LEYES DE LOS CIRCUITOS ELECTRICOS

CAPITULO X

LEYES DE LOS CIRCUITOS ELÉCTRICOS Con estas leyes podemos hallar las corrientes y voltajes en cada una de las resistencias de los diferentes circuitos de CD. Ley de OHM La relación matemática entre el voltaje, la intensidad de la corriente eléctrica y la resistencia fue descubierta por George Simon Ohm y se denomina “LEY DE OHM”, esta ley es el pilar en el que se basa el estudio de la electricidad en todas sus ramas. La ley de OHM se enuncia de la siguiente manera: “LA CORRIENTE O INTENSIDAD ELECTRICA QUE CIRCULA EN UN CIRCUITO ES DIRECTAMENTE PROPORCIONAL AL VOLTAJE E INVERSAMENTE PORPORCIONAL A LA RESISTENCIA” Matemáticamente se expresa de la siguiente manera:

donde: I = intensidad o corriente eléctrica (A). V = voltaje (V). R = resistencia (Ω). Circuito simple Un circuito simple es aquel en que solo hay una resistencia conectada a una fuente de alimentación como se muestra en la siguiente figura.

IT V

T + _

IT

RT

IT Fig.10.1 Circuito simple. De donde:

IT=

VT RT

RT=

VT IT

VT= IT ∗ RT

70

Ejemplo: Del siguiente circuito, hallar su IT.

Donde: VT = 30 V. R = 10 KΩ

30V + _

10K

Solución: Por ley de Ohm, se halla la IT. IT = VT / R = 30 V / 10 KΩ = 3 mA La IT del circuito es de 3 mA Circuito serie Un circuito serie es aquel en el que están conectadas dos o más resistencias formando un camino continuo de manera que la corriente pasa sucesivamente de una o otra.

R1

R2

+ VVT T

_

R3

Fig. 10.2 Circuito serie Corrientes en un circuito serie. Como solo hay un camino por el que puede pasar la corriente, toda la que sale de la fuente tiene que volver a ella, y por lo tanto pasara la misma corriente por todas las partes del circuito. IT = i1 = i2 = i3 Voltajes en un circuito serie. Las caídas de voltaje v1, v2 y v3 indican las tensiones necesarias para obligar a la corriente a pasar por las resistencias r1, r2 y r3 respectivamente. Como VT representa el voltaje total 71

necesario en la fuente de alimentación para hacer pasar la corriente por todo el circuito, el voltaje suministrado por la fuente ha de ser igual a la suma de las caídas de tensión en el circuito. VT = V1 + V2 + V3 Resistencia de un circuito serie. La resistencia total ofrecida al paso de la corriente será la suma de todas las resistencias aisladas, o sea: RT = R1 + R2 + R3 Potencia en el circuito serie. Todas las resistencias absorben potencia y como todas las potencias proceden de la fuente, la potencia total absorbida por el circuito serie tiene que ser igual a la suma de las potencias consideradas aisladamente. PT = P1 + P2 + P3 Características del circuito serie. 1. La corriente es igual en todas las partes del circuito. 2. El voltaje aplicado, o voltaje de la fuente es igual a la suma de las caídas de tensión en el circuito. 3. La resistencia del circuito completo es igual a la suma de las resistencias del circuito. 4. La potencia total es igual a la suma de las potencias absorbidas en las resistencias. Ejemplo: Hallar la corriente y voltaje en cada resistencia.

R1

R2

VT = 50 V. R! = 10 KΩ R2 = 5.6 KΩ R3 = 15 KΩ R4 = 2.2 KΩ

VVT + T

donde:

_

R3

R4

Solución: 1.- Hallar RT para poder hallar IT. Como es un circuito serie:

72

RT = R1 + R2 + R3 + R4 RT = 10 KΩ + 5.6 KΩ + 15 KΩ + 2.2 KΩ RT = 32.8 KΩ 2.- La corriente que circula por todo el circuito es:

Como es un circuito serie: IT = IR1 = IR2 = IR3 = IR4 IR1 = 1.52 mA. IR2 = 1.52 mA. IR3 = 1.52 mA. IR4 = 1.52 mA. 3.- Por medio de la ley de Ohm, determinamos el voltaje en cada resistencia. VR1 = IR1 · R1 = (1.52 mA)(10 KΩ) = 15.20 V. VR2 = IR2 · R2 = (1.52 mA)(5.6 KΩ) = 8.51 V. VR3 = IR3 · R3 = (1.52 mA)(15 KΩ) = 22.80 V. VR4 = IR4 · R4 = (1.52 mA)(2.2 KΩ) = 3.34 V. Circuito paralelo Cuando se conectan dos o más resistencias de manera que la corriente pueda pasar por dos o más caminos, se tiene un circuito paralelo como se muestra en la siguiente figura.

V

T

+ _

R1

R2

R3

Fig. 10.3 Circuito paralelo

73

Corrientes en un circuito paralelo. Como la corriente se va derivando en cada rama del circuito, tenemos: IT = I1 + I2 + I3 Voltajes en un circuito paralelo. El voltaje en cada una de las resistencias eléctricas conectadas en paralelo es igual al voltaje que suministra la fuente, por lo que: VT = V1 = V2 = V3 Resistencia de un circuito paralelo. La resistencia de un circuito paralelo se calcula empleando la siguiente formula:

Potencia en el circuito paralelo. La potencia total absorbida por el circuito paralelo ha de ser potencias por separado.

igual a la suma de las

PT = P1 + P2 + P3 Características del circuito paralelo. 1. La intensidad de la línea es igual a la suma de las intensidades de las ramas. 2. El voltaje aplicado a cada rama es igual al de la línea. 3. La resistencia de un circuito paralelo es igual a la reciproca de la suma de las reciprocas de la resistencia de cada rama. La resistencia total es siempre menor que el valor de la menor de las resistencias. 4. La potencia total es igual a la suma de las potencias de las ramas por separado. Ejemplo: Encontrar su voltaje y corriente en cada resistencia del siguiente circuito.

Donde:

V VT

T

+ _ R1

R2

R3

R4

VT = 40 V. R1 = 22 KΩ R2 = 33 KΩ R3 = 15 KΩ R4 = 10 KΩ

74

Solución: 1.- Como es un circuito paralelo: VT = VR1 = VR2 = VR3 = VR4 VR1 = 40 V. VR2 = 40 V. VR3 = 40 V. VR4 = 40 V. 2.- Por ley de Ohm, se encuentra la corriente que circula por cada resistencia. IR1 = VR1 / R1 = 40 V / 22 KΩ = 1.81 mA IR2 = VR2 / R2 = 40 V / 33 KΩ = 1.21 mA IR3 = VR3 / R3 = 40 V / 15 KΩ = 2.66 mA IR4 = VR4 / R4 = 40 V / 10 KΩ = 4 mA

Leyes de KIRCHHOFF Las leyes de Kirchhoff se emplean para resolver circuitos que no son posibles por la Ley de Ohm, calculando sus valores desconocidos (voltajes, intensidades, resistencias, etc.).

3mA I1 Ib 1mA

Ia 2mA

I1= Ia + Ib

=

3mA I1 Ib - 1mA

Ia -2mA

I1+Ia+Ib=0

=

-3mA I1 Ib 1mA

Ia 2mA

I1+Ia+Ib=0

Ley de Kirchhoff de los voltajes: La suma algebraica de todos los voltajes a lo largo de un camino cerrado de un circuito ha de ser igual a cero. 75

VT – V1 – V2 – V3 = 0 Ley de Kirchhoff de las corrientes: La suma algebraica de todas las corrientes en cualquier nudo de un circuito ha de ser igual a cero. IT – i1 – i2 – i3 = 0 Método de resolución de problemas: El empleo de las leyes de Kirchhoff para calcular los valores desconocidos de un circuito lleva la resolución de varias ecuaciones simultaneas. La resolución de problemas de circuitos que lleva el planteamiento de ecuaciones simultaneas puede hacerse mejor empleando el siguiente procedimiento: 1.- Marcar todos los elementos del circuito con un nombre y un valor. 2.- Asignar a cada rama del circuito una dirección de corriente dibujando una flecha a lo largo de la rama que indique la dirección del flujo de electrones. 3.- Marcar todos los puntos de conexión de elementos del circuito con una letra de referencia. 4.- Escribir las ecuaciones de las intensidades para cada unión de tres o más elementos del circuito. Cuando se establezcan estas ecuaciones, las corrientes que entran en la unión se consideran algebraicamente positivas y las que salen negativas. 5.- Escribir las ecuaciones de voltaje para cada camino cerrado del circuito. Indicar los voltajes desconocidos en función de las intensidades y resistencias. Indicar las polaridades de los voltajes. Cuando se establezcan las ecuaciones de los voltajes se deben seguir las siguientes reglas: a) El voltaje de una fuente es positivo cuando la dirección de la corriente pasa por ella es del terminal positivo al negativo y negativo en caso contrario. b) La polaridad del voltaje en una resistencia dependerá de la dirección del flujo de electrones dentro de ella. Cuando esta dirección es opuesta a la dirección en que se ha trazado el voltaje del lazo, el voltaje de la resistencia es negativo y cuando coincide la dirección del flujo de electrones y la asignada al lazo, el voltaje es positivo.

6.- En las ecuaciones de corriente del paso 4 anotar el número de corrientes desconocidas. Resolver simultáneamente las ecuaciones de voltaje y corrientes. 7.- Los voltajes desconocidos pueden determinarse empleando la ley de Ohm.

76

8.- Comprobar las respuestas obtenidas sustituyendo sus valores en las ecuaciones de voltaje y corriente no empleadas de manera que todos los valores de las corrientes desconocidas sean empleadas al menos una vez.

Ejemplo: Encontrar la corriente y voltaje de cada resistencia del siguiente circuito.

R1

R2 donde: V1 = 30 V. V2 = 20 V.

+

V1 _

+ V2 _

R3

R4

R1 = 10 KΩ R2 = 15 KΩ R3 = 22 KΩ R4 = 33 KΩ R5 = 12 KΩ

R5

Solución: 1.- Se etiquetan todos los componentes, en caso de que no lo estén (V1, V2, R1, R2, etc.).

R1

R2

i1

i3

+

I2

V1 _

i3

R3

i1

i3

R4

R5

+ V2 _

2.- Se asigna el sentido de las corrientes en el circuito.

77

R1

R2 B

A

C

i1 +

i3 I2

V1 _ i1 F

R4

+ V2 _

i3

R3

i3 E

R5

D

3.- Se marcan todos los puntos de conexión con una letra. 4.- Se obtienen las ecuaciones de los nodos o puntos de conexión que tengan tres o más conexiones. Nodo B: i1 – i2 – i3 = 0 . . . ecuación ( 1 ) Nodo E: i2 + i3 – i1 = 0 . . . ecuación ( 2 ) 5.- se obtienen las ecuaciones de voltaje de cada lazo cerrado del circuito. Lazo ABCDEFA -V1 + VR1 + VR2 + V2 + VR5 + VR4 = 0 - V1 + i1R1 + i3R2 + V2 + i3R5 + i1R4 = 0 - 30 + 10i1 + 15i3 + 20 + 12i3 + 33i1 = 0 - 10 + 43i1 + 27i3 = 0 . . . ecuación ( 3 ) Lazo ABEFA - V1 + VR1 + VR3 + VR4 = 0 - V1 + i1R1 + i2R3 + i1R4 = 0 - 30 + 10i1 + 22i3 + 33i1 = 0 - 30 + 43i1 + 22i2 = 0 . . . ecuación ( 4 ) Lazo BCDEB 78

VR2 + V2 + VR5 – VR3 = 0 i3R2 + V2 + i3R5 – i2R3 = 0 15i3 + 20 + 12i3 – 22i2 = 0 27i3 + 20 – 22i2 = 0 . . . ecuación ( 5 ) 6.- Se escriben las ecuaciones obtenidas. i1 – i2 – i3 = 0

. . . ecuación ( 1 )

i2 + i3 + i1 = 0

. . . ecuación ( 2 )

- 10 + 43i1 + 27i3 = 0

. . . ecuación ( 3 )

- 30 + 43i1 + 22i2 = 0

. . . ecuación ( 4 )

27i3 – 22i2 + 20 = 0

. . . ecuación ( 5 )

7.- Se resuelven las ecuaciones. Se despeja i1 de la ecuación ( 1 ) i1 – i2 – i3 = 0 i1 = i2 + i3 . . . ecuación ( 6 ) Se sustituye ecuación ( 6 ) en la ecuación ( 3 ) - 10 + 43i1 + 27i3 = 0 - 10 + 43(i2 + i3) + 27i3 = 0 - 10 + 43i2 + 43i3 + 27i3 = 0 - 10 + 43i2 + 70i3 = 0 . . . ecuación ( 7 ) Despejando i2 de la ecuación ( 7

. . . ecuación ( 8 ) Despejando i2 de la ecuación ( 5 )

. . . ecuación ( 9 ) Igualando ecuación ( 8 ) y ( 9 ) 79

i2 = i2 . 22(10 – 70i3) = 43(20 + 27i3) 220 – 1540i3 = 860 + 1161i3 - 1540i3 – 1161i3 = 860 - 220 - 2701i3 = 640 - i3 = 640 / 270 - i3 = 0.236 mA. i3 = - 0.236 mA. El signo ( - ) nos indica que el sentido tomado para la corriente i3 no es el correcto, sino al contrario. Sustituyendo el valor de i3 en la ecuación ( 8 )

i2 = 0.616 mA. Sustituyendo el valor de i2 e i3 en la ecuación ( 1 ).

i1 – i2 – i3 = 0 i1 – 0.619 mA – ( -0.236 mA) = 0 i1 – 0.619 mA + 0.236 mA = 0 i1 – 0.383 mA = 0 i1 = 0.383 mA. Cambiando el sentido de la corriente i3 en el circuito.

80

R1

R2 B

A

C

i1 +

i3 I2

V1 _ i1 F

R4

+ V2 _

i3

R3

i3 E

R5

D

8.- Por ley de Ohm se encuentran las caídas de tensión en cada resistencia. VR1 = i1·R1 = (0.383 mA)(10 KΩ) = 3.83 V. VR2 = i3·R2 = (0.236 mA)(15 KΩ) = 3.54 V. VR3 = i2·R3 = (0.619 mA)(22 KΩ) = 13.61 V. VR4 = i1·R4 = (0.383 mA)(33 KΩ) = 12.63 V. VR5 = i3·R5 = (0.236 mA)(12 KΩ) = 2.83 V. 9.- Comprobamos los voltajes en el lazo ABCDEFA - V1 + VR1 – VR2 + V2 – VR5 + VR4 = 0 - 30 V + 3.83 V – 3.54 V + 20 V – 2.83 V + 12.63 V = 0 0.09 = 0

Observamos que si se cumple la ley de Kirchhoff de los voltajes.

Comprobar los lazos ABEFA y BCDEB.

81

EJERCICIOS PROPUESTOS De los siguientes circuitos hallar su corriente y voltaje de cada resistencia. Ejercicio 1:

R1

R2

V1 = 25 V V2 = 40 V + V1 _

+ V2 _

R3

R4

R1 = 220 KΩ R2 = 56 KΩ R3 = 120 KΩ R4 = 47 KΩ R5 = 22 KΩ

R5

Ejercicio 2:

V1 = 60 V V VT

T

+ _ R1

R2

R3

R4

R5

R1 = 100 KΩ R2 = 150 KΩ R3 = 220 KΩ R4 = 180 KΩ R5 = 120 KΩ

82

Ejercicio 3:

R1

V = 30 V

R2

R1 = 1 KΩ R2 = 5.6 KΩ R3 = 2.2 KΩ R4 = 680 Ω

VVT + T

_

R4

R3

Ejercicio 4:

V1 = 80 V V

T

+ _

R1

R2

R3

R1 = 120 KΩ R2 = 120 KΩ R3 = 120 KΩ

83

Ejercicio 5:

R1

R2

V1 = 45 V

R3

V

R1 = 22 KΩ R2 = 1.5 KΩ R3 = 1.2 KΩ R4 = 4.7 KΩ R5 = 5.6 KΩ R6 = 3.3 KΩ

T

V +

T _

R5

R4

Ejercicio 6:

R1

R2

V1 = 50 V V2 = 50 V +

V1 _

+ V2 _

R3

R4

R1 = 10 KΩ R2 = 12 KΩ R3 = 18 KΩ R4 = 22 KΩ R5 = 39 KΩ

R5

84