1. Comentamos la imagen de las figuras 1 y 2 a) ¿Cuando observamos esta imagen (v. figura 1), ¿qué palabras relacionadas con la Geometría te vienen a la cabeza?, es decir, ¿qué elementos geométricos identificas?

b) ¿Cómo son las líneas? ¿Ves diferentes tipos de líneas? ¿Cuáles? ¿Puedes definirlas o explicarlas con tus palabras?

c) ¿Qué forman las líneas cuando se cortan o se tocan o se interceptan?

d) ¿Podéis explicarlo con vuestras palabras o definir lo que es un ángulo?

e) ¿Puedes identificarlos en el cuadro? ¿Qué partes crees que tiene un ángulo?

f) ¿Ves diferentes tipos de ángulos? ¿Cuáles? ¿Podrías enumerarlos? ¿Puedes explicar o definir con tus palabras cada uno de ellos?

g) ¿Cómo podemos explicar, comprobar o demostrar que un ángulo es de un tipo o de otro, por ejemplo que uno es mayor que otro o más pequeño que otro o iguales?

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Figura 1

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1.2. Conoce a Paul Klee y su obra: Título de la obra estudiada: Batalla armonizada (1937) Autor: Paul Klee (1879-1940) Técnica: Acuarela y tinta negra Lugar de exposición: Galery

1.3. Investigación: a) Rasgos de la vida y obra del autor (Paul Klee). b) Otras obras de arte del mismo autor que permitan estudiar ángulos. c) Proponer y justificar a otros pintores y obras concretas que nos ayuden a estudiar este tema: ángulos, tipos de ángulos, etc.

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ACTIVIDAD 2. Definición de ángulo

FASE I. Definición individual 1. En el cuadro Batalla armonizada de Paul Klee, encuentra un ángulo agudo, un ángulo obtuso, un ángulo recto, un ángulo plano, un ángulo completo, y justifica el procedimiento que has utilizado para seleccionarlos.

2. Ahora responde a estas preguntas: a) ¿Qué es para ti un ángulo?

b) ¿Qué partes tiene un ángulo?

c) ¿Cuántos tipos de ángulos conoces?

d) ¿Puedes enunciarlos y representarlos?

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FASE II. Confrontación entre iguales Sois editores de un libro y tenéis que redactar una página con la definición del concepto de ángulo y tipos de ángulos que presentaréis en una transparencia. Sugerencia: partiendo de vuestras definiciones, podéis incorporar nuevas ideas utilizando otras definiciones de libros de texto. Por ejemplo, las siguientes: Libro 1: Editorial Edebe Recuerda que las rectas que se cortan en un punto se llaman secantes. Dos rectas secantes determinan en el plano 4 regiones.

16. Colorea una de estas regiones. La parte del plano limitada por dos semirrectas que tienen el mismo origen se llama ángulo.

Ángulo

17. Repasa las dos semirrectas que limitan este Ángulo.

Lado

Vértice

Ángulo

Cada una de las semirrectas que limitan un ángulo se llama lado. El punto común de las dos semirrectas se llama vértice.

Lado

Así diremos que los elementos del ángulo son los lados y el vértice.

Libro 2: Editorial VIcens Vives Ángulo es la región del plano comprendida entre dos semirrectas (lados) que tienen el mismo origen (vértice). Notación: â o bien  o bien BAC

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B

Lado Vértice

â Lado

C

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Libro 3: Editorial Barcanova

Muñoz, M. (6to.)

Este arquero quiere clavar las flechas una en cada objetivo; cada vez tendrá que cambiar de dirección. La diferencia de dirección se llama ángulo.

Libro 4: Editorial Ketres

¿La amplitud de un ángulo depende de la longitud de sus lados? Ciertamente, no: los ángulos que forman las agujas del reloj del despertador y de la pulsera a la misma hora (fig. 157) son iguales. Los lados de un ángulo son de longitud infinita: son semirrectas. El ángulo es la parte del plano comprendida entre dos semirrectas que tienen el mismo origen (Fig. 158)

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FASE III. Compartimos la definición 1. Pondremos en común las definiciones presentadas en las transparencias y escogeremos entre todos las que utilizaremos en clase: ±

Ángulo

±

Partes de un ángulo

±

Tipos de ángulo

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ACTIVIDAD 3. Definición de ángulo. Aplicación 1. Une los diferentes componentes de las columnas como creas necesario:

Partes de un ángulo

Lados

Medida

Vértice

Definición

Representación B

Cada una de las semirrectas que limitan al ángulo

A

Una de las unidades de medida de ángulos es el grado sexagesimal

A

Es el punto común de las dos semirrectas

A

C B

AB AC

C B â= C

2. Realiza un mapa conceptual sobre ángulos aplicando los conceptos que creas necesario. Te recomendamos seguir los siguientes pasos: a) Listado de palabras claves: Ángulo Lado... b) Listado de conectadores: Puede ser Tiene... c) Construcción del mapa conceptual

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ACTIVIDAD 4. Construcción y Medida de ángulos 1. Escoge de la figura 1, un ángulo de cada tipo referenciado en la tabla, nómbralos y llena el siguiente cuadro: Tipo de ángulo

Agudo

Recto

Obtuso

Llano

Completo

Medida

Medida 1 (sin el transportador) Medida 2 (con el transportador)

2. Con ayuda del transportador, reproduce, construye y nombra un ángulo de cada tipo.

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3. Utiliza alguna parte de tu cuerpo que te ayude a representar cada uno de los tipos de ángulos. ¿Puedes hacer una representación gráfica en esta hoja de la situación realizada?

4. ¿Puedes utilizar algún objeto, de la clase o de casa, que tenga que hacer algún tipo de giro para funcionar, para explicar cada uno de los tipos de ángulos? Intenta hacer la representación de la situación, especificando el tipo de ángulo al que haces referencia.

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5. Clasifica los siguientes ángulos y con la ayuda del transportador verifica la medida de cada uno de ellos.

d

c

b

ê

â

aˆ

bˆ

cˆ

dˆ

eˆ

Tipo de ángulo Medida

6. Observa las figuras a y b y reflexiona sobre las siguientes preguntas:

6.1. ¿Cuantos ángulos identificas en cada figura?

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6.2. ¿Cuál crees que es la medida de cada uno de ellos?

6.3. ¿Qué ángulos crees que son mayores, los ángulos de la figura a o los ángulos de la figura b? Justifica tu respuesta.

6.4. Utiliza el transportador para comprobar tus afirmaciones. ¿Qué conclusión podemos sacar de todo lo anterior?

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ACTIVIDAD 5. Construcción de Producciones artísticas Inspirándote en la estructura del cuadro Batalla armonizada de Paul Klee, ¿crees que puedes hacer una composición propia donde sólo emplees un solo tipo de ángulo, por ejemplo ángulos rectos? ± Justifica el procedimiento que aplicas y el tipo de ángulo que has escogido para hacer tu composición. ± Justifica las técnicas artísticas que utilizas. ± Redacta en una página los sentimientos y emociones que quieres transmitir con tu composición. ± No olvides los elementos que debe contener el cuadro: título, nombre, autor, año, etc.

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ACTIVIDAD 6. Operaciones con ángulos: Suplementarios Tomando como referencia la figura siguiente, comenta:

Figura 3

1. ¿Cuántos ángulos la forman? Sugerencia: puedes guiarte por los colores. a.) ¿Crees que se pueden hacer operaciones entre estos ángulos? ¿Cuáles operaciones? ¿Puedes representarlas de alguna forma?

b) ¿Qué procedimientos utilizarías para comprobar esta operación?

c) ¿Puedes escribirla mediante signos matemáticos?

2. ¿Qué conclusión puedes sacar de la figura 3? En general, ¿cuándo dos ángulos son suplementarios?

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ACTIVIDAD 7. Operaciones con ángulos: Complementarios Une la recta X con el vértice del ángulo recto de la figura 4 y responde a los siguientes interrogantes:

X Figura 4

1. ¿Cuántos ángulos se forman?

a) ¿Cómo son los ángulos que se forman después de unir la recta X con el vértice de la figura 4?

b) ¿Crees que se pueden hacer operaciones entre estos ángulos? ¿Cuál operación? ¿Puedes representarla de alguna forma?

c) ¿Qué procedimientos utilizarías para comprobar esta operación?d) ¿Puedes escribirla mediante signos matemáticos?

2. ¿Qué conclusión puedes sacar de esta figura? ¿Sabes cuándo dos ángulos son complementarios?

3. ¿Qué nombre recibe la recta X? ¿Por qué?

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ACTIVIDAD 8. Resolución de problemas de operaciones con ángulos 1. Encuentra en el cuadro Batalla armonizada de Paul Klee los ángulos suplementarios cuyas medidas son 95º y 85º. Propón procedimientos gráficos y algebraicos que permitan comprobar que estos ángulos son suplementarios.

2. A partir del cuadro Batalla armonizada de Paul Klee, plantea una composición de líneas y ángulos que formen ángulos complementarios. Igual que en el problema anterior, propón procedimientos gráficos y algebraicos que permitan comprobar que estos ángulos son complementarios.

3. Redacta problemas en los que apliques los conceptos de ángulos suplementarios, complementarios y bisectriz para resolverlos.

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ACTIVIDAD 9. Resolución de problemas de aplicación 1. Escoge las figuras que corresponden a cada ángulo y justifica el procedimiento utilizado: â =150º

^=200º b

^ c =35º

^ d =98º

^ e =350º

f =270º

2. Calcula cuánto miden los ángulos señalados en cada figura, utilizando procedimientos gráficos y algebraicos:

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3. A partir de esta imagen, podrías utilizar algunos de los conceptos dados para hallar la inclinación de la torre de Pisa (Italia).

4. Sin utilizar el transportador o procedimientos gráficos, calcula los ángulos señalados en cada figura:

x

x 60º

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90º

x

36º

20º 50º

45º

x

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5 ¿Pueden ser complementarios un ángulo agudo y un ángulo obtuso? Justifica tu respuesta proporcionando un ejemplo.

6 Observa los ángulos que forma la moto con el suelo y con la perpendicular al suelo desde un mismo punto de referencia. a. ¿Cómo son estos ángulos? b ¿Podrías utilizar procedimientos gráficos y algebraicos para comprobar tu planteamiento?

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7. Con un ejemplo, obtenido de la pintura Batalla armonizada de Paul Klee, representa algebráicamente y gráficamente la siguiente situación: «Los ángulos â y b son suplementarios. Si es un ángulo agudo, ¿qué clase de ángulo será ? ¿Y si fuera un ángulo recto?»

8. Sin utilizar transportador ni procedimiento algebraico, calcula la medida de los siguientes ángulos:

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9. Dadas las operaciones siguientes con ángulos suplementarios y complementarios, encuentra los valores de los ángulos y represéntalos gráficamente. a) c + 30º = 180º

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b) 57º + b = 90º

c) 30º + b + 45º = 180º

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ACTIVIDAD 10. Resolución de problemas de ampliación y de evaluación 1. Éste puede ser el plano de tu barrio o de tu pueblo. ¿Crees que puedes encontrar ángulos suplementarios y complementarios entre los ángulos que forman las calles al interceptarse entre ellas?

a) ¿Cuáles? ¿Y cómo puedes demostrar que son suplementarios o complementarios?

b) ¿Qué giro tendrías que hacer si estás en una de las esquinas del Paseo las Américas y quieres ir a la esquina que forman las calles Salvador y Argentina?

c) ¿Donde deberías situarte en el plano y hacia dónde te dirigirías si quieres hacer el mayor giro posible? ¿A qué tipo de ángulo se corresponde el anterior giro? ¿Podrías dar su medida aproximada y su medida exacta?

d) ¿Donde deberías situarte en el plano y hacia dónde te dirigirías si quieres hacer el menor giro posible? ¿A qué tipo de ángulo se corresponde el anterior giro? ¿Podrías dar su medida aproximada y su medida exacta?

e) ¿Qué camino tendrías que recorrer para hacer un giro completo? ¿A qué ángulo se corresponde? ¿Y para hacer un giro que se corresponda con un ángulo plano, donde te situarías y hacia donde te dirigirías?

f) ¿Puedes formular otro problema con los elementos geométricos que hay en este plano?

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2. Las siguientes torres se encuentran en la ciudad de Madrid (España); se llaman las Torres Kio y popularmente se les conoce como La puerta de Europa. Te invitamos a dar una mirada geométrica a las torres y, a partir de los conceptos que hemos desarrollado, resolver las situaciones propuestas y también te invitamos a plantear otras situaciones/problemas.

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a) ¿Podrías hacer una representación gráfica de los ángulos que forman las Torres Kio con la horizontal?

b) ¿Tienen la misma inclinación las torres? Justifica el procedimiento que has utilizado para demostrarlo.

c) Identifica ángulos suplementarios y complementarios en cada una de las torres. Sugerencia: dibuja la línea de la carretera como la horizontal y la línea vertical que aparece en cada una de las caras de las torres.

d) Se dice que el ángulo de inclinación de las torres con la horizontal es de 15º. Utiliza procedimiento algebraico para encontrar la medida del ángulo complementario y del suplementario. Haz la representación gráfica de las dos situaciones y compruébalo con la imagen de la foto para verificar si hay posibles errores. ¿Qué crees que puede pasar?

e) Como puedes observar las torres se encuentran inclinadas. Encuentra el ángulo de inclinación de las torres mediante procedimiento geométrico. f) En la cara de la figura que acompaña este enunciado encuentra ejemplos de ángulos. ¿De qué tipos son? g) ¿Encuentra ejemplos que no son ángulos? Justifica tu respuesta y haz una representación del no ejemplo de ángulo. ¿Qué tendrías que cambiar para que fuera un ángulo? h) ¿Encuentras ángulos de igual medida? ¿de qué tipo son?

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i) ¿Cómo son las líneas que forman la cara lateral de la torre? j) ¿Qué tipo de ángulos forman al interceptarse? k) ¿Encuentras ángulos con igual medida? ¿Qué tipo de procedimiento utilizas para comprobarlo? l) ¿Qué grupo de ángulos forman un ángulo completo? ¿Qué procedimiento utilizas para comprobarlo? m) ¿Encuentras ángulos que sean complementarios? ¿Y suplementarios? Justifica tu respuesta. n) ¿Sabes a qué cuerpo geométrico o forma geométrica se parecen las Torres Kio?

3. Imagina el reloj de una iglesia, de una torre grande o de un edificio, como por ejemplo el Big Ben de Londres, que marque la misma hora de los relojes que aparecen a continuación y responde a los siguientes interrogantes:

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a) ¿Qué hora marcarían los tres relojes?

b) ¿Cómo son los ángulos que forman las agujas de los tres relojes?

c) ¿Cuál ángulo es mayor? Justifica tu respuesta.

d) ¿Qué tipo de ángulos forman las agujas de los tres relojes? ¿Crees que las agujas de los tres relojes forman más de un ángulo?

e) ¿Podrías representar algebraicamente una operación entre los ángulos que forman las dos agujas del reloj? Sugerencia: utiliza el concepto de ángulo completo o de giro completo.

4. Inspirándote en la estructura del cuadro Batalla armonizada de Paul Klee, ¿crees que puedes hacer una composición propia donde emplees cualquiera de los conceptos desarrollados en esta unidad? Recuerda que has de tener en cuenta los siguientes aspectos: ± Justificar el procedimiento que aplicas y el concepto geométrico que has escogido para hacer tu composición. ± Justificar las técnicas artísticas que utilizas. ± Redactar en una página los sentimientos y emociones que quieres transmitir con tu composición. ± No olvides los elementos que debe contener el cuadro: título, nombre, autor, año, etc.

5. Recuerda que de cara al proceso de evaluación puedes proponer, justificadamente, problemas del tema desarrollado que tendremos en cuenta a la hora de diseñar el examen.

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