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UNIDAD 3.
DEFINICIÓN Y ELEMENTOS
TRIÁNGULOS
LÍNEAS NOTABLES EN EL TRIÁNGULO
Un triángulo es un polígono de tres vértices. Tiene tres lados, tres ángulos interiores y tres ángulos exteriores. Si los vértices son A, B y C lo denotamos ABC .
CLASIFICACIÓN SEGÚN SUS LADOS Un triángulo es: ESCALENO: desiguales.
Si
tiene
sus
tres
lados
ISÓSCELES: Si tiene por lo menos un par de lados congruentes. Si AB AC entonces se dice que el ABC es isósceles de base BC . EQUILÁTERO: congruentes.
Si tiene sus tres lados
CLASIFICACIÓN SEGÚN SUS ÁNGULOS Un triángulo es: ACUTÁNGULO: agudos.
Si tiene los tres ángulos
ALTURA: Es la perpendicular trazada desde un vértice a su lado opuesto o a su prolongación, por ejemplo AH . El lado BC es la base relativa a dicha altura. BISECTRIZ INTERIOR: Es la bisectriz de un ángulo interior, por ejemplo AD . BISECTRIZ EXTERIOR:
Es la bisectriz de
un ángulo exterior, por ejemplo
RECTÁNGULO: Si tiene un ángulo recto. El lado opuesto al ángulo recto es la hipotenusa y los lados que lo forman son los catetos. OBTUSÁNGULO: Si tiene un ángulo obtuso. EQUIÁNGULO: congruentes.
MEDIANA: Es el segmento que une un vértice con el punto medio M de su lado opuesto, por ejemplo AM .
Si tiene los tres ángulos
AE .
MEDIATRIZ: Es la perpendicular que pasa por el punto medio M de un lado, por ejemplo MN . Todo triángulo tiene tres medianas, tres alturas, tres bisectrices interiores, tres bisectrices exteriores y tres mediatrices.
TEOREMA: Todo triángulo equilátero es isósceles. (Ejercicio). El recíproco es falso.
GEOMETRÍA
C.A.V.A.
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TRIÁNGULOS
CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS
DEFINICIÓN: Dos triángulos son congruentes si tienen sus tres lados respectivamente congruentes y sus tres ángulos respectivamente congruentes:
AB DE ABC DEF BC EF AC DF
A D B E C F
Dos elementos respectivamente congruentes son homólogos. Escribiremos: LsHs (Lados Homólogos) y sHs (Ángulos Homólogos). TEOREMA: La congruencia de triángulos es una relación de equivalencia: 1. 2. 3.
Reflexiva: ABCABC Simétrica: ABCDEF DEFABC Transitiva: ABCDEF DEFGHIABCGHI
NOTA: La transitividad será muy útil para probar que dos triángulos son congruentes.
CRITERIOS DE CONGRUENCIA DE S CRITERIO L.A.L. AXIOMA: Dos triángulos son congruentes si tienen un ángulo congruente formado por lados respectivamente congruentes.
GEOMETRÍA
COROLARIOS: 1.
En todo triángulo isósceles los ángulos opuestos a los lados congruentes son congruentes.
2.
Todo triángulo equilátero es equiángulo. (Ejercicio)
3.
En todo triángulo isósceles, la bisectriz del ángulo opuesto a la base también es mediana, altura y mediatriz con respecto a la base.
4.
Por un punto exterior a una recta pasa una y sólo una perpendicular a ella.
5.
En todo triángulo, cada ángulo exterior es mayor que cualquiera de los dos ángulos interiores no adyacentes.
6.
Todo triángulo tiene por lo menos dos ángulos agudos. (Ejercicio)
Dm: 1. Supongamos que el ABC es isósceles de base BC y tracemos la bisectriz AD del BAC, con B-D-C.
AB AC hip. L : Tenemos: A : BAD CAD const. , luego L : AD AD reflex. por el axioma LAL, ABDACD, y por ángulos homólogos resulta B = C. 3. También por lados homólogos BD=DC entonces AD es mediana. Además por sHs ADB=ADC, pero BDC=180º (por B-D-C), entonces ADC=90º, luego AD es altura y como pasa por el punto medio de BC , también es su mediatriz.
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TRIÁNGULOS
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4. Debemos probar tanto la existencia como la unicidad de dicha perpendicular.
5. En el ABC consideremos el ángulo exterior DAC y veamos que DAC BCA .
Existencia: Sea A un punto exterior a la recta L. Tomemos dos puntos B y C sobre L y
Tracemos la mediana BM y prolonguémosla hasta F de modo que BM=MF. Tracemos AF . Por LAL resulta AMFCMB, luego FACBCA, (sHs).
tracemos AB . Construyamos el CBD tal que BD=BA y CBDCBA, con D en el semiplano opuesto de A con respecto a L .
Pero AF es interior al CAD, luego DAC FAC y por lo tanto DAC BCA .
Tracemos AD que corta a L en el punto E. Por construcción el ABD es isósceles y BE es bisectriz del ABD, luego BE es altura sobre
AD y en definitiva
AD L.
Unicidad: Supongamos que existe otro punto F sobre la recta L tal que AF L, luego AFB =90º.
CRITERIO A.L.A. TEOREMA: Dos triángulos son congruentes si tienen respectivamente congruentes dos ángulos y el lado común a ellos. Dm: Consideremos ABC y DEF tales que BE, BC=EF y CF.
Tracemos FD . Por LAL, ABFDBF, luego AFBDFB, (sHs) y entonces también DFB = 90º. Sumando resulta AFD = 180º y por lo tanto A, F y D son colineales. Luego E y F coinciden porque las rectas en común.
GEOMETRÍA
AD y L sólo tienen un punto
En la semirrecta BA tomemos el punto G tal que BG=ED y tracemos CG . Por el axioma LAL se obtiene GBCDEF, luego BCGEFD (sHs) y como EFDBCA entonces por transitividad BCGBCA. Por lo tanto G está sobre la semirrecta CA y debe coincidir con A y resulta BG=BA. Por transitividad BA=ED y por el axioma LAL se obtiene ABCDEF.
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TRIÁNGULOS
COROLARIOS:
CRITERIO A1 A2 L1
1.
Si un triángulo tiene dos ángulos congruentes entonces es isósceles.
2.
Todo triángulo equiángulo es equilátero. (Ejercicio)
TEOREMA: Dos triángulos son congruentes si tienen dos ángulos respectivamente congruentes y el lado opuesto a uno de ellos congruente.
Dm: 1. Consideremos el ABC tal que BC. Tracemos las bisectrices BD y CE , tales que A-D-C y A-E-B. Por el teorema ALA resulta BCDCBE luego BD=CE (LsHs), y BDCCEB (sHs), y por suplementos BDACEA. Por el teorema ALA se obtiene BDACEA luego AB=AC (LsHs). CRITERIO L.L.L. TEOREMA: Dos triángulos son congruentes si tienen sus tres lados respectivamente congruentes. Dm: Consideremos ABC y DEF tales que AB=DE, BC=EF y AC=DF. Construyamos FEGCBA con G en el semiplano opuesto de D y EG=BA y tracemos DG . Por el axioma LAL se obtiene ABCGEF, luego AC=GF (LsHs) y BACEGF (sHs).
Dm: Consideremos ABC y DEF tales que BE, CF y AB=DE. Tomemos sobre la semirrecta BC el punto G con BG=EF y tracemos AG . Por el axioma LAL se obtiene ABGDEF, luego AGBDFE (sHs), pero DFEACB entonces AGBACB (*). Debemos probar que G coincide con C. Si no coinciden entonces G precede a C ó C precede a G. Si G precede a C entonces en el AGC se tiene AGB ACB (exterior), lo que contradice (*). En forma similar se obtiene una contradicción cuando C precede a G. En definitiva G y C tienen que coincidir, luego BC=EF y por el axioma LAL se obtiene ABCDEF.
CONGRUENCIA DE s RECTÁNGULOS TEOREMA: Dos triángulos rectángulos son congruentes si satisfacen alguna de las siguientes condiciones:
En resumen se tiene ED=EG y FD=FG y se forman los triángulos isósceles EDG y FDG, entonces EDGEGD y FDGFGD. Sumando EDFEGF y por transitividad BACEDF. En definitiva, por el axioma LAL se obtiene ABCDEF.
GEOMETRÍA
1.
RCC: Si tienen respectivamente congruentes los dos catetos.
2.
RCAady: Si tienen respectivamente congruentes un cateto y el ángulo agudo adyacente a dicho cateto.
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TRIÁNGULOS
3.
4.
5.
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RCAop: Si tienen respectivamente congruentes un cateto y el ángulo agudo opuesto a dicho cateto. RHA: Si tienen respectivamente congruentes la hipotenusa y un ángulo agudo.
DESIGUALDADES EN EL TRIÁNGULO TEOREMA: Si un triángulo tiene dos lados no congruentes entonces al mayor de dichos lados se opone un ángulo mayor y recíprocamente. Dm: [] Supongamos que en el ABC AC AB . Tomemos
RHC: Si tienen respectivamente congruentes la hipotenusa y un cateto. (Ejercicio)
D sobre AC con AD=AB y tracemos BD .
Dm: 1. 2. 3. 4.
Por Por Por Por
el el el el
axioma LAL teorema ALA teorema A1 A2 L1 teorema A1 A2 L1
CONGRUENCIA DE LAS NOTABLES HOMÓLOGAS
LÍNEAS
TEOREMA: Si dos triángulos son congruentes entonces las medianas, las alturas y las bisectrices respectivamente homólogas son congruentes. (Ejercicio)
PROPIEDADES DEL TRIÁNGULO ISÓSCELES TEOREMA:
Resulta el ABD isósceles y ABDADB. Como BD es interior al ABC entonces luego ABC ABD . Además ABC ADB ADB DCB (por exterior en el DBC), y por transitividad ABC DCB , es decir, en el ABC se obtiene que B C . [] Supongamos que en el ABC B C (*) y probemos que AC AB . Supongamos que AC AB ó AC=AB. Si AC AB entonces por la primera implicación se obtiene B C lo que contradice (*). Si AC=AB entonces el ABC es isósceles y resulta B=C que también contradice (*). En definitiva se debe cumplir que AC AB .
COROLARIOS:
1.
Un triángulo es isósceles si y sólo si tiene dos ángulos congruentes.
1.
2.
En todo triángulo isósceles la mediana, la altura, la mediatriz (con respecto a su base) y la bisectriz del ángulo opuesto, coinciden y recíprocamente. (Ejercicio)
En todo triángulo rectángulo la hipotenusa es mayor que cada uno de los catetos. (Ejercicio)
2.
En todo triángulo obtusángulo el lado mayor es el que se opone al ángulo obtuso. (Ejercicio)
3.
Todo triángulo isósceles tiene respectivamente congruentes dos alturas, dos medianas y dos bisectrices. (Ejercicio)
GEOMETRÍA
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TRIÁNGULOS
DESIGUALDAD TRIANGULAR TEOREMA: En todo triángulo cada lado es menor que la suma de los otros dos y mayor que el valor absoluto la diferencia entre ellos. Dm: En el ABC tomemos D sobre la prolongación de BA tal que AD=AC y tracemos y DC obtenemos el ADC isósceles con ADC=ACD y como CA es interior al BCD resulta luego ACD BCD ADC BCD y en el DBC se obtiene D C , luego BC BD BA AC , es decir BC AB BC . De un modo similar se prueba que AC AB BC y que AB AC BC . De las dos últimas desigualdades se obtiene y BC AB AC entonces BC AC AB BC AB AC .
TEOREMA DE LA BISAGRA: Si dos triángulos tienen dos lados respectivamente congruentes y el ángulo comprendido desigual entonces al mayor ángulo comprendido se opone un mayor tercer lado y recíprocamente. Dm: [] Consideremos ABC y DEF tales que AB=DE, AC=DF y A D y probemos que BC EF .
Tracemos AG en el interior del BAC tal que BAGEDF y AG=DF; tracemos el segmento BG . Por el axioma LAL resulta BAGEDF, luego BG=EF (LsHs). Tracemos AR bisectriz
COROLARIOS: 1.
El camino más “corto” entre dos puntos es el segmento que los tiene por extremos. (Ejercicio)
2.
Toda poligonal abierta convexa es menor que cualesquiera otra poligonal abierta envolvente que tenga sus mismos extremos. (Ejercicio)
3.
Para que un triángulo exista dados sus tres lados, es suficiente que el lado mayor sea menor que la suma de los otros dos. (Ejercicio)
GEOMETRÍA
del GAC con B–R-C y tracemos RG . Por el axioma LAL se obtiene GARCAR, luego RG=RC (LsHs). Además en el BRG se tiene BG BR RG , luego EF BR RG , por lo tanto EF BC . []
(Ejercicio)
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TRIÁNGULOS
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PERPENDICULARES Y OBLICUAS TEOREMA: Si desde un punto exterior a una recta se trazan el segmento perpendicular a la recta y segmentos oblicuos a ella, con el otro extremo sobre la recta, entonces:
DISTANCIA RECTA
DE
UN
PUNTO
A
UNA
Se llama “Distancia de un punto P a una recta L"”, y se denota por “d(P;L)”, a la medida del segmento PQ L, Q L.
1.
El segmento perpendicular es menor que cualesquiera de los segmentos oblicuos. (Ejercicio)
Si el punto P es interior a la recta L entonces la distancia es cero.
2.
Dos segmentos oblicuos son congruentes sii sus pies equidistan del pie de la perpendicular. (Ejercicio)
La distancia de un punto a una semirrecta o a un segmento es la distancia del punto a la recta que contiene a la semirrecta o al segmento.
3.
Entre dos segmentos oblicuos aquel que tenga su pie más cercano del pie de la perpendicular es menor y recíprocamente.
LUGAR GEOMÉTRICO (LG)
Dm: 3. [] Sean AH L, AB y AC oblicuas tales que HB HC y probemos que AB AC Si HB HC entonces existe un punto D, tal que D-H-C y HD HB .
AD Tracemos y entonces los pies de las oblicuas AB y AD equidistan del pie de la perpendicular y por lo tanto AB=AD, luego el ABD es isósceles con ABD=ADB. Además el ADB ACD (ext. al ADC), luego ADB ACD , es decir, en el ABC se tiene que B C , luego AC AB . [] (Ejercicio)
Una figura F es el lugar geométrico de una propiedad P si está formada por todos los puntos que cumplen la propiedad P y solamente por ellos, es decir, F es el lugar geométrico de P si se cumple que: 1. 2.
(X) ( X F X cumple P) (X) ( X cumple P X F)
LA MEDIATRIZ COMO LG TEOREMA: En un plano, la mediatriz de un segmento es el lugar geométrico de todos los puntos del plano que equidistan de los extremos del segmento. Dm:
[]
Sea M
la mediatriz de AB ,
entonces M es perpendicular a AB en su punto medio C. Sea XM, como AC=CB, los pies de las oblicuas XA y XB equidistan del pie de la perpendicular entonces XA=XB. [] (Ejercicio)
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TRIÁNGULOS
COROLARIO: En un plano, si dos puntos equidistan de los extremos de un segmento entonces la recta que ellos determinan es la mediatriz del segmento. (Ejercicio)
Luego por RHC resulta QOPROP y entonces AOP=BOP (sHs) y por lo tanto OP es la bisectriz del AOB. COROLARIO: Si un punto del interior de un ángulo, equidista de los lados del ángulo, entonces pertenece a la bisectriz del ángulo.
CONSTRUCCIONES BÁSICAS 1. 2.
** Este corolario será muy útil para realizar la construcción de perpendiculares. LA BISECTRIZ COMO LG TEOREMA: En un plano, la bisectriz de un ángulo es el lugar geométrico de los puntos del interior del ángulo que equidistan de los lados del ángulo. Dm:
[] Ejercicio
[] Supongamos que un punto P en el interior del AOB equidista de los lados OA y OB , es decir PQ=PR con PQ OA Y PR OB .
GEOMETRÍA
Trazar la mediatriz de un segmento. Trazar la perpendicular a una recta por un punto interior a ella. 3. Trazar la perpendicular a una recta por un punto exterior a ella. 4. Construir un ángulo congruente con un ángulo dado. 5. Trazar la bisectriz de un ángulo con vértice dado. 6. Construir un triángulo dados dos lados y el ángulo formado por ellos. 7. Construir un triángulo dados dos ángulos y el lado adyacente a ambos. 8. Construir un triángulo dados sus tres lados. 9. Construir un triángulo rectángulo dados la hipotenusa y un ángulo agudo. 10. Construir un triángulo rectángulo dados la hipotenusa y un cateto. 11. Construir un triángulo dados dos de sus lados y la mediana relativa al tercer lado. 12. Construir un triángulo dados dos de sus lados y la altura relativa al tercer lado. Analizar todas las posibles soluciones.
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