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¿Cómo resolver inecuaciones de primer y segundo grado en el conjunto de los números Prof. Jean-Pierre Marcaillou reales? OBJETIVOS: La calculadora CASIO ClassPad 330 dispone del comando [solve] de los submenús desplegables Avanzado y Ecuación/Desigualdad del menú Acción para resolver inecuaciones en el conjunto de los números reales. CONCEPTOS, SIMBOLOGÍA Y FÓRMULAS: Inecuación: Es una relación de desigualdad que se presenta bajo la forma de dos expresiones algebraicas separadas por uno de los signos “” (mayor que), “ ≤ ” (menor o igual que), “ ≥ ” (mayor o igual que). Variable o incógnita: Es un símbolo destinado a ser sustituido en la inecuación por un elemento del conjunto donde se buscan las soluciones. Resolver una inecuación: Significa encontrar todos los valores de sus variables que satisfacen la condición expresada en la inecuación. Solución de una ecuación: Es un valor de la variable que satisface la condición expresada en la inecuación. Conjunto solución de una inecuación: Es el conjunto formado por todas las soluciones de la inecuación. En general, el conjunto solución de una inecuación se escribe bajo la forma de “uniones de intervalos” y preferiblemente como la unión de la menor cantidad de intervalos. Inecuaciones equivalentes: Son inecuaciones que tienen el mismo conjunto solución. Proceso de resolución de una inecuación: Consiste en sustituir la inecuación original por otra equivalente que tenga el mismo conjunto de soluciones, y que sea más fácil de resolver. Verificación de una solución: Para verificar si una solución es correcta, hay que sustituir la variable (o las variables) por esta solución en ambos miembros de la ecuación, calcularlos y corroborar que el valor de esta variable satisface la condición expresada en la inecuación. Operaciones permitidas en la resolución de inecuaciones: Reducir correctamente una inecuación a inecuaciones más sencillas significa no perder soluciones ni adquirir soluciones extrañas. Las tres operaciones permitidas que garantizan la equivalencia son: 1. Se puede sumar (o restar) el mismo polinomio a (de) ambos miembros de una inecuación, cuando este tiene la misma variable de la inecuación original, y la nueva inecuación que resulta tiene el mismo sentido que la inecuación original. Consecuencia: Se puede transponer cualquier término de un miembro a otro miembro cambiando el signo del término. 2. Se puede multiplicar o dividir ambos miembros de una inecuación por la misma cantidad positiva, y la nueva inecuación que resulta tiene el mismo sentido que la inecuación original. 3. Se puede multiplicar o dividir ambos miembros de una inecuación por la misma cantidad negativa, y la nueva inecuación que resulta tiene el sentido contrario de la inecuación original. Consecuencia: Se pueden cambiar los signos a todos los términos de una inecuación si se cambia el signo de ésta. 4. Se puede reemplazar cualquiera de los dos miembros de una inecuación por una expresión igual (equivalente), y la nueva inecuación que resulta tiene el mismo sentido que la inecuación original. 5. Si ambos miembros de una inecuación son positivos o negativos, entonces sus inversos respectivos están relacionados con el símbolo de desigualdad contrario a la inecuación original. 1

6. Si ambos miembros de una inecuación son positivos, y se eleva cada miembro a una misma potencia, entonces la inecuación que resulta tiene el mismo sentido que la inecuación original. Operaciones riesgosas en la resolución de inecuaciones: Se presentan a continuación algunas operaciones peligrosas en la resolución de inecuaciones: 1. Multiplicar ambos miembros de una inecuación por una expresión que contiene la variable. 2. Dividir ambos miembros de una inecuación por una expresión que contiene la variable. 3. Elevar ambos miembros de una inecuación a potencia de igual exponente. Al aplicar las operaciones 1 y 3 se ensancha el conjunto solución, y por lo tanto aparecen soluciones extrañas; al aplicar la operación 2, se estrecha el conjunto solución, y por lo tanto desaparecen soluciones. Inecuación de primer grado: Una inecuación de primer grado en la variable x (inecuación lineal), es una inecuación que se puede escribir bajo la siguiente forma ax + b < 0 (≤ , > , ≥) con a ∈ R − {0} , b ∈ R . Formas de expresar el conjunto solución de una inecuación: En general, y salvo casos particulares, el conjunto solución de una inecuación es un conjunto infinito de valores. Existen tres formas de representar dicho conjunto solución, a saber:


Forma analítica,




Forma gráfica,




Forma de intervalo.

Es importante señalar que se utiliza el símbolo de corchetes y no paréntesis para representar un conjunto solución bajo la forma de intervalo. Forma analítica

Forma de intervalo

a≤x≤b

[a,b]

a≤x 0 (a ∈ R * ,b ∈ R, c ∈ R) 0

+∞

∆0

S = ]x1 , x 2 [

S = ]−∞, x 1 [ U ]x 2 , +∞[

Resolución de una inecuación de segundo grado con una incógnita en el conjunto de los números reales R

a

−∞

∃ x ∈ R / ax 2 + bx + c ≤ 0 (a ∈ R * ,b ∈ R, c ∈ R) 0

+∞

∆0

S = ]−∞ , x1 ] U [ x 2 + ∞[

S = [ x1 , x 2 ]

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Resolución de una inecuación de segundo grado con una incógnita en el conjunto de los números reales R

a

−∞

∃ x ∈ R / ax 2 + bx + c < 0 (a ∈ R * ,b ∈ R, c ∈ R) 0

+∞

∆0

S = ]−∞, x 1 [ U ]x 2 , +∞[

S = ]x1 , x 2 [

Determinación del signo del trinomio de segundo grado ax 2 + bx + c

P(x) = ax2 + bx + c , a ∈ R − {0} , b ∈ R, c ∈ R ∆ = b2 − 4ac signo de ∆

signo

de

P(x) = ax 2 + bx + c

signo de a

∆0

+∞

signo de a

x1

−∞

x2

 − x si x < 0   Valor absoluto: Si x ∈ R , el valor absoluto de x, designado por x , se define como sigue x = 0 si x = 0 .   x si x > 0  Resolución de inecuaciones con valor absoluto: Inecuaciones de la forma P(x) ≤ k con k > 0 : P(x) ≤ k ⇔ −k ≤ P(x) ≤ k Inecuaciones de la forma P(x) ≥ k con k > 0 : P(x) ≥ k ⇔ P(x) ≤ −k

ó

P(x) ≥ k

Inecuaciones de la forma P(x) ≤ Q(x) : P(x) ≤ Q(x) ⇔ −Q(x) ≤ P(x) ≤ Q(x) Inecuaciones de la forma P(x) ≥ Q(x) : P(x) ≥ Q(x) ⇔ P(x) ≤ −Q(x)

ó

P(x) ≥ Q(x)

Resolución de P(x) ≥ Q(x) :

P(x) ≥ Q(x) si y sólo si ocurre alguna de las siguientes desigualdades: 1. Q(x) ≤ 0 → S1 2. Q(x) ≥ 0 y P(x) ≥ 0 3. Q(x) ≥ 0

y

P(x) ≤ 0

y y

P(x) ≥ Q(x) → S2 − P(x) ≥ Q(x) → S3

En consecuencia se tiene que el conjunto solución S es S = S1 U S2 U S3 . Resolución de P(x) ≥ Q(x) : 2

2

P(x) ≥ Q(x) ⇔ ( P(x) ) ≥ ( Q(x) ) ⇔ P2 (x) ≥ Q2 x ⇔ P2 (x) − Q2 (x) ≥ 0 ⇔ [P(x) − Q(x)] × [P(x) + Q(x)] ≥ 0

5

+∞

OPERACIÓN CON LA CALCULADORA:

Cuando se activa el menú secundario Avanzado del menú desplegable Acción, aparece el comando [solve] relacionado con la resolución de inecuaciones.  El primer comando [solve], como lo indica la pantalla adjunta, permite resolver inecuaciones (Ine) en el conjunto de los números reales. Sintaxis del comando [solve]: solve(Inecuación,variable)

Si se omite el nombre de la variable de resolución después de Inecuación, es implícito que es la variable x. Cuando se activa el menú secundario Ecuación/Desigualdad del menú desplegable Acción, aparece el comando [solve] relacionado con la resolución de inecuaciones.  El primer comando [solve], como lo indica la pantalla adjunta, permite resolver inecuaciones (Ine) en el conjunto de los números reales. Sintaxis del comando [solve]: solve(Inecuación,variable)

Si se omite el nombre de la variable de resolución después de Inecuación, es implícito que es la variable x. Como se puede observar el menú secundario Ecuación/Desigualdad permite tener acceso a diferentes comandos: [rewrite], [exchange], [eliminate], [absExpand], [andConnect], [getRight], [getLeft], [and], [or], [xor], y [not] como lo muestra la figura anterior, los cuales serán muy útiles en el proceso de resolución de sistemas de inecuaciones.  El comando [rewrite] hace pasar todos los elementos del lado derecho de la inecuación al lado izquierdo y en consecuencia transforma el lado derecho en cero. Sintaxis del comando [rewrite]: rewrite(Inecuación)

a < b ⇔ −b + a < 0

 El comando [exchange] intercambia los elementos del lado derecho de la inecuación con los elementos del lado izquierdo. Sintaxis del comando [exchange]: exchange(Inecuación)

aa

 El comando [eliminate] despeja una variable de una ecuación (Ecu 2), y sustituye el resultado en otra ecuación (Ecu 1). Sintaxis del comando [eliminate]: exchange(Ecu 1,variable,Ecu 2)

 El comando [absExpand] elimina el valor absoluto de una inecuación. Sintaxis del comando [absExpand]: absExpand(Inecuación)

f(x) < a ⇔ − a < f(x) < a

 El comando [andConnect] combina dos expresiones en una sola expresión. Sintaxis del comando [andConnect]: andConnect(Ine 1,Ine 2)

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 El comando [getRight] extrae el lado derecho de una ecuación. Sintaxis del comando [getRight]: getRight(Ecuación)

 El comando [getLeft] extrae el lado izquierdo de una ecuación. Sintaxis del comando [getLeft]: getLeft(Ecuación)

 El comando [and] devuelve el resultado del operador lógico and ( ∧ ) de dos expresiones. Sintaxis del comando [and]: Expresión1 and Expresión 2

 El comando [or] devuelve el resultado del operador lógico or inclusivo ( ∨ ) de dos expresiones. Sintaxis del comando [or]: Expresión1 or Expresión 2

 El comando [xor] devuelve el resultado del operador lógico or exclusivo ( ∨ ) de dos expresiones. Sintaxis del comando [xor]: Expresión1 xor Expresión 2

 El comando [not] devuelve el resultado del operador lógico not ( ¬ ) de una expresión. Sintaxis del comando [not]: not(Expresión) Observación: Si la inecuación a resolver depende de una sola variable diferente de la variable x, y se omite el nombre de la variable después de Inecuación, entonces aparece en la línea de salida el mensaje No Solution. ¿Cómo resolver una inecuación lineal de primer grado con una variable?

1.

Resuelve en el conjunto de los números reales la siguiente ecuación

5x − 1 3x − 13 5x + 1 − < . 4 10 3

(1) Presione la tecla [ON/OFF] y active la Aplicación Principal tocando el icono del panel de iconos. (2) Toque [Edit] / [Borrar todo] / [Acep.] para limpiar el área de trabajo. (3) Presione la tecla [Keyboard] para activar el teclado virtual y toque la lengüeta [2D] para acceder al teclado matemático natural. (4) Toque [Acción] / [Avanzado] / [solve] y seguidamente [ ] / [5] / [x] / [–] / [1] [▼] / [4] / [►] / [–] / [ ] / [3] / [x] / [–] / [1] / [3] / [▼] / [1] / [0] / [►] / [mth] / [OPC] / [] / [1] / [+] / [ ] / [x] / [▼] / [1] / [0] / [Ejec] para introducir la inecuación a resolver, y aparece en la línea de salida el conjunto solución S de la inecuación: S = ∅ . El comando [solve] resuelve la inecuación por defecto con respecto a la variable x. Al aparecer en la línea de salida No solution, esto significa que no existe ningún valor de la variable x en el conjunto de los números reales tal que se cumpla la desigualdad original. ¿Cómo resolver una inecuación que se reduce a inecuaciones lineales de primer grado con una variable?

4.

Resuelve en el conjunto de los números reales la siguiente inecuación (x + 2)(3 − x)(x − 1) < 0 .

(9) Toque [Edit] / [Borrar todo] / [Acep.] para limpiar el área de trabajo. (10) Toque [Acción] / [Avanzado] / [solve] y seguidamente [(] / [x] / [+] / [2] / [)] / [(] / [3] / [–] / [x] / [)] / [(] / [x] / [–] / [1] / [)] / [ 1. x x −1

(11) Toque [Edit] / [Borrar todo] / [Acep.] para limpiar el área de trabajo. (12) Toque [Acción] / [Avanzado] / [solve] y seguidamente [ ] / [2] / [▼] / [x] / [►] / [–] / [ ] / [1] / [▼] / [x] / [–] / [1] / [►] / [>] / [1] / [Ejec] para introducir la inecuación a resolver, y aparece en la línea de salida el conjunto solución S de la inecuación: ]−0,1[ . El comando [solve] resuelve la inecuación por defecto con respecto a la variable x y presenta el conjunto solución bajo la forma analítica.

8

¿Cómo resolver una inecuación cuadrática con una variable?

6.

Resuelve en el conjunto de los números reales la siguiente ecuación 2x 2 − 11x + 12 ≤ 0 .

(13) Toque [Edit] / [Borrar todo] / [Acep.] para limpiar el área de trabajo. (14) Toque [Acción] / [Avanzado] / [solve] y seguidamente [2] / [x] / [^] / [2] / [–] / [1] / [1] / [x] / [+] / [1] / [2] / [ ≤ ] / [0] / [Ejec] para introducir la inecuación a resolver, y 3  aparece en la línea de salida el conjunto solución S de la inecuación:  , 4  . El 2  comando [solve] resuelve la inecuación por defecto con respecto a la variable x y presenta el conjunto solución bajo la forma analítica.

7.

Resuelve en el conjunto de los números reales la siguiente ecuación 25x 2 − 70x + 49 ≤ 0 .

(15) Toque [Edit] / [Borrar todo] / [Acep.] para limpiar el área de trabajo. (16) Toque [Acción] / [Avanzado] / [solve] y seguidamente [2] / [5] / [x] / [^] / [2] / [–] / [7] / [0] / [x] / [+] / [4] / [9] / [ ≤ ] / [1] / [Ejec] para introducir la inecuación a resolver, y 7 aparece en la línea de salida el conjunto solución S de la inecuación:   . El 5  comando [solve] resuelve la inecuación por defecto con respecto a la variable x y presenta el conjunto solución bajo la forma analítica.

8.

Resuelve en el conjunto de los números reales la siguiente ecuación 6x2 + 5x + 2 < 0 .

(17) Toque [Edit] / [Borrar todo] / [Acep.] para limpiar el área de trabajo. (18) Toque [Acción] / [Avanzado] / [solve] y seguidamente [6] / [x] / [^] / [2] / [+] / [5] / [x] / [+] / [2] [ ≤ ] / [0] / [Ejec] para introducir la inecuación a resolver, y aparece en la línea de salida el conjunto solución S de la inecuación: ∅ . El comando [solve] resuelve la inecuación por defecto con respecto a la variable x y presenta el conjunto solución con el mensaje No Solution. ¿Cómo resolver una inecuación racional cuadrática con una variable?

9.

Resuelve en el conjunto de los números reales la siguiente ecuación

4 x2 3x − 2 >− + . 2 x−2 x−3 6 − 5x + x

(19) Toque [Edit] / [Borrar todo] / [Acep.] para limpiar el área de trabajo. (20) Toque [Acción] / [Avanzado] / [solve] y seguidamente [ ] / [4] / [▼] / [x] / [–] / [2] / [►] / [>] / [–] / [ ] / [x] / [^] / [2] / [▼] / [6] / [–] / [5] / [x] / [+] / [x] / [^] / [2] / [►] / [+] / [ ] / [3] / [x] / [–] / [2] / [▼] / [x] / [–] / [3] / [Ejec] para introducir la inecuación a resolver, y aparece en la línea de salida el conjunto solución S de la inecuación: ]3, 4[ . El comando [solve] resuelve la inecuación por defecto con respecto a la variable x y presenta el conjunto solución bajo la forma analítica. ¿Cómo resolver un sistema de inecuaciones con una variable?

10.

x −1 x − 4 x  3 − 5 < 2 Resuelve en el conjunto de los números reales el siguiente sistema de inecuaciones  .  2 15x + 2x − 8 ≥ 0

9

(21) Toque [Edit] / [Borrar todo] / [Acep.] para limpiar el área de trabajo. (22) Toque [Acción] / [Avanzado] / [solve] y seguidamente [ ] / [x] / [–] / [1] / [▼] / [3] / [►] / [–] / [ ] / [x] / [–] / [4] / [▼] / [5] / [►] / [ x−3 x−5 x−4

1 2

x − 5x + 4

<

1 2

x − 7x + 10

2)

2x − 5 3x + 2 < 3x + 2 2x − 5

3) (3x + 5)(4x − 1)(9x 2 − 3) < 0

5)

7x − 10 25(x + 2) > 5x − 17 10x 2 − 49x + 51

6)

1 1 1 + > x x−8 x+1

12. Determina según los valores del parámetro real m el conjunto solución S de cada una de las siguientes inecuaciones:

1) mx + 1 > x + m2

2)

m(x − 2) x − m x + 1 + > 6 3 2

3)

mx + (m − 2)2 x + m2 (m − 1)(x + 1) + > 8 12 3

13. Determina en el conjunto de los números reales el conjunto solución S de cada una de los siguientes sistemas de inecuaciones:

 13x − 16 x − 32 x − 6 + <  15 35 21  1)   5x + 12 11x + 28 4x + 9 + >   14 2 77

  2 2  (3x + 8) − (x + 4) > 0   4 3 1 2)  − > x − 4 x − 3 x   x3 − 5 0   1  1 3)  > x + 5 x − 5   (x − 3)3 < (x − 1)3 − 8  3 