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Integraci´on
Contenido
1. Integrales Dobles 1.1. Integrales iteradas . . . . . . 1.2. Regiones en R2 . . . . . . . 1.3. Volumen . . . . . . . . . . . 1.4. Volumenes bajo una funci´on 1.5. Centro de Masa . . . . . . . 1.6. Coordenadas Polares . . . . 1.7. Ejercicios varios . . . . . . .
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2 2 3 3 4 4 5 5
2. Integrales Triples 2.1. Evaluar las siguientes integrales . . . . . . 2.2. Regiones y cambio del orden de integraci´on 2.3. Volumen con triple integral . . . . . . . . . 2.4. Coordenadas cil´ındricas . . . . . . . . . . . 2.5. Coordenadas esf´ericas . . . . . . . . . . .
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7 7 7 8 8 9
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1
Integrales Dobles 1.1. Integrales iteradas Z
2
Z
1
Z
2
1
4.
Z
2
5.
Z
6.
Z
1.
1
2.
x2 y dy dx.
Z
x+1
Z
2y
Z
y−1
Z
x
π/6
Z
(3x + 2y) dy dx.
x3
(4x − y) dx dy.
y2
0
0
(x2 + y 2 ) dx dy.
−y−1
ey/x dy dx.
x3
1
0
7.
x
1−x
−1
3.
√
Z
(x cos y − y cos x) dy dx.
0 x
Z eZ 1
π/2
(ln x) dy dx.
0
1
Z
1
8.
Z
π/4
Z
sec x
9.
Z Z
π/4
Z
sen x
0
y
π/6
10.
(
π/6
1 ) dx dy. 1 + y2 (y + sen x) dy dx.
tan x
0
ey cos x dy dx.
Sugerencia: Evalu´e estas integrales de manera directa.
1.2. REGIONES EN R2
3
1.2. Regiones en R2 Cambie el orden de integraci´on y eval´ue la integral resultante. Z 9Z 2 2 1. ey dy dx. 0
2.
2x
Z
1
Z
2
4
Z eZ 1
5.
Z
Z
0
sen x3 dx dy. y
y cos x2 dx dy.
y2
0
4.
3
√
0
3.
Z
Sugerencia: Dibuje la regi´on de integraci´on.
ln x
y dy dx.
0
8
Z
2 √ 3
y
√
y dx dy. 16 + x7
1.3. Volumen Dibujar el s´olido en el primer cuadrante acotado por las ecuaciones siguientes, y calcule su volumen. 1. x2 + z 2 = 9, y = 2x, y = 0, z = 0. 2. z = 4 − x2 , x + y = 2, x = 0, y = 0, z = 0. 3. 2x + y + z = 4, x = 0, y = 0, z = 0. 4. y 2 = z, y = x, x = 4, z = 0. 5. z = x2 + y 2 , 2x + 3y = 6, x = 0, y = 0, z = 0.
Sugerencia: Use una integral doble.
´ 1.4. VOLUMENES BAJO UNA FUNCION
4
1.4. Volumenes bajo una funci´on Cambie el orden de integraci´on y eval´ue la integral resultante. Z 1 Z 1−x2 1. (x2 + y 2 ) dy dx. x−1
−2
3−x2
2.
Z
1Z
3.
Z
4Z 1
4.
Z
4Z
2
5.
Z Z
π
sen x
0
0
3−x √ y
6.
0
25 − x2 − y 2 dy dx.
(x + y) dx dy.
y/4 y 1/3
Z
y 1/2
0
0
p
Sugerencia: Dibuje la regi´on de integraci´on y la gr´afica.
p ( x2 + y 2 ) dx dy.
3 dy dx.
−1
Z
dy dx.
0
1.5. Centro de Masa Encontrar el centro de masa de la l´amina con la forma de la regi´on acotada por las gr´aficas dadas y que tiene la densidad indicada. √ 1. y = x, x = 9, y = 0, ρ(x, y) = x + y. 2
2. y = e−x y = 0, x = −1, x = 1, ρ(x, y) = |xy|. 3. y = sen x, y = 0, x = 0, x = π, ρ(x, y) = y. 4. x = y 2 , y − x = 2, y = −2, y = 3, ρ(x, y) = 1. 5. xy 2 = 1, y = 1, y = 2, ρ(x, y) = x2 + y 2 .
Sugerencia: Aplicar la f´ormula.
1.6. COORDENADAS POLARES
5
1.6. Coordenadas Polares Cambie el orden de integraci´on y eval´ue la integral resultante. Z a Z √a2 −x2 2 2 1. e−(x +y ) dy dx. −a
0 √
2.
Z
aZ 2Z
x
3.
Z Z
1
√
0
1
4.
0
a2 −x2
(x2 + y 2 )3/2 dy dx.
0
x2
0
Z
1 dy dx. + y2
1−x2
Sugerencia: Dibuje la regi´on de integraci´on y la gr´afica.
√2 2 e x +y dy dx.
0
5. Calcular el volumen del s´olido que esta fuera del cilindro x2 + y 2 = 9 y dentro de la esfera x2 + y 2 + z 2 = 25. 6. Calcular el volumen del s´olido que se encuentra dentro del elipsoide 4x2 + 4y 2 + z 2 = 16, y fuera del cilindro x2 + y 2 = 1. 7. Calcular del volumen del s´olido acotado por el cono z = r, y por el cilindro r = 2 cos θ. 8. Calcular el volumen del s´olido acotado por el paraboloide z = 4r2 , el cilindro r = 3 sen θ y el plano z = 0.
1.7. Ejercicios varios 1. Evaluar la siguiente integral cambiando a coordenadas polares: y 2 + 1) dy dx.
Z
1
−1
Z
√
1−x2
√ − 1−x2
ln(x2 +
2. Halle el volumen del s´olido que se encuentra debajo del paraboloide z = x2 + y 2 y arriba de la regi´on delimitada por la recta y = 2x y la par´abola y = x2 . 3. Hallar el volumen del cuerpo en limitado por las superficies indicadas: a) z = x2 + y 2 , z = 1. b) x + y + z = 6, x2 + y 2 = 1, x = 0, y = 0, z = 0. c) 2x2 + 3y 2 + z 2 = 6, z = (2x2 + 3y 2 )1/2 , z ≥ 0.
4 4. Demuestre que el volumen de la esfera de radio r es πr3 . 3 1 5. Demuestre que el volumen del cono de altura h y radio r es πr2 h. 3
1.7. EJERCICIOS VARIOS
6. Demuestra usando la integral de arco que la longitud de la circunferencia de radio r es 2πr.
6
2
Integrales Triples 2.1. Evaluar las siguientes integrales Z
1
Z
2
2
3.
Z
3
4.
Z
1.
1
Z
x2
Z
x2
Z
3y
0
−1
2
2x
1+x
0
2.
Z
x+z
Z
x−z
Z
x+y
Z
yz
x dy dz dx.
z
Sugerencia: Dibuje la regi´on de integraci´on.
z dy dx dz.
x+z
1
0
Z
2x2 y dz dy dx.
0
(2x + y + z) dx dz dy.
1
2.2. Regiones y cambio del orden de integraci´on DibujeZ las regiones Q acotadas por las gr´aficas de las ecuaciones dadas y Z siguientes Z exprese f (x, y, z)dV , como una integral iterada de 6 maneras diferentes. Q
1. x + 2y + 3z = 6, x = 0, y = 0, z = 0. 2. z = 9 − 4x2 − y 2 , z = 0. 3. 36x2 + 9y 2 + 4z 2 = 36. 4. x2 + y 2 = 9, z = 0, z = 2.
2.3. VOLUMEN CON TRIPLE INTEGRAL
8
2.3. Volumen con triple integral Dibujar la regi´on acotada por las siguientes gr´aficas y calcular su volumen con triple integral. 1. z + x2 = 4, y + z = 4, y = 0, z = 0. 2. x2 + z 2 = 4, y 2 + z 2 = 4. 3. y = 2 − z 2 , y = z 2 , x + z = 4, x = 0. 4. z = 4y 2 , z = 2, x = 2, x = 0. 5. y 2 + z 2 = 1, x + y + z = 2,x = 0. 6. z = x2 + y 2 , y + z = 2. 7. z = 9 − x2 , z = 0, y = −1, y = 2.
Sugerencia: Usar un programa para gr´aficas las regiones.
8. z = ex+y , y = 3x, x = 2, y = 0, z = 0. 9. z = x2 , z = x3 , y = z 2 , y = 0. 10. y = x2 + z 2 , z = x2 , z = 4, y = 0.
2.4. Coordenadas cil´ındricas 1. Encontrar el volumen y el centro de gravedad del s´olido acotado por las gr´aficas de z = x2 + y 2 , x2 + y 2 = 4, z = 0. 2. Encontrar el volumen y el centro de gravedad del s´olido acotado por las gr´aficas de x2 + y 2 − z 2 = 0, x2 + y 2 = 4. 3. Un s´olido homog´eneo est´a acotado por las gr´aficas de z = r, z = r2 . Encontrar: a) el centro de masa. b) el momento de inercia respecto al eje z. 4. Encuentre la masa del s´olido en forma de cono acotado por las gr´aficas de z = r y z = 4, suponiendo que la densidad en un punto P es directamente proporcional a la distancia de P al eje z.
Sugerencia: Usar nadas cil´ındricas.
coorde-
´ 2.5. COORDENADAS ESFERICAS
9
2.5. Coordenadas esf´ericas 1. Calcular el volumen del s´olido que est´a encima del cono z 2 = x2 + y 2 y dentro de la esfera x2 + y 2 + z 2 = 4z. 2. Calcular el volumen del s´olido que esta dentro de la esfera x2 + y 2 + z 2 = 1 y fuera del cono z 2 = x2 + y 2 . 3. Calcule la masa del s´olido que esta dentro de la esfera r = 2, suponiendo que la densidad en un punto P es directamente proporcional al cuadrado de la distancia de P al centro de las esferas.
Sugerencia: Usar nadas esf´ericas.
coorde-
Integraci´on