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CAPITULO V: ECUACIONES EN DERIVADAS PARCIALES DE SEGUNDO ORDEN. 5. 1. PROBLEMAS HOMOGÉNEOS Y EL MÉTODO DE SEPARACIÓN DE VARIABLES.

5.1.1. El MÉTODO DE SEPARACIÓN DE VARIABLES. Entendemos por Problemas Homogéneos a aquellos en la tanto la EDP como las condiciones de contorno, son homogéneos. Por simplicidad, aplicaremos el método de separación de variables o método de Fourier a una ecuación del tipo parabólico. Sea u =u(x, t) la función incógnita en una EDP cualquiera, digamos (1)

ut = uxx.

El método de separación de variables consiste en suponer que u(x, t) es el producto de dos funciones que sólo dependen de una variable cada una de ellas, es decir; (2)

u(x, t)=X(x)T(t).

Luego, ut = X(x)T’(t) y uxx = X”(x)T(t). Sustituyendo en (1), obtenemos (3)

XT’ = X”T

⇒

T' T

=

X" X

.

∂ T' T´ es una función que sólo ( ) = 0 . Si ∂t T T T' depende de x, entonces una solución de la expresión anterior será: = ϕ( x) , pero esto contradice la T hipótesis que la función T sólo depende de t. ∂ X" Análogamente, si derivamos con respecto a x, obtenemos: ( ) = 0 , y podemos escribir que ∂x X X" = ψ( t ) ; lo que también contradice la hipótesis que X sólo depende de x. Por lo tanto, la única X X" T' = = constante, digamos, λ. posibilidad es que X T Esta constante λ se llama constante de separación y, como veremos, juega un rol fundamental en la resolución de EDP.

Derivando con respecto a t esta última igualdad, resulta:

Luego, escribimos: T'

(4)

T

=

X" X

= λ.

De (4) resultan dos ecuaciones diferenciales ordinarias (5)

T ’ - λT = 0

(6)

X ”- λX = 0

cuyas soluciones son 81 Prof. Dr. Raúl F Jiménez

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-λt T(t)=A e

(7)

(8) X(x)=B1 e λ x + B2 e − Por lo tanto, la solución general será

-λt u(x, t)= e [C1 e

(9)

λx

λx

+ C2 e −

λx

].

Observe que si elegimos la constante de separación positiva, λ=α2, entonces la solución tiene la forma u(x, t)=eα t [C1eαx + C 2 e − αx ] , 2

(10)

y si la elegimos negativa, λ= -α2, entonces la solución tiene la forma u(x, t)=e − α t [C1 cos αx + C 2 sen αx] 2

(11)

Esta última expresión, al contrario de (10), es acotada en un dominio abierto espacial y para cualquier t>0. En general, las soluciones de problemas reales son acotadas. Consideremos ahora una EDP arbitraria en tres variables con constantes de separación negativas. Sea la EDP ut = (uxx + uyy) = X(x)Y(y)T(t). Reemplazando en la EDP, resulta: ∂ X" ( )=0 ∂x X

;

∂ Y" ( ) = 0; ∂y Y

∂ T' ( ) = 0. ∂t T

Ponemos X" X

= −α 2 ;

Y" Y

= −β2 ⇒

T' T

= − (α 2 + β 2 ) ,

y así tenemos las EDOs: X "+α 2 X = 0 ; Y "+ β Y = 0 ; T '+(α 2 + β 2 ) T = 0 2

cuyas soluciones son

X( x) = B1 cos αx + B2 sen αx ; Y( y) = C1 cos βy + C 2 sen βy ;

T( t) = Ae− ( α

2

+ β2 ) t

.

Por lo tanto, tenemos la solución acotada u( x, y, t) = e − ( α

2

+ β2 ) t

[B1* cos αx + B *2 sen αx][ C1 cos βy + C 2 sen βy] .

Con estos dos ejemplos podemos ver cómo el método de separación de variables transforma la EDP en dos o más EDOs. Este método permite resolver numerosas EDP; las más importantes de la Física-Matemática, definidas en dominios acotados. Myint-U mostró que la EDP de segundo orden con coeficientes variables A(x, y)uxx+C(x, y)uyy+D(x, y)ux+E(x, y)uy+F(x, y)u = 0, 82 Prof. Dr. Raúl F Jiménez

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se puede resolver por el método de separación de variables, cuando un factor funcional φ −1 ( x, y ) convierte la nueva ecuación A(x, y)X”Y +C(x, y)X Y”+ D(x, y)X’Y + E(x, y)XY’+ F(x, y)XY = 0 a la ecuación de la forma A(x)X”Y + B1(y)XY”+A2 (x)X’Y + B2(y)XY’+[A3(x)+B3(y)]XY = 0. Finalmente, es difícil hallar reglas explícitas sobre la aplicabilidad de este método, puesto que influyen: el tipo de ecuación, el tipo de coordenadas y la forma de las condiciones auxiliares.

5.1.2. PROBLEMAS DE TIPO PARABÓLICO PROPAGACIÓN UNIDIRECCIONAL DEL CALOR EN UN INTERVALO FINITO A. BARRA CON EXTREMOS A TEMPERATURA FIJA Consideremos una barra de longitud L térmicamente aislada lateralmente, y sometida a un baño de hielo a 0º C en los extremos. Suponiendo que inicialmente la barra tiene una distribución de temperatura f(x), se desea conocer la temperatura u(x, t) en la barra en un cierto instante t > 0 y en un punto x . es decir se desea resolver el PVC-I:

(12) (13)

EDP CCH

(14)

CI

ut-c2uxx = 0 , 0< x < L, t >0 u(0, t) = 0 , t ≥ 0 u(L, t) = 0 , t ≥ 0 u(x, 0) = f(x) , 0 ≤ x ≤ L

siendo f(x) función conocida, y donde la constante física c2 =

k cρ

, donde k = coeficiente de dilatación

térmica, c = calor específico y ρ = densidad Aplicando el método de separación de variables , sea u(x, t) = X(x)T(t). Reemplazando en (12), se obtiene : X( x )T ′( t ) = c 2 X" ( x )T( t ) de donde X" ( x ) T ′( t ) = 2 X( x ) c T( t ) Luego existe una constante real λ, llamada constante de separación, tal que : (15) (16)

X”(x) - λX(x) = 0 T´(t) – c2λT(t) = 0

De las CCH, tenemos u(0,t) = u(L, t) = 0 ⇒ X(0) = X(L) = 0, entonces podemos plantear el siguiente sistema de Sturm Liouville:

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(17)

X”(x) - λX(x) = 0 X(0) = 0 X(L) = 0

cuya solución general es : (18)

X n ( x ) = sen

nπx (funciones propias) L

para los valores propios

nπ ; n∈IN. L Ahora, debemos hallar la nueva EDO para T(t); para ello reemplazando (19) en (16): λn = −

(19)

2

⎛ nπct ⎞ T ′( t ) + ⎜ ⎟ T( t ) = 0 ⎝ L ⎠

cuya solución general es : 2

(20)

Tn ( t ) = C n e

⎛ nπc ⎞ −⎜ ⎟ t ⎝ L ⎠

;

n∈IN

Así, para cada n ∈ IN las funciones un(x, t) = Xn(x)Tn(t) satisfacen la EDP (12) y las condiciones de fronteras (13). Por el Principio de superposición, podemos hallar “una“ función que además de satisfacer (12) y (13) también satisfaga (14). En efecto, basta suponer una solución del tipo: ∞

∑ u (x, t )

u( x, t ) =

n

n =1

es decir (21)

u( x, t ) =

2

∞

∑C e

⎛ nπc ⎞ −⎜ ⎟ t ⎝ L ⎠

n

n =1

⎛ nπx ⎞ sen⎜ ⎟, ⎝ L ⎠

donde las constantes Cn son arbitrarias, pero pueden calcularse fácilmente. En efecto, aplicando las condición inicial se obtiene ∞

nπx . L n =1 Si f∈SC[0, L], entonces (21) puede interpretarse como el desarrollo en serie de Fourier de senos de f(x) en [0,L]. Así, para cada n∈IN , Cn corresponde a los coeficientes de Fourier de f(x) respecto al nπx ⎫ ⎧ conjunto ortogonal ⎨sen ⎬ en SC[0,L] , es decir L ⎭ ⎩

(22)

f (x) =

∑C

n

sen

L

(23)

Cn =

2 nπx dx f ( x ) sen L L0

∫

NOTA: Si f es una función continua en [0,L], tal que f(0) = f(L) = 0 y f’ existe en [0,L], entonces la expresión (10) define una función continua sobre la región R , donde R = {(x, t) / 0 < x 0 }, que es una solución del PVC-I (11-14) 84 Prof. Dr. Raúl F Jiménez

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B. BARRA AISLADA TÉRMICAMENTE EN LOS EXTREMOS.

Extremos aislados implican que no existe flujo en dirección del vector normal unitario, que en este caso unidimensional, la derivada normal es derivada con respecto a x. Por esta razón, la derivada con respecto a la normal ∂∂un = ± ∂∂ux . Consideremos el PVC-I : 0 0 u(0, t ) = u x (l, t ) = 0; t ≥ 0 u( x,0) = f ( x ); 0 ≤ x ≤ L Aplicando separación de variable, compruebe que: ∞

u( x, t ) = ∑ c n e

−

(( 2n−1)πc )2 t 4L2

n=1

sen

(2n − 1)πx 2L

donde cn =

2L 2n − 1 πxdx . ∫ f ( x )sen L0 2L

5.1. 3. PROBLEMAS TIPO HIPERBÓLICOS PROPAGACIÓN UNIDIRECCIONAL DE ONDAS EN UN INTERVALO FINITO.

La ecuación de la cuerda vibrante o ecuación de la onda: utt – c2uxx = 0 , rige varios tipos de vibraciones. Entre los más importantes destacamos: ondas sonoras (ondas longitudinales); ondas electromagnéticas (luz, electricidad); vibraciones de sólidos (ondas longitudinales y transversales), ondas de la Mecánica Cuántica, ondas de agua (ondas transversales) y membranas vibrantes.

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CUERDA CON EXTREMOS FIJOS

Supongamos que una cuerda tensa de longitud L está fija en los extremos, y supongamos además que: i) la cuerda es homogénea, es decir, de densidad constante. ii) la tensión dada a la cuerda para que vibre es lo suficientemente grande como para despreciar la fuerza de gravedad. iii) la cuerda es perfectamente elástica y no ofrece resistencia a la flexión. iv) La cuerda sólo vibra transversalmente y en pequeñas amplitudes, y finalmente v) La posición de la cuerda en reposo coincide con el eje x. (piense en una cuerda de guitarra, por ejemplo) Sea u(x, t) los desplazamientos verticales de la cuerda en la posición x y en tiempo t. Si T= tensión y ρ= densidad, entonces la EDP que gobierna las vibraciones es: (24)

EDP: utt – c2uxx = 0, 00. El signo negativo se explica por que ella es una fuerza de resistencia al movimiento. En general, esta fuerza de amortiguamiento depende de manera no lineal de la velocidad, caso que cae fuera de los alcances de este curso de introducción a las EDP. Resolvamos el siguiente PVC-I con constante b=1. utt=uxx-ut 0