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Conversión de la forma general a la forma ordinaria Ahora que ya conocemos las formas ordinaria y general de la ecuación de la circunferencia y que ya hemos hecho conversiones de la forma ordinaria a la forma general, vamos a estudiar el proceso inverso: convertir la ecuación de una circunferencia de su forma general a la forma ordinaria. Para la conversión de la forma ordinaria a la forma general necesitamos desarrollar los binomios que quedaron indicados en la ecuación. En la conversión de la forma general a la forma ordinaria vamos a requerir factorizar completando cuadrados para expresar un trinomio en la forma de un binomio al cuadrado. Convierte la ecuación de la circunferencia x2 + y2 − 8 x − 10 y + 25 = 0

Ejemplo 1

a la forma ordinaria. • Empezamos ordenando los términos. • Escribiremos primero los que contienen a la literal x y al final los términos que contienen la literal y: x2 − 8 x + y2 − 10 y = −25 • Ahora vamos a completar cuadrados. • Para esto, observa que: x2 − 8 x + 16 = ( x − 4)2 . • Para darte cuenta de esto fijate en el coeficiente del término que tiene la literal con exponente 1. • En este caso, −8 es tal coeficiente. • Sacamos la mitad de este número y obtenemos −4. • Entonces, ( x − 4)2 servirá para completar el cuadrado. • Para completar el cuadrado vamos a sumar en ambos lados de la igualdad 16: h i x2 − 8 x + 16 + y2 − 10 y = −25 + 16

( x − 4)2 + y2 − 10 y = −9 • Ahora vamos a factorizar la parte de y. • La mitad de −10 es −5, así que probamos con (y − 5)2 = y2 − 10 y + 25 h i ( x − 4)2 + y2 − 10 y + 25 = −9 + 25

( x − 4)2 + ( y − 5)2

= 16

• Esta es la ecuación de la circunferencia en forma ordinaria. • Para verificar que el cálculo es correcto, puedes hacer la conversión a la forma general. • Debes obtener la ecuación con la que iniciamos. www.aprendematematicas.org.mx

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Fácilmente podemos encontrar el centro y el radio de una circunferencia cuando está en su forma ordinaria. Debido a esto, cuando encontremos ecuaciones de circunferencias en su forma general nos conviene convertirlas a la forma ordinaria para graficarlas. Calcula el centro y el radio de la circunferencia cuya ecuación es: Ejemplo 2

x 2 + y2 + 4 x − 6 y + 9 = 0

• Vamos a empezar convirtiendo la ecuación a su forma ordinaria. • Completamos cuadrados usando los términos que contienen a x. • Así que vamos a sumar 4 en ambos lados de la igualdad: h i x 2 + 4 x + y2 − 6 y = −9 h i x 2 + 4 x + 4 + y2 − 6 y = −9 + 4

( x + 2)2 + y2 − 6 y = −5 • Ahora vamos a completar cuadrados con los términos que contienen a y. • Para esto, sumamos 9 en ambos lados de la igualdad: h i ( x + 2)2 + y2 − 6 y + 9 =

( x + 2)2 + ( y − 3)2

−5 + 9

= 4

• Ahora podemos ver que 2 = −h, que implica h = −2. • También, −3 = −k, por lo que k = 3. • Además, r2 = 4, es decir, r = 2. • Entonces, el centro está en C (−2, 3) y el radio de la circunferencia es r = 2. • Se te queda como ejercicio graficar la circunferencia en tu cuaderno.

Calcula el centro y el radio de la circunferencia cuya ecuación es: Ejemplo 3

x2 + y2 + 2 x + 4 y − 11 = 0

• Empezamos ordenando los términos: x2 + y2 + 2 x + 4 y − 11 2

2

x +2x+y +4y

= 0 = 11

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• Ahora sumamos en ambos lados 1 y 4 para poder completar los cuadrados: x 2 + 2 x + 1 + y2 + 4 y + 4 2

( x + 1) + ( y + 2)

2

= 11 + 1 + 4 = 16

• De la ecuación vemos que −h = 1 ⇒ h = −1, y que −k = 2 ⇒ k = −2. • Entonces, el centro de la circunferencia es el punto C (h, k ) = C (−1, −2). • Por otra parte, de la ecuación vemos también que r2 = 16. • Esto implica que el radio de la circunferencia es: r = 4. • Enseguida está la gráfica de esta circunferencia: y 2 1

−5

−4

−3

−2

−1

2

1

3

4 x

−1 C (−1, −2)

−2

x2 + y2 + 2 x + 4 y − 11 = 0

−4 −5 −6

Encuentra el máximo valor que puede tener la variable y para satisfacer la ecuación: Ejemplo 4

x 2 + y2 − 8 x − 6 y = 0

• Para encontrar el máximo valor que puede tener la variable y vamos a expresar la ecuación en la forma ordinaria. • Para eso,completamos cuadrados: x 2 + y2 − 8 x − 6 y 2

2

x − 8 x + 16 + y − 6 y + 9 2

( x − 4) + ( y − 3)

2

= 0 = 16 + 9 = 25

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• De la ecuación fácilmente podemos saber el centro y el radio de la circunferencia: √ • Centro: C (h, k ) = C (4, 3). Radio: r = 25 = 5 • Ahora podemos graficar y de la gráfica ver el máximo valor que puede tener y para satisfacer la ecuación: y 8 7 6 5 4 C (4, 3)

3 2

x 2 + y2 − 8 x − 6 y = 0

1

−1 −1

1

2

3

5

4

6

7

8

9 x

−2 • El máximo valor que puede tomar la variable y está sobre la circunferencia, exactamente encima del centro, es decir, y = 8.

Una vez que sabíamos que se trataba de una circunferencia podíamos conocer el máximo valor que puede tomar la variable y. Para esto, bastaba reconocer que el máximo valor para y está exactamente a 5 unidades (que es lo que mide el radio) arriba del centro de la circunferencia. Para el centro de la circunferencia y = k = 3. Al sumar 5 a este valor obtenemos el resultado. Calcula las coordenadas del centro y el radio de la circuferencia: Ejemplo 5

9 x2 + 9 y2 − 49 = 0

• En este caso no se require completar cuadrados, lo que tenemos que hacer es expresar la ecuación en la forma ordinaria: • Empezamos sumadno en ambos lados de la igualdad 49 y después dividimos entre 9: 9 x 2 + 9 y2 9

=

x 2 + y2

=

49 9  2 7 3

• Ahora vemos que el centro de la circunferencia es el origen del sistema de coordenadas y el radio es 7/3. www.aprendematematicas.org.mx

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• La gráfica muestra este hecho: y 9 x2 + 9 y2 − 49 = 0 2 1 C (0, 0)

−3

−2

−1

3x

2

1

−1 −2

Además del método de completar cuadrados podemos utilizar las fórmulas:

= −2 h E = −2 k F = h2 + k 2 − r 2

D

que encontramos a partir de:

( x − h )2 + ( y − k )2

= r2

x2 − 2 hx + h2 + y2 − 2 ky + k2 − r2

= 0

2

2

2

2

2

= 0

x +y +Dx+Ey+F

= 0

x + y −2 hx −2 ky + h + k − r 2

2

Para que veas que esto es verdad vamos a resolver un ejemplo más utlizando estas fórmulas. Convierte a la forma ordinaria la ecuación de la circunferencia: Ejemplo 6

x2 + y2 − 10 x − 4 y − 7 = 0

• De acuerdo a la ecuación:

x 2 + y2 + D x + E y + F = 0

tenemos que: D = −10, E = −4 y F = −7. • Por las fórmulas

= −2 h E = −2 k F = h2 + k 2 − r 2

D

podemos encontrar inmediatamente h, k y r sustituyendo los valores conocidos y despejando

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la incógnita en cada caso:

−10 −4 −7 −7 r2

= = = = =

−2 h ⇒ h=5 −2 k ⇒ k=2 h2 + k 2 − r 2 (5)2 + (2)2 − r 2 25 + 4 + 7 = 36 ⇒

r=6

• Entonces, la ecuación de la recta en la forma ordinaria es:

( x − 5)2 + (y − 2)2 = 36

Créditos Albert Einstein

Todo debe hacerse tan simple como sea posible, pero no más.

Este material se extrajo del libro Matemáticas I escrito por Efraín Soto Apolinar. La idea es compartir estos trucos para que más gente se enamore de las matemáticas, de ser posible, mucho más que el autor.

Autor: Efraín Soto Apolinar. Edición: Efraín Soto Apolinar. Composición tipográfica: Efraín Soto Apolinar. Diseño de figuras: Efraín Soto Apolinar. Productor general: Efraín Soto Apolinar. Año de edición: 2010 Año de publicación: Pendiente. Última revisión: 31 de julio de 2010. Derechos de autor: Todos los derechos reservados a favor de Efraín Soto Apolinar. México. 2010. Espero que estos trucos se distribuyan entre profesores de matemáticas de todos los niveles y sean divulgados entre otros profesores y sus alumnos. Este material es de distribución gratuita. Profesor, agradezco sus comentarios y sugerencias a la cuenta de correo electrónico: [email protected]

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