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¿Cómo resolver ecuaciones de primer y segundo grado en el conjunto de los números reales? Prof. Jean-Pierre Marcaillou

OBJETIVOS: La calculadora CASIO ClassPad 330 dispone del comando [solve] de los submenús desplegables Avanzado y Ecuación/Desigualdad del menú Acción para resolver ecuaciones en el conjunto de los números reales y en el conjunto de los números complejos. CONCEPTOS, SIMBOLOGÍA Y FÓRMULAS: Ecuación: Es una relación de igualdad que se presenta bajo la forma de dos expresiones algebraicas separadas por el signo “=”. Variable o incógnita: Es un símbolo destinado a ser sustituido en la ecuación por un elemento del conjunto donde se buscan las soluciones. Resolver una ecuación: Significa encontrar todas los valores de sus variables para los cuales la ecuación se transforma en una igualdad numérica verdadera. Solución de una ecuación: Es el valor (raíz o cero) de la variable que satisface la ecuación, es decir, transforma la ecuación en una igualdad numérica verdadera. Conjunto solución de una ecuación: Es el conjunto formado por todas las soluciones de la ecuación. Ecuaciones equivalentes: Son ecuaciones que tienen el mismo conjunto solución. Proceso de resolución de una ecuación: Consiste en sustituir la ecuación original por otra equivalente que tenga el mismo conjunto de soluciones, y que sea más fácil de resolver. Verificación de una solución: Para verificar si una solución es correcta, hay que sustituir la variable (o las variables) por esta solución en ambos miembros de la ecuación, calcularlos y corroborar que son iguales numéricamente. Operaciones permitidas en la resolución de ecuaciones: Reducir correctamente una ecuación a ecuaciones más sencillas significa no perder soluciones ni adquirir soluciones extrañas. Las tres operaciones permitidas que garantizan la equivalencia son: 1. Se puede sumar (o restar) el mismo polinomio a (de) ambos miembros de una ecuación, cuando este tiene la misma variable de la ecuación original, y la nueva ecuación que resulta es equivalente a la original. 2. Se puede multiplicar o dividir ambos miembros de una ecuación por la misma cantidad diferente de cero, y la nueva ecuación que resulta es equivalente a la original. 3. Se puede reemplazar cualquiera de los dos miembros de una ecuación por una expresión igual (equivalente), y la nueva ecuación que resulta es equivalente a la original. Operaciones riesgosas en la resolución de ecuaciones: Se presentan a continuación algunas operaciones peligrosas en la resolución de ecuaciones: 1. Multiplicar ambos miembros de una ecuación por una expresión que contiene la variable. 2. Dividir ambos miembros de una ecuación por una expresión que contiene la variable. 3. Elevar ambos miembros de una ecuación a potencia de igual exponente. Al aplicar las operaciones 1 y 3 se ensancha el conjunto solución, y por lo tanto aparecen soluciones extrañas; al aplicar la operación 2, se estrecha el conjunto solución, y por lo tanto desaparecen soluciones. Ecuación de primer grado: Un ecuación de primer grado en la variable x (ecuación lineal), es una ecuación que se puede escribir bajo la siguiente forma ax + b = 0 con a ∈ R − {0} , b ∈ R . 1

Proceso de resolución de una ecuación de primer grado: Paso 1: Calcula el Conjunto de Valores Admisibles (CVA) para los cuales tienen sentido ambos miembros de la ecuación. Paso 2: Suprime denominadores (si los hay) multiplicando ambos miembros de la ecuación por el Mínimo Común Múltiplo de los denominadores. Paso 3: Reduce los dos miembros de la ecuación resultante. Paso 4: Agrupa en el miembro izquierdo de la ecuación los términos que contienen la incógnita, y en el otro miembro los que no la contienen. Paso 5: Reduce ambos miembros de la ecuación derivada. Paso 6: Divide ambos miembros por el coeficiente de la incógnita para obtener la solución. Paso 7: Verifica que la solución obtenida pertenece al CVA. Resolución de una ecuación de primer grado con una incógnita en el conjunto de los números reales R ax + b = 0 a≠0 a=0

∃ x ∈ R / ax + b = 0 b≠0  b S = −   a S=∅

b=0

S = {0} S=R

Ecuaciones que se reducen a la resolución de ecuaciones de primer grado: A(x) = 0





Ecuación de la forma A(x)B(x)C(x) = 0 ⇔ B(x) = 0 . Si SA, SB, SC representan los conjuntos solución de

C(x) = 0 cada una de las tres ecuaciones, se tiene entonces que el conjunto solución S de la ecuación original es S = S A U SB U SC .  A(x) = 0 A(x)  Ecuación de la forma =0⇔ B(x) con B(x) ≠ 0

Ecuación de segundo grado: Una ecuación de segundo grado en la variable x es una ecuación que se puede escribir bajo la siguiente forma ax2 + bx + c = 0 con a ∈ R − {0} , b ∈ R, c ∈ R . Proceso de resolución de una ecuación de segundo grado: Paso 1: Identifica los valores de a, b y c. Paso 2: Calcula el Discriminante ∆ = b2 − 4ac . Paso 3: Determina el Conjunto Solución S de la ecuación como sigue:




Si ∆ < 0 , entonces la ecuación no tiene soluciones en el conjunto de los números reales, y se tiene que el conjunto solución es S = ∅ . b Si ∆ = 0 , entonces la ecuación tiene una raíz real doble, es decir que x1 = x 2 = − , y se tiene que 2a  b  el conjunto solución es S = −  .  2a 




Si ∆ > 0 , entonces la ecuación tiene dos raíces reales distintas x1 =




 −b − ∆ −b + ∆  tiene que el conjunto solución es S =  , . 2a   2a

2

−b − ∆ −b + ∆ y x1 = , y se 2a 2a

Es importante recordar que cuando el Discriminante ∆ es positivo o nulo, se tiene que:

c . a b
La suma S de las raíces es S = x1 + x 2 = − . a Uno de los errores más comunes en la resolución de ecuaciones de segundo grado, es olvidar que en la solución el valor de b está precedido del signo negativo.


El producto P de las raíces es P = x1x 2 =

Si al resolver una ecuación de segundo grado los valores de a y c tienen signos opuestos, entonces se sabe que la ecuación tiene dos raíces reales distintas, en vista de que ∆ = b2 − 4ac > 0 . Resolución de una ecuación de segundo grado con una incógnita en el conjunto de los números reales R

∃ x ∈ R / ax 2 + bx + c = 0 (a ∈ R − {0} ,b ∈ R, ∈ R) ∆ = b2 − 4ac

∆0

S=

∅

 b −   2a 

 −b − ∆ −b + ∆  ,   2a   2a

Proceso de factorización de un trinomio de segundo grado: Paso 1: Resuelve P(x) = 0 . Paso 2: Factoriza P(x) = ax 2 + bx + c como sigue:

Signo de ∆

Escritura de P(x) = ax 2 + bx + c

∆ 0  ∆>0

Propiedades del valor absoluto:

1. a ≥ 0 ⇒ a = a

2. a ≤ 0 ⇒ a = − a

7. a + b ≤ a + b

8. a + b ≥ a − b

12. (a,b/ab ≥ 0) ab =

a

b

3. a ≥ 0

4. − a ≤ a ≤ a

9. ab = a b

13. (a,b ≠ 0 / ab ≥ 0)

x ≤ a   14. x ≤ a (a ≥ 0) ⇔  ∧ ⇔ −a ≤ x ≤ a  x ≥ −a 

5. − b ≤ a ≤ b ⇔ a ≤ b

10. (a,b ≠ 0)

a = b

a a = b b

11. x = a (a ≥ 0) ⇔ x = ± a

a b x ≤ −a

15. x ≥ a (a ≥ 0) ⇔

∨ x≥a

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6. a = a2

⇔ x ≤ −a ó x ≥ a

Resolución de ecuaciones con valor absoluto:

P(x) = Q(x) con P(x) ≥ 0 → S1




P(x) = Q(x) ⇔




P(x) = Q(x) ⇔ P(x)

P(x) = −Q(x) con P(x) < 0 → S2 2

= Q(x)

2

⇔ P2 (x) = Q2 (x) ⇔ P2 (x) − Q2 (x) = 0 ⇔ [P(x) − Q(x)] [P(x) + Q(x)] = 0 P(x) = Q(x) → S1

P(x) − Q(x) = 0 ⇔

→ S = S1 U S2

⇔ P(x) + Q(x) = 0

P(x) = −Q(x) → S2

→ S = S1 U S2

Observaciones: Siempre que se utiliza el símbolo {, se trata de la resolución de un sistema, y el conjunto solución S de dicho sistema es la intersección de los conjuntos solución de cada una de las expresiones que hacen parte del sistema, es decir, los elementos comunes a todos ellos. Siempre que se utiliza el símbolo [, no se trata de la resolución de un sistema, y el conjunto solución S es la unión de los conjuntos solución de cada una de las expresiones. OPREACIÓN CON LA CALCULADORA: Cuando se activa el menú secundario Avanzado del menú desplegable Acción, aparece el comando [solve] relacionado con la resolución de ecuaciones.
El primer comando [solve], como lo indica la pantalla adjunta, permite resolver ecuaciones (Ecu) en el conjunto de los números reales y en el conjunto de los números complejos. Sintaxis del comando [solve]: solve(Ecuación,variable) Si se omite el nombre de la variable de resolución después de Ecuación, es implícito que es la variable x. Cuando se activa el menú secundario Ecuación/Desigualdad del menú desplegable Acción, aparece el comando [solve] relacionado con la resolución de ecuaciones.
El primer comando [solve], como lo indica la pantalla adjunta, permite resolver ecuaciones (Ecu) en el conjunto de los números reales y en el conjunto de los números complejos. Sintaxis del comando [solve]: solve(Ecuación,variable) Si se omite el nombre de la variable de resolución después de Ecuación, es implícito que es la variable x. cC Como se puede observar el menú secundario Ecuación/Desigualdad permite tener acceso a diferentes comandos: [rewrite], [exchange], [eliminate], [absExpand], [andConnect], [getRight], [getLeft], [and], [or], [xor], y [not] como lo muestra la figura anterior, los cuales serán muy útiles en el proceso de resolución de sistemas de ecuaciones.

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Observaciones: El comando [solve] de los submenús Avanzado y Ecuación/Desigualdad es también disponible en el teclado de catálogo [cat] del teclado virtual. Presione la tecla [Keyboard] para activar el teclado virtual, seguidamente toque la lengüeta [cat] para activar el teclado de catálogo y mediante los botones de desplazamiento ◄ y ► seleccione la letra S y deslice el cursor mediante las flechas de desplazamiento ▲ y ▼ hasta identificar el comando indicado [solve] (sombreado) y presione seguidamente la tecla [INTRO] para introducirlo en la pantalla.
El comando [rewrite] hace pasar todos los elementos del lado derecho de la ecuación al lado izquierdo, y en consecuencia transforma el lado derecho en cero. Sintaxis del comando [rewrite]: rewrite(Ecuación)

a = b ⇔ −b + a = 0


El comando [exchange] intercambia los elementos del lado derecho de la ecuación con los elementos del lado izquierdo. Sintaxis del comando [exchange]: exchange(Ecuación)

a=b⇔b=a


El comando [eliminate] despeja una variable de una ecuación (Ecu 2), y sustituye el resultado en otra ecuación (Ecu 1). Sintaxis del comando [eliminate]: exchange(Ecu 1,variable,Ecu 2)
El comando [absExpand] elimina el valor absoluto de una ecuación. Sintaxis del comando [absExpand]: absExpand(Ecuación)

f(x) = a ⇔ f(x) = a ∨ f(x) = − a


El comando [andConnect] combina dos expresiones en una sola expresión. Sintaxis del comando [andConnect]: andConnect(Ecu 1,Ecu 2)
El comando [getRight] extrae el lado derecho de una ecuación. Sintaxis del comando [getRight]: getRight(Ecuación)
El comando [getLeft] extrae el lado izquierdo de una ecuación. Sintaxis del comando [getLeft]: getLeft(Ecuación)
El comando [and] devuelve el resultado del operador lógico and ( ∧ ) de dos expresiones. Sintaxis del comando [and]: Expresión1 and Expresión 2
El comando [or] devuelve el resultado del operador lógico or inclusivo ( ∨ ) de dos expresiones. Sintaxis del comando [or]: Expresión1 or Expresión 2


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El comando [xor] devuelve el resultado del operador lógico or exclusivo ( ∨ ) de dos expresiones. Sintaxis del comando [xor]: Expresión1 xor Expresión 2
El comando [not] devuelve el resultado del operador lógico not ( ¬ ) de una expresión. Sintaxis del comando [not]: not(Expresión) Observación: Si la ecuación a resolver depende de una sola variable diferente de la variable x, y se omite el nombre de la variable después de Ecuación, entonces aparece en la línea de salida el mensaje No Solution. ¿Cómo resolver una ecuación de primer grado con una incógnita? 1.

Resuelve en el conjunto de los números reales la siguiente ecuación

1 1 − = 0. x − 7 3x + 8

(1) Presione la tecla [ON/OFF] y active la Aplicación Principal tocando el icono del panel de iconos. (2) Toque [Edit] / [Borrar todo] / [Acep.] para limpiar el área de trabajo. (3) Presione la tecla [Keyboard] para activar el teclado virtual y toque la lengüeta [2D] para acceder al teclado matemático natural. (4) Toque [Acción] / [Avanzado] / [solve] y seguidamente [ ] / [1] / [▼] / [x] / [–] / [7] / [►] / [–] / [ ] / [1] / [▼] / [3] / [x] / [+] / [8] / [Ejec] para introducir la expresión algebraica racional del primer miembro de la ecuación, y aparece en la línea de  15  salida el conjunto solución S de la ecuación:  −  . El comando [solve]  2  resuelve exp resión = 0 por defecto con respecto a la variable x y presenta el conjunto solución S bajo la forma analítica. 2.

Resuelve en el conjunto de los números reales la siguiente ecuación

x 5x x − = 2− . 3 21 7

(5) Toque [Edit] / [Borrar todo] / [Acep.] para limpiar el área de trabajo. (6) Toque [Acción] / [Avanzado] / [solve] y seguidamente [ ] / [x] / [▼] / [3] / [►] / [–] / [ ] / [5] / [x] / [▼] / [2] / [1] / [►] / [=] / [2] / [–] / [ ] / [x] / [▼] / [7] / [Ejec] para introducir la ecuación a resolver en el conjunto de los números reales, y aparece en  42  la línea de salida el conjunto solución S de la ecuación:   . El comando 5  [solve] resuelve la ecuación por defecto con respecto a la variable x y presenta el conjunto solución S bajo la forma analítica.

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3.

Resuelve en el conjunto de los números reales la siguiente ecuación 3x − 5 = 2(x − 1) + x .

(7) Toque [Edit] / [Borrar todo] / [Acep.] para limpiar el área de trabajo. (8) Toque [Acción] / [Avanzado] / [solve] y seguidamente [3] / [x] / [–] / [5] / [=] / [2] / [(] / [x] / [–] / [1] / [)] / [+] / [x] / [Ejec] para introducir la ecuación a resolver en el conjunto de los números reales, y aparece en la línea de salida el conjunto solución S de la ecuación: ∅ .

4.

Resuelve en el conjunto de los números reales la siguiente ecuación

x x + 5 − 2x + 10 = 30 − x − 15 − . 2 2

(9) Toque [Edit] / [Borrar todo] / [Acep.] para limpiar el área de trabajo. (10)

5.

Toque [Acción] / [Avanzado] / [solve] y seguidamente [ ] / [x] / [▼] / [2] / [►] / [+] / [5] / [–] / [2] / [x] / [+] / [1] / [0] / [=] / [3] / [0] / [–] / [x] / [–] / [1] / [5] / [–] / [ ] / [x] / [▼] / [2] / [Ejec] para introducir la ecuación a resolver en el conjunto de los números reales, y aparece en la línea de salida el conjunto solución S de la ecuación: R .

Resuelve en el conjunto de los números reales la siguiente ecuación 1 +

3y 6 = . y−2 y−2

(11) Toque [Edit] / [Borrar todo] / [Acep.] para limpiar el área de trabajo. (12) Toque [Acción] / [Avanzado] / [solve] y seguidamente [1] / [+] / [ ] / [6] / [▼] / [y] / [–] / [2] / [►] / [=] / [ ] / [3] / [y] / [▼] / [y] / [–] / [2] / [Ejec] para introducir la ecuación racional a resolver en el conjunto de los números reales, y aparece en la línea de salida el conjunto solución S de la ecuación: ∅ .

¿Cómo resolver una ecuación que se reduce a una ecuación de primer grado con una incógnita? 6.

Resuelve en el conjunto de los números reales la siguiente ecuación (x − 1)(3x + 1)(x − 2) = 0 .

(13) Toque [Edit] / [Borrar todo] / [Acep.] para limpiar el área de trabajo. (14) Toque [Acción] / [Avanzado] / [solve] y seguidamente [(] / [x] / [–] / [1] / [)] / [(] / [3] / [x] / [+] / [1] / [)] / [(] / [x] / [–] / [2] / [)] / [=] / [0] / [Ejec] para introducir la ecuación a resolver en el conjunto de los números reales, y aparece en la línea de salida el 1  conjunto solución S de la ecuación: 1, 2, −  . 3   7.

Resuelve en el conjunto de los números reales la siguiente ecuación

x2 − 9 x2 − x − 6

= 0.

(15) Toque [Edit] / [Borrar todo] / [Acep.] para limpiar el área de trabajo. (16) Toque [Acción] / [Avanzado] / [solve] y seguidamente [ ] / [x] / [^] / [2] / [–] / [9] / [▼] / [x] / [^] / [2] / [–] / [x] / [–] / [6] / [►] / [=] / [0] / [Ejec] para introducir la ecuación a resolver en el conjunto de los números reales, y aparece en la línea de salida el conjunto solución S de la ecuación: {−3} .

7

¿Cómo resolver una ecuación de segundo grado con una incógnita? Resuelve en el conjunto de los números reales la siguiente ecuación 2x 2 − 12x − 14 = 0 .

8.

(17) Toque [Edit] / [Borrar todo] / [Acep.] para limpiar el área de trabajo. (18) Toque [Acción] / [Avanzado] / [solve] y seguidamente [x] / [^] / [2] / [–] / [1] / [2] / [x] / [–] / [1] / [4] / [=] / [0] / [Ejec] para introducir la ecuación a resolver en el conjunto de los números reales, y aparece en la línea de salida el conjunto solución S de la ecuación: {−1,7} .

Resuelve en el conjunto de los números reales la siguiente ecuación 2x 2 +

9.

9 =x. 16

(19) Toque [Edit] / [Borrar todo] / [Acep.] para limpiar el área de trabajo. (20) Toque [Acción] / [Avanzado] / [solve] y seguidamente [2] / [x] / [^] / [2] / [+] / [ ] / [9] / [▼] / [1] / [6] / [►] / [=] / [x] / [Ejec] para introducir la ecuación a resolver en el conjunto de los números reales, y aparece en la línea de salida el conjunto solución S de la ecuación: ∅ .

(21) Toque [Edit] / [Borrar todo] / [Acep.] para limpiar el área de trabajo. (22) Toque [Acción] / [Avanzado] / [solve] y seguidamente [2] / [x] / [^] / [2] / [+] / [ ] / [9] / [▼] / [1] / [6] / [►] / [=] / [x] / [Ejec] para introducir la ecuación a resolver en el conjunto de los números complejos, y aparece en la línea de salida el conjunto  − 14i 1 14i  solución S de la ecuación:  + , + . 4 8 4   8

10.

Resuelve en el conjunto de los números reales la siguiente ecuación 9x 2 − 6x + 1 = 0 .

(23) Toque [Edit] / [Borrar todo] / [Acep.] para limpiar el área de trabajo. (24) Toque [Acción] / [Avanzado] / [solve] y seguidamente [9] / [x] / [^] / [2] / [–] / [6] / [x] / [+] / [1] / [=] / [0] / [Ejec] para introducir la ecuación a resolver en el conjunto de los números reales, y aparece en la línea de salida el conjunto solución S de la  1 ecuación:   . 3 El estudio del proceso de resolución de ecuaciones irracionales, exponenciales, logarítmicas y trigonométricas se desarrollará en los próximos ¿Cómo...?.

11. Determina en el conjunto de los números reales el conjunto solución S de cada una de las siguientes ecuaciones:

x+ 1)

2(3 − x) 9 − 3x 7x + 2 + 5x − 4(x − 1) 2 5 5 − = + 14 24 12 3

2)

8

x+1 x−1 x − 1  − = 3x  1 −  x −1 x+1 x + 1 

3)

x + 4 2x − 3 =2 + 2x − 3 x + 4

4)

(x − 1)(x + 2) x 2 + 3 (3x + 1)(2x − 3) − = 3 7 21

12. Determina según los valores del parámetro real m el conjunto solución S de cada una de las siguientes ecuaciones: 1) 2(m − 1)x − m(x − 1) = 2m + 3

2) (m + 2)x 2 − 2(m − 1)x + 4 = 0

3)

3 1 4 + = x + 2m m x + m

13. Determina según los valores de los parámetros reales a y b el conjunto solución S de cada una de las siguientes ecuaciones:

1)

4x + 2 x + b 5(x − 1) − = 3 a 6

2) a(ax + 2b2 ) − a3 = b2 (x + a)

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3) x 2 + (3a − b)x − 6ab = 0