INTRODUCCIÓN En este trabajo estudiaremos el equilibrio de los cables y cuerdas flexibles, en haciendo énfasis en el problema de un cable colgante sujeto por sus dos extremos como los que emplean las compañías eléctricas para llevar la corriente de alta tensión entre las centrales eléctricas y los centros de consumo; La catenaria. En el trabajo estudiaremos teóricamente sus aspectos, características como ecuaciones que describen su comportamiento, y para terminar veremos unos ejercicios prácticos que nos ilustraran el estudio de este tema. Se dice que un cable es perfectamente flexible cuando no ofrece ninguna resistencia a la flexión. Un cable flexible no puede transmitir una fuerza más que a lo largo de su eje; esto es la tensión en un punto cualquiera es tangente a la curva asumida por el cable. Aunque los cables y las cuerdas que se encuentran en la práctica no son perfectamente flexibles, la resistencia que ofrecen a encorvarse es tan pequeña que puede despreciarse sin cometer un grave error. En el estudio de los cables supondremos que estos son perfectamente flexibles e inextensibles. Si un cable está suspendido entre dos puntos y soporta una carga que está uniformemente repartida sobre la proyección horizontal de la curva funicular, adopta una forma de una parábola. El estudio que sigue supondremos que los puntos de los que está suspendido el cable se hallan en el mismo plano horizontal. El cable tirante o muy tirante (esto es, un cable en el que la flecha es pequeña comparada con la luz) que no soporta más carga que su propio peso, como por ejemplo, el cable de una línea eléctrica de transmisión, un alambre del telégrafo, etc. En este caso la carga soportada por el cable (su peso) está repartida uniformemente a lo largo de la curva asumida por el cable, pero, puesto que la flecha es pequeña, la proyección horizontal de un arco de la curva es aproximadamente igual a la longitud de arco y, por consiguiente, la carga está con bastante aproximación uniformemente repartida en la dirección horizontal. Para resolver los problemas en que intervienen cables de esta naturaleza se utiliza la ecuación de la curva asumida por el cable (la parábola) y las ecuaciones que expresan las relaciones entre la luz, la flecha, la longitud del cable, la tensión, etc. MARCO

1

TEÓRICO

CABLES PARABÓLICOS Y CATENARIAS Se llama catenaria la curva asumida por un cable de sección transversal uniforme que está suspendido entre dos puntos y que no soporta más carga que su propio peso, como muestra la figura 1 en la hoja de gráficos; La carga que se hace que adopte la forma de una parábola en que en el primer caso la carga está uniformemente repartida a lo largo del cable en tanto que en la gráfica 2 lo está sobre la proyección horizontal. El estudio de la catenaria tuene importancia práctica únicamente en el caso de los cables en el caso de los cables en lo que la flecha es grande en proporción a la luz, ya que en caso contrario la curva asumida por el cable puede considerarse como una parábola sin grave error. Para determinar la ecuación de la catenaria y deducir al mismo tiempo algunas relaciones importantes entre cantidades tales como la flecha, la luz, la longitud del cable, la tensión etc. Se considera un diagrama de cuerpo libre como se muestra en la figura 3. Estudiaremos el equilibrio de una parte del cable (figura 1), siendo el punto más bajo del cable y otro punto cualquiera. Tomaremos el punto como el origen de coordenadas, designaremos por el peso del cable por unidad de longitud y por la longitud de arco . La porción del cable está en equilibrio bajo la influencia de tres fuerzas, a saber, la tención en el punto , la tención , en el punto y el peso . Designaremos por el ángulo que forma con la horizontal. Las ecuaciones de equilibrio del sistema de fuerzas concurrentes son: Si se resuelven las ecuaciones para determinar y , en términos de H, w y s, se obtiene: En la primera ecuación de las dos enunciadas previamente, la distancia se mide a lo largo del cable a partir de 2

su punto más bajo, y denota el peso por unidad de longitud del cable, puesto que es constante, la razón es constante para un cable dado. En consecuencia, al derivar la ecuación que nos da el ángulo, obtenemos: Esta ecuación es la ecuación diferencial del segmento del cable, en términos de , como función de . Con el fin de obtener una ecuación diferencial para el segmento, como una función , se debe volver a escribir la ecuación anterior en términos de . Para determinar como una función de , observe que , en donde denota . De esta forma: Para determinar como una función de , considere un punto de la curva y un elemento diferencial en , que contiene el ángulo infinitesimal que emana de , el centro de curvatura de la curva, (véase figura 4). El Radio es el radio de curvatura de la curva. De la figura 4. . Por tanto: Donde es la curvatura de la curva en el punto . La fórmula para la curvatura , en términos de , se puede consultar en los libros de cálculo: En consecuencia, las ecuaciones nombradas anteriormente conducen a: Para despejar en la ecuación anterior, se establece . Entonces, la ecuación anterior queda: Al integrar la ecuación anterior se tiene: Donde es una constante de integración. Por lo tanto: Se integra la ecuación anterior, se encuentra la ecuación general de la curvacomo: Donde es una constante de integración, Esta curva es una catenaria. Si , la ecuación queda así: Si se simplifica todavía más, eligiendo ejes de coordenadas tales que, para , y . Entonces, la ecuación se reduce a: La segunda ecuación resaltada, es la ecuación general de la curva que un cable forma cuando se sujeta a , su propio peso por unidad de longitud. Contiene dos constantes y , que se pueden ajustar para satisfacer condiciones en los extremos del cable. Así mismo, la constante puede ser desconocida. Cuando un cable cuelga con libertad, como se muestra en la figura 5, está en equilibrio bajo las fuerzas internas y no se tienen fuerzas externas que tiendan a cambiar la forma del cable. Por lo tanto, su se construye un arco de modo que tenga la forma de una curva de coseno hiperbólico −es decir, con la forma de una catenaria− No existen fuerzas que distorsiones ese arco. Si el arco se voltea (véase la figura 6), todas las fuerzas se invierten y el arco sigue estando en equilibrio (mantiene su forma). Esta situación condujo a arquitectos e ingenieros a elegir una curva catenaria para el Arco de Entrada en St. Louis, Missouri. Para expresar ka distancia a lo largo de un cable como una función de , en primer lugar observa, en la figura 4, que , o bien La longitud del cable es. Si los extremos del cable están en los puntos y , la longitud es: Si se sustituye la expresión de la ecuación por en la ecuación anterior y se observa la identidad para las funciones hiperbólicas, por integración se obtiene: Esta se puede expresar en términos de : Entonces, las dos ecuaciones anteriores se reducen a:

3

Al integrar la ecuación anterior se obtiene: O bien: Entonces, al expresar la tensión como función de Estas ecuaciones son suficientes para resolver problemas en los que intervienen cables sujetos a un peso uniformemente distribuido sobre si longitud total. En particular, par un cable sometido en sus extremos por anclas a la misma elevación, la figura 5, dan la razón de la flecha al claro como: Entonces, par un cable dado, con valores conocidos de , y , la ecuación anterior da la tensión mínima en el mismo y, con la ecuación penúltima, la tensión en cualquier punto del cable. BIBLIOGRAFÍA Estática /Joseph F. Shelley Ingeniería mecánica estática /Bela I. Sandor, con Karen J. Mecánica analítica /José Martínez Salas. Mecánica para ingenieros: estática /R. C. Hibbeler Mecánica vectorial para ingenieros /Ferdinand P. Beer, E. Teoría y problemas de mecánica para ingenieros: estática y dinámica /W. G. Mclean y E. W. Nelson CABLES DE SOPORTE COLGANTES CATEARIAS UNIVERSIDAD DE LA SALLE FACULTAD DE INGENIERÍA ELÉCTRICA MECÁNICA ANALÍTICA BOGOTÁ, D. C. 2004

4