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11.2.3. Cristales biáxicos Las figuras de interferencia de los cristales biáxicos están formadas, como en los uniáxicos, por una cruz oscura cuyos brazos constituyen las isogiras, y una serie de bandas de interferencia, las isocrormáticas, que en el caso de iluminación con luz blanca siguen la serie de colores de la tabla de Michel-Levy. Para mejor comprensión de la forma de estas figuras de interferencia, se discute separadamente la formación de las isocromáticas y de las isogiras, para luego considerar diversas orientaciones de cristales biáxicos en observaciones conoscópicas. Isocromáticas Son bandas de colores de interferencia (negras y de color en el caso de luz monocromática) producidas por la composición de las ondas que han atravesado la lámina de cristal en las direcciones del cono de luz que la ilumina desde el condensador. Los colores dependen del espesor atravesado y de la birrefringencia de cada dirección. En una lámina delgada, el espesor t de cada dirección es

t = e cosϕ Figura 23

donde e es el espesor de la lámina (Figura 23). El desarrollo matemático de las superficies de igual retardo (superficies de Bertin) que dan lugar a las isocromáticas es bastante tedioso, por lo que en este texto se propone una explicación de caracter intuitivo. Una buena aproximación puede ser considerar los retardos que se producen en una perturbación óptica producida en el interior del cristal que se propaga en todas direcciones.

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Las ondas que avanzan en las direcciones de los ejes ópticos primarios no sufren retardo alguno, por lo tanto en esta dirección la interferencia da color negro y corresponde a las salidas de los ejes ópticos, denominadas melatopos. Para otras direcciones, hay que considerar la forma del elipsoide de índices. En la Figura 24 se ha representado la sección xz de un elipsoide biáxico, en la que se han dibujado las trazas de las

secciones

perpendiculares

elípticas a

diversas

direcciones de propagación (EO, 1, 2, 3). Los índices de cada una son los que se indican en la figura Figure 24

y n y (que es común a todas ellas). La dirección del eje óptico tiene birrefringencia cero, y las otras, más o menos según sea su distancia, superior o inferior al eje óptico, respectivamente. Considerando uno de los cuadrantes (Figura 24, derecha), y marcando sobre diversas direcciones los retardos para los espesores atravesados, correspondientes a números enteros de longitudes de onda, es posible unir los puntos de igual retardo mediante

curvas.

Estas

curvas

se

corresponden con las secciones sobre el plano xz de las superficies de Bertin. En la Figura 25 se muestra una visión de estas superficies en perspectiva. Figura 25

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La forma de las curvas isocromáticas de cualquier figura de interferencia corresponde a secciones de las superficies de Bertin en la orientación de la lámina delgada. Por ejemplo, una sección orientada perpendicularmente a la bisectriz aguda de 2V muestra unas isocromáticas en forma de óvalos de Cassini con los focos en los melatopos (Figura 26). Que aparezcan más o menos bandas depende del espesor de la preparación y de su birrefringencia. Por otra parte, según el valor del ángulo 2V, los melatopos aparecen más o menos separados, y en algunos casos incluso pueden no aparecer en el campo visual de la figura de interferencia, la cual cosa ocurre con frecuencia en secciones perpendiculares a la bisectriz

Figura 26. Las líneas de colores son las isocromáticas, cuya forma son óvalos de obtusa de 2V. Cassini.

Isogiras Son las líneas oscuras que, en algunas orientaciones forman una cruz siguiendo las direcciones de vibración de los polarizadores, y al girar la platina, o en otras secciones, presentan formas diversas. Para entender su forma y su génesis hay que interpretar los estados de polarización de las ondas emergentes en diversas direcciones del cristal. Figura 27

El

uso

de

la

construcción

geométrica de Biot-Fresnel puede ser de utilidad para predecir las direcciones de vibración de las ondas que emergen en cualquier dirección del cristal. Para ello, se considera el elipsoide de índices, en

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el cual los puntos E1 y E2 son las salidas de los ejes ópticos (Figura 27). Para determinar la vibración de las ondas que siguen la dirección ON, se trazan los planos ONE1 y ONE2. La bisectriz del ángulo diedro que forman los dos planos es una de las direcciones de vibración, la otra, obviamente, es perpendicular. Proyectando estas direcciones de vibración en una esfera se obtiene el esquiodromo, concepto propuesto por Becke en 1905 y que puede ser utilizado para la comprensión intuitiva de la forma y evolución de las isogiras de figuras de interferencia de secciones diversas. En la Figura 28 se han representado las proyecciones de los planos principales del esquiodromo, en las cuales las líneas elípticas representan la variación en el espacio de los planos de polarización.

Figura 28 Superponiendo

las

direcciones

de

vibración

de

los

polarizadores a la proyección del esquiodromo en la orientación adecuada, se puede deducir gráficamente la forma de las isogiras y su evolución al girar la platina. Figuras de interferencia en distintas orientaciones La figura de interferencia consta de las isogiras y las correspondientes isocromáticas. La forma de unas y otras, así como

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su evolución en un giro completo de la platina depende de la orientación de la lámina delgada respecto de los ejes del elipsoide de índices. Consideremos algunas de las orientaciones características, a partir de las cuales no es difícil extrapolar a secciones ligeramente inclinadas respecto de estas. - Sección perpendicular a la bisectriz aguda Con la platina de modo que el plano de los ejes ópticos coincida con uno de los hilos del retículo, los puntos de

la

imagen

polarización

cuyos

planos

coinciden

con

de los

Figura 29 Las isogiras se forman en los puntos donde las direcciones de vibración coinciden con las de los polarizadores (p1 y P2). Las polarizadores forman una cruz negra dos imágenes corresponden a dos posiciones de la platina giaradas 45º. Nótese que en ambos casos, las bandas negras siguen los puntos (Figura 29, izquierda), que se va del esquiodromo con las vibraciones N-S y E-O.

difuminando hacia los bordes. Debido a

la disposición de los planos de polarización de las ondas energentes del cristal, cuando el plano de los ejes ópticos está en posición E-O, el brazo N-S suele ser más grueso que el otro. Al girar 45º la platina, el lugar geométrico de los puntos con los planos de polarización N-S y E-O forman dos brazos de forma hiperbólica (imagen de la derecha). Los siguientes 45º generan otra vez la cruz, aunque girada 90º respecto de la anterior, y otros 45º de giro hacen aparecer los brazos hiperbólicos en los otros cuadrantes. Las isocromáticas forman una serie más o menos concéntrica de óvalos de Cassini con los focos en los melatopos, lo cual corresponde a una sección de las superficies de Bertin perpendicular a la bisectriz aguda del ángulo 2V.

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Figura 30. Figura de interferencia de un cristal biáxico con la bisectriz aguda del ángulo 2V perpendicular a la sección. La sucesión de imágenes corresponde a un giro de la platina, en el cual es posible ver la evolución de la figura.

- Sección perpendicular a la bisectriz obtusa En esencia es similar al caso anterior, pero, como las salidas de los ejes ópticos estan más separadas, al girar 45º la platina, los dos brazos hiperbólicos

se

separan

significativamente, incluso en algún caso pueden salir del compo visual Figura 31 Formación de las isogiras de una sección perpendicular a la bisectriz aguda, siempre respecto de la proyección del esquidromo, representado en gris como fondo de las imágenes.

(Figura 31). En

esta

orientación,

las

isocromáticas forman una figura similar al caso anterior, siempre con los focos en los melatopos. Y si éstos están fuera del campo de visión, no se observa la totalidad de los óvalos de cada retardo. FIG 32 FIGURA INTERF BISECTR OBTUSA

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- Sección paralela al plano de los ejes ópticos Esta proporciona difícilmente

orientación una

figura

interpretable

porque pasa de una posición de la platina en que aparece una cruz que ocupa casi todo el campo de visión, a desaparecer súbitamente al girar ligeramente la platina (Figura 33). Se trata Figura 33 Formación de la figura flash en un cristal biáxico tallado paralelamente al plano de los ejes ópticos.

Las

isocromáticas

de la denominada figura flash. apenas

se

distinguen

porque

la

correspondiente sección de las superficies de Bertin intersecta pocas de ellas. Por tanto, cuando no aparece la cruz, se observa el campo visual prácticamente ocupado por un solo color de interferencia. - Sección perpendicular a un eje óptico Se observa una sola isocromática, en forma hiperbólica, cuya curvatura depende del ángulo 2V, que gira al girar la platina y se coloca paralela a los hilos del retículo cada 90º, cuando el plano de los ejes ópticos coincide con el de uno de los polarizadores. La de la curvatura de la isogira está orientada con la parte convexa hacia la bisectriz aguda de 2V y la figura puede considerarse una parte de la que se observa en una sección perpendicular a la bisectriz aguda. Alrededor del melatopo se disponen las Figura 34

isocromáticas, de las que se aprecia sólo una parte de los óvalos, precisamente la que se situa alrededor del foco en el melatopo.

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Determinación del ángulo 2V A partir de aquellas figuras de interferencia en que los dos melatopos aparecen en el campo de visión, es posible la medición del ángulo 2V que forman los dos ejes ópticos. Las ondas que atraviesan la lámina cristalina en la dirección de los ejes ópticos, sufren una desviación en las superficies de la lámina, lo cual provoca que el ángulo que se observa no coincida con el real. En la Figura 35 se puede apreciar la Figura 35 La prolongación de las direcciones de propagación de las ondas que progresan en las direcciones de los ejes ópticos, forma un ángulo 2E, distinto del ángulo 2V.

geometría de esta desviación y, a partir de ella, efectuar algunos cáculos sencillos. En la dirección de los ejes ópticos, las ondas

tienen índice de refracción n y, por lo tanto

seni sen E , porque por construcción i = V, y r = E. = ny = senr senV Si los melatopos son visibles en el campo de la imagen, con un ocular micrométrico se puede medir la distancia L entre ambos ( L en unidades arbitrarias de la escala micrométrica del ocular). Para una combinación determinada de objetivo, ocular y óptica intermedia si la hubiere, se cumple:

L = k ⋅ sen E donde k es una constante del sistema (llamada constante de Mallard) y E el semiángulo aparente, relacionado con V por la expresión deducida anteriormente. Para determinar el ángulo 2V es preciso establecer el valor de la constante de Mallard para una óptica determinada Ésto se consigue

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midiendo la distancia entre melatopos en un cristal convenientemente orientado, del que se conozca el ángulo 2V y n y. A partir de ahi, para la combinación de lentes para la que se ha establecido la constante, se pueden medir otros cristales. Estimación del ángulo 2V En ocasiones no es posible efectuar la medición de la distancia entre melatopos, o simplemente se hace necesaria una apreciación rápida del ángulo 2V. En secciones perpendiculares a uno de los ejes ópticos, se puede estimar el valor del ángulo a partir de la curvatura de la isogira cuando el plano de los ejes ópticos está a 45º de los planos de polarización de los polarizadores. La precisión es baja y no puede considerarse una medición cuantitativa, porque el error es del orden de 10º. La Figura 36 representa una serie de isogiras

Figura 36

correspondientes a la salida de uno de los ejes ópticos, para ángulos 2V crecientes, desde 0º (es el caso de un cristal uniáxico) hasta 90º. Determinación del signo óptico El signo óptico de los cristales biáxicos se determina a partir de la figura de interferencia, mediante el uso de compensadores, igual que en los cristales uniáxicos. En esta sección sólo se consideran las orientaciones estudiadas anteriormente. Orientaciones ligeramente inclinadas respecto de éstas, se pueden estudiar con idénticos criterios. Se analizarán las direcciones de vibración en direcciones seleccionadas, y se discutirá los casos en los que ocurre adición del

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retardo del compensador y en cuales substracción. Los efectos concretos (cambios de color, etc.) que ocurren intercalando un tipo u otro de compensador son los mismos que han sido ampliamente analizados para los cristales uniáxicos. - Sección perpendicular a la bisectriz aguda de 2V En la Figura 37 se ha representado la emergencia de dos frentes de onda en el plano de los ejes ópticos para un elipsoide positivo y otro negativo, uno (dirección 1) entre la bisectriz aguda y un eje, y otro (dirección 2) entre el eje y la bisectriz obtusa. Las correspondientes secciones elípticas tienen un semieje en común (n y) y el otro vale n 1 para la dirección 1, y n 2 para la dirección 2. Las direcciones de vibración se han representado en color naranja, tanto en el punto de emergencia en el elipsoide, como en la figura de interferencia que se forma en el plano focal del objetivo, dispuesta con el plano de los ejes ópticos a 45º de los planos de los polarizadores, en la dirección NO-SE. . Se cumplen las siguientes relaciones en los cristales positivos y negativos: - positivo

n1 < ny ; n2 > ny , o sea, v1 > v y ; v2 < v y

- negativo

n1 > ny ; n2 < ny , o sea v1 < v y ; v2 > v y

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Figura 37 . En un cristal positivo, las direcciones que emergen en el plano de los ejes ópticos, entre los melatopos y la bisectriz aguda, contienen una onda que vibra en el plano de los ejes y que es más rápida que la que vibra perpendicularmente a ella. Por el contrario, cualquier dirección, siempre en el plano de los ejes ópticos, entre el melatopo y la parte exterior de la figura de interferencia contiene dos ondas, de las cuales la que vibra en el plano de los ejes está retardada respecto de la otra que vibra perpendicularmente a ella. Cuando estas ondas atraviesan el compensador, en la línea

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entre los dos melatopos se produce adición de retardos, mientras que más allá de las salidas de los ejes ópticos tiene lugar substracción, siempre considerando un cristal ópticamente positivo. En un cristal negativo, ocurre lo contrario: substracción en la línea entre melatopos, y adición en los otros segmentos de esa misma línea. Según el tipo de compensador se produce un efecto u otro: por ejemplo, con un compensador de 550nm aparece un punto azul en las zonas donde hay adición y uno amarillo donde ocurre substracción. Por lo tanto, la determinación del signo óptico en una sección perpendicular a la bisectriz aguda se realiza colocando la figura de interferencia con el plano de los ejes ópticos a 45º de los hilos del retículo en la dirección NO-SE. Si al intercalar un compensador, se produce adición de retardos junto a los melatopos, en la parte convexa de las isogiras, el cristal es positivo. Si la adición ocurre en la parte cóncava de las mismas, el cristal es negativo. FIG 38 FIGURA INTERF, + COMPENSADOR - Sección perpendicular a la bisectriz obtusa de 2V Cuando es posible reconocer que la lámina es perpendicular a la bisectriz obtusa, sea porque se ha medido el ángulo 2V de la sección, sea por la rápida formación de las isogiras hiperbólicas al girar la platina, es posible determinar el signo óptico. Los criterios a aplicar son exactamente los contrarios a los que se han determinado para la bisectriz aguda. Con la figura de interferencia colocada con el plano de los ejes ópticos a 45º (siempre en dirección NO-SE), si hay adición en la parte convexa de las isogiras, el cristal es negativo, contrariamente a lo que se ha discutido para las secciones perpendiculares a la bisectriz aguda. - Sección perpendicular a un eje óptico

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Esta figura se puede considerar como una parte de la que se observa en una sección perpendicular a la bisectriz aguda, por lo tanto cuando la isogira presenta forma curvada y el plano de los ejes ópticos está a 45º de los planos de los polarizadores (NO-SE), la bisectriz aguda está en la dirección de la parte convexa. El criterio desarrollado para las figuras de interferencia de secciones perpendiculares a la bisectriz aguda es de aplicación en este caso. Si al intercalar el compensador, junto al único melatopo que aparece en la imagen, se produce adición de retardos hacia la parte de la bisectriz aguda, se trata de un cristal positivo. Lo contrario indica que se trata de un cristal negativo. Figura 39 FIGURA INTERFERENCIA + COMPENSADOR Hay que señalar que cuando el ángulo de los ejes ópticos es de 90º, el signo óptico no puede determinarse, aunque por otra parte, no tiene sentido hablar del signo óptico de un cristal de estas cartacterísticas. - Sección paralela al plano de los ejes ópticos La figura que aparece, muy similar a la figura flash de los cristales uniáxicos no puede ser utilizada para la detemrinación del signo óptico Dispersión de la figura de interferencia La dispersión de la posición de los ejes ópticos es la que determina la dispersión de la figura de interferencia. Los criterios a aplicar para estudiarla son los discutidos en el capítulo 5 en relación a la dispersión de cualquiera de las superficies de referencia. En esta sección se pondrá énfasis en los efectos que

la dispersión del

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elipsoide produce en la figura de interferencia. - Cristales rómbicos La simetría mmm del grupo de Laue de estos cristales coincide con la del elipsoide, por lo tanto los planos principales de uno y otro han de coincidir. Los ejes ópticos están situados necesariamente sobre uno de los planos principales del cristal (001), (010) o (100). Sin embargo, los sí son dispersados valores de los índices y los ejes ópticos para distintas frecuencias, no son coincidentes. A lo largo del espectro visible, los ejes ópticos pueden variar de posición en su propio plano, pero raramente de plano. Un caso excepcional lo presenta la brookita, cuyos ejes ópticos varían, desde el plano (010) para el azul al (001) en el rojo. Obviamente, existe una frecuencia para la cual la brookita es uniáxica, aquella en la que los ejes ópticos se funden en uno solo sobre el eje cristalográfico. Figura 40

En la figura de interferencia, la dispersión de los ejes ópticos (cuyo plano se mantiene fijo) se puede poner de manifiesto en unas franjas rojas o azules en las isogiras, cuando el plano de los ejes ópticos se lleva a 45º de los polarizadores (Figura 40). Ello se debe a que si en una parte de la misma aflora el eje correspondiente al azul,

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este color se extingue (retardo cero) y se observa la otra parte del espectro (el rojo). Y lo contrario en la parte opuesta de la isogira. Con el plano de los ejes ópticos paralelo a uno de los polarizadores, no es posible apreciar efecto alguno porque los melatopos correspondientes a los ejes ópticos del rojo y del azul están dentro de la cruz que forman las isogiras. - Cristales monoclínicos Los cristales monoclínicos tienen una simetría de Laue 2/m, lo cual impone que uno de los semiejes del elipsoide coincida con el eje cristalográfico b, y los otros dos esten en el plano ac. Sea cual sea el plano de los ejes ópticos, no tiene porque ser el mismo para las distintas frecuencias del espectro visible. Por tanto, los cristales monoclínicos pueden presentar dispersión del ángulo 2V, así como el plano que contiene los ejes ópticos (Figura 41).

Si la dispersión es suficiente, Figura 41

se pone de manifiesto en la figura de interferencia, tanto con el plano de los ejes ópticos paralelo a los polarizadores, como a 45º. Si los ejes correspondientes a los extremos rojo y azul están bastante separados, las franjas roja y azul que se han discutido en el apartado anterior, se observan en ambas posiciones de

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la figura. Y ello ocurre tanto si sólo está dispersado el ángulo 2V como si lo está 2V y la posición de la bisectriz. - Cristales triclínicos Los cristales del sistema triclínico no tienen restricciones en la orientación del elipsoide. Por tanto, es posible cualquier posición de los ejes ópticos para distintas frecuencias.

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