TEMA: Productos Notables Iniciaremos la clase estableciendo el siguiente aspecto: “Existen algunas reglas específicas que se usan para calcular productos de manera directa, sin necesidad de realizar las multiplicaciones indicadas. Estas reglas se conocen con el nombre de PRODUCTOS NOTABLES. 1. CUADRADO DE LA SUMA O DIFERENCIA DE UN BINOMIO (BINOMIO AL CUADRADO) ) ( )( ) Este producto notable se aplica en productos del tipo ( ) se representa de la forma: Geométricamente (

.

El binomio al cuadrado se puede describir como: - El cuadrado del primer término, más el doble producto del primer término por el segundo, más el segundo término al cuadrado. Esto siempre y cuando el segundo término del binomio sea positivo.

-

En el caso que el segundo término del binomio tenga signo negativo, el segundo término será también negativo. Se realizaran los siguientes ejemplos: ( ) ( ) ( ) (

(

)

)

(

)

)

5) ( 10) (

Se propondrán los siguientes ejercicios para resolver en clase: 1) ( 6) (

) )

2) ( 7) (

) )

3) ( 8) (

) )

4) ( 9) (

2. SUMA POR DIFERENCIA DE UN BINOMIO Este producto notable se aplica en productos del tipo ( términos dados. Geométricamente es:

)

)(

)

(

(

)

(

)

(√

)(√

)

) que se describe como la diferencia de los cuadrados de los dos

)( ) En forma generalizada se tiene ( Se realizaran los siguientes ejemplos: ( )( ) ( )( )(

)

Se propondrán los siguientes ejercicios para resolver en clase: )( ) 2) ( )( ) 3) ( )( ) 4) ( 1) (

)(

) )(

)

)(

) 5) (

)(

)

2-1 CASO ESPECIAL DE SUMA POR DIFERENCIA Sucede cuando los factores están constituidos por tres términos, los cuales pueden convertirse en dos términos atraves de la agrupación de ellos. Como sucede en el siguiente ejemplo: ( )( ) [( ) ][( ) ] ( ) ) es un binomio al cuadrado el cual hay que donde ( resolver, por lo tanto la solución al ejercicio es:

Otra situación es cuando los signos de los términos en los paréntesis se encuentran invertidos, entonces se busca la mejor agrupación de los términos de tal forma que se generen binomios semejantes en cada factor. En este caso agrupamos (b+c) en el primer factor y en el segundo factor (-b-c); luego este paréntesis se deja precedido por un signo menos para encontrar el binomio semejante al del primer factores decir – (b+c). Después se continúa el proceso como en el ejemplo anterior. ( )( ) [ ( )][ ( Y como en el ejemplo anterior se debe desarrollar ( [ ] Por lo tanto se obtiene

)]

[ ) .

(

)][

(

)]

(

)

Se proponen los siguientes ejercicios para trabajar en clase:

En cada clase se realizaran lecciones escritas de tipo acumulativo. Con el fin de que el estudiante se retroalimente constantemente de los temas tratados en las clases.

3. PRODUCTO DE DOS BINOMIOS QUE TIENEN UN TERMINO COMÚN (X+a) (X+b) Este producto notable se aplica en productos de la forma (X+a) (X+b). Características: a) El primer término del producto es el producto de los primeros términos de los binomios. b) El coeficiente del segundo término del producto es la suma algebraica de los segundos términos de los binomios. Aquí se escribe la variable del primer término con su exponente reducido a la mitad. c) El tercer término del producto es el producto de los segundos términos. Ejemplos:

)( ) Al resolver ( Observe que el exponente de x en el primer término del producto es 4, el exponente de x en el segundo término es la mitad es decir Geométricamente:

Se propondra el siguiente taller para trabajar en clase:

OBSERVACIÓN: En el caso que los productos sean de la forma (mX+a) . (nX+b)

4. CUBO DE UN BINOMIO (BINOMIO AL CUBO) ) . Este producto notable se aplica en productos del tipo ( El cubo de la suma de dos cantidades es igual al cubo del primer término más el triplo del cuadrado del primer término por el segundo más el triplo del primer término por el cuadrado del segundo, más el cubo del segundo término. Al aplicar las propiedades de la potenciación se tiene: (a+b). (a+b).(a+b)= ( (

)

) (

(

) (

)

(

)

)(

) =

Geométricamente:

En el caso de la diferencia de dos cantidades los signos se toman en forma alternada. De la siguiente manera: (

)

Se plantearan los siguientes ejercicios para resolver en clase:

NOTA: Al finalizar cada clase se estará realizando una lección escrita con el fin de analizar el aprendizaje del tema tratado.

TEOREMA DEL BINOMIO Se iniciara la clase con la siguiente pregunta: Si elevas al cuadrado un binomio, ¿Cuántos términos tiene el polinomio resultante? Y ¿si lo elevas al cubo? Y así sucesivamente… El teorema del binomio fue descubierto por Isaac Newton alrededor del año 1650 con el objetivo de desarrollar binomios de la forma ( ) . Las cuatro primeras potencias de (a+b) son: 1. 2. 3. 4.

( ( ( (

) ) ) )

Teniendo en cuenta que todo número elevado a la cero es igual a uno. Cualquier expresión elevada a la uno es igual a sí misma. Aplicando las reglas de los productos notables. Aplicando las reglas de los productos notables

Para resolver potencias de binomios más grandes se aplica el teorema del binomio, teniendo presente que el exponente debe ser mayor que uno. El procedimiento es el siguiente: PASO1: El número de términos al desarrollar el binomio es el número del exponente aumentado en uno, es decir que si el binomio está elevado al exponente 4, el número de términos que tendrá es 5. Además, si el signo del binomio es positivo todos los signos serán positivos, pero si es negativo los signos serán intercalados. ( ) = PASO2: El primer término del desarrollo es el primer término del binomio, elevado al exponente que tiene el binomio que se está desarrollando: ( ) PASO3: El segundo término del desarrollo está formado por: un coeficiente (que es el exponente del binomio), acompañado del primer término elevado al exponente del binomio disminuido en 1, por el segundo término elevado a la potencia 1 ( ) PASO4: Los términos siguientes están compuestos por un coeficiente, el primer término del binomio con el exponente disminuyendo de uno en uno y el segundo término con el exponente aumentado de uno en uno. Los coeficientes del tercer término hasta el n-ésimo se pueden calcular mediante el TRIÁNGULO DE PASCAL de la siguiente manera: En nuestro ejemplo se toma el coeficiente 4 y se multiplica por 3 (que es el exponente del primer término), luego se divide por el exponente del segundo término aumentado en uno, es decir por 2, entonces, el coeficiente del tercer término es: El coeficiente del cuarto término es: (

)

(

)

(

)

y el del quinto término es:

De manera consecutiva se forma el desarrollo buscado.

TRIÁNGULO DE PASCAL El triángulo de PASCAL está estrechamente ligado con el Binomio de NEWTON. Usando este triángulo es mucho más sencillo encontrar los coeficientes al desarrollar binomios elevados a la n-ésima potencia. Completar el siguiente triángulo de pascal hasta la diez y seisava potencia

Desarrollar los siguientes binomios, utilizando el triángulo de Pascal 1)

(

)

2) (

)

3) (

)

4) (

)

5) (

)

EVALUACIÓN LAS PREGUNTAS 1 A 10 SON DE OPCIÓN MULTIPLE CON UNICA RESPUESTA. 1) El resultado de ( – ) )( – [( a) –2ab b) 2b² -2ab c) a² + 2ab d) a² - 2ab

) ]es :

2) Suponga que ( t + 2)³ es el numero de ventas en la FERIA EMPRESARIAL FEM de cada uno de los grados: noveno, décimo y undécimo. La expresión que mejor representa el número total de ventas en estos grupos es: a) t² +2t + 1 b) t³ + 6t² + 8 + 12t c) 3( t³ + 3t² + 3t + 3 ) d) 3( t³ + 6t² + 12t + 8 ) n

3) Los signos del desarrollo de (a – b) son: a) Alternados empezando con (+) b) Todos negativos

c) Alternados empezando con (-)

d) Todos positivos

4)Una diferencia por una suma de dos términos es igual a: a) Diferencia de dos cuadrados b) Suma de dos cuadrados menos un doble producto c) Suma de dos cuadrados más un doble producto d) Suma de dos cuadrados 5) El resultado de ( 3 + a) 11 b) 9 +

2

c) 9 -

2 )(3 2 d) 7

2

) es:

RESPONDA LAS PREGUNTAS 6 Y 7 DE ACUERDO CON LA SIGUIENTE INFORMACIÓN En una finca se desea construir una piscina con las dimensiones indicadas en el gráfico

6) La piscina ocupa un área de: a) b) c)

d)

7) Si la piscina tiene una profundidad de (x+1), luego se puede afirmar que: )( ) a) Su volumen es ( b) Su volumen es ) ) c) Su volumen es ( d) Su volumen es (

RESPONDA LAS PREGUNTAS 8 Y 9 DE ACUERDO CON LA SIGUIENTE INFORMACIÓN La siguiente tabla muestra los resultados obtenidos en dos pruebas por cinco equipos que participaron en las primeras olimpiadas del pensamiento matemático realizadas en la FEM el pasado 9 de septiembre. Equipos Prueba A Prueba B Rojo

9X²-6XY+Y²

Amarillo

1 - X²

Azul

(X³ - 3)³

Verde

(2XY-5Y) (2XY+4Y)

Naranja

(X-6) (X+5)

X²- X- 30

(3X – Y)²

(1-X) (1+X)

8) El resultado obtenido por el equipo Verde en la prueba A es igual al resultado de: a) El equipo Rojo en la prueba B b) El equipo Amarillo en la prueba B c) El equipo Azul en la prueba B d) El equipo Naranja en la prueba A 9) El polinomio obtenido por el equipo Rojo en la prueba A es equivalente al resultado obtenido por: a) El equipo Verde en la prueba A b) El equipo Azul en la prueba B c) El equipo Naranja en la prueba A d) El equipo Amarillo en la prueba A ) lo que NO se puede afirmar es: 10) En el desarrollo de ( a) El coeficiente del segundo término es 6 b) Los exponentes del cuarto término son iguales c) El coeficiente del tercer término es 15 d) Los exponentes del quinto término difieren en 1