´ CALCULO DE SUMATORIAS1 1. 1.1.

Sumatorias ¿Qu´ e es una sucesi´ on?

Las sucesiones est´an por todas partes, invaden el espacio, la prensa llena sus informativos con ellas, algunas son gratas y otras nos llegan hasta atormentar. La simple enumeraci´on de las p´aginas de un peri´odico es un pedazo de sucesi´on, como tambi´en el valor diario de la U.F. o el dolar son t´erminos espec´ıficos de algunas de estas secuencias num´ericas. ¡Qu´e decir de nuestro ingreso mensual!, o de las distintas sucesiones (dividendo, cuenta del agua, arancel universitario,...) que representan nuestras obligaciones econ´omicas peri´odicas. Existen muchos aspectos y problem´aticas de inter´es relativas a las sucesiones, ac´a nos limitamos al desaf´ıo de conocer ciertas t´ecnicas para sumar sucesiones. Hemos de recordar que una sucesi´ on es un tipo de funci´on, un tipo especial, una de valores reales, pero con dominio los cardinales (tambi´en se acostumbra los naturales). A veces es necesario hacer las presentaciones con cierta formalidad, permit´amosnos la siguiente definici´on: Definici´ on 1. Una funci´ on a : N∗ → R, i.e., una funci´ on que a cada n´ umero cardinal asocia un n´ umero real, se llama sucesi´ on. La imagen de un k ∈ N∗ , esto es, a(k); se denotar´ a ak , y la sucesi´ on misma por {ak }.

1.2.

¿Por qu´ e sumar sucesiones?

Existen variadas razones por las que hemos de sumar sucesiones, por ejemplo, cada vez que es necesario hacer registro de c´omo los valores de una secuencia num´erica (v.g., una serie de tiempo) se van acumulando. La secuencia de kil´ometros que un autom´ovil recorre cada d´ıa es modelable por una sucesi´on, el kilometraje acumulado es la suma de esos valores. Todos los ciudadanos que hacen su declaraci´on anual de impuesto a la renta, deben sumar los doce t´erminos de la sucesi´on de ingresos mensuales del a˜ no declarado y cada uno multiplicado por un factor actualiza su valor. Veamos un ejemplo m´as detallado. En una libreta de ahorro, con capitalizaci´on mensual y que gana intereses a una tasa del 1 % por per´ıodo, usted ha decidido hacer dep´ositos mensuales. Abri´o la cuenta con $ 30,000.− y cada mes ahorra mil pesos m´as que el mes anterior. ¿Cu´anto tiempo habr´a de esperar para juntar $ 4,000,000.−? Dispongamos la informaci´on en una tabla de tiempo-valor. En la primera fila tenemos el tiempo (meses) y en la segunda el dinero (miles de pesos). mes monto

0 30

1 31

2 32

3 33

4 34

5 ··· 35 · · ·

k 30 + k

··· ···

1 Dr. Fernando C´ ordova-Lepe. Instituto de Cs. B´ asicas, Universidad Cat´ olica del Maule, E-Mail: [email protected]

1

Si n, n ∈ N, es el n´ umero de meses de espera, notemos que los primeros $30 mil se transforman al ganar intereses en $ 30(1, 01)n mil. De igual modo el dep´osito de $31 mil llega a ser $ 31(1, 01)n−1 mil. En general el k-´esimo dep´osito de $ (30 + k) mil ganan intereses hasta transformarse en $ (30 + k)1, 01n−k mil. ¿Por qu´e? Obtenemos la sucesi´on: ak = (30 + k)1, 01n−k . As´ı el monto acumulado (miles de pesos) en n-meses, se logra sumando lo que en Matemem´aticas Financieras se conoce como una Renta Anticipada Variable. A saber: a0 + a1 + · · · + an−1 , que podemos leer como la sumatoria de los primeros n t´erminos de la sucesi´on. Quiz´as no sea dificultad mayor calcular esta suma para un n´ umero cardinal n en particular. Aun si n es un valor muy grande este puede ser un asunto que pruebe nuestra paciencia, pero para n general, como parece ser la necesidad del problema planteado, ya es otra cosa, es el tipo de cosas que deseamos usted aprehenda. ¿Qu´e valor debe tener n?

1.3.

¿C´ omo simbolizar sumatorias?

Hay una letra griega que comunmente est´a reservada para denotar procesos aditivos, esta es la letra sigma. Como usted recordar´a su versi´on may´ uscula, Σ, se utiliza para denotar la suma de t´erminos consecutivos de sucesiones. Dada una sucesi´on {ak }, por ejemplo, la suma a36 + a37 + a38 + a39 + a40 + a41 , se P41 denota 36 ak . En general si p, q ∈ N∗ , p ≤ q, para la suma de todos los valores de la sucesi´on entre el p-´esimo y el q-´esimo t´ermino, inclusives, escribimos: q X

ak = ap + ap+1 + · · · + aq .

p

Dadas {ak }, {bk } y α ∈ R, concecuencias de introducir esta simbolog´ıa son las propiedades siguientes: Pq Pq Esta es un propiedad bastante elemental que a) p α · ak = α · p ak . est´a diciendo por ejemplo que si cada remuneraci´on mensual el pr´oximo a˜ no es un 20 % mayor a la correspondiente del a˜ no en curso, entonces el ingreso anual del a˜ no pr´oximo ser´a en total un 20 % m´as, a lo que gane el presente. Pq Pq Pq La igualdad simboliza hechos obvios, por b) p bk . p ak + p (ak + bk ) = ejemplo, que sumar mis cuentas de consumo de energ´ıa (gas y electricidad) y luego calcular el total anual, equivale a sumar las cuentas anuales de cada ´ıtem. Pq Pr Pq c) Siguiendo el ejemplo esta propiedad dice que p ak = p ak + r+1 ak . sumar las doce mensualidades escolares del a˜ no es lo mismo que sumar el total de las del primer trimestre con el acumulado de los restantes tres trimestres. 2

1.4.

La Propiedad Telesc´ opica

Para una sucesi´on {ak } cualquiera es posible expresar un t´ermino gen´erico ak , k ≥ 0, como sumatoria de diferencias. As´ı como tenemos a7 = a7 + (a6 − a6 ) + (a5 − a5 ) + (a4 − a4 ) + (a3 − a3 ), asociando los t´erminos de otra forma, a7 = (a7 − a6 ) + (a6 − a5 ) + (a5 − a4 ) + (a4 − a3 ) + a3 . Luego, seg´ un nuestra P6 Σ-notaci´on, a7 − a3 = 3 [ak+1 − ak ]. En general, para p, q ∈ N, p < q, se cumple aq − ap =

q−1 X

[ak+1 − ak ].

(1)

k=p

Esta igualdad se conoce con el nombre de Propiedad Telesc´ opica y resulta ser muy u ´til para calcular sumatorias. Ejemplifiquemos con un famoso c´alculo. Hab´ıa una vez un rey que frente a la negativa del joven (inventor del ajedrez) de pedir recompensa comenta: “Me causa asombro tanto desamor y desd´en por las cosas materiales,...Para que el hombre pueda vencer los m´ ultiples obst´ aculos que le depara la vida, precisa tener el esp´ıritu sujeto a una ambici´ on que lo impulse hacia un ideal cualquiera. Exijo, (pidas)...una recompensa digna de tu valioso regalo”. A lo que el joven inventor responde: “No admitir vuestro ofrecimiento..., m´ as que descortes´ıa ser´ıa desobediencia... Voy, pues, a aceptar..., una recompensa que corresponda a vuestra generosidad; no deseo,... ni oro, ni tierras, ni palacios. Deseo mi recompensa en granos de trigo. ...Dadme un grano de trigo por la primera casilla del tablero, dos por la segunda, cuatro por la tercera, ocho por la cuarta y as´ı duplicando sucesivamente hasta la sexag´esima cuarta y u ´ltima casilla del tablero”. El rey y su corte se rieron estrepitosamente por la falta de ambici´on. ¿Reir´ıa usted? P63 El desaf´ıo es calcular 1 + 2 + 22 + · · · + 263 , esto es, 0 2k . Notemos que 2k = 2k+1 − 2k , luego por (1), se obtiene 63 X

2k = 264 − 20 = 18446744073709551615.

k=0

Como dijeron los hombres del rey “la India entera, sembrados todos sus campos, y destruidas todas sus ciudades, no producir´ıa en un siglo la cantidad de trigo que, ..., debe entregarse al joven...” En lo que sigue la idea es sistematizar esta propiedad. En la Secci´on 2 para poder sumar usando la f´ormula (1) nos preocupamos del problema de expresar el t´ermino gen´erico de una sucesi´on como diferencia de t´erminos consecutivos de otra sucesi´on. En la Secci´on 3 aplicaremos esta t´ecnica para sumar varios tipos especiales de sucesiones.

3

2.

El Operador Diferencia

2.1.

Presentaci´ on

En esta secci´on, dada una sucesi´on {ak }, estudiaremos qu´e significa y c´omo se obtiene ´agilmente la diferencia [ak+1 − ak ] que aparece en (1). Consideremos una familia de rect´angulos con la particularidad de estar construidos con baldozas cuadradas de lado cierta unidad de longitud. Si el largo de dos lados adyacentes est´an relacionadas, por ejemplo, un lado es mayor que otro en tres unidades, compartir´as que el ´area como funci´on de la longitud k, k ≥ 1, del lado menor puede ser modelada por la sucesi´on ak = k(k + 3), k ≥ 1. Puede ser importante saber cu´anto var´ıa esta sucesi´on, por ejemplo, ¿cu´anto crece el ´area al pasar de un rect´angulo de lado menor k = 5 a otro de longitud k + 1 = 6? Un rect´angulo de lado menor igual a 5 tiene ´area a5 , si ahora el lado crece a 6 el ´area es a6 . El incremento en el ´area, i.e., cu´antas m´as baldozas habr´a que poner es a6 − a5 . Nos intereza introducir una notaci´on para los incrementos de una sucesi´on de un valor al valor que le sigue, denotaremos ∆(a5 ) = a6 − a5 . Esto es, se requieren ∆(a5 ) = 6 · (6 + 3) − 5 · (5 + 3) = 14 baldozas m´as. Si estamos interesados en conocer este incremento para distintos valores de k, conviene dejar ∆(ak ) en funci´on de k, y no estar calculando la diferencia para cada k en particular. Notenemos que, para el ejemplo, ∆(ak ) = 2k + 4. ¡Haga los calculos! Es lo usual que una aplicaci´on que lleva funciones (como las sucesiones) en funciones se llama operador. Hemos introducido un tipo de operador, m´as formalmente: Definici´ on 2. La funci´ on que a cada {ak } asocia la sucesi´ on {ak+1 − ak }, se denotar´ a por ∆, y se llamar´ a Operador Diferencia. La sucesi´ on imagen se denota {∆(ak )}. Se tiene un embaldozado rectangular con k = 10 y se desea uno con k = 12. ¿Cu´antas m´as baldozas necesita? ¡Piense!...¡Bien! La respuesta es ∆(a10 ) + ∆(a11 ) = 50.

2.2.

Propiedades

Notemos que las sucesiones est´an generalmente definidas en t´erminos (como combinaci´on) de otras sucesiones. Interesa conocer la relaci´on entre la diferencia de una sucesi´on y las diferencias de sus componentes. Las siguientes tres propiedades intentan responder en parte a la inquietud. Dadas sucesiones {ak } y {bk }, entonces: a) Linealidad de la Diferencia: ∆(α · ak + β · bk ) = α · ∆(ak ) + β · ∆(bk ), para todo k ≥ 0, y α, β ∈ R. 4

(2)

b) Diferencia del Producto: ∆(ak · bk ) = ∆(ak ) · bk+1 + ak · ∆(bk ),

(3)

para todo k ≥ 0. c) Diferencia del Cuociente: µ ¶ ak ∆(ak ) · bk − ak · ∆(bk ) ∆ = , bk bk · bk+1

(4)

para todo k ≥ 0, si bk 6= 0, k ≥ 0. La demostraci´on de estas propiedades es directa si reemplazamos en las f´ormulas los valores de los incrementos. Compartir´an el criterio que el ejercicio interesante es descubrir la f´ormula. Int´entelo descubriendo una para ∆(ak ·bk ·ck ).

2.3.

Diferencia de sucesiones elementales

a) Sucesiones Lineales: Una sucesi´on {ak } es lineal af´ın si sus t´erminos tienen la forma ak = α · k + β, k ≥ 0; ciertos α y β par´ametros reales. La f´ormula del monto a inter´es simple, Sk , generado por un capital C, colocado a una tasa i % por per´ıodo durante k periodos, es un ejemplo de i sucesi´on lineal af´ın, pues viene dada por Sk = C[1 + 100 k]. Recuerde que una tasa i % significa que por cada 100 unidad monetarias se generan de inter´es i unidades por per´ıodo. Notemos que para todo k ≥ 0, ∆(α · k + β) = α.

(5)

Cuando la diferencia de dos t´erminos consecutivos de una sucesi´on {ak } es una constante, esta recibe el nombre de Progresi´ on Aritm´etica, P.A. Al valor de la constante se le denomina la diferencia. Por lo tanto, toda sucesi´on lineal af´ın es una P.A. ¿Es cierta la proposici´on inversa? Vamos si {ak } es una P.A., entonces ∆ak = d, para todo k ≥ 0, luego a1 − a0 = d, a2 − a1 = a2 − (a0 + d) = d, a3 − a2 = a3 − (a0 + 2d) = d, etc. Lo anterior permite conjeturar la f´ormula ak = a0 +kd, k ≥ 0. Demostrable por inducci´on. !H´agalo!. En otras palabras las sucesiones lineales af´ın son exactamente las P.A. b) Sucesiones Potencia: Usted se recordar´a que con k letras distintas se pueden formar k! palabras distintas ocupando cada letra una vez. Si k = 28, cu´antas m´as palabras podr´ıamos formar si dispusieramos de una letra distinta extra. La respuesta es ∆(k!), para k = 28. Note que ∆(k!) = k · k!, 5

luego la respuesta es 28·28!, i.e., hemos incrementado las palabras 28 veces. De hecho las 28! que hab´ıa m´as las 28 · 28! nuevas dan 29!. De haber k letras, el n´ umero de palabras distintas (ocupando cada letra una vez) de 10 letras es k!/(k − 10)!. ¿Cu´antas m´as palabras tendr´ıamos de tener una letra distinta m´as? El incremento buscado es µ ¶ µ ¶ k! k! ∆ = 10 · . (k − 10)! (k − 9)! ¡Pru´ebelo! Use (4). Esta u ´ltima igualdad muestra una regularidad entre la sucesi´on diferenciada y la respuesta, que motiva introducir un tipo de potencia de exponente entero y base un n´ umero natural. Notemos que k!/(k − 10)! es igual a k(k − 1)(k − 2) · · · (k − 9), la idea es denotar este producto k , pues as´ı la mencionada igualdad toma la sugerente forma ∆(k ) = 10·k . ¿Ha visto una f´ormula similar antes? Inspirados en este caso podemos generalizar. Definici´ on 3. Sean k ∈ N y p ∈ Z, definimos la p-´esima potencia factorial de k, denotada k

, como 1 si p = 0, k (k − (p − 1)) si p ≥ 1, y 1/k si p ≥ −1. En caso de exponente negativo la u ´ltima igualdad considera que el denominador k 6= 0, es decir, k ≥ −p. Notemos que dados k ∈ N y p ∈ Z, se tiene ∆k

= p · k .

(6)

Recuerde que este tipo de f´ormulas se pueden probar (¡Demuestre!) usando inducci´on. Veamos las ventajas de introducir las potencias factoriales. A modo de ejemplo, si buscamos la diferencia de {k 2 }, en vez de calcular por definici´on, podemos intentar escribir dicho cuadrado como suma de potencias factoriales. Ya que k 2 = k + k , ∆(k ) = 2k = 2k y ∆(k ) = k = 1, tenemos ∆k 2 = 2k + 1. Supongamos que el inter´es ahora es calcular la diferencia de {k 3 }, hacerlo desde la definici´on pasa por el desarrollo de un cubo del binimio. Otra posibilidad es observar que k 3 = k + 3k + k . De modo que aplicando (6) se tiene ∆(k 3 ) = 3k + 6k + 1. Practique calculando ∆(k 4 ). c) Sucesiones Exponenciales: Una sucesi´on {ak } es una sucesi´ on exponencial si tiene la forma ak = α · β k , k ≥ 0, donde α y β son par´ametros reales.

6

Supongamos que se depositan $ C pesos en una cuenta que paga el i % mensual. Consideraremos que en esta cuenta al final del per´ıodo (el mes) se suman al capital los intereses para formar el capital que se invertir´a por el pr´oximo mes (lo que se llama inter´es compuesto). La sucesi´on de nuestros saldos, Sk , al final del k-´esimo mes es Sk = C(1+i/100)k , i.e., una sucesi´on exponencial. Notemos que para todo k ≥ 0, ∆(α · β k ) = (α · β k )[β − 1].

(7)

Dada una sucesi´on {ak }, si el cuociente entre dos t´erminos consecutivos, esto es ak+1 /ak , es una constante, entonces la sucesi´on recibe el nombre de Progresi´ on Geom´etrica, P.G. La constante se llama la raz´ on. Nustra sucesi´one exponencial satisface que ∆(α · β k )/(α · β k ) es constante, entonces a partir de la identidad ak+1 /ak = ∆ak /ak +1, deducimos que toda sucesi´on esponencial de valores no nulos es una P.G. y vice versa. ¿Cu´al es la raz´on para la sucesi´on que representa el monto a inter´es compuesto? Normalmente ∆ak /ak recibe el nombre de incremento relativo, esto es, las P.G. (sucesiones exponenciales) son sucesiones que de un t´ermino a su consecutivo var´ıan un porcentaje fijo. d) Sucesiones Trigonom´ etricas: Un ciclista ha colocado en el borde de la rueda trasera de su veh´ıculo una luz que destella cada 5 segundos. La velocidad a la que roda es de 40 r.p.m. ¿A qu´e distancia (altura) del camino (horizontal) destella la luz a los 8 minutos, si el destello inicial es a ras de piso y el radio de la rueda es de 30cm? La clave dar respuesta es saber el ´angulo respecto al eje de giro que se recorre entre dos destellos consecutivos. En 60 segundos la rueda da 40 vueltas, luego en 5 segundos da la doceava parte, por lo tanto, en dicho tiempo la luz ha recorrido un ´angulo igual a 2π(40/12) radianes. Si θk es el ´angulo que recorre hasta la k-´esima destello, entonces ∆θk = 20 3 π[rad], luego la sucesi´on {θk } es lineal afin, de donde θk = 20 πk + θ . 0 3 Como el primer destello es a ras de piso, tenemos que θ0 = 3π/4, y claramente la sucesi´on de alturas al piso de los destellos est´a dada por lk = 30 + 30 sen(θk ), k ≥ 0. Este es un ejemplo de sucesi´on de tipo trigonom´etrica, pues la variable est´a en el argumento de la funci´on seno. Nos preguntan por la altura a los 8 minutos, es decir, a los 8·12·5 segundos, esto es, en el destello n´ umero 96. La respuesta es l96 = 30 + 30 sen(

20 3 π · 96 + π) = 0, 3 4

en el 96-´esimo destello se produce a la altura del piso. 7

Podr´ıamos estar interesados ahora en conocer c´omo var´ıa dicha sucesi´on de alturas entre destello y destello. Lo anterior pasa por calcular ∆lk , que a su vez significa conocer ∆ sin(a · k), con a = 20 3 π[rad]. En general si a ∈ R, entonces a)

1 a ∆ sen(a · k) = +2 sin( ) · cos(a(k + )), 2 2

(8)

1 a ∆ cos(a · k) = −2 sen( ) · sen(a(k + )); 2 2

(9)

y b)

para cada k ≥ 0. Veamos como conseguir (8). Por definici´on ∆ sen(a · k) es la diferencia sen(a · (k + 1)) − sen(a · k), pero est´a la identidad sen(α + β) − sin(α − β) = 2 sen(β) cos(α). Buscamos α y β tal que α + β = a · (k + 1) y α − β = a · k, despejando α = a · (k + 12 ) y β = a/2. Al remplazar en la identidad trigonom´etrica se lo deseado. Demuestre (9). Volviendo a nuestro problema notemos que lk = 30 − 30 cos( 20 3 π · k), por lo tanto, ¡compru´ebelo!, √ π ∆lk = 30 3 cos( (2k + 1)). 3 Para una lectura m´as ´agil de la Secci´on 3 es importante tener muy presentes las igualdades (1) a la (9).

3.

C´ alculo de Sumatorias

En esta secci´on haremos uso de la identidad (1) que en t´erminos del operador diferencia es: q−1 X ∆ak = aq − ap , p, q ∈ N∗ , p ≤ q. (10) k=p

Esta identidad tambi´en se conoce con el nombre de Teorema Fundamental del C´ alculo en Diferencias. Se invita a aplicar (10), mas o menos directamente, para calcular: Pn−1 1 √ √ a) . Racionalice. 0 k+1+ k b)

P200

10 k2 −1 .

Descomponga el cuociente en una suma. ³ 2 ´ P99 k −1 c) 2 Log2 k(k−1) . Use propiedades del logaritmo. 2

8

3.1.

Sucesiones Lineales

Notemos que por las propiedades a) y b) de 1.3., tenemos que si ak = α·k+β, Pq−1 Pq−1 Pq−1 ciertos α, β ∈ R, entonces S = ak = α · p k + β · p 1, pero p k = [∆k ]/2 y 1 = ∆k. ¿Por qu´e? Luego q−1

S= por (10) se obtiene S = n X

k=

1

q−1

X αX ∆k + β ∆k, 2 p p

α 2 [q

− p ] + β[q − p]. En particular

1 1 [(n + 1) − 1 ] = (n + 1) · n. 2 2

Como ya definimos, una P.A. es una sucesi´on que al aplicarle el operador ∆ se obtiene una sucesi´on constante. Esto es, si {ak } es una P.A., entonces ∆ak = d, donde d es la diferencia. Aplicando a esta expresi´on la suma, podemos recuperar el t´ermino gen´erico de la P.A., de hecho para todo n ≥ 0, an − a0 =

n−1 X

∆ak =

k=0

n−1 X

d = nd,

k=0

por lo tanto, an = a0 +nd. Si ahora interesa conocer Sn , la suma de los primeros n t´erminos de la P.A., usted ya puede comprobar que Sn = n2 [2a0 + d(n − 1)] = n · (a0 + an−1 )/2.

3.2.

Sucesiones Exponenciales

Una sucesi´on exponencial (una P.G.) es una sucesi´on {ak } en que el t´ermino gen´erico tiene la forma ak = a0 rk , k ≥ 0. Notemos que ∆ak = a0 rk (r − 1), luego ak = ∆ak /(r − 1) es constante. De modo que al hacer la suma tenemos Sn =

n−1 X k=0

ak =

n−1 1 X 1 rn − 1 ∆ak = [an − a0 ] = a0 . r−1 r−1 r−1 k=0

Haga los c´alculos para la suma

3.3.

P97

k=27 (2

−

√

2)(k+2)/3 .

Sucesiones Potencia

Dado n ∈ N, nos interesa calcular la suma de las potencia, de exponente n, de los primeros n´ umeros naturales. Como sabemos desde la secci´on anterior tenemos una manera de escribir las potencias k n en t´erminos de las potencias k

, p = 0, 1, · · · , n. La gracia de estas u ´ltimas potencias es que ellas pueden escribirse como operadores diferencias de otras potencias de la misma clase, luego hacer la suma de estas diferencias es m´as f´acil, por la propiedad telesc´opica. 9

Recordaremos, por ejemplo, que k 3 = k + 3k + k . De modo que, n X

k3 =

k=1

n X

k + 3

n X

k +

k=1

k=1

n X

k ,

k=1

que resulta igual a n

n

n

k=1

k=1

k=1

X 1X 1X ∆k + ∆k , ∆k + 4 2 reducible a 14 (n+1) +(n+1) + 12 (n+1) . Un buen ejercicio es terminar los c´alculos y comprobar la concidad igualdad ¸2 · n X n(n + 1) . k3 = 2 k=1

En otras palabras tenemos la hermosa identidad entre la suma de los cubos de los primeros n n´ umeros naturales, 13 + 23 + · · · + n3 , y el cuadrado de la suma de los primeros n naturales, [1 + 2 + · · · + n]2 . Practique el m´etodo haciendo los c´alculos necesarios hasta encontrar una f´ormula para 14 + 24 + · · · + n4 .

3.4.

Sucesiones Trigonom´ etricas

Interesa ahora calcular sumas de t´erminos consecutivos de sucesiones trigonom´etricas de la forma {sen(ak)} o {cos(ak)}. Nos pondremos en un caso aplicado que ilustra el c´omo hacer esto. Hay varias maneras de calcular el ´area de un c´ırculo, aqu´ı veremos una que parte de la idea de dividir el ´angulo recto ¡ π ¢en varios ´angulos de igual medida. Consideremos los ´angulos θk = 2N · k, k = 1, 2, · · · , N . Estos definen en la circunferencia de radio r y centrada en el origen (¡Dibuje!) puntos de coordenadas xk = rcos(θk ) e yk = rsen(θk ). De modo que el ´area del c´ırculo es aproximable con la sumatoria A=4

N −1 X

yk (xk − xk+1 ) = −4r

k=0

2

N −1 X

sen(ak) · ∆[cos(ak)], a =

k=0

π . 2N

Luego, N −1 1 a X 2sen(ak)sen(a(k + )). A = 4r2 sen( ) 2 2 k=0

Usando las identidades 2sen(α)cos(β) = cos(α−β)−cos(α+β) y 2sen(α/2)cos(α/2) = sen(α), tenemos: N −1 a a X cos(2ak + ). A = 2r2 sen(a) · N − 4r2 sen( ) 2 2 k=0

10

Expandiendo la funci´on cos(2a(k + 12 ) − a2 ) conseguimos · N −1 N −1 π ¸ X X sen( 2N ) 1 1 2 2 2 a πr2 cos(2a(k+ sen(2a(k+ )). −2r sen(a) ))−4r sen ( ) π 2 2 2 2N k=0

k=0

Notemos que cuando N es suficientemente grande, entonces el factor entre corchetes “tiende.a uno, luego para tener el ´area del c´ırculo resta probar que ambas sumatorias son cero si N “tiende.a infinito. Observemos que por (8) y (9),tenemos las igualdades N −1 X

cos(2a(k + 1/2)) =

k=0

N −1 X k=0

∆sen(2ak) 1 = sen(2aN ), 2sen(a) 2sen(a)

y N −1 X

sen(2a(k + 1/2)) = −

k=0

N −1 X k=0

∆cos(2ak) 1 = [1 − cos(2aN )]. 2sen(a) 2sen(a)

Remplazando estos valores, notando que 2aN = π, y que tan(π/4N ) → 0 cuando N → ∞, sigue que ambas sumatorias son cero.P Luego el ´area es πr2 . Pn−1 20 10 Practique la t´ecnica calculando 0 cos(πk/5) y 0 cos(2k) cos(2k+2) .

3.5.

F´ ormula de Abel

Sean {ak } y {bk } sucesiones. Entonces q−1 X

ak · ∆(bk ) = [aq bq − ap bp ] −

q−1 X

∆(ak ) · bk+1 .

(11)

k=p

k=p

La expresi´on (11) se conoce con el nombre de F´ormula de Abel y es de gran utilidad, pues permite calcular un amplio campo de sumatorias de sucesiones compuestas. En una simple mirada parece ser una f´ormula que relaciona una sumatoria con otra, lo importante, es que esta otra podr´ıa ser m´as f´acil de calcular. M´as adelante veremos varios ejemplos de esto. Por ahora bosquejemos la prueba de (11), usted debe seguir construir el Pq−1 detalle. Considere (3) y haga la suma en ambos lados de la igualdad, p luego aplique (10) y despeje apropiadamente. Ejemplo 1: Vamos a calcular en forma simult´anea las siguientes sumas I=

n−1 X

ak sen(bk)

y

J=

k=0

n−1 X

ak cos(bk).

k=0 k

k

Considerando que ∆(vk ) = a , entonces vk = a /(a−1), aplicando el la F´ormula de Abel tenemos  ´ ³  I = an sen(bn) − 2 a sen( b ) Pn−1 ak cos(b(k + 1 )), k=0 a−1 a−1 ³ 2 2 ´  J = an cos(bn) − 1 + 2 a sen( b ) Pn−1 ak sen(b(k + 1 )). k=0 a−1 a−1 a−1 2 2 11

Desarrollando cos(b(k + 12 )) y sen(b(k + 12 )) como funciones trigonom´etricas de la suma de los ´angulos b · k y b/2, obtenemos las igualdades.  h ³ ´ i ³ ´ an  1 − 2 a sen2 ( b ) I + a sen(b)J sen(bn) = a−1 a−1 2 a−1 ³ i ´ h ³ ´ n  − a sen(b)I + 1 − 2 a sen2 ( b ) J = a cos(bn) − 1 . a−1 a−1 2 a−1 a−1 El determinante de este sistema es µ ¶2 ¶ ¸2 · µ a a 2 2 b sen (b) + 1 − 2 sen ( ) , a−1 a−1 2 que es igual a

a2 − 2acos(b) + 1 . (a − 1)2

Por lo tanto, hay una u ´nica soluci´on, a saber: £ n+1 ¤ £ ¤ ½ I = £a sen(b(n − 1)) − an sen(bn) + asen(b) / a2¤ −£2acos(b) + 1 , ¤ J = an+1 cos(b(n − 1)) − an sen(bn) + (1 − acos(b)) / a2 − 2acos(b) + 1 . Ejemplo 2: A partir de una sucesi´on {1/k}k≥1 podemos introducir una nueva sucesi´on {Lk }k≥1 , esto definiento L1 = 0, L2 = 1, L3 = 1 + 12 , en general Lq =

q−1 X 1 , q ≥ 1. k

k=0

No se conoce expresi´on de esta sucesi´on, al menos en t´erminos de las sucesiones elementales presentadas aqu´ı. Notemos que ∆Lk = k1 , k ≥ 1, y por esta raz´on se le llamar´a Sucesi´ on Logaritmo.¿Por qu´e?. Se invita al lector a que mediante la F´ormula de Abel compruebe las igualdades: Pq−1 a) Lk = (q − 1)[Lq − 1], 1 Pq−1 b) k · Lk = 21 [q Lq − p Lp ] − 14 [q(q + 1) − p(p + 1)]. p Ejemplo 3: Si usted entendi´o en profundidad los Ejemplos 1 y 2, no deber´ıa tener problemas en aplicar (11) para calular: P49 2 k a) 0 k (3/2) , P16 k b) 1 (1/3) sen(πk/4), P20 c) 2 k(k − 1) cos(πk/3), y Pn−1 d) sen(πk/4)cos(πk/3). 0

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