Integrales dobles

Integrales dobles

Integrales dobles

Integrales iteradas Z

b a

Z

g2 (x)

f (x, y) dydx ó g1 (x)

Z

d c

Z

h2 (y )

f (x, y) dxdy

h1 (y )

Los límites interiores de integración pueden ser variables respecto a la variable exterior de integración, pero los límites exteriores de integración han de ser constantes con respecto a las dos variables de integración. Una vez realizada la primera integración, se llega a una integral definida ordinaria y al integrar por segunda vez se obtiene un número real. Los límites de integración determinan la región de integración.

Integrales dobles

El concepto de integral doble Consideramos una función continua f tal que f (x, y) ≥ 0 ∀(x, y) ∈ dom(f ) Deseamos hallar el volumen de la región sólida comprendida entre la superficie z = f (x, y) y el plano XY . Suponemos que la función f está definida sobre un rectángulo cerrado n o R = [a, b] × [c, d ] = (x, y) ∈ R2 /a ≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ d Tomamos una partición P de R en subrectángulos que obtenemos realizando el producto cartesiano de una partición de [a, b] por una de [c, d ]: a = x0 < x1 < · · · < xi−1 < xi < · · · < xm = b c = y0 < y1 < · · · < yj−1 < yj < · · · < yn = d

Integrales dobles

El concepto de integral doble (II)  P = [xi−1 , xi ] × [yj−1 , yj ], i = 1, · · · , m, j = 1, · · · , n

Denotamos por ∆xi = xi − xi−1 , ∆yj = yj − yj−1 Área de cada subrectángulo Rij = [xi−1 , xi ] × [yj−1 , yj ]: Aij = ∆xi ∆yj  Llamamosmij = mín f (x, y), (x, y) ∈ Rij Mij = máx f (x, y), (x, y) ∈ Rij

Consideramos los prismas que tienen por base un rectángulo de la partición y por altura o el mínimo o el máximo de f sobre ese rectángulo: V =área de la base · altura

Integrales dobles

El concepto de integral doble (III) DEF. Se llama suma inferior de Riemann de f en P a X L(f , P) = s(f , P) = mij Aij 1≤i≤m,1≤j≤n

DEF. Se llama suma superior de Riemann de f en P a X Mij Aij U(f , P) = S(f , P) = 1≤i≤m,1≤j≤n

Si se consideran particiones más finas la aproximaciones mejoran. Se cumple: L(f , P) ≤ U(f , Q) siendo P, Q dos particiones de R. Si se refina la partición, las sumas inferior y superior se aproximan.

Integrales dobles

Definición de integral doble DEF. Se llama integral inferior de Riemann de f en R a Z f = sup {L(f , P), P ∈ P(R)} R

DEF. Se llama integral superior de Riemann de f en R a Z f = ínf {U(f , P), P ∈ P(R)} R

DEF. Diremos que f es integrable sobre R si coinciden sus integrales superior e inferior. A ese valor lo llamamos integral de f y lo representamos por: Z Z Z f = f dx dy R

R

Integrales dobles

Propiedades de integral doble Teorema. Sea R un rectángulo de R2 y f : R → R una función. Si f es continua en R salvo, a lo sumo, en los puntos que forman una unión finita de líneas, f es integrable. Sea A una región plana acotada y f : A → R. Por ser A acotada, existe un rectángulo R  que la encierra. Se puede f (x, y) si (x, y) ∈ A construir la función: F (x, y) = 0 si (x, y) ∈ R − A Si F es integrable sobre R, entonces f es integrable sobre A. Z Z Z Z f = F a

R

Teorema. Sea f : A ⊂ R2 → R acotada y A una región acotada. Entonces, si f es continua en A, f es integrable en A.

Integrales dobles

Propiedades de integral doble (II) Sean f , g : A ⊂ R2 → R dos funciones continuas en una región, A, cerrada y acotada y c una constante. Z Z Z Z Z 1 cf = c f , (f ± g) = f ± g (Linealidad) A A A A A Z 2 Si f (x, y) ≥ 0 ∀(x, y) ∈ A, entonces f ≥ 0 (Positividad) A Z Z 3 Si f (x, y) ≥ g(x, y) ∀(x, y) ∈ A, entonces f ≥ g A

4

A

5

A

(Monotonía) S T Sean AZ1 , A2 ⊂ZR2 tales que A = A1 A2 , A1 A2 = ∅, Z f = f+ f A1

A2

Si m ≤ f (x, y) ≤ Z M

m · Área(A) ≤

∀(x, y) ∈ A, entonces

f ≤ M · Área(A) (Acotación)

A

Integrales dobles

Cálculo de integrales dobles DEF. Se dice que A ⊂ R2 es una región regular en la dirección del eje Y si n o A = (x, y) ∈ R2 /a ≤ x ≤ b, ϕ1 (x) ≤ y ≤ ϕ2 (x) donde ϕ1 , ϕ2 son continuas y ϕ1 ≤ ϕ2 en [a, b]. DEF. A es una región regular en la dirección del eje X si n o A = (x, y) ∈ R2 /c ≤ y ≤ d , ψ1 (y) ≤ x ≤ ψ2 (y) donde ψ1 , ψ2 son continuas y ψ1 ≤ ψ2 en [c, d ]. DEF. Si A es una región regular en la dirección de ambos ejes se dice que es regular.

Integrales dobles

Cálculo de integrales dobles (II) Teorema de Fubini Sea f : A ⊂ R2 → R continua en A. Si A es una región regular en la dirección del eje Y , entonces: Z Z Z b

ϕ2 (x)

f =

f (x, y) dy dx

ϕ1 (x)

a

A

Si A es una región regular en la dirección del eje X , entonces: Z Z Z d

ψ2 (y )

f =

A

f (x, y) dx dy

c

ψ1 (y )

R Si A es una región regular, entonces A f se puede expresar de las dos formas anteriores y, por la unicidad de la integral de funciones continuas, las integrales deben coincidir.

Integrales dobles

Cálculo de integrales dobles (III)

Si la región sobre la que se desea integrar no es regular en la dirección de ninguno de los ejes, es necesario dividirla, mediante rectas paralelas a los ejes, en un número finito de dominios regulares en la dirección del eje X o Y . Entonces la integral sobre la región de partida será la suma de las integrales sobre cada subdominio.

Integrales dobles

Cambio de variable DEF. Se llama transformación de la región A∗ en la región A a T : A∗ → A la función (u, v) 7→ T (u, v) = (x(u, v), y(u, v)) DEF. Una transformación es de clase C 1 (A∗ ) si sus funciones componentes son continuas, derivables y sus derivadas parciales son continuas en A∗ . DEF. Se llama jacobiano de T : A∗ determinante: ∂x ∂u JT = ∂y ∂u .

→ A (T ∈ C 1 (A∗ )) al ∂x ∂v ∂y ∂v

Integrales dobles

Cambio de variable (II)

Teorema (Cambio de variable para integrales dobles) Sean A y A∗ dos regiones del plano y T : A∗ → A una (u, v) 7→ T (u, v) = (x(u, v), y(u, v)) transformación de A∗ sobre A tal que T ∈ C 1 (A∗ ), T es inyectiva y J : T (u, v) 6= 0 ∀(u, v) ∈ A∗ . Entonces para cualquier función integrable f : A → R: Z Z Z Z f (x, y) dx dy = f (x(u, v), y(u, v)) · |JT (u, v)| du dv A

A∗

Integrales dobles

Coordenadas Polares 2



x = r cos θ y = r sen θ y

p  r = + x2 + y2        x cos θ = r        sen θ = y r Jacobiano: ∂x ∂r JT = ∂y ∂r

(x,y)

1

r θ 0

−1 −1

x 0

2 x

∂x cos θ −r sen θ ∂θ =r = sen θ r cos θ ∂y ∂θ

4