MÓDULO 1

Curso: Matemática

EL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS REALES UNIVERSIDAD DE PANAMÁ CENTRO REGIONAL UNIVERSITARIO DE BOCAS DEL TORO

Introducción Los estudiantes que inician el curso de Matemática a nivel superior buscan profundizar los conocimientos adquiridos durante su instrucción de educación media. Este módulo pretende orientarlos, de la mejor manera posible, en un aprendizaje matemático más significativo y perecedero.

Magíster Iris Liseth Montenegro

Objetivos Competenciales: 1. Define y ejemplifica los distintos conjuntos numéricos. 2. Emplea la notación y simbología adecuada para los conjuntos numéricos. 3. Resalta la importancia de extender el conjunto de los números naturales al conjunto de los enteros. 4. Resuelve operaciones básicas en el conjunto de los números reales. Un conjunto es una colección o agrupación de cosas, personas, objetos, animales. Usualmente los conjuntos se denotan con letras mayúsculas del alfabeto. Ejemplos de Conjuntos: 1. Miembros del equipo de béisbol mayor de Bocas del Toro. 2.

Las letras del alfabeto.

3. 4.

Los alumnos de la carrera de licenciatura en Enfermería del CRUBO. 𝑀 = {5, 12, 21, 30, 62}

Un subconjunto es una parte de un conjunto. De los ejemplos anteriores, obtendremos algunos subconjuntos. 1. Miembros del equipo de béisbol mayor de Bocas del Toro que son mayores de 35 años. 2.

Las vocales.

3. 4.

Los alumnos del primer año de la carrera de licenciatura en Enfermería del CRUBO. 𝑁 = {5, 30}

Se le denomina elementos a cada uno de los objetos, cosas, animales o personas que forman parte de un conjunto dado. El símbolo matemático empleado para denotar que un elemento pertenece a un conjunto es ∈ y cuando deseamos escribir que el elemento no pertenece a un conjunto usamos el símbolo ∉. Ejemplo. Sea el conjunto 𝐴 = {2, 3, 5, 7, 11} Podemos decir que 3 ∈ A y se lee “3 es elemento o pertenece al conjunto A”. Sin embargo, 12 ∉ A y se lee “12 no es elemento de A”.

Magíster Iris Liseth Montenegro

CONJUNTOS NUMÉRICOS. La historia ha demostrado que la evolución conceptual de los distintos conjuntos numéricos ha evolucionado a lo largo de las distintas épocas de desarrollo del pensamiento humano. En la actualidad conocer su génesis es de suma importancia para poder vencer las dificultades epistemológicas de los aspectos relacionados con la teoría de los conjuntos.

Son los números que utilizamos para enumerar o contar. Se denotan mediante el símbolo ℕ y se definen como ℕ = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8…} Sistema de Numeración Decimal Nuestro sistema de numeración fue ideado por los hindúes y generalizado por los árabes. Por ello, recibe el nombre de indo arábigo. Características: 1. Es posicional: Cada dígito tiene un valor diferente de la posición que éste ocupa. Por ejemplo, si se escribe 10 el dígito ocupa la posición de las decenas. 2. La base de nuestro sistema de numeración es decimal, es decir, de base 10. 3. Los dígitos que se utilizan para representar los números son {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,8, 9}. Cada dígito posee un valor por sí mismo y esto recibe el nombre de valor absoluto. El número 3 representa la cantidad de objetos: 4. El valor relativo que posee el símbolo numérico va de acuerdo a la posición que ocupa dentro del número escrito. Lectura de los Números Naturales. Para poder realizar una lectura correcta de los números naturales se debe considerar: a) Orden: El valor relativo o valor posicional se conoce como orden. Viene dado por una sola cifra y se lee de derecha a izquierda. b) La clase está formada por 3 órdenes. c) El período está formado por 6 órdenes. Período de Período de las unidades Clase de miles de Clase de las Clase de las Clase de las millones unidades de millones unidades de millar unidades simples 13° orden

12° orden

11° orden

10° orden

Unidad de billón

Cente na de miles de millón

Decena de miles de millón

Unidad de miles de millón

9° orden Centena de millón

8° orden

7° orden

6° orden

5° orden

4° orden

3° orden

2° orden

Decena de millón

Unidad de millón

Centena de millar

Decena de millar

Unidad de millar

Centena

Decena

Magíster Iris Liseth Montenegro

1° orden Unidad

Tipos de Números a) Números Pares: Son aquellos cuya unidad termina en {0, 2, 4, 6, 8} Ejemplos de números pares 56; 7890; 112358; 102 b) Números Impares: Son aquellos cuya unidad termina en {1, 3, 5, 7, 9} Ejemplos de números impares 655; 1701; 247; 992173 c) Números Primos: Aquellos números cuyos únicos divisores son la unidad (1) y el propio número. Ejemplos de números primos = {2, 3, 5, 7, 11, 1, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41,…} d) Números compuestos: todos aquellos números que no son primos. Ejemplos de números compuestos = {24, 35, 78, 107, 94, 236, 459, 312, 39, 169,…} e) Números Gemelos: son números primos cuya diferencia es dos. Ejemplos: 5 y 3 son gemelos porque ambos son primos y al restarlos, 5 – 3, la diferencia es 2. Otras nociones básicas: a) Múltiplo de un número dado: Un número entero r es múltiplo de un número entero s cuando existe otro número natural que, multiplicado por s, nos da como resultado r. Ejemplo, los múltiplos de 6 = {6, 12, 18, 24, 30, 36,42,48, 54, 60, 66, 7…} b) Divisor de un número dado: Son los números naturales que dividen al número dado de manera exacta. Ejemplo, los divisores de 15 = {1, 3, 5, 15}

Reglas de Divisibilidad Número Regla Todo número par es divisible por 2. 2 3

4

5

6

Ejemplo 3456 es par 1167 al sumar La suma de sus dígitos es múltiplo de 3. 1+1+6+7=15 que es múltiplo de 3 2500 sus dos últimas cifras son Los dos últimos dígitos es múltiplo de 4 ambos ceros. o son ceros. 1148 sus dos últimos dígitos son múltiplos de 4. 3435 su unidad es 5 La unidad debe ser cero o cinco. 7930 su unidad es 0 216 es par y divisible por 2 Debe ser divisible por 2 y por 3 de La suma de sus dígitos 2+1+6 es manera simultánea. 9 que es múltiplo de 3 Por tanto, es divisible por 6

Magíster Iris Liseth Montenegro

Número

7

Regla La unidad se separa del resto de los números y se duplica, es decir, se multiplica por 2. Se efectúa la resta de las cifras que quedaron al separar la unidad del duplo de la unidad. Si la diferencia es 0 o múltiplo de 7 entonces el número es divisible por 7.

9

La suma de sus dígitos es múltiplo de 9.

10

Su unidad debe ser cero.

11

Se suman los dígitos que ocupan la posición par y análogamente, se suman los dígitos que ocupan la posición impar. Se restan estas sumas y la diferencia debe ser cero o múltiplo de 11.

13

La unidad se separa del resto de los dígitos y se multiplica por 9. Se restan las cifras que quedaron al separar la unidad de este producto anterior obtenido. Si la diferencia es cero o múltiplo de 13 entonces el número es divisible por 13.

17

La unidad se separa del resto de los dígitos y se multiplica por 5. Se restan las cifras que quedaron al separar la unidad de este producto anterior obtenido. Si la diferencia es cero o múltiplo de 13 entonces el número es divisible por 13.

Magíster Iris Liseth Montenegro

Ejemplo ¿427 es divisible por 7? 427 se separa la unidad que es 7 y se duplica, es decir, 7 × 2 = 14 Restamos 42 – 14 = 28 que es múltiplo de 7 297 es divisible por 9 porque la suma de 2+7+9=18 que es múltiplo de 9 360 es divisible por 10 3839 De derecha a izquierda Sumo los que ocupan la posición par, esto es, 9+8=17 Sumo los que ocupan la posición impar, esto es, 3+3=6 Restamos, 17 – 6 = 11 ¿624 será divisible por 13? 624 separamos la unidad que es 4 y la multiplicamos por 9, esto es, 4×9=36 Restamos 62 que fueron las cifras que quedaron al separar la unidad y la restamos del producto anterior. 62 – 36 = 26 que es múltiplo de 13. ¿816 será divisible por 13? 816 separamos la unidad que es 6 y la multiplicamos por 5, esto es, 6×5=30 Restamos 81 que fueron las cifras que quedaron al separar

Número

Regla

Ejemplo la unidad y la restamos del producto anterior. 81 – 30 = 51 que es múltiplo de 17.

Descomposición Factorial: Al descomponer un número natural lo que procede es dividirlo entre sus factores primos. Ejemplo 1. Descomponer el número 1080 factorialmente. 1 0 8 0 2 23 5 4 0 2 2 7 0 2 1 3 5 3 4 5 3 33 1 5 3 5 5 1 Quiere decir que el número se puede escribir como 1080 = 23 × 33 × 5 Ejemplo 2. 3 0 0 1 0 0 1 4 1

Descomponer el número 3003 factorialmente. 3 3 1 7 3 11 3 13 1 Quiere decir que el número se puede escribir como 3003 = 3 × 7 × 11 × 13 Mínimo Común Múltiplo: Es el menor de los múltiplos comunes de dos o más números naturales. Ejemplo: Determine el mcm de 18 y 45. Usaremos la definición de mínimo común múltiplo. Múltiplos de 18 = {18, 36, 54, 72, 90, 108, 126, 144, 162, 180, 198, 216, 234, 252, 270, 288…} Múltiplos de 45 = {45, 90, 135, 180, 225, 270, 315…} Múltiplos Comunes de 18 y 45 son {90, 180, 270…} Menor de los múltiplos comunes es 90.

Magíster Iris Liseth Montenegro

Veamos el método algorítmico para determinar el mínimo común múltiplo de 18 y 45 18 45 2 9 45 3 3 15 3 1 5 5 1 Luego, multiplicamos esos factores primos. Resulta que, 𝑚𝑐𝑚 = 2 × 3 × 3 × 5 = 𝟗𝟎 Máximo Común: Es el mayor de los divisores comunes de dos o más números naturales. Ejemplo: Determine el MCD de 18 y 45. Usaremos la definición para hallar el máximo común divisor. Divisores de 18 = {1, 2, 3, 6, 9, 18} 18 2 9 3 3 3 1 Divisores de 45 = {1, 3, 5, 9, 15, 45} 45 3 15 3 5 5 1 Divisores Comunes de 18 y 45 son {1, 3, 9} El mayor de los divisores comunes es 9.

Aplicaciones del mcm y del MCD Ejemplo 1. Juan asiste a la Escuela de Bellas Artes al curso de guitarra cada 6 días y José a la clase de piano cada 4 días. Si se inicia el conteo desde el día 1° del mes, ¿qué días van a coincidir en encontrarse ambos chicos en el mes en la Escuela de Bellas Artes? Veamos la solución Múltiplos de 6 serán {6, 12, 18, 24, 30} Múltiplos de 4 serán {4, 8, 12, 16, 20, 24, 28} Múltiplos comunes es el 12. El día 12° y el día 24° van a coincidir ambos en la Escuela de Bellas Artes.

Magíster Iris Liseth Montenegro

Ejemplo 2. María tiene encajes de 3 distintas medidas. Como se muestra la figura. Ella desea recortar las 3 cintas decorativas del mayor tamaño posible y de la misma longitud sin que se desperdicie ningún pedazo. ¿De qué tamaño debe cortar cada cinta?

10 cm

20 cm

45 cm

Solución Determinemos el máximo común divisor de 12, 20 y 45 Divisores de 10 son {1, 2, 5, 10} Divisores de 20 son {1, 2, 4, 5, 10, 20} Divisores de 45 son {1, 3, 5, 9, 15, 45} Divisores Comunes {1, 5} MCD = {5} Entonces, María debe cortar cada cinta decorativa de 5 cm de longitud cada una.

A. Escriba numéricamente cada número natural. 1. Dos mil quinientos treinta y ocho. ______________ 2. Trece millones doscientos cincuenta y dos mil cuatros cientos trece. ____ 3. Mil dos. ______________ 4. Novecientos diez. ______________ 5. Novecientos veinte dos mil cuatros cientos ocho. ______________ B. Escriba alfabéticamente cada número natural. a) 1327 ___________________________________________ b) 239 567 ___________________________________________ c) 27 345 976 ___________________________________________ d) 9 710 ___________________________________________

Magíster Iris Liseth Montenegro

C. Escriba la letra C si el enunciado es cierto o F si el enunciado es falso. Enunciado Respuesta La unidad de millar es 1000 veces mayor que la decena. La centena es 100 veces mayor que la unidad. La decena de millones es 10000 veces mayor que la centena. La decena es 1000 veces menor que la decena de millar. En una unidad de millar hay 100 decenas. En el número 379 el dígito 3 tiene 300 unidades. D. Encierre el número que cumple la condición dada. Enunciado Múltiplo de 8. 4 Número primo cuya suma de dígitos es 7. 34 Divisor de 430. 43 Número múltiplo de 45. 310 Número gemelo de 17. 18

12 511 2 50 17

Números 56 25 19 92 20

102 205 13 360 15

50 133 17 400 19

E. Escriba en la línea el tipo de número resultante como par o impar, según sea el caso. a. Número par + número par. _________ b. Número par + número impar. _________ c. Número impar + número impar. _________ d. Número impar – número par. _________ e. Número par – número par. _________ F. Determine el mínimo común múltiplo (mcm) o máximo común divisor (MCD) según lo solicitado. Números naturales Determine: 12 y 10 mcm 18, 21 y 60 MCD 70 y 90 mcm 60, 90 y 15 mcm G. Resuelva los siguientes problemas de aplicación. 1. Se van a repartir 70 cuadernos y 90 lápices entre la mayor cantidad de niños posibles que asisten a la escuela. Entre cuántos niños se puede repartir ambos artículos.

Magíster Iris Liseth Montenegro

2. El piso del salón de clases tiene forma rectangular el cual mide 245 cm de ancho y 210 cm de largo. Se desea colocar baldosas cuadradas en el piso. ¿Cuánto debe medir de lado la baldosa? 3. Carmen le escribe a su tía que vive en Estados Unidos cada 15 días y a su abuela que vive en Argentina cada 18 días. Un día le tocó escribirle a ambas. ¿Dentro de cuántos días le tocará escribirles el mismo día? 4. En una escuela hay 126 niños y 12 maestros. Se desean formar grupos de niños y maestros de modo que se distribuyan equitativamente en la mayor cantidad de grupos. ¿Cuántos niños hay en cada grupo? H. Marque en la casilla una equis si el número es divisible o no por el número natural dado. Justifique su respuesta. ¿Es divisible por? Número Justificación Divisor Sí No 748 13 591 7 234 6 5679 9 924 11

Los números enteros surgen de la necesidad del ser humano de representar cantidades que requieren de un punto de referencia. Tal es el caso cuando se desea indicar temperaturas por encima del cero y por debajo de él.

Temperaturas por debajo del cero

Magíster Iris Liseth Montenegro

Temperaturas por encima de cero

Los Números Enteros: Se denota mediante el símbolo ℤ es el conjunto formado por:  Los enteros positivos: ℤ+ = {+1, +2, +3, +4, +5, +6, +7, +8…}  Los enteros negativos: ℤ- = {-1, -2, -3, -4, -5, -6, -7, -8…}  El número cero. Ejemplo. Dado las siguientes situaciones del entorno, escriba el número entero que lo represente. Enunciado Entero +50 Un aumento de B/ 50 al salario base. −8 Deforestar 8 hectáreas de árboles. −32 Caminar 32 metros hacia el oeste. −75 Un submarino se halla a 75 millas bajo el nivel del mar. +25 Una temperatura de 25 grados centígrados sobre cero. Valor absoluto de un número entero: se define como sigue: 𝑥, 𝑠𝑖 𝑥 > 0 |𝑥 | = { 0, 𝑠𝑖 𝑥 = 0 −𝑥, 𝑠𝑖 𝑥 < 0 Observación: Cuando se determina el valor absoluto de un número entero nos interesa su valor numérico pero no su signo. Ejemplos: |−23| = 23 |+81| = 81 |0 | = 0 Recta Numérica: La recta numérica es una línea orientada y numerada la cual está dividida de la siguiente forma:  En el centro de la línea se escribe el número cero.  A la derecha del cero se escriben los enteros positivos.  A la izquierda del cero se escriben los enteros negativos.

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Orden en los Números Enteros Los símbolos de relación de orden son: a. Mayor que, >. Ejemplo, -2 > -9 b. Menor que significa “mayor que” y = es el signo e igualdad. Escriba el signo , = según sea el caso que corresponda. -45

________

+90

-27

________

-19

0

________

+8

+13

________

-24

-67

________

0

+31

________

+15

-6

________

-32

49

________

+49

I. Escriba la situación opuesta. Situación presentada Caminar 35 m al sur. Ganar 10 balboas. Sembrar 3 ha de árboles frutales. Inhalar 4 paquetes de cigarrillo.

J. a) b) c) d) e)

Escriba el entero opuesto. -89 _______ +56 _______ -12 _______ -39 _______ 45 _______

K. Juego de Naipes. Materiales: Cartulinas de dos colores diferentes, tijera. Indicaciones:

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Situación opuesta

Recorte cartas de 2 colores diferentes. Preferiblemente los colores fuertes representan a los enteros positivos y los colores débiles a los negativos. Reglas del Juego: 1. Dos cartas de colores iguales, se adicionan. 2. Dos cartas de colores distintos, se anulan una a una entre sí. Para cada situación, escriba el entero resultante. a) (−8) + (−2) = ______________________ b) (+3) + (+5) = ______________________ c) (+10) + (−6) = ______________________ d) (−4) + (−3) = ______________________ e) (+5) + (+4) = ______________________ f) (0) + (−5) = ______________________ g) (+68) + 0 = ______________________ h) (+6) + (−4) = ______________________ i) (−9) + (+5) = ______________________ j) (+3) + (−9) = ______________________ L. Debe resolver las operaciones indicadas. a) −12 + [−16 + (8 + 11) − 15] b) (−5 − 10) + 〈+19 + (−23 + 18) − 12〉 c) {5 + (−12 − 6)} + {−16 + [13 + (−8 − 11)]}2 M. Resuelva los productos indicados. a) −23 × 35 b) +28 × +12 c) −13 × −19 N.

Resuelva el siguiente mategrama. -28

÷

÷

+ ÷

=

-2

-4 +

=

= -

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=

= =

+2

𝑎

Este conjunto se denota con el símbolo ℚ. Se escriben de la forma 𝑏 . A los elementos del

conjunto de los números racionales usualmente se les llama fracciones. Una fracción es una parte de la que se ha dividido la unidad. Ejemplo: Supóngase que usted tiene una barra de chocolate y desea compartirla usted con otras personas más. Observe la figura.

Responda: ¿En cuántas partes iguales se dividió la barra de chocolate? ¿Cuántas partes le corresponden a usted? 1 Al escribir la fracción resulta 15

Respuesta: 15 Respuesta: 1

El número 1 recibe el nombre de numerador y el número 15 recibe el nombre de denominador. Los números racionales pueden ser: a. Fracciones propias: son aquellas cuyo numerador es menor que el denominador. 3 Ejemplo, 5 es una fracción propia. b. Fracciones impropias: son aquellas cuyo numerador es mayor o igual que el denominador. 8 Ejemplo, 3 es una fracción impropia.

c. Fracción Mixta: poseen una parte entera y una parte fraccionaria. 7 Ejemplo, 5 12 es una fracción mixta ya que la parte entera es 5 y la fraccionaria es 7

12

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Conversiones: Para obtener el numerador de la fracción impropia se debe multiplicar el entero por el denominador del mixto y a este producto se le agrega el numerador. El denominador sigue siendo el mismo. 6

Ejemplo. Convertir la fracción mixta 3 11 a fracción impropia. (3 × 11) + 6 33 + 6 39 6 3 = = = 11 11 11 11 Para expresar una fracción impropia a fracción mixta se debe dividir el numerador entre el denominador. El cociente obtenido será el entero de la fracción mixta. El residuo será el numerador y el divisor será el denominador. Ejemplo. Convertir la fracción 17 ÷ 8 = 2 (cociente) 16 1 (residuo)

17 8

a fracción mixta

17 1 =2 8 8

Representación Gráfica de Racionales. Una fracción es un número que representa una unidad dividida en partes iguales de la cual se toman porciones o secciones. 1 Ejemplos: 4 es una fracción significa que la unidad se divide en 4 partes iguales de las cuales se toma 1.

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1 4

b) Si la fracción es

11 8

, la unidad se divide en ocho partes iguales, y se toman en total 11 de

ellas, por ello se debe tener más de una sola unidad.

Orden en los racionales. Para comparar dos o más números racionales emplearemos la regla fundamental de las proporciones que se enuncia así: 𝑎 𝑐 = 𝑠𝑖 𝑦 𝑠ó𝑙𝑜 𝑠í 𝑎𝑑 = 𝑏𝑐 𝑏 𝑑 Ejemplo. Escriba el símbolo >, ), menor que (