Tema

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Cálculo de límites El presente tema tiene un interés eminentemente práctico, pues vamos a estudiar algunos métodos concretos para resolver indeterminaciones. Entre ellos destaca el criterio de Stolz, del que se deduce, como caso particular más importante, el criterio de la media aritmética. También estudiaremos el llamado criterio de la raíz, que permite estudiar la convergencia de sucesiones de un tipo muy concreto, y es equivalente al criterio de la media geométrica.

8.1.

Criterio de Stolz

Para indeterminaciones del tipo [ ∞/∞ ] es útil un método ideado por el matemático austriaco O. Stolz (1842-1905), basándose en trabajos previos del italiano E. Cesàro (1859-1906): Criterio de Stolz. Sea {ρn } una sucesión de números positivos, estrictamente creciente y no mayorada, es decir: 0 < ρn < ρn+1 para todo n ∈ N y {ρn } → +∞. Entonces, para toda sucesión {xn } y todo L ∈ R , se tiene:     xn xn+1 − xn → L =⇒ →L ρn+1 − ρn ρn y la misma implicación es cierta, sustituyendo en ambos miembros L por +∞ o por −∞ . Demostración. Partimos de una igualdad de fácil comprobación. Para m, n ∈ N con m < n, n−1

tenemos claramente que xn = xm + (xn − xm ) = xm +

∑ (xk+1 − xk ), de donde: k=m

  xn xm 1 n−1 xk+1 − xk = + ∑ (ρk+1 − ρk ) ρk+1 − ρk ρn ρn ρn k=m Fijado L ∈ R, la misma idea se aplica a la sucesión {ρn L} para obtener: L=

ρm L 1 n−1 + ∑ (ρk+1 − ρk ) L ρn ρn k=m 62

(1)

8. Cálculo de límites

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Restando ambas igualdades y tomando valores absolutos, tenemos n−1 xk+1 − xk xn 1 1 − L 6 |xm − ρm L| + (ρk+1 − ρk ) − L ∑ ρn ρn ρn k=m ρk+1 − ρk

(2)

donde hemos usado que {ρn } es una sucesión estrictamente creciente de números positivos. Tenemos pues que la desigualdad (2) es válida para cualesquiera m, n ∈ N con m < n, y para demostrar ya la implicación buscada, fijamos ε > 0. ε xk+1 − xk − L < . Entonces, para Por hipótesis, existe m ∈ N tal que, para k > m se tiene ρk+1 − ρk 2 n > m, aplicando (2) tenemos n−1 xn − L 6 1 |xm − ρm L| + ε ∑ (ρk+1 − ρk ) < 1 |xm − ρm L| + ε ρn ρn 2 ρn k=m ρn 2

(3)

Manteniendo m fijo, como por hipótesis {1/ρn } → 0, podemos encontrar q ∈ N tal que n ∈ N , n > q =⇒

1 ε |xm − ρm L| < ρn 2

Esta desigualdad, junto con (3),  nospermite concluir que, para n > m´ax{m + 1, q}, se tiene xn − L < ε . Esto prueba que xn → L , como se quería. ρn ρn Veamos ahora lo que ocurre al sustituir  L por +∞,en cuyo caso el razonamiento anterior ya xn+1 − xn → +∞ encontramos m ∈ N tal que: no es válido. Dado C ∈ R+ , usando que ρn+1 − ρn k ∈ N , k > m =⇒

xk+1 − xk > 2C ρk+1 − ρk

Para n > m podemos entonces usar la igualdad (1) para obtener xn xm 2C > + ρn ρn ρn

n−1

∑ (ρk+1 − ρk ) = k=m

xm − 2C ρm + 2C ρn

(4)

Manteniendo m fijo y usando que {1/ρn } → 0, encontramos q ∈ N tal que n ∈ N , n > q =⇒

xm − 2C ρm > −C ρn

Esta desigualdad, junto con (4), nos permite concluir que para n > m´ax {m + 1, q} se tiene xn /ρn > C. Esto prueba {xn /ρn } → +∞ , como se quería. Finalmente, para ver lo que ocurre al sustituir L por −∞ basta aplicar lo recién demostrado sustituyendo la sucesión {xn } por {−xn }:         xn+1 − xn xn − xn+1 −xn xn → −∞ ⇒ → +∞ ⇒ → +∞ ⇒ → −∞  ρn+1 − ρn ρn+1 − ρn ρn ρn

8. Cálculo de límites

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Como fácil aplicación, consideremos la sucesión {n/2 n }. Tomando xn = n y ρn = 2 n para todo n ∈ N, se tiene obviamente 0 < ρn < ρn+1 para todo n ∈ N y {ρn } → +∞. Puesto que {(xn+1 − xn )/(ρn+1 − ρn )} = {1/2 n } → 0, el criterio de Stolz nos dice que {n/2 n } → 0. n

Como ejemplo más interesante, fijado p ∈ N tomamos xn =

∑ k p y ρn = n p+1 para todo k=1

n ∈ N. De nuevo {ρn } cumple las hipótesis del criterio de Stolz. Usando la fórmula del binomio de Newton podemos escribir (n + 1) p n p + R(n) xn+1 − xn = = ρn+1 − ρn (n + 1) p+1 − n p+1 (p + 1)n p + S(n)

∀n ∈ N 

donde R y S son polinomios de grado menor que p. Tenemos por tanto y el criterio de Stolz nos dice que l´ım

1

n→∞ n p+1

8.2.

n

xn+1 − xn ρn+1 − ρn

 →

1 p+1

1

∑ k p = p + 1.

k=1

Criterio de la media aritmética

Como ya se ha visto en un ejemplo, el criterio de Stolz es especialmente útil cuando alguna de las sucesiones que en él aparecen se obtiene sumando consecutivamente los términos de otra. El caso particular más sencillo se presenta cuando {xn } se construye de esa forma y tomamos ρn = n para todo n ∈ N. Obtenemos entonces el siguiente resultado: Criterio de la media aritmética. Sea {yn } una sucesión de números reales y consideremos la sucesión {σn } de sus medias aritméticas, definida por σn =

1 n

n

∑ yk = k=1

y1 + y2 + . . . + yn n

∀n ∈ N

Para L ∈ R se tiene que {yn } → L =⇒ {σn } → L , y la misma implicación es cierta, sustituyendo en ambos miembros, L por +∞ o −∞ . n

Demostración. Basta aplicar el criterio de Stolz, con xn = con lo cual se tiene {(xn+1 − xn )/(ρn+1 − ρn )} = {yn+1 } y

yk y ρn = n para k=1 {xn /ρn } = {σn }.

1 n→∞ n

Por ejemplo, tomando {yn } = {1/n} → 0, tenemos: l´ım

∑

n

1

∑k

todo n ∈ N, 

= 0.

k=1

Conviene observar que el criterio de la media aritmética equivale al criterio de Stolz en el caso particular {ρn } = {n}. Ello se debe a que, para cualquier sucesión {xn }, siempre podemos n

encontrar {yn } de forma que xn = n

x0 = 0, pues entonces:

∑ yk

para todo n ∈ N. Basta tomar {yn } = {xn − xn−1 }, con

k=1 n

∑ yk = ∑ (xk − xk−1) = xn − x0 = xn, para todo n ∈ N. k=1

k=1

8. Cálculo de límites

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La implicación que aparece en el criterio de la media aritmética no es reversible, en ninguno de los casos. Para comprobarlo, basta tomar {yn } = {(−1)n }, que no es convergente, pero la sucesión de medias aritméticas sí converge, pues σ2n = 0 y σ2n−1 =  −1/(2n −n1)
2para todo n ∈ N, luego {σn } → 0. Para el caso de divergencia, tomamos {yn } = 1 + (−1) n , que no es divergente, pues y2n−1 = 0 para todo n ∈ N, pero {σn } → +∞, ya que σ2n >

y2n = 4n 2n

y

σ2n+1 =

2n σ2n 2n + 1

∀n ∈ N

En resumen, la convergencia o divergencia de la sucesión de medias aritméticas {σn } no nos da información sobre la sucesión de partida {yn }. Por otra parte, conviene también resaltar que, cuando la sucesión {yn } es divergente, pero no diverge positiva ni negativamente, no podemos asegurar que {σn } sea divergente. En efecto, la sucesión {yn } = {(−1)n (2n − 1)} = {(−1)n n − (−1)n−1 (n − 1)}, es divergente, pero en este caso es fácil ver que {σn } = {(−1)n }, luego {σn } no es divergente. Como el criterio de la media aritmética no es más que un caso particular del de Stolz, las dos observaciones anteriores se aplican también e este último. Más concretamente, siendo 0 < ρn < ρn+1 para todo n ∈ N y {ρn } → +∞, supongamos que queremos usar el criterio de Stolz para estudiar el comportamiento de una sucesión de la forma {xn /ρn }, considerando por tanto la sucesión {zn } = {(xn+1 − xn )/(ρn+1 − ρn )}. Las observaciones anteriores nos dicen que, si sólo sabemos que {zn } diverge, no podemos asegurar que {xn /ρn } diverja, y si {zn } no converge ni diverge, el criterio tampoco nos da información.

8.3.

Criterio de la raíz para sucesiones

Dada una sucesión √ {xn } de números reales positivos, vamos a estudiar el comportamiento de la sucesión n xn . Empezamos considerando el caso en que {xn } es constante: Para todo a ∈ R+ se tiene: l´ım

n→∞

√ n

a = 1.

√ Supongamos en primer lugar que a > 1, con lo que también tenemos que n a > 1 para todo √ n ∈ N, y vamos a comprobar que entonces la sucesión { n a } es decreciente. En efecto, para √
n+1 √ √ √ todo n ∈ N tenemos claramente n a = a n a > a de donde deducimos que n a > n+1 a. Tenemos pues una sucesión decreciente y minorada, luego convergente. √ Poniendo L = l´ım n a, sabemos de momento que L > 1. Consideremos ahora la sucesión n→∞ √ √ √ { 2n a }, que es una sucesión parcial de { n a }, luego { 2n a } n → L . Ahora bien, para todo n ∈ N,  2n √
2n √
2 n √ √
2 o 2n n 2n es claro que a = a = a , luego { a } = a → L2 . Deducimos que L2 = L, lo que siendo L 6= 0 no deja más salida que L = 1, como queríamos. n p o √ n n En el caso a < 1, basta pensar que { a } = 1/ 1/a y, por lo ya demostrado, tenemos np o √ n 1/a → 1, luego también { n a } → 1. 

8. Cálculo de límites

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√ En general, para una sucesión de la forma { n xn }, vamos a obtener ahora dos importantes desigualdades, que sugieren una estrategia: estudiar la sucesión de cocientes {xn+1 /xn }. Lema. Sea xn ∈ R+ para todo n ∈ N y supongamos √ que la sucesión de cocientes {xn+1 /xn } está acotada. Entonces la sucesión de raíces n xn también está acotada y se verifica que: √ √ (5) l´ım inf {xn+1 /xn } 6 l´ım inf { n xn } 6 l´ım sup { n xn } 6 l´ım sup {xn+1 /xn } Demostración. Fijamos λ ∈ R tal que l´ım sup {xn+1 /xn } < λ , y la definición de límite superior nos dice que existe m ∈ N tal que sup {xn+1 /xn : n > m} < λ , luego para n > m tenemos xn+1 6 λ xn . Encadenemos las desigualdades obtenidas para sucesivos valores de n: para n = m tenemos xm+1 6 λ xm ; para n = m+1 deducimos que xm+2 6 λ xm+1 6 λ2 xm , y una obvia inducción nos dice que xm+k 6 λk xm para todo k ∈ N. Equivalentemente, para n > m tenemos xn 6 λn−m xm . En resumen, escribiendo b = xm /λm , hemos encontrado m ∈ N y b ∈ R+ tales que √ √ n n > m =⇒ n xn 6 λ b √  √ La sucesión λ n b converge a λ y, en particular, está acotada, luego la sucesión n xn también está acotada, que es la primera afirmación Pero además, siempre para  √ del enunciado. √ n > m, tenemos sup k xk : k > n 6 sup λ k b : k > n , y usando la definición de límite superior llegamos finalmente a: √  √ n l´ım sup n xn 6 l´ım sup λ b = λ (7) La última desigualdad de (5) se deduce ahora fácilmente de la libertad para √ elegir λ: si fuese √ l´ım sup {xn+1 /xn } < l´ım sup { n xn }, habríamos podido tomar λ < l´ım sup n xn y al llegar a (7) habríamos obtenido una flagrante contradicción. Queda probar la primera desigualdad de (5), para lo cual hacemos un razonamiento muy similar al anterior. Suponiendo que dicha desigualdad no es cierta, tomamos ρ ∈ R tal que √ 0 6 l´ım inf n xn < ρ < l´ım inf {xn+1 /xn : n > m} La definición de límite inferior nos permite encontrar m ∈ N tal que ´ınf{xn+1 /xn : n > m} > ρ, con lo que, para n > m tenemos xn+1 > ρ xn . Encadenemos desigualdades: tenemos xm+1 > ρ xm ; entonces xm+2 > ρ xm+1 > ρ 2 xm , y por inducción obtenemos que xm+k > ρ k xm para todo k ∈ N. En resumen, escribiendo a = xm /ρ m , hemos encontrado m ∈ N y a ∈ R+ tales que √ √ n > m =⇒ n xn > ρ n a  √ √ Deducimos, siempre para n > m,que ´ınf k xk : k>√ n > ´ınf ρ k a : k > n , y la definición √ de límite inferior nos da l´ım inf n xn > l´ım inf ρ n a = ρ , una contradicción.  Del lema anterior deducimos fácilmente lo siguiente:

8. Cálculo de límites

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Criterio de la raíz para sucesiones. Sea {xn } una sucesión de números reales positivos. √ Si la sucesión de cocientes {xn+1 /xn } es convergente, entonces la sucesión de raíces n xn también es convergente y se verifica que √ xn+1 n xn = l´ım n→∞ xn √ Si {xn+1 /xn } → +∞, entonces también n xn → +∞ . l´ım

n→∞

Demostración. La primera afirmación se deduce directamente del lema anterior: √ √ xn+1 l´ım inf { n xn } = l´ım sup { n xn } = l´ım n→∞ xn En caso de divergencia, basta considerar claramente  √la sucesión √ {y n } = {1/xn }, pues √tenemos n n n {yn+1 /yn } = {xn /xn+1 } → 0, luego 1/ xn = yn → 0, de donde xn → +∞.  √ n n = 1. n→∞ √ Para tener otro ejemplo interesante, consideremos la sucesión { n 1 + x n }, con x ∈ R+ . El criterio de la raíz nos lleva a pensar en la sucesión {(1 + x n+1 )/(1 + x n )}. Para x 6 1 tenemos claramente {(1 + x n+1 )/(1 + x n )} → 1, mientras que si x > 1, comprobamos sin dificultad n+1 n que {(1 + x n+1 )/(1 + x n )} → x. En general, tenemos que {(1 + x )/(1 + x )} → m´ax{1, x}. √ n 1 + x n → m´ax{1, x}. Dados ahora y, z ∈ R+ , El criterio de la raíz nos dice que también podemos tomar x = z/y para obtener:  p p n y n + z n = y n 1 + (z/y)n → y m´ax{1, z/y} = m´ax{y, z} Por ejemplo, el criterio de la raíz nos dice claramente que l´ım

Puesto que {(n + 1)!/n!} = {n + 1} → +∞, el criterio de la raíz nos dice también que √ n { n!} → +∞. Inspirándonos en este último ejemplo, pero de manera más general, tenemos: Criterio de la media geométrica. Sea {yn } una sucesión de números reales positivos y consideremos la sucesión de medias geométricas definida por s n √ µn = n ∏ yk = n y1 y2 . . . yn ∀ n ∈ N k=1

Si {yn } → L ∈ R , se tiene {µn } → L , y si {yn } → +∞ , entonces también {µn } → +∞ . n

Demostración. Tomando xn = ∏ yk para todo n ∈ N, tenemos {xn+1 /xn } = {yn+1 } y k=1 √ n x  n = {µn }, con lo que basta aplicar el criterio de la raíz. Los dos criterios anteriores son equivalentes. Para deducir el primero del segundo, dada una sucesión {xn } de números positivos, tomamos yn = xn /xn−1 para todo n ∈ N con x0 = 1. Tenemos entonces {xn+1/xn } = {yn+1 } y al calcular la sucesión de las medias geométricas de √ n {yn } obtenemos {µn } = xn , luego al aplicar el criterio de la media geométrica a la sucesión {yn } obtenemos el criterio de la raíz para la sucesión {xn }.

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√ Finalmente, en relación con el criterio de la raíz, conviene observar que la sucesión { n xn } puede ser convergente sin√que {xn+1 /xn } lo sea. Para ello basta tomar {xn } = {2 + (−1)n }. √ √ Puesto que { 2n x2n } = { 2n 3} → 1 y x2n−1 = 1 para todo n ∈ N, tenemos { n xn } → 1, pero la sucesión {xn+1 /xn } no es convergente, pues para n impar se tiene xn+1 /xn = 3, mientras que para n par es xn+1 /xn = 1/3.

8.4.

Ejercicios

1. Estudiar la convergencia de las siguientes sucesiones y, cuando exista, calcular su límite: ) (   √ n2 n 1 n √ √ √ ∑ k √ (b) (a) √ n n k=1 1+2 2+3 3+...+n n ) ( ) ( 1 n k 1 n (d) (c) ∑ k! ∑k n ! k=1 n n k=1 ( 2. Sea {xn } → x ∈ R∗ . Para p ∈ N, estudiar la convergencia de la sucesión

1 n ∑ k xk n p k=1

3. Probar que las siguientes sucesiones son convergentes y calcular sus límites:  s (s )  3n3 − 2  2n n n (b) (a) 2  n +1  n

) .