1 Conjuntos y matrices. Sistemas de ecuaciones lineales

1.1. Matrices Nuestro objetivo consiste en estudiar sistemas de ecuaciones del tipo: a 11 x 1 a n1 x 1

+...+ ... +...+

a 1m x m a nm x m

 = b1  ...  = bn

Una solución para este sistema viene formada por un valor para cada x i de manera que se verifiquen todas las igualdades. Nuestra intención es estudiar dichas soluciones. En nuestro estudio, tendremos que estudiar los coeficientes a i , j , b k ; para ello, será muy cómodo escribirlos de la forma: a 11  .. A= . a n1 

... ··· ...

  a 1m  ..  .  , b= a nm

 b1 ..  .  bn

Este tipo de expresiones se llaman matrices, y serán nuestro próximo objeto de estudio. Definición: Una MATRIZ es un conjunto de números reales ordenados en forma de rectángulo, que usualmente se delimitan por medio de paréntesis. Si una matriz tiene n filas y m columnas, se dice que es una matriz n × m. Se escribe Mn×m al conjunto de todas las matrices n × m. El elemento (o componente) (i , j ) de una matriz es el número que se sitúa en la fila i y la columna j . Por ejemplo, la matriz: µ ¶ −1 9 6 M= 0 1 4 es 2 × 3, y su elemento (1, 2) es 9. Dos matrices A, B son iguales si tienen el mismo número de filas y columnas y además todos sus componentes (i , j ) son iguales, para cualesquiera i , j . A continuación se dan algunas definiciones: • Una matriz que esté formada por una sola columna, se llama matriz formada por una fila se llama VECTOR FILA.

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VECTOR COLUMNA .

Análogamente, una

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• Si A es una matriz n × m, su MATRIZ TRASPUESTA es una matriz m × n que se obtiene cambiando filas por columnas, y viceversa. Se escribe A T . Con el ejemplo anterior, la matriz M T sería:  −1 0 MT =  9 1  6 4 

Una matriz se dice que es SIMÉTRICA si es igual a su traspuesta. Para ello, obviamente, deberá tener el mismo número de filas que de columnas (ver definición siguiente). • Una MATRIZ CUADRADA es aquélla que tiene igual número de filas que de columnas. En este caso, se llama DIAGONAL PRINCIPAL a la diagonal formada por los elementos a i ,i . 1. Una matriz cuadrada se llama iguales a cero.

DIAGONAL

si todos los elementos fuera de la diagonal principal son

2. Una matriz cuadrada se llama TRIANGULAR SUPERIOR si todos los elementos por debajo de la diagonal principal son iguales a cero. 3. Una matriz cuadrada se llama TRIANGULAR INFERIOR si todos los elementos por encima de la diagonal principal son iguales a cero. Por ejemplo, de las matrices:    µ ¶ 1 2 −3 2 0 0 −1 0 , C = 2 7 0  A= 3 1 0  , B = 0 4 −3 0 1 6 4 7 

todas son cuadradas, A es triangular inferior, B es diagonal y C es simétrica. Los elementos de la diagonal principal de A vienen subrayados.

1.1.1. Operaciones con matrices Suma de matrices Si A y B son matrices n × m, se define la matriz A + B como una matriz también n × m cuyas componentes se obtienen sumando las componentes (i , j ) de A y B . Es decir, si llamo C = A + B , entonces c i , j = a i , j + b i , j . El conjunto Mn×m con la operación suma verifica las propiedades: 1. Asociativa: A + (B +C ) = (A + B ) +C . 2. Elemento neutro: Es aquélla matriz cuyas componentes son todas cero. Se denomina matriz 0, y verifica que A + 0 = 0 + A = A para toda A ∈ Mn×m . 3. Elemento opuesto: Dada A una matriz, su matriz opuesta −A se define como aquélla cuyas componentes son iguales a las de A, pero cambiadas de signo. Por tanto, se tiene que A + (−A) = (−A) + A = 0. 4. Conmutativa de la suma: A + B = B + A. Producto por escalares Dada A una matriz y λ un número real, se puede definir el producto λ A como una matriz, con el mismo número de filas y columnas, que se obtiene multiplicando por λ cada componente. Es decir, si C = λ A, entonces ci , j = λ ai , j . El producto de matrices por escalares verifica las siguientes propiedades:

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1. Modular: 1A = A. 2. Pseudoasociativa: (λµ)A = λ(µA). 3. Distributivas: λ(A + B ) = λA + λB , (λ + µ)A = λA + µA. Producto de matrices La definición del producto de matrices es un poco más complicada. Sea A una matriz n ×m, y B una matriz m × k. Se define el producto AB como una matriz C , que será n × k, y cuyas componentes se obtienen: c i , j = a i ,1 b 1, j + a i ,2 b 2, j + . . . a i ,m b m, j Es decir, la componente (i , j ) se obtiene multiplicando una a una las componentes de la fila i -ésima de A y la columna j -ésima de B , y sumando después. Importante: Para que A y B se puedan multiplicar A debe tener tantas columnas como filas tiene B . Para cualquier n, se define la MATRIZ IDENTIDAD de orden n, I n , como la matriz n×n diagonal cuya diagonal principal está formada por unos. A veces se escribirá simplemente I . Esta matriz es muy importante ya que juega el papel de elemento neutro para el producto. Enunciamos ahora las propiedades básicas el producto de matrices. 1. Asociativa (AB )C = A(BC ) 2. Elemento neutro: Si A es una matriz n × m, entonces AI m = A, I n A = A. 3. Distributivas: A(B +C ) = AB + AC ; (A + B )C = AC + BC En el producto de matrices hay un par de propiedades a las que estamos acostumbrados que no se cumplen. La primera de ellas es la propiedad conmutativa. De hecho, puede ocurrir que dos matrices A y B se puedan multiplicar así, AB , pero no de la forma B A. Más aún, incluso en los casos en que se puedan multiplicar por ambos lados, el resultado puede ser distinto: AB 6= B A. Otra propiedad que no se cumple es la de elemento inverso. Dada una matriz cuadrada A, se llama MATRIZ INVERSA de A, y se nota A −1 , a otra matriz de mismo orden verificando que A A −1 = A −1 A = I . Pues bien, existen matrices distintas de cero que no tienen inversa. Esto se estudiará más adelante.

1.1.2. Transformaciones elementales A continuación estudiamos las llamadas trasformaciones elementales de matrices por filas. Análogamente podríamos hacerlo todo por columnas; sin embargo, son las transformaciones por filas las que son importantes en los sistemas de ecuaciones. Dada una matriz A cualquiera, las TRANSFORMACIONES ELEMENTALES por filas de A son tres: • Cambiar dos filas de lugar. • Multiplicar una fila por una constante distinta de cero. • Sumar a una fila otra multiplicada por una constante. La idea es pasar de una matriz concreta A, mediante transformaciones elementales, a otra matriz más fácil de estudiar. En concreto, siempre será posible llegar a una matriz escalonada, la cual se define a continuación: Una MATRIZ ESCALONADA es aquélla que verifica las siguientes propiedades: 1. Todas las filas llenas de ceros se encuentran en la parte inferior de la matriz.

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2. De izquierda a derecha, el primer número distinto de cero (llamado PIVOTE) es siempre igual a 1. 3. El pivote de cada fila está más a la derecha que el pivote de la fila de encima. Si, además, la matriz verifica: 4. Todos los elementos de una columna en que hay un pivote son cero, excepto él mismo. entonces, se dice que es una MATRIZ ESCALONADA REDUCIDA. Por ejemplo, entre las matrices:    µ ¶ 1 0 0 1 0 −3 1 4 3 A= 0 1 0  , B = , C = 0 1 4  0 1 8 0 1 7 0 0 0 

A no es escalonada, B sí lo es pero no es reducida, y C es escalonada reducida. Teorema 1. A partir de cualquier matriz A se puede llegar, haciendo transformaciones elementales, a una matriz escalonada reducida E . Además, esta matriz E es única, y se llama forma de Hermite de A. Veamos en un ejemplo cómo se hace. Obsérvese que, primero, hacemos que la componente (1, 1) sea igual a uno. Luego, se hace que el resto de componentes de la primera columna sean cero. Después se pasa a la componente (2, 2), y así.   1 −1 −6 2 3 1 ∼   1  1 0 0 −1 0 F 1 ↔F 3 −6 2 1 −1 0 2    1 −1 1 −1 0 2 ∼    0 0 1 1 −1 −2 F 30 =F 3 +6F 1 0 −4 −6 2 3 1    1 −1 0 2 1 ∼  0 1 −1 −2   0 F 30 =−F 3 0 0 −1 5 0 

 0 2 −1 0  3 1

∼ F 20 =F 2 −F 1

 0 2 −1 −2  3 13

∼ F 30 =F 3 +4F 2

 −1 0 2 1 −1 −2  0 1 −5

Hasta aquí, hemos obtenido la matriz escalonada. Ahora conseguimos la escalonada reducida, eliminando las componentes por encima de los pivotes, de abajo a arriba:  1 −1 0 2  0 1 −1 −2  0 0 1 −5 

 1 −1 0 2  0 1 0 −7  0 0 1 −5 

∼ F 20 =F 2 +F 3

 1 0 0 −5  0 1 0 −7  0 0 1 −5 

∼ F 10 =F 1 +F 2

El teorema anterior nos permite hacer una definición importante: • Dada una matriz A, se define el RANGO de A como el número de filas distintas de cero que tiene su forma de Hermite. El rango siempre es un número menor o igual que el número de filas y el número de columnas. Además, el rango es cero si y sólo si A = 0. En nuestro ejemplo de antes, el rango es 3. Nota: Para calcular el rango no es necesario calcular la forma de Hermite: con llegar a una matriz escalonada, el rango sería ya el número de filas no nulas de dicha matriz.

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Una aplicación: cálculo de inversas Ahora pretendemos estudiar qué matrices cuadradas tienen inversas y cómo calcularlas: Teorema 2. Sea A una matriz cuadrada n × n. Son equivalentes: i A es invertible, es decir, tiene inversa. ii La forma de Hermite de A es la identidad I n . iii El rango de A es igual a n. Método para calcular la matriz inversa: En una matriz se coloca, a la izquierda, la matriz A, y a la derecha la matriz identidad. A continuación se realizan las transformaciones elementales por filas necesarias hasta que a la izquierda nos quede la identidad. Entonces, A −1 será la matriz que nos ha quedado a la derecha.

1.2. Sistemas de ecuaciones lineales En esta sección usaremos lo que conocemos sobre las matrices para la resolución de sistemas de ecuaciones lineales. En principio, un sistema de n ecuaciones con m incógnitas tiene la siguiente forma: a 11 x 1 a n1 x 1

+...+ ... +...+

a 1m x m a nm x m

 = b1  ...  = bn

Y esto se suele reescribir mediante el producto de matrices de la forma AX = b, donde estamos llamando a 11  .. A= . a n1 

... ...

     a 1m x1 b1  .   .  ..  .  , X =  ..  , y b =  ..  a nm xm bm

La matriz A se llama MATRIZ DE COEFICIENTES, y si le añadimos al final la columna b obtenemos la MATRIZ A˜ = (A | b). Un sistema de ecuaciones lineales se dice INCOMPATIBLE si no admite ninguna solución. Si admite soluciones se dice COMPATIBLE. Un sistema compatible puede ser: AMPLIADA , que se escribe

1. S ISTEMA C OMPATIBLE D ETERMINADO si admite una única solución. 2. S ISTEMA C OMPATIBLE I NDETERMINADO si admite más de una (de hecho, infinitas). El próximo teorema nos permite distinguir entre los distintos casos: ˜ la matriz ampliada. Teorema 3 (Rouché-Frobenius). Sean M la matriz de un sistema de ecuaciones lineales y M Entonces: ˜ entonces tenemos un Sistema Incompatible. • Si rango(A) < rango( A), ˜ y es igual al número de incógnitas, entonces tenemos un Sistema Compatible De• Si rango(A) = rango( A) terminado. ˜ y es menor que el número de incógnitas, entonces tenemos un Sistema Compatible • Si rango(A) = rango( A) Indeterminado.

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Método de Gauss para resolver un sistema de ecuaciones: Se escribe la matriz ampliada y se realizan transformaciones elementales hasta llegar a una matriz escalonada. Si A y A˜ tienen distinto rango, el sistema es incompatible y no se puede resolver. Si tienen el mismo rango y es igual al número de incógnitas, (por tanto, es SCD) basta escribir el sistema correspondiente y resolver por sustitución, de abajo a arriba. Si tienen el mismo rango y es menor que el número de incógnitas, (por tanto, es SCI), se deben elegir las incógnitas cuyas columnas no tienen ningún pivote. A estas incógnitas se considera como parámetros reales, y por tanto se pasan al otro lado de la ecuación. Haciendo así, nos queda un SCD, que se resuelve por sustitución. Nota: Se puede hacer también pasando no sólo a una matriz escalonada, sino a una escalonada reducida (es decir, la forma de Hermite). De este modo, la resolución del sistema es automática. Este método se llama MÉTODO DE G AUSS -J ORDAN . Como ejemplo, estudiemos el sistema:   x 3x  2x

+3y +y +y

+2z −2z −z

= −5 = 1 = 0

Nuestro sistema queda dado por las matrices: ¯  1 3 2 ¯¯ −5 A|A ∗ =  3 1 −2 ¯¯ 1  2 1 −1 ¯ 0 

Aplicamos transformaciones elementales: ¯  1 3 2 ¯¯ −5  3 1 −2 ¯ 1  ¯ 2 1 −1 ¯ 0 

∼ F 20 =F 2 −3F 1 F 30 =F 3 −2F 1

¯  1 3 2 ¯¯ −5  0 1 1 ¯ −2  ¯ 0 1 1 ¯ −2

1 3 2  0 −8 −8 0 −5 −5 

¯  ¯ −5 ¯ ¯ 16  ¯ ¯ 10

∼ F 20 =− 18 F 2 F 30 =− 15 F 3

¯  1 3 2 ¯¯ −5  0 1 1 ¯ −2  ¯ 0 0 0 ¯ 0 



∼ F 30 =F 3 −F 2

Por tanto, tenemos un Sistema Compatible Indeterminado, que tendrá infinitas soluciones. Se considera entonces la variable z (aquélla en la que no hay pivotes) como parámetro, α, y se resuelve el sistema: x

+ 3y y

= −5 − 2α = −2 − α

Sustituyendo el valor de y de la segunda ecuación en la tercera, obtenemos: x = −3y − 5 − 2α = 6 + 3α − 5 − 2α = 1 + α Las soluciones son, pues, x = 1 + α, y = −2 − α, z = α para cualquier α ∈ R.

1.3. Determinantes El determinante de una matriz cuadrada es un número real cuya definición exacta es bastante complicada. Por ello, definiremos el determinante de matrices pequeñas, y estudiaremos métodos y técnicas para calcular determinantes en general. Solamente se puede calcular el determinante a matrices cuadradas. En cuanto a la notación, a veces se escribe con la palabra det, y otras veces se indica sustituyendo los paréntesis de la matriz por barras verticales.

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• El determinante de una matriz 1 × 1 es: det(a) = a. • El determinante de una matriz 2 × 2 es: ¯ ¯ a 11 ¯ ¯ a 21

¯ a 12 ¯¯ = a 11 a 22 − a 12 a 21 a 22 ¯

• El determinante de una matriz 3 × 3 es: ¯ ¯ ¯ a 11 a 12 a 13 ¯ ¯ ¯ ¯ a 21 a 22 a 23 ¯ = a 11 a 22 a 33 + a 12 a 23 a 31 + a 21 a 32 a 13 − a 31 a 22 a 13 − a 32 a 23 a 11 − a 21 a 12 a 33 ¯ ¯ ¯ a ¯ 31 a 32 a 33 La fórmula anterior se conoce como Regla de Sarrus. • Veamos ahora como hacer el determinante de una matriz cualquiera. Para ello, necesitamos antes el concepto de menor de una matriz. Sea A = (a i j ) una matriz cuadrada. El MENOR M i j de A es el determinante de la matriz que resulta al eliminar la i -ésima fila y la j -ésima columna de A. Sea A = (a i j ) una matriz cuadrada. Su determinante se puede calcular de desarrollando por una fila cualquiera (o columna), de la siguiente forma: 1. Si elegimos la i -ésima fila, det A = a i 1 (−1)i +1 M i 1 + . . . + a i n (−1)i +n M i n . 2. Si elegimos la j -ésima columna, det A = a 1 j (−1)1+ j M 1 j + . . . + a n j (−1)n+ j M n j . El signo (−1)i + j que acompaña al menor M i j se suele recordar mediante la regla: ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯

+ − + − .. .

− + − + .. .

+ − + − .. .

− + − + .. .

... ... ... ...

¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯

1.3.1. Propiedades de los determinantes Sean A, B matrices cuadradas, λ un escalar. 1. Si A tiene una fila de ceros, det A = 0. 2. Si dos filas de A son iguales o proporcionales, det A = 0. 3. Si A es triangular (superior o inferior), entonces det A es igual al producto de los coeficientes de la diagonal principal. 4. det A = det(A T ). 5. det(AB ) = det A det B . 6. Si B se obtiene al mutiplicar una sola fila de A por λ, entonces det B = λ det A. 7. Si B se obtiene al intercambiar dos filas de A, det B = − det A. 8. Si B se obtiene al sumar a una fila de A otra multiplicada por un número, det B = det A.

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Puesto que det A = det(A T ), todas las propiedades anteriores se verifican igualmente si en lugar de filas hablamos de columnas. Las últimas propiedades nos permiten calcular un determinante pasando de la matriz en cuestión a otra que sea más fácil mediante transformaciones elementales (por filas o por columnas). En general, resultará interesante conseguir una fila o columna en que casi todos los elementos sean cero, y desarrollar por esa fila o columna. Hay una propiedad del determinante que, por su relevancia, se enuncia a continuación como Teorema: Teorema 4. Una matriz cuadrada A es invertible si y sólo si det A 6= 0. Los determinantes pueden hacernos más fácil el estudio del rango de una matriz. Para empezar, y como consecuencia del teorema anterior, una matriz n ×n tiene rango igual a n si y sólo si su determinante es distinto de cero. Además, supongamos que tenemos una matriz A (no necesariamente cuadrada) y una submatriz suya M cuadrada m × m. Si det M 6= 0, entonces el rango de M es m, lo que quiere decir que el rango de A es al menos m.

1.3.2. Matriz adjunta e inversa. Dada A = (a i j ) una matriz cuadrada, recordemos que el menor M i j de A es el determinante de la matriz que resulta al eliminar la i -ésima fila y la j -ésima columna de A. Definimos la matriz ADJUNTA de A como la matriz formada por todos sus menores, multiplicado cada uno por su signo correspondiente, y se escribe Adj(A). Así pues, el elemento (i , j ) de la matriz Adj(A) es (−1)i + j M i j . Mediante la matriz adjunta, es posible calcular la matriz inversa de una matriz: Teorema 5. Sea A una matriz cuadrada con determinante distinto de cero. Entonces A −1 =

1 (Adj(A))t det A

1.4. Regla de Cramer Este es un método para resolver sistemas de ecuaciones compatibles determinados mediante determinantes. Sea AX = b un sistema de ecuaciones lineales, donde A es una matriz cuadrada con det A 6= 0. Escribamos: a 11  .. A= . a n1 

... ...

 a 1n ..  . , a nn

 x1  .  X =  ..  , xn 

 b1  .  b =  ..  bn 

Entonces, b1  .. det  . bn 

x1 =

a 12 .. . a n2

... ...

 a 1n ..  .  a nn

a 11  .. det  . a n1 

,...,

xn =

... ...

a 1,n−1 .. . a n,n−1

 b1 ..  .  bn

det A det A Es decir, para calcular la incógnita x i , en el numerador se tiene el determinante de la matriz que resulta al cambiar en A la columna i -ésima por la columna b. En el denominador se tiene siempre el determinante de A. Como ejemplo, resolvamos: x − y + z = 0 x + 3y + 2z = −1 2x + 2y + z = −1 Formamos la matriz A y su ampliada:

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¯  1 −1 1 ¯¯ 0 A|A ∗ =  1 3 2 ¯¯ −1  2 2 1 ¯ −1 

Comprobamos que el determinante de A es distinto de cero: ¯ ¯ ¯ 1 −1 1 ¯ ¯ ¯ |A| = ¯¯ 1 3 2 ¯¯ = −8 ¯ 2 2 1 ¯

Las soluciones se calculan entonces por la regla de Cramer:

x=

¯ ¯ ¯ 0 −1 1 ¯ ¯ ¯ ¯ −1 3 2 ¯ ¯ ¯ ¯ −1 2 1 ¯

y=

z=

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−8 ¯ ¯ 1 0 1 ¯ ¯ 1 −1 2 ¯ ¯ 2 −1 1

−8

=

¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯

=

¯ ¯ ¯ 1 −1 0 ¯ ¯ ¯ ¯ 1 3 −1 ¯ ¯ ¯ ¯ 2 2 −1 ¯

−8

−1 4

−1 4

=0

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