Multiplicación Semana 5 y división de polinomios Productos notables. Parte I

Semana 4

¡Empecemos! Bienvenidos a otro encuentro con el saber matemático. En esta oportunidad estudiaremos los productos notables; la ventaja de estos es que nos permiten resolver de manera más sencilla e inmediata los productos que aparecen con cierta regularidad en algunos problemas. En esta sesión podrás visualizarlos atendiendo a la diversidad de formas de representarlos: algebraico, geométrico, numérico y verbal. Para obtener mayores beneficios en el aprendizaje de esta semana necesitas tener conocimiento del cálculo de la superficie de los cuadriláteros y de operaciones algebraicas (traducir expresiones en lenguaje común al algebraico, reducción de términos semejantes…). Anímate a revisar estos temas en las guías de semestres anteriores.

¿Qué sabes de...? 1. Expresa en lenguaje algebraico los siguientes enunciados: a) La suma de seis al cuadrado y de doce al cuadrado. b) El cuadrado de la suma de seis y doce. c) La diferencia de los cuadrados de treinta y diez. d) El cuadrado de la diferencia entre sesenta y cuarenta y cinco.

El reto es... Un árbol de 32m de altura es quebrado por un rayo en un día lluvioso. Determina la altura de quiebre del árbol con respecto al suelo, si el trozo roto queda apoyado en el suelo formando un triángulo de 16m de base. Sugerencias: dado que el árbol forma un ángulo recto con respecto al suelo, el triángulo que se forma es…, así que aplica el teorema de Pitágoras.

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Semana 5

Productos notables. Parte I

? ? 16 m Figura 5

Vamos al grano ¿Cómo podemos expresar los valores o incógnitas correspondientes al cateto e hipotenusa? Realicemos la siguiente analogía: comparemos un árbol con una línea recta para hacer el análisis. E Extremo

E 32x

32m

32m P

P O Origen

a. Longitud de árbol

x

O

b.

16 m

c.

Punto P de quiebre del árbol

32-x

x

d.

Distribución de segmentos en el árbol

Las relaciones entre los segmentos

Recuerda que el teorema de Pitágoras expresa lo siguiente: (Hipotenusa)2 = (cateto)2 + (cateto)2. Al sustituir nos queda: (32-x)2=x2+162. Ten presente que x representa la altura a la cual se rompió el árbol con respecto al suelo. La expresión del miembro izquierdo (32-x)2 es un producto notable, conocido como cuadrado de una diferencia. En lo que resta de esta sección, verás cómo se resuelven. Cuadrado de una suma o producto de la forma (x+a)2 ab

b2

a

a2

ab

a

b

(a+b)

b

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Figura 6

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La longitud del lado del cuadrado que se muestra en la figura 6 es a+b. Con tus conocimientos de geometría sabes que el área del cuadrado se obtiene multiplicando la longitud de dos de sus lados, esto es (a+b)·(a+b). Al elevar la longitud de su lado al cuadrado se tiene: A= (a+b)·(a+b) (a+b)2= (a+b)·(a+b). Como observarás esto es el producto de binomios, ¡resuélvelo aplicando la multiplicación! Por otro lado, si sumas las áreas del interior del cuadrado grande, obtienes: A= a2+a·b+a·b+b2=a2+2a· b+b2 Por tanto tenemos, que: El cuadrado de la suma de un binomio (o dos monomios) es igual al cuadrado del primero más el doble producto del primero por el segundo más el segundo al cuadrado. (a+b)2=a2+2a·b+b2 Primer término

Segundo término

Observa los siguientes ejemplos: 1. Halla el cuadrado de la suma (3x+5)2 • El cuadrado del 1er término es (3x)2=(3x)(3x)=9x2 • El doble producto de ambos términos es 2(3x)(5)=(6x)(5)=30x • El cuadrado del 2do término es 52=5·5=25 Entonces (3x+5)2=9x2+30x+25

Recuerda que multiplicar un número por sí mismo es igual que elevarlo al cuadrado, esto es a·a=a2. Con esta idea en mente, puedes inferir que (3x+5)· (3x+5)= (3x+5)2; es decir, cualquiera de los dos miembros de la igualdad representa el cuadrado de un suma. 2. Encuentra tres enteros consecutivos tales que las sumas de sus cuadrados sea 65 más que tres veces el cuadrado del más pequeño. Una de las maneras de realizar el ejercicio es haciendo uso de las ecuaciones. Traduzcamos esa información al lenguaje algebraico. Llamemos

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z al menor de los números, así los otros números consecutivos serán, z+1 y z+2, elevamos al cuadrado cada uno de ellos: z2+(z+1)2+(z+2)2, luego con la información restante escribimos la ecuación: z2+(z+1)2+(z+2)2= 65+3z2 Desarrollamos los productos notables obtenidos en el miembro izquierdo de la ecuación: (z+1)2= z2+2· z2·1+12= z2+2z+1 y (z+2)2= z2+2·z2·2+22= z2+4z+4 z2+z2+2z+1+z2+4z+4= 65+3z2 Agrupando términos semejantes: 3z2+6z+5= 65+3z2 Aplicando la propiedad de cancelación: z= 10 Así que los otros números consecutivos son 11 y 12. ¡Comprueba que estos son los correctos!

Cuadrado de una diferencia o producto de la forma (x-a)2 Aplicando tus conocimientos de multiplicación de polinomios, encontrarás el resultado del cuadrado de una diferencia (a-b)2= (a-b)· (a-b) ¿Te sorprende? Los resultados son similares al caso del cuadrado de una suma, sólo difieren en el signo del segundo término: (a-b)2= a2-2a·b+b2 Escribe el enunciado para esa igualdad. Geométricamente, el cuadrado de una diferencia representa la región coloreada (ver figura 7). b a a-b

(a-b)2

b

a-b

Figura 7 Haz uso de la suma de las áreas interiores del cuadrado, para hallar el cuadrado de una diferencia (a-b). ¡Inténtalo!

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Productos notables. Parte I Veamos unos ejemplos: 1. (0.3x4-6)2

a) El cuadrado del 1er término es (0·3x4)2= (0·3x4)(0·3x4)= 0.09x8 b) El doble producto de ambos términos es -2(0·3x4)(6)= (0·6x4)(6)= 3·6x4 c) El cuadrado del 2do término es 62= 6·6= 36 d) Entonces (0.3x4-6)2 = 0·09x8-3·6x4+36 Ahora puedes desarrollar el producto notable propuesto en el problema inicial. 2. (32-x)2= (32)2-2·32· x+x2= 1024-64x+x2 Justifica el resultado. Luego resuelve la ecuación y compara el resultado. La altura a la cual se rompió el árbol es de 12m. Cuando elevamos un binomio al cuadrado, obtenemos un trinomio cuadrado perfecto (observa que tiene tres términos).

Producto de una suma por su diferencia o de la forma (a+b) (a-b) Consideremos los siguientes productos de dos binomios que sólo difieren en el signo, es decir, uno es una suma y el otro una diferencia. *(x+6)·(x-6)= x2-6x+6x 36=x2-36 *(7+3x)·(7-3x)=72 -7·3x+7·3x+(3x)2 = 49 -·21x+21x 9x2= 49-·9x2 *(8 x2-10y)·(8x2+10y)=(8x2)2+8x2·10y-10y.8x2-(10y)2=64x4+80x2 y -80x2 y+100y2 ¿Qué tienen en común los resultados de estos productos de binomios? Estos ejemplos sugieren la regla siguiente para multiplicar la suma y la diferencia. El producto de la forma (a+b)(a-b), es igual al cuadrado del primer término (a2) menos el cuadrado del segundo término (b2). En general, el producto de una suma por su diferencia se expresa así: (a-b)(a+b)=a2-b2

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Para saber más… Estudiemos los dos primeros casos de la sección “¿Qué sabes de?”, ¿ves la diferencia entre las expresiones a) y b)? a) La suma de seis al cuadrado y de doce al cuadrado: 62+122 b) El cuadrado de la suma de seis y doce: (6+12)2 Un error muy común que se comete al resolver productos notables, es asumir que (6+12)2= 62+122 Cuadrado de Suma de cuadrados una suma 324 ≠ 180 Como ves esta igualdad no es cierta, si resuelves el miembro derecho sólo tienes que elevar al cuadrado ambos números y sumar, mientras que en el miembro izquierdo al desarrollar el cuadrado de una suma obtenemos tres términos. Incorrecto

Correcto

(3+11)2= 32+112

(3+11)2= 32+2·3·11+112

Al comparar geométricamente las expresiones: (a+b)2 y a2+b2 de la figura 7, verás que la primera representa el área total del cuadrado y la segunda sólo una parte del cuadrado más grande; por tanto, el área de esas expresiones no es equivalente.

Aplica tus saberes 1. Copia y completa la tabla 2. Tabla 2 a 3 5 10 -3 188

b 2 7 3 2

a2 9

b2 4

2ab 12

Observa los resultados de la tabla 2 y responde: a) ¿(a+b)2 es igual a a2+b2?

(a+b)2 25

a2+b2 13

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b) ¿Qué número hay que sumarle a a2+b2 para que sea igual a (a+b)2? 2. Encuentra dos números positivos consecutivos tales que el producto de la suma y su diferencia más 8 sea igual a la suma de los cuadrados. 3. Calcula utilizando los productos notables: a) (4x+1)2

b) (3z3-2)2

c) (2x-y3) 2

e) (x-6)·(x+6)

f ) (2z - 1/5)2

g) (8a2b-y) 2

i) (6-m)·(6+m)

j) (a+1)·(a-1)

k) (4ab2+6xy)2

d) (x+5) 2 h) (2w+5)·(2w-5)

Comprobemos y demostremos que… En el CCA formaran pequeños grupos para comparar los resultados de los ejercicios propuestos en la sección anterior. Luego de la discusión y los consensos generados en el grupo entreguen el trabajo al facilitador.

No permitáis que nadie venga a vosotros y se vaya sin ser mejor y más feliz. LeiAn-Jai

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