CAPITULO IV Teoría del Portafolio

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FACULTAD DE CIENCIAS ECONOMICAS

CAPITULO IV Teoría del Portafolio

4 Teo ría de l Po rtafo lio C O N TE N IDO 1. Conceptos Básicos 1.1.Selección de Cartera 1.2.Cartera Eficiente (Frontera Eficiente) 1.3.Pasos en la Selección de Cartera 2. Razones para la Diversificación 3. Medida del Riesgo de la Cartera 3.1. Medida Aritmética (Rendimiento

Esperado del Valor)

3.2.Riesgo de un Activo 3.3.Rendimiento de un Portafolio 3.4.Riesgo de un Portafolio 3.5.Reducción del riesgo vía diversificación. 4. Diversificación Varianza

por

Media

–

Preguntas de Autoevaluación. REFERENCIALES

O B J E TIVO El o bje tivo de l pre s e nte c apítulo c o ns is te e n proporc ionar al le c tor de los c onoc imie nto s para la c ons truc c ión de un portafo lio, y para que al finalizar te nga la c apac idad de : •

Dar una definición de Cartera, cartera eficiente.

•

Identificar los pasos para realizar el proceso de la teoría del portafolio

•

Qué clase de activos van a ser incluidos en un portafolio

•

Medir el riesgo utilizando la desviación típica

•

Desarrollar y construir un proceso de selección de cartera de acuerdo a la tolerancia al riesgo de cada inversor

•

Aplicar una metodología estándar para estructurar el proceso de la teoría del portafolio, que permita sistematizar y analizar la información de cada activo (valor) y tomar la decisión final de inversión

Autor: Lic. Adm. Abdias Armando Torre padilla

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En las empresas se dan dos realidades muy importantes. La primera de estas, es que en la mayoría de las empresas no existe suficiente dinero disponible para satisfacer todas las inversiones atractivas. Como resu

de ello, todos los

fondos disponibles deben ser racionados. La segunda es que no deberíamos considerar los proyectos en forma aislada. Las decisiones son un factor muy importante en las empresas, en ese sentido, el administrador financiero debe considerar el efecto de un proyecto propuesto sobre su portafolio si desea actuar considerando el interés de la totalidad del sistema financiero. La teoría de la cartera fue desarrollada por Harry Markowitz1, al final de la década de los años cincuenta, publicó su libro “S ele cción d e c artera s : div e rs ifica ció n e ficie nte ”, texto en el que exponía toda su teoría sobre los modelos de inversión

en carteras de acciones. En ella desarrolló un modelo

análisis por el cual el

inversor optimiza su comportamiento en ambientes de incertidumbre a través de la maximización de la rentabilidad y la minimización del

go. En este modelo se

utilizó como medida de la rentabilidad la esperanza de valor actual de la cartera de acciones y como medida del riesgo su varianza. Según la teoría de Markowitz los inversionistas construyen portafolios ba

dos

exclusivamente en el riesgo y en el rendimiento esperado. Aquí el riesgo es entendido como la variabilidad del retorno de la inver ión, y los inversionistas –en este modelo– prefieren lograr rendimientos con la menor variabilida posible, es decir, que tienen aversión al riesgo. Cuando se invierte un capital en un portafolio se logra conseguir un rendimiento particular con menor riesgo que el de invertir todo el capital en un solo activo. Este fenómeno es co ocido como "diversificación". Actualmente la teoría de las carteras se ha vuelto un tema mucho más interesante 1

Harry Max Markowitz; Chicago, 1927. Economista estadou idense especializado en el análisis de inversiones. Recibió el Premio Nobel de Economía en 1990 junto a Merton Miller William Sharpe por sus aportaciones al análisis de carteras de inversión y a los métodos de financiación corporativa.

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y necesario que nunca. Existen un gran número de oportunidades de inversión disponibles y la cuestión de cómo los inversionistas d berían de integrar sus carteras de inversión es una parte central de las finanzas. Para poder integrar una cartera de inversión equilibrada lo más importante es la diversificación ya que de esta forma se reduce la variación de los precios. La idea de la cartera es, entonces, diversificar las inversiones en diferentes mercados y plazos para así disminuir las fluctuaciones en la rentabilidad total de la cartera y por lo tanto también del riesgo. 1. Conce pto s Bás ic os 1.1. S ele cc ión de Carte ra: La selección cartera o portfolio es conocido posibilidades

de

inversión

dentro

del

como: “el problema de

marco

de

decisio

s

de

multiproyectos, único-período”2; es decir, es el conjunto de activos financieros compuesto por una combinación de instrumentos de renta fija y renta variable. Por ello se aplica en la selección de conjuntos compues os de derechos de propiedad sobre activos financieros o f sicos. La teoría de selección de cartera toma en consideración el retorno

sperado a largo

plazo y la volatilidad esperada en el corto plazo. La volatilidad se trata como un factor de riesgo, y la cartera se conforma en virtud de la tolerancia al riesgo de cada inversor

n particular, tras

comparar el máximo nivel de retorno disponible para el nivel de riesgo escogido. Los instrumentos de renta fija aseguran un retorno "fijo" al momento de invertir, pero normalmente con una rentabilidad menor a la de uno de renta variable, que no asegura un retorno inicial pero puede ofrecer retornos más altos. 2

Philippatos, G.P. “Fundamentos de Administración Finan

a - Texo y Casos”; Editorial McGRAW -H ILL

– 1974 ; pág. 432. Autor: Lic. Adm. Abdias Armando Torre padilla

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Para poder integrar una cartera de inversión equilibrada lo más importante es la diversificación ya que de esta forma se reduce la variación de los precios. La idea de la cartera es, entonces, diversificar las inversiones en diferentes mercados y plazos para así disminuir las fluctuaciones en la rentabilidad total de la cartera y por lo tanto también del riesgo. Acorde al criterio usual abordaremos la formulación es ndar del problema de selección de cartera dentro del tema de instrumentos financieros. Sin embargo este problema se puede aplicar en términos de posibilidades de inversión en activos físicos. 1.2. Cartera Eficie nte (Frontera Eficie nte ): Se denomina así a “Un grupo de activos (valores) con un rendimiento máximo para niveles dados de rendimiento”3. Es la cartera de valores que está completamente diversificada, que ofrece la mayor rentabilidad esperada con respecto a su nivel de riesgo, compensando los riesgos de los distintos componentes de dicha cartera en relación con su rentabilidad esperada. La idea fundamental de la frontera eficiente de inversión, consiste en que, dada una serie de rentabilidades esperadas y su riesgo combinándolas de manera apropiada, se puede encontrar la cartera de rie partir de ella, todas las combinaciones posibles efici

o mínimo, y a s de inversión.

Esto se debe a que, una diversificación conveniente de nuestra cartera, nos puede permitir reducir el riesgo y mejorar la rent

lidad esperada.

Es necesario hacer notar los vínculos de relación funcional sucesiva que se dan entre los problemas de valuación de valores y selección de cartera; es decir, una parte del resultado del primer problema

nforma

parcialmente el segundo y viceversa. Asimismo, el inversionista al aplicar algún modelo de valuación aceptable, selecciona un número de 3

Idem. Autor: Lic. Adm. Abdias Armando Torre padilla

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instrumentos financieros para su posible inclusión en su cartera. Dados los valores seleccionados y una monto inicial de efectivo, el inversionista recurre a técnicas de selección de cartera para decidi qué proporción de capital debe invertirse en cada valor. Para nuestro propósito, interesa el estudio de la formación

cartera

compuesta de diversos instrumentos financieros y efectivo. En este contexto, u na cartera e s un co nju nto com pu e sto de de re c h os de pr pie d ad s ob re lo s activ os fin a nciero s , e n lo s que el inv e rsio nis ta d es e a inv e rtir s us fon d os . Los subconjuntos de la cartera son el efectivo, y los iversos tipos

de inversión en valores. Las razones por las que los individuos desean conserva algunos de sus fondos en forma de activos líquidos en una cartera son la conveniencia y la fácil convertibilidad en efectivo, además de un ren sobre su inversión. Como la cartera de un individuo es

ento esperado ultado final de

las decisiones acumuladas de inversión, representa sus actitudes y preferencias ante ciertos tipos de activos financieros y ante el riesgo y el rendimiento. Por ello una cartera no debe considerarse como una simple lista de acciones, bonos y efectivo, sino como un orig

l sistema de

activos cuya finalidad es la satisfacción de las necesidades del propietario. 1.3. Pas os en la S ele cc ión de Cartera Al seleccionar una cartera de activos debemos seguir los siguientes pasos: 1) Pre selección de instrumentos financieros, que permitan posteriormente derivar en subconjuntos potenciales; 2) Estimación de las características de riesgo-rendimiento en cada uno de los valores elegibles. Este paso involucra generalmente tres tipos de análisis: rendimientos futuros esperados, Varianzas de rendimiento esperados, y, Covarianzas estimadas; 3) Finalmente, asignamos proporcionalmente los fondos del inversionista de tal forma que el riesgo de cartera sea mínimo, conforme a un rendimiento preestablecido. Autor: Lic. Adm. Abdias Armando Torre padilla

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A lo largo del análisis sobre selección de cartera, no

guiaran las

siguientes dos suposiciones: 1) El inversionista prefiere rendimientos mayores a menores, en cualquier nivel dado de riesgo. 2) El inversionista prefiere rendimientos ciertos a incie

s, en cualquier

nivel dado de rendimiento. Por ello apelamos a diversas técnicas que capacitarán

inversionista en

la programación de sucesivas carteras, que satisfagan sus expectativas de acuerdo con el equilibrio entre riesgo y rendimiento. 2. Razo ne s para la Div ers ific ac ió n La diversificación es una estrategia de inversión que

onsiste en distribuir

dinero en diferentes valores, en vez de concentrar éste en un solo valor, para evitar los desastrosos efectos de una decisión no exitosa. Diversificar significa seleccionar inversiones en sectores diferentes, ofrecidos por compañías de diferentes tamaños, y en el caso de bonos, con plazos y emisores diferentes, dentro de una clase de activos, en lugar de concentrar el dinero en sólo uno ó dos sectores. La diversificación es el equivalente del antiguo refrá

que dice: "No ponga

todos los huevos en la misma canasta". Si un inversionista decide concentrar todo su dinero en una ola inversión, corre el riesgo de que la inversión obtenga malos resultados y llegue a perder parte o el total de su dinero. En cambio, si invierte de manera diversificada reduce

inimiza el riesgo, ya

que para perder su dinero, varias de las inversiones a quiridas tendrían que tener malos resultados al mismo tiempo. Toda inversión siempre conlleva un riesgo, por lo general, mientras más potencial de rentabilidad ofrezca una inversión, mayor será el riesgo que conlleva y, por el contrario, mientras menos rentabili Autor: Lic. Adm. Abdias Armando Torre padilla

ofrezca, menor será Pág. 106

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su riesgo. Por lo que lo ideal al momento de diversificar es crea un portafolio o cartera de inversiones que combine inversiones que ofrezcan un

alta rentabilidad

aunque también un alto riesgo (por ejemplo, negocios o ac

nes), e

inversiones que ofrezcan una baja rentabilidad, pero una mayor seguridad (por ejemplo, depósitos a plazo o fondos mutuos). La proporción de estos dos tipos de inversiones estará dada por nuestros objetivos de rentabilidad, el riesgo que estaremos dis uestos a asumir, o el perfil de inversionista que tengamos. Para entender el significado de la diversificación se

antea el siguiente

ejemplo: Un comerciante peruano de pisco selecto, que envía 100 valiosas botellas de Pisco a Bogotá. En vista de los altos costos que la operación conlleva, a nuestro comerciante le preocupan seriamente las probabilidades de perder la totalidad del cargamento durante el viaje. Si hay 20% de probabilidades de que asalten al transporte, entonces el comerciante cree que habrá 20% de probabilidades de que pierda la totalidad del embarque y quede arruinado. Sin embargo, si envía la mitad de la carga en “Cermeño”, y la otra mitad en “TRAPSA”, como cada uno tiene 20% de probabilidades de perder la totalidad de la mercancía, entonces la probabilidad de perdida s x 0.20 = 0.04 ó 4% de probabilidades. La probabilidad

n solamente de 0.20 e que el total del

embarque llegue a salvo es ahora de 0.8 x 0.8 = 0.64%, o 64% de probabilidades comparadas con el 80% de antes. Pero la p porción de vinos que espera lleguen a salvo es todavía de 80%. Es decir un solo embarque es igual a 0.80 del embarque total. Los dos embarques son guales a 0.50 x 0.80 + 0.50 x 0.80 = 0.80 del embarque total. Por lo tanto, al aplicar una forma sencilla de diversificación, el valor espera o del comerciante, 80% permanece. Sin embargo, las proba ilidades de perder Autor: Lic. Adm. Abdias Armando Torre padilla

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el total del embarque y sufrir la consiguiente ruina f nanciera, se reducen de 20% a 4% de probabilidades. El precio que paga por la circunsta cia adicional de seguridad es la pequeña diferencia entre 80% y 64%

probabilidades, de

que el embarque de 100 botellas llegue a salvo: Esto, sin embargo, representa un valor insignificante respecto al mismo valor esperado (80 botellas a salvo) y una reducción en las probabilidades de ruina total. De este modo, sin reducir el valor esperado (rendimiento), ha disminuido el riesgo de ruina total. Un sumario de la oportunidad de diversificación del comerciante en vinos se muestra en seguida. Núme ro bo te llas

de

Probabilidad que lle gue

de

Valo r e s pe rado

Un e mbarque

100

0.80

80

Do s em ba rque s

50

0.80

40

50

0.80

40

Total (dos embarques)

80

Probabilidad de pérdida total es: •

Un embarque:

•

Dos embarques: (1.00 – 0.80) x (1.00 – 0.80) = 0.04

(1.00 – 0.80) = 0.20

La probabilidad de que la cantidad total llegue es: •

Un embarque:

•

Dos embarques: = 0.64

= 0.80

El ejemplo anterior muestra como la diversificación es útil al tomar decisiones en el caso de carteras riesgo-aversivas. La diversificación es el principio aplicado por los inversionistas, cuando tienen carteras en valores provenientes de empresas de diversas ramas industriales, con objeto de reducir el riesgo de rendimientos más bajos. El efecto real de la diversificación es reducir la inestabilidad de los rendimientos de cartera. Por ello, la diversificación reduce la probabilidad de rendimientos más altos a los espera os, y reduce también la probabilidad de rendimientos más bajos que los espe Autor: Lic. Adm. Abdias Armando Torre padilla

s. Pero como la Pág. 108

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mayoría de los inversionistas tienen funciones de utilidad riesgo-aversivas, la diversificación es un enfoque deseable para la selecci n de carteras. 3. Medida de l Ries g o de la Carte ra Con base de los puntos de referencia ya mencionados. Pero todavía no sabemos cómo estimar el riesgo de la cartera. Para hacer esto, es ecesario aprender las siguientes medidas claves que debe entender todo administrador de carteras: Es por eso que lo primero que se debe considerar a la

ra de armar un

portfolio, es el cálculo del rendimiento y riesgo de u activo. 3.1. Me dia Aritmé tic a (Re ndimien to Es perado de l Valor) La media aritmética se calcula sumando los rendimientos ponderados de las rentabilidades esperadas de los títulos individual s. La fórmula se puede definir de la siguiente manera: /I 0I

En dónde:

= rentabilidad esperada Oi = rendimiento del valor i Pi = Probabilidad de ocurrencia del resultado i, donde i

, 2, …, n

n = número de observaciones 3.2. Rie s go de un Ac tiv o Las medidas más conocidas del riesgo de un activo son

Varianza y su

Desviación Standard. Estas representan la desviación de la media, o dicho de otra manera, cuanto es probable que se desvíen los endimientos esperados respecto del valor más probable o medio esperado. Al riesgo que corre un activo en finanzas se lo conoce como volatilid ad , que debe entenderse como la “fluctuación” que puede sufrir un activo en el tiempo. Autor: Lic. Adm. Abdias Armando Torre padilla

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Para entender mejor el concepto de volatilidad veamos

siguientes

gráficos: GRAFICO A

GRAFICO B

Precio

Precio

Tiempo

Tiempo

En el gráfico A, el activo que es una línea recta carece de volatilidad, pues siempre sube, lo que se constituye una excelente inversión. El activo de líneas onduladas, si bien también es una excelente inv rsión, es muy volátil, pues su precio fluctuaría ampliamente. En el gráfico B, el activo que es una línea recta también carece de volatilidad, pues siempre baja, pero es una pésima inversión. El activo de líneas onduladas, no sólo es volátil sino que también

s una pésima

inversión. Es así que la volatilidad de un activo, si no se manej

adecuadamente,

puede ser peligrosa De esta manera el riesgo se asocia con estas medidas de desviación. Se parte de calcular la media aritmética de los retornos

luego, para cada

observación, se calcula el desvío (o diferencia) con e a media. Como hay desvíos negativos esto llevaría a que la sumatoria sea cero. Para evitar Autor: Lic. Adm. Abdias Armando Torre padilla

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esto se eleva al cuadrado cada uno de esos desvíos y luego de sumarlos todos, posteriormente se los divide por la cantidad de observaciones. El resultado de esto es la medida estadística conocida como Varianza . O sea, la misma es un promedio ponderado de las desviaciones respecto del valor medio. Como está elevada al cuadrado, tanto sus

res como sus

unidades (elevadas al cuadrado) no son representativas pues serían unidades al cuadrado y no sirve para sumar y restar al valor medio. Para lograr esto, se le aplica la raíz cuadrada, obteniendo la medida de desviación llamada Des viació n Típica ó S tandard que es la verdadera medida de volatilidad. Las fórmulas se pueden definir así: Varianza:

Desviación Standard:

s 2 = Pi å (

-

)2

? Ã

Respecto de la desviación estándar se debe tener presente lo siguiente: a) A mayor desviación estándar, mayor es la variabilidad e activo y por lo tanto mayor es su riesgo b) Es una medida estadística muy útil siempre y cuando la distribución de probabilidad del rendimiento del activo siga una dis tribució n no rm al. La pregunta que el lector se debe estar haciendo es si la distribución de los rendimientos de los activos financieros en la realidad es normal. Diversos análisis estadísticos demuestran que los retornos de los activos financieros tienen una distribución que no es perfectamente normal, si no que tienen lo que se llama colas elevadas o leptocurtosis: esto implica que las crisis y las euforias suceden más veces que lo que predice la distribución normal. Pero dado que esta desviación no es tan pronunciada, casi toda la teoría de las finanzas está construida sobre la base de que la distribución de los rendimientos de los activos es normal. Autor: Lic. Adm. Abdias Armando Torre padilla

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Lo importante de una distribución de probabilidad es que permite plantear un modelo de comportamiento que tendría un activo y por lo tanto permite

realizar predicciones. La distribución normal es senci la de describir pues se necesitan los dos primeros momentos de la distribuc ón de probabilidad, que son la media y la varianza. Es importante tener presente que en una distribución normal el intervalo conformado por la media más un sigma y la media menos un sigma contempla el 68,27% de las observaciones. En términos de finanzas, significa que

observamos el

rendimiento de un activo o un portfolio, 68 veces de cada 100 veces en distintas muestras el rendimiento del activo se ubicar en ese intervalo. Si el intervalo se construye sumando y restando 2 sigmas se concentrarán el 95,45% de las probabilidades y si se construye con 3 s gmas o desvíos, el 99% de las observaciones. O sea, cuanto más amplio es

intervalo,

mayor cantidad de observaciones se incluyen pero es más impreciso. Debe tenerse presente que a los fines de la utilización de las medidas de rendimiento y de riesgo se deben usar en la misma unidad de tiempo. Como el rendimiento esperado en general es anual, también lo es la volatilidad esperada. Si bien la desviación estándar es una de las medidas d

riesgo más

conocidas, no es la única y no siempre es la que mejor predice el riesgo Autor: Lic. Adm. Abdias Armando Torre padilla

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futuro. De hecho, el CAPM4 no utiliza el desvío estándar como medida de riesgo sino sólo una parte. Más adelante y en especial en el capítulo de opciones se hará referencia a otras medidas de riesgo. 3.3. Re ndimie nto de un po rtfo lio El rendimiento esperado de un portfolio de activos puede ser calculado como el promedio ponderado de los rendimientos esperados de los activos que componen ese portfolio. La ponderación de cada activo se realiza en función de su capitalización o valor de mercado respec

el portfolio total.

La función puede expresarse de la siguiente forma: Rp =

a *wa

+

b * wb

+

c * wc

+

d * wd

+....+

n * wn

En donde: a,b,c,d ...n

wa,b,c,d

..n

representan los rendimientos de cada activo del portfolio representa la participación porcentual de cada activo entro del portfolio en términos de su valor de mercado.

Ejemplo: Supongamos que tenemos 2 activos. El activo A tiene un rendimiento esperado de 18% mientras que el activo B un rendimiento esperado de 15%. A su vez, se invierten S/. 400.000 en el activo A y S/. 600.000 en el activo B. ¿Cuál es el rendimiento del portfolio? Rp = (0.18 * 0.40) + (0.15 * 0.60) = 0.162 Rp = 16.20% 3.4. Rie s go de un po rtfo lio Se había expresado que la medida de volatilidad es la desviación típica o estándar y eso se relacionaba con el concepto de riesgo. El cálculo del riesgo de un portfolio no es tan sencillo como en el c

del rendimiento

dado que no sólo influye el promedio ponderado de las

esviaciones de

4

CAPM (Capital Asset Pricing Model) Autor: Lic. Adm. Abdias Armando Torre padilla

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cada activo sino que también influye la correlación ent

los mismos, que

permite disminuir el riesgo total del portfolio. El efecto de la diversificación se mide entonces, con as medidas de dispersión de la media. Así la varianza de un portfoli de 2 activos puede expresarse con la siguiente fórmula:

s ²p = w²1* s ²1 + w²2 * s ²2 +

2 * w 1* w 2 * s 1, 2

Es decir, la varianza del portafolio depende de las va

nzas de cada

activo, pero también depende de la covarianza que existe entre ellos. En donde:

w²i representan la proporción al cuadrado de cada activo. s ²i representan la varianzas de cada activo. s 12 representa la covarianza entre los activos. La misma m

como se

relacionan dos activos pero cada uno respecto de su me ia La ecuación de la covarianza es la siguiente:

s 1 2 = å P i * (Oi - µi) * (Oj – µj ) El problema que tiene la covarianza es que está expres do en unidades de la media, por lo que se hace difícil hacer comparac ones entre covarianzas para ver si dos pares de activos están muy o poco relacionados. Para solucionar este problema se usa el

oeficiente de

correlación, que en realidad es la covarianza estandarizada. O sea que es igual al cociente de la covarianza (σ12) respecto al producto de sus desviaciones estándares. O sea r 1 2 = s 12 / s 1 * s 2 El coeficiente de correlación puede tomar valores entre 1 y –1. Si dos activos tienen correlación igual a 1, es que tienen co elación perfecta, o Autor: Lic. Adm. Abdias Armando Torre padilla

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sea que cuando el precio de un activo sube 10% el otro activo sube 10%; si dos activos tienen correlación igual a –1, es perfecta la correlación pero inversa, o sea, que cuando un activo baja 10% el otro baja 10%. Y luego existen todas las correlaciones en el medio. La varianza de un portfolio de 2 activos usando el coe

ente de

correlación se puede escribir como sigue:

s 2p = w 21 * s 21 + w 22 * s 22 + 2 * w 1 *w 2 * s 1 * s 2 * s 12 La fórmula general para el cálculo del riesgo de un po olio de n activos es la siguiente:

s 2p = å

X2j * s 2j + å

* å * Xj * Xk *

s jk

o también

s ²p = å X²j * s ²j + å * å

* Xj * Xk *

s j * s k * r jk

La fórmula de la varianza del portfolio es:

s 2p = å X2j * s 2j + å * å * Xj * Xk * s jk Ó

s 2p = å X2j * s 2j + å * å * Xj * Xk * s j * s k * r jk Una de las cosas más importantes en el cálculo de la varianza del portfolio es la matriz de varianzas y covarianzas o la matriz de correlaciones, ue es lo que va a mostrar las relaciones entre todos los ctivos. Matriz de Correlaciones 1

? 12

? 21

1

? 1K 1 1

? K1 Autor: Lic. Adm. Abdias Armando Torre padilla

1

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Matriz de Varianzas y Covarianzas

σ²1

?12

?13

σ²2

?23

?1k

σ²3 …

σ²n 3.5. Re duc c ió n de l ries g o v ía div ers ific ació n Si consideramos que tenemos N activos e invertimos la misma proporción en cada uno de ellos 1/N, la fórmula de varianza de un portfolio se puede reescribir así:

σ2p = ∑ [

) ]² * σ2j + ∑ * ∑ * [

]*[

] * σjk

Si sacamos afuera 1/N y (N-1)/N para el segundo término tenemos

σ2p = [

]

*

∑ [σ2j / N] + (N-1)/N * ∑ * ∑ * [σjk / (N*(N-1)]

Los términos entre corchetes son promedios o medias. En el primer caso es simple de ver. En el segundo, hay N valores de j y (N-1) valores de k y hay (N-1) valores de k, pues k no puede ser igual que j y por eso hay 1 valor menos de k que de j (la covarianza de j y j es la varianza). Por lo tanto hay un total de N(N- l) o (N2-N) covarianzas. Que sale de la matriz de varianzas y covarianzas.

Por lo tanto el segundo término es la

sumatoria de las covarianzas dividido el número total

e covarianzas.

Reemplazando las sumatorias por medias o promedios tenemos:

s 2p = (1/N) s 2 j + (N-1)/N * s jk e nto nc es s i Nè ¥

1/N = 0

y

(N-1)/N = 1

Esta expresión es una versión más realista de lo que o

cuando

invertimos en un portfolio de activos. La contribución de las varianzas de los activos individuales a la varianza del portfolio es 0 (primera parte de la Autor: Lic. Adm. Abdias Armando Torre padilla

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fórmula). Sin embargo, la contribución de las covaria zas, a medida que crece N se asemeja a la media de las covarianzas. Entonces, se puede decir que el riesgo individual de cada activo se puede eliminar o diversificar: esto es lo que se llama riesgo no sistemático;

pero la

contribución al riesgo total provocado por las covaria zas no, esto es lo que se llama riesgo sistemático o de mercado. Esto im lica que la mínima varianza se obtiene para portfolios bien diversificado

y es igual a la

covarianza promedio entre todos los activos de la población. En con clu s ión, s i bie n e xis te n be n eficios de la div e rs ifica ció n, e l rie s g o d e un p ortfolio n o s e pu e d e elim in ar totalm e nte sin o m inim iz r.

Con cuantos activos se puede minimizar el riesgo del portfolio? Se dice

DesviaciónDesviaci

que con 20 o 25 activos se minimiza al máximo el riesgo.

RiRiesgo Riesgo Sistemático

iesgoRiesgo

Cantidad de Acciones

4. Div e rs ific ació n por Me dia – Varianza Ya hemos dado las bases de cómo se reduce el riesgo me iante la diversificación. Estamos listos para mostrar cómo actú

el principio de

diversificación. Para entender mejor el significado de la diversificación lo veremos a través de un ejemplo: Suponga que el portafolio de un inversionista está conformado por tres valores en el mercado. En el esquema siguiente se presentan la probabilidades y los Autor: Lic. Adm. Abdias Armando Torre padilla

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rendimientos posibles. El inversionista cuenta con un capital, que debe distribuirlo entre los tres, conforme a la información de la tabla. TABLA 1 R E N D IMIE N T O S PROBABILIDAD

A

B

C

0 .10 0 .40 0 .40 0 .10 % de Inve rs ió n

0.25 0.20 0.15 0.10 35 %

0.25 0.15 0.20 0.10 30%

0.10 0.15 0.20 0.25 3 5%

• Las notaciones y fórmulas que se utilizan en el desarrollo del presente ejemplo son las mismas que se han desplegado en el transcurso del presente capítulo, y tiene el siguiente significado: Oi = Rendimiento de valor P i = Probabilidad Rp = Rendimiento esperado de la Cartera i=

Rentabilidad esperada del Valor (Media)

s ² = Varianza s = Desviación Estándar (Típica) ? ij = Coeficiente de Correlación

s ij = Covarianza • Las Fórmulas a aplicar en el ejemplo son las siguientes: Re ndimie nto es perado de cada v alo r Varianza:

?

s 2 = Pi å (

De s viació n S tandard:

)2

? Ã ?

Co e fic iente de Correlac ió n : Co v arianza e ntre lo s re ndimientos

-

?

?

s ij = ? ij

x (

Re ndimie nto es perado de la Cartera: Autor: Lic. Adm. Abdias Armando Torre padilla

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Cap.IV

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CAPITULO IV Teoría del Portafolio

Rp =

a * wa

+

b * wb

+

c *wc

+

d * wd

+....+

n * wn

S OLUCIÓN Primer pas o : En la siguiente tabla se va hacer los siguientes cálculos:

);

1) Rentabilidad Esperada ( 2) Varianza (s ²); y

3) Desviación Estándar (Típica) (s ), de cada valor: TABLA 2 VALOR

Oi

Pi

Pi x Oi

(Oi - µ)

(Oi - µ)²

Pi x (Oi - µ)²

A

0.09 0.12 0.15 0.18

0.1 0.4 0.4 0.1

0.009 0.048 0.06 0.018

-0.045 -0.015 0.015 0.045

0.002025 0.000225 0.000225 0.002025

0.0002025 9E-05 9E-05 0.0002025

µ=

B

0.25 0.15 0.2 0.1

0.1 0.4 0.4 0.1

s ²A = sA=

0.135

0.025 0.06 0.08 0.01

0.075 -0.025 0.025 -0.075

s ²B = sB =

0.175

C

0.1 0.08 0.12 0.16

0.1 0.4 0.4 0.1

0.01 0.032 0.048 0.016 0.106

Autor: Lic. Adm. Abdias Armando Torre padilla

0.005625 0.000625 0.000625 0.005625

-0.006 -0.026 0.014 0.054

0.000036 0.000676 0.000196 0.002916

s ²C = s C=

0.000585 0.024186773

0.0005625 0.00025 0.00025 0.0005625 0.001625 0.040311289

0.0000036 0.0002704 0.0000784 0.0002916 0.000644 0.025377155

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Lo s re s ultados s e mue s tran en la s iguie nte tabla TABLA 3 VALOR

Re ntabilidad Es pe rada

Varianz a

De s viac ión Típic a (Es tándar)

µi

s²

s

A

0.135

0.000585

0.024186773

B

0.175

0.001625

0.040311289

C

0.106

0.000644

0.025377155

S eg undo Pas o : Calculo del Rendimiento Esperado de la Cartera (Rp) Rp =

a *wa

+

b * wb

+

c * wc

+

d * wd

+....+

n * wn

TABLA 4 VALOR A B C

Wi 0.35 0.3 0.35

µi

Wi x µi

0.135 0.175 0.106

0.04725 0.0525 0.0371

Ep = Ep =

0.13685 13.69%

Terc er Pas o : Mientras que la varianza y la desviación estándar mide la variabilidad de las acciones individuales. Ahora,

para que nuestro análisis sea más preciso,

vamos a proceder a ponderar la relación entre la renta

idad de dos valores, y

para eso necesitamos hacer uso de dos medidas estadísticas, la Covarianza y el Coeficiente de variación. Se ha mencionado que

la Covarianza y el Coeficiente de variación. Son

maneras de medir si dos variables al azar se relaciona

En nuestra cartera de

tres valores, necesitamos exactamente tres coeficiente

de correlación, a

saber:

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? AB = coeficiente de correlación para los rendimientos de los valores A y B ? AC = coeficiente de correlación para los rendimientos de los valores A y C ? BC = coeficiente de correlación para los rendimientos de los valores B y C. Explicaremos estas medidas en el presente ejemplo apli

o en la Tabla 5

los datos ya calculados, en la que procederemos hacer los siguientes cálculos: 1) Calc ulo de la Co v arianza (s ij): Se puede calcular en dos pasos:

s ij = å P i * (Oi - µi) * (Oj – µj )

s ij = å ? ij

x (

2) Coe ficie nte de Co rre lac ión : Es necesario un paso adicional ? ?

TAB LA 5

•

Covarianza

s AB VALORES A y B

Desviación de la Pi 0.1 0.4 0.4 0.1

(Oi - µi) -0.045 -0.015 0.015 0.045

(µi) (Oj - µj) 0.075 -0.025 0.025 -0.075

Paso 1

Paso 2

(Oi - µi)*(Oj - µj) -0.003375 0.000375 0.000375 -0.003375

Pi*(Oi - µi)*(Oj - µj) -0.0003375 0.00015 0.00015 -0.0003375

σAB =

•

-0.000375

Coe ficie nte de Co rre lac ión ? AB ??:?: ??:?

??:?

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-0.384615386043

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•

Covarianza

s AC VALORES A y C

Desviación de la Pi 0.1 0.4 0.4 0.1

(µi)

(Oi - µi) -0.045 -0.015 0.015 0.045

(Oj - µj) -0.006 -0.026 0.014 0.054

Paso 1

Paso 2

(Oi - µi)*(Oj - µj) 0.00027 0.00039 0.00021 0.00243

Pi*(Oi - µi)*(Oj - µj) 0.000027 0.000156 0.000084 0.000243

σAC = •

0.00051

Coe ficie nte de Co rre lac ión ? AC

??:?

Covarianza

????? ??:?

??:°

s BC VALORES B y C

Desviación de la (µi)

Paso 1

Paso 2

Pi 0.1 0.4 0.4

(Oi - µi) 0.075 -0.025 0.025

(Oj - µj) -0.006 -0.026 0.014

(Oi - µi)*(Oj - µj) -0.00045 0.00065 0.00035

Pi*(Oi - µi)*(Oj - µj) -0.000045 0.00026 0.00014

0.1

-0.075

0.054

-0.00405

-0.000405

σBC = •

-0.00005

Coe ficie nte de Co rre lac ión ? BC

??:?

????? ??:?

Autor: Lic. Adm. Abdias Armando Torre padilla

??:À

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•

Covarianza

s AA VALORES A y A

Pi

Desviación de la (Oi - µi)

0.1 0.4 0.4 0.1

-0.045 -0.015 0.015 0.045

(µi) (Oj - µj)

Paso 1 (Oi - µi)*(Oj - µj)

Paso 2 Pi*(Oi - µi)*(Oj - µj)

0.002025 0.000225 0.000225 0.002025

0.0002025 0.00009 0.00009 0.0002025

-0.045 -0.015 0.015 0.045

σAA = •

0.000585

Coe ficie nte de Co rre lac ión ? AA ????? ??:000

Covarianza

??:?:

??:000

s BB VALORES B y B

Desviación de la Pi 0.1 0.4 0.4 0.1

(Oi - µi) 0.075 -0.025 0.025 -0.075

(µi) (Oj - µj) 0.075 -0.025 0.025 -0.075

Paso 1

Paso 2

(Oi - µi)*(Oj - µj) 0.005625 0.000625 0.000625 0.005625

Pi*(Oi - µi)*(Oj - µj) 0.0005625 0.00025 0.00025 0.0005625

σBB = •

0.001625

Coe ficie nte de Co rre lac ión ? BB ????? ??:001

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??:001

??:?:

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•

Covarianza

s CC VALORES C y C

Desviación de la (µi)

Paso 1

Paso 2

Pi

(Oi - µi)

(Oj - µj)

(Oi - µi)*(Oj - µj)

Pi*(Oi - µi)*(Oj - µj)

0.1 0.4 0.4 0.1

-0.006 -0.026 0.014 0.054

-0.006 -0.026 0.014 0.054

0.000036 0.000676 0.000196 0.002916

0.0000036 0.0002704 0.0000784 0.0002916

σCC = •

0.000644

Coe ficie nte de Co rre lac ión ? CC ????? ??:?

??:?:

??:?

Terc er Pas o : Calculo de la Varianza (s ²p) y la De s v iac ión típica (s p ) de la c arte ra

?

?

?

COMBINACIONES

Wi

Wj

s ij

AA AB AC BA BB BC CA CB CC

0.35 0.35 0.35 0.3 0.3 0.3 0.35 0.35 0.35

0.35 0.3 0.35 0.35 0.3 0.35 0.35 0.3 0.35

0.000585 -0.000375 0.00051 -0.000375 0.001625 -0.00005 0.00051 -0.00005 0.000644

s ²p = sp= Autor: Lic. Adm. Abdias Armando Torre padilla

Wi * Wj * s ij 0.0000716625 -0.0000393750 0.0000624750 -0.0000393750 0.0001462500 -0.0000052500 0.0000624750 -0.0000052500 0.0000788900 0.0003325025 0.0182346511

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Observe que la diversificación redujo la varianza de la totalidad de la cartera de un promedio simple de las desviaciones típicas indi duales: ??:

??:

típica de la cartera

??:

sp

, a una desviación

??:

= 0.0182346511 para el mismo rendimiento esperado

de la cartera Ep = 0.13685. El efecto de diversificación representa una reducción de 0.01172015557 ( ??:

??:

, es decir de

un 39.12% en el contenido del riesgo de la cartera.

Pre guntas de Auto e valuació n 1.

Explique el concepto de cartera.

2.

Relacione la valuación de valores y la teoría de cartera.

3.

¿Qué es un riesgo? Explique ¿por qué el gerente de finanzas debe omar en cuenta tanto sobre la rentabilidad y el riesgo?

4.

Cite los pasos que deben seguirse al seleccionar una c rtera. ¿ Qué problemas se presentan en cada uno de estos pasos?

5.

¿Cuál es el argumento que fundamenta la diversificación? ¿Cuál es el efecto de esta?

6.

¿Qué medidas estadísticas pueden aplicarse a las carteras p ra preveer su desarrollo? ¿Qué criterio determina la aplicación de un parámetro?

7.

¿Qué es el coeficiente de correlación? ¿Qué papel desempeña en la medición del desarrollo de la cartera?

8.

Defina la media y la varianza de una cartera con n valores.

9.

Usted como inversionista a considerado adquirir tres v lores para su cartera por lo que ha conseguido la siguiente informac ón:

Autor: Lic. Adm. Abdias Armando Torre padilla

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RENDIMIENTOS PROBABILIDAD

A

B

C

0.25 0.25 0.25 0.25

0.00 0.08 0.16 0.32

0.04 0.08 0.12 0.16

0.09 0.12 0.15 0.18

% de Inversión

40%

30%

30%

Con los datos mencionados calcule: 1) El Rendimiento esperado para cada acción. 2) La Varianza para cada acción 3) La Covarianza para las diferentes combinaciones de valores 4) El Rendimiento esperado de la Cartera 5) La Varianza y la Desviación estándar de la Cartera 10.

Suponga que el portafolio de un inversionista está conformado por tres valores en el mercado. En el esquema siguiente se presentan las probabilidades y los rendimientos posibles. El inversionista cuenta con un capital, que debe distribuirlo entre los tres, conf rme a la información de la tabla. R E N D IMIE N T O S PROBABILIDAD

A

B

C

0 .10 0 .40 0 .40 0 .10 % de Inve rs ió n

0.15 0.20 0.25 0.10 30 %

0.20 0.15 0.20 0.15 30%

0.15 0.15 0.20 0.20 4 0%

Con los datos mencionados calcule: 1) El Rendimiento esperado para cada acción. 2) La Varianza para cada acción 3) La Covarianza para las diferentes combinaciones de valores 4) El Rendimiento esperado de la Cartera 5) La Varianza y la Desviación estándar de la Cartera Autor: Lic. Adm. Abdias Armando Torre padilla

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REFERENCIALES 1. DUMRAUF, Guille rmo L., “Finanzas Corporativas”; Colombia: Edit. GUIA; Tercera Edición. 2003 2. GITMAN, Lawrence J.; “Administración Financiera”, México: Edit. Pearson - Educación, Octava Edición, 2000. 3. JOHNS ON, Robe rt; y KUBY, Patric ia ; “Estadística Elemental”; México. Edit. THOMSON. Tercera Edición 2003 4. GALLAGHER, To mo thy J. – ANDREW Jr., Jos e ph D. “Administración Financiera”, Colombía: Edit. Prentice Hall, Segunda Edición, 2001 5. PHILIPPATOS , G.C. “Fundamentos de Administración Financiera – Texto y casos”; México. Edit. Mc Graw Hill. Primera Edición 19 9.. 6. ROS S , S te phe n A. ; WES TERFIELD, Ran do lph W.; y JORDAN, Brad ford D.; “Fundamentos de Finanzas Corporativas”: España: Edit. Mc Graw Hill. Segunda Edición, 2000 7. WES TON,

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–

COPELAND

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“Finanzas

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Administración”, México: Edit. Mc Graw Hill; Novena Edición – Volumen II, Enero 1997. 8. WES TON,

J.

Fred

-

BRIGHAM,

Eug ene

F.

“Fundamentos

de

Administración Financiera”, México: Edit. Mc Graw Hill; Décima Edición, 1995.

Autor: Lic. Adm. Abdias Armando Torre padilla

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