Integrales dobles Guía electrónica de estudio para el estudiante Dr. M. Ranferí Gutierrez M. [email protected]

Introducción Esta guía electrónica de estudio le ayudará, mediante la utilización de gráficas interactivas, a comprender: 1. El problema geométrico que da origen a la integral doble. 2. La intepretación geométrica de una integral doble cuando el integrando es positivo. 3. La interpretación geométrica del cálculo de integrales iteradas en una integral doble. Estudie con detenimiento la guía, procurando realizar todas las actividades que en ella se piden. No se conforme con únicamente leer y aproveche la capacidad que tiene Maple de poder manipular gráficas en 3D.

Objetivos Al finalizar esta guía de estudio asegúrese de que es capaz de: 1. Aproximar el valor de cualquier integral doble, sobre una región rectangular, utilizando una doble suma de Riemann. 2. Explicar el significado geométrico de una integral doble de una función sobre una región R cualquiera. 3. Explicar el significado geométrico de cada una de las integraciones que se realizan al calcular

.

Comprendiendo el problema geométrico que origina la definición de integral doble Recuerde que en cálculo de una variable, el problema geométrico que da origen a la integral definida es el de calcular el área encerrada por debajo de la gráfica de cualquier función y por encima del eje , en el intervalo . En la figura de abajo, que usted debe estar en capacidad de comprender, se ilustra la idea que da lugar a la definición de integral definida de funciones de una variable real:

Recuerde que en cálculo de funciones de dos variables reales, el problema geométrico que da origen a la integral doble es el de calcular el volumen encerrado por encima de cierta región R del plano y por debajo de la gráfica de cierta función sobre esa región. En la figura de abajo, a la izquierda, se ilustra un ejemplo, en el cual la región R corresponde a un círculo de radio 4 y . La figura de la derecha corresponde a la aproximación del volumen buscado mediante una partición de la región rectangular , (la cual contiene a R) y luego, como puede observar al hacer clic sobre la figura de la derecha y presionando constantemente el botón en la barra de herramientas de arriba, al hacer una partición cada vez más fina, la aproximación es cada vez mejor como puede notarse porque el sólido formado por los prismas rectangulares cada vez adquieren una apariencia más parecida a la del sólido de la figura de la izquierda. En la figura de la derecha la altura de cada prisma rectangular se ha tomado escogiendo como punto el punto medio de cada uno de los rectángulos de la partición.

Using a midpoint Riemann sum, an 4

approximation of

4

f x, y dy dx,

K4 K4 = 16 K x2 K

where f x, y y2. Actual value: 341.33.

Comprendiendo la definición de integral doble Para facilidad de comprensión de las ideas, suponga que la región R es el rectángulo definido por , . Esa región se partirá en una cuadrícula como se ilustra en la siguiente figura, y de cada rectángulo

se escoge un punto

para formar la suma de Riemann que sirve de definición pra integral doble (aquí se utilizan, para facilidad de localización, los subíndices y para denotar número de fila y de columna respectivamente del rectángulo en la cuadrícula):

La figura de arriba y la siguiente sirven de base para la definición de integral doble (sobre la región rectangular que se está considerando en este ejemplo)

(1)

donde representa el número de rectángulos en los que se ha dividido la región R.

Ejercicio de comprensión (a) Aplique (1) si R= y partición de R en 9 rectángulos de igual tamaño. Considere el punto

, con una

como el punto medio de cada uno de los nueve rectángulos en los que dividirá la región R. Abajo se muestra la gráfica de sobre la región R, tal como lo puede verificar si rota la figura de tal forma que el eje apunte directamente hacia usted. Solución: 216.

(b) Utilizando únicamente fórmulas de geometría, calcule el volumen exacto del sólido descrito en el inciso anterior. (c) Ahora utilice integrales dobles para calcular el volumen exacto del sólido. Por supuesto, los resultados de los incisos (b) y (c) deben ser iguales.

¿Qué significa, geométricamente, cada una de las integraciones que se realiza al calcular rectangular? Caso 1:

sobre una región R

, Para comprender mejor el significado geométrico de la integral

(2) considere el caso particular

.

Observe la figura de la derecha de abajo, en la cual el plano

ha sido

graficado en la región . Note el rectángulo celeste, perpendicular al plano xy, que se muestra en la figura. El área de ese rectángulo está dada por

ya que la base tiene tamaño 5 y la altura está por

Observe que el área de

ese rectángulo es función de , por lo cual se ha escrito explícitamente

. Para

obtener (3) no se ha utilizado en lo absoluto el concepto de integrales dobles; más bien, únicamente geometría elemental. Deslice la barra espaciadora que está debajo de la figura de la derecha ("Control para x") y verifique para algunos valores particulares de que el área del rectángulo celeste dada por (3) es correcta (por ejemplo, casos fáciles de verificar corresponden a ). Ahora lea la información de la columna de la izquierda de la tabla de abajo. Suponga que usted está en su curso de cálculo diferencial y quiere calcular el área A(x) de la región que se muestra en la figura de esta columna (¡baje el cursor para verla!). En este caso, si usted rota la figura de tal forma que el

eje apunte directamente hacia usted, le quedaría una figura que luce igual a las empleadas en cálculo diferencial de una variable para calcular áreas, excepto que el eje vertical aquí se llama y el eje horizontal . El área

de la región estaría dada por Control para X

0.0

Pero como

,

y quedaría una función de , lo cual no es de extrañar ya que dependiendo del valor de así será la forma de la región y por tanto su área. En la figura de la derecha, por ejemplo, aunque la forma es siempre rectangular, el área va cambiando conforme varía el valor de x con la barra.

Conclusión: En la integral doble

1.0

2.0

3.0

4.0

la integral

proporciona una

función de que permite calcular el área de la región indicada en la figura de arriba de esta columna. Asumimos Aplicado la conclusión de arriba a la figura de la columna de la derecha, se obtiene:

la cual coincide con (3).

¿Y cómo interpretar la integral más externa en

? En la figura

de abajo, mueva la barra deslizante y observe cómo va variando la forma del sólido y el volumen del mismo. Utilice fórmulas de geometría elemental para verificar que el volumen indicado es correcto en algunos casos sencillos. Por ejemplo, si , puede calcular el volumen de la región que no está coloreada en rojo y restarla del volumen total cuando . Recuerde que todas las figuras pueden ser rotadas para estudiarlas mejor. Lea ahora la columna izquierda de la tabla de abajo. ¿Recuerda, de su curso de cálculo diferencial, el tema de sólidos de

sección transversal conocida? La figura siguiente le ayudará a recordar lo que aprendió sobre el tema de sólidos de sección transversal conocida:

Como recordará de su curso de cálculo diferencial de una variable, el volumen de un sólido de secciones transversales conocidas está dado por

Como ya se discutió anteriormente,

por lo que resulta claro, recordando el tema de sólidos de secciones transversales conocidas de cálculo diferncial, que la integral más externa de

permite calcular el volumen del sólido. Conclusión: En la integral doble

0.0

1.0

2.0

3.0

Volumen = 17.99

4.0

la integral más externa permite obtener el volumen del sólido cuyas secciones transversales están dadas por .

¿Qué sucede si se invierte el órden de integración en

? En el

siguiente apartado se responde a esta pregunta.

Caso 2:

,

Nuevamente considere el caso particular

.

Estudie detenidamente las figuras de abajo y repita todos y cada uno de los razonamientos del apartado del caso 1 (razonamientos geométricos y luego utilizando cálculo integral de una variable real) hasta que llegue a comprender que la integral

proporciona una función

la cual corresponde ahora, por el órden de

integración que se está llevando a cabo, al área del triángulo celeste mostrado en la figura de la derecha de abajo. A la izquierda tiene una figura similar a la del caso 1 para ayudarse en el análisis. ¡No crea únicamente por fe que el resultado es correcto! Realice el razonamiento ya que eso le permitirá tener una comprensión más profunda de las integrales dobles.

Control para Y

0.0

1.0

2.0

3.0

4.0

5.0

Finalmente, ayúdese de la figura de abajo (similar al caso 1, pero ahora modificada para el órden de integración escogido) y asegurese de comprender que la integral más externa en

le permite obtener el volumen del sólido cuyas secciones transversales están dadas por

0.0

1.0

2.0

3.0

4.0

5.0

Volumen = 4.89

Caso general región tipo II A manera de generalización del caso 2, observe la figura de abajo y estúdiela detenidamente. ¿Se da cuenta que es una situación similar al caso 2, excepto que ahora ya no toma únicamente dos valores ( y ) sino van cambiando de acuerdo a las funciones y ? Haga clic sobre la figura de abajo y fije los ángulos en los valores indicados más adelante, para tener una mejor vista y comparar con la figura de la columna de la izquierda:

Ejercicio de comprensión Ahora construya un gráfico similar al caso general región tipo II, pero aplicado a la generalización del caso 1. Antes de ver la respuesta, trate por usted mismo ya que eso le permitirá verificar si realmente ha comprendido las ideas expuestas. Solución

Un último ejercicio de comprensión Evalúe

en la región rectangular R definida como

plantéandola como una región tipo I y luego como una región tipo II. En cada caso interprete la integral más interna como o , según corresponda, y construya un gráfico en el que se muestre la región R, la gráfica de , y la gráfica correspondiente a o según el tipo de región que esté considerando. Solución si R está definida como

Para el caso

,

.

Para el caso