CINEMATICA DE LOS FLUIDOS 1.

DEFINICION Estudia el movimiento de los fluidos sin considerar las fuerzas que entran en juego; en otros palabras estudia la forma del movimiento.

2.

METODOS DE ESTUDIO Pueden utilizarse dos métodos diferentes que dependen de la acción de las variables adoptados. Estos métodos son el de Lagrange y el Euler. a) Variable de Lagrange: son las coordenadas x, y, z de una partícula en el interior “t” con respecto a un sistema de de ejes cartesianos Ox, Oy, Oz. El movimiento de la partícula es dos iniciales en el instante “to”. Se denomina “trayectoria” al lugar geométrico de las posiciones de la partícula en el transcurso del tiempo. b) Variables de Euler : Son las proyecciones u, v, w del vector velocidad V de la partícula que pasa por un punto M(x, y, z) en el instante “t”. El método de Euler es mas cómodo porque para los elementos mas importantes en la practica (movimientos permanentes), u, v, w son independientes del tiempo y además los vectores velocidad forman un campo al que se le aplican todos las propiedades de los campos vectoriales.

3.

ESTUDIO DE CAMPOS DE VELOCIDADES a) Línea d corriente : es una línea tangente en todos sus puntos al vector velocidad. En general el vector velocidad es función del tiempo, por consiguiente las líneas de corriente se deforman con este y no las trayectorias. La ecuación de las líneas de corriente la obtendremos comparando la definición que hemos dado para la línea de corriente con la interpretación geométrica de la derivada.

y

y

T

T

línea de corriente

y = f(x)

v

ν

dy

µ

dx x

x

Fig. a) Interpret. Geomet. De la derivada

b) Definición de línea de corriente

La figura (a) nos indica, según un teorema muy conocido del calculó diferencial que el valor de la derivada en cualquier punto de una curva es igual a la pendiente de tangente a la curva en dicho punto. La figura (b) por la definición de línea d corriente, nos indica que el vector de componentes u, v, esta sobre la tangente T al pinto P; entonces, por semejanza se triángulos tendremos: dx = dy u v En el espacio, la ecuación de líneas de corrientes será: dx dy dz = = u v w En la “w” es la componente del vector V sobre el eje z. b) Tubo de corriente: es el conjunto de corriente que se apoyan en un contorno cerrado. También se le conoce como filete de corriente. Tanto las líneas de corriente como

las trayectorias

pueden obtenerse

experimentalmente mediante la fotografía, para lo cual disemina, en el fluido en movimiento, pequeños partículas de polvo de aluminio y fotografiado con u tiempo de exposición muy corto para el caso de las líneas de corriente y con un tiempo de exposición bastante grande para el caso de las trayectorias. c) Línea de emisión: Es el lugar geométrico, en el instante “t”, de las partículas fluidas que en un instante pasaron por el punto O.

1

2 3

1, 2, 3, son trayectorias. 4, 5, son líneas de emisión.

5 t+dt

o

4 t

Si en le punto “O” se inyecta un colorante, se pueden de manifiesta las líneas de emisión. d) Circulación del vector velocidad a la largo de una curva Se denomina circulación del vector V a la largo de la curva (C) cuyo elemento de arco es ds, a la integral curvilínea del producto escalar V, ds, osea: v B

D

Γ =

ds

c

(C)

vdy + wdz

c

Si ADBEA es una curva cerrada

E

en una región dada, tendremos

A y

x

∫ V.ds = ∫ udx +

∫ V.ds =

∫

V.ds = ∫ V.ds + ∫ V.ds entonces: BEA ADBEA ADB

∫ V.ds = ∫ ADB V.ds + ∫ AEB V.ds =

0

En este caso la circulación es independiente del camino seguido para ir de A hacia B. para que esto suceda es necesario que V derive de un potencial, osea que debe cumplirse que V = Vφ

en todos los puntos en la región y que (x, y, z) sea

uniforme y con derivada continua en la región. Por consiguiente cuando el valor de la circulación solo depende de la posición d los puntos A y B y no del camino seguido por le vector V para ir de A hacia B, entonces el flujo es con potencial de velocidades y podremos escribir:

Γ AB =

∫ V.ds = ∫ udx +

AB

vdy + wdz =

AB

∫ dφ

= φB− φA =

AB

∫

AB

∂φ ∂φ ∂φ dx + ∂y+ ∂z ∂x ∂y ∂z

Identificando términos, tendremos que para los flujos potenciales se cumplirá: ∂φ ∂x

u=

; u=

∂φ ∂y

; u=

∂φ ∂z

Luego: V = gradφ Es un flujo con potencial de velocidades, en un instante dado, el vector de velocidad es, en todo punto, perpendicular a la superficie equipotencial ø (x, y, z) = cte que pasa por ese punto. En consecuencia las líneas de corriente las coordenadas polares, r, θ: Γ AB =

∫ Vr.dr +

Vθ dl = φ B − φ A =

AB

∫ dφ = ∫

v

∂φ ∂φ ∂r+ ∂θ ∂r ∂θ

Vθ

Vr

Identificando términos: Vr .dr = ∴

∂φ ∂φ ∂ r ; Vθ .rdθ = ∂θ ∂r ∂θ

∂φ Vr . = ∂r

r

θ

1∂φ ; Vθ = r ∂θ

x

En coordenadas cilíndricas (r, θ , z) las componentes de la velocidad son Vr, Vθ, w. Vθ

z

Vr R

z

θ

Vr = λ

y

∂φ ∂r

Vθ

x M

Vr

1∂φ r ∂θ

; w=

∂φ ∂z

En este caso: x = r cos θ

r

; Vθ =

; y = rsenθ

; z= z

e) Flujo potencial del vector velocidad El rotacional del vector velocidad se escribe: i

j k  ∂w ∂v  ∂u ∂w ∂ ∂ ∂ i+  V× V = =  − −  j+ ∂ x ∂ y ∂ z  ∂ y ∂ z   ∂ z ∂ x  u v z

 ∂v ∂u   k − ∂ x ∂ y  

Por otro lado para los flujos potenciales s cumple: u=

∂φ ∂x

; v=

∂φ ∂φ ; w= ∂y ∂z

Si reemplazamos estos valores en el desarrollo anterior tendremos:  ∂  ∂φ  ∂  ∂φ   ∂  ∂φ  ∂  ∂φ   ∂  ∂φ  ∂  ∂φ     i +    − V× V =   − −    j +    k ∂ y ∂ z ∂ z ∂ y ∂ z ∂ x ∂ x ∂ z ∂ x ∂ y ∂ y ∂ x                  Por consiguiente para los flujos potenciales se deberá cumplir: ∇ × V= 0 Por consiguiente para los flujos potenciales son conservativas puestos que es cumplen las condiciones necesarias y suficientes: ∇ × V= 0 ; V= ∇φ Un flujo potencial es irrotacional. 4.

ALGUNAS DEFINICIONES RELATIVAS A LOS FLUIDOS a) Flujos permanente: Son aquellas en los que los parámetros que los definen son independientes del tiempo. Estos parámetros son: la v4elocidad (3 componentes), la masa volumétrica “ρ”, la presión “p” y la temperatura (T) y solo serán función de las coordenadas x, y, z. En este caso las líneas de corriente son curvos fijas y se confunden con las trayectorias y con las líneas de emisión. b) Flujos bidimensionales: Cuando el flujo depende solo de dos coordenadas. Estos flujos pueden ser a su vez: -

Flujo planos: En los que la velocidad en un instante “t” es en todos los puntos paralela a un plano fijo.

Flujos de revolución : Alrededor de un eje “O” que se definen

-

íntegramente estudiando en un semi-plano meridiano limitado por el eje “O” c) Fuente: Es un punto en el espacio del cual sale un fluido con un gasto constante. d) Sumidero: Es una fuente negativa. e) Gasto en masa: A través de una superficie S es el valor

g m = ∫ ∫ ρ VndS s

f) Gasto en volumen o volumétrico: A través de una superficie S es el valor

v

g w = ∫ ∫ VndS

n

s

ds = elemento de superficie

Vn

S

ds = mas volumétrica n = normal al elemento dS

ds

Vn = componente normal de V respecto a dS. 5.

ACELERACION DE UNA PARTICULA FLUIDA Si V es la velocidad de la partícula, la aceleración a de la misma esta dad por

a=

dV d 2 r = dt dt 2

En la que r = xi + yj + zk V=

dx dy dz i+ j+ k dt dt dt

V = ui + vj + wk Luego: d2x d2y d 2z a= i+ j+ k dt 2 dt 2 dt 2

ó

a=

du dv dw i+ j+ k dt dt dt

Donde x (t), y (t), z (t), son las coordenadas de la partícula fluida o componentes del vector posición; u, v, w son las componentes del vector velocidad; i, j, k son los vectores unitarios. a) Derivada substancial El operador general de una derivada substancial es: D ∂ ∂ ∂ ∂ = + u + v + w Dt ∂ t ∂x ∂y ∂z La derivada substancial puede expresarse para cualquier cantidad que sea por ejemplo tanto del tiempo como de su posición en el espacio; tal es el caso por ejemplo del vector velocidad, por lo que de una manera general podemos escribir:

a =

DV ∂V ∂V ∂V ∂V = +u +v +w Dt ∂t ∂x ∂y ∂z ac. local aceleración convectiva

La aceleración entonces dos componentes, una aceleración local que depende del tiempo y otra denominada aceleración convectiva que depende de la posición de la partícula. Expliquemos la aceleración convectiva

considerando

un flujo permanente en un conducto en el que existe un

Q

convergente.

1

Tomemos 3 seccione diferentes 1, 2, 3, como el movimiento es

permanente, entonces

es

independiente del tiempo. Además a través de las tres secciones pasa el mismo caudal;

consiguiente

las

velocidades por ejemplo en el eje del conducto serán

2

distintas en las tres secciones. En el caso presente el movimiento es acelerado pero solo por estrechamiento

3

de la sección del conducto. Esta aceleración es la aceleración convectiva. Q

b) Campo de aceleraciones: Este campo se escribe: ax =

∂u ∂u ∂u ∂u + u + v + w ∂t ∂x ∂y ∂z

ay = az =

∂v ∂v ∂v ∂v + u + v + w ∂t ∂x ∂y ∂z ∂w ∂w ∂w ∂w + u + v + w ∂t ∂x ∂y ∂z

c)Expresión vectorial: vectorialmente la expresión de la aceleración se escribe: a= 6.

(

)

DV ∂ V = + V.∇ V Dt ∂t

ECUACION DE CONTINUIDAD a) Caso general La ecuación de continuidad expresa el principio de conversión de la masa. Para obtenerla consideremos dentro de un fluido continuo en movimiento, sin fuentes ni sumideros, un paralelepípedo fijo elemental de todos dx, dy, dz. La masa de fluida que entra por la cara BCEF es, en el tiempo dt: ρ udzdydt La masa fluida que sale por la cara ADGH en el mismo tiempo dt es: ∂ (ρ u)    ρ u + ∂ x .dx  dy.dz.dt La perdida de masa a través de las dos caras mencionadas será entonces: ∂ (ρ u) .dxdy.dz.dt ∂x

z

A

dx

B

c D dz

E

F

G dy H o

y

x

La perdida de masa a través de las caras ABGE y DCHF será: ∂ ( ρ v) .dxdy.dz.dt ∂y La perdida de masa a través de las caras ABCD y GEFH será: ∂ (ρ w) .dxdy.dz.dt ∂z La masa perdida a través de las caras es:

 ∂ ( ρ u ) ∂ ( ρ v) ∂ ( ρ w )  dm =  + +  .dxdy.dz.dt ∂ x ∂ y ∂ z   Por otro lado, la masa contenido por el paralelepípedo elemental en el instante t es:

ρ dx dy dz. La variación de esta masa es en consecuencia, en un tiempo dt: ∂ρ dm = − dxdy.dz.dt ∂t Deberá cumplirse, por conservación de la masa que:  ∂ ( ρ u ) ∂ ( ρ v) ∂ ( ρ w )  ∂ρ  ∂ x + ∂ y + ∂ z  dx.dy.dz.dt = − ∂ t dxdydzdt   De donde obtenemos: ∂ ρ ∂ ( ρ u ) ∂ ( ρ v) ∂ ( ρ w ) + + + ∂t ∂x ∂y ∂z Esta ecuación es conocida como ecuación de continuidad, que puede adoptar también formas:

( )

∂ρ + div ρ V = 0 ∂t ∂ρ + ∇ .ρ V = 0 ∂t b) Caso de un flujo permanente Debe cumplirse:

∂ρ = 0 ; luego : ∂t ∂ ( ρ u ) ∂ ( ρ v) ∂ ( ρ w ) + + = 0 ; ∇ .ρ V = 0 ∂x ∂y ∂z

c) Caso de un flujo permanente de un fluido incomprensible Se deberá cumplir simultáneamente: ∂ρ = 0 y ρ = cte ∂t Luego en este caso la ecuación de continuidad se escribe: ∂u ∂v ∂w + + = 0 ó ∇ .V = 0 ∂x ∂y ∂z d) Ecuación de continuidad y flujo potencial

Si el campo de velocidades deriva de un potencial entonces como ya se demostró se debe cumplir: u=

∂φ ∂x

; v=

∂φ ∂φ ; w= ∂y ∂z

Reemplazando estos valores en la ecuación de continuidad por fluido incomprensible en movimiento permanente tendremos: ∂  ∂φ  ∂  ∂φ  ∂  ∂φ   +  +   = 0 ∂ x  ∂ x  ∂ y  ∂ y  ∂ z  ∂ z  ∂ 2φ ∂ 2φ ∂ 2φ + + = 0 ∂ x 2 ∂ y2 ∂ z2 Laplaciano o/ = ∇ 2o/ = 0 Para este caso entonces la función potencia de velocidades es armónica. e) Ecuación de continuidad para un tubo de corriente en movimiento permanente

7.

ρ 1V1S1 = ρ 2 V2S 2 = cte

-

Para fluido comprensible:

-

Para fluido incomprensible: V1S1 = V2S 2 = cte

ESTUDIO DEL MOVIMIENTO DE UN ELEMENTO DE VOLUMEN FLUIDO a) Caso general del movimiento En el caso general del movimiento de un fluido, todo el elemento de volumen de este cambia de posición, de forma y de orientación. Para conocer estas variaciones consideremos los puntos P de coordenadas x, y, z y P’ de coordenadas x +a ; y + b ; z + c muy próximas en una masa fluida en movimiento. Si u, v, w son las componentes de la velocidad V en el punto P y u’, v’, w’ las componentes de la velocidad V' en el punto P’; podremos escribir, despreciando los infinitamente pequeños de orden superior: u ' = u ( x + a , y + b, z + c ) = u + a

∂u ∂u ∂u + b + c ∂x ∂y ∂z

v' = v( x + a , y + b, z + c ) = v + a

∂v ∂v ∂v + b + c ∂x ∂y ∂z

w ' = w ( x + a , y + b, z + c ) = w + a

∂w ∂w ∂w + b + c ∂x ∂y ∂z

Ahora demos a estas ecuaciones otras formas, de manos tal que aparezcan las proyecciones en x, y, z del rotacional de V . Tomemos la primera de las ecuaciones la que se podrá escribir:

u' = u + a

∂u 1 ∂u 1 ∂u 1 ∂v 1 ∂v 1 ∂w 1 ∂v 1 ∂u 1 ∂u + b + b + b − b + c − c + c + c ∂x 2 ∂y 2 ∂y 2 ∂x 2 ∂x 2 ∂x 2 ∂x 2 ∂z 2 ∂z

que ordenándolos convenientemente se escribirá a su vez:  ∂v ∂u 1  ∂u ∂w ∂u 1  ∂v ∂u 1  ∂u ∂w   + a  + c − − + b + +  − b   c 2  ∂z ∂x  ∂ x 2  ∂ x ∂ y  2  ∂ z ∂ x   ∂x ∂y

u' = u +

Las demás componentes se escribirán: v' = v +

 ∂w ∂v 1  ∂v ∂u ∂v 1  ∂v ∂u 1  ∂v ∂w  − c   + b + a   + c  − − + +  a  2  ∂x ∂y ∂ y 2  ∂ x ∂ y  2  ∂ z ∂ y   ∂y ∂z

w' = w +

1   ∂w ∂v ∂w 1  ∂u ∂w 1  ∂v ∂w  ∂u ∂w  − a   − − + a + +  + c  + b  b 2  ∂y ∂z ∂ z 2  ∂ z ∂ x  2  ∂ z ∂ y   ∂z ∂x 

A fin de simplificar la escritura llamemos: α =

1 ∂w ∂v   − 2  ∂ y ∂ z 

; β =

1 ∂u ∂w −   2 ∂z ∂x 

; γ =

1 ∂v ∂u   − 2  ∂ x ∂ y 

a las componentes del vector “velocidad angular” o “vector torbellino” T en el que T=

1 rot V. 2

Igualmente llamemos:

δ 1=

1 ∂w ∂v   + 2  ∂ y ∂ z 

;

δ 2=

1 ∂u ∂w +   2 ∂z ∂x 

;

Con lo que podemos escribir abreviadamente: u' = u + ( β c − γ b) + a

∂u + bδ 3 + cδ 2 ∂x

v' = v + ( γ a − α c ) + b

∂v + aδ 3 + cδ 1 ∂y

δ 3=

1 ∂v ∂u   + 2  ∂ x ∂ y 

w' = w + ( α b − β a ) + c

∂w + aδ 2 + bδ 1 ∂z

Estas ecuaciones permiten expresar que la velocidad en el punto P’ es el resultado de la composición de tres velocidades que son: •

La velocidad V de traslación en bloque y cuyas componentes

son u, v, w. •

La velocidad de rotación en bloque de velocidad angular T y

cuyas proyecciones son: β c − γ b = R1 γ a − α c = R2 α b − β a = R1 La velocidad de deformación D cuyas componentes son:

•

∂u ∂x

,

∂v ∂y

,

a

∂u + bδ 3 + cδ 2 = ∆ 1 ∂x

b

∂v + a δ 3 + cδ 1 = ∆ 2 ∂y

a

∂w + a δ 2 + bδ 1 = ∆ 3 ∂z

∂v son velocidades de deformación lineal o velocidad de ∂z

dilatación x δ 1, δ 2 , δ 3 son velocidades de deformación angular. Podremos entonces escribir: V' = V + T × PP' + D Si introducimos una función ∆ (a, b, c) tal que: ∆ ( a , b, c ) =

1 2 ∂u ∂v ∂w  a  + bc δ 1 + ac δ 2 + ab δ 3 + b2 + c2 2 ∂x ∂y ∂ z 

Y si derivamos parcialmente ∆ respecto a: a, b, c, tendremos: ∂∆ ∂u = a + cδ 2 + bδ 3 = ∆ 1 ∂a ∂x ∂∆ ∂v = b + cδ 1+ a δ 3 = ∆ 2 ∂b ∂y

∂∆ ∂w = c + bδ 1+ a δ 2 = ∆ 3 ∂c ∂z Osea que: D = grad∆ Entonces en este caso podremos escribir: V' = V + T × PP' + grad∆ b) Velocidad angular T de una partícula fluida en función del campo de velocidades. Desarrollamos este punto como complemento a z

lo rotacional o irrotacionalidad de un elemento C

fluido. Para ello partiremos d la premisa de que

D

A

B

E

F

una componente d la velocidad angular de un elemento y

o

v + d v dz dz

fluido

velocidades A

la

semi-

angulares

de

suma dos

de

las

segmentos

ortogonales contenidos en un X

x

plano normal a la dirección de la componente de la

T1

velocidad angular que se

dz

busca. Tomemos un elemento

v

F

E

x

dy

de volumen fluido tal como el mostrado en la siguiente figura:

w

w + d w dy dy

La componente Tx de la

velocidad angular según el eje x la obtendremos de la siguiente forma: Si en E, las componentes de V son u, v, w; en el punto A la velocidad será v +

. La velocidad en F será w +

∂w .dy . ∂y

∂w .dz ∂z

Si el segmento EA ira con una velocidad angular T1, la velocidad tangencial del punto A, respecto al punto E será igual a:

∂v ∂z ∂z

Esta velocidad tangencial será a su vez igual a la velocidad angular T1 multiplicada por el radio, en este caso la longitud del segmento este caso dz; luego: ∂v ∂ z = − T1dz → ∂z

T1 = −

∂v ∂z

El signo es porque el giro de T1 estaría indicado por un vector sobre el eje x pero de sentido negativo (según la regla del sacacorchos). En forma similar, si T2 es la velocidad angular, la velocidad angular media respecto al eje x, se tendrá: T2 = +

∂w ∂y

Entonces por lo manifestado al inicio de este acápite, la velocidad angular media respecto al eje x será Tx: T1 + T2 1  ∂ w ∂ v   =  − 2 2  ∂ y ∂ z 

Tx =

Así repetimos el procedimiento para los ejes y, z, tendremos: Ty =

1 ∂u ∂w  − −  2 ∂z ∂x 

Tz =

1 ∂v ∂u  − − 2  ∂ x ∂ y

  

Luego: T=

1  ∂w ∂v  ∂u ∂w  i−  − −  j+  2   ∂ y ∂ z   ∂ z ∂ x  T=

 ∂v ∂u    k  −  ∂x ∂y 

1 1 ∇ × V = rot V 2 2

c) Otras expresiones de la aceleración de una partícula fluida Habíamos ya dado la expresión vectorial de la aceleración: a=

(

)

DV ∂ V = + V.∇ V Dt ∂t

También podemos escribir: a=

(

DV ∂ V = + V. ∇ ⊗ V DT ∂t

)

En la que: ∇ ⊗ V es un producto tensorial denominado TENSOR gradiente del vector V ; cuyo desarrollo permite escribir: a=

∂V 1 + ∇ V 2 + 2T × V ∂t 2

o también: a=

(

)

∂V 1 + ∇ V2 + ∇ × V × V ∂t 2

Estas últimas expresiones de la aceleración las utilizamos mas adelante para la demostración del teorema de Bernoulli, en movimiento irrotacional. En este último caso se tiene: a=

∂V 1 + ∇ V2 ∂t 2