LEYES DE LOS CHOQUES Introducción y Objetivo: En esta práctica se estudiará la conservación del Ã−mpetu o momento lineal y de la energÃ−a en diferentes tipos de colisiones. La conservación del momento lineal (p= m·v) es un concepto fÃ−sico muy importante. Sin embargo, este experimento es difÃ−cil de realizar en un laboratorio fÃ−sico debido a la influencia de las fuerzas de rozamiento. Un carril neumático es uno de los mejores métodos para investigar el momento lineal. Unos “coches” o planeadores de aluminio deslizando sobre una corriente de aire que sale del carril, elimina las fuerzas de rozamiento, condición indispensable para la conservación del momento lineal o Ã−mpetu. En ausencia de rozamiento y otras fuerzas externas, el momento lineal de un sistema de dos planeadores se conservará durante la colisión de los dos planeadores. Gracias a este montaje, el momento lineal total del sistema será el mismo antes y después del choque. Midiendo las velocidades de los “coches” de iguales y de diferentes masas antes y después de la colisión, y asÃ− se puede investigar la conservación del Ã−mpetu. Además, si el choque es perfectamente elástico, toda la energÃ−a acumulada durante la deformación de los cuerpos se recupera cuando vuelven a su forma original. Las energÃ−as cinéticas antes y después del choque son iguales. Material: • Carril neumático de 2m de largo • Soplador eléctrico • Dos fotopuertas • Ordenador Apple Macintosh • Interfaz MacTimer • Dos planeadores de aluminio anodizado, con una masa de 180±1 g • Cuatro pesas de 50 g para los planeadores • Dos banderas de 100 mm de largo • Dos bandas de goma parachoques • Lámina parachoques • Tubo con cera • Aguja

1

Parte experimental: • - Choque elástico (uno de los planeadores en reposo) • Se sitúa un planeador con parachoques en reposo, v2 = 0, entre las dos fotopuertas aproximadamente en el centro del carril. • Se coloca otro planeador también con parachoques, en un extremo del carril, a la izquierda del primero y se impulsa contra el planeador en reposo (ambos han de estar adecuadamente equilibrados). • Se preparan las dos fotopuertas para medir el tiempo de tránsito de cada planeador. Se elige la derecha como dirección positiva y se miden las velocidades (magnitud y sentido). • En la Tabla 1 se anotan los valores de las masas y las velocidades de cada planeador antes y después de la colisión y se calculan los valores del momento y la energÃ−a cinética inicial y final. Se empieza con el planeador 1 cargado con 200g y se van tomando las velocidades. Se va reduciendo la carga y se repite el proceso con el planeador 2. Planeador 1 = 180g + 30g (sin pesas adicionales) Planeador 2 = 180g + 30g (sin pesas adicionales) Tabla 1: Velocidades de los planeadores antes y después de la colisión variando la masa.

m1 (g)

m2 (g)

v1 (m/s)

v2 (m/s)

v'1 (m/s)

v'2 (m/s)

+200

+0

0.5811

0.0000

0.5530

0.7331

+100

+0

0.4107

0.0000

0.0000

0.3250

+0

+0

0.5305

0.0000

0.1445

0.2369

+0

+200

0.6353

0.0000

-0.3639

0.2680

+0

+100

0.6136

0.0000

-0.2905

0.1811 2

Se calcula el Ã−mpetu después de la colisión p' =p1'+ p2' y antes de la colisión p= p1 + p2 para realizar la representación gráfica. (Sabiendo que pi = mi·vi ). Gráfica 1:à mpetu antes (p) y después (p') de la colisión de los planeadores. Ajuste por mÃ−nimos cuadrados i) Se toman los datos necesarios de la Tabla 1 (se considera a “p” como variable “x” y a “p'” como variable “y”) p1 (kg·m/s) p2(kg·m/s) p1'(kg·m/s) p2'(kg·m/s) 0.238 0.000 0.227 0.154 0.127 0.000 0.000 0.068 0.111 0.000 0.030 0.050 0.133 0.000 -0.076 0.110 0.129 0.000 -0.061 0.056 ii) Se calculan los siguientes valores (siendo pâ ¡x , p'â ¡y) â

x = 0.738

â

x2 = 0.119424

â

y = 0.558

â

y2 = 0.157366

â

x·y = 0.112071

p (kg·m/s) 0.238 0.127 0.111 0.133 0.129

p'(kg·m/s) 0.381 0.068 0.080 0.034 -0.005

iii) A continuación: Ï x=â

x2 - 1/N (â

x)2 = 0.0104952

Ï y=â

y2 - 1/N (â

y)2 = 0.0950932

Ï x·y = â

x·y - 1/N (â

x) (â

y) = 0.0297102

iv) Los parámetros de ajuste serán: m = Ï x·y /Ï x = 2.830836954 n = [â

y-m· â

x] / N = -0.306231534

v)Las varianzas serán: s2m = s2y /Ï x s2n = s2y/N , siendo s2y = 1/(N-2) · [Ï y -(Ï 2xy/Ï x)] = 3.662822643 · 10-3 s2m = 0.348999794 ; sm = 0.588217471 s2n = 7.325645286 · 10-4

3

vi) El coeficiente de correlación lineal será: r = Ï xy/ (Ï x · Ï y)1/2 r = 0.94044951 ** La ecuación de la recta será: y = 2.830836954· x - 0.306231534 Para trazar la recta de ajuste: • Se toman las coordenadas de dos puntos espaciados P1* x = 0.120 P2* x = 0.140 • Sustituyendo en la ecuación de la recta se obtienen los valores de y: y1 = 0.033 y2 = 0.090 P1 (0.120, 0.033) P2 (0.140, 0.090) • Se marcan los puntos y se traza la recta que los une. El valor de la pendiente es: m â

2.831 , y su incertidumbre es: Î m â

0.6.

AsÃ−, m = 2.4 ± 0.6 Observando el valor de la pendiente, se aprecia que no se ajusta al valor de 1, es decir, a la conservación del Ã−mpetu. Debe estudiarse ahora la conservación de la energÃ−a, sabiendo que: E =1/2·m1·v12 + 1/2·m2·v22 ; E' =1/2·m1·v1'2 + 1/2·m2·v2'2 Gráfica 2:EnergÃ−a antes (E) y después (E') de la colisión de los planeadores. Ajuste por mÃ−nimos cuadrados i) Se toman los datos necesarios de la Tabla 1 (se considera a “E” como variable “x” y a “ E' ” como variable “y”) E

E'

(J)

(J)

0.069

0.119

0.026

0.011

0.030

8.090·10-3 4

0.042

0.029

0.040

0.014

ii) Se calculan los siguientes valores (siendo Eâ ¡x , E'â ¡y) â

x = 0.207

â

x2 = 9.701·10-3

â

y = 0.18109

â

y2 = 0.015384448

â

x·y = 0.0105177

iii) A continuación: Ï x=â

x2 - 1/N (â

x)2 = 1.1312·10-3

Ï y=â

y2 - 1/N (â

y)2 = 8.825731·10-3

Ï x·y = â

x·y - 1/N (â

x) (â

y) = 3.020274·10-3

iv) Los parámetros de ajuste serán: m = Ï x·y /Ï x = 2.670238685 n = [â

y-m· â

x] / N = -0.074329881

v)Las varianzas serán: s2m = s2y /Ï x s2n = s2y/N , siendo s2y = 1/(N-2) · [Ï y -(Ï 2xy/Ï x)] = 2.538931731 · 10-4 s2m = 0.224445874 ; sm = 0.473757188 s2n = 5.077863462 · 10-5 vi) El coeficiente de correlación lineal será: r = Ï xy/ (Ï x · Ï y)1/2 r = 0.955970413 ** La ecuación de la recta será: y = 2.670238685· x - 0.074329881 Para trazar la recta de ajuste: • Se toman las coordenadas de dos puntos espaciados

5

P1* x = 0.025 P2* x = 0.065 • Sustituyendo en la ecuación de la recta se obtienen los valores de y: y1 = -7.574·10-3 y2 = 0.099 P1 (0.025, -7.574·10-3) P2 (0.065, 0.099) • Se marcan los puntos y se traza la recta que los une. El valor de la pendiente es: m â

2.670 , y su incertidumbre es: Î m â

0.5.

AsÃ−, m = 2.7 ± 0.5 Observando el valor de la pendiente, se aprecia que no se ajusta al valor de 1, es decir, a la conservación del Ã−mpetu. Existe una pequeña fuerza de fricción que está presente durante el experimento. Esta fuerza introduce en las medidas un error aleatorio. El efecto de esta fuerza puede detectarse en el análisis gráfico en cuanto a que el valor de la pendiente no se ajusta totalmente a la conservación del Ã−mpetu o de la energÃ−a cinética. Por lo tanto, centrándose en los resultados experimentales no se puede asegurar que el choque es completamente elástico. AsÃ−, el cambio en la energÃ−a cinética se debe a errores como la fuerza de rozamiento (debida a la capa de aire que mantiene a cada planeador) o como defectos del montaje experimental o deficiencias en la ejecución de la experiencia. • - Choque elástico (los dos planeadores en movimiento) • Con los dos planeadores en movimiento y en direcciones opuestas, se lanza uno contra el otro desde los extremos del carril de forma que la colisión se produzca entre las dos fotopuertas. • Se repiten las medidas del apartado 1.1 variando las masas. Se completa una tabla con los resultados (Tabla 2). Planeador 1 = 180g + 30g (sin pesas adicionales) Planeador 2 = 180g + 30g (sin pesas adicionales) Tabla 2: Velocidades de los planeadores antes y después de la colisión variando la masa.

m1 (g)

m2 (g)

v1 (m/s)

v2 (m/s)

v'1 (m/s)

v'2 (m/s)

+0

+0

0.6496

-0.3877

-0.1356

0.3850

+200

+0

0.5160

-0.4537

-0.1407

0.4047

+100

+0

0.5660

-0.4529

-0.1719

0.4067

6

+0

+200

0.5792

-0.4545

-0.5125

0.2219

+0 +100 0.6814 -0.4240 -0.3575 0.3116 Se calcula el Ã−mpetu después de la colisión p' =p1'+ p2' y antes de la colisión p= p1 + p2 para realizar la representación gráfica. (Sabiendo que pi = mi·vi ). Gráfica 3: à mpetu antes (p) y después (p') de la colisión de los planeadores. Ajuste por mÃ−nimos cuadrados i) Se toman los datos necesarios de la Tabla 2 (se considera a “p” como variable “x” y a “p'” como variable “y”) p1 (kg·m/s) p2(kg·m/s) p1'(kg·m/s) p2'(kg·m/s) 0.136 -0.081 -0.028 0.081 0.212 -0.095 -0.058 0.166 0.175 -0.095 -0.053 0.126 0.122 0.186 -0.108 0.047 0.143 0.131 -0.075 0.065 ii) Se calculan los siguientes valores (siendo pâ ¡x , p'â ¡y) â

x = 0.834

â

x2 = 0.193054

â

y = 0.163

â

y2 = 0.023623

â

x·y = -1.37·10-4

p (kg·m/s) 0.055 0.117 0.080 0.308 0.274

p'(kg·m/s) 0.053 0.108 0.073 -0.061 -0.010

iii) A continuación: Ï x=â

x2 - 1/N (â

x)2 = 0.0539428

Ï y=â

y2 - 1/N (â

y)2 = 0.0183092

Ï x·y = â

x·y - 1/N (â

x) (â

y) = -0.0273254

iv) Los parámetros de ajuste serán: m = Ï x·y /Ï x = -0.506562507 n = [â

y-m· â

x] / N = 0.117094626

v)Las varianzas serán: s2m = s2y /Ï x s2n = s2y/N , siendo s2y = 1/(N-2) · [Ï y -(Ï 2xy/Ï x)] = 1.489058958 · 10-3 s2m = 0.027604406 ; sm = 0.166145737 7

s2n = 2.978117916 · 10-4 vi) El coeficiente de correlación lineal será: r = Ï xy/ (Ï x · Ï y)1/2 r = -0.869491019 ** La ecuación de la recta será: y = -0.506562507· x + 0.117094626 Para trazar la recta de ajuste: • Se toman las coordenadas de dos puntos espaciados P1* x = 0.020 P2* x = 0.300 • Sustituyendo en la ecuación de la recta se obtienen los valores de y: y1 = 0.107 y2 = -0.035 P1 (0.020, 0.107) P2 (0.300, -0.035) • Se marcan los puntos y se traza la recta que los une. El valor de la pendiente es: m â

-0.507 , y su incertidumbre es: Î m â

0.2.

AsÃ−, m = -0.5 ± 0.2 Observando el valor de la pendiente, se aprecia que no se ajusta totalmente (aunque más que en el caso anterior) al valor de 1, es decir, a la conservación del Ã−mpetu. Debe estudiarse ahora la conservación de la energÃ−a, sabiendo que: E =1/2·m1·v12 + 1/2·m2·v22 ; E' =1/2·m1·v1'2 + 1/2·m2·v2'2 Gráfica 4:EnergÃ−a antes (E) y después (E') de la colisión de los planeadores. Ajuste por mÃ−nimos cuadrados i) Se toman los datos necesarios de la Tabla 2 (se considera a “E” como variable “x” y a “ E' ” como variable “y”) E

E'

(J)

(J)

0.060

0.017

0.076

0.021 8

0.071

0.022

0.078

0.038

0.077

0.028

ii) Se calculan los siguientes valores (siendo Eâ ¡x , E'â ¡y) â

x = 0.362

â

x2 = 0.02643

â

y = 0.126

â

y2 = 3.442·10-3

â

x·y = 9.298·10-3

iii) A continuación: Ï x=â

x2 - 1/N (â

x)2 = -2.212·10-4

Ï y=â

y2 - 1/N (â

y)2 = -2.668·10-4

Ï x·y = â

x·y - 1/N (â

x) (â

y) = -1.756·10-4

iv) Los parámetros de ajuste serán: m = Ï x·y /Ï x = 0.793851717 n = [â

y-m· â

x] / N = -0.032274864

v)Las varianzas serán: s2m = s2y /Ï x s2n = s2y/N , siendo s2y = 1/(N-2) · [Ï y -(Ï 2xy/Ï x)] = -4.246654611 · 10-5 s2m = 0.191982577 ; sm = 0.438158164 s2n = -8.493309222·10-6 vi) El coeficiente de correlación lineal será: r = Ï xy/ (Ï x · Ï y)1/2 r = 0.722834774 ** La ecuación de la recta será: y = 0.793851717· x - 0.032274864 Para trazar la recta de ajuste:

9

• Se toman las coordenadas de dos puntos espaciados P1* x = 0.050 P2* x = 0.080 • Sustituyendo en la ecuación de la recta se obtienen los valores de y: y1 = 7.418·10-3 y2 = 0.031 P1 (0.050, 7.418·10-3) P2 (0.080, 0.031) • Se marcan los puntos y se traza la recta que los une. El valor de la pendiente es: m â

0.794 , y su incertidumbre es: Î m â

0.4.

AsÃ−, m = 0.8 ± 0.4 Observando el valor de la pendiente, se aprecia que se ajusta bastante (teniendo en cuenta su incertidumbre) al valor de 1, es decir, a la conservación del Ã−mpetu. • - Choque plástico Uno de los planeadores llevará un tubo con cera y el otro una aguja. (Ambos planeadores deben estar adecuadamente equilibrados). • Con uno de los planeadores en reposo, v2 = 0, situado entre las fotopuertas, se lanza el otro desde uno de los extremos del carril. Se toma la velocidad inicial(v1) y final (v') que será la misma para los dos planeadores (se tomará la velocidad dada por el paso de la primera bandera) • Se repiten las medidas de los apartados anteriores variando las masas. (Los resultados se anotan en la Tabla 3). Planeador 1 = 180g + 30g (sin pesas adicionales) Planeador 2 = 180g + 30g (sin pesas adicionales) Tabla 3: Velocidades de los planeadores antes y después de la colisión variando la masa.

m1 (g)

m2 (g)

v1 (m/s)

v2 (m/s)

v' (m/s)

+200

+0

0.5631

0.0000

0.3367

+100

+0

0.6755

0.0000

0.3654

+0

+0

0.7383

0.0000

0.3308

+0

+200

0.7970

0.0000

0.1814

10

+0 +100 0.7986 0.0000 0.2250 Se calcula el Ã−mpetu después de la colisión p' =p1'+ p2' y antes de la colisión p= p1 + p2 para realizar la representación gráfica. (Sabiendo que pi = mi·vi ). Gráfica 5: à mpetu antes (p) y después (p') de la colisión de los planeadores. Ajuste por mÃ−nimos cuadrados i) Se toman los datos necesarios de la Tabla 3 (se considera a “p” como variable “x” y a “p'” como variable “y”) p1 (kg·m/s) p2(kg·m/s) p'(kg·m/s) p (kg·m/s) p'(kg·m/s) 0.231 0.000 0.209 0.231 0.209 0.209 0.000 0.190 0.209 0.190 0.155 0.000 0.139 0.155 0.139 0.167 0.000 0.112 0.167 0.112 0.168 0.000 0.117 0.168 0.117 ** Nota: Sólo hay un p' ya que después de la colisión, los dos cuerpos se comportan como uno solo de masa la suma de m1 y m2 y con una única velocidad (v') ii) Se calculan los siguientes valores (siendo pâ ¡x , p'â ¡y) â

x = 0.93

â

x2 = 0.17718

â

y = 0.767

â

y2 = 0.125335

â

x·y = 0.147894

iii) A continuación: Ï x=â

x2 - 1/N (â

x)2 = 4.2·10-3

Ï y=â

y2 - 1/N (â

y)2 = 7.6772·10-3

Ï x·y = â

x·y - 1/N (â

x) (â

y) = 5.232·10-3

iv) Los parámetros de ajuste serán: m = Ï x·y /Ï x = 1.245714286 n = [â

y-m· â

x] / N = -0.078302857

v)Las varianzas serán: s2m = s2y /Ï x s2n = s2y/N , siendo s2y = 1/(N-2) · [Ï y -(Ï 2xy/Ï x)] = 3.865409524 · 10-4

11

s2m = 0.09203356 ; sm = 0.303370334 s2n = 7.730819048· 10-5 vi) El coeficiente de correlación lineal será: r = Ï xy/ (Ï x · Ï y)1/2 r = 0.921386114 ** La ecuación de la recta será: y = 1.245714286· x - 0.078302857 Para trazar la recta de ajuste: • Se toman las coordenadas de dos puntos espaciados P1* x = 0.100 P2* x = 0.240 • Sustituyendo en la ecuación de la recta se obtienen los valores de y: y1 = 0.046 y2 = 0.221 P1 (0.100, 0.046) P2 (0.240, 0.221) • Se marcan los puntos y se traza la recta que los une. El valor de la pendiente es: m â

1.246 , y su incertidumbre es: Î m â

0.3.

AsÃ−, m = 1.2 ± 0.3 Observando el valor de la pendiente, se aprecia que se ajusta bastante al valor de 1, es decir, a la conservación del Ã−mpetu. Debe estudiarse ahora la conservación de la energÃ−a, sabiendo que: E =1/2·m1·v12 + 1/2·m2·v22 ; E' =1/2·m1·v1'2 + 1/2·m2·v2'2 Gráfica 6:EnergÃ−a antes (E) y después (E') de la colisión de los planeadores. Ajuste por mÃ−nimos cuadrados i) Se toman los datos necesarios de la Tabla 3 (se considera a “E” como variable “x” y a “ E' ” como variable “y”) E

E'

(J)

(J)

0.065

0.035 12

0.071

0.035

0.057

0.023

0.067

0.010

0.067

0.013

ii) Se calculan los siguientes valores (siendo Eâ ¡x , E'â ¡y) â

x = 0.327

â

x2 = 0.021493

â

y = 0.116

â

y2 = 3.248·10-3

â

x·y = 7.612·10-3

iii) A continuación: Ï x=â

x2 - 1/N (â

x)2 = 1.072·10-4

Ï y=â

y2 - 1/N (â

y)2 = 5.568·10-4

Ï x·y = â

x·y - 1/N (â

x) (â

y) = 2.56·10-5

iv) Los parámetros de ajuste serán: m = Ï x·y /Ï x = 0.23880597 n = [â

y-m· â

x] / N = 7.582089552·10-3

v)Las varianzas serán: s2m = s2y /Ï x s2n = s2y/N , siendo s2y = 1/(N-2) · [Ï y -(Ï 2xy/Ï x)] = 1.835621891· 10-4 s2m = 1.712333853 ; sm = 1.30856175 s2n = 3.671243782·10-5 vi) El coeficiente de correlación lineal será: r = Ï xy/ (Ï x · Ï y)1/2 r = -0.9849036 ** La ecuación de la recta será: y = 0.23880597· x + 7.582089552·10-3 13

Para trazar la recta de ajuste: • Se toman las coordenadas de dos puntos espaciados P1* x = 0.025 P2* x = 0.075 • Sustituyendo en la ecuación de la recta se obtienen los valores de y: y1 = 0.014 y2 = 0.025 P1 (0.025, 0.014) P2 (0.075, 0.025) • Se marcan los puntos y se traza la recta que los une. Observando los resultados de E y E' se muestran las fracciones aproximadas de EnergÃ−a cinética transformada en otro tipo de energÃ−a tras la colisión: EnergÃ−a transformada 46% 51% 60% 85% 81% EnergÃ−a transformada (media) â

65% de la EnergÃ−a cinética inicial.

LEY DE CONSERVACIà N DE LA ENERGà A MECÔNICA Introducción y Objetivo: En un sistema conservativo ideal, la energÃ−a se transfiere entre energÃ−a cinética y potencial. En tal sistema, la suma de la energÃ−a cinética y la energÃ−a potencial es constante, tal y como se expresa en la ley de la energÃ−a mecánica. Sin embargo, en los sistemas reales, el rozamiento está siempre presente y asÃ−, este sistema no es conservativo. Es decir, alguna energÃ−a se pierde como resultado del trabajo hecho en contra de estas fuerzas de rozamiento. Incluso asÃ−, la energÃ−a total se conserva. El objetivo de esta práctica es la comprobación de la ley de conservación de la energÃ−a mecánica mediante el disco de Maxwell. Material: • Disco de Maxwell (m=530g, radio (sin hilo)= 2.75mm, radio (con hilo)= 3.00 mm) • Cronómetro digital • Puerta fotoeléctrica • Dispositivo y cable disparador • Regla graduada

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Parte experimental: Tabla 1: Valores de t y Πt en función de la altura. Altura (s)

Tiempo (t)

(mm)

(s)

Tiempo medio (s)

6.416

Î t

Î t medio

(s)

(s)

0.298 6.336

0.305

5.663

400

5.704

5.745

500

6.376 300

5.361

5.353

5.198

4.179

5.071

2.920

0.352

0.372

0.374

0.376 4.081

3.983 100

0.355 0.349

0.302

4.944 200

0.329

0.328

5.344

350

0.330

0.459

0.464

0.469 2.903

2.885

0.640

0.638

0.636

• • 1 m · g • Partiendo de la ecuación : s(t) = ---- · -------------- · t2 2 m + (Iz/r2) se puede comprobar si la energÃ−a mecánica se conserva siempre y cuando ésta se cumpla. Tomando logaritmos a ambos lados de la igualdad se puede 15

linealizar la ecuación representando en el eje de abscisas la altura (s) y en el eje de ordenadas el tiempo (t). Para que el método gráfico confirme la conservación de la energÃ−a, el valor de la pendiente de be ajustarse a 1. Gráfica 1:Tiempo (t) frente a longitud (s). Ajuste por mÃ−nimos cuadrados i) Se toman los datos necesarios de la Tabla 1 (se considera a “log s” como variable “x” y a “log t” como variable “y”) log s

log t

(mm)

(s)

2.699

0.805

2.602

0.756

2.544

0.729

2.477

0.705

2.301

0.611

2.000

0.463

ii) Se calculan los siguientes valores (siendo log sâ ¡x , log tâ ¡y) â

x = 14.623

â

x2 = 35.957071

â

y = 4.069

â

y2 = 2.835717

â

x·y = 10.072579

iii) A continuación: Ï x=â

x2 - 1/N (â

x)2 = 0.318382833

Ï y=â

y2 - 1/N (â

y)2 = 0.076256833

Ï x·y = â

x·y - 1/N (â

x) (â

y) = 0.155747833

iv) Los parámetros de ajuste serán: m = Ï x·y /Ï x = 0.489184142

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n = [â

y-m· â

x] / N = -0.514056618

v)Las varianzas serán: s2m = s2y /Ï x s2n = s2y/N , siendo s2y = 1/(N-2) · [Ï y -(Ï 2xy/Ï x)] = 1.686573508· 10-5 s2m = 5.29731296 · 10-5 ; sm = 7.278264189 · 10-3 s2n = 2.810955847·10-6 vi) El coeficiente de correlación lineal será: r = Ï xy/ (Ï x · Ï y)1/2 r = 0.999557561 ** La ecuación de la recta será: y = 0.489184142· x - 0.514056618 Para trazar la recta de ajuste: • Se toman las coordenadas de dos puntos espaciados P1* x = 1.500 P2* x = 2.650 • Sustituyendo en la ecuación de la recta se obtienen los valores de y: y1 = 0.220 y2 = 0.782 P1 (1.500, 0.220) P2 (2.650, 0.782) • Se marcan los puntos y se traza la recta que los une. El valor de la pendiente es: m â El valor esperado (mâ

0.5 y su incertidumbre es Î m â

0.7·10-3

1) no se encuentra entre el intervalo 0.5-0.7·10-3 , 0.5+0.7·10-3

m· g ds • Utilizando la ecuación v(t) = ------------- · t = -------m + (Iz/r2) dt se puede hacer una estimación del valor de Iz; para ello se representa gráficamente “v” frente a “t”. Gráfica 2:Velocidad (v) frente al tiempo (t). Ajuste por mÃ−nimos cuadrados

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i) Se toman los datos necesarios de la Tabla 1 hallándose las velocidades correspondientes (se considera a “t” como variable “x” y a “v” como variable “y”) Tiempo

Velocidad

(s)

(m/s)

6.527

7.66·10-2

5.869

6.82·10-2

5.529

6.33·10-2

5.258

5.71·10-2

4.313

4.64·10-2

3.222

3.10·10-2

ii) Se calculan los siguientes valores (siendo tâ ¡x , vâ ¡y) â

x = 30.718

â

x2 = 164.246548

â

y = 0.3426

â

y2 = 0.02090006

â

x·y = 1.8504567

iii) A continuación: Ï x=â

x2 - 1/N (â

x)2 = 6.980627334

Ï y=â

y2 - 1/N (â

y)2 = 1.3376·10-3

Ï x·y = â

x·y - 1/N (â

x) (â

y) = 0.0964589

iv) Los parámetros de ajuste serán: m = Ï x·y /Ï x = 0.013818084 n = [â

y-m· â

x] / N = -0.013643987

v)Las varianzas serán: s2m = s2y /Ï x s2n = s2y/N , siendo s2y = 1/(N-2) · [Ï y -(Ï 2xy/Ï x)] = 1.180686605· 10-6

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s2m = 1.691376073· 10-7 ; sm = 4.112634282 · 10-4 s2n = 1.967811008·10-7 vi) El coeficiente de correlación lineal será: r = Ï xy/ (Ï x · Ï y)1/2 r = 0.998233058 ** La ecuación de la recta será: y = 0.013818084· x - 0.013643987 Para trazar la recta de ajuste: • Se toman las coordenadas de dos puntos espaciados P1* x = 2.000 P2* x = 6.000 • Sustituyendo en la ecuación de la recta se obtienen los valores de y: y1 = 1.400·10-2 y2 = 6.926·10-2 P1 (2.000, 1.400·10-2 ) P2 (6.000, 6.926·10-2) • Se marcan los puntos y se traza la recta que los une. El valor de la pendiente es: m â

0.0140 y su incertidumbre es Î m â

0.0004

m·g Fijándose en la ecuación : v(t) = ------------- · t se deduce que: m + (Iz/r2) m·g m (pendiente)= -------------- , y por lo tanto las unidades de la pendiente son las de m + (Iz/r2) una aceleración, es decir, m/s2. De esto, se puede deducir el valor de Iz: 0.530·9.81 5.199 4.679·10-5 0.014 = -------------------- ; 0.014= -------------------------- ; 0.014= ---------------- ;

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0.530+(Iz/9·10-6) (4.77·10-6+Iz)/9·10-6 4.77·10-6+Iz Iz â

3.34·10-3 kg·m2

• Se elaborará una gráfica energÃ−a - tiempo. E= Ep+Ec Ec=Et+Er ; Ec=1/2·(m+Iz/r2)·v2(t) Et =1/2·m·v2(t) Er= 1/2·IzÂ·Ï 2(t) Ep=-m·g·s(t) Gráfica 3:EnergÃ−a (E) frente al tiempo (t). Ajuste por mÃ−nimos cuadrados i) Se toman los datos necesarios de la Tabla 1 hallándose las velocidades correspondientes (se considera a “t” como variable “x” y a “E” como variable “y”) Tiempo

EnergÃ−a

(s)

(J)

6.527

-1.243

5.869

-0.950

5.529

-0.809

5.258

-0.688

4.313

-0.374

3.222

-0.076

ii) Se calculan los siguientes valores (siendo tâ ¡x , Eâ ¡y) â

x = 30.718

â

x2 = 164.246548

â

y = -4.14

â

y2 = 3.721026

â

x·y = -23.63701

iii) A continuación:

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Ï x=â

x2 - 1/N (â

x)2 = 6.980627334

Ï y=â

y2 - 1/N (â

y)2 = 0.864426

Ï x·y = â

x·y - 1/N (â

x) (â

y) = -2.44159

iv) Los parámetros de ajuste serán: m = Ï x·y /Ï x = -0.349766558 n = [â

y-m· â

x] / N = 1.100688192

v)Las varianzas serán: s2m = s2y /Ï x s2n = s2y/N , siendo s2y = 1/(N-2) · [Ï y -(Ï 2xy/Ï x)] = 2.609865962· 10-3 s2m = 3.738726979· 10-4 ; sm = 0.019335788 s2n = 4.349776603·10-4 vi) El coeficiente de correlación lineal será: r = Ï xy/ (Ï x · Ï y)1/2 r = -0.993943276 ** La ecuación de la recta será: y = -0.349766558· x +1.100688192 Para trazar la recta de ajuste: • Se toman las coordenadas de dos puntos espaciados P1* x = 3.500 P2* x = 6.000 • Sustituyendo en la ecuación de la recta se obtienen los valores de y: y1 = -0.123 y2 = -0.998 P1 (2.000, 1.400·10-2 ) P2 (6.000, 6.926·10-2) • Se marcan los puntos y se traza la recta que los une. El valor de la pendiente no se ajusta suficientemente a cero. Como conclusión, se observa que los resultados experimentales para demostrar la conservación de la energÃ−a mecánica no son los más deseados.

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