CAPITULO 6. Integral definida. Licda. Elsie Hernández Saborío. Instituto Tecnológico de Costa Rica Escuela de Matemática

1 CAPITULO 6 Integral definida Licda. Elsie Hern´andez Sabor´ıo Instituto Tecnol´ ogico de Costa Rica Escuela de Matem´ atica ··· Revista digital

13 downloads 182 Views 244KB Size

Story Transcript

1

CAPITULO 6

Integral definida Licda. Elsie Hern´andez Sabor´ıo

Instituto Tecnol´ ogico de Costa Rica Escuela de Matem´ atica

··· Revista digital Matem´ atica, educaci´ on e internet (www.cidse.itcr.ac.cr)

2 Cr´ editos

Primera edici´ on impresa: Edici´ on LaTeX: Edici´ on y composici´ on final: Gr´ aficos:

´ Rosario Alvarez, 1988. Marieth Villalobos, Alejandra Araya, Jessica Chac´ on y Lisseth Angulo. Walter Mora. Walter Mora, Marieth Villalobos.

Comentarios y correcciones:

escribir a [email protected]

Contenido 6.1 6.2

Introduci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 La integral definida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 6.2.1 Propiedades fundamentales de la integral definida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

3

4

6.1

Introduci´ on

Antes de abocarnos al estudio de la integral definida y de la integral indefinida, daremos una peque˜ na semblanza hist´orica de la relaci´on entre el c´alculo diferencial y el integral. A continuaci´on transcribiremos algunos de los p´arrafos al respecto tomados del libro La Matem´atica: su contenido, m´etodos y significado (que se menciona en la bibliograf´ıa). Durante la segunda mitad del siglo XV II, Newton y Leibniz dieron un paso decisivo en la matem´atica de las magnitudes variables, al sentar las bases del c´alculon diferencial e integral. ”Este fue el verdadero comienzo del an´alisis, puesto que el objeto de este c´alculo son las propiedades de las funciones mismas, distinto del objeto de la geometr´ıa anal´ıtica que son las figuras geom´etricas. De hecho, lo que hicieron Newton y Leibniz fue completar esa cantidad inmensa de trabajo que hab´ıan desarrollado hasta entonces muchos matem´aticos y que se extend´ıa hasta los m´etodos de determinaci´on de ´areas y vol´ umenes empleados por los antiguos griegos”. ”Aqu´ı solo queremos llamar la atenci´on acerca de los or´ıgenes de este c´alculo, que fueron principalmente los nuevos problemas de la mec´anica y los viejos problemas de la geometr´ıa, consistentes estos u ´ltimos en la determinaci´on de tangentes a una curva dada y el c´alculo de ´areas y vol´ umenes. Estos problemas geom´etricos hab´ıan sido ya estudiados por los antiguos (basta mencionar a Arqu´ımides), y tambi´en por Kepler, Cavalieri, y otros, a principios del siglo XV II. Pero el factor decisivo fue el descubrimiento de una notable relaci´on entre estos dos tipos de problemas y la formulaci´on de un m´etodo general para resolverlos; tal fue la obra de Newton y Leibniz. Esta relaci´on, que permiti´o conectar los problemas de la mec´anica con los de la geometr´ıa, fue descubierta gracias a la posibilidad (brindada por el m´etodo de coordenadas) de hacer una representaci´on gr´afica de la dependencia de una variable respecto a la otra, o, en otras palabras, de una funci´on. Con la ayuda de esta representaci´on gr´afica es f´acil formular la relaci´on antes mencionada entre los problemas de la mec´anica y la geometr´ıa (relaci´on que fue el origen del c´alculo diferencial e integral) y describir as´ı el contenido general de estos dos tipos de c´alculo. El c´alculo diferencial es, b´asicamente, un m´etodo para encontrar la velocidad de un movimiento cuando se conoce la distancia recorrida en un tiempo dado. Este problema se resuelve por ”derivaci´on” y es completamente equivalente al problema de dibujar una tangente a la curva que representa la dependencia de la distancia respecto del tiempo. La velocidad en el instante t es igual a la pendiente de la tangente a la curva en el punto correspondiente a t.

El c´alculo integral es en esencia un m´etodo para encontrar la distancia recorrida cuando se conoce la velocidad, y en general, de encontrar el resultado total de la acci´on de una magnitud variable. Evidentemente, este prob-

5 lema es rec´ıproco del problema de c´alculo diferencial (el problema de encontrar la velocidad), y se resuelve por ”integraci´on”. Resulta que el problema de la integraci´on es en todo equivalente al de encontrar el ´area bajo la curva que representa la dependencia de la velocidad respecto al tiempo. La distancia recorrida en el intervalo de tiempo t1 a t2 es igual al ´area bajo la curva entre las rectas que corresponden en la gr´afica a los valores t1 a t2 .

Haciendo abstracci´on de la formulaci´on mec´anica de los problemas y operando con funciones en vez de dependencias de distancia o velocidad respecto al tiempo se obtienen los problemas de c´alculo diferencial e integral en forma abstracta. Fundamental para el c´alculo como para todo el desarrollo posterior del an´alisis, es el concepto de l´ımite, que fue formulado algo m´as tarde que los otros conceptos fundamentales de variable y funci´on. En los primeros d´ıas del an´alisis el papel que m´as tarde desempe˜ nar´ıa el l´ımite, corri´o a cargo de ese concepto algo nebuloso que es el infinit´esimo. Los m´etodos para el c´alculo real de la velocidad, conocida la distancia recorrida (a saber, la derivaci´on), y de la distancia, conocida la velocidad (integraci´on), se basaban en la uni´on del ´algebra con el concepto de l´ımite. El an´alisis se origin´o por la aplicaci´on de estos conceptos y m´etodos a los referidos problemas de la mec´anica y la geometr´ıa (y tambi´en a otros problemas: por ejemplo, los de m´aximos y m´ınimos). El an´alisis fue a su vez absolutamente necesario para el desarrollo de la mec´anica, en la formulaci´on de cuyas leyes ya se encontraban los conceptos anal´ıticos en forma latente. Por ejemplo la segunda Ley de Newton, tal como ´el la formul´o, establece que ”la variaci´on de la cantidad de movimiento es proporcional a la fuerza actuante” (con m´as precisi´on: el ritmo de variaci´on del impulso es proporcional a la fuerza). Por consiguiente, si deseamos hacer uso de esta ley debemos estar en condiciones de definir el ritmo de variaci´on de una variable, esto es, de derivarla. (Si establecemos la ley diciendo que la aceleraci´on es proporcional a la fuerza, el problema es el mismo, porque la aceleraci´on es proporcional al ritmo de variaci´on del impulso). Tambi´en est´a perfectamente claro que, para establecer la ley que rige un movimiento cuando la fuerza es variable (en otras palabras, cuando el movimiento tiene lugar con aceleraci´on variable), es preciso resolver el problema inverso de encontrar una magnitud dado su ritmo de variaci´on; en otras palabras, es preciso integrar. As´ı, pues, se puede decir que Newton se vio simplemente obligado a inventar la derivaci´ on y la integraci´on con el fin de poder desarrollar la mec´anica”. (Aleksandrov, 1979, 71).

6

6.2

La integral definida

Hemos visto entonces, ”que el concepto de integral y en general del c´alculo integral tuvo su origen hist´orico en la necesidad de resolver problemas concretos, uno de cuyos ejemplos m´as caracter´ısticos es el c´alculo del ´area de una figura curvil´ınea” (AlekSandrov, 1979, 163). Consideremos una curva situada sobre el eje X que representa la gr´afica de la funci´on con ecuaci´on y = f (x). Se desea encontrar el ´area S de la superficie limitada por la curva con ecuaci´on y = f (x), el eje X y las rectas paralelas al eje Y con ecuaciones x = a y x = b. Para tal efecto, dividimos el intervalo [a, b] en n partes, no necesariamente iguales como se muestra a continuaci´on:

Denotamos con 4x1 la longitud de la primera parte, la de la segunda parte con 4x2 y as´ı sucesivamente hasta la u ´ltima 4xn . En cada parte elegimos puntos r1 , r2 , ...rn , de tal forma que f (r1 ) · 4x1 nos da el ´area del primer rect´angulo, (∆x1 , es la base y f (r1 ) la altura), f (r2 ) ∆x2 da el ´area del segundo rect´angulo y por lo tanto f (rn ) · 4xn da el ´area del en´esimo rect´angulo. Luego se tiene que: Sn = f (r1 ) · 4x1 + f (r2 ) · 4x2 + ... + f (rn ) · 4xn es la suma de las ´areas de los rect´angulos de la figura anterior. Obs´ervese que cuanto m´as fina sea la subdivisi´on de segmento [a, b], m´as pr´oxima estar´a Sn al ´area S. Si se considera una sucesi´on de tales valores por divisi´on del intervalo [a, b] en partes cada vez m´as peque˜ nas, entonces la suma Sn tender´a a S. Al decir subdivisiones cada vez m´as peque˜ nas, estamos suponiendo no solo, que n crece indefinidamente, sino tambi´en que la longitud del mayor de los 4xi , en la en´esima divisi´on tiende a cero. Luego: S=

lim

[f (r1 ) · 4x1 + f (r2 ) · 4x2 + ... + f (rn ) · 4xn ]   n P  f (ri ) · 4xi  (A) S= lim max 4xi →0 i=1 max 4xi →0

7 Por lo que el c´alculo del ´area buscada se ha reducido a calcular el l´ımite (A). El c´alculo del l´ımite (A) tambi´en se presenta en otros problemas; por ejemplo, cuando se desea determinar la distancia S recorrida por un cuerpo que se mueve a lo largo de una l´ınea recta, con velocidad variable v = f (t), en el intervalo de tiempo entre t = a y t = b. Supongamos que la funci´on f (t) es continua, o sea, que en intervalos peque˜ nos de tiempo la velocidad solo var´ıa ligeramente. Se divide el intervalo [a, b] en n partes de longitudes 4t1 , 4t2 , ..., 4tn . Para calcular un valor aproximado de la distancia recorrida en cada intervalo 4ti , (con i = 1, 2, ..., n) vamos a suponer que la velocidad en este intervalo de tiempo es constante e igual a su verdadero valor en alg´ un punto intermedio ri . Luego, la distancia total recorrida estar´a expresada aproximadamente por la siguiente suma: n P

Sn =

f (ri )4ti

i=1 siendo el verdadero valor de la distancia S recorrida en el tiempo b − a, el l´ımite de tales sumas para subdivisiones cada vez m´as finas, o sea, que ser´a el l´ımite (A):  S=

lim

max 4ti →0



n P

 f (ri ) · 4ti 

i=1

Es necesario determinar ahora la conexi´on entre el c´alculo diferencial y el integral, pero antes calculemos el ´area de la regi´on limitada por la curva en ecuaci´on y = x2 y las rectas con ecuaci´on y = 0, x = 3.

Dividimos el intervalo [0, 3] en n partes iguales de tal forma que la longitud de cada 4x est´e dado por 3 3−0 = , y tomamos como puntos ri los extremos derechos de cada segmento, por lo que n n r0 = 0, r1 = 0 + 4x, r2 = 0 + 24x, ..., rn = b = n4x

8 Luego: Sn

=

f (r1 ) · 4x + f (r2 ) · 4x + f (r3 ) · 4x + ... + f (rn ) · 4x

=

(4x)2 4x + (24x)2 4x + (34x)2 4x + ... + (n4x)2 4x

=

(4x)3 (1 + 22 + 32 + ... + n2 )

=

(4x)3

n(n + 1)(2n + 1) 6

La igualdad 1 + 22 + 32 + ... + n2 = matem´atica.

Sn

=

µ ¶3 3 n(n + 1)(2n + 1) n 6

=

27 n(n + 1)(2n + 1) · n3 6

=

9 (n + 1)(2n + 1) · 2 n2

= =

(*) n(n + 1)(2n + 1) puede comprobarse utilizando el m´etodo de indunci´on 6

9 n + 1 2n + 1 · · 2 n n µ ¶µ ¶ 9 1 1 1+ 2+ 2 n n

Entonces

9 lim Sn = lim n→+∞ n→+∞ 2

µ ¶µ ¶ 1 1 9 1+ 2+ = (1 + 0)(2 + 0) = 9 n n 2

Por lo tanto, el ´area de la regi´on es 9 unidades cuadradas. Puede observarse que el procedimiento utilizado es bastante laborioso y depende del conocimiento de una serie de f´ormulas como la se˜ nalada con (*). Es necesario por tanto establecer un procedimiento que agilice el c´alculo del ´area de una regi´on curvil´ınea y pa ra ello, vamos a establecer la relaci´on existente entre el c´alculo diferencial e integral. El l´ımite (A) recibe el nombre de integral definida de la funci´on f (x) en el intervalo [a, b] y se denota por Z b f (x) dx, donde f (x) dx se llama integrando, los l´ımites de integraci´on son a y b, con “ a ” como l´ımite a

inferior y “ b ” como l´ımite superior. Debemos contar con un m´etodo general que permita el c´alculo de las integrales definidas.

“Hist´oricamente esta cuesti´on interes´o a los matem´aticos durante mucho tiempo, por la utilidad que ello supon´ıa para el c´alculo de ´areas de figuras curvil´ıneas, vol´ umenes de cuerpos limitados por superficies curvas, etc.

9 El n´ umero de problemas particulares que se consigui´o resolver (c´alculo de ´areas, vol´ umenes, centros de gravedad de s´olidos, etc.) fue creciendo gradualmente, pero los progresos en lo referente a encontrar un m´etodo general fueron, al principio, extremadamente lentos. Dicho m´etodo s´olo fue descubierto cuando se hubo acumulado suficiente material te´orico y pr´actico, proporcionado por la experiencia diaria. El trabajo de recoger y generalizar este material avanz´o muy lentamente hasta el final de la Edad Media; y su r´apido desarrollo posterior fue una consecuencia directa del acelerado crecimiento del poder productivo de Europa como resultado de la desaparici´on de los primitivos m´etodos (feudales) de producci´on, y la aparici´on de otros nuevos (capitalistas). La acumulaci´on de datos relacionados con las integrales definidas march´o paralela a la investigaci´on de problemas relacionados con la derivada de una funci´on. Esta inmensa labor preparatoria fue coronada con el ´exito en el siglo XV III por los trabajos de Newton y Leibniz. En este sentido se puede decir que Newton y Leibniz son los creadores del c´alculo diferencial e integral. Una de las contribuciones fundamentales de Newton y Leibniz fue que aclararon finalmente la profunda conexi´on entre el c´alculo diferencial e integral, que proporciona, en particular, un m´etodo general para calcular las integrales definidas de una clase bastante amplia de funciones. Para calcular esta conexi´on, analicemos un ejemplo tomado de la mec´anica. Supongamos que un punto material se mueve a lo largo de una l´ınea recta con velocidad y = f (t), donde t es el tiempo. Se sabe que la distancia δ recorrida por el punto en el intervalo de tiempo desde t = t1 a t = t2 viene expresada por la integral definida: Z

t2

δ=

f (t) dt t1

Supongamos conocida la ecuaci´on del movimiento del punto material; esto es, la funci´on s = F (t), que expresa la dependencia de la distancia s respecto al tiempo t a partir de un punto inicial A sobre la recta. La distancia recorrida en el intervalo de tiempo [t1 , t2 ] es evidentemente igual a la diferencia δ = F (t2 ) − F (t1 ) De este modo, consideraciones f´ısicas llevan a la igualdad: Z

t2

f (t) dt = F (t2 ) − F (t1 ) t1

que expresa la conexi´on entre la ecuaci´on del movimiento del punto material y su velocidad. Desde un punto de vista matem´atico la funci´on F (t) puede definirse como una funci´on cuya derivada para todos los valores de t del intervalo dado es igual a f (t), esto es: F 0 (t) = f (t) Una tal funci´on se llama primitiva de f (t). Hay que tener en cuenta que si la funci´on f (t) tiene al menos una primitiva, entonces tiene un n´ umero infinito de ellas; porque si F (t) es una primitiva de f (t); entonces F (t) + C (donde C es una constante arbitraria) es tambi´en una primitiva. Adem´as de este modo obtenemos todas las primitivas de f (t) puesto que si F1 (t) y F2 (t) son primitivas de la misma funci´on f (t) entonces su diferencia φ(t) = F1 (t) − F2 (t), tiene una derivada φ0 (t) que es igual a cero en todo punto del intervalo dado, por lo que φ0 (t) es constante. Nota: Por el teorema del valor medio φ(t) − φ(t0 ) = φ0 (v)(t − t0 ) = 0 donde v se encuentra entre t y t0 . As´ı φ(t0 ) = φ(t0 ) = constante para todo t.

10 Desde un punto de vista f´ısico los diferentes valores de la constante C determinan movimiento que s´olo difieren entre s´ı en el hecho de que corresponden a todas las posibles elecciones del punto inicial del movimiento. Se llega as´ı al resultado de que para una clase muy amplia de funciones f (x), que incluye todos los casos en los que la funci´on f (x) puede ser considerada como velocidad de un punto en el instante x se verifica la siguiente igualdad. Z

b

f (x) dx = F (b) − F (a)

(B)

a

donde F (x) es una primitiva cualquiera de f (x). Esta desigualdad es la famosa f´ormula da Leibniz y Newton que reduce el problema de calcular la integral definida de una funci´on a la obtenci´on de una primitiva de la misma, y constituye as´ı un enlace entre el c´alculo diferencial e integral. Muchos de los problemas concretos estudiados por los m´as grandes matem´aticos se resuelven autom´aticamente con esta f´ormula que establece sencillamente que la integral definida de la funci´on f (x) en el intervalo [a, b] es igual a la diferencia entre los valores de cualquiera de sus primitivas en los extremos superior superior e inferior del intervalo. La diferencia (B) se acostumbra escribir as´ı: ¯ ¯b ¯ F (x) ¯ = F (b) − F (a) ¯a (Aleksandrov, 1979, 166 − 169) Z

3

Por ejemplo, utilizando la f´ormula de Newton-Leibniz puede calcularse 0

x2 dx, que determina el ´area de la

regi´on limitada por la curva con ecuaci´on y = x2 y las rectas con ecuaciones y = 0, x = 3 y x = 0, de la siguiente manera: Z

3

0

x3 x2 dx = 3

¯ ¯3 03 33 ¯ − = 9 − 0 = 9(ul)2 ¯ = ¯0 3 3 µ

Observe que Dx

x3 3

¶ =

3x2 x3 = x2 , por lo que es una primitiva de x2 . 3 3

Veamos otro ejemplo en el que utilizamos esta f´ormula: Z

4

(x2 + 1) dx ¶ ¯¯4 µ 3 ¶ µ 3 2 62 x 43 ¯ +x ¯ = +4− +2 = = ¯2 3 3 3 3 2

Note que: µ 3 ¶ x x3 Dx + x = x2 + 1 por lo que + x es una primitiva de x2 + 1 3 3

11 “De los razonamientos hechos al exponer la f´ormula de Newton y Leibniz se desprende, claramente que esta f´ormula es la expresi´on matem´atica a una conexi´on aut´entica del mundo real. Es un bello e importante ejemplo de c´omo la matem´atica da expresi´on a las leyes objetivas. Debemos observar que en sus investigaciones matem´aticas Newton siempre adopt´o un punto de vista f´ısico. Sus trabajos sobre los fundamentos del c´alculo diferencial e integral no pueden ser separados de sus trabajos sobre los principios de la mec´anica. Los conceptos de an´alisis matem´atico -como la derivada o la integral- tal como se presentaban a Newton y sus contempor´aneos, a´ un no hab´ıa ”roto” del todo con sus or´ıgenes f´ısico y geom´etrico (velocidad y ´area). De hecho era de un car´acter mitad matem´atico y mitad f´ısico. Las condiciones existentes en esa ´epoca no eran todav´ıa las apropiadas para lograr una definici´on puramente matem´atica de esos conceptos. Por consiguiente, el investigador s´olo pod´ıa manejarlos correctamente en situaciones complejas s´ı permanec´ıa en contacto inmediato con los aspectos pr´acticos del problema incluso durante las etapas intermedias (matem´aticas) de su razonamiento. Desde este punto de vista el trabajo creador de Newton tuvo un car´acter diferente del de Leibniz, ya que sus descubrimientos tuvieron lugar independientemente. Newton se dj´o guiar siempre por el enfoque f´ısico de los problemas. En cambio las investigaciones de Leibniz no tienen una conexi´on tan inmediata con la f´ısica, hecho que, en ausencia de definiciones matem´aticas precisas, le condujo a veces a conclusi´ones equivocadas. Por otra parte el rasgo m´as carater´ıstico de la actividad creadora de Leibniz fue su esfuerzo por generalizar su b´ usqueda de los m´etodos m´as generales de resoluci´on de los problemas del an´alisis matem´atico. El mayor m´erito de Leibniz fue la creaci´on de un simbolismo matem´atico que expresaba lo esencial de la cuesti´on. Las notaciones por conceptos Z fundamentales del an´alisis matem´atico tales como la diferencial dx, la diferencial segunda d2 x, la integral

y dx, y la derivada d/dx fueron propuestas por Leibniz. El hecho de que estas

notaciones se utilicen todav´ıa muestra lo acertado de su elecci´on. Una de las ventajas de un simbol´ısmo bien elegido es que hace las demostraciones y c´alculos m´as cortos y f´aciles, y evita tambi´en, a veces, conclusiones equivocadas. Leibniz, quien no ignoraba esto, prest´o especial atenci´on en todo su trabajo a la elecci´on de notaciones. La evoluci´on de los conceptos del an´alisis matem´atico (derivada, integra, etc.) continu´o, naturalmente, despu´es de Newton y Leibniz y contin´ ua todav´ıa en nuestros d´ıas; pero hay una etapa en esta evoluci´on que merece ser destacada. Tuvo lugar a comienzos del siglo pasado y est´a particularmente relacionado con el trabajo de Cauchy. Cauchy dio una definici´on formal precisa del concepto de l´ımite y la utiliz´o como base para sus definiciones de continuidad, derivada, diferencial e integral. Estos conceptos se emplean constantemente en el an´alisis moderno. La gran importancia de estos resultados reside en el hecho de que gracias a ellos es posible operar de un modo puramente formal y llegar a conclusiones correctas no s´olo en la aritm´etica, el ´algebra y la geometr´ıa elemental, sino tambi´en en esa nueva y extensa rama de la matem´atica, el an´alisis matem´atico. En cuanto a los resultados pr´acticos del an´alisis matem´atico se puede decir hoy lo siguiente: si los datos originales se toman del mundo real entonces el resultado de los razonamientos matem´aticos tambi´en se verificar´a en ´el. Y, si estamos completamente seguros de la precisi´on de los datos originales, no hay necesidad de hacer una comparaci´on pr´actica de la exactitud de los resultados matem´aticos, hasta comprobar la exactitud de los razonamientos formales. Esta afirmaci´on tiene naturalmente la siguiente limitaci´on. En los razonamientos matem´aticos los datos originales que tomamos del mundo real s´olo son verdaderos con una cierta precisi´on. Esto significa que en cada etapa de razonamiento matem´atico los resultados obtenidos contendr´an ciertos errores que, conforme avanza el razonamiento(Por ejemplo de a = b y b = c sigue formalmente que a = c. Pero en la pr´actica esta relaci´on aparece como sigue: del hecho de que a = b con un error igual a ² y b = c con un error tambi´en ² se sigue que a = c con un error igual a 2²) puede irse acumulando.

12 Volviendo ahora a la integral definida, consideremos una cuesti´on de capital importancia. ¿Para qu´e funciones Z b f (x) definidas sobre el intervalo [a, b] es posible garantizar la existencia de la integral definida f (x) dx, es decir, un n´ umero para el cual la suma

a

n P

f (ri ) 4xi tenga l´ımite cuando max 4xi → 0?. Debe tenerse en 1 cuenta que este n´ umero ser´a el mismo para todas las subdivisiones del intervalo [a, b] y para cualquier elecci´on de puntos ri . Las funciones para las cuales la integral definida es decir, el l´ımite (A) existe se dicen integrables en el intervalo [a, b]. Investigaciones realizadas en el u ´ltimo siglo demostraron que todas las funciones continuas son integrables. Pero hay tambi´en funciones discontinuas que son integrables y entre ellas figuran por ejemplo las funciones que son acotadas y crecientes (o decrecientes) en el intervalo [a, b].

La funci´on que es igual a cero en los puntos racionales de [a, b] e igual a uno en los puntos irracionales puede servir de ejemplo de funci´on no integrable, puesto que para una subdivici´on arbitraria la suma sn ser´a igual a cero o a uno seg´ un elijamos los puntos ri entre los n´ umeros irracionales o racionales. Se˜ nalamos que en muchos casos la f´ormula de Newton y Leibniz proporciona la soluci´on al problema de calcular una integral definida. Pero surge entonces el problema de encontrar una primitiva de una funci´on dada, esto es, de encontrar una funci´on que tenga por derivada la funci´on dada. Procedemos ahora a discutir este punto. Observemos de paso que el problema de encontrar una primitiva tiene gran importancia entre otras ramas de la matem´atica particularmente en la soluci´on de ecuaciones diferenciales. (Aleksandrov, 1979, 170, 173)

6.2.1

Propiedades fundamentales de la integral definida

1. Si k es un n´ umero real constante, y f es una funci´on integrable en el intervalo cerrado [a, b], entonces: Z

Z

b

b

k f (x) dx = k

f (x) dx

a

a

Prueba: Al final del cap´ıtulo. 2. Si f y g son dos funciones integrables en [a, b] entonces f + g tambi´en es integrable en [a, b] y: Z

Z

b

[f (x) + g(x)] dx = a

Z

b

f (x) dx + a

b

g(x) dx a

Prueba: Al final del cap´ıtulo. 3. Si f y g son dos funciones integrables en [a, b] (con a < b) y adem´as f (x) ≤ g(x) ∀x ∈ [a, b] entonces: Z

Z

b

f (x) dx ≤ a

b

g(x) dx a

13 Prueba: Al final del cap´ıtulo. Podemos ilustrar geom´etricamente esta propiedad como sigue: Sea f (x) > 0 y g(x) > 0 para x ∈ [a, b], adem´as g(x) ≥ f (x) para cada x ∈ [a, b], como se muestra en la figura siguiente:

Note que el ´area del trapecio curvil´ıneo a Q R b es mayor que el trapecio curvil´ıneo a R S b, por lo que: Z

Z

b

f (x) dx ≤ a

b

g(x) dx a

4. Si M y m son los valores m´aximo y m´ınimo respectivamente de la funci´on f (x) en el intervalo [a, b], con a ≤ b, y adem´as f es integrable en [a, b] entonces: Z

b

m(b − a) ≤

f (x) dx ≤ M (b − a) a

Prueba: Al final del cap´ıtulo. Puede ilustrarse esta propiedad geom´etricamente como sigue: sea f (x) ≥ 0 para x ∈ [a, b] (a < b) y consideremos la siguiente representaci´on gr´afica:

14

Note que el ´area del trapecio curvil´ıneo a Q T b est´a comprendida entre las ´areas de los rect´angulos a P U b y a R S b. (El ´area del rect´angulo a P U b es m(b − a), la del rect´angulo a R S b es M (b − a) Z b y la del trapecio curvil´ınieo es f (x) dx a

Ejemplo 1

Consideremos la regi´on limitada por la curva con ecuaci´on y = x2 + 1 y las rectas cuyas ecuaciones son x = 1, x = 3; la representaci´on gr´afica es la siguiente:

15 Note que el valor m´ınimo que toma la funci´on es 2 y el m´aximo es 10. El ´area del rect´angulo a P S b es 4 (ul)2 , la del rect´angulo a Q R b es 20 (ul)2 y la del trapecio curvil´ıneo a P R b es: Z

3

x2 dx =

1

¯ x3 ¯¯3 27 1 26 − = (ul)2 = 3 ¯1 3 3 3

Observe que 4 <

26 < 20 y por tanto 2(3 − 1) < 3

Z

3

x2 dx < 10(3 − 1)

1

5. Teorema del valor medio para integrales

Teorema 1 Si f es una funci´on continua en el intervalo [a, b], entonces existe en ´este un punto α tal que se verifique la siguiente igualdad: Z

b

f (x) dx = (b − a)f (α) a

Prueba: Al final del cap´ıtulo. Podemos dar una interpretaci´on geom´etrica como sigue: consideremos una funci´on f tal que f (x) ≥ 0, para todos los valores de x en el intervalo [a, b]. Z

b

Entonces

f (x) dx es el ´area de la regi´on limitada por la curva con ecuaci´on y = f (x), el eje X y las a

rectas con ecuaciones x = a, x = b

La propiedad 5. establece que existe un n´ umero α en [a, b] tal que el ´area del rect´angulo a Q S b, cuya altura es f (α) y que tiene ancho de (b − a) unidades, es igual al ´area de la regi´on a P R b.

16 El valor de α no es necesariamente u ´nico. Aunque el teorema no establece un m´etodo para determinar α, s´ı garantiza que existe un valor de α, lo cual se utiliza para demostrar otros teoremas.

Ejemplo 2

Determinar, en cada caso, el valor de α tal que: Z

2

i. Z

4

ii. Z

x3 dx = f (α)(2 − 1)

1

(x2 + 4x + 5) dx = f (α)(4 − 1)

1 2

iii.

(x2 + 1) dx = f (α)(2 + 2)

Ejercicio para el estudiante.

−2

Soluci´ on: Z

2

i. Calculemos primero

x3 dx

1

³ Como Dx Z

2

Luego 1

x4 4

´

Z

= x3 entonces

2

x3 dx =

1

¯ x4 ¯¯ 16 1 15 − = = 4 ¯ 4 4 4

15 x3 dx = = f (α)(2 − 1) de donde: 4

15 f (α) = (en este caso f (x) = x3 ) 4 r 15 3 15 3 α = y por u ´ltimo α = ' 1, 55 4 4 Gr´aficamente se tiene: Z ii. Calculemos µ

4

(x2 + 4x + 5) dx

1 3

¶ x + 2x2 + 5x = x2 + 4x + 5 entonces: 3 µ 3 ¶ ¯ Z 4 ¯ x 1 43 2 2 x + 4x + 5 = + 2x + 5x ¯¯41 = + 2(4)2 + 5 · 4 − ( + 2 + 5) = 66 3 3 3 1 Z 4 Luego: (x2 + 4x + 5) = 66 = f (α)(4 − 1) Como Dx

1

de donde f (α) = 22, como f (x) = x2 + 4x + 5 entonces: α2 + 4α + 5 = 22 y los valores de α que satisfacen la ecuaci´on son α1 = −2 + este u ´ltimo valor se descarta pues no pertenece al intervalo [1, 4]



21, α2 = −2 −



21;

17

Luego el valor de α que satisface el teorema del valor medio para integrales es α =



21 − 2

Gr´aficamente se tiene:

21

6. Si f es una funci´on integrable en los intervalos cerrados [a, b], [a, c] y [c, b] con a < c < b entonces: Z

Z

b

f (x) dx = a

Z

c

b

f (x) dx + a

f (x) dx c

18 Asumimos esta propiedad sin demostraci´on. Ejemplos Sea [a, b] = [0, 3] y c = 2 Z

3

x3 ¯¯3 =9 3 0 0 ¯ Z 2 Z 3 x3 ¯¯2 x3 x2 dx + x2 dx = Ahora: + 3 ¯0 3 0 2 Z 3 Z 2 Z 3 x2 dx = x2 dx + x2 dx Luego: x2 dx =

0

0

¯ ¯3 ¯2 = 8 + 9 − 8 = 9 ¯ 3 3

0

Geom´etricamente podemos interpretar esta propiedad como sigue: Si f (x) ≥ 0 para x ∈ [a, b] entonces la propiedad anterior establece que, el ´area de la regi´on limitada por la curva con ecuaci´on y = f (x), el eje X y las rectas con ecuaciones y las rectas con ecuaci´on x = a, x = b, es igual a la suma de las ´areas de las regiones desde ”a” hasta c y desde c hasta b.

El resultado anterior es v´alido para cualquier orden de a, b y c, como se establece a continuaci´on.

Teorema 2 Sea f una funci´on integrable en un intervalo cerrado que contiene los tres n´ umeros a, b y c.

19 Z

Z

b

Entonces: a

Z

c

f (x) dx =

f (x) dx + a

b

f (x) dx sin importar cu´al es el orden de a, b y c. c

Prueba: Al final del cap´ıtulo. Para la prueba de esta propiedad se necesitan las siguientes definiciones: Z

Z

b

a.

f (x) dx = − a

a

f (x) dx b

Ejemplo 3 ¯ x2 ¯¯3 9 1 ¯1 = 2 − 2 = 4 2 1 ¯ Z 1 x2 ¯¯1 1 9 x dx − = −4 3 = ¯ 2 2 2 3 Z 1 Z 3 Luego: x dx = − x dx Z

3

x dx

1

Z

3

a

b.

f (x) dx = 0, en este caso note que la longitud del trapecio curvil´ıneo es cero por lo que se ´area a

tambi´en es igual a cero. Las propiedades 6 y 7 anteriores ser´an de gran utilidad al calcular el ´area de diversas regiones, como estudiaremos en el apartado de aplicaciones de la integral definida.

Get in touch

Social

© Copyright 2013 - 2025 MYDOKUMENT.COM - All rights reserved.