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Capitulo II Teoría De Conjuntos Definición: Entendemos por conjunto a toda agrupación, colección o reunión de objetos de cualquier especie siempre que exista un criterio preciso que nos permita que un objeto pertenece o no a dicha agrupación. Los objetos que “pertenecen a un conjunto” se llama elementos del conjunto. Notación: A los conjuntos los representamos con letras mayúsculas A, B, C, ... , y a sus elementos representaremos con letras minúsculas a, b, x, ... Relación de Pertenencia (∈): La relación de pertenencia es el símbolo que relaciona a los elementos de un conjunto con el mismo conjunto: (elemento) ∈ (conjunto) ƒ

Si un objeto x es un elemento o pertenece al conjunto A, escribimos: x∈A Y leeremos “x pertenece al conjunto A”.

ƒ

Si un objeto x no es elemento del conjunto A, escribiremos: x∉A Y leeremos “x no pertenece al conjunto A”.

Determinación de un Conjunto: Existen dos maneras de determinar un conjunto dado: por extensión y por comprensión. a)

Por extensión: Un conjunto queda determinado por extensión cuando se conocen individualmente todos sus elementos. Ejemplos: B = { 1 , 3 , 5, 7, 9 }

b)

Por comprensión: Un conjunto que está determinado por comprensión cuando éste se define por medio de una propiedad la cual debe satisfacer cada uno de sus elementos. Ejemplos: C = { x/x es una vocal } A = { x/x3 - 3x2 – x + 2 = 0 }

Conjuntos Numéricos: Los conjuntos numéricos que se estudian en matemáticas son: los números naturales, los números enteros, los números racionales, los números irracionales, los números reales y los números complejos. a)

El conjunto de los números naturales: Es el conjunto denotado por N y cuyos elementos son empleados para realizar la operación de contar. N = { 1, 2, 3, 4, 5, .... }

b)

El conjunto de los números enteros: Es el conjunto que se denota por Z y está constituido por los números naturales positivos, los números naturales negativos y el cero. Z = { -α .......... -3, -2, -1, 0 , 1, 2, 3, .......... +α }

c)

El conjunto de los números racionales: Es el conjunto que se denota por Q y que es solución de la ecuación ax + b = 0, donde a y b son enteros, con a ≠ 0. Se escribe: Q = { x/ax + b = 0, a, b ∈ Z, a ≠ 0 } Q = { ... –b/a, .... –1, -½, 0, ½, 1, ...., b/a .... }

d)

El conjunto de los números irracionales: Es el conjunto que se denota por I y está formado por los números que no son racionales, es decir, aquellos números que no pueden expresarse en la forma b/a, con a, b ∈ Z y a ≠ 0. I = { .... , -π, -

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5,

3

2,

3 , e, π, .... }

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e)

El conjunto de los números reales: Es el conjunto denotado por R y está formado por el conjunto Q e I. R = { .... , -π,

f)

2 , ½,

3 , e, π, 4, 8, 9/2, .... }

Conjunto finito: Es el conjunto que está formado por un número limitado de elementos. A = { x/x es una vocal} B = { x ∈ N/s < x < 12 } C = { x/x es un día de la semana }

g)

Conjunto infinito: Es el conjunto que está formado por un número infinito de elementos. A = { x ∈ Z/ x es impar} B = { x/x es un número natural }

Relación entre Conjuntos: a)

Inclusión de Conjunto: (Sub-conjuntos). Se dice que el conjunto A es un subconjunto de B, o que A está contenido en B, o que A es parte de B, si todo elemento de A pertenece al conjunto B, se escribe A ⊂ B y se lee “A está incluido en B”. A ⊂ B ⇔ { ∀ x ∈ A, x ∈ A ⇒ x ∈ B } B

A

B

A

B

A

A⊂B

A⊄B

A⊄B

Ejemplo: Si A = {1, 3, 5} y B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} B .2 .4 .3 .1 .5

.6 A

.7 b)

Subconjunto propio: Diremos que A es un subconjunto propio de B o parte de B, si se verifica A ⊂ B y además existe algún x∈B tal que x∉A. Ejemplo: El conjunto A = {2, 4, 6} es un subconjunto propio de B = {1, 2, 3, 4, 5, 6} puesto que A ⊂ B además 1 ∈ B, 3 ∈ B, 5 ∈ B, tal que 1 ∉ A, 3 ∉ A, 5 ∉ A.

c)

d)

Igualdad de Conjuntos: Intuitivamente dos conjuntos A y B son iguales cuando tienen los mismos elementos. Es decir: A=B ⇔ A⊂B ∧ B⊂A Propiedades: 1. ∀ A ; A = A 2. A = B → B = A 3. Si A = B ∧ B = C → A = C Conjuntos Disjuntos: Dos conjuntos A y B son disjuntos cuando no tienen elementos comunes. Ejemplo: A = { 4, 6, 8 } B = { x/x ∈ N ∧ 10 < x < 17 } ⇒ A y B son disjuntos.

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Clases de Conjuntos: a)

Conjunto Vacío: Llamado conjunto nulo, es aquel conjunto que carece de elementos. Se denota como: { } ó ∅ Ejemplo: A = { x ∈ N/ 8 < x < 9 }

b)

Conjunto Unitario: Llamado también singleton, es aquel conjunto que tiene un solo elemento. Ejemplos: A={7} N = { x ∈ Z/ 2 < x < 4 }

c)

Conjunto Universal: Es un conjunto referencial que se toma convenientemente para el estudio de una situación particular. Se le representa como U y gráficamente por un rectángulo. U

d)

Familia de Conjuntos: Es un conjunto que tiene como característica que sus elementos son conjuntos. M = { {4}, {a,b}, {n}, {a,b,n} }

e)

Conjunto Potencia: Se llama potencia de A, al conjunto formado por todos los subconjuntos de A y se le denota como P(A). El número de elementos de P(A) o número de subconjuntos de A, está dado por: 2n, donde “A” representa el número de elementos del conjunto A. Ejemplo: A = { 3,5 } 22 = 4 P(A) = { {3}, {5}, {3,5}, ∅ } Nota: # de subconjuntos propios de A es: 2n – 1 Propiedades: 1.

P{∅} = ∅

2.

Si A ⊂ B ⇔ P(A) ⊂ P(B)

3.

Si A = B ⇔ P(A) = P(B)

Representación Gráfica de Conjuntos: a)

Diagrama de Venn-Euler: Son regiones planas limitadas por curvas que se usan para representar gráficamente a los conjuntos. A

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U

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b)

Diagramas Lineales: Se emplea para ilustrar relaciones entre conjuntos, generalmente de inclusión. B

A

A

B

A⊂B

C

B⊂A

∧

C⊂A

Nota: Número cardinal, indica el número de elementos que tiene el conjunto. A = { 2, 4, 6 }

⇒

n(A) = 3

B = { {3, 6} }

⇒

n(B) = 1

C = { 2, 2, 2, 3, 3 } ⇒

n(C) = 2

Operaciones entre Conjuntos: a)

Reunión ( ∪ ): La reunión o unión de dos conjuntos A y B; se llama así al conjunto formado por los elementos de A, de B o de ambos. A ∪ B = { x/x ∈ A ∪ x ∈ B } Ejemplo: A = { 2, 3, 4 } B = { 3, 5, 6, 7 } A ∪ B = { 2, 3, 4, 5, 6, 7 }

U A

B 2

5 3

4

6 7

Propiedades: 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. b)

A∪A=A A∪B=B∪A (A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C) U∪A=U A∪∅=A A ⊂ (A ∪ B) ; ∀ A B ⊂ (A ∪ B); ∀ B Si A ∪ B = ∅ → A = ∅ ∧ B = ∅ Si A ⊂ B → (A ∪ C) ⊂ (B ∪ C), ∀ C Si A ⊂ B ↔ A ∪ B = B

Intersección ( ∩ ): Dados dos conjuntos A y B, se llama intersección de A con B al conjunto formado por los elementos que pertenece a P y a B (a ambos), es decir los elementos comunes. A ∩ B = { x/x ∈ A ∧ x ∈ B } Ejemplo: A = { 4, 5, 6, 8, 10 } B = { 2, 3, 4, 6, 9 }

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UNIVERSIDAD PRIVADA DE MOQUEGUA “JOSE CARLOS MARIATEGUI” A ∩ B = { 4, 6} A

B 5

2 4

8

3 6 10

9

Propiedades: 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9.

A∩A=A A∩∅=∅ A∩U=A A∩B=B∩A (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C) (A ∩ B) ⊂ A y (A ∩ B) ⊂ B Si A ⊂ B → (A ∩ B) ⊂ (B ∩ C); ∀ C Si A ∩ B = ∅ → A y B son disjuntos P(A ∩ B) = P(A) ∩ P(B) 10. A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) 11. A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)

c)

Diferencia (-): La diferencia de A con B, es otro conjunto que está formado por todos los elementos de A, que no son elementos de B. A – B = { x/x ∈ A ∧ x ∉ B } Ejemplos: A = {4, 6, 7, 8} B = {2, 4, 6, 8, 9 } A–B={7} A–B≠B–A A

B

7

4 6 8

2 9

Propiedades: 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10.

Si x ∈ (A - B) → x ∈ A ∧ x ∉ B A–A=∅ A-∅=A (A – B) = A A – B = (A ∪ B) – B = A – (A ∩ B) B ∩ (A – B) = ∅ A ∩ (B – C) = (A ∩ B) – (A ∩ C) Si A ⊂ B → (A – C) ⊂ (B – C); ∀C (A ⊂ B) ↔ (A – B = ∅) (A – B) ∩ B = ∅

A

B

B–A

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A

B

A–B

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B

A

B–A d)

Complemento: El complemento de un conjunto A, respecto del conjunto que le falta para ser igual al universal. Se denota: CA = A’ = AC

A

Luego: A’ = U – A A’ = { x/x ∈ U ∧ x ∉ A } Para dos conjuntos A y B (A ⊂ B), se define el complemento de A con respecto de B, y se denota CBA. C BA = B – A Ejemplo: U = { x ∈ N/ 2 < x < 9 } A = { 4, 6, 8 } A’ = { 3, 5, 7, 9 } Propiedades: 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. e)

A – B = A ∩ B’ (A’)’ = A A ∪ A’ = U A ∩ A’ = ∅ U’ = ∅ ∅=U Si A ⊂ B → B’ ⊂ A’ (A ∪ B)’ = A’ ∩ B’ (A ∩ B)’ = A’ ∪ B’

Leyes de Morgan

Diferencia Simétrica: Dados los conjuntos A y B, se llama diferencia simétrica A y B, denotado como A ∆ B al conjunto. A ∆ B = { x/x ∈ (A ∪ B) ∩ x ∉ (A ∩ B) } A

A ∆ B = (A ∪ B) - (A ∩ B)

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B

UNIVERSIDAD PRIVADA DE MOQUEGUA “JOSE CARLOS MARIATEGUI” A ∆ B = (A – B ) ∪ (B – A) Ejemplo: A = { 1, 2, 3, 4 } B = { 2, 3, 5, 6 } Hallar A ∆ B: A ∆ B = (A ∪ B) - (A ∩ B) A ∆ B = { 1, 2, 3, 4, 5, 6} – { 2, 3} A ∆ B = { 1, 4, 5, 6 } Propiedades: 1. 2. 3. 4. 5. 6. Nota:

A∆B=∅ A∆∅=A A∆B=B∆A (A ∆ B) ∆ C = A ∆ (B ∆ C) (A ∆ B) ∆ C = (A ∩ C) ∆ (B ∩ C) Si A ∆ B = ∅ → A = B Cardinal de A = n(A) A(A) = # de elementos de A

1.

Si A y B son dos conjuntos disjuntos A ∩ B = ∅ n (A ∪ B) = n (A) + n ( B)

2.

Si A y B son dos conjuntos cualesquiera. n (A - B) = n (A) - n ( A ∩ B)

3.

Si A, B y C son conjuntos tales que: A∩B∩C≠∅ n (A ∪ B ∪ C ) = n(A) + n(B) + n(C) – n (A ∩ B) – n (A ∩ C) – n (B ∩ C) + n (A ∩ B ∩ C)

DEMOSTRACIONES DE ALGUNAS PROPIEDADES 1. Demostrar que: [ (A ∩ B) – (A ∩ C) ] ≡ A ∩ (B – C) Solución: x ∈ [ (A ∩ B) – (A ∩ C) ] x ∈ (A ∩ B) ∧ x ∉ (A ∩ C) x ∈ (A ∩ B) ∧ x ∉ A ∨ x ∉ C [ x ∈ (A ∩ B) ∧ x ∉ A ] ∨ [ x ∈ (A ∩ B) ∧ x ∉ C ] [ x ∈ A ∧ x ∈ B ∧ x ∉ A ] ∨ [ x ∈ (A ∩ B) ∧ x ∉ C ] [ x ∈ C ∧ x ∈ A ∧ x ∉ A ] ∨ [ x ∈ (A ∩ B) ∧ x ∉ C ] F [ x ∈ C ∧ F ] ∨ [ x ∈ (A ∩ B) ∧ x ∉ C ] F ∨ [ x ∈ (A ∩ B) ∧ x ∉ C ] x∈A∧x∈B∧x∉C x ∈ A ∧ [ x ∈ (B - C) ] x ∈ [ A ∩ (B - C) ]

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2. Demostrar que: A ∩ (B ∆ C) ≡ (A ∩ B) ∆ (A ∩ C) Solución: Ojo: (A ∩ B) ∆ (A ∩ C) ≡ [ (A ∩ B) - (A ∩ C)] ∪ [ (A ∩ C) - (A ∩ B)] x ∈ [ A ∧ (B ∆ C) ] x ∈ A ∧ x ∈ (B ∆ C) x ∈ A ∧ x ∈ (B - C) ∨ (C – B) x ∈ A ∧ x ∈ [ (B - C) ∪ (C – B) ] [ x ∈ A ∧ x ∈ (B - C)] ∨ [ x ∈ A ∧ x ∈ (C - B)] [x∈A∧x∈B∧x∉C]∨[x∈A∧x∈C∧x∉B] [ x ∈ A ∧ x ∈ B ∧ x ∈ C’ ] ∨ [ x ∈ A ∧ x ∈ C ∧ x ∈ B’ ] x ∈ [ (A ∩ B) ∧ (A’ ∪ C’) ] ∨ x ∈ [(A ∩ C) ∧ (A’ ∪ B’) ] x ∈ [ (A ∩ B) ∧ x ∈ (A ∩ C)’ ] ∨ x ∈ [(A ∩ C) ∧ x ∈ (A ∩ B)’ ] x ∈ (A ∩ B) ∧ x ∉ (A ∩ C) ∨ x ∈ (A ∩ C) ∧ x ∉ (A ∩ B) x ∈ [ (A ∩ B) - (A ∩ C) ] ∨ x ∈ [ (A ∩ C) - (A ∩ B) ] ∴ x ∈ (A ∩ B) ∆ (A ∩ C) 3. Demostrar que: (A ∩ B) ∩ (A’ ∪ C’) ≡ (A ∩ B) ∩ C’ Solución: x ∈ (A ∩ B) ∧ x ∈ (A’ ∪ C’) [ x ∈ (A ∩ B) ∧ x ∈ A’ ] ∨ [ x ∈ (A ∩ B) ∧ x ∈ C’ ] F ∨ x ∈ (A ∩ B) ∧ x ∈ C’ ∴ x ∈ [ (A ∩ B) ∧ C’ ]

Par Ordenado: Un par ordenado es un conjunto de dos elementos, en el cual cada elemento tiene un lugar fijo. Si los elementos son a y b, el par ordenado se simboliza por: (a,b) = { {a}, {a,b} } Donde: a es la primera componente del par. b es la segunda componente del par.

Proposición: Dos pares ordenados son iguales si y sólo si son iguales sus primeras y segundas componentes, respectivamente, se simboliza: (a,b) = (c,d)

↔

a=c ∧b=d

Ejemplo: Determinar los valores de “x” e “y” de modo que: (x2, 9y - 1) = (6y - x, x3) Solución: x2 = 6y – x x (x + 1) = 6y x x2 – x + 1

=

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9y – 1 = x3 (x + 1) (x2 – x + 1) = 9y 2 3

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2x2 – 2x + 2 = 3x 2x2 – 5x + 2 = 0 2x

-1

x x=2 x=½

-2 ⇒ y=2 ⇒ y = 1/8

Producto Cartesiano de Conjuntos: Dados los conjuntos A y B, se llama producto cartesiano de A por B, al conjunto formado por todos los pares ordenados (a,b) tales que a ∈ A y b ∈ B. Se denota por A x B y simbólicamente se representa: A x B = { {a,b}/a ∈ A ∧ b ∈ B } Esto es: (a,b) ∈ A x B ↔ a ∈ A ∧ b ∈ B Ejemplos: 1.

Dado los conjuntos A = { 1, 2, 4 } y B = { 3, 5}, hallar A x B y B x A empleando un diagrama de árbol. A

B

AxB 3

( 1, 3 )

1 5

( 1, 5 ) 3

( 2, 3 )

2 5

( 2, 5 )

3

( 4, 3 )

5

( 4, 5 )

A

BxA

4

B

1 3

5

( 3, 1 )

2

( 3, 2 )

4

( 3, 4 )

1

( 5, 1 )

2

( 5, 2 )

4

( 5, 4 )

A x B = { (1,3), (1,5), (2,3), (2,5), (4,3), (4,5) } B x A = { (3,1), (3,2), (3,4), (5,1), (5,2), (5,4) }

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UNIVERSIDAD PRIVADA DE MOQUEGUA “JOSE CARLOS MARIATEGUI” 2.

Dado los conjuntos A = {x ∈ Z/-1 < x < 1 } y B = { x ∈ N/0 < x < 3}. Hallar: a) b)

(A x B) ∩ B2 (A – B) x (A ∩ B)

Solución: A = { -1, 0, 1 } B = { 1, 2 } A x B = { (-1,1), (-1,2), (0,1), (1,1), (1,2), (0,2) } B x B = { (1,1), (1,2), (2,1), (2,2) } a) b)

(A x B) ∩ B2 = { (1,1), (1,2) } (A – B) x (A ∩ B) = { -1, 0 } (A ∩ B) = { 1 } (A – B) x (A ∩ B) = { (-1,1), (0,1) }

Propiedades del Producto Cartesiano: a) b) c) d) e) f)

Si A ≠ B → A x B ≠ B x A Ax∅ =∅xA=∅ Ax(B∩C)=(AxB)∩(AxC) Ax(B–C)=(AxB)–(AxC) (AxB)xC ≠ Ax(BxC) Si A ⊂ B → ( A x C ) ⊂ ( B x C ) , ∀⊂

Ejemplos: Demostrar que: A x ( B ∩ C ) = ( A x B ) ∩ ( A x C ) (a,b) ∈ [ A x ( B ∩ C ) ] a∈A ∧b∈(B∩C) a∈A ∧(b∈B∧b∈C) (a∈A ∧ b∈B) ∧(a∈A∧b∈C) [ (a,b) ∈ ( A x B ) ] ∧ [ (a,b) ∈ ( A x C ) ] (a,b) ∈ [ ( A x B ) ∩ ( A x C ) ] Demostrar que: A x ( B – C ) = ( A x B ) – ( A x C ) a,b ∈ [ A x ( B – C ) ] a∈A ∧b∈(B–C) (a∈A ∧ b∈B) ∧b∉C m F∨m=m [(a∈A ∧ b∈B) ∧ a∉A] ∨ [(a∈A ∧ b∈B) ∧ b∉C] [(a∈A ∧ b∈B) ∧ [a∉A ∨ b∉C] (a,b) ∈ ( A x B ) ∧ (a,b) ∉ ( A x C ) (a,b) ∈ [ ( A x B ) - ( A x C ) ]

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Ejercicios

1.

Se tienen los conjuntos unitarios: A = { a2 + 1; 3a - 1 } B = { 3x + y; x – y + 12 } Hallar: a + x + y Solución: a2 + 1 = 3a - 1 a2 – 3a + 2 = 0 (a – 2) (a – 1) a=2 a=1

3x + y = x – y + 12 2x + 2y = 12 x+y=6 Si a=1

Si a=2 y+x+a=7

∴x+y+a=7u8 2.

Indicar el conjunto por extensión: A = { x ∈ Z/ 3x3 – 2x2 – 2x + 3 = 0 } Solución: Aplicamos Ruffini: 3x3 – 2x2 – 2x + 3 = 0 3

-2 -3

-2 5

3 -3

3

-5

3

0

-1

(x + 1) (3x2 – 5x + 3) = 0 Luego: Aplicamos la Ecuación Cuadratica: 3x2 – 5x + 3 = 0 x = 5 ± 25 − 36

6

x = 5 ± − 11

6 ∴ 3.

A = { -1 }

Si: A = { a ∈ Z/ a5 – 5a3 + 4a = 0 } B = { a ∈ A/ ∃ b ∈ Z, a = b2 } Hallar: CAB Solución: Con A

:

a5 – 5a3 + 4a = 0 a (a4 – 5a2 + 4) = 0 a (a2 – 4) (a2 – 1) = 0 a (a + 2) (a – 2) (a + 1) (a – 1) = 0

A = { -2, -1, 0, 1, 2 } Con B

:

Para a = -2 ó a = -1 No existe un b ∈ Z/ a = b2

a = 0 → ∃ b ∈ Z/0 = b2 → b = 0 b = 1 → ∃ b ∈ Z/1 = b2 → b = +1 c = 2 → ∃ b ∈ Z/2 = b2

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x+y+a=8

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∴

B={0,1}

CAB = A – B = { -2, -1, +2 } 4.

Si: A = { x ∈ N/ x > 4 → x = 6 } B = { x ∈ N/ x > 0 ∧ x < 5 } C = { x ∈ Z/ ∼ [ x > 1 → x2 ≠ 4x – 3 ] } Determinar: M = (A ∩ B) – (B ∩ C) Solución: Para A

:

Para B

:

Para C

:

x>4→x=6 x0 ∧ x 1 → x2 ≠ 4x – 3 ]

x > 1 ∧ → x2 = 4x – 3 x > 1 ∧ (x – 3) (x – 1) = 0 x > 1 ∧ (x = 3 ∧ x = 1) C={3}

M = (A ∩ B) – (B ∩ C) M = { 1, 2, 3, 4 } – { 3 } M = { 1, 2, 4} 5.

De una encuesta hecha a 135 personas para establecer preferencias de lectura de las revistas A, B y C; se obtienen los siguientes resultados: Todos leen alguna de las 3 revistas; todos, menos 40, leen A; 15 leen A y B pero no C, 6 leen B y C pero no A; 10 leen sólo C. El número de los que leen A y C es el doble del número de los que leen las 3 revistas. El número de los que leen sólo B es el mismo que el total de los que leen A y C. Según todo esto, hallar el número de los que leen solamente A. Solución: A

B y

15

2x

x 6 10 C n n n n

(A) = 95 (A ∩ B – C) = 15 (B ∩ C – A) = 6 (C – (A ∪ B) ) = 10

y + 15 + 2x = 95 y + 2x = 80 +

y + 2x = 80 y + 4x = 104 2x = 24 x = 12 y = 56

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4x + y + 31 = 135 4x + y = 104

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6.

Si: A = {2 ; 4 ; 5 ; 6 ; 8 } B= { 1; 2 ; 4 ; 7 ; 9} Hallar: (A∪B) – (A – B) Solución: A∪B = { 2;4;5;6;8} ∪ {1;2;4;7;9} Æ {1;2;4;5;6;7;8;9} A – B = {2;4;5;6;8} – {1;2;4;7;9} Æ {5;6;8} Nos piden: {1;2;4;5;6;7;8;9} – {5;6;8} ∴{1;2;4;7;9}

7.

Dados:

A = { x ∈ Z/x2 – 3x + 2 = 0} B = { x ∈ Z/x2 – 5x + 6 = 0}

Hallar: n (A ∆ B) Solución: Con “A”: x2 –3x + 2 = 0 x Æ -2 x=2 x Æ -1 x=1 A = {1;2}

Con “B”: x2 –5x + 6 = 0 x Æ -3 x=3 x Æ -2 x=2 B = {2;3}

Nos piden: n (A ∆ B) Luego: [ {1;2} ∪ {2;3}] – [ {1;2} {1;2;3} – {2} {1;3}

∩

{2;3} ]

Entonces: n(A ∆ B) = 2 8.

A una reunión donde asisten 50 personas: 5 mujeres tienen 17 años 14 mujeres no tienen 19 años 16 mujeres no tienen 17 años 10 hombres no tienen ni 17 ni 19años. ¿Cuántos hombres no tienen 17 ó 19 años? Solución: Graficando convenientemente con los datos: V = 50 19 5 tienen 17 años

7

10

H

9

M

tienen no tienen 19 años ni 17 ni 19

Nos piden: 19

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9.

Expresar el conjunto: A = {36;45;54;63;72} por comprensión. Solución: Buscando el término general 36 45 54 63 72

= = = = =

9 9 9 9 9

(22 (22 (22 (22 (22

+ + + + +

0) 1) 2) 3) 4)

9 (22 + n), donde: 0 ∪ < 3/2 , 4> ∪ < 12, ∞ > Finalmente: S = < -∞ , -3 > ∪ < 3/2 , 4> ∪ < 12, ∞ > Ahora: -3 + 3 + 4 + 12 = 29 2 2 41. Sean A, B y C subconjuntos de U tales que: n (A ∩ B ∩ C) = 200, n (A’ ∩ B’ ∩ C’) = 150, n (A ∩ B ∩ C ) = 450, n (A) = 1050, n (U) = 2000, n [ A ∩ (B ∩ C)’ ] = 250, n [ (B – A) ∩ (B - C ) ] = 400, n (B ∩ C) = n [ C ∩ (A ∪ B)’ ] Hallar n [ (A * B) ∆ (B * C)], si P * Q ≡ P Æ Q’ Solución: Por dato: 250 + 450 + 200 + 150 + x + y + 150 + 400 = 2000 Æ 1600 + x + y + 2000 Æ x + y = 400 A

B

……… (1) U

450 250

400 200

150

x y C

150 De n (B ∩ C) = n [ C ∩ (A ∪ B)’ ] se tiene: x + 200 = y Sabemos que P * Q ≡ P Æ Q’ ≡ ∼ P ∨ Q’, luego: (A * B)

∆ (B * C) = (A’ ∪ B’ ) ∆ (B’ ∪ C’) = [(A’∪ B’ ) ∩ (B’∪ C’)’] ∪ [(B’∪ C’ ) ∩ (A’ ∪ B’)’] = [(A’ ∪ B’ ) ∩ (B ∪ C)] ∪ [(B’ ∪ C’ ) ∩ (A ∪ B)] = (A’ ∩ B ∩ C) ∪ (A ∩ B ∩ C’ ) = [ (B ∩ C) – A ] ∪ [ (A ∩ B) ∩ C’ ]

Luego: n [ (A * B) ∆ (B * C) ] = n { [ (B ∩ C) – A ] ∪ [ (A ∩ B) – C ] } = n [ (B ∩ C) – A ] + n [ (A ∩ B) – C ] = x + 450 = 550

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42. Si se sabe que: B ⊂ A , n (B ∩ C) = 4; n (A ∩ C) = 10, n(C) = 18 n(A) = 22, n(B - C) = 5, n [ A ∪ B ∪ C)’ ] = 9 Hallar el número de elementos de: [ (A ∩ C) – B ] x [ (C – A) U (A’ ∩ B’ ∩ C’) ] Solución: U A

C B 7

5

4

6

8 9

n [ (A ∩ C) – B ] x [ (C – A) U (A’ ∩ B’ ∩ C’) ] = = n [ (A ∩ C) – B ] x [ (C – A) U (A’ ∩ B’ ∩ C’) ] = 6 x (8 + 9) = 6 x 17 = 102 43. Dados los conjuntos: A = { x ∈ R / (2x + 3) (x – 4) (x + 2) = 0 }, B = [ x ∈ R / x3/4 = x}, C = { y ∈ R / y = -2x, x = 0, 1, 2 } Hallar: (A ∩ B) x C Solución: Para A: (2x + 3) (x – 4) (x + 2) = 0 ÅÆ

2x+3 = 0 Æ x = -3/2 x–4=0Æx=4 x + 2 = 0 Æ x = -2

Luego: A = { -3/2, 4 , -2 } Para B: x 4

3

= x ÅÆ x3 – x = 0 ÅÆ x 4

x2 – 1 = 0 ÅÆ x 4

x–1 2

x+1 =0 2

Luego: B = { 0 , 2 , -2 } Para C: x 0 1 2

y = -2x -1 -2 -4

Luego: C = { -1 , -2 , -4 }

Ahora: A ∩ B = {-2} Finalmente: (A ∩ B) x C = { -2 } x { -1, -2, -4 } = { (-2 , -1), (-2 , 2), (-2, -4) }

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44. Sean A y B conjuntos unitarios tales que: A = { x2 + y },

B = { x – 2y } , A ∩ B = { x + y2 }

Hallar x + y, si es lo menor posible, donde x, y ∈ R Solución: Como A y B son conjuntos unitarios, se deduce: x2 + y = x - 2y Æ x2 – x = – 3y ……(1) x2+y = x-2y = x+y2 Æ = x2 + y = x + y2 Æ x2 – x = y2 – y ……(2) x - 2y = x + y2 Æ y2 = -2y ……(3) De (3) : y2 + 2y = 0 Æ y (y + 2) = 0 Æ y = 0, y = -2 Si y = 0 en (2): x = 0, x = 1. Luego: x + y = 0, x + y = 1 Si y = -2 en (2): x2 – x = 6 Æ x = -2, x = 3. Luego: x + y = -4, x + y = 1 45. ¿Cuáles de las siguientes proposiciones representa la región sombreada? I) { [ (A ∆ B) ∩ D ] – C } ∪ { A ∩ B ∩ C } II) {{ [ (A ∪ B) – (A ∩ B) ] – C } ∩ D } ∪ ( A ∩ B ∩ D ) III) { [ (A ∪ B) – (A ∩ B) ] ∩ D ∩ C’ } ( A ∩ B ∩ C )

U A

B C

D Solución: I) [ (A ∆ B) ∩ D ] – C = { [ (A - B ) ∪ (B – A) ] ∩ D } – C representa la región sombreada excepto la central. La región central está dada por: A ∩ B ∩ C. Luego: { [ (A ∆ B) ∩ D ] – C } ∪ { A ∩ B ∩ C } es toda la región sombreada. Es verdadera. II) {[ (A ∪ B) – (A ∩ B) ] – C } ∩ D representa la región sombreada excepto la central. Pero A ∩ B ∩ D no representa la región sombreada. Es falsa. III) En forma similar, es verdadera. 46. En un salón de clases, de 70 alumnos, (todos ellos con 25 años cumplidos o más): 10 varones tienen 25 años, 25 varones no tienen 26 años, 16 varones no tienen 25 años y 14 mujeres no tienen 25 años ni 26 años. ¿Cuántas mujeres tienen 25 ó 26 años? Solución: Total de alumnos = 70 Æ (10 + x) + (11 + y) + (15 + 14) = 70 Æ 50 + x + y = 70 Æ x + y = 20

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Luego hay 20 mujeres que tienen 25 ó 26 años. 25 años

26 años

10V xM

11V yV

15 V 14 M 27 años o más 47. Sean A, B, C y D los conjuntos de actores de cuatro revistas r, s, t y u respectivamente. Un anuncio de media página vale S/.2500 en “r” S/.1500 en “s” y S/.1000 en “t” ó “u”; el cual se desea publicar, disponiendo para ello de un presupuesto de S/.5000. ¿En qué revistas se debe hacer la publicación, de manera que tenga un máximo de lectores? Se sabe que: n(A) = 700; n(B) = 500; n(C) = 450; n(D) = 350; n (A ∩ B ∩ C) = 100; n(A ∩ B ∩ D) = 110; n (A ∩ C ∩ D) = 20; n (B ∩ C ∩ D) = 50; n(A ∩ B) = 250; n (A ∩ C) = 250; n (A ∩ D) = 190; n (B ∩ C) = 250; n (B ∩ D) = 100; n (C ∩ D) = 150 Solución: Teniendo un presupuesto de S/.5000, el máximo de lectores se consigue con el máximo de revistas, luego las combinaciones posibles son: Combinación 1. Revistas: r, s, t. Gastos: 2500 + 1500 + 1000 = 5000 El número de lectores es: n (A ∪ B ∪ C) = n (A) + n (B) + n (C) – n(A ∩ B) – n (A ∩ C) – n (B ∩ C) + n (A ∩ B ∩ C) = 700 + 500 + 450 – 250 – 250 – 250 + 100 = 1000 Combinación 2. Revistas: r, s, u. Gastos: 2500 + 1500 + 1000 = 5000 El número de lectores es: n (A ∪ B ∪ D) = 700 + 500 + 350 –250 – 190 – 100 + 110 = 1120 Combinación 3. Revistas: s, t, u. Gastos: 1500 + 1000 + 1000 = 3500 Número de lectores: n (B ∪ C ∪ D) = 500 + 450+ 350 –250 – 100 – 150 + 50 = 850 Combinación 4. Revistas: r, t, u. Gastos: 2500 + 1000 + 1000 = 4500 Número de lectores: n (A ∪ C ∪ D) = 700 + 450 + 350 – 250 – 190 – 150 + 20 = 930 La publicación debe hacerse de acuerdo a la combinación 2, revistas: r, s, u 48. Se encuesta a 4400 personas, que consumen los productos A, B y C. El número de personas que consumen los tres productos es igual a: 1/6 1/5 1/4 1/2

de de de de

los los los los

que que que que

consumen consumen consumen consumen

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sólo sólo sólo sólo

A B C Ay B

UNIVERSIDAD PRIVADA DE MOQUEGUA “JOSE CARLOS MARIATEGUI” 1/3 de los que consumen sólo Ay C 1/4 de los que consumen sólo B y C a) ¿Cuántas personas consumen A aunque consumen B? b) ¿Cuántas consumen B a menos que no consumen A? Dar como respuesta la suma de ambos resultados. Solución: A

B

U

2x 6x

5x x

3x

4x 4c C

De acuerdo a los datos se tiene: Como n(U) = 4400 tenemos: 6x + 2x + x + 3x + 5x + 4x + 4x = 4400 25x = 4400 Æ x = 176 a)

Sean, p: consumen A. q: consumen B.

Luego consumen A aunque consumen B, queda expresado como p ∧ q; con la cual se tiene que nos piden el número de elementos de A ∩ B. Entonces: n (A ∩ B) = 2x+ x = 3x = 3 (176) = 528 b)

Sean, p: consumen B q: consumen A

Luego, consumen B a menos que no consumen A, se expresa como p a menos que no q la cual equivale a: q Æ p ≡ ∼ q ∨ p; con lo cual se tiene que nos piden el número de elementos de: A’ ∪ B. Entonces: n (A’ ∪ B) = n (A’) + n (B) – n (A’ ∩ B) = (5x + 4x + 4x) + (2x + x + 5x + 4x) – 9x = 16x = 16 (176) = 2818 La respuesta es: 528 + 2816 = 3344 49. En una encuesta realizada a 4400 personas acerca de su preferencia política sobre los candidatos A, B, C; se obtiene la siguiente información: El número de personas que simpatiza con los tres candidatos es: 1/3 de los que simpatizan con A y B 1/6 de los que simpatizan con B y C 1/7 de los que simpatizan sólo con B 1/6 de los que simpatizan sólo con A 1/8 de los que simpatizan sólo con C Si el número de personas que simpatizan con A sí y sólo sí simpatizan con B ó C es 1800; hallar el número de personas que simpatizan sólo con A y C o con ninguno de los tres. Solución: Como n(U) = 4400, se tiene: 6x + 3x + x + y + 7x + 5x + 8x + x = 4400 Æ 30x + y + z = 4400 ……… (1)

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A

B

U

3x 6x

7x x y

5x 8x C

z Además: n [ A ÅÆ (B ∪ C) ] = 1800 Luego: 1800 = n [ ( A ∩ (B ∪ C)) ∪ (A’ ∩ (B ∪ C)’] = n [ ( A ∩ (B ∪ C)) ∪ (A’ ∩ (B ∪ C)’] Æ 1800 = 4x + y + z ……… (2) De (1) y (2): x = 100, y + z = 1400 Nos piden: n { [ ( A ∩ C) – B ] ∪ [ A ∪ B ∪ C]’ } = n [ ( A ∩ C) – B ]+ n ( [A ∪ B ∪ C]’) = y + z = 1400 50. El número de personas que leen las revistas A y B es 4, Ay C es 5, mientras que los que leen B y C también es 5. Si los que leen A pero no C es 6, y los que leen B pero no C es 7. Hallar el número de personas que leen las tres revistas si y sólo si leen A ó C; sabiendo que todas las personas encuestadas leen por lo menos una de las revistas y que: n [ P (A ∩ B) ] = n [ P [ ( A ∩ B) – C ] ] + 8 Solución: A

B u

s

v

n (A ∩ B) = 4 Æ x + s = 4 …… (1) n (A ∩ C) = 5 Æ x + r = 5 …… (2) n (B ∩ C) = 5 Æ x + t = 5 …… (3)

x r

U

t C

De: n [ P (A ∩ B) ] = n [ P [ ( A ∩ B) – C ] ] + 8 Æ 24 = 2s + 8 Æ 2s = 8 Æ s = 3 En (1): x = 1 En (2) y (3): r = 4 = t Además:

n [A – C] = 6 Æ u + s = 6 Æ u = 3 n [B – C] = 7 Æ v + s = 7 Æ v = 4

Piden: n [ ( A ∩ B ∩ C) ÅÆ (A ∪ C) ]: Sabiendo que n [ (A ∪ B ∪ C)’] = 0 Luego: n [ ( A ∩ B ∩ C)ÅÆ(A∪C) ] = n { [ (A ∩ B ∩ C) ∩ ( A ∪ C) ] ∪ ∪ [A ∩ B ∩ C] + n [B-( A ∪ C) ] = n [ A ∩ B ∩ C ] + n [B – (A∪C) ] =x+v=1+4=5

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51. Se obtuvo la siguiente información acerca de 90 postulantes: El número de postulantes que prefieren solamente la especialidad C es el triple de los que prefieren sólo la carrera A, mientras que los postulantes que prefieren solamente la carrera B es el doble de los que prefieren sólo la especialidad A. El cuádruple del número de postulantes que prefieren sólo A, no prefieren ninguna de las tres carreras; mientras que hay 10 que prefieren las tres especialidades. Hay 68 postulantes que prefieren la especialidad B a menos que no prefieran A; y hay 45 que prefieren la carrera B sí y sólo sí prefieren C. Hallar el número de postulantes que prefieren sólo A ó sólo C ó sólo Ay B. Solución:

A

B x

y

U

n (B ÅÆ C) = 45 = n [(B ∩ C) ∪ (B’ ∩ C’)]

2x

10 w

z 3x

Luego: 68 = n [A’∪B] = 9x+y+Z+10 …… (1)

Æ 45 = (10 + Z) + 5x …… (2) C

4x

De (1) y (2): 4x + y = 23

El número de postulantes que prefieren sólo A ó sólo C ó sólo A y B es: x + 3x + y = 4x + y = 23 52. En una encuesta acerca del consumo de bebidas gaseosas se obtuvo la siguiente información: El El El El El El El

45% consumen la marca B 40% consumen la marca C 8% no consume ninguna de las tres 63% consumen A y B, si y sólo si consumen C 67% consumen B y C, si y sólo si consumen A 5% consumen las tres marcas 8% consumen sólo B y C

¿Qué porcentaje toman bebidas según la operación: (A * B) * C = (A ∩ B) ∪ (C – A) ? Solución: A

B a

y 8 c

Tenemos: 67 = 5 + b + c + 8 Æ b + c = 54 63 = 5 + a + b + 8 …… (1)

b

5 x

U

C

8

Æ a + b = 50 40 = c + x + 13 ………… (2) Æ c + x = 25 45 = b + y + 13 ………… (3)

Æ b + y = 32 Además: a + b + c + x + y + 21 = 100…… (4) Æ a + b + c + x + y = 79 ………(5) (3) y (4) en (5): a + 32 + 27 = 79 Æ a = 20 En (2): b = 30, en (1): c = 24; en (3): x = 3; en (4): y = 2 Ahora: n [ ( A * B) * C ] = n [ (A ∩ B) ∪ (C – A) ] = (5 + y) + (c + ) = 7 + 32 = 39 53. Sea U = Z, y sean: A = {x ∈ Z / x es un número par}

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UNIVERSIDAD PRIVADA DE MOQUEGUA “JOSE CARLOS MARIATEGUI” B = {x ∈ Z / x es un número impar} C = {x ∈ Z / x es un número natural par} D = {x ∈ Z / x es un número natural impar} En que parte del plano se encuentra el gráfico de (A–C)x(B–D). Solución: Tenemos que: A – C = { x ∈ Z / x es un número par negativo, incluido el cero } B – D = { x ∈ Z / x es un número impar negativo } Luego: (A – C) x (B – D) = { (x,y) / x es un número par negativo (incluido el cero), y es un impar negativo } Graficando, unos cuantos valores: B–D

-12 –10 –8 –6 –4

–2

0

A–C -1 -2 -5 -7

Se encuentra en el tercer cuadrante. 54. Sean A, B conjuntos, simplificar : (B SOLUCION B n ∅ = ∅ ⇒ (B n A) – (A U B) ∅ - (A U B) ∅

∩ ∅)-(AUB)

55. Sean A, B conjuntos y U conjunto Universal, simplificar:

[ (U ∩

A ) U A'

] U(B' U B)

Solución U

∩

A = A; B' U B = U ⇒

Por propiedad U ⇒

[ A U A' ] U U U

A A A A'

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[(U ∩

U

U

U=U

A) U A'

] U (B' U B)

UNIVERSIDAD PRIVADA DE MOQUEGUA “JOSE CARLOS MARIATEGUI”

[

56. Si MCM, Simplificar : (M U N ) n (N'

∩

]

P)

'U M'

Solución Graficamos la condición

[

(M

[N ∩ N M

∩

∩

P)

[(M U N' ) ∩

P

(N'

[∅ ∩ ∅

P

∩

]

∩

N)

]

(N'

∩

M'

U M'

U M' Condición M U N = N

]

U M' Prop. Asociat.

U M' Prop. A

M'

]

P)

∩

A' = ∅

Prop. A

∩

A' = ∅

Prop. A

∩

A' = ∅

EJERCICIOS PROPUESTOS 1.

2.

Dado el conjunto unitario: A = { a + b ; a + 3b – 3; 12 } Calcular: a2 + b2 a) 80 b) 74 c) 104 Los conjuntos A y B son tales A) = 10. Hallar n(A) + n(B) a) 22

3.

b) 38

5.

n(A∪B) = 30, n(A- B) = 12

e) 37

b) 32

c) 256

d) 1024

e) 512

Dados los conjuntos: A = { 1, 2, {1,2}, 3} B = { {2,1}, {1,3}, 3} Hallar el conjunto [ (A – B) ∩ B ] ∪ (B – A) a) { 1, {1,3} } b) { {1,3} } c) {1,3} d) { {1,3} , 3} e) { {1,2} } Sean los conjuntos: A = { x ∈ R / 2 log x – 3 log x2 = 2 (log x)2 } B = { x ∈ R / 53 (2x2-x) = 125 } C =

x ∈ R /

x

Hallar (A ∩ B) a) {1,2} 6.

d) 25

que

e) 39

Si n[ P (A) ]=128, n[ P (B) ]=16 y n [ P (A ∩ B)]=8. Hallar : n [ P (A ∪ B) ] a) 128

4.

c) 36

d) 90

Si: U = A = B = A ∩ A ∪

{ { { C C

=

3

n

; n ∈ N, n < 4

n + 1 ∪ (C ∩ B)

b) {1}

c)

{2}

d) {1,3}

x ∈ N / 0 < x < 11 } 1, 3, 5, 7 } 2, 4, 6, 8 } = { 1, 3} = { 1,2,3,5,7,9 }

Hallar n(B ∪ C) + n(A ∪ C) a) 4

b) 10

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c) 7

d) 11

e) N.A.

e) N.A.

y

n (B –

UNIVERSIDAD PRIVADA DE MOQUEGUA “JOSE CARLOS MARIATEGUI” 7.

Dados los conjuntos: A = { y ∈ R / y = 2x, x = -2, -1, 0, 1} B =

x ∈ R / 3x – 5 =

C =

x ∈ R / x2 – 5 =

1 _ x – 5 x _ 2

Hallar (A ∪ B) ∩ (B – C) a) 2, 2/3 8.

b) φ

c) {1,2}

d) { ¼, ½ }

Sea: U = {-5,π, 2, -2,0,2,4,3/8,1+ π,πJ = { x ∈ U / x ∈ N ÅÆ x ∈ Q’ } K = { x ∈ U / x ∈ Z ∧ x ∉ R } L = { x ∈ U / x ∈ N ∨ x ∉ R }

e) N.A.

2,1+

-4 }

Hallar M si M = ( J – K) ∪ (K ∧ L) a) { 2,3/8} b) {-5 ,3/8 } 9.

c) { π,2} d) {2,4 }

e) N.A.

En un taller mecánico se observa lo siguiente: 1/3 del total de los trabajadores saben arreglar motores, 7/12 del total son especialistas en arreglar llantas; 1/12 del total arreglan llantas y motores, siendo 30 los que arreglan motores solamente. ¿Cuántos no saben arreglar llantas y motores? a) 18

b) 19

c) 20

d) 21

e) N.A.

10. En una biblioteca había 100 alumnos, de los cuales 70 estudian ciencias y 30 estudiaban letras. Si 20 estudiaban letras y ciencias, señalar cuántos estudiaban letras, si y sólo si estudiaban ciencias. a) 40

b) 38

c) 32

d) 42

e) N.A.

11. Durante todas las noches del mes de octubre, Soledad escucha música o lee un libro. Si escucha música 21 noches y lee un libro 15 noches, ¿cuántas noches escucha música y lee un libro simultáneamente? a) 5

b) 6

c) 4

d) 3

e) 10

12. Un conjunto A tiene 1023 subconjuntos propios y el producto cartesiano de A y B tiene 50 elementos. ¿Cuántos subconjuntos propios de 3 elementos posee el conjunto potencia de B? a) 10

b) 12

c) 11

d) 13

e) 9

13. En una encuesta de un club se determinó que el 60% de los socios lee “La República” y el 30% lee “El Comercio”, se sabe que los que leen “La República” o “El Comercio” pero no ambos constituyen el 70% del club y hay 400 socios que no leen ningún diario. ¿Cuántos socios leen ambos diarios? a) 240

b) 210

c) 180

d) 200

e) 150

14. De los 96 asistentes a una fiesta se sabe que el número de hombres es igual al número de mujeres solteras. Si hay 18 hombres casados y más de 29 mujeres casadas. ¿Cuántas personas son solteras si entre ellas hay más de 14 hombres? a) 48

b) 45

c) 38

d) 32

e) 28

15. Sean A, B y C tres conjuntos no vacíos contenidos en U donde: n(U) = 95 n(A) = n(B) = 50 n(C) = 40 n[A-(B∪C)] = 24 n[(A∩B)-C)] = 8

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UNIVERSIDAD PRIVADA DE MOQUEGUA “JOSE CARLOS MARIATEGUI” n[(B∩C)-C)] = 17 n[(A∪B∪C)’] = 10 Determinar el número de elementos de A∩B∩C a) 6

b) 8

c) 12

d) 17

e) 20

16. ¿Qué operación representa la región sombreada? A a) A∪B∪C B b) A∩B∩C c) (A-B) ∩C d) A∩(B∪C) e) A∪(B∩C) C 17. ¿Qué operación representa la región sombreada? a) b) c) d) e)

[(A∪C) – B ] ∪ (B∩C) [(B’∪C’) ∪A] ∩ (C∪B) [(A-B)∩C]∪B [(A’∩B)-C]∩A [(A’∪B)∩A]∩(B∪C)

A

B

C 18. Sean A y B dos conjuntos no vacíos donde se tiene: A ∪ B = { 5 , 8 , 11 , 14, 15, 17 } A – B = { 8 , 15} Indicar el número de sub conjuntos de B a) 8

b) 6

c) 32

d) 64

e) 4

19. De un grupo de 200 comensales a 120 no les gusta el arroz con pato y a 130 no les gusta la carapulcra. Si a 80 no les gusta ambos potajes ¿A cuántos de ellos les gusta el arroz con pato y la carapulcra? a) 18

b) 24

c) 30

d) 36

e) 42

20. De un total de 230 alumnos se conocer que 90 postulan a la UJCM, mientras que 110 alumnos postulan a la UPT ¿cuántos alumnos postularon a ambas universidades si hay 80 alumnos que postulan a otras universidades y no a estas dos? a) 40

b) 60

c) 80

d) 70

e) 50

CLAVE DE RESPUESTAS: 1 d

2 b

3 c

4 b

5 b

6 d

7 a

8 b

9 c

10 a

11 a

12 a

13 d

14 a

15 c

16 d

17 b

18 b

19 c

20 e

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